Notas sobre cálculo de población probable

N

otas

sobre calculo de

poblacion

probable

ING.

_FRA.NCIS�O

_MAI\DON¥

O.

Voy a _ocupanne ahora en un tema_queno he visto tratado antes:

_cpoblacron

probable

deunalocalidaden unfuturo

_proximo».

Este

_problema

Be

_presenta

amenudo en estudios

_�cos,

_{particularmente}

en

_{investigaciones}

de orden

_social,

econ6mieo o de otros aspectos de la

_ingenierfa;

y por 10 mismo que el cAlculo

correspondiente

se efectua con

_alsuna

frecuencia,

no han de

encontrarSe

en esta disertaci6n mllchas casas _{nuevas; pero} sf _expuestas de una maneranueva. Non nove,sed nove.

1.

_{Demograiicamente hablando,}

el desarrollo de la

poblaci6n

del

mundo,

desligado

como10

_est!,

deotros

_planetas

enqueexista lavida humana- si

los hay

-se encuentra

_regulado

_{solamente POi' dos factores: la natalidad y} la mortalidad.

Cualesquiera

otros hechos 0

_{circunst&ncias,}

sean de orden

_biol6gico

0 del orden

sociol6gico,

actuan atrav�s de

_aquellos,

2. Si nos concretamos a una

_regi6n

determinada del mundo-un

continente,

un _grupode

_pafses,

0un

_pals

solamente-tendremos que reconocer _queen la acele­ raci6n 0retardo del desarrollo de su

_poblaci4n

intervieneotrofactor: el movimiento

migratorio,

que

produce

la

incorporaci6n

de

habitantes

provenientes

deotras

regiones,

o la extracci6n de habitantes de la

_primera

_{que pasan} aradiearse en estas Ultimas. 3. Si nos_{preocupamos ahora} deuna

rel{i6n

determinada deun

_pals,

comouna

provincia,

un

_{departamento,}

una comuna 0 una

_ciudad,

_por

_ejemplo,

es a todas luces evidente _que un nuevo

_�actor

introduce su inftuencia en la marcha del fen6-meno a _quenosreferimos: el movimiento

_{migratorio interno;}

es

_decir,

el quese

_'pro­

duce entre

_aquella

determinada

_re&!6n

y el resto del

_pals.

'

,

6.$ ANALES DB LA FACULTAD DB CIBNCIAS FlSlC.l1l"l Y MATBMATICA8

POBl.ACI6N MUNDIAL

Aaos

Millones de habitantes

728

906

1,171

1,608

2,171

Creci:r.iento En el_perfodo

tasa media

_apumulativo

aDuai medio anual

% %

1650. 545

1700 .

1750 .

1800 .

18pO•...•...

1900 .

1940 .

0,23

0,49

0,58

0,75

0,88

0,2:9

0,44

0,51

0,63

0,75

Estas eifras ponen de manifiesto III. tendencia ascendente y aeelerada del des­ arrollo de la

_poblacion

mundial. No

_hhy,

pues, indicios de quetienda aestabilizarse

0, en otras

_palabras,

que tiendaahacerse asint6ticacon _respecto11.1 atributo

_tiempo.

Si admitimos una

_poblaci6n

total de

_2,250

millones solamente _para el

_pr6:iimo

alio

1900

_(*),

resulta que Ia tasa acumulativa media anual del

creeimiento

de 111.

poblaeion

entre el

_tiempo

transeurrido desde el

_�o

_1750,

_vlsperas

de III. revoluci6n industrial basta

_ahora,

habria sido de

_0,55%';

cifra bastante elevada sise III._eompara

(.) El -World Almanac- de 1949 da las _siguientes

_ci�ras:

CO;NTINENTES: KMS.2 POBL4Cl6N

Africa

...

:

...

�

...•. 32537747 175869488

Asia

_{a)

... 25. 105 705 1 178 341 250

Europa (a) •.•..••...•..•..•...•.... 4 999 482 380 960 346 URSS. (b) ... sr647017 211 384985

Norte Am�rica (c)...•...•.•••..••. 23 382 569 192 656859

Sud Am�rica... 17858903 101 399 661

Australia_y Oceania(d) ... 9 440 582 23 796 858 Regiones AntMticas... 16069709 (?)

,

Total _(e}•.•....•.•.•...•. 151 041 715 2264 409 447

a) Sin incluir _parte de _URSS.; b) cn _{Europa y Asia; c) Incluye} M�xico y Naciones del· Caribe; d) Incluye Australia'y Nueva Zelandia, posesiones holandesas, inglesse y francesas yterritorios bajo fideicOiniso deEE. UU. En muchos casoalapoblaci6nexactaesdesconocidaylas

DELA UNIVERSIDAD DBCHlLB 85

con _{1& que} resulta .para el

_milJ6n

de aDOS transcurridos desde la

_primera

infracci6n a una normade quenos informa1& tradici6n

paradistaea,

cifraque spenas excede de

dos milesimoe del uno _por ciento.

Si _suponemos ahora _que 1& media aeumulativa anual de

0,75%

que acusa la

pentlltima

deeada se mantuviera durante doscientos _anos, resultarfa _que en el ano

2100 la

_poblaci6n

mundial se

_aproximaria

a los

7,200

millones.

Los _progresosfuturos de la Mcnica

_l.podran

ser capaces para asegurar una _pro­ ducci6n alimenticia que cuantitativa y cualitativamente

permita

mantener tal po­

blaci6n sobre la tierra en condiciones satisfaetorias de bienestar humano? Hasta ahora nadanos autoriza para dudar de la eficiencia de la tecnica

dirigida

a tal fin:

en otros terminos nada. nos autoriza_para creer _{que la}velocidad

dP,

ereeiente basta dt

.,/

/'

/

/

/

/

/

/

/

I

I

I

I ---.�

ahora, pueda llegar

muy

pronto

a un valor maximoa

_partir

_{del cual}

empesara

a de­

crecer, sin que por estola

poblaci6n

tiendaadisminuir. Sital eosasucediera la_repre­ sentaci6n

_grsfica

del desarrollo de la

_poblaci6n

a 10

_largo

del

_tiempo

serfa la indi­ esda _por 180

_figura

_1,

en la cual las ordenadas son

_{proporcionales}

a las cifras de _po­ blaci6n y las

abcisas

proporcionales

a los

_tiempos

respe-ctivos.

Esta curva concuerds

perfectamente

con el concepto de _que la

_poblaci6n

de nuestro

_planeta

no

_puede

crecer

_{indefinidamente,}

sino _{que, por} el

contrario,

s610

podra llegar

a un valor maximo

compatible

con las condiciones del medic en _que vive.

5.

_Busquemos

Ia ecuaci6n de

_semejante

curva sobre la base de las mismas

hipotssia

emplesdas

por

quienes

la establecieron.

Consideremos una

_poblaci6n

_cerrada;

_{esto es,} no

_sujeta

a movimientos

_migra­

torios,

como serta el caso

_tipico

de Ia

_poblaci6n

mundial, Las variaciones de esta

68 ANALES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS PISICAS Y MATEMATICAS

poblaci6n dependerian

exclusivamente de causae _{constantes que} refundiremos enIa

ex'presion:

f�erza

reproductiva

de la

_especie

humansj y de causas

_varia�'es

que

frenan Ill. marcha

_{expansionista}

de

_{�sta, sea}

_{por aumento} de Ill.

_mortalidad,

sea _por atenuaclen deIll.

_natalidad,

0 _por ambas eosas a Ill. vez.

Si consideramos variaciones de Ill.

