Optimización de portafolios de bonos - aplicación al mercado colombiano

(1)

Optimizaci´

on de portafolios de

Bonos

Aplicaci´

on en el mercado colombiano

Daniela Bernal Abella

Departamento de Matem´

aticas

Universidad de los Andes

Asesor: Mauricio Junca

(2)

(3)

Abstract

La de optimización de portafolios de inversión cada vez toma más fuerza en el sector financiero, sin embargo esta ha estado mayormente enfocada en selección de activos, y la aplicabilidad en el mercado de bonos es menos conocida y debe ser estudiada con mayor profundidad debido a las diferencias existentes entre estos instrumentos financieros. El objetivo de este proyecto es llevar a cabo desde una perspectiva matemática, un estudio sobre la teor´ıa de optimización de portafolios de bonos teniendo en cuenta las caracter´ısticas y particulari-dades de estos. Inicialmente se estudia el modelo de Vasicek para curvas de tasas de interés como un caso particular del modelo Heath-Jarrow-Morton, con el cual se modelan los precios de bonos. Posteriormente se estudian las modi-ficaciones necesarias que se deben realizar a la teor´ıa de portafolios propuesta por Markowitz para aplicarla a estos instrumentos financieros. Por último se estudian los resultados y limitaciones de aplicar esta teor´ıa en el mercado colombiano.

(6)

(7)

CHAPTER

1

Preliminares

El presente cap´ıtulo proporcionará las bases necesarias para entender los cap´ıtulos siguientes en donde se desarrollará la teor´ıa sobre optimización de portafolios de bonos.

1.1 C´

alculo estoc´

astico

A continuación se introducirán los conceptos más importantes del cálculo es-tocástico que permitirán desarrollar toda la teor´ıa posterior.

Definición 1.1. Una filtraciónF ={Ft}t en el espacio de probabilidad (Ω,P) es una familia creciente de σ-álgebras, esto quiere decir que para 0≤u≤t se tiene que Fu ⊆ Ft.

Definici´on 1.2. Un proceso estoc´astico X = (Xt)t definido en (Ω,P,F) es

Ft-adaptado si para todo t, se tiene que Xt es Ft medible. Es decir que para

todo x∈_R, el evento {Xt ≥x} pertenece a Ft.

Definici´on 1.3. Un movimiento Browniano, {W(t) : t ≥ 0} es un proceso estoc´astico que satisface las siguientes propiedades:

(8)

• Tiene incrementos independientes: Dados 0 < t1 < t2 < · · · < tn las

variables aleatorias W(tn)−W(tn−1),· · ·, W(t2)−W(t1), W(t1) son

in-dpendientes.

• Los incrementos siguen una distribuci´on normal estacionaria, es decir que dados t < s, la variable aleatoria W(s)−W(t) se distribuye N(0, s−

t).

• El proceso {W(t) :t ≥0} tiene caminos continuos casi siempre.

El siguiente lema, conocido como el lema de Itô brinda la fórmula necesaria para diferenciar expresiones de la forma f(W(t)) donde f(t) es una función diferenciable y W(t) es un movimiento Browniano:

Lema 1.1 (Lema de Itˆo). Sea W(t) un movimiento Browniano y f(t, x) una funci´on con derivadas ft(t, x),fx(t, x) y fxx(x, t) definidas y continuas.

En-tonces para todo T se tiene que:

f(T, W(T)) =f(0, W(0)) +

Z T

0

ft(t, W(t))dt+

Z T

0

fx(t, W(t))dW(t) +

1 2

Z t

0

fxx(t, W(t))dt

1.2 Teor´ıa de bonos y estructura de tasas de

inter´

es

Un bono es un instrumento financiero de deuda del emisor hacia el comprador, bajo el cual el emisor se compromete a devolver el prestamo junto con intere-ses al poseedor del bono de acuerdo con las caracter´ısticas especificadas. El valor pagado al vencimiento del bono se conoce como valor facial o principal del bono. Los emisores de bonos pueden ser tanto entidades privadas como entidades gubernamentales. Los bonos se pueden clasificar en dos categor´ıas; bonos cero cupón y bonos cuponados; los bonos cero cupón son aquellos bonos que únicamente realizan el pago del principal en la fecha de vencimiento del

