Ecuaciones lineales con dos incógnitas

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Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de primer grado de la forma ax + by = c, donde:

Los números a y b son los coeficientes de la ecuación, x e y son las incógnitas y c es el término independiente.

Las soluciones de la ecuación ax + by = c son los pares de valores que toman x e y que cumplen la igualdad. Tiene infinitas soluciones.

Ejemplo Resuelve la ecuación lineal 2x + y = 30.

Resolución a partir de una tabla.

1.º Despejamos una de las incógnitas de la ecuación: 2x + y = 30 ⇒ y = 30 − 2x 2.º Damos valores a x para obtener los posibles valores de y utilizando una tabla:

x … −2 0 2 …

y … 30 − 2 ⋅ (−2) = 34 30 − 2 ⋅ 0 = 30 30 − 2 ⋅ 2 = 26 …

Resolución a partir de una gráfica.

1.º Despejamos la incógnita y de la ecuación: 2x + y = 30 ⇒ y = 30 − 2x

2.º Buscamos dos soluciones de la ecuación y re-presentamos la recta que se forma a partir de ellas en unos ejes cartesianos.

Todos los pares de puntos (x, y) que forman la

recta son solución de la ecuación. O

Y X � � A (�, ��) B (��, �)  MAT-TIC  Entra en smSaviadigital.com y encuentra las soluciones de forma gráfica y por tablas.

ACTIVIDADES

3. Encuentra en la gráfica de 2x+4y=10, tres solucio-nes con valores de x e y enteros. Comprueba que cum-plen la ecuación.

 Pista Busca las coordenadas de los puntos de la recta.

O Y

X

1 1

4. Representa en una gráfica las soluciones de estas ecuaciones.

a) x+y=5 b) 2x+y=0 c) x−2y=1 1. Indica la ecuación lineal con dos incógnitas que

repre-senta cada caso.

Ejemplo El doble de un número más la mitad de otro número: 2x+y

2

a) La resta de dos números es igual a −5. b) Tengo 11 € en monedas de 1 € y 2 €.

c) Hay 60 alumnos entre alumnos de 2.º y 3.º ESO. 2. Completa en tu cuaderno la tabla de soluciones

corres-pondiente a cada una de las siguientes ecuaciones. a) 3x+y=7 x 0 1 2 −5 ● ● y ● 4 ● ● 10 −2 b) x−4y=1 x 5 9 2 ● 0y203

(2)

Solución de un sistema de ecuaciones

Ejemplo Las edades de un padre y su hija suman 57 y su diferencia es 33 años. Plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para este problema. Llamamos x a la edad del padre e y a la edad de la hija.

x+y=57 xy=33

{

Ejemplo Comprueba si los pares de números (x = 3, y = 5) y (x = 5, y = 1) son soluciones del sistema 2x+y=11

x−2y=3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . (x = 3, y = 5) (x = 5, y = 1) 2⋅3+5=11 3−2⋅5=−4≠3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪  ⇒ No es solución 2⋅5+1=11 5−2⋅1=3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪  ⇒ Sí es solución

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecua-ciones de primer grado de la forma ax+by=e

cx+dy=f

{

.

Un par de números son una solución del sistema ax+by=e cx+dy=f

{

cuando verifican las dos ecuaciones a la vez.

2

Sistemas de ecuaciones lineales

smSaviadigital.com

 PRACTICA  Busca las soluciones para dar en la diana.

ACTIVIDADES

8. Indica las incógnitas, los coeficientes y los términos independientes de cada sistema.

Ejemplo 5x+y=−8 3x−7y=11 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Incógnitas: x e y

Coeficientes: 5 y 1 (1.ª ec.); 3 y −7 (2.ª ec.)

Términos independientes: −8 (1.ª ec.); 11 (2.ª ec.)

a) 2x+3y=8 4x+9y=10

{

b) x 2 =y xy 3=5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ c) 3x 4 + 4y 3 =5 x−7y=−10 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

9. Indica si la pareja de valores es solución o no de cada sistema de ecuaciones. a) 3x−y=7 2x+5y=16

{

b) 2x+y=4 x−2 3y= 1 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ c) 1 2x−2y=−4 2x−y 3=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ (x= 3, y= 2) (x= 3, y=−2) (x=−4,y=−27) 7. Indica cuáles de los siguientes sistemas son sistemas

de ecuaciones lineales. a) 3x+11y=67 5x−3y=5

{

b) x+3 y =14 2x−3y=4 ⎧ ⎨ ⎩ c) −2x+y= 9 x− 16y=8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

6. Indica cuáles de los siguientes sistemas son sistemas de ecuaciones lineales.

a)

{

2xx=3yy=+79 b)

{

2xxxy2y==68

a) Sí, son sistemas de ecuaciones lineales, ya que sus dos ecuaciones son de primer grado.

b) No es un sistema de ecuaciones lineales, ya que la ecuación xxy= 6 no es de primer grado al aparecer el producto de las dos incógnitas.

ACTIVIDAD RESUELTA

Ten en cuenta

a, b, c, y d son los coeficientes del sistema.

x e y son las incógnitas. e y f son los términos

(3)

Sistemas de ecuaciones equivalentes

3

ACTIVIDADES

12. Encuentra dos sistemas equivalentes a cada uno de los siguientes. a) 3x−y=7 2x+5y=16

{

c) 3x−3y=3 12x+24y=72

{

b) −x+9y=5 x+5y=9

{

d) 30x−10y=70 2x+5y=16

{

1. Indica en cada caso qué operaciones se han hecho para obtener cada sistema equivalente a x+2y=7

2xy=9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ : a) x+2y−7=0 2xy−9=0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ c) x+2y=7 3x+y=16 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b) 2x+4y=14 6x−3y=27 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ d) x−3y=2 2xy=9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 10. Indica qué sistemas son equivalentes a 3x+y=10

x+3y=6

{

con solución (x = 3, y = 1). A. 3x+y=10 3x+9y=18

{

B. 3x+y=10 2x+4y=16

{

C. 3x 2 + y 2 =5 x 2− 3y 2 =3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

11. Escribe dos sistemas equivalentes a 6x−10y=2 6x+3y=15

{

,

realizando las operaciones indicadas en cada caso. a) Cambiando la segunda ecuación por la suma de ambas. b) Cambiando la primera ecuación por la resta de la

se-gunda menos la primera.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Algunas operaciones que se pueden realizar para obtener sistemas de ecuaciones equivalentes son:

Sumar o restar un número a una de las dos ecuaciones.

