Flujo
a superficie libre sobre curvas verticales cóncavas
Gilberto Sotelo-Ávila
Universidad Nacional Autónoma de México
Sotelo y Escalante (2001) presentaron una generalización de las ecuaciones del flujo curvilíneo para emplearse en canales de cualquier forma de sección. Posteriormente, Escalante y Sotelo (2001) valuaron e incluyeron el término de resistencia al flujo en las ecuaciones generales. Además, Sotelo y Escalante (2002) calcularon los términos dependientes y establecieron las ecuaciones particulares para los canales de sección trapecial, rectangular y triangular. Por otra parte, diversos autores han analizado teórica y experimentalmente la distribución de la presión en el fondo y a lo largo del flujo sobre curvas verticales cóncavas en canales rectangulares. El propósito de este artículo es comparar estos resultados con los que se obtienen del modelo de flujo curvilíneo propuesto y previamente publicado por Sotelo y Escalante (2007).
Palabras clave: curva vertical cóncava, canal de fondo cóncavo, cubetas de lanzamiento.
Antecedentes
El perfil del fondo de un canal se diseña de modo que se ajuste a las condiciones topográficas y geológicas del terreno mediante tramos rectos de distinta pendiente unidos por curvas verticales, cóncavas o convexas. El diseño también puede satisfacer la necesidad de lograr cambios adecuados en la dirección del flujo sobre planos verticales, como ocurre en las curvas cóncavas circulares (de curvatura constante), comúnmente empleadas al pie de un cimacio o como cubetas de lanzamiento, y también en las convexas que sirven de transición entre una pendiente subcrítica y otra supercrítica. En cualquier caso, el fondo curvo obliga a que las líneas de corriente adquieran curvatura apreciable y a que haya una aceleración normal, Io cual modifica la distribución de la presión y la aparta de la hidrostática que habría en cada sección si el flujo fuese sobre un fondo plano.
La distribución de la presión en flujos sobre curvas cóncavas circulares ha sido el problema que más autores han analizado; en cambio, la información disponible sobre curvas convexas es muy escasa, excepto en los cimacios, que son curvas convexas y de curvatura variable, con un propósito distinto a los que se han mencionado y para las que existe mayor información.
Varios autores han obtenido soluciones analíticas para el flujo ideal permanente en curvas circulares cóncavas al pie de un cimacio, suponiendo que la energía potencial es despreciable. Entre ellos se pueden mencionar a Douma y Balloffet quienes usaron una aproximación de vórtice libre; a Henderson y Tierney y también a Dobson quienes utilizaron soluciones con esquemas de diferencias finitas para las ecuaciones del flujo potencial.
Lenau y Cassidy (1969) propusieron un método analítico sencillo basado en la existencia de un flujo bidimensional no viscoso e irrotacional en una curva circular cóncava al pie de un cimacio. En su extremo final, el chorro se lanza con un ángulo de despegue distinto al que hay en la entrada de la curva. En este análisis, los autores también omitieron la acción de la gravedad y obtuvieron que las variables que conducen al cálculo de la presión en el fondo de la curva dependen de su geometría y son función del tirante, de la energía al inicio y del gasto unitario.
por los autores para el caso específico de curvas circulares cóncavas.
Ecuaciones particulares
Las ecuaciones para el canal rectangular obtenidas del modelo de
flujo
desarrollado se ajustan alos
casos particulares estudiados por otros autores. Considerandomuestran en la ilustración se analizan las condiciones en una sección cualquiera a partir de las que existen antes de la inicial.
En la sección inicial O del canal rectangular existe la misma distribución uniforme de la velocidad que posee el flujo rectilíneo antes de ella, y la energía total H se obtiene de la expresión convencional
donde q es el caudal por unidad de ancho y el tirante en la sección inicial. En cualquier otra sección localizada por el ángulo de inclinación la energía total se expresa mediante la ecuación del artículo de Sotelo y Escalante un flujo irrotacional en curvas cóncavas, como las que se (2001
donde:
z
distancia vertical del fondo de la sección desde un nivel de referencia, end distancia ortogonal al fondo de la sección y desde este hasta la superficie libre, en m.