_poblaeien

en intervalos infinitamente peque­

fios de

_tiempo,

el crecimiento de

_aquella

serla:

dP ==

Pqdt

(1)

&1

factor _q es Ill. diferencia entre los coeficientes

_demografieos

de natalidad N

y de mortalidad

M,

ambos

dependientes

de P y _{t, dado que} la natalidad bruta de­

crece_yIll. mortalidadcrece conel aumento de

_poblaci6n.

Si

_designamos

_por: n el coeficiente intrinseco de

_natalidad;

m el coeficiente intrinseco de

_mortalidad;

." el coeficiente restrictivo de

natalidad;'

y '" el coeficiente aumentativo de

mortalidad;

y admitimos una relaci6n lineal entre estos coeficientes y los coeficientes

demogra>

ficas de natalidad y

mortalidad,

tendremos:

de modo que:

q == N - M ==

(n

-m)

-(

." +

p)

P = _� -rP

y por

consiguiente:

dP - ==

P(�-rP)

dt

(2)

separando

las variables y

multiplieando

por

�,

obtenemos:

�dP ).dP + rPdP- rP dP dP dP

}.dt == == ---==

-

+---P

_().

-rP)

P

_(�

-rP)

P � - rP

r

integrando:

�-rP ).t ==

IgP

-

lg

+

lg

b

r

(3)

haciendo en

₍₃₎

t==

0,

para el cualP ==

Po,

_se obtiene:

x

-rPo

_I"

-rPo

19b

==

-lgPo

+

_19---

==

g

r

_rPo

DB LA UNIVERSIDAD DB CHILB B1

b-= x

-rPo

rPo

(4)

Y por 10

_tanto,

introduciendoen

(3)

elvalor de

_19b,

(X

-rpo)

(X"":'" rP)

Xt =

lg

P

r

-Ig

Po

r

(5)

Verhulst, profesor

de la Escuela Militar de

_Bruselas,

di6 a esta ecuaci6n el nombre de funci6n

_loglstiea

₍₁₈₃₈₎

y de

loglstiea

a la curva

_representada

_por ella.

Se

_ignora

el por

que

de esta denominaci6n _que no tiene nexo distintivo con la

etimologla

del vocablo: Este viene del

_{griego logistico8,}

de

_logizesth,ai

_(XO'Y'X�),

cal­

cular,

que asu vez deriva de

_loqo«

_(Xo-yos),

_raz6n,

estudio.

_Asi,

_{pues, le}curvade _que se trata es tan

_logistica

como

_cualquiera

otra resultante de una teoria 0 deun razo­ namiento.

E,I

nombre

_elegido

para esta eurvs ha tenido el inconveniente de que

algunos

autores la consideren como la curva

tipica,

0 la unica

_16gica

_para

_ajustar

analitica­

mente el desenvolvimiento de la

_poblaci6n

de un

_{pats cualesquiera.}

Veremos, mas

adelante,

que tal

interpretaci6n

es enteramente

injustificada.

X

Continuamos. Sien las

_expresiones

(4)

y

_(5.)

haeemos - =

K,

tendremos:

r

P(K -Po)

M =:

₁₉

Po

(K

_

P)

y de

aqut:

KPo

K

P =----=---- ==

1+

be-At p +o

K-Po

e-At

Po

(&)

EI anAlisis de la ecuaci6n

₍₆₎

nos

proporciona

los

siguientes

pares de valoree:

p=o

t = O·

, ,

K P=­

l+b

t= 00 t=-oo;

P=K

Por otra

_parte,

las tres

_primeras

derivadas de Peon

_respecto

a t son:

XeAt

fl

_(P)

=

_tga

= Kb

(eAt

+

b)2'

(7)

,\2

(b

_

At)

At i"

_(P)

= Kb

,. e e

88 ANALBS DBLA 'ACULTAD DB CIBNCIAS "S,CAS r MATBMATICAS

(9)

Por10_tanto,la

_10gtstica

esasint6ticacon

_respeeto

al

_{eje negativo}

de los

_tiempOlt,

(P

-+_{0 cuando}t-+- ₀₀

),

ycon

_respecto

al

_eje

_positivo

de los

_tiempoS,

_(P

-+K _cuan­ do t...

_00).

Sihacemos

_.f"

_(P)

=0

y

designamos

port' el valor de 1& abcisa.paralacualBe aatisface esta

_condici6n,

ohtendremos:

,1gb

t =-"_

>Jge

(10)

Introduciendo este valor en

(6),"Y

en

₍₉₎

obtenemos

respectiv8mente:

K

_IC�J

P =

_-yf"'(P)

=

--2 8

Luego,

la curva

_presenta

un

_punto

de inflexi6n de coordenadas:

19b

K

t'=-'-yP'=

->Jge

2

EI valor de

tga

enel_puntodeinflexi6n Be

obtiene,

asimismo,

introduciendoese valor de t' en f'

_(P).

Resulta:

K

tga

=-� 4

La.

_subtangente

_{m, y la} subnormaln

_{correspondientes}

a este_punto de inflexi6n

son,

respectivamente,

.. dP

En suma, pues, la forma de la curva

_logistics,

_presenta un erecimiento r-e-:

..

-dt

csda vez mas

_acentuado,

desde el

_punto

inicial hasta alcanzar su valor maximo KX

1 d . fl' d rd Dad

,1gb

P'

K ,

d -en e

_punto

e m eXl6n e coo east =

--y = -, A

_partir

_e este

4

_�

2

punto la velocidad de crecimiento

dP

se reduce

_{progresivamente}

hasta

_anularse,

sin

.

dt

que las ordenadas

dejen

de

seguir

creciendo,

hasta alcansar un valor maximo finito K en un

_tiempo

infinito

_{(t =-00 ).}

nata-DB LA UNIVBRBIDAD DB CHILE

lidad

_(n)

y de mortalidad

(m)

sedan constantes a trav�s del

_tiempo,

y de que e1

propio

aumento de 1a

_poblacien

_halirf,a

de

_producir

una

£ise

de saturaci6n

_�radual

en

la cual 'las condiciones

_econ6�icas

y otrosfactores

ligados

al medio como

18

insu­

�.ciencia

de 1a

_{producci6n alimenticia,}

_{tendrian por}

conseeueneia

una declinaci6n de

la natalidad

_(tiP)

yun aumentode la mortaJidad

_{(I&P), proporeionales}

ala

poblaci6n.

Supongamos

que el factor

("

+

IA)

fuere

despreciable

porguc fueran pequefias

la restricci6n de

natalidad

y e1 aumento de la mortalidad.

Esta

_suposici6n

no esta.

_lejos

de

la'

verdad

_puesto

_que si bien las estadfsticas

acusan alguns

restricci6n de la natalidad en

muchee

_pafses

_{principalmente}

en los estratos

_superiores

en

_eultura,

tambi�n demuestra una

_apreciab1e

reducci6n de los coeficientes de

_mortalidad,

debido,

sin duda

_alguns,

a

l�

_progresos alcanzados en la salubridad

_ptlblica

_y a los nomen os

_{Impprtantes conquistados}

_por la ciencia m�

diea, EI efecto de esta

_suposici6n

esel de

redueir

laecuaci6n

_(2l

ala

_siguiente:

dP

-=}.dt

P

de donde:

IgP

= }.t

-+

19A

p .=;

AeAt

=

Aqt

Es decir que en tal easo Is

poblaci6n

seguiria

la conocida

ley

_exponencial.

6. Volvamos aeonsiderarlafunci6n

_(6).

Su valor

_reclproco

es:

1 1 +be-:lt

-=

P K

Tomemos valores de t crecientes en

_progresi6n

aritm�tica de ra86n m _y eseri­

bamos:

1 1 +

be-At..