Multiplicar o dividir una de las dos ecuaciones por un número distinto de 0.

Cambiar una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.

Ejemplo El sistema 2x−2y=10 2x+y−3=1

{

tiene cómo solución (x = 3, y =−2). Observa como obtenemos sistemas de ecuaciones equivalentes a partir de él.

En 2x−2y=10 2x+y−3=1

{

, si sumamos 3 en los dos miembros de la segunda ecuación: 2x−2y=10

2x+y=4

{

{

22⋅33+(22)(−2)=6=62+=44=10

Al dividir en 2x−2y=10

2x+y=4

{

, la primera ecuación entre 2:

xy=5

2x+y=4

{

{

233(+−2)(2)=3=+62=25=4

En xy=5

2x+y=4

{

, si sustituimos la segunda ecuación por la suma de ambas:

{

3xx=y9=5⇒

{

3x3y==93−(−2)=5

(4)

ACTIVIDADES

15. Las soluciones de un sistema pueden no ser números enteros. Resuelve los siguientes sistemas gráficamente. a) Gradúa ambos ejes de 0,5 en 0,5.

x−2y=1

−3x+2y=−5

{

b) Gradúa cada eje de modo que cada cuadradito repre-sente un tercio. 6x−3y=0 2x+3y=2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 14. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de

ecuaciones lineales con dos incógnitas e indica el nú-mero de soluciones que tiene cada uno.

a)⎧⎨⎪xx+yy==62 ⎩⎪ d) xy=1 3x−3y=−3

{

b) 2x+y=9 4x+2y=18

{

e) xy=1 3x−3y=3

{

c)⎧⎨⎪xx++2yy==42 ⎩⎪ f) 4x−2y=0 xy=0

{

Ejemplo Resuelve gráficamente el sistema 4x−2y=−6 x+2y=1

{

.

1.º Despejamos la incógnita y en las dos ecuaciones y elaboramos una tabla, dan-do valores a x y calculandan-do los valores correspondiente de y.

Conviene calcular tres puntos en la tabla para detectar posibles errores.

x 0 1 2 y=4x2+6 3 5 7 x 0 1 2 y=1−2x 1 2 0 − 1 2

2.º Representamos gráficamente los puntos solución y trazamos las dos rectas,

que contienen las infinitas soluciones de cada ecuación.

3.º Observamos que las rectas se cortan en un único punto (−1, 1). Las coordena-das de este punto son las soluciones del sistema de ecuaciones (x =−1, y = 1). Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se siguen los siguientes pasos:

1.º Se construye una tabla de valores para cada una de las ecuaciones. 2.º Se dibuja la recta correspondiente a cada ecuación, usando esas tablas. 3.º Las soluciones del sistema corresponden a los puntos de corte de ambas rectas.

4

Solución gráfica de un sistema

 MAT-TIC 

Entra en smSaviadigital.com y resuelve sistemas gráficamente.

O Y X � � x + y = � �x − y = −A(−�, �)

La posiciónde las rectas indica el número de soluciones del sistema:

Se cortan en un punto Las rectas coinciden Las rectas son paralelas

O Y X � � A (�, −�) O Y X 1 1 O Y X 1 1

El sistema tiene una única

(5)

Resolución de sistemas por sustitución

5

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se dan los siguientes pasos:

1.º Se elige una de las dos incógnitas y se despeja en una de las dos ecuaciones. 2.º Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación.

3.º Se resuelve la ecuación obtenida.

4.º Sustituyendo este valor en la ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita.

Ejemplo Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

{

34xx+2yy==92.

1.º Elegimos una de las dos incógnitas, por ejemplo la y, que tiene coeficiente 1 en la primera ecuación, y la despejamos.

4x+y=9 3x−2y=4

{

{

3yx=92y4=x4

2.º Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: y=9−4x

3x−2y=4

{

⇒3x−2(9−4x)=4

3.º Resolvemos la ecuación de primer grado con una sola incógnita obtenida y hallamos el valor de la incógnita x.

3x−2(9−4x)=4⇒3x−18+8x=4⇒11x−18=4⇒11x=22⇒x=22

11=2

4.º Sustituimos en valor de la incógnita obtenida en la ecuación despejada para

hallar la otra incógnita.

y=9−4xy=9−4⋅2=9−8=1

La solución del sistema es (x=2, y=1)⇒

{

4322+21=18=+61=29=4 smSaviadigital.com

 PRACTICA  Práctica resolviendo sistemas y enciende los pebeteros.

Ten en cuenta

El método de sustitución resulta práctico si alguna de las incógnitas tiene como coeficiente 1 o −1. En ese caso, esa es la que despejamos.

Ten en cuenta

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, es conveniente sustituir las soluciones en el sistema inicial como prueba de que los pasos dados son correctos.

 MAT-TIC 

Entra en smSaviadigital.com y resuelve sistemas por sustitución.

ACTIVIDADES

2. Opera y resuelve cada uno de los sistemas siguientes por el método de sustitución.

 Pista Opera primero las ecuaciones para simplificar el sistema a la forma ax+by=e cx+dy=f ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . a) 2(x+y)+3(xy)=9 4(2xy)−5(x−2y)=12 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪   b) x+1 4 − y+2 2 =1 x+2 5 − y−1 3 =2 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 16. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

linea-les por el método de sustitución. a) x−3y=9 4x−3y=18

{

d) ⎨⎧⎪xy2yx==05 ⎩⎪ b) 5x+y=4 9x−8y=17

{

e) ⎨⎧⎪9xx+24yy==1351 ⎩⎪ c) 4x−5y=−10 6x+y=2

{

f) 2x−3y=1 4x−5y=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

(6)

 MAT-TIC 

Entra en smSaviadigital.com y resuelve sistemas por igualación.