(9)

1.2. TEOR´IA DE BONOS Y ESTRUCTURA DE TASAS DE INTER ´ES 3

bono, mientras que los bonos cuponados pagan intereses cada cierto periodo de tiempo adicional al pago del valor facial del bono. La tasa de inter´es spot

designada como R(t, T) representa la tasa de inter´es por periodo que se carga a un pr´estamo que comienza en el tiempo t y se vence en el tiempo T, donde

t < T. Las tasas spot pueden ser encontradas a partir de los precios de los

bonos cero cupón. Por convención, se asume que el valor facial de los bonos cero cupón es 1, es decir que en el momento del vencimiento el deudor paga una unidad monetaria al poseedor del bono.

Sea P(t, T) el precio de un bono en el momentotcuyo vencimiento se da en el tiempo T, entonces existe la siguiente relaci´on entre la tasa spot y el precio del bono descontado de manera continua:

P(t, T) = exp(−(T −t)R(t, T)) (1.1)

As´ı que resolviendo para la tasa spot, se obtiene que:

R(t, T) =− 1

T −tln(P(t, T)) (1.2)

Uno de los trabajos que más se ha desarrollado en los últimos años se enfoca en encontrar modelos que se ajusten bien a una tasa spot en particular, la short rate . La short rate r(t) o rt es la tasa de interés con vencimiento instantáneo,

es decir:

r(t) = lim

T−→tR(t, T)

Esta tasa no es observable en el mercado, puesto que en la vida real no exis-ten pr´estamos con pago inmediato, por lo tanto ´unicamente se pueden realizar aproximaciones en el mercado sobre la short rate.

Otra tasa de gran inter´es es la tasaforward,F(t, T, τ) la cual hace referencia a la tasa en el momento t de un pr´estamo que empieza en T y se vence en τ,

(10)

donde t≤T ≤τ. Esta tasa se define bajo la siguiente relaci´on:

exp(R(t, τ)(τ−t)) = exp(R(t, T)(T −t)) exp(F(t, T, τ)(τ−T)) = exp(R(t, T)(T −t) + (F(t, T, τ)(τ−T))

Al resolver paraF(t, T, τ), se obtiene que:

F(t, T, τ) = 1

τ −T ln

P(t, T)

P(t, τ)

(1.3)

De estas tasas forward se derivan unas tasas de gran importancia que serán muy relevantes en este documento, la tasa forward instantánea f(t, T). Esta hace referencia a la tasa de un préstamo en el momento t que comienza en el tiempo T y vence instantáneamente después en T + ∆t. Esta tasa es de gran importancia en el mercado debido a que cualquier otra tasa se puede expresar en términos de la tasa forward instantánea. Matemáticamente, esta tasa se define de la siguiente manera:

f(t, T) = lim

τ−→TF(t, T, τ) (1.4)

Reemplazando la expresi´on paraF(t, T, τ), podemos reescribir f(t, T) como:

f(t, T) = lim

τ−→T

1

τ−T ln

P(t, T)

P(t, τ)

(1.5)

=− ∂

∂T lnP(t, T) (1.6)

=− 1

P(t, T)

∂P(t, T)

∂T (1.7)

Note que por las definiciones der(t) y de f(t, T) es posible concluir quer(t) =

f(t, t). Los precios de los bonos cero cupón en el tiempo t con vencimiento en T se puede calcular a partir de la tasa forward instantánea, definiendo de esta manera los precios de los bonos libres de arbitraje a partir de la siguiente expresión:

P(t, T) = exp

−

Z T

t

f(t, u)du

Ft

(11)