Q gasto total en el canal, en
m3/s.
g aceleración de gravedad, en m/s2.I, es la integral determinada por la ecuación del artículo de Sotelo y Escalante según la ecuación:
(donde b es el ancho del canal). El gasto unitario está dado por la expresión:
Sin considerar la perdida por fricción, las dos energías en las secciones antes mencionadas deben ser iguales; es decir, se cumple que:
De la geometría de la curva,
cos
e
r la ecuación se convierte en la expresión:
Se introducen los parámetros:
En esta ecuación, varía según la ubicación de la sección donde se desea calcular el tirante, pero depende finalmente de la geometría de la curva. Por ejemplo, una sección de mucho interés es a la mitad de la curva, como se muestra en la ilustración porque en ella se produce el valor máximo de la presión en el fondo; en este caso,
sería igual a y El término es el
Único que depende del tirante den la sección y es posible calcularlo mediante iteraciones a partir de los valores conocidos de y de la sección inicial. Una vez que se conoce el tirante d se calcula con la ecuación
La ilustración muestra la representación gráfica del primer término de la ecuación La curva tiene un mínimo para y (base de los logaritmos naturales). El
segundo término de la ecuación se representa en la ilustración mediante una línea recta de pendiente y ordenada al origen de manera que la raíz de la ecuación depende de los valores que adquieran y
La carga de presión en el fondo de cualquier sección se obtiene con la ecuación del artículo de Sotelo y Escalante donde se sustituyen las expresiones y la ecuación de continuidad Q=uo I,, de modo que se convierte en:
donde es el número de Froude en la sección 0, y la ecuación se convierte en:
AI multiplicar esta expresión por reagrupar términos y despejar, se obtiene:
Uno de
los
términos de la ecuación anterior se desarrolla como sigue:Y
Con las variables que se definen a continuación:
incluir el efecto de gravedad equivale a que Ch=0, o bien, a que y con ello, que Cp=Cc. Sin embargo, esto no es una limitación, ya que Ch se puede agregar a posteriori, calculando d y la presión en el fondo de cualquier sección radial en la curva mediante las ecuaciones y o
Por otra parte, eliminar la acción de la gravedad implica también despreciar el cambio de energía potencial y, a su vez, que se cumpla cos cos en la ecuación Según las ecuaciones y esto equivale a:
es decir, lavelocidad ud en cualquier punto de la superficie libre dentro de la curva se mantiene constante e igual a la velocidad Vo en la sección inicial. También, de la ecuación anterior y la se tiene:
representada a través del coeficiente de presión Cp en la
forma siguiente: Con y (ilustración la ecuación
se convierte
o bien: o bien en:
Ch (1
donde chy Cc son
los
coeficientes de presión hidrostáticay de presión centrífuga, respectivamente, definidos por las ecuaciones siguientes:
a
donde sólo depende de a y la raíz debe quedar en el intervalo: es decir, hay solución sólo si a= e, donde es la base de los logaritmos naturales. Además, de las ecuaciones y se tiene también que y Por tanto, la ecuación se convierte en:
. /
Las ecuaciones y expresan que tanto d como el coeficiente
Cc
son independientes de y desólo
dependen de a y son constantes en toda la curva.
Comparaciones
Con objeto de comparar
los
resultados del modelo de flujo con los obtenidos por otros autores, se resolvieronlas ecuaciones y haciendo y para
que las condiciones del flujo correspondieran a los resultados experimentales de Henderson y Tierney 963). AI considerar que la sección se ubica en se esta aceptando que en ella ocurre la presión centrífuga máxima. Las curvas mostradas en la ilustración corresponden al coeficiente de presión centrífuga obtenido para distintos valores de a y de La curva inferior representa el comportamiento del modelo de flujo cuando no se considera el efecto de gravedad, o sea, el cambio de energía potencial, cualesquiera que sean los valores de y Se observa que los resultados teóricos coinciden con los experimentales para y entre O y pero no ocurre lo mismo para valores
Por otra parte, se elaboró la ilustración con las mismas condiciones y resultados de la anterior y en ella se muestra que el cociente pc/ph crece con d1/do y también con ya, al grado que con la presión hidrostática es ya insignificante en comparación con la centrífuga, de modo similar a que ocurre cuando no Se considera el efecto de gravedad
Cuando no se incluye la acción de la gravedad en el análisis, la ecuación es valida, y en ella se sustituyen las ecuaciones y haciendo que Resulta así: R/do
Las ecuaciones y fueron obtenidas por Balloffet a partir de la teoría llamada por él del vórtice irrotacional, reportada también por Henderson y designada del vórtice libre.
