Solución de ecuaciones no lineales con una variable.

Texto completo

(1)

Solución de ecuaciones no

lineales con una variable.

● Definición del problema:El problema se puede

expresar de la siguiente manera: encontrar el valor de x* tal que . Cuando en f hay

términos no lineales la solución no es sencilla. p. ej: f x=0 f x=3x5x37x4 f x=e−x sin xln 5xx4 f x= 3x 5 −x37x4 7x3x24x1

(2)

Solución de ecuaciones no lineales

con una variable.

● Solución al problema. Existen varios métodos,

p.e:

– Método de Bisección. – Método de Punto Fijo.

– Método de Newton-Raphson. – Etc.

● No hay un método general, dependiendo del

conocimiento que tengamos del problema podemos elegir alguno de ellos.

(3)

Método de Bisección(sol.).

● Solución al problema: El método se basa en el conocimiento

de dos puntos, los cuales sabemos que están entre una raíz de la función a analizar:

(4)

Método de Bisección

(Solución cont.).

● Dados f(x) y los dos puntos de arranque, se

asume que la solución está justo al centro de estos dos puntos.

xm= xDxI

(5)

Método de Bisección

(Solución cont.).

● Si la suposición es falsa: . Se revisa el signo de y se elige para ser sustituido el punto donde la evaluación en f tenga el mismo signo. (de esta manera se asegura tener a la solución entre xd y xi).

– Se vuelve a calcular el punto medio y se repite el

paso anterior hasta convergencia.

● Si la suposición es cierta: ,o se cumple algún otro criterio de paro, se termina el programa.

f xm≥f f xm

(6)

Método de Bisección (Algoritmo.).

● Se define el criterio de convergencia cc 1e-4

Se define el criterio de exactitud ce 1e-4 Se define el critero de itermax itmax 100000

Se declaran las variables fm,fi,fd,xi,xd,xm,xma; Se declara it como entero

se asigna a it=0;

lee los valores de xi y xd; asigna a xm=1e20; repite: asigna a xma=xm; asigna a xm=(xi+xd)/2.0; asigna a fi=f(xi); asigna a fd=f(xd); asigna a fm=f(xm); si fi*fm>=0 asigna a xi=xm; si no si fd*fm>0 asigna a xd=xm; si no

imprime la solucion no está entre xi y xd; asigna a it=itmax;

se asigna a it=it+1;

mientras que abs(fm)>ce y abs(xma-xm)>cc y it<itmax ; imprime el valor de xm y el valor de fm;

(7)

Método de Bisección.

● Programa: Ver la tarea 6.

● Verificación:

Primera corrida: xi=-3, xd=-1. Segunda corrida: xi=-1, xd=4.

corrida: xi=1, xd=2.

f x= x3x2=x2x6

(8)

Método de Punto Fijo.

● Definición del problema:encontrar el valor de x*

tal que .

● Solución al problema: Transformar

algebraicamente:

Se logra despejando a una x de f(x)

f x=0

f x=0

(9)

Método de Punto Fijo.

● Por ejemplo f x=2x2x5=0 x=2x25=g x x=

x5 2 =gxx=x 2x 2 − x5 4x1 =gxx= 5 =g x

(10)

Método de Punto Fijo.

● Una vez escrita la forma equivalente hay que

identificar un punto cercano a la raíz de interés, se puede hacer por observación, graficando la función, etc. A este punto se le llama punto de arranque x0.

● Con x

0 se calcula x1 de la siguiente manera

de forma general:

x1=g x0

(11)

Método de Punto Fijo

(convergencia).

● Si el valor de ó hemos

llegado a una solución.

● Si no, iterar nuevamente los pasos anteriores. ● Algunas veces la elección de g(x) hará que

consigamos llegar a la raíz, otras no, por que?.

f x≤ f

xi1xi

≤x

xi1=g xi x=g x

(12)

Método de Punto Fijo

(convergencia).

● Usando el teorema del Valor Medio, asumiendo

que en el intervalo [a,b] g es continua y diferenciable en (a,b), entonces:

∃∈a ,btal que g ' = gb−gaba g ' = gx ✳ −g xi xxi g '  xxi=g x−g xi g '  xxi=xxi1

xxi1

=

g ' 

xxi

(13)

Método de Punto Fijo

(convergencia).