-=

Po

K

1 1 +

be-A(to

+m)

-=

J:».

K

1 1 +

be-A(to

+2m)

-=

Pl

K

70 ANALES DB LA FACULTAD DB CIENCIAS FISICAS Y MATBMATICAS

e-Am

-1

A =

be-ACt.

+m)

2

K

-Am ₁

A) =

e

-be-ACt.

+2m) K

De ellas obtenemos:

A: AJ

_-__ -e-Am

Al

-Al

-•...

-Luego,

las diferencias de

_primer

orden de los valores

_reolprocos

de 1& funci6n

Iogtstiea

�t9.n

en

_progresi6n

geometrica

de raz6n:e

" Am.

7. Diversosestadistieosque han estudiado eltemadequetratamos han

_llegado

a

estableeer,

_p,or eaminos _{diversos, aunque}

similares,

formas distintas de esta ecua­ Cion

_que

s610 difieren en1& contexture

de

la

constante

de

_integraci6n.

a)

Si en

(6)

y

₍₁₀₎

hacemosx =

_!_,

tendremos:

a

t'

K

P =�--..,..­

t'-t

(11)

1

+e-cz-que es la forma conocida como1& ecuaci6n de Verhulst.

b)

Si haoemos:

1

b

_=-yKc

==1r

e

1r

Se tendra P = ---­

c+e-At

(12)

que es la

_f6,imula

de Pearle _yRead.

1

0)

Segun

(10),

b =

eAt';

ysi hacemos

eAt'

=

qeAr

_y).

_=-,

ysubstitufmos en a

(6),

tendremos:

K

(13)

P =

DE LA UNIVBR81DAD DE CHILE 71

De

_{(13) podemos}

pasar &

₍₁₁₎

introduciendo en

_lugar

de _q su valor

bel(t'-c)

1

con A

=-a

d) Substituyendo

en

(6)

el valor b =

elt'

_se tendra:

P= K

1

_+e-l(t-t')

(14)

que es 1&forma

_adoptada

_por Kostintzin.

Las bases sobre las euales se ha establecido fa ecuaci6n de la

_logfstica

han sido

consideradas como

_aceptables

_{para que tal}ecuaci6n

_{pueda emplearse}

comola curva

. de

ajustamiento

mas

_propia

_{e_ara}

_representarla serie de

estadiSiicas

de Ia

_poblaci6n

mundial. Pero hemos visto al

_principiar

que el desarrollo de la

poblaci6n

mundial

continua con au velocidad de

crecimiento

en

_aumentoj

esdecir _que esta noha elcan­

zado sunasu valormaximoa

_partir

del eual

_empezaria

adecrecer.En otras

_palabras,

no

_hay

coneordancia entre dicha funci6n y la marcha observada del fen6meno que

oeupa nuestra atenci6n. Dicho de otra manera, los hechos no se han

_producido

en las

_condiciones

que deben esperarse de las

bip6tesis

referidas.

Es

_oportuno

observar

_<lue

elritmo lento del desarrollo de la

_poblaci6n

mundial en los

siglos

anteriores al

xvn

ha sido modificado merced alos_progresos incesantes de 1& tecnica

aplicada

a las

;xplotaciones

agropecuarias,

a la

_aplicaci6n

de metodos cadavezmas eficaces_y

_perfectos

enelcampode la salubridad

_publica,

yen no_peque­ lia _parte,

_tambien,

al avance de las eiencias basicas de la

medicine,

Estos factores

se

han

traducido en una

_{baja aprecisble}

_y

progresiva

del coeficiente de mortalidad. Porel

_contrario,

las estadlsticas acuaan unadeclinaci6n del coeficientede

natalidad,

sobre todo enlos

_paises

demasavanzada

_{industrializaci6n,}

_ypor

_{desgracia tambien,}

en sus estratosde mayor

_{cultura, CJ.ue}

por otraparte no sonlos _q�emas

_contribuyen

a acrecentar Ia

_poblaci6n

humana. Seria aventurado fonnular

_{apreciaciones}

aeerca de la influencia que estos hechos han tenido en el modo como han fiuctuadolos co­

�ficientes

." y Jj.

Pero

es

indiscutible,

en _{suma, que} el coeficiente restrictivo r de la

ecuaci6n

(2),

no ha

_adquirido

_importancia

bastante _para

_{i_mpedir}

_q�e

la velocidad

de

ereeimiento

de 1a

_poblaci6n

mundial continue en su marcha acelerada, Ahora

bien,

fundandonosen _que aun

_quedan

_apreciables

_porciones

del

_planeta

sin

_explotar

o s610rudimentariamente

_explotadas,

yen _quenoexisten

signos

de haberse

_agotado

la

_capacidad

inventiva del

hombre,

no es aventurado suponer que ese ritmo ha de continuar por

largo

tiempo,

a _pesar de las voces de alarma que

_{peri6dicamente}

_pre­ vienen al mundo contra el

_replete

terram del _precepto blblico.

Veremos mis adelante que Ia funci6n

Iogtstice

hs tenido

amplia aplicaeion

en el

_ajustamiento

de series

eronologicaa

de

_poblaeiones

_que no

_cumplen

con

las bases

de su

establecimiento,

_porque ni son

_cerradas,

10_que

_implies,

_por

una

_{parte, que} los

medios de

subsistencia

de que

disponen

noestan Iimitados a_{los que}

_pueden

_produ­

cirseen su

_propio

territorio_{y, por} otraparte, quela

poblaci6n

recibeel_aportedeindi­ viduosforaneosy los entregaaotros centros

_poblados,

La ha

_tenido,

_{y muy}

_propia­

de-7$ _ANAL/iS DE LA FACULTAD DE eIENC/AS FISICAS Y MATBMATICAS

terminada

_provisi6n

de

_alimentos,

al ritmo de la

_producci6ri

de ciertos bienes que

tienden a colmar ls necesidad _que estandestinados a

_satisfacer,

etc.

8. EI desarrollo de Ia

_pob)aci6n

dentro de una

_regi6n

determinada,

como el

territoriode una

_naci6n,

_por

_{ejemplo, estli..}

sometidoaIs

_influeneia

de faetores_queac­

tuan en el sentido de acelerar su crecimiento _y de otros _que tienden a

restringirlo.

N

o

esdeleaso ocuparse enesta ocasi6n de analizaresosfactores

de

orden

econ6mico,

social0

_[uridico,

nidevalorar la influencia

_positiva

0

_negativa

_que eadauno de ellos

ejerce

en el fen6meno de qlle se trata, Basta recorder _que ellos existen y que, como

yo. se

_dijo,

unos estimulan _y otros

_restrin�n

ese crecimiento. Esas

infiueneias

se re­

flejan

en las eifras de natalidad e

_inmigrscion,

_por una _{parte, y} enlas de mortalidad y

_emigracion

por

otra;

todas las cuales

participan

en ₁₉₈ resultados totales de los censos

_periodicos.

De unmodo

_semejante,

el desenvolvimiento 0mareha evolutiva de 10.

_poblaeion

dentro de determinadazonadeun

_pais

esta

regido

por losmismos factores enuneiados

y,

ademas,

como _ya se

_dijo,

por los movimientos

migratorios

intemos que

desplazan

,

habitantes deunas

_regiones

a otrasdel mismo

_pais.

El estudio de

los'

metodos estimativos de la

_poblaeion'

_probable

en un futuro

pr6ximo

no necesita

_distinguir

entre

_regi6n

del

_planets

0

regi6n

de un

_pafs.

Nos

referiremos,

pues,

indistintamente,

a unos_y

otros,

9. Laconstatacion de ciertaantinomiaentre lavirtud

_procreadora

de la

_especie

humans y la virtud

germinative

de la

regi6n

en _que

_vive,

es de _{muy remota.} anti­

guedad,

pues yo.

aparece

enunciada por

Botero

(1).