En los bonos cuponados, la yield to maturity o simplemente la yield YT de un

bono con vencimiento T es la tasa interna de retorno de ese bono, es decir la tasa a la cual se descuentan los pagos futuros del bono para obtener el precio del mismo. El precio de un bono que paga cupones c1, ..., cn en las fechas t1, ..., tn

y con valor facial F, se calcula con la siguiente expresi´on:

P =

n X

i=1

cj·exp(−yTtj) +F ·exp(−yTtn) (1.9)

En los bonos cuponados, la yield to maturity no es equivalente al retorno del bono debido a que es necesario tener en cuenta la tasa de inversi´on de los pagos de los cupones.

Definición 1.4. La term-structure de tasas de interés es definida como la relación entre la yield to maturity y el vencimiento de un bono.

De manera equivalente es posible definir los precios de los bonos cuponados a partir de los precios de bonos cero cup´on utilizando la siguiente expresi´on:

Pc(t, T) =

T X

i=0

ciP(t, i) (1.10)

Bajo este contexto es importante entender qué significa que un modelo sea libre de arbitraje. LLamaremos _P a la medida de probabilidad real, es decir la medida con la cual se estiman las probabilidades de los eventos que ocurren en la realidad. A continuación se dan las definiciones y conceptos más importantes para entender las condiciones de no-arbitraje. Para eso se define inicialmente el proceso de descuento:

D(t) = exp(−

Z t

0

r(s)ds) (1.11)

(12)

de este proceso tendr´a la forma:

dD(t) =−r(u)D(t)dt (1.12)

De esta manera, ahora es posible definir qué es un portafolio y qué una medida de riesgo neutral, la cual servirá para encontrar portafolios que sean libres de arbitraje.

Definici´on 1.5 (Portafolio). Suponga que en el mercado hay k instrumentos financieros. Un portafolio es un vector W = (N1, ..., Nk), en donde cada Ni

representa la cantidad de t´ıtulos que se poseen del instrumento i. Cuando

Ni <0 representa una venta corta del instrumento. El valor del portafolio en

el tiempo t se denora como W(t).

Definici´on 1.6. Una medida de probabilidad _P˜ se llama medida de riesgo neu-tral si:

1. _P y _P˜ son equivalentes (∀A∈ F,_P(A) = 0 ⇐⇒ _P˜(A) = 0)

2. Para todo bono, el precio descontado D(t)B(t, T) es una martingala bajo

˜

P.

Intuitivamente la posiblidad de arbitraje se define como la posibilidad de obtener ganancias en algún momento del tiempo sin llegar a invertir ningún capital real. La definición formal es la siguiente:

Definici´on 1.7. Un portafolio con posiblidad de arbitraje es un portafolio W

tal que W(0) = 0 y para alg´un T >0

P(W(T)≥0) = 1 (1.13)

Lo cual es equivalente a que: _P(W(T)≥ W_D₍(0)_T₎) = 1

Esto introduce el primer teorema fundamental de la valoraci´on de activos:

Teorema 1.1 (Primer teorema fundamental de la valoraci´on de activos). Si un modelo de mercado tiene una medida de riesgo neutral, entonces el modelo no admite posiblidades de arbitraje.

(13)

El teorema de Gisanov, será útil para encontrar las condiciones de no arbi-traje del modelo que se desarrollará en este documento. Este teorema describe como cambia la dinámica de un proceso estocástico a otro cuando la medida de probabilidad real se cambia a la medida de riesgo neutral.

Teorema 1.2 (Teorema de Gisanov). Sea W(t),0 ≤ t ≤ T un movomiento Browniano en un espacio de probabilidad (Ω,F,_P) y sea F una filtraci´on para este movimiento Browniano. Sea Θ(t) un proceso adaptado. Defina:

Z(t) = exp(−

Z t

0

Θ(t)dW(u)− 1

2

Z t

0

Θ2(t)du) (1.14)

˜

W(t) = W(t) +

Z t

0

Θ(t)du (1.15)

(14)

(15)

CHAPTER

2

Optimizaci´

on de portafolios

Este cap´ıtulo describe el problema de optimizaci´on de portafolios desde la per-spectiva tradicional de Markowitz de un enfoque media varianza. Igualmente se describen las modificaciones necesarias que se deben tener en cuenta en el momento de aplicar esta teor´ıa a un portafolio de bonos, tanto cero cup´on como bonos cuponados.

2.1 Teor´ıa de portafolios de Markowitz

El planteamiento cl´asico de la teor´ıa de optimizaci´on de portafolios propuesta por Markovitz tiene un enfoque media-varianza en el cual se adquiere un portafolio el momento t = 0 el cual se espera vender en el momento t = T

sin realizar rebalanceos intermedios del portafolio. En la pr´actica, el problema de selecci´on de portafolios no se realiza de esta manera, pues los inversores rebalancean constantemente su portafolio de bonos, sin embargo este problema de multiperiodos se puede reducir a un problema de un solo periodo el cual se repite constantemetne.

En esta primera parte del cap´ıtulo se desarrollará el problema de opti-mización únicamente para bonos cero cupón, en la siguiente sección se

(16)

gener-alizará para bonos con pago de cupones. El problema de optimización busca minimizar la varianza de este portafolio, dado un nivel de retorno esperado del mismo. Consideremos el escenario en donde un inversionista puede com-prar o vender diferentes instrumentos financieros en algún momento del tiempo

t = 0. El inversionista busca entonces que en el momento en el que venda el portafolio, obtenga el mayor retorno y la menor varianza posible. Bajo es-tas suposiciones, se suele plantear el siguiente modelo de optimizaci´on en el cual se busca minimizar la varianza sujeto a un nivel esperado de retorno del portafolio:

min

N var(WT) (2.1)

s.a.

E[WT] = ¯WT τ

X

i=1

NiPi =W0

Donde, WT es el valor del portafolio en el momento T y W0 es la inversi´on

inicial. En este caso,Nihace referencia a la cantidad de t´ıtulos que se adquieren

de cada instrumento financiero, cada uno de los cuales se compra a un precio

Pi en el inicio del an´alisis. El nivel de retorno esperado del inversionista se

denota como ¯WT.

2.2 Markowitz aplicado a bonos cero cup´

on

La formulación del problema de optimización es válido para cualquier tipo de in-strumento financiero, pero en el momento de trabajar con bonos es importante tener en cuenta aspectos adicionales que los caracterizan. La principal difer-encia entre acciones y activos de renta fija, es el hecho de que los bonos tienen una fecha de vencimiento finita y fija. En el problema de optimización sobre activos de renta fija, puede ocurrir que existian bonos que tengan vencimiento previo a la fecha de venta del portafolio, as´ı como existirán otros bonos que

(17)

2.2. MARKOWITZ APLICADO A BONOS CERO CUP ´ON 11

tengan vencimiento posterior a esta fecha. Aquellos bonos cuyo vencimiento es anterior a T, no existirán en el momento de la venta del portafolio, as´ı que es necesario tener en cuenta suposiciones adicionales sobre las posibles deci-siones de reinversión del pago de estos bonos las cuales se deben poder llevar a cabo con la información disponible. Dado que no se realizan rebalanceos intermedios, se asumirá que el valor facial recibido del pago de los bonos con vencimiento s < T será reinvertido en un préstamo con vencimiento exacta-mente enT, lo cual en el mercado se puede entender como un bono cero cupón cuyo vencimiento es T1_{. Dado que se liquida por completo el portafolio en el}

momento T, los bonos con vencimiento t posterior a T, se van a vender en el momento T al precio en el que se encuentre ese d´ıa, es decir P(T, t). En la primera parte de este modelo, se asume que todos los bonos disponibles son bonos cero cup´on, la cual posteriormente ser´a extendida a bonos cuponados.

Suponga entonces que el mercado cuenta con K bonos cero cup´on para diferentes vencimientos t1, . . . , tk, los cuales en el momento t = 0 se venden

a precios P(0, t1), . . . , P(0, tk). El inversionista adquiere un portafolio W el

cual est´a compuesto por N1, . . . , Nk unidades de cada uno de los bonos. En el

momento t= 0, el valor del portafolio es:

W0 =

K X

i=1

NiP(0, ti)

Igualmente el valor del portafolio en el tiempoT bajo las suposiciones realizadas ser´a:

WT =

X

{i:ti<T}

Niexp((T −ti)R(ti, T)) +NT + X

{i:ti>T}

Niexp(−(ti−T)R(T, ti))

Note que el primer término de la expresión anterior se refiere a aquellos bonos que vencen antes de la fecha de venta del portafolio, y el último término

1_{Se asume que en cualquier momento del tiempo se puede adquirir un pr´}_{estamo cuyo}

(18)

hace referencia a los bonos que vencen en una fecha posterior a T. Dado que P(ti, T) = exp(−(T −ti)R(ti, T)) y P(0, ti) = 1 para todo i = 1, . . . , k,

entonces se tiene que WT se puede escribir como:

WT =

X

{i:ti<T}

Ni

1

P(ti, T)

+NT + τ X

{i:ti>T}

NiP(T, ti) (2.2)

Por facilidad en la notaci´on se escribe el problema de optimizaci´on de manera vectortial, para esto definimos los siguientes vectores:

b

N =(N1, . . . ,Nf_T, . . . , N_k)

ˆ

P0 =(P(0, t1), . . . ,P^(0, T), . . . , P(0, tk))

ˆ

PT =

1

P(t1, T)

, . . . , 1

P(tj−1, T)

,P^(T, T), P(T, tj+1), . . . , P(T, tk)

En donde la tilde sobre los t´erminos Nf_T,P^(0, T) y P^(T, T) hacen referencia a

que esta coordenada se elimina de cada uno de los vectores anteriores. Por la formulación del problema de optimización, será necesario calcular el valor esperado y la varianza deWT:

E[WT] = X

{i:ti<T}

NiE[ 1

P(ti, T)

] +NT + X

{i:ti>T}

NiE[P(T, ti)]

(19)

2.2. MARKOWITZ APLICADO A BONOS CERO CUP ´ON 13

var(WT) = X

{i:ti<T}

X

{j:ti<T}

NiNjcov

1

P(ti, T),

1

P(tj, T)

+ 2 X

{i:ti<T}

X

{j:ti>T}

NiNjcov

1

P(ti, T)

, P(T, tj)

+ X

{i:ti>T}

X

{j:ti>T}

NiNjcov(P(T, ti), P(T, tj))

=Nb0CNb (2.4)

Donde C es la matriz de covarianza, que está dada más explicitamente por la siguiente expresión:

Ci,j =

                       cov 1

P(ti, T)

, 1

P(tj, T)

i:ti < T j :ti < T

cov

1

P(ti, T)

, P(T, tj)

i:ti < T j :ti > T

cov

P(T, ti),

1

P(tj, T)

i:ti > T j :ti < T

cov (P(T, ti), P(T, tj)) i:ti > T j :ti > T

(2.5)

Ejemplo 2.1. A modo de ejemplo construirremos una matriz de coviarianza. Suponga que existen cinco bonos cero cup´on con vencimientos ti = 1, ...,5 y

suponga que T = 3. Entonces la matriz de varianza y coviarianza se escribe de la siguiente forma:

        

var_P₍₁1_,₃₎ cov_P₍₁1_,₃₎,_P₍₂1_,₃₎ cov_P₍₁1_,₃₎, P(3,4) cov_P₍₁1_,₃₎, P(3,5)

· · · var_P₍₂1_,₃₎ cov_P₍₂1_,₃₎, P(3,4) cov_P₍₂1_,₃₎, P(3,5)

· · · var(P(2,4)) cov (P(3,4), P(3,5))

· · · var(P(3,5))

        

(20)

El problema de optimizaci´on en t´erminos matriciales, se puede escribir en-tonces como:

min

N

1 2Nb

0

CNb

s.a.

b

N0E[PT] +NT = ¯WT

b

N0Pb0 +NTP(0, T) = W0

De la ´ultima restricci´on del problema anterior, se puede simplificar NT con lo

que se obtiene que

NT = 1

P(0, T)

W0−Nb0Pb0

Y sustituir la expresión anterior en la primera restricción. De manerna que el problema de optimización es equivalente al siguiente:

min

N

1 2Nb

0

CNb (2.6)

s.a.

b

N0E[PT] +

1

P(0, T)

W0−Nˆ0P0

= ¯WT (2.7)

El problema de optimización es un problema cuadrático con una única re-stricción de igualdad, por lo que se puede derivar la función de Lagrange con respecto a ˆN0 para obtener la solución óptima:

d

dNb

1 2Nb

0

CNb+λ

¯

WT −Nb0

E[Pc_T]−

1

P(0, T)

ˆ

P0

− W0

P(0, T)

= ¯0

CNˆ +λ

E[PT]−

1

P(0, T)

ˆ

P0

= ¯0

=⇒Nb∗ =λ

C−1E [PT]−

1

P(0, T)C

−1 b

P0

(21)

2.3. MARKOWITZ APLICADO A BONOS CUPONADOS 15

en la restricción de igualdad del problema de optimización, se obtiene el valor deλ en función del valor inicial y final del portafolio:

λ=

¯

WT − W0

P(0, T)

EhPˆT i

− 1

P(0, T)

ˆ

P0

0

C−1

EhPˆT i

− 1

P(0, T)

ˆ

P0

(2.8)

Ahora con la soluci´on expl´ıcita para λ y Nb∗ se puede resolver por completo el

problema de optimizaci´on para este caso. Note entonces que para encontrar ˆ

N∗ es necesaria la información acerca de la estructura de tasas de interés, estos parámetros se encuentran desarrollando la teor´ıa del modelo de Vasicek propuesta en el cap´ıtulo siguiente.

2.3 Markowitz aplicado a bonos cuponados

Como se mencionó anteriormente toda la teor´ıa de portafolios de Markovitz aplicada a instrumentos de tasa fija, se desarrolló únicamente para bonos cero cupón, sin embargo en el mercado es más común encontrar bono cuponados que aquellos bonos cero cupón. Nuevamente es necesario plantear ciertos cambios para poder aplicar la teor´ıa anteriormente desarrollada a estos tipos de bonos. Es claro que todo bono cuponado se puede ver como muchos bonos cero cupón, en donde cada pago de cupón o del valor facial es un nuevo bono cero cupón artificial, sin embargo no se puede aplicar lo anteriormente descrito dado que no son cupones realmente existentes, por lo tanto en la vida real no es posible adquirir estos bonos artificiales. Esta sección describe entonces nuevas suposi-ciones que se deben realizar a bonos cuponados.

Suponga ahora que existen en el mercado K bonos cuponados, cada uno de los cuales tienen cupones y fechas de vencimiento diferentes. En el momento

t= 0 los bonos tienen un precio en el mercado de P1, ...PK. Cada uno de estos

(22)

ci,1, ..., ci,mi en cada una de estas fechas respectivamente. Es claro que para

cada bono i, la fecha de vencimiento del mismo es ti,Ki y por lo tanto en esta

fecha paga el último cupón más el valor del facial, es decir queci,ki =ci,1+Fi,

donde Fi es el valor del facial del bono. El objetivo es determinar los pesos

´

optimos N1, ...NK de manera que se minimize nuevamente la varianza de este

nuevo portafolio sujeto a un nivel esperado de retorno.

Nuevamente vamos a suponer que todos aquellos pagos de cupones o de valores faciales que ocurran antes de la fecha de análisis t < T, se van a reinvertir en un préstamo con vencimientoT el cual tiene el precio de un bono cero cupón P(t, T). Aquellos que tengan vencimiento o pago de cupones en una fecha t posterior a T, se van a tratar como bonos cero cupón con valor facial Cit y se van a vender en el momento T a un precio de P(T, t). Si algún

bono se vence en el momento T, simplemente se recibe el valor del pago del cup´on y del facial. Bajo estas suposiciones podemos entonces escribir el valor del portafolio WT en el momento T de la siguiente forma:

WT =

K X

i=1

X

j:tij<T

Nicij

1

P(tij, T)

+

K X

i=1

X

j:tij=T

Nicij +

N X

i=1

X

j:tij>T

NicijP(T, tij)

(2.9) Igualmente el valor del portafolio en el tiempo t= 0 ser´a:

W0 =

K X

i=1

NiPi (2.10)

La función objetivo y las restricciones del modelo siguen siendo las mismas que en el problema descrito en la sección anterior, pero se añade la posibilidad de comprar bonos cuponados. Debido a que se crean bonos artificiales, se crean a su vez variables de decisión artificiales en el problema de optimización. La cantidad de t´ıtuos a comprar de cada uno de estos nuevos bonos se denota comoNi,j en dondei∈1,· · · , k yj hace referencia al pago delj−ésimo cupón

(23)

variables son artificiales, es necesario agregar resitrcciones acerca de la cantidad de estos bonos que se pueden comprar. se agrega para cada i = 1, . . . , K el siguiente conjunto de restricciones al problema de optimizaci´on:

Ni,j =Ni,j0 ∀j = 1, . . . , m_j (2.11)

A su vez, la matriz de varianza y covarianza aumenta su dimensión pues ahora la dimensión es la cantidad total de pagos de cupones que hay para todos los bonos y hay nuevas variables de decisión.

Ejemplo 2.2. Suponga que un inversionista puede invertir una cantidad W0

en un portafolio compuesto por dos bonos cuponados diferentes, cantidades

N1 y N2 respectivamente esperando un retorno esperado W¯T en el momento T. Cada uno de estos bonos tiene pagos de cupones c1,1, c1,2 para el primer

bono y c2,1, c2,2, c2,3 para el segundo bono. Estos pagos se realizan en las fechas t1,1, t1,2, t2,1, t2,2 y t2,3 respectivamente, donde t1,1, t1,2, t2,1 < T < t2,2, t2,3, por

lo tanto el valor del portafolio en el momento T se puede escribir como:

WT =

N1,1c1,1

P(t1,1, T)

+ N1,2c1,2

P(t1,2, T)

+ N2,1c2,1

P(t2,1, T)

+N2,2c2,2P(T, t2,2) +N2,3c2,3P(T, t2,3)

(2.12)

Note que los tres primeros términos hacen referencia a pagos que se realizaron antes de la fecha T y fueron reinvertidos en un bono con vencimiento T y los dos últimos términos de la expresión hacen referencia a pagos que aún no se han vencidon y por lo tanto se venden al precio P(T, t2,2) y P(T, t2,3) en el

momento T.

El valor esperado de WT es:

E[WT] =N1,1c1,1E

1

P(t1,1, T)

+N1,2c1,2E

1

P(t1,2, T)

+N2,1c2,1E

1

P(t2,1, T)

(24)

C =                 [ H ] c 2 11 v ar 1 P ( t 11 , T ) ! c 11 c 12 co v 1 P ( t 11 , T ) , 1 P ( t 12 , T ) ! c 11 c 21 co v 1 P ( t 11 , T ) , 1 P ( t 21 , T ) ! c 11 c 22 co v 1 P ( t 11 , T ) , P ( T , t 22 ) ! c 11 c 23 co v 1 P ( t 11 , T ) , P ( T , t 23 ) ! · · · c 2 12 v ar 1 P ( t 12 , T ) ! c 12 c 21 co v 1 P ( t 12 , T ) , 1