ACTIVIDADES

19. Resuelve por igualación los siguientes sistemas de dos formas, primero despejando x y luego despejando y. a) 7x+2y=3

5x−2y=9

{

b) 8x−4y=4

6x−5y=4

{

18. Resuelve los siguientes sistemas por igualación. a) x+2y=6 x−2y=2

{

c) 7x−2y=32 2x−7y=−23

{

b) x+y=7 5x−2y=7

{

d) 8x−2y=5 6x−5y=2

{

Ejemplo Resuelve por igualación el sistema de ecuaciones

{

25xx+45yy==234. 1.º Elegimos una de las dos incógnitas, por ejemplo la x, y se despeja de las dos

ecuaciones: 5x−4y=23 2x+5y=−4

{

{

25xx==234+45yyx= 23+4y 5 x=−4−5y 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

2.º Dado que las ecuaciones obtenidas tienen igual el primer miembro, igualamos los segundos miembros:

23+4y 5 =

−4−5y 2

3.º Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida y obtenemos el valor de y: 23+4y 5 = −4−5y 2 ⇒ 2(23+4y) 10 = 5(−4−5y) 10 ⇒2(23+4y)=5(−4−5y)⇒ ⇒46+8y=−20−25y⇒33y=−66⇒y=−66 33 =−2

4.º Sustituimos el valor de y obtenido en una de las dos ecuaciones despejadas

para obtener el valor de x: x=23+4y 5 = 23+4⋅(−2) 5 = 23−8 5 = 15 5 =3

La solución del sistema es (x=3, y=−2)⇒

{

2533+−45((2)2)==615+108==234.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación se dan los siguientes pasos:

1.º Se elige una de las dos incógnitas y se despeja en las dos ecuaciones. 2.º Se igualan los términos obtenidos.

3.º Se resuelve la ecuación que queda para obtener el valor de la incógnita. 4.º Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas y se

ob-tiene el valor de la otra incógnita.

6

Resolución de sistemas por igualación

Ten en cuenta

El método de igualación resulta prác-tico cuando ninguna de las incógnitas tiene como coeficiente 1 o −1.

(7)

Resolución de sistemas por reducción

7

El método de reducción consiste en transformar un sistema en otro equiva-lente, de modo que en alguna de las dos ecuaciones aparezca solo una incógni-ta. Para aplicarlo se siguen los siguientes pasos:

1.º Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para igualar el coeficiente de una de las dos incógnitas.

2.º Sumando o restando las ecuaciones obtenidas, se elimina la incógnita con coeficientes iguales.

3.º Si el sistema es compatible determinado se obtiene el valor de una incógnita. 4.º Se sustituye el valor de la incógnita obtenido en una de las dos ecuaciones

iniciales del sistema, para calcular el valor de la otra incógnita.

Cuando en una de las ecuaciones aparece solo una incógnita, el sistema se puede resolver de forma sencilla, calculando el valor de esta incógnita y sustituyéndolo en la otra ecuación.

Ejemplo Resuelve 3x−5y=11 2y=−2

{

.

1.º Resolvemos la segunda ecuación: 2y=−2⇒y=−2

2 =−1 2.º Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

3x−5⋅(−1)=11⇒3x+5=11⇒3x=11−5⇒3x=6⇒x=6

3=2 La solución del sistema es (x=2, y=−1).

Ejemplo Resuelve por reducción el sistema ecuaciones 5x−4y=22 −7x−6y=4

{

.

1.º Para eliminar la incógnita y, buscamos un número que sea múltiplo de ambos coeficientes. El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. Por tanto, multiplica-mos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por −2.

⋅ 3 ⋅(−2) 5x−4y=22 −7x−6y=4

{

15x−12y=66 14x+12y=−8

{

2.º Sumamos las ecuaciones para eliminar la incógnita y: 15x−12y=66 + 14x+12y=−8 29x =58 3.º Despejando obtenemos el valor de la incógnita x:

29x=58⇒x=58

29=2

4.º Sustituimos el valor de x obtenido en una de las dos ecuaciones para obtener el valor de la incógnita y:

5x−4y=22⇒5⋅2−4y=22⇒10−4y=22⇒ −4y=12⇒y= 12 −4=−3 La solución del sistema es (x=2, y=−3)⇒

{

572246⋅((3)3)==1014+12+=1822=4. smSaviadigital.com

 PRACTICA  Resuelve sistemas por reducción. Los receptores GPS indican la posición exacta de un cuerpo móvil en el espacio terrestre con ayuda de sistemas de ecuaciones, a partir de la distancia del cuerpo a 4 satélites.

(8)

Método de reducción doble

Al aplicar el método de reducción puede obtenerse un valor no entero para la prime-ra incógnita. En lugar de sustituirlo y tener que opeprime-rar con fprime-racciones, es más cómo-do volver a aplicar el métocómo-do de reducción, pero eliminancómo-do la otra incógnita. Este método se llama reducción doble.

Ejemplo Resuelve el sistema de ecuaciones

{

93xx+24yy==21. 1.º Eliminamos x: 3x−2y=2 9x+4y=1

{

{

99xx++64yy==16⇒10y=−5⇒y= −5 10= −1 2 2.º Eliminamos y: 3x−2y=2 9x+4y=1

{

6x−4y=4 9x+4y=1

{

⇒15x=5⇒x= 5 15= 1 3 La solución del sistema es x=1

3, y= −1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⇒ 3⋅1 3−2⋅ − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟=1+1=2 9⋅1 3+4⋅ − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟=3−2=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⋅ (−3) ⋅ 2

Ten en cuenta

El método de reducción doble se puede aplicar a cualquier sistema, no solo cuando se obtienen soluciones fraccionarias.

 MAT-TIC 

Entra en smSaviadigital.com y resuelve sistemas por reducción.

ACTIVIDADES

21. Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas. a) 3x−4y=5 −2x+3y=−3

{

c) 10x−7y=−4 15x+11y=37

{

b) 3x−4y=8 −2x+3y=5

{

d) 6x−25y=−1 8x−5y=27

{

23. Aplica el método de reducción para resolver cada sis-tema. Indica si no tienen solución, tienen infinitas so-luciones o solo una.

a) 3x−4y=5 −6x+8y=10

{

c) 2x−3y=6 10x−15y=25 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b) 3x−4y=5 −6x+8y=−10

{

d) 4x−5y=1 5x−4y=−1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

24. Resuelve los siguientes sistemas usando el método de reducción doble. a) 2x−3y=1 3x+5y=1

{

c) 12x−15y=−4 16x+10y=7

{

b) 3x−2y=−3 2x+4y=2

{

d) x−5y=−1 3x+7y=−2

{

3 . Resuelve los siguientes sistemas por los métodos de sustitución, igualación y reducción y comprueba que siempre se obtienen las mismas soluciones.