Cerca de dos

siglos

mas

_tarde,

en 1775, Juan Maria Ortes

₍₂₎

admite _que el crecimiento natural 0

vegetativo sigue

una

progresion

geometrica

que

dupliea

la

_poblacion

cada 30 _anos, sino es contra­

riada por 10.

presion

de las subsistencias

que

erecen mas

lentamente.

Veinte afios

_{despues (1798)}

Malthus

₍₃₎

en au

_«Essay

onthe

_principle

of

_Popu­

lation»,

expusosu teoria sobre el desenvolvimiento de 10.

poblaci6n,

segiin

10. cual el instinto

_fisiologico

de

_procreaci6n

_ejercido

sin

_cortapisas,

haria crecer

aquella

en

progresion geometric

a _{que la}

duplicarla

cada 25

anos;'

en _{tanto que} 10.

_producci6n

de las subsistencias solo crecerla en

_progresion

aritrnetica, No entraen mi _programs analizar los dos factores de 10. teoria de

_Malthus,

contrariada por la

experiencia

que hademostrado que ni 10.

poblaci6n

del Mundo ha ereeido con la

_rapidez

_que 61

imagine,

nila

_producci6n

de subsistencias ha

_seguido

lamarcha lenta _que �I _pronos­

tic6. Pero es 10 cierto _que desde _entonces, ha venido

afiora:ndo

_{peri6dicamente}

Is.

preocupaeion

de individuos y de

organism

os sociales por las consecuencias de un

exceso

de habitantes sobre

I�

_capacidad

del

_planeta

para entregar a la actividad humsna los medios de subsistencias que ella Ie

exija.

Poco mas de un tercio de

siglo despues

que

Malthus,

en

_1835,

_{Quetelet (1)}

en su cFisica

Social-,

trat6decompararel fen6meno

demografico

conunfen6meno

_ffsico,

asemejandolo

a un m6vil _que se

_desplazaria

en un medio resistente. La

_propia

velo-(1) JUAN BOTERO: <Delle _Ragion di _State>, 1583.

(2) JUAN MARfA ORTES: eRiBCBsioni sulla populazioni delle _nasioni», 1775. (3) TOMAS RoBERTO MALTIroB.

(1) L. ADOLFO J. _QUETELET, matematico y sociologo belga, Profesor de Mateml1tica.s y As­ tronomfaen la Ac8.demia MiIitarde Bruselas_y Prcsidente de la Comisi6n Central de Estadlstiea de B�lgica.

DB LA UNIVBRSIDAD DB CHILB

cidad de crecimieato de la

_'poblaci6n

provoearfa

una restrieci6n de �sta,_que talCDfa su

_origen

enladeficiencia

_progresiva

de 1&alimentaci6n. Tal _{restrieci6n selia}

propor-cional al cuadrado de

_a.quella

-velocidad. _

Muy poco'mas

tarde,

Verhulst

₍₂₎

en sus cNotas sobre 1&

_ley

_que

_aigJle

lapo­

blaci6n

en 81

_{aereeentamiento»,}

_publieadaa

en

_{cCorrespondencia}

Matematica y

Fisica»,

se

_{ocup6, segdn}

se ha escrito a in8tancias del

_{propio Quetelet,}

de la formu­ Iaci6n matematica del

_problema

en una forma similar a la Q.ue _yahemos

_expuesto.

Cerea de un

_{siglo despu6s (1920)}

la funci6n

logistiea

de

_{Verhulst, olvidada,}

lui redescubierta porlos senores R. Pearle y L. J.

Read (estadfsticos norteamercianos),

dedueiendola de

experiencias

de 1&boratoriosobreun

universe

demoscas

Drosopbilas

confinadas en un medio

_aistadoj,

_y

_aplicaron

sus deducciones al estudio de la tasa de crecimiento de la

_poblaci6n

de Estados Unidos entre 1790 y 1920.

Mastarde

_publicaron

su Onthe mathematical

_theqry

_{0/ p&pulation}

_(193�).

Pearle y Read formularon ciertas

premisas

BegUn

las' cuales las

_poblaciones

sedesenvolvfan por eielos de

amplitud

variable. Latasa de

ereeimiento

absolute

_principiaba

con un valor

_pequeftfsimo

en cada unode estos eielosy-

aumentaba, progresivamente,

basta

unmaximoque

corresponderfa

ala relaci6n

_6ptima

entreel territorioy1&

poblaci6n.

A

_partir

de este valor decrecfa basta alcanzar un

_perlodo

de

saturaci6n,

en _{que la}

poblaci6n permanecta practicamente

estacionaria. La

representaci6n

matematica deesaevoluci6n

exige

una eurva convexa con_respectoal

_eje

de los

_tiempos

y

asint6-tica con

_respecto

a

_6ste,

_{que pase por}un _puntode inBexi6n enel cual inicie elcam­ bio de su convexidad en concavidad y

siga,

basta hacerse asint6tica con

_respecto

a una

_paralela

al

_eje

de los

_tiempos,

10 que limitaria

_{superiormente}

el crecimiento

de la

_poblaci6n.·

.

Sobrela basedeestos

_{postulados redescubrieron,}

como10hemos

_dicho,

la

_logfs­

tica de Verhulst. Posteriormente

_{generalisaron}

su

_concepci6n

en dos _aspectos dife­

rentes. Considerando la

_posibilidad

deunasucesi6n de'

_eiclos,

admitieron_{que la asin­}

totainferior fuese

_paralela

al

_eje

de los

_tiempos

con una ofdenada finita _que correa­

ponderfa aproximadamente

a1. lfmite

_superior

de

_pobJaci6n

en cielo

precedente.

De

_aqui

la

_expresien:

K P =d ₊

1 + be- At

(15)

eontandose ahora Ka

_partir

de la aslntota de ordenada

_d;

En

_seguida

consideraron el caso mas

_general

en _que eJ _exponente del t�rmino

exponencial

fuese substitufdo _poruna

_{expresi6n polimonial}

en t.

Entonces:

k

P=d+

..)

1 + be -(Iltt+a,t + ., ...,&ntn

De este modo Be

_{puede conseguir}

UDa

_mejor

adaptabllidad

a los datos de la

obeervacien;

a _expensas, es

_cierto,

de una _mayor dificultad de cAlcuJo _por Ia

intro-(2) PEDRO FRANCISCO _VEBlnn..8T,matem'tico _beIga. Prolesor de Matem4ticasen Ia Acade-mia Militar deBl'U8elas.

74 ANALBS DB LA FACULTAD DB CIBNCIAS FrSICAS Y MATBMATICAS

ducci6n

_dEf

nuevas _constantes, las

eusles,

por 10

demas,

no acusan relaci6n con Ia biometria ni con los movimientos

_migratorios.

Puesto _{que nuestro} intento nova mas alla de

estu�r

m�tod08 de calculoade­

euados para obtener cifras de

pobtaci6n

en

(uturos

mas 0 menos

pr6ximos,

_y de

ningdn

modoa busear

expresiones

matematicas

descriptivas

del f�n6meno a 10

_largo

de

_grandes

extensiones de

_tiempo,

no es del caso entrar en _mayores consideraciones sobre la funci6n

_logfstica

y su verdadero

_significado.