En la ecuación para y el
término entre paréntesis en la ecuación está dado por 2 ; por tanto:
De la ecuación se deduce que el tirante d dentro de la curva es mayor que en el inicio, ya que el coeficiente de curvatura es Cuando
y
En ausencia de la gravedad, la ecuación resulta:
\
o bien, de la ecuación se tiene:
que también es:
Asimismo, la ecuación se simplifica a:
donde es el coeficiente de curvatura del fondo, que se calcula con la expresión:
o bien:
que es la solución aproximada obtenida por Douma (I 953) para la presión centrífuga.
experimentales que aparecen en la ilustración además de los resultados obtenidos con el modelo de flujo (curva para
Fo
y los de la ecuaciónEn la ilustración se observa que hay mejor coincidencia entre el modelo de flujo y la curva
Cubetas de lanzamiento
Antecedentes
Las cubetas de lanzamiento (ilustración 6) se utilizan para descargar libremente el caudal proveniente de una rápida hasta un sitio donde no produzca daños a otras estructuras, incluyendo la propia cubeta. También se usan para dispersar el flujo y evitar, en lo posible, erosiones en el fondo del cauce. Normalmente tienen la forma de una curva circular vertical, por lo cual
los
desarrollos presentados en las secciones anteriores son aplicables a ella, excepto que en el punto en que el chorro despega hay que satisfacer la condición de frontera de que ph=0. Se ha visto en la práctica que esta condición tiene un efecto reductor de la presión
en una distancia del orden de a veces el tirante, aguas arriba del punto de despegue. Los desarrollos mencionados se basan en que la presión sobre la superficie libre del agua en la curva es la atmosférica. Cuando el chorro queda sumergido por el nivel del agua en el canal de salida, la carga de presión en la línea de corriente inferior de la sección vertical de la cubeta no es la atmosférica, sino la que impone el nivel del agua en dicho canal, es decir, pa/gp=h2, por tanto la carga de presión en el fondo se obtiene de la ecuación pero se le suma el valor de
h2.
adimensionales y que permiten conocer la presión que el flujo ejerce a lo largo de la cubeta, según la simbología de la ilustración Para esto, los parámetros anteriores en la sección de despegue valen y por quedar el fondo en contacto con la atmósfera, Con estos valores se obtiene un punto en el eje horizontal de la ilustración que identifica la curva con la que se calcula el coeficiente adimensional para otros puntos; la posición de la curva está dada por:
Con el valor de correspondiente a cada sección y con la curva seleccionada se determina el valor
y como la presión centrífuga en el punto deseado se obtiene a partir de H , que es el desnivel entre la línea de energía y la sección donde finaliza la cubeta. La velocidad y el tirante en la sección inicial se pueden calcular de modo aproximado con las expresiones siguientes:
Y "
La presión centrífuga en el fondo aguas arriba de la cubeta deflectora se obtiene con ayuda de la ilustración al suponer diferentes valores de So y obtener los correspondientes as, y con ello se calculan los
valores de así como los de De esta
manera se obtiene la distancia s y la correspondiente presión centrífuga
Los resultados de Lenau y Cassidy (1969) cubrieron valores de entre y pero hay bastantes casos comunes donde excede de Posteriormente, Prasad (1984) extendió los resultados hasta y propuso ecuaciones más sencillas para límites todavía mayores. La ilustración muestra los resultados combinados de Lenau-Cassidy y de Prasad, que fueron corroborados con mediciones experimentales. Es interesante observar que la envolvente de todas las curvas de en la ilustración tiene por ecuación
que es el valor máximo, además de ser independiente de En otras palabras, cuando el valor máximo de la presión centrífuga desarrollada en una cubeta deflectora no depende del ángulo central de la curva y vale:
donde y do son la velocidad y tirante del flujo de aproximación a la curva, respectivamente. La ecuación anterior coincide con la atribuida a Douma la cual, como se ha demostrado, adquiere validez aun para valores de
La teoría de Lenau-Cassidy y Prasad es más completa que la desarrollada por Henderson y Tierney, ya que, además del valor máximo de la presión centrífuga, proporciona la variación que ella tiene antes y después de dicho máximo, e inclusive antes de la propia curva. El máximo se presenta para valores del parámetro y después se mantiene constante cuando
o bien decae cuando Sin embargo, ambas teorías tienen el defecto de no precisar el procedimiento para calcular el perfil del flujo a Io largo de la curva.
Resultados teóricos
La equivalencia de los parámetros de Lenau-Cassidy con los aquí utilizados se presenta a continuación. Para se tiene que:
La comparación de los resultados de Lenau y Cassidy (1969) con los de Henderson y Tierney (1963) se puede hacer sólo para
los
dos Únicos ángulos centrales que utilizaron los últimos: yPor tanto, se tendría que: para el primero y para el segundo, o bien
y para Eligiendo valores cerrados
del parámetro se leen
los
máximos depara cada curva y después se determina a qué valores de a corresponden. En efecto, el cuadro ilustra los cálculos realizados.