 Pista Opera primero, si es necesario, las ecuaciones para expresar el sistema de la forma ax+by=e

cx+dy=f ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . a) 2x+5y=1 3x−4y=13 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b) 4y=10−x yx=5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ c) x=2y+1 y=2x−3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 22. Halla las soluciones del siguiente sistema por el

mé-todo de reducción. a) 2x−4y=8 −3x+6y=5

{

b) x−2y=3 2x−4y=6

{

a) 1.º Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la se-gunda por 2: 2x−4y=8 −3x+6y=5

{

6x−12y=18 −6x+12y=10

{

2.º Sumamos las dos ecuaciones obteniendo la igualdad 0 = 28, que es falsa. El sistema no tiene solución. b) 1.º Multiplicamos la primera ecuación por −2:

x−2y=3 2x−4y=6

{

−2x+4y=−6 2x−4y=6

{

2.º Al sumar las dos ecuaciones, se obtiene la igual-dad 0 = 0, que es cierta. El sistema es tiene infini-tas soluciones.

⋅ 3 ⋅2

⋅ (−2) ACTIVIDAD RESUELTA

(9)

Problemas con sistemas de ecuaciones

8

Para resolver un problema usando un sistema de ecuaciones se siguen los si-guientes pasos:

1.º Comprender el problema: identificar los datos e incógnitas, buscar sus re-laciones, hacer una tabla, un esquema…

2.º Trazar un plan para resolverlo: plantear el sistema de ecuaciones corres-pondiente.

3.º Poner en práctica el plan: resolver el sistema de ecuaciones eligiendo mé-todo de resolución adecuado.

4.º Comprobar los resultados: comprobar si la solución tiene sentido en el contexto del problema e interpretar el resultado.

Ejemplo La suma de dos números es 157 y su diferencia es 41. ¿De qué números se trata?

1.º Identificamos los datos e incógnitas del problema:

Primer número: x Segundo número: y

2.º Traducimos las relaciones entre los datos en un sistema de ecuaciones: La primera ecuación la obtenemos de la suma de los números: x+y=157 La segunda ecuación se obtiene de la resta de los números: xy=41 El sistema que hay que resolver es: x+y=157

xy=41

{

3.º Resolvemos el sistema por el método de reducción: x+y=157 xy=41

{

{

xy==9958 4.º Comprobamos la solución: 99 + 58 = 157 y 99 − 58 = 41

Ejemplo La edad de Julita es el cuádruple de la de su hijo. Dentro de 20 años, la edad de Julita será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

1.º Identificamos los datos e incógnitas y los organizamos en una tabla: Ahora Dentro de 20 años Edad de Julita x x + 20 Edad de su hijo y y + 20

2.º Traducimos las relaciones entre los datos en un sistema de ecuaciones:

La edad de Julita es el cuádruple de la edad de su hijo: x=4y

Dentro de 20 años Julita tendrá el doble que su hijo: x+20=2(y+20) El sistema que hay que resolver es: x=4y

x+20=2(y+20)

{

{

xx=24yy=20 3.º Resolvemos el sistema por el método de sustitución: x=40

y=10

{

4.º Expresamos la solución en su contexto y la comprobamos:

Julita tiene 40 años, que es el cuádruple de la edad de su hijo, que tiene 10. Dentro de 20 años Julita tendrá 60 años, que será el doble de la edad que ten-drá su hijo, 30 años.

 MAT-TIC 

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(10)

Ejemplo Se mezclan dos tipos de suavizante para ropa. El primero cuesta 3 €/L, y el segundo cuesta solo 1,2 €/L. En total se tienen 10 L, que salen a 2,28 €/L. ¿Qué cantidad se ha usado de cada suavizante?

1.º Identificamos los datos e incógnitas y los organizamos en una tabla: Litros €/L Precio

Suavizante caro x 3 3x Suavizante barato y 1,2 1,2y

Mezcla 10 2,28 22,8

2.º Traducimos las relaciones entre los datos en un sistema de ecuaciones: Se mezclan dos tipos de suavizantes para obtener 10 kg: x+y=10

Se mezclan x kg del suavizante caro con y kg del suavizante barato: 3x+1,2y=22,8

El sistema que hay que resolver es x+y=10 3x+1,2y=22,8

{

.

3.º Resolvemos el sistema por el método de igualación: x+y=10 3x+1,2y=22,8

{

{

xy==64 4.º Expresamos la solución en su contexto y la comprobamos:

Se mezclan 6 kg del suavizante caro con 4 kg del suavizante barato, con un importe de 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 1,2 = 22,8 €.

ACTIVIDADES

4. Halla dos números cuya suma sea 47, y su diferencia, 7. 26. La suma de dos números es 14. Añadiendo 1 al mayor se

obtiene el doble del menor. ¿Cuáles son los dos números? 27. Hace dos años, la edad de Ana era la quinta parte de la

edad de su padre. Dentro de siete años, sus edades sumarán 58 años. Calcula sus edades actuales.

28. Tengo monedas en dos huchas. En total tengo 24 mo-nedas. Si paso 5 monedas de una hucha a otra, tendré las mismas en ambas huchas. ¿Cuántas monedas hay en cada hucha?

5. Entre Jesús y Mari Sol tienen 28 €. Si Mari Sol le diera 2 € a Jesús, ambos tendrían el mismo dinero. ¿Cuánto tiene cada uno?

6. Raquel ha gastado 2,20 € en sellos de 2 cent y 50 cent. Si en total ha comprado 14 sellos, ¿cuántos son de 2 cent y cuántos de 50 cent?

29. En una churrería venden churros y porras. Miguel ha comprado 15 churros y 12 porras, por los que ha paga-do en total 6,60 €. Después ha recordapaga-do que hoy ve-nían algunos invitados, y ha comprado 5 churros y 7 porras más, que le han costado 3,10 €. Calcula el pre-cio de un churro y el de una porra.