10. Sabemos que la

poblaci6n

no se encuentra uniformemente

_repartida

en el Mundo y que la

irregu1aridad

de esta distribuci6n esta relaeionada mas 0 menos directamente con las diferencias de

aptitud

que presentan las distintas extensiones

geogrsfioas

para ser habitadas. Faetores como el

clima,

la situaci6n

_geografica,

el

relieve del

suelo;

laexistencia deaguas, de

minerales,

de tierras aptas para la

explo­

taci6n

_{agropecuaria,}

hacen que una

_regi6n

sea mas

_ventajosa.

que otra _{para que} el

hombre

_prefiera

radicarse

en

_{ella y}

_aplicar

alli los

_m�todos

que Is humanidad ha

creado y

perfeccionado

a traves de los

_tiempos

_para obtener la

_mejor

utilizaci6n de los recursos naturales.

De

_aqul

ha resultado la desuniforme distribuci6n de los habitantes del

_planeta,

caracterizada _por el hecho de _{que I?oco} menos del

17%

de la

_poblaci6n

mundial re­ side en lazona_{europea, que} cubrepoco mas del

3%

de laextensi6n de tierra firme.

Ninguno

de los

Estados

_europeos, ni la

_Europa

en su

_{conjunto, dispone}

de la extensi6n y recursos naturales

_{indispensables}

_para sostener la

_poblaci6n

_que

su ele­ vado progreso cultural e industrial ha radicado dentro de sus Iimites territoriales. Y es de _{notar, por} otra _parte, que cada una de las

agrupaeiones

de

_poblaci6n

estA

d�minada

por

un

concepto nacionalista _que

_importaria

un verdadero aislamiento con _respecto alas

vecinas,

si la necesidad de intercambiar

_productos

no les

_indujera

aconvivir conlas otras.

Mas

_todavia,

_pueden

seiialarse tres

_regiones

_geograficas

suficientemente extensas

y dotadas de todos los

t!lem:entos

necesarios para que su

poblaci6n

pudiera

BOSte­ nerse

_{independientemente de eualquiera}

otra

_regi6n:

Norte

_Am�rica,

Sud America

yRusia. Sin

embargo,

ni la

_mejor

dotada de estastres

_regiones

de diversa intensidad de

_poblaci6n

_y de distinto

_grado

de

industrializaci6n,

vive 0

_puede

vivir aislada del

resto del mundo.

Las circunstancias que

seiialamos,

provocan

desplazamientos

de

_poblaci6n

de unas

_regiones

a_otras, mas 0 menos continuos 0

_esporadlcos,

_que

_influyen

considera­

blemente en el desarrollo de las

_poblaciones

afectadas. Esta influencia no se

_puede

medir 8610_porelntimerodepersonas queentranysalen del territorioendeterminados

periodos

de

_tiempo;

_pues en ella

_participa

_muy

_{particularmente}

la

_coroposici6n

de dichos

_conjuntos

de personas,

segun

el sexo_y la edad de

_estas,

y su afinidad etnica conla

_poblaci6n

a _quese

_incorporan.

Seha tratadodeavaluar lacontribuci6n cuan­ titativa de la corriente

_{migratoria descomponiendola}

endos

_tenninosj

el UDOel_aporte

directo;

estaria

_representado

por el saldo

migratorio positivo,

y el

otro,

la eontri­

buci6n

_indirecta,

consistiria en el aoreeentarniento de Is natalidad

_producido

en el

pais

por la corriente

inmigratoria, Asf,

por

_ejemplo,

sobre la base de que las tasas

anuales

de ereeimiento

_inmigratorio

y natural mantuviesen entre sf la misma rela­

DB LA UNIVERSIDAD DB CHILE 76

habitantes verificado en Am�rica durante el

_siglo

1840...

1940,

se

descompone

en cifras

_redondas,

como

_{sigue (*):}

Aumento

_natural,

_{independiente}

dels

_inmigraci6n

. Aumento

_{natural, proveniente}

de la

inmigracien

.

Aumento

_�or

saldo

_migratorio

.

71%

13 JI

16 JI

Total .

100%

Serla aventurado formular

_hip6tesis

_aceptables

para introducir en

_f6nnulas,

coeficientes _{q_ue}

_tradujeran

la influencia del movimiento

migratorio

en el desarrollo de Is.

_poblaci6n.

Esa

_influenpia

noobedece acausas_{que aetrian} de un modo continuo a traves del

_tiempo

ni varian

segun

funciones determinadas dela

_poblaci6n.

Una

eonsecuencia

directs e inmediata de 10 _que hemos dicho es _que

ninguna

curva _que se base en la facultad

procreadora

de la

_especie

es

_aplicable

_por este s610

hecho al desarrollo de la

_poblacion

de una

_regi6n

del

_planeta,

de un

_pals

0 de una.

parte de �l. Podrs

_serlo,

sin

_embargo,

_porque

su forms concuerde con la tendencia

general

que manifieste la. serie

cronol6gica

de los datos

disponibles,

y por tal raz6n

esta

elase

de eurvas

_podra

ser utilizada como

_cualesquiera

otras _para la

_descripci6n

del

_importante

fen6meno social de que tratamos.

11.

_Alguna

vez he leido quesi se

_pudiera

_disponer

deun _aparatoque

_registre

la eurva

_{ininterrumpida}

de Jas variaciones de 190

_poblaci6n

dentro de una zona eual­

quiera

a.traves del

tiempo,

seobtendria una

_grafica

_semejante

aIs.

_que

_dibujanotros

.'

aparatos

inscriptores.

Asi como un

_term6grafo,

_por

_ejemplo,

_registra

las variaciones

de la _temperatura en

funciq�

del

_tiempo,

inscribiendo

et

mlmero de

_grades

celsius del ambiente en eada

_instante,

nuestro

_{hipotetico inscriptor}

_registrarfa

a su tumo,

el mimerode habitantes existentes en

_cads

instante. EI

_{problema consiste,}

_entonces, en encontrarla funci6n que

substituya

esta

grafica

yque

pueda

admitirse comodes­

criptiva

del fen6meno

_registrada

_por ella.

Esta curva nos

_permitira

conocer _por

_{interpolaci6n}

el valor

probable

de Is. po­ blaci6n en afios

_intermedios,

_{y por}

_{extrapolaeien,}

el valor

_probable

de Is.

_poblaci6n

en anos anteriores 0

_posteriores,

mas 0 menos

_pr6ximos

a

los

extremos de Is serie. Nose _trata, como se_ve, de

_pronosticar

un hecho cierto sinoquede anuncisrun he­ eho que sera

_{probable, siempre}

que se _mantengan las condiciones que

produjeron

aquella

grafica

y, por

consiguiente, aquella

funcion matematica,

.

Los datos

_disponibles

son los _que

porporcionan

los censos

_sucesivos,

eada uno de los cuales nos suministra un 8610 _puntode

_{aquella grafica.}

Entre todos ellos for­ man una sucesi6n

_cronol6gica

de valores observados _{que representan} la verdad esta­

dlstica con relativa

_{aproximaci6n,}

_porque no existen censos

_{rigurosamente}

exactOb. Todos ellos adolecen de errores voluntarios 0 involuntarios_{i aunque estos} errores

puedan

eonsiderarse

_{despreciables}

en los

_patses

de gran eultura en

los'

cuales reina una alta

_disciplina

civil.

Si se hace Ia

_{representacion}

geometries

de tal sucesi6n 0 serie estadistica to­

mandosusvalores comoordenadasylos

tiempos

como

_abseisas,

_yunimos unoa uno

78 ANAL.S DB LA FACULTAD DB CIENCIAS FISICAS Y MATBMATICAS

los puntas

superiores

sucesivos,

obtendremos una

_poligonal.