Conclusiones
La ilustración muestra los resultados que se presentan en el cuadro a los que se agregan los del modelo de flujo y los de la ecuación De la comparación de los valores máximos de
Cc
obtenidos se derivan las conclusiones siguientes:a) Los resultados con la teoría de Lenau-Cassidy, y de Henderson y Tierney son muy similares, al menos para los valores del ángulo con que es posible hacer la comparación.
b) Los resultados del modelo de flujo coinciden con
los
de
los
autores antes mencionados (paray con
los
de la ecuación para también destaca el hecho de que el modelo de flujo predice bastante bien los resultados cuando en la cubeta hay un ángulo de deflexión total y cuando 4; valores que, por otra parte, es muy común encontrarlos en la práctica.c) Se encuentra que el modelo de flujo produce mayores
errores cuando excepto si Sin
embargo, para el error es menor del
d) El modelo de flujo permite calcular el perfil del flujo a lo largo de la curva y, con este, el coeficiente de presión hidrostática Ch,
lo
cual no es posible con ninguna de las teorías existentes. Por ello, no se puede efectuar la Comparación del coeficiente de presión total según las distintas teorías, con el cual podría llegar a tenerse mayor coincidencia.condición de frontera definida por en la sección final de la estructura.
Recibido:
Aprobado: 21/05/2003
Referencias
BALLOFFET, A. Pressures on spillway flip buckets. Proceedings of the American Society of Civil Engineers. Journal of the Hydraulic Division. Vol. núm. HY5, septiembre, CAMARGO, J.C. y FRANCO, V. Análisis de diferentes aspectos
del diseño y funcionamiento hidráulico de las cubetas deflectoras. México: Instituto de Ingeniería, UNAM. Proyecto
junio, pp.
DOBSON, R.S. Some applications of a digital computer to hydraulic engineering problems. Stanford: Stanford University, Department of Civil Engineering. Reporte técnico
núm. pp.
DOUMA, J.H. Discussion on design of side walls in chutes and spillways. Transactions of the American Society of Civil Engineers. Vol. paper pp.
ESCALANTE, C.A. y SOTELO, G. Efecto resistivo en las ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo. Ingeniería hidráulica en México. Vol. XVI, núm. julio-septiembre, pp.
HENDERSON, F.M. Open channel flow. New York: The Macmillan Company,
HENDERSON, F.M. y TIERNEY, G. Flow at the toe of a Spillway: I-The open toe spillway: (con Tierney D.G.). The solid- toe spillway. La houille blanche. Vol. núm. noviembre,
LENAU, Ch. y CASSIDY, W. Flow through spillway flip bucket. Proceedings of the ASCE. Journal
of
the Hydraulics Division. Vol. núm. HY2, marzo,PRASAD, R.K. Pressure distribution on ski-jump buckets.
lrrigation a n d power. Nueva Delhi, julio,
SOTELO, G. y ESCALANTE, C.A. Ecuaciones generales del
flujo impermanente en canales de fondo curvo. Ingeniería
hidráulica en México. Vol. XVI, núm. abril-junio de
SOTELO, G. y ESCALANTE, C.A. Ecuaciones del flujo impermanente en canales trapeciales de fondo curvo.
Ingeniería hidráulica en México. Vol. XVI, núm. octubre- diciembre de pp.
pp.
Abstract
SOTELO-ÁVlLA, G. Free surface flow on concave vertical curves. Hydraulic engineering in México (in Spanish). Vol. XIX, no. July-September, pp.
Sotelo and Escalante showed a generalization of curvilinear flow equations to be used in channels of any cross section shape. They later evaluated and included the flow resistance term in the general equations. The same authors evaluated the dependent terms and establish the particular equations for trapezoidal, rectangular and triangular channels Many other authors have theoretically and experimentally analyzed, the pressure distribution at the bottom and along the flow on concave vertical curves in rectangular channels. This paper shows a comparison of the experimental results with the values obtained with the curvilinear flow model previously published.
Keywords: concave vertical curve, concave bed channel, flip buckets.
Dirección institucional del autor:
Dr. Gilberto Sotelo-Ávila
Universidad Nacional Autónoma de México, División de Ingeniería Civil, Topográfica y Geodésica, Facultad de Ingeniería,
Circuito Exterior, C.U., Mexico, D.F. México, Teléfono: (52) (55)
Fax:
