Ecuaciones de 2do grado
Las ecuaciones de segundo grado o también llamadas cuadráticas de una variable es una ecuación donde tenemos un polinomio de segundo grado o cuadrático cuya grafica es una función cuadrática o parábola. La expresión canónica general de una ecuación de segundo grado es:
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 (1)
En esta ecuación definimos los siguientes términos: .x: variable de la ecuación
.a: coeficiente cuadrático (distinto de cero) .b: coeficiente lineal
.c: término independiente
A continuación veremos cómo obtener las raíces o soluciones, propiedades y gráfico.
I.
Raíces de la ecuación de segundo
grado
Las raíces o soluciones de una ecuación de segunda grado pueden ser reales o complejas, dejando estas últimas excluidas de la presente ficha centrándonos en las soluciones reales.
Las raíces de la ecuación canónica (1) tiene la siguiente expresión general:
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎 (2)
Al emplear el símbolo E indicamos que tenemos dos soluciones, estas son:
𝑥1 =
−𝑏 + 𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 ∧ 𝑥2 =
−𝑏 − 𝑏2− 4𝑎𝑐
La gráfica de la ecuación de segundo grado es una parábola que intersecta el eje de las abscisas (eje X) en las raíces y dependiendo del comportamiento del discriminante pueden ser en dos puntos (dos soluciones reales distintas), un punto (solución real doble) o no intersectar el eje (complejas).
En las ecuaciones (2) y (3) el término dentro de la raíz se denomina discriminante y nos permite determinar el número y tipo de soluciones de la ecuación: dos soluciones reales, una solución doble real y finalmente soluciones no reales (complejas), luego sea el discriminante:
∆= 𝑏2− 4𝑎𝑐
1.
Caso 1
∆> 0 → 𝑏2− 4𝑎𝑐 > 0
En este caso, donde el discriminante es positivo, tenemos dos soluciones reales y distintas intersectando la parábola en dos puntos el eje de las abscisas.
2.
Caso 2
∆= 0 → 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 0
En este caso, donde el discriminante es igual a cero, tenemos una solución real doble intersectando la parábola en un solo punto en el eje de las abscisas.
3.
Caso 3
∆< 0 → 𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0
En este caso, donde el discriminante es negativo, tenemos dos soluciones complejas (no reales) no intersectando la parábola el eje de las abscisas.
Fuente: Wikipedia
II.
Propiedades de las raíces
Las raíces de la ecuación de segundo grado, si conocemos estas, podemos obtener la ecuación canónica general.
- La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado
𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏 𝑎
- Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado
𝑥1∙ 𝑥2 =
𝑐 𝑎
Luego podemos construir la ecuación canónica como sigue:
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 = 0
𝑥2 − 𝑥
1+ 𝑥2 𝑥 + 𝑥1∙ 𝑥2 = 0 /× 𝑎
𝑎𝑥2− 𝑎(𝑥
𝑎𝑥2− 𝑎(−𝑏
𝑎)𝑥 + 𝑎( 𝑐 𝑎) = 0 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
III.
Casos especiales de ecuaciones de
segundo grado
Existen casos especiales de ecuaciones de segundo grado que veremos a continuación:
1.
Ecuaciones Bicuadradas
Estas ecuaciones se resuelven al efectuar un cambio de variables de forma tal de llevar la ecuación original a una de segundo grado normal, solo si son ecuaciones de cuarto grado sin términos impares, veamos un ejemplo:
Sea la siguiente ecuación:
𝑥4− 15𝑥2 + 36 = 0
Como podrá notar, esta ecuación es de cuarto grado y además no tiene términos impares en sus grados, luego hacemos el siguiente cambio de variable y reemplazamos.
𝑆𝑒𝑎 𝑡 = 𝑥2 → 𝑡2 = 𝑥4
𝑡2− 15𝑡 + 36 = 0
Resolviendo la ecuación obtenemos las siguientes soluciones:
𝑡1 = 12 ∧ 𝑡2 = 3
Pero como habíamos efectuado cambio de variable tenemos:
𝑡1 = 12 = 𝑥2 → 𝑥 = ± 12 → 𝑥
1 = 12 ∧ 𝑥2 = − 12
Finalmente, note que podemos emplear este procedimiento para resolver ecuaciones de la siguiente forma:
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡 = 𝑥𝑛 ∧ 𝑡2 = 𝑥2𝑛
2.
Ecuaciones Racionales
Este tipo de ecuaciones las encontramos cuando tenemos dentro de uno de sus términos una raíz y su forma de solución es eliminar dicha raíz para luego resolver la ecuación resultante, veamos un ejemplo:
Sea la siguiente ecuación
3𝑥 − 3 − 𝑥 + 1 = 0
Para eliminar la raíz dejamos está a un lado de la ecuación y los otros términos al otro lado de la igualdad, luego tenemos
3𝑥 − 3 = 1 − 𝑥
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación (eliminamos la raíz) obtenemos
3𝑥 − 3 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2
Reordenando obtenemos
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
Resolviendo obtenemos
𝑥1 = 1 ∧ 𝑥2 = 4
En este punto siempre se debe verificar las soluciones, luego:
3𝑥 − 3 − 𝑥 + 1 = 0 → 3 ∙ 1 − 3 − 1 + 1 = 3 − 3 = 0
3.
Ecuaciones de grado superior a dos
Este tipo de ecuaciones se resuelven mediante la combinación del método de Ruffini y el teorema del resto hasta llevar nuestro polinomio a una descomposición de factores donde uno de estos quede reducido a una ecuación de segundo grado
TEST
1.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación 𝑥2− 6𝑥 + 8 = 0 a) -2 y 4 b) 2 y 4 c) 2 y -4 d) -2 y -4
2.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación 2𝑥3− 162𝑥 = 0 a) 0, -9 y -9 b) 0, 9 y 9 c) 0, 9 y -9 d) 9 y -9
3.- Determine el valor de “a” para que la siguiente ecuación tenga una sola solución. 𝑥2+ 𝑎 ∙ 𝑥 + 16 = 0 a) 8 b) -8 c) 8 y -8 d) 4
6.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥4− 5𝑥2+ 4 = 0 a) 4, 1 y 1 b) -4, 1 y -1 c) 4, 1 y -1 d) 4 y 1
7.- .- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥 − 25 − 𝑥2− 1 = 0 a) 2 b) -2 c) 4 d) -4
8.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥 + 5𝑥 + 10 − 8 = 0 a) -4 b) 4 c) -3 d) 3
4.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación
𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 2 𝑥 − 5 + 4
a) No tiene solución real b) -5 y 3
c) -5 y -3
d) 5 y -3
5.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 𝑥4− 5𝑥2− 36 = 0 a) 9, 4, 3 y -3 b) 9, -4, 3 y -3 c) 9, -4, 3 y 3 d) 9, 4, 3 y -3
9.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 12𝑥2− 3𝑥 = 0 a) 0 y -1/4 b) 0 y 1/4 c) 0 y -1/2 d) 0 y 1/2
10.- Indique las soluciones de la siguiente ecuación: 6𝑥 + 1 + 2𝑥 = 3 a) 4 y 1/2 b) 4 c) 1/2 d) 4 y -1/2