Esta

_{representaci6n}

grafica

de los datos en _que resaltan las variaciones absolutas 0 diferencias entre los

valores de la serie en los aii9S

_{sucesivos, permite}

una

_{rapida apreoiacien}

de los ca­

racteresgeneralesde180

_{tendencia.,E.'Ita}

_apreciaci6n

_puede

afinarse considerablemente

substituyendo

dicha

_poligonal

por una eurva_{continua que pase por} nuevos _puntos obtenidosporelmetoda de los

promedios

m6viles. EI

_juicio

_que nos

formemos

aoerea de 180forma de dichacurva nos servira de

_gula

_para.

_elegir

180 clase 0

_tipo

de funci6n mas adecuada _{para representsr} 180 serie de _(}!-le se trata. La

operaeion

que consiste en buscar Ia ecuaci6n de Is. linea continua _{que pase por dichos puntos} 0 determine

13. funci6n que se

_eatisfaga

con todos los pares de valores

_{sucesivos, constituye}

una

interpolaci6n propiamente

dicha. MuchssHneas

_pueden

_eumplir

en eada caso con tal

_condici6n,

y la indeterminaci6n se evita mediante el

empleo

de

_polinomios

de

interpolaci6n.

Estos

_{polinomios pueden}

considerarse

como expresiones

matematicaa

deseriptivas

de los datos

_{experimentales}

_ytienen

el earacter de

leyes emplricas

de

estos tiltimoa.

La determinaci6n de los

_parametres

_de

los

_polinomios

de

_{interpola.ci6n requiere}

gran

trabajo operatorio;

tanto mas

grande

cuanto mayor es el mimero de datos de la

_serie,

_puesto que el rnimero de sus terminos excedeen uno at ntimero de

_puntos

disponibles

de

_squella.

Por otra

_parte,

estos

_datos,

como

_ya.lo

hemos

_dicho,

adolecen de _{errores, que} ni

_siquiera

obedecen a las

_leyes

del asar.

_Asi,

_pues, no

_hay

razones valederas _para

_preterit

un

_polinomio

de

_{interpolaci6n}

a una curva de

_ajustamiento

como funci6n

_descriptiva

del fen6meno de _que se trata. Observese que el

primero

describe 180 condici6n en _que se

_presentan

los

datos

_{experimentales,}

mientras _{que 180}

segunda

describe la tendencia del fen6meno de que ellos son

expresiones

sucesivas a 10

_largo

del atributo

_tiempo.

La curva de

_ajustamiento

debe aeerearse en 10 _po­ sible a los _puntos

_{experimentales}

_{y para}obtener tal resultado se Ia somete a180 �on­ dici6n de haeer minima la suma de los euadrados de las diferencias entre SUB orde­ nadas y las

correspondientes

de la sucesicn

experimental,

10 que

implica

hacer nuls

la suma de las mencionadas diferencias.

La condici6n indicada

_puede

cumplirse

por eurvas dedistintos

tipos

0

familiae,

y entre dosde distinto

tipo,

180que con_mayor

_probabilidad

_represente

dicha-

tenden­ cia sera _{Is que}

_produsea

_{para los} cuadrados de las diferencias la sumaminima..Esta afirmaci6n no

_obliga

a extremar la

_prolijidad

en la

brisqueda

mas aIla.

'de

limites

que tomen en consideracl6n _que los resultados de los censoa no 80n

_{rigurosamente}

exactos, como _ya se h80 dicho.

_Asf,

en el caso de _que tratamos bastara oomparar 180

media aritmetiea de 108 valores absolutes de dichae- diferencias con el valor medio de las ordenadas

_{experimentales,}

10 _que

_equivale

a _{comparar la} suma absolute de dichas diferencias con 180 suma total de las ordenadaa.

Por 10

_general

esta

_comparaci6n

se _express. en _{tanto por} ciento:

12.

_Apliqu6monos

a buscar la curva de

_ajustamiento

mas adeeuadspara des­

cribir el desarrollode la

_poblaci6n

de Chile.

DB LA UNIVBR81DAD DB CRILB 71

TABLA I.-POBLACION DE CHILE

ARoB MILKS DE RADITAN1'ES

cl .

c2 h c3 h c4 h ca h

1870...

.

1944 2087

.... . ... •••0

1875...•.. 2076 .... 2219

1880...•.. .... . ... . ... 2282 17,3 2342 12,2

1885... 2507 20,8 2472 11,4

1890... .. .. .... . ... 2600 13,9 2593 10,7

1895... 2696 7,5 2720 10,0

1900." .•..••... . ... 0 ••• . ... 2907 11,8 2911 12,2

1907... 3231 16,5 3210 15,0

1910...•..••" .... .... . ... 3340 14,9 3312 12,8

1920...

"

... 3732 11,9 3710 11,9 3732 11,7 3710 12,0

1930...". 4287 14,9 4287 15,6 4287 14,9 4287 15,6 1940... 5024 17,1 4887 13,9 5024 17,1 4887 13,9

23552 23505 26116 26128

Promedio •... 13,9 13 13,7 12,9

Las cifras incluldas en

_18:8

diversas columnae de esta tabla tienen el

_siguicnte

origen:

c2: losresultados de los censosde 1875

adelante,

como _aparecen enla .£stadis­ tica Chilena> de octubre de 1941

_(pag:

_{450)!'publicada}

por laDirecci6n General del ramo.

c3: los datos de Is columna 2modificados con las correcciones _que Be _expresan:

a)

Las indicadas por el exDirector don

Roberto Vergara

H. en suestudio <Los Censos de Poblaci6n de Chile»

_presentado

al VIII

_Congreso

cientifico

Pan Ameri­

eano en cuantoserefierealoscensosde1875hasta el de 1920. Lamayorpartedeestas

correcciones tienensu

origen

en la necesidad de bacer

_homogenes

la

_serie,

como son las _que

_provienen

de los eambios territoriales

_producidos

y del hecho de no baber

eomprendido

los censos anteriores a 1907 la

_poblaci6n

_indlgena

radicadaen la _parte sur del

_pais.

Los demas

_provienen

de laverificaci6n de errorestanto

_positivos

como

negatives,

de nomucha

_importancia

en relaci6n conIs

_poblaci6n

_{total y}conel

_grado

de

_aproximacien

a 180 verdad de los censos.

b)

La _que afecta al eenso de 1940 esta

_justificada

por lainformaci6n

publicada

por elexDirector don Emilio

_�odrlguez

Mendozaen eEl

_Mercurio»,

de

Santiago,

del dla 17 de marzo de 1949.

_Seg�n

esta informaci6n el Director _propuso introducir un aumento de

_5%

sobre el resultado final de dicho censo; Ie f'lle

aceptado

un

3%,

queendefinitivaBe

redujo

a

_2,8%

_(sie.).

78 ANALES DE LA FACULTAD DB CIBNCIAS FISICAS Y

MATEMATICA8

Se observara queenel

_lapso

considerado

_disponemos

de tres censos, los

_primeros

que seefectuaron en MOS terminadosen cinco _y

los

tres ultimos en MOS

tenninados

en _cero; de modo_{que para}Iormarla-serie de datos

equiespaeiados,

_podriamos

haber

elegido

una u otra

terminacion.

Se

_pref:'ri6

10. ultima en atenci6n a los antecedentes que se _expresan en

_seguida:

La.

_ley

de

_8.

de

_julio

de 1853

_dispone

que el Censo General de 10.

Republica

se formara cadadiezatlos y como el

_primero

seefectu6 en 1855 se deberia deducir que los censos deben efectuarse en todos los atlos terminados en 5. En 10.

_practica

s610

.