● Note que el primer término es el EA en la

iteración i+1 y el término de la extrema derecha es EA de la i-esima iteración. Entonces solo si se consigue que el error vaya

disminuyendo.

● Para asegurar convergencia es necesario

asegurar que para cada valor de x en el intervalo (a,b) la derivada sea menor a 1.

(14)

Método de Punto Fijo (Algoritmo.).

● Se define el criterio de convergencia cc 1e-4

Se define el criterio de exactitud ce 1e-4

Se define el criterio de itermax itmax 100000 Se declaran las variables x0,xi,xim1,fxi,fxim1; Se declara it como entero

se asigna a it=0; lee el valor de x0; asigna a xi=x0; asigna a fxi=f(x0); repite: asigna a xim1=xi; asigna a fxim1=fxi; asigna a xi=g(xim1); asigna a fxi=f(xi); asigna a it=it+1;

mientras que abs(fxi)>ce y abs(xi-xim1)>cc y it<itmax; imprime el valor de xi y el valor de fxi;

(15)

Método de Punto fijo.

● Programa: punto_fijo.c en: http:\\www.ifug.ugto.mx\~gonzart\notas\punto_fijo.c http:\\www.ifug.ugto.mx\~gonzart\notas\punto_fijo2.c ● Verificación: – Punto de arranque: -3 Punto de arranque: 4 f x= x3x2=x2x6=0 ; x= x6 x =gx

(16)

Método de Newton-Raphson.

● Definición del problema:encontrar el valor de x*

tal que .

● Solución al problema: aproximar f(x) con una

linea y ver donde la linea intersecta al eje x.

(17)

Método de Newton-Raphson.

● La linea seleccionada es la tangente que pasa

por el punto xi. Y su intersección será en nuevo valor de x, esto se repite hasta el criterio de paro.

– Como se calcula el nuevo valor de x?.La recta tiene

la pendiente:

(18)

Método de Newton-Raphson.

– La recta tendrá la ecuación:

– La intersección con el eje x se da en y=0.

y f xi= f ' xi xxi 0 f xi= f ' xi xxi x=xi fxif ' xi xi1= xi fxif ' xi si f 'xi≠0

(19)

Método de Newton-Raphson.

● En el método de Newton-Raphson necesitamos saber, f(x), f'(x) y un punto de arranque.

● Limitaciones: el algoritmo solo se aplica para funciones que son derivables, el método fallará cuando xi se

(20)

20

Método de Newton-Raphson (Algoritmo).

● Se define el criterio de convergencia cc 1e-4

Se define el criterio de exactitud ce 1e-4

Se define el criterio de itermax itmax 100000

Se declaran las variables x0,xi,xiM1,fxi,fxiM1,dfxi; Se declara it como entero

se asigna a it=0; lee el valor de x0; asigna a xiM1=x0; asigna a fxiM1=f(xiM1); repite: asigna a xi=xiM1; asigna a fxi=fxiM1;

//evaluación de la derivada en el punto xi

asigna a dfxi=f'(xi);

asigna a xiM1=xi-fxi/dfxi;

//evaluación de la funcion f en el punto xiM1

asigna a fxiM1=f(xiM1); asigna a it=it+1;

mientras que abs(fxiM1)>ce y abs(xi-xiM1)>cc y it<itmax;

imprime el valor de xiM1 y el valor de fxiM1; fin del programa;

(21)

Método de Newton-Raphson.

● Programa: Ver la tarea 7.

● Verificación: – Punto de arranque: -3 Punto de arranque: 4 – Punto de arranque =1.2 f x= x3x2=x2x6=0 ; f ' x=2x1 f x=cosx−3x=0 ; f ' x=−sin x−3

(22)

Puntos de Arranque

● Como conseguir un “buen” punto de arranque?.

– Si la función tiene algún significado físico, usar el

conocimiento del fenómeno.

– Graficar la función f(x) y por observación elegir el

punto de arranque. Si no se tiene un graficador usar las técnicas de calculo diferencial.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :