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GENERALITAT VALENCIANA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2009

S O L U C I Ó N D E L A P R U E B A D E A C C E S O

AUTOR:José Luis Pérez Sanz

Problema 1.1.

a) |A()| 184 428

32

6 482 2

30

b) El determinante de la matriz inversa de Aes el inverso del determinante de A, es decir:

|A1|

Imponemos que |A1| , que es lo mismo que imponer que |A|66.

2

3066 ⇔2

36 ⇒ 6, 6

Problema 1.2.

a) Nos encontramos ante un sistema homogéneo, en el cual la solución trivial xy z0 se produce cuando el sistema es compatible determinado o, lo que es lo mismo, cuando el rango de la matriz de coeficientes es igual a 3 (por tener 3 incógnitas).

Esta situación se producirá cuando el determinante (que es de orden 3) sea distinto de cero.

|A| 3 2014152 28

9 ⇒|A|0 ⇔ 9

Luego si 9 el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, la única solución que admite es la trivial, (x, y, z)(0, 0, 0).

b) Según el apartado anterior, cuando 9 el rango de la matriz de coeficientes es 2.

Nos encontramos, pues ante un sistema compatible indeterminado con 321 grado de libertad.

Tenemos el sistema:

冦

xy z 2x3y 4z

Resolvemos el sistema por Cramer:

x z

y 2z

Problema 2.1.

a) Puesto que la recta que buscamos es perpendicular al plano , utiliza como vector director el vector normal de , es decir:

v"rn"(1, 2, 2)

Como la recta pasa por P(3, 1, 4), la ecuación de res (x, y, z) (3, 1, 4) (1, 2, 2).

b) Existen infinitos planos perpendiculares a . La condición que han de cumplir es que uno de los dos vectores directores sea el vector normal del plano n"(1, 2, 2) y el otro, cualquier vector, v",que no sea proporcional a n". La ecuación vectorial de los planos es:

(x, y, z)(3, 1, 4) (1, 2, 2) v",con, 苸⺢

c) Como el plano pasa por Py Q, un vector director del mismo es PQ$QP(2, 1, 5).

La ecuación del plano es:

(x, y, z)(3, 1, 4) (1, 2, 2) (2, 1, 5)

Problema 2.2.

a) Los planos que buscamos son paralelos a y son de esta forma: 3x2y4zD0.

La distancia entre planos paralelos se calcula con la distan-cia de un punto P(a, b, c) perteneciente a al otro plano AxByCzD 0:

d(P, ) 冷AaBbCcD冷兹A2

B2 C2

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Un punto del plano esP(0, 0, 3). Luego la distancia entre los planos es:

d(, ’)

Imponemos que la distancia sea 5 u, por lo que hay que resolver esta ecuación:

5

Como es valor absoluto, existen dos ecuaciones:

5 ⇒D5 12

5 ⇒D 5 12 Por tanto, los dos planos son:

1⬅3x2y4z5 120

2⬅3x2y4z5 120

b) Para hallar las coordenadas de cada uno de los puntos, igualamos a cero dos de las tres incógnitas y calculamos la otra.

앫 Intersección de con el eje X

Hacemos y0, z0 ⇒3x12 ⇒x4 El punto es A(4, 0, 0).

앫 Intersección de con el eje Y

Hacemos x0, z0 ⇒2y12 ⇒y6 El punto es B(0, 6, 0).

앫 Intersección de con el eje Z

Hacemos x0, y0 ⇒4z12 ⇒z3 El punto es C(0, 0, 3).

c) Calculamos los vectores AB$, BC$, y AC$para hallar los ángulos pedidos: AB$BA(4, 6, 0) BC$CB(0, 6, 3) AC$CA(4, 0, 3) cos (AB$, AC$) 艑艑0,443 8

Ángulo BACX arc cos (0,443 8) 艑63,65°

cos (BA$, BC$)

艑0,744 2

Ángulo ABCX arc cos (0,744 2) 艑41,91° Hallamos el ángulo ACBX de esta forma:

Angulo ACBX 180°(63,65°41,91°)74,44° 36 兹2 340 BA$BC$ |BA$||BC$| 0360 兹52兹45 AB$AC$ |AB$||AC$| 1600 兹52兹25 16 5兹52 兹29 兹29 兹29 12D 兹29 兹29 12D 兹29 冷12D冷兹29 冷12D冷兹29 冷3ⴢ02ⴢ04ⴢ3D冷

兹

32 22 42

Problema 3.1.

a) Sea h(x) 앫 Asíntotas verticales En x2 lim x→2 lim x→2 앫 Asíntotas horizontales: lim x 0 lim x→ 0

Por tanto, la asíntota horizontal es y0.

Como existen asíntotas horizontales eny , no hay asíntotas oblicuas.

b) Para calcular dxdescomponemos:

⇒

Igualamos los numeradores: 2x2

12x6(AB)x2

(C2B)x (9A2C) Igualamos los coeficientes del mismo grado:

AB2

冦

C2B12 ⇒A2, B0, C12 9A2C 6

Luego el integrando es:

2x2₁₂ x6 (x2)(x2₉₎ 2 x2 12 x2₉ (AB)x2₍ C2B)x(9A2C) (x2)(x2 9) Ax2₉ ABx2 Cx2Bx2C (x2)(x2₉₎ A x2 BxC x2 9 2x2 12x6 (x2)(x2 9)

冕

2x2 12x6 (x2)(x2 9) 2x2 12x6 (x2)(x2 9) 2x2 12x6 (x2)(x2 9) 26 0 ⴢ13 26 0 ⴢ13 2x2 12x6 (x2)(x2 9) 2x2 12x6 (x2)(x2 9) 2x2₁₂ x6 (x2)(x2₉₎ f(x) g(x)

Bloque 3. Análisis

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GENERALITAT VALENCIANA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2009

Por tanto:

H(x) dx

2ln |x2| arc tg C

Para hallarCtenemos en cuenta que H(3) , es decir: 2ln |32| arc tg C ⇔ C ⇒

⇒C

Luego la función que buscábamos es: H(x)2ln |x2| arc tg

Problema 3.2.

a) f(x) f’(x) f’’(x) b) f’’(x)0 ⇔48x2160 ⇒x2 ⇒x , x Comprobamos que son puntos de inflexión:

Como la derivada segunda cambia de signo a ambos lados de los puntos calculados, la función cambia de curvatura y, por lo tanto, los puntos son de inflexión. Los puntos de inflexión de f(x) son:

P1 y P2

c) La pendiente de las rectas tangentes la proporciona la derivada primera, f’(x):

Pendiente(x)

Para maximizar esta función, igualamos su derivada a 0: Pendiente’(x)f’’(x)

Pendiente’(x)0 ⇔x x Los intervalos de curvatura son:

En x la función Pendiente tiene un máximo, pues su derivada primera es positiva a la izquierda (creciente) y negativa a la derecha (decreciente). La pendiente máxima se alcanza en x y su valor es:

Pendiente

b

冪

1

l

81 艑46,77 3 16ⴢ

冢

冪

1 3

冣

冪

l

1 3

冪

1 3

b

冪

, ⴥ

l

1 3

b

ⴚⴥ, ⴚ

冪

1₃

l

b

ⴚ

冪

₃1,

冪

₃1

l

b

冪

1₃, ⴥ

l

Bloque 4. Resolución de problemas

Problema 4.1.

Representamos la situación del enunciado:

Establecemos un sistema de coordenadas y situamos el punto Ben el instante cero (7 de la mañana) en el origen de

coordenadas y, por lo tanto, el punto Aen las coordenadas (150, 0).

La lancha Bnavega hacia el norte a 30 km/h, por lo que sus coordenadas de posición en función del tiempo son (0, 30t). La lancha A(150, 0) navega hacia el oeste y sus coordenadas en función del tiempo son (15040t, 0).

La función que nos da la distancia entre los puntos Ay B dependiendo del tiempo es:

d(t)

Desarrollando cuadrados y agrupando, tenemos: d(t)兹(2 50012 000t2 500t2 兹(15040t)2 (30t)2 Y X 30 km/h 40 km/h B(0, 0) A(150, 0) 150 km

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Calculamos su derivada: d’(t)

Para minimizar la distancia igualamos a cero la derivada: d’(t)0 ⇔12 0005 000t0 ⇒t

Si tomamos valores en la derivada a ambos lados de t12/5, tenemos lo siguiente:

Luego ent12/5 hay un mínimo. Lo convertimos a horas y minutos:

h2 h2 h y 24 min

Así, las lanchas estarán a la mínima distancia 2 h y 24 min después de las 7 de la mañana; es decir, a las 9 h y 24 min.

Problema 4.2.

Como la base aumenta 0,2 mm por minuto y al principio tiene 8 cm80 mm, la expresión 800,2tnos proporcio-na lo que mide en el instante t.

La altura también crece 0,2 mm por segundo, pero como al principio tiene 60 mm, la expresión de su longitud es 600,2t.

La diagonal de la lámina viene dada por esta expresión:

d(t)

La velocidad de crecimiento viene determinada por la deri-vada de la función d(t):

Velocidad(t)

Simplificamos y obtenemos la velocidad de crecimiento de la diagonal de la lámina en función del tiempo:

Velocidad(t) 12 005 000t 2兹22 50012 000t2 500t2 280,08t 兹10 00056t0,08t2 560,16t 2兹10 00056t0,08t2 兹10 00056t0,08t2 兹(800,2t)2 (600,20t)2 12 5 2 5 12 5 12 000 5 000 d’0 d’0 Creciente Decreciente