-fueasfhasta _{1895 y}el intervale decenal de 10. seriese

interrumpi6

con10.

postergaci6n

del censode 1905 alaDO 1907 y se

_restableci6,

en

_seguida,

con los censos de losanos

1920,30

Y

40;

por 10 que

imaginamos

que

esta serie nose ba de

interrumpir

nueva­

mente. Esta

_hip6tesis

_esta,

ademas,

sbonada _por resoluciones intemacionales que

recomiendan unasellevantamientodecenal de loscensos de

_poblacion,

y otras

parti­

cularmente efectuar el censo en todas las

_l¥publicaa

Americanas el aDO 1950.

Las tasas h de crecimiento medio anual en los

_periodos

sucesivos

oscilan,

en todasestas

_series,

alrededor deunamedia_pocodiferente de

_130/00.

_Si,

_por otra_parte, se eoloean estas series en una

_gra.�ca

seobserva _que todas ellas oscilan bacia uno _y

otro 1000 de una tendencia creciente

_acelerada,

_{10 que} indica como satisfactorias paradescribir el desarrollo de 10.

poblaci6n

chilena,

aquellas

curvas en que 10. relaci6n

dP . .

--sea tambien _creciente; es

_decir,

curvas como 10.

_exponencial:

P =

Poqt,

₀ la

dt

funci6n de

_Gompertz:

P =

Kabt

13. Se observersqueescribimos ls funci6n

exponencial

P =

Aqt.

Expliquemos

por

que.

Si eonsideramos variaciones de

_poblaeion

en intervalos infinitamente _pe­

quefios

de

_tiempo,

el acrecentamiento serla:

dP = Padt

de donde el acrecentamiento relativo:

dP �=adt

p

Integrando:

LnP =at+LnA

y por

consiguiente:

P =

Aellt

�.I

coeficiente a ha recibido el nombre de ccoeficiente de

procreaci6n biol6gica

pura>.

DBLA UNIVBR8IDAD DBCHIL. 19

obteaidos en los ceD80S efeetuados. Cada uno de �stos

_proporeiona,

salvo errores

inevitables,

una cifra_que deberia ser Ill.del censo anterior incrementadaen las dife­ rencias

_produeidas

en

ei

intervalo de

_tiempo,

entrenacimientos _ydefunciones

_(creei­

rniento

_natural)

yentre

_pasajeros

entrados_y salidos del territorio

_(saldo

_migratorio).

E.I

coeficiente q

tiene,

pues, un

_significado

distinto del _que Be obtuvo al considerar

variaeiones de

_poblacion

a intervalos infinitamente

_{pequenos, Es,}

_pues,

_mfl:s

realista

o

_conforme

con Ill. efectividad de los

_{hechos, adoptar,}

en

_lugar

delcoeficiente eat, el coeficiente _q = _{1 +}

r, en _que r es Ill. tass de crecimiento acumulativo

_peri6dico.

La

_eomparaeicn

entre las ecuaciones

_Pi

=

Aqt

Y

Pi

= AeGtt _nos demuestra

que:

q = 1_{+ r} =_eat

De donde:

I

it

rl

r4

a =

Lq

=L

(1

+

r)

=_r -

-+- - -

-. -'

234

Resultaque el coeficientea diferiratantomenosde rcuanto menor seael valor

deeste ultimo.

En suma, pues, dentro de los valoresque tiene r en el easo _que

_estudiamos,

Ill.

euestionexaminadaes

_m�

bien del orden deIll.

_logica

enIll.elecci6n delos

coeficien�

quede exactitud matematiea,

14.

_Elegida

Ill. funci6n P =

Aqt,

corresponde

detenninar los valores de los

coeficientes A _{y q.} EI metodo mas adecuado para obtenerlos es el de

transformar

aquella

eeuacicn en Ill. deuna recta medianteIll. anamorfosis

_logaritmica,

As( tendre­ mos:

log PI

=

Ig

A +

_�

Ig

_q

Aplicando

el m�odo de los <!\.tadrados menores

_dispondremos

de Ill. ecuaci6n de condici6n:

y por 10 tanto, las ecuaciones normales serb:

2 I

_(lg

A +

_tilg

q

-Ig PI)

= 0

2

_{I� (lg}

A +

� lg

q

-lg

Pi)

= 0

De

_aquf:

I _

nI_ti

_Ig

_PI

-l:tj

I

_Ig

_PI

gq

-nIt�

-(Iti)2

(16)

I A =

I

_t�

I

_Ig

_Pi

- I

�

I_�

_Ig

_PI

g

nIt:

80 ANALES DE LA FACULTADDECIBNClAS FI81CA8 YMATBMATICA8

Encontradoslos valores de los coeficientes q y

A,

podemos

calcular los valoree sucesivos

_Z.i

_{y comparar} Is.serie anaiitica. con Is.

_{experimental.}

Encontraremos siem­

preque Is.sums.de las diferencias

_Zj

-PI

noes

_nula,

10 que

_proviene

_(aparte

de las epqueiias diferencia.s _que tienen su

_origen

en Is.

_aproximacion

con _que se calculan A y

q).

del hecho deque Is.condici6n de haeer minimaIs.sums-de los cuadradosentre las diterencias de los

_logaritmos

no hace minima la sums. de

'los

euadrados de las diferencias entre los ntimeros

_{correspondientes.}

.

Esto indica. _que los

_parametres

A y q encontrados deberlan considerarse 8610 comouna

_{primers aproximaci6n}

_que

_puede

ser 0 nosuficiente

_segun

el valor quere­

l:1(Zj

-Pi)1

suIte_parav =100

y para

l:ZI

-l:PI.

l:Pi

.

15. Si fuere

_necesario,

se

_pueden

caleular

las correccionesa _{y {J.}

La nuevaecuaci6n sed.:

PI

=

(A

+a)

(q

+(J)t

(18)

LP,

:=

L(A

+

a)

+ tL

(q

+

(J)

LPI

= LA

(

1 +

:)

+t

_Lq

(1

+

:)

DesarroUandoen seriey

despreciando

los Mnninos de

grade superior

al

primero:

a _{J

LPI

=LA+-

+tLq

+t-A- q

a

{J

LP.

=

_LZ.

₊ -+t

-A q

La ecuaci6n de condici6n serA ahora:

Por

_{consiguiente,}

las ecuaciones normales sersn:

DB LA UNIVER8IDAI)DB CHILB BI

16. Se

_puede

tambi�n

_proceder

como

_sigue:

Escribamos la ecuaci6n

₍₁₈₎

&sf:

PI

==

(�+a).qt(

1 +

:y

Desarrollandoenserie _y

_despreciando

los t�rminos de

_grado

_superior

al

_primero:

PI

�

(A

+

a)

qti

(1

+ti

:)

La ecuaci6n de condici6n serA:

Por

_{consiguiente:}

Dedonde:

q �

t.

�qti

2;

_q2tj

...:_2;

_qti

(Xi

2;

_tiq2ti

fJ

=

A 2;

_q2tl2;

_t�q2tl

-(2;

_ti�ti)2

17. Si Be

prefiere

no

_despreeiar

el Mrminoen ex

fJ

se

_proeeders

como

sigue:

PI

==

Aqt

(

1 +

:)

(1

+

:

t)

=

VZi

(1

+

_Bt)

81 ANALESDBLA PACULTAD DB CIBNC/AS PISICAS Y MATBMATICA8

Por

_{eonsiguiente,}

la ecuaci6n decondici6n ser{1:

Y las ecuaciones normales:

V�

_Z�

₍₁

+

Bt)l

=_�

ZiPi (1

+

Bt)

...

Vl�

_Z�t

(1

+

Bt)

=V�

ZiPit

...

(19)

.(20)

De las euales se obtiene:

18. Volvamos a las euatro series

_{cronol6gica.�}

de 10.

