Problema 1. (6 puntos) La empresa Pantone Inc. ideó el sistema de representación de colores conocido como Hexachrome (también llamado CMYKOG) que permitía imprimir las imágenes con una reproducción de los colores muy buena, especialmente en los tonos pastel y los tonos de la piel.
En este sistema, cada color se representa como un vector de 6 componentes (c,m,y,k,o,g) donde cada nombre representa la cantidad de cada una de las tintas básicas: “Cyan”, “Magenta”, “Yellow”, “Key” (Black), “Orange” y “Green”. Supongamos que este sistema Hexachrome tiene estructura de espacio vectorial, es decir, podemos generar colores mediante sumas y restas de otros colores o multiplicando colores por constantes. (Nota: este punto no es cierto en la realidad).
Ahora supongamos que tenemos tres colores: c1=(1,0,1,0,1,1), c2=(0,1,0,0,0,1) y c3=(1,0,0,0,1,0), que generan el subespacio vectorial de colores E1. Supongamos también que los colores: v1=(5,1,6,0,5,7), v2=(1,3,1,0,1,4) y v3=(1,0,2,0,1,2) generan el subespacio vectorial de colores E2. Tenemos también el color w=(2,2,3,0,2,5).
i. ¿Cuáles son las dimensiones de los subespacios E1 y E2? ¿Podemos generar el color w con los colores c1, c2 y c3? Si es que sí, ¿con que cantidad de cada uno? ¿Pertenece w a E2? Si es que sí, ¿cuáles son las coordenadas en la base {v1, v2, v3}?
ii. ¿Son E1 y E2 el mismo subespacio vectorial de colores?
iii. Encuentra la matriz de cambio de base de {v1, v2, v3} a {c1, c2, c3}. Comprueba la coherencia con las coordenadas de w.
i.- Bien, lo primero es comprobar las dimensiones de los dos subespacios vectoriales. Lo que hacemos es ponernos los vectores como matriz y mirar si son L.I.. Por ejemplo, haciendo la transformación F’3 = F3 – F1: 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 ≡ 1 0 1 0 1 0 0 0 −1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
Por lo tanto, son linealmente independientes y la dimensión de E1 es 3. Veamos el otro
subespacio: 5 1 6 1 3 1 1 0 2 0 5 7 0 1 4 0 1 2 ≡ 1 0 2 1 3 1 5 1 6 0 1 2 0 1 4 0 5 7 ≡ 1 0 2 0 3 −1 0 1 −4 0 1 2 0 0 2 0 0 −3 ≡ 1 0 2 0 3 −1 0 0 −11 0 1 2 0 0 2 0 0 −11
Donde primero he intercambiado la primera y la tercera, y luego he hecho los cambios F’2=F2-F1 y F’3=F3-5·F’2=F2-F1 para acabar con F’’3=3·F’3-F’2. Vemos que también son linealmente independientes, por lo que la dimensión de E2 también es 3.
Ahora vamos a expresar w en función de los c’s.
⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 2 2 3 0 2 5⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 1 0 1 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 0 0 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 1 0⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Que me genera el siguiente sistema de ecuaciones:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧2 = +2 = 3 = 0 = 0 2 = + 5 = +
La cuarta no aporta nada y la quinta está repetida. Además, la segunda y la tercera ya nos dan los valores de alfa y beta, por lo tanto nos quedan dos ecuaciones para “despejar” gamma y usaremos la otra para “comprobar”. De la primera sacamos que:
2 = 3 + ⇒ = −1 Y sustituyendo en la última vemos que:
5 = 3 + 2
Por lo tanto, no hemos llegado a ninguna incongruencia y podemos decir que las cantidades de cada color son:
3 , 2 − 1
Aunque cabe preguntarse si tiene sentido “añadir -1 cantidades de determinado color”….. Así que podemos decir que las coordenadas de w en la base de los c’s son:
(3, 2, −1)
Para saber si w pertenece a E2, vamos a ver si somos capaces de expresarlo como combinación
⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 2 2 3 0 2 5⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 5 1 6 0 5 7⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 3 1 0 1 4⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 2 0 1 2⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Que nos genera el siguiente sistema de ecuaciones:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 2 = 5 +2 = + 3+ 3 = 6 + + 2 0 = 0 2 = 5 + + 5 = 7 + 4 + 2
Como nos pasaba antes, la cuarta no aporta nada y la quinta está repetida, por lo que nos quedan cuatro ecuaciones:
2 = 5 + +
2 = + 3
3 = 6 + + 2
5 = 7 + 4 + 2
De la segunda sacamos que = 2 − 3 , y al sustituir en las otras tenemos que: 2 = 5 · (2 − 3 ) + + ⇒ 8 = 14 − 3 = 6 · (2 − 3 ) + + 2 ⇒ 9 = 17 − 2 5 = 7 · (2 − 3 ) + 4 + 2 ⇒ 9 = 17 − 2
La segunda y la tercera son iguales, por lo que sólo nos quedan dos ecuaciones. De la primera despejamos y tenemos que: = 14 − 8, y al sustituir en la segunda tenemos que:
9 = 17 − 2 · (14 − 8) = −11 + 16 ⇒ = −7
−11=
7 11 Ahora voy sustituyendo en el resto:
= 14 · 7 11− 8 = 98 − 88 11 = 10 11 Y por último: = 2 − 3 · 7 11= 22 − 21 11 = 1 11
Por lo tanto, sí que se puede expresar como combinación lineal y sí que w pertenece a E2 y las
coordenadas de w en la base {v1, v2, v3} serían:
1 11, 7 11, 10 11
ii.- Para saber si son el mismo subespacio lo podemos hacer de varias maneras. Una sería utilizar la Wiris y poner una matriz con los seis vectores y calcular su rango. Si sale 3, resulta que “los vectores de E2 no añaden nada a los vectores de E1” y podríamos concluir que son el
mismo subespacio.
Otra forma de hacerlo, sería expresar los tres vectores de E2 como combinación lineal de los
vectores de E1. Es más largo, pero en el examen no tendréis la Wiris….Vamos a por ello.
Empezamos con v1: ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 5 1 6 0 5 7⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 1 0 1 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 0 0 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 1 0⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Que nos genera el sistema:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧5 =1 =+ 6 = 0 = 0 5 = + 7 = +
Como la segunda y la tercera me dan α y β, despejo γ en la primera y tengo: 5 = 6 + ⇒ = −1
Y ya tengo los tres coeficientes. Por lo tanto, v1 se puede expresar como combinación lineal de
los c’s. Vamos a por v2:
⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 3 1 0 1 4⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 1 0 1 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 0 0 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 1 0⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Que nos genera:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧1 =3 =+ 1 = 0 = 0 1 = + 4 = +
Como la segunda y la tercera me dan α y β, despejo γ en la primera y tengo: 1 = 1 + ⇒ = 0
Y ya tengo los tres coeficientes. Por lo tanto, v2 se puede expresar como combinación lineal de
los c’s. Vamos a por v3:
⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 2 0 1 2⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 1 0 1 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 0 0 1⎠ ⎟ ⎟ ⎞ + · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 1 0⎠ ⎟ ⎟ ⎞
Que nos genera:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧1 =0 =+ 2 = 0 = 0 1 = + 2 = +
Como la segunda y la tercera me dan α y β, despejo γ en la primera y tengo: 1 = 2 + ⇒ = −1
Y ya tengo los tres coeficientes. Por lo tanto, v3 se puede expresar como combinación lineal de
los c’s. Por lo tanto, E1 y E2 son el mismo subespacio.