30. Un vendedor mezcla dos variedades de café. El kilo de la primera variedad cuesta 3,6 € y el kilo de la segun-da cuesta la mitad. Quiere preparar en total 20 kg de mezcla y que le salga a 2,43 €/kg. ¿Qué cantidad debe poner de cada variedad?

32. Los habitantes del planeta X tienen seis ojos, tres en cada cabeza. Los habitantes del planeta Y solo tienen cuatro ojos y una cabeza. En una convención entre habi-tantes de ambos planetas pudimos contar 34 cabezas y 114 ojos. ¿Cuántos habitantes había de cada planeta?

(11)

Organiza tus ideas

EcuacionEs con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de primer grado de la forma ax + by = c.

Los números a y b son los coeficientes de la ecuación, x e y son las incógnitas y c el término independiente. Tiene infini-tas soluciones.

sistEmas dE EcuacionEs linEalEs

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de la forma:

ax

+

by

=

e

cx

+

dy

=

f

⎨ ⎩

Un par de números son solución de un sistema cuando verifican las dos ecuaciones a la vez. (x = 45, y = 12) es solución de x+y=57

xy=33

{

, ya que 45+12=57 45−12=33

{

.

sistEmas dE EcuacionEs linEalEs EquivalEntEs

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se pueden obtener sistemas de ecua-ciones equivalentes:

Cambiando el orden de las dos ecuaciones.

Sumando o restando un número a una de las dos ecuaciones.

Multiplicando o dividiendo una de las dos ecuaciones por un número no nulo.

Cambiando una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.

solución gráfica dE un sistEma

se cortan en un punto las rectas coinciden las rectas son paralelas

O Y X � � A (�, −�) O Y X 1 1 O Y X 1 1 El sistema tiene una única solución. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema no tiene solución.

Método de sustitución 1.º Se despeja una incógnita en una ecuación.

2.º Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación. 3.º Se resuelve la ecuación obtenida.

4.º Sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuacio-nes, se calcula el valor de la otra incógnita.

Método de igualación

1.º Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. 2.º Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones

obtenidas.

3.º Se resuelve la ecuación obtenida.

4.º Sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuacio-nes, se calcula el valor de la otra incógnita.

Método de reducción

1.º Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para igualar el coeficiente de una de las dos incógnitas. 2.º Sumando o restando las ecuaciones obtenidas, desaparece una de las incógnitas.

3.º Se resuelve la ecuación.

(12)

Actividades

EJERCICIOS PARA PRACTICAR Ecuaciones con dos incógnitas

33. Halla el valor de la incógnita que falta en las siguientes ecuaciones.

a) 3x+y=7, si x= 4 c) 6x−7y=13, si x= 1 b) x−8y=3, si x= 5 d) 4x+7y=5, si x=−2

3 34. Completa en tu cuaderno la tabla correspondiente a

cada una de las siguientes ecuaciones. a) 3x+2y=5 x 1 −1 3 2 ● ● y ● ● −24 2 b) 2x−3y=−2 x 1 ● 2 5 ● ● y ● 0 2 ● 2 −2 c) x 2+y=6 x0 2 820 y 8 ● ● ● 0

35. Construye la tabla de valores correspondiente a cada ecuación.

a) −3x+y=6 b) 5x−y=0 c) 2x+2y=8 d) x+2y=1 e) x−1

2y=4 f) 5x−4y=9

37. Representa gráficamente las soluciones de las siguien-tes ecuaciones y encuentra dos soluciones con valores enteros de cada una de ellas.

a) 4x+y=3 c) 2x+3y=5 b) 3x−y=−3 d) 5x−4y=9 Sistemas de ecuaciones lineales

38. Indica cuáles de los siguientes sistemas son sistemas de ecuaciones lineales. a) 2xy+5y=14 x−4xy=25

{

b) y−9x=11 7y+3x=4

{

c)

{

2xx+85y=14=8 39. Indica las incógnitas, los coeficientes y los términos

independientes de los sistemas de ecuaciones: a) −5x+3y=−11 4x−3y=10

{

b) 2x+ 6 7y=13 x 3−y=−9 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ c) y 4=3 3x=6−y 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

40. Comprueba si los siguientes pares de valores son solu-ción del sistema de ecuaciones ⎧⎨2x−4x−8y+y==47

⎩ .

a) (x=4,y=0) c) (x=−2,y=−1) b) (x=2,y=0) d) (x=6,y=1)

41. Copia y completa en tu cuaderno el sistema −2x−9y

3x−5y

{

, de forma que la solución sea (x =−1, y = 1). Al sustituir la solución, deben cumplirse ambas ecuaciones:

−2⋅(−1)−9⋅1=2−9=−7 3⋅(−1)−5⋅1=−3−5=−8

{

El sistema es −2x−9y=−7 3x−5y=−8

{

ACTIVIDAD RESUELTA

42. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes siste-mas, de forma que la solución sea (x = 3, y =−2). a) 5x−2y=¥ 4x+y

{

b) x+4y=

¥

¥

x−3y=27 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

43. Encuentra un sistema de ecuaciones lineales equiva-lente a cada uno de los siguientes.

a) 12x+16y=20 −3x−6y=−9

{

c) 2x−3y=5 x=2y−1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b) 2x+y=2 −2x+y=−2

{

d) x+y 3=4 x y=9 ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪

7. A partir de la gráfica de 3x−2y=7, encuentra tres so-luciones con valores de x e y enteros. Comprueba que cumplen la ecuación.