_poblaci6n

de Chile. El ealculo deloscoeficientes A y q, paraeada unadeestas

_series,

con las

expresiones

(16)

y

(17),

nos conduce a las

siguientes

ecuaciones:

Serie

_{C.2) ZI}

= ₂₁₁₄•

1,013

133t

Serle

_C.3)

_Z·I

=

_2179·1,012

269t Serie

_{CA) Z,}

= _{1 971} •

1,013

21t

Serie

_C.5)-

_ZI

= _{2 056} •

1,012

13t

Los

valores de

_Z;

asl como las difereneias

_ZI

-PI

se

consignan

en 10. tabla II

paralas series C.2y

C.3,

yen 10.tablaIIIparalas series C.4yC.S. En estasmismaa

tablasseindicanlosvalores dev = 100

�

_I

_(Zl

-Pi)

I

�PI

Ninguno

de eUos alcanza al

_2%,

10 que

indica,

desde

luego,

10 innecesario _que

seria

_{ajustar cualquiera}

deestas series con curvas de otro

_tipo.

Por otra _aparte, las diferencias

_algebraicas

�

_Zj

- l:

PI'

son tan

_pequeiias

.que es tambien innecesario

corregir

loscoeficientes _{A y q} encontrados.

19. Sin

_embargo,

por

simple

tanteo hemos obtenido 10. ecuaci6n

Zl

= 2061 X

1,012 136t

que

proporciona

los valores _que se

encuentran

en latercera columna de 10. tabla IV.

Si bien se conserva el

_mismo

el valor de V _:=

_1,27,

10. curva se ha aeereado a los datos

_{experimentales}

puesto que 10. diferencia �

ZI

- �

PI

ha descendido de -75

DB LA UNIVBRBIDAD DB CHILE

En Ill.

_�ptima

columna de lamisma tablaIVseencuentranlos velores obtenidoe

con la ecuaci6n de

_Gompertz:

El metodo de

_ajustamiento

con esta'funci6n _yel caleulc de los coeficientes res­

pectivos

es el

siguiente.

20. La anamorfOsis

_logaritmica

nos

_pennite

transfonnar

la

ecuaci6n de Gom­

pertz en la recta:

Elijamos

tres _puntos

_{equiespaeiados,}

y sea m la distancia entre

ordenadas,

yescribamos:

IgPI

=

IgK

+

_btl}ga

IgPz

=

IgK

+ btl+m

Iga

IgP)

=

IgK

+ btl+Zm

lga

De estas tres

relaeiones

deducimos:

AI

=

IgPz -lgPI

_�

btl

_{(bm_l)}

_lga

Az

=

_IgP)

_-lgPz

=btl+m

(bM

-I) lga

Ilz

= bm

AI

1_ga =

AI

-b-t1-(b-m-_-1-)

IgK

=

IgPI

-bt1lga

Sean los tres _pares de valores obtenidos como'medius

_geometricas

entre los de abcisas vecinas:

PI

= 2211

t = 5

3105

35

4577

65

Con estos valores obtenemos:

bm =

_1,164

079

19b

t= 0 002 189

lga

= ₀885 318

Igl(

=

_2,434

191

b =

_1,005053

a =

_7,679

K =

271,763

(1) Definir caracterlsticas do laeurva.

8" ANALBS DB LA FACULTAD DB CIBNCIAS FlSICAS Y MATEMATlCAS

Se observa_{que esta} curva

_baja

considerablemente la l:

_I

_(Zl

-Pi)

I,

pero hace

crecer la

diferencia

l:

_Zi

- l:

Pi'

de8a

_44,

10queno la recomicnda como

_aceptable.

Perosi afinamos los coeficientes_portanteo, 0_por

_{aproximaeiones}

_sucesivas,

_Uegamos

a los valores:

19b

=

0,002166

Igt'

=

0,8,86361

lgk

=

b =

1,005

a =

_7,68

k =

_272,863

Ahora los valores de

Zi

que se insertan en la 7." columna de la Tabla IV nos

dan:

l:

_Z,

-»

_Pi

+1

z

_{(I Zi}

-Pi!)

="₁₂₁

10 que nos dice _que 1& funci6n de

_Gompertz

con los coeficientes indicados describe

mejor

que 1&

exponencial

el desarrollo de la

poblaci6n

de Chile

representado

por la

serie

C.S

delaTabla I.

-TABLA II.-POBLACION DE CHILE: SERIES C.2.. . Y C.3

A�os Serle C.2 Miles de habitantes Serie C.3. Miles de habitantes

-t

_Pi

_Zi

_Zj-

_Pi

_Pi

_Zi

_Zl-Pi

1875 0 2076 2 114 + 38 2 219 2 179 - 40

1885 10 2 507

.2408

- 99 _{2 472 2 461} - 11

1895 20 2 696 2744 + 48 2720 278O + 60

1907 32 3 231 3 209 - 22 3 210 3 218

+ 8

1920 45 3 732 3802 + 70 3710 3771

_"i:-

61

193'0 55 4287 4332 + 45 4287 4260 - 27

1940 65 5024 4 936 - 88

4'887

4 813 - 74

-l: '23 553 23545 410 23 505 23482 281

l:

_I

_(Zi

-Pi)

I

1,24

1,24

V=100

P

...

1,74

1; i

1950 5

_6�4

1960 6408

1970 7302

z,

= ₂ 114 X

1,013133t

z,

== 2 _179X

_1,012269t

IgA

=

3,3j25105

IgA

==

_3,338257

19q

=

0,005667

DB LA UNIVBR81DAD DE CHILE

TABLA

III.-POB,LACION

DE

CHILE;

_SERJE�

C.4

_¥,

C.5

.

�O8 Serle C.4. Miles de habitantes Serle C.5. Miles de habitantes

-t •

PI

Zi

Z;-

PI

PI

Zi

ZI-PI

1870 0 1 944 1971 + 27 2087 2056 - 31

188p

10 2282 2248

-34 2342 2 319 - 23 .'

18.90 20 2600 2 563 - 37 2 593 2 616

+ 23

'1900 30 2907 2923, + 16 2911 2952 -+ 41

1910 40 3340 3333 - 7 3 312 3330 + 18

1920 50 3 732 3 800 + 68 3 709 3 757 + 48

1930

₆₉

42,87 4333 + 46 4281 4 240 - 47

1940 70 5·024 4 941

-8.:3

4887 4783 - 104

,

,26

116 26 112 318 26 128 26 053 335

V = 100

�

_I

_(Zj

-Pi) I

l,�

1,27

. .

�PI

1950 80 5625

_535f)

1960 90 6 413 6 034

1970 100 7

313

6 8i!0

Z,

= 1

971.1<

1,01321t

Zi

= 2 056 _X

1,01?,lt

IgA

=

_3,294087

IgA

=

_3,312003

19'

1,<11321

=

0,0057

Ig012,134

=

_0,00523

TABLA

_{IV.-POIUACION}

DE

_C�LE:

SERlE C.5

.

I,.�os Serie C.5. Miles de habitantes Serle C.S. Miles de habitantes

t

_Pi

_Pi

_Zj-Pj

_Pi

_ZI

_Zj-Pi

1870 0 2087 2061 - 26 2087 2096

+ 9

18)80 10 2342 2325

-17 2342 2 326 - 16

1890 20 2 593 2 623 +

30

2 593 2 595 + 2

1900 30 2911 , 2 960 + 49 2911 2 912 + 1

1910 40 3 312 3 339 + 27 3 312 3287 - 25

1920 50 3 '709 3767 + 58 3 709 3 733 '+ 24

1930 60 4 287 4250 - 37 4287 4 268

-19

-'

-1940 70 4 887 4 795 - 92 4887 4 912

+ 25

-:t