iii.- Si colocamos en columnas los tres grupos de coeficientes que hemos encontrado, habremos encontrado la matriz de cambio de base de E2 a E1. Por lo tanto, lo que nos piden es,
precisamente:
=
6 1 2
1 3 0
−1 0 −1
Para comprobarlo, tomamos las coordenadas de w en la base E2 (que eran , , ) y,
al multiplicarlo por M hemos de obtener las coordenadas de w en la base E1 (que eran (3, 2,
-1)). Veámoslo: 6 1 2 1 3 0 −1 0 −1 · ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 11 7 11 10 11⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = 6 · 1 11+ 1 · 7 11+ 2 · 10 11, 1 · 1 11+ 3 · 7 11, −1 · 1 11− 1 · 10 11 = 6 + 7 + 20 11 , 1 + 21 11 , −1 − 10 11 = 33 11, 22 11, −11 11 = (3, 2, −1)
Problema 2. (4 puntos) Sea E = {(x, y, z, t) | x+y=z, x-y=t} un subespacio vectorial de dimensión 2 a R4 y sea el vector v = (1, 1, 2, 0).
a) Comprobad que A={ (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, -1)} es una base de E. ¿Pertenece v a E? En caso afirmativo calculad las coordenadas en la base A.
b) Encuentra otra base de E que contenga el vector v.
c) Calcula la matriz de cambio de base de la base que has encontrado en el apartado b) a A.
a) Para comprobar si A es una base de E, lo que hacemos es escribir un vector genérico de E como combinación lineal de los vectores de A. El vector “genérico” de E será de la forma:
( + − )
Y lo que hacemos es expresarlo como combinación lineal de los vectores de A:
+ − = · 1 0 1 1 + · 0 1 1 −1
Quiero hacer notar que, en esta ecuación x e y son “números genéricos” y lo que hemos de hacer es expresar α y β en función de x e y. El sistema que se nos genera es:
= =
+ = +
− = −
Que tiene por solución:
= =
Por lo tanto, A es una base de E. Bueno, de hecho, lo que hemos hecho es demostrar que los vectores de A son generadores de E. Para que sean base, además han de ser L.I., pero eso es trivial, ya que ambos vectores NO son proporcionales….
Para saber si v pertenece a E podemos hacerlo de dos formas, viendo si v cumple las “condiciones de E” o viendo si se puede poner como combinación lineal de los vectores de A (que ya sabemos que son base de E).
La primera forma sería hacer:
= (1 1 2 0) ¿Cumple que z= x+y? Pues sí, es evidente porque 2 = 1 + 1.
La segunda manera sería haciendo: 1 1 2 0 = · 1 0 1 1 + · 0 1 1 −1 Que nos genera el siguiente sistema:
1 = 1 =
2 = +
0 = −
Las dos primeras ecuaciones nos dan los valores de α y β, y las otras dos nos sirven para comprobar que no hay ninguna incongruencia, por lo tanto, v pertenece a E. Por lo tanto, las coordenadas de v en la base A son (1, 1).
b) Para encontrar la otra base que nos piden, como que ya sabemos que el primer vector de la base ha de ser v, hemos de buscar otro vector que pertenezca a E y que sea linealmente independiente con v. Lo más fácil es buscar un vector cuya primera coordenada sea 0 (así, seguro que es L.I. con v), y ya puestos a buscar uno fácil, decido que la segunda coordenada sea 1. Ahora sólo me falta imponer que cumpla las “condiciones de E”, por lo que la tercera coordenada será:
= 0 + 1 = 1 Y la cuarta coordenada será:
= 0 − 1 = −1
Por lo tanto el vector w=(0, 1, 1, -1) será de E y será linealmente independiente de v, por lo que ambos vectores v y w serán una base de E.
Para encontrar la matriz de cambio de base he de expresar los vectores de mi base como combinación lineal de los vectores de A. El primer vector ya lo he hecho (obtenía los valores 1 y 1). Ahora voy a poner w como combinación lineal de los vectores de A:
0 1 1 −1 = · 1 0 1 1 + · 0 1 1 −1 Que nos genera el siguiente sistema:
0 = 1 =
1 = +
Las dos primeras ecuaciones me dan los coeficientes y las dos últimas me sirven para comprobar que no hay incongruencias…. Los valores son 0 y 1.
Por lo tanto, la matriz de cambio de base de la base formada por v y w a A es: 1 0