Representamos la recta y buscamos las coordenadas de tres puntos pertenecientes a ella:

O Y X � � A (−�, −�) B (�, −�) C (�, �) Tenemos que A(−1,−5); B(1,−2); C(5, 4). Luego tres soluciones son:

(x=−1,y=−5); (x=1,y=−2); (x=5,y=4)

(13)

Actividades

44. Indica qué operaciones se han realizado en cada siste-ma de ecuaciones para obtener el sistesiste-ma equivalente. a) 12x−36y=12 3x−7y=5

{

{

6xx3y14y=1=10 b) 8x−5y=5 9x+4y=−4

{

⇒ 8x5 −y=1 17x−y=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

Resolución gráfica de sistemas

45. Escribe la solución de los siguientes sistemas de ecua-ciones. a)   O Y X 1 1 c) O Y X 2 2 b)   O Y X 1 1 d) O Y X 2 2

46. Indica de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones.  Pista Fíjate en qué puntos se cortan las rectas.

a)   O Y X 2 2 c) O Y X 1 1 b)   O Y X 1 1 d) O Y X 1 1

8. Al resolver un sistema gráficamente se han obtenido las siguientes tablas de valores. ¿Cuál es la solución?

y=3x−7 x −1 0 1 2 3 4 y −10 −7 −4 −1 2 5

y=−2x+8 x −1 0 1 2 3 4

y 10 8 6 4 2 0

47. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecua-ciones. a) 2x+y=7 xy=5

{

c) x+2y=3 xy=−3

{

b) x+y=3 x+2y=9

{

d) 2x−3y=0 xy=1

{

49. Encuentra la solución de los siguientes sistemas y com-pruébala gráficamente. a) x=−3 x+y=0

{

c) 2x=6 −x+3y=3

{

b) y=4 −3x+y=−2

{

d) x=1 y=−3

{

50. Resuelve gráficamente el sistema 2x=6 3y=−12

{

. ¿Cómo

son las rectas que aparecen? Método de sustitución

51. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución. Ejemplo 3x+y=6 x+3y=−6

{

y=6−3x x+3y=−6

{

x+3(6−3x)=−6⇒x+18−9x=−6⇒ ⇒ −8x=−6−18⇒ −8x=−24⇒x=−24 −8 =3;y=−3 Luego la solución es (x=3, y=−3). a) xy=4 3x−y=7

{

e) 2x+4y=10 x−2y=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ b) x−4y=5 2x−8y=6

{

f) 2xy=4 5x+3y=−1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ c) 3x−y=19 2x+7y=5

{

g) x−6y=0 5x−7y=0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ d) −10x+3y=−2 4x−y=8

{

h) 2x+y=5 4x−2y=14 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 9. Resuelve el sistema x+y=6 3x=12 ⎧ ⎨ ⎪

⎩⎪ y comprueba las

solu-ciones gráficamente. x+y=6

3x=12

{

{

xy==4x+6⇒

{

xy==4x+6⇒

{

yx==42

Dibujamos las gráficas de las dos ecuaciones.

O Y X � � P(�, �) x = � y = −x + � Luego la solución es (x=4, y=2). ACTIVIDAD RESUELTA

(14)

52. Resuelve por el método de sustitución los sistemas si-guientes. a) 6x−5y=7 −3x+2y=6

{

d) −8x+5y=−2 6x−7y=8

{

b) 3x−2y=1 −4x+2y=2

{

e) 4x−3y=9 −2x+6y=6

{

c) 3x−5y=−1 −2x+2y=5

{

f) 2x−4y=7 −3x+5y=6

{

Comprueba gráficamente, las soluciones de los sistemas con valores de x e y enteros.

53. Utiliza el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

i) 2x−4y=8 −3x+6y=5

{

ii) x−2y=3

2x−4y=6

{

Comprueba los resultados resolviéndolos de manera gráfica. Método de igualación

54. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de igualación. Ejemplo 3x+y=6 2x+3y=−3

{

y=6−3x y=−3−2x 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒6−3x=−3−2x 3 ⇒3(6−3x)=−3−2x⇒ ⇒18−9x=−3−2x⇒ −9x+2x=−3−18⇒ −7x=−21⇒ ⇒x=−21−7 =3;y=6−3⋅3=−3 Luego la solución es (x=3, y=−3). a) x+y=4 −2x+y=1

{

d) −x+5y=4 x−7y=−2

{

b) x−7y=9 x−6y=1

{

e) 2x+5y=12 4x−3y=−2

{

c) 6x−y=7 4x+y=3

{

f) 4x−3y=0 5x+3y=27

{

55. Utiliza el método de igualación para resolver estos sis-temas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. a) 2x−3y=1 3x−4y=3

{

d) 5x+3y=1 6x+4y=7

{

b) 4x−5y=2 5x−6y=−4

{

e) −3x+6y=−2 4x−7y=−1

{

c) 3x+5y=3 6x+11y=−6

{

f) 8x+15y=10 6x+12y=11

{

Comprueba gráficamente las soluciones de los sistemas

Método de reducción

56. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de reducción. Ejemplo 3x+4y=2 7x−6y=20

{

3x+4y=2 ⎯ →⋅3 7x−6y=20 ⎯ →⋅2 ⎧ ⎨ ⎩ 9x+12y=6 14x−12y=40

{

→+

{

14x9x+12y12y==640 23x =46 x=46 23 =2⇒3⋅2+4y=2⇒y= −4 4 =−1 a) xy=4 3x−y=7

{

d) 3x−4y=5 3y−4x=−2

{

b) 4x−7y=5 4x−6y=6

{

e) 4x−3y=8 5x+8y=10

{

c) 3x−5y=7 yx=3

{

f) 7x−9y=0 11x+12y=0

{

57. Resuelve, usando el método de reducción doble, los sistemas siguientes. a) 5x−4y=1 3x−2y=2

{

c) 3x+3y=4 8x−11y=17

{

b) 7x−5y=2 5x−3y=3

{

d) 2x+3y=20 6x+4y=7

{

Comprueba gráficamente las soluciones de los sistemas con valores de x e y enteros.

Actividades de síntesis

59. Escribe un sistema de ecuaciones cuya única solución sea (x=4,y=−7).

62. Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones por el método de sustitución, igualación y reducción.

a) xy=1 x+6y=8

{

b) 4x−5y=2

4x−6y=5

{

63. Simplifica y resuelve los siguientes sistemas de ecua-ciones por el método que crees que es más adecuado. a) 2x3−5−3y3−4=−13 y=x+5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ d) 3(5x−2)−7(2y+3)=2 2(3x−y)−23=3(4−9x)

{

b) 2x−15=3(y+2) 7(x−4)=−1−5y

{

e) 3x−7 4 − 2y+1 6 =0 x+2 5 − 5y+4 3 =−2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ c)

{

4(2x2(x+y)2)7y7(2y=+18x)=−36

(15)

Actividades

11. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 9. Halla dichos números.

64. Dos números suman 102 y el primero es 36 unidades menor que el segundo. Encuentra ambos números. 66. La suma de dos números es 385. Si a la tercera parte

del número mayor le sumamos el triple del número me-nor, el resultado obtenido es 131. ¿De qué números es-tamos hablando?

67. El cajero de un supermercado cuenta los billetes que hay en la caja al final del día.

Cuando termina de contar los billetes de 20 € y de 50 €, tiene un total de 55 billetes que suman 1430 €. ¿Cuántos billetes de cada tipo hay en la caja?

12. Juan ha comprado 10 botellas de leche y 5 botes de zumo y ha pagado 8,5 €. Si el precio de la leche es el doble que el precio del zumo, calcula los precios de la botella de leche y del bote de zumo.

73. Hace 3 años, David tenía la cuarta parte de la edad de su madre. El año que viene, la edad de la madre será el triple de la de David. Halla sus edades actuales. 1.º Organizamos los datos en una tabla:

Hace 3

años ahora de 1 añodentro Edad de david x −3 x x + 1 Edad de su madre y −3 y y + 1 2º. Traducimos las relaciones entre los datos en un

siste-ma de ecuaciones:

La primera ecuación utiliza las edades que tenían hace tres años:

x−3= 1

4(y−3), ⇒4(x−3)=y−3.

En la segunda aparecen las edades que tendrán den-tro de un año:

y+1=3(x+1) El sistema que hay que resolver es:

4(x−3)=y−3 y+1=3(x+1)

{

3º. Resolvemos el sistema por el método de igualación: 4x−12=y−3

y+1=3x+3

{

{

4xy=3x9=+2y

⇒4x−9=3x+2⇒x=11⇒ ⇒y=4⋅11−9=35

La solución del sistema es (x=11, y=35). PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PARA RESOLVER 68. Teniendo en cuenta que una garrafa de aceite equivale a cinco botellas y que tres garrafas y siete botellas de aceite suman 11 L, ¿qué capacidad tiene cada garrafa y botella de aceite?

70. En la juguetería hay una exposición de bicicletas y tri-ciclos. En total hay 45 vehículos, que suman 107 rue-das. ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?

13. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 56 ani-males y 160 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay?

 Pista Una gallina tiene 2 patas y un conejo 4, pero tanto las gallinas como los conejos solo tienen una cabeza cada uno.

10. Dos números suman 51. Si restamos la tercera parte del primero menos la sexta parte del segundo, el resul-tado obtenido es 1. Halla los dos números.

Planteamos primero el sistema:

Dos números suman 51: x+y= 51

Si restamos la tercera parte del primero menos la sexta parte del segundo, el resultado es 1: x

3−

y

6=1

Resolvemos el sistema por el método de sustitución, para ello primero quitamos denominadores en la segunda ecuación multiplicando por 6 ambos miembros:

x+y=51 x 3− y 6=1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒

{

2xx+yy==516

{

2xx=51y=y6⇒2(51−y)−y=6 102−2y−y=6⇒ −3y=−96⇒y=−96−3 =32⇒x=19 La solución es (x=19,y=32). PROBLEMA RESUELTO

(16)

77. Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden, el número resultante es 45 unidades menor. ¿De qué número se trata?

Si la cifra de las decenas es x y la de las unidades es y, el número es 10x+y. Si se invierte el orden, el número re-sultante es 10y−x.

La primera ecuación del sistema es x+y=9 y la segunda es (10x+y)−(10y−x)=45⇒9x−9y=45⇒xy=5. Por tanto: x+y=9

xy=5

{

⇒(x=7,y=2)

El número pedido era el 72. Al invertir el orden de las ci-fras se obtiene 27, que es 45 unidades menor.

PROBLEMA RESUELTO

79. Un móvil y una tableta cuestan 500 €. Una empresa de telefonía ofrece el móvil al 50 %, y además te da un descuento del 15  % en la tableta. Con esa oferta, el precio se queda en 320 €. ¿Cuál era el precio inicial de cada artículo?

Si el móvil costaba x y se rebaja el 50 %, se paga el 50 % de x, es decir, 0,5x.

Con la rebaja, se paga solo el 100 % − 15 % = 85 % del precio de la tableta, que es y, es decir, 0,85y.

Se plantea el sistema:

x+y=500 0,5x+0,85y=320

{

Se resuelve por reducción. x+y=500 0,5x+0,85y=320

{

−0,5x−0,5y=−250 0,5x+0,85y=320

{

0,35y=70⇒y= 70 0,35=200⇒x=300

El móvil costaba 300 €, y la tableta costaba 200 €.

⋅ (−0,5) PROBLEMA RESUELTO

14. La edad de un padre es hoy triple de la del hijo. Dentro de 14 años solo será el doble de la que entonces tenga su hijo. ¿Qué edad tiene ahora cada uno de ellos? 15. Hace tres años la edad de un padre era el cuádruple de

la de su hijo. Dentro de 2 años, la edad que tenga el padre será el triple de la del hijo. ¿Qué edad tiene ahora cada uno?

74. Hace cuatro años, la edad de un padre y su hija suma-ban 46 años. Dentro de tres años, sumarán 60 años. a) Plantea un sistema usando esos datos. ¿Hay suficientes

datos para resolver el problema?

b) Resuelve el problema, sabiendo además que el padre tiene 36 años más que la hija.

16. La edad de Juan Pablo es el doble que la de su hermana Celina y entre los dos suman 24 años. Su padre tiene 25 años más que Juan Pablo, y su madre, 5 veces la edad de Celina. Halla la edad de los padres de Celina y Juan Pablo.

 Pista Calcula primero las edades de Celina y Juan Pablo.

17. En una fiesta hay doble número de chicos que de chicas. Si se van 3 chicos y entran 5 chicas, entonces el número de chicos y chicas es el mismo. ¿Cuántas personas había al principio en la fiesta?

 Pista Las incógnitas son el número de chicas y chicos que había al principio.

75. En un concurso canino el número de perros hembra su-pera en 25 al de machos. Son descalificados 10 machos y 10 hembras, y queda exactamente el doble de hem-bras que de machos. ¿Cuántos perros de cada sexo ha-bía al comenzar el concurso?

19. A Elia le han regalado un ramo de margaritas y rosas. El número de rosas es 6 unidades menor que el de margaritas. Pasados 4 días se marchitaron 3 rosas y entonces el número de margaritas era doble que el de rosas. ¿Cuántas flores quedaron en el ramo después de 4 días?

20. En un instituto se va a hacer una excursión de fin de semana. Cada uno de los alumnos que va debe pagar 20 €, pero si fueran 10 alumnos más, pagarían 15 €. ¿Cuántos alumnos van a la excursión? ¿Cuánto cuesta realizarla?

18. La suma de las dos cifras de un número es 10. Si las invertimos y restamos al nuevo número el anterior la diferencia es 36. ¿De qué número se trata?

80. Por una camisa y una falda hay que pagar 92 €. La falda tiene una rebaja del 10 % y la camisa tiene una rebaja del 25 %, por lo que el precio final se queda en 79,8 €. Calcula el precio inicial de la camisa y de la falda. Encuentra el error

84. Dos amigos que pasean por el zoo mantienen la si-guiente conversación.

— Mira, ahí hay unas grullas, y detrás de ellas hay unas cuantas cebras.

— ¿Cuántas?

— Así, a simple vista, yo diría que hay 37 cabezas y 87 patas.

— Si todos los animales están sanos, creo que tienes que ir al oculista…

(17)

Ponte a prueba

Las cuentas de Clara

Clara ha ido al supermercado a comprar bebidas. Se ha llevado 18 latas de refresco de naranja y 7 latas de refresco de limón.

Más tarde, se ha dado cuenta de que no tenía suficientes bebidas, y ha vuelto a comprar 15 latas de naranja y 14 latas de limón.

Cuando ha llegado a casa, su padre le ha preguntado el precio de cada lata, pero Clara no lo recordaba.

Por suerte, ha apuntado lo que ha gastado cada vez:

La primera compra le costó 10,14 €.

Por la segunda compra pagó 11,88 €.

1. Su padre le dice que puede resolver este problema sin usar ecuacio-nes. ¿Qué pasos seguirías?

2. ¿Es posible que las dos bebidas cuesten lo mismo?

3 . Clara le dice que lo que ha hecho es resolver un sistema de ecuaciones. ¿Qué sistema es y qué método ha utilizado? Claudia, Enrique y Ruth están jugando a las cartas a un juego en el que

se reparte toda la baraja. Las cartas van pasando de un jugador a otro, y gana el jugador que consigue quedarse con menos cartas.

Al principio de la partida, Claudia y Enrique tenían las mismas cartas, pero menos cartas que Ruth, que empezó el primer turno. Después de un rato, Ruth tiene 6 cartas menos que al empezar la partida, Enrique tiene 15 cartas más y Claudia tiene 8 cartas.

¿Es posible saber con cuántas cartas empezó cada uno?

Si al final de la partida Ruth tiene al menos una carta, ¿cuántas cartas tiene la baraja, como mínimo?

A. 38    B. 39    C. 40    D. 41    E. 42 SOLUCIÓN

Llamamos x a las cartas de Claudia, que son las mismas que las de Enrique, e y a las cartas de Ruth. al principio de la partida después de un rato

Claudia x 8

Enrique x x + 15

Ruth y y− 6

Como en total las cartas que hay después tienen que ser las mismas que había al principio, se tiene que: x+x+y=8+(x+15)+(y−6)

Resolviendo la ecuación se obtiene:

x+x+y=8+(x+15)+(y−6)⇒2x+y=x+y+17⇒x=17

Claudia y Enrique empezaron con 17 cartas, pero no se puede saber cuántas tenía Ruth.

Si al final tenía al menos una y tiene 6 menos que al principio, como mínimo empezó con 7 cartas. Entre los tres tenían al menos 17 + 17 + 7 = 41 cartas. La respuesta correcta es la D.

Juegos de cartas

PROBLEMA RESUELTO

(18)

En el laboratorio

En un laboratorio están realizando dos tipos de experimentos, mezclando diferentes líquidos con porcentajes de alcohol distintos.

Experimento A

El líquido de la primera probeta contiene un 32 % de alco-hol y el de la segunda probeta un 65 %.

Quieren mezclarlos de manera que en la tercera probeta se consiga que haya una mezcla de 390 ml con el 51 % de al-cohol.

¿Cuántos litros del líquido de la segunda probeta son nece-sarios?

Experimento B

El líquido de la primera probeta contiene un 49 % de alcohol y el de la segunda probeta un 80 %.

Quieren mezclarlos de manera que en la tercera probeta se con-siga que haya una mezcla de 600 mL con el 61 % de alcohol. ¿Cuántos litros del líquido de la primera probeta son necesa-rios?

1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 2xy=1 −3x+y=4

{

b) x+5y=2 2x+3y=−3

{

2. Indica el número de soluciones que tiene cada sistema de ecuaciones. a) 6x−4y=8 9x+6y=−12

{

b) 3xy=7 y=5

{

3. Resuelve los siguientes sistemas usando el método que prefieras.

a)

{

56xx3yy==169 b) 4x+2y=−3 −3x+6y=5

{

4. Simplifica y resuelve el siguiente sistema. 3x+2 4 − 3y+4 6 = −8 3 4y−5x=18 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪

5. Jorge ha comprado varios libros y cuadernos para este curso. En total ha comprado 20 artículos y se ha gastado 256 €. Sabiendo que un libro cuesta 20 € y un cuaderno cuesta 4 €, calcula cuántos cuadernos y cuántos libros ha comprado.

6. La suma de dos números es igual a 145. Si al primer número se le resta el doble del segundo, el resultado obtenido es 10. ¿Cuáles son los dos números?

7. Hace dos años, la tortuga de Estela tenía cuatro veces la edad de su dueño y dentro de cuatro años Estela tendrá la tercera parte de la edad de su tortuga. ¿Cuá-les son las edades actua¿Cuá-les de Estela y su tortuga? 8. Un químico dispone de dos garrafas

de ácido, una con una concentración del 5 % y otra con una concentración del 30 %. ¿Qué cantidad habrá que poner de cada garrafa para conseguir un litro de mezcla con una concentra-ción del 10 %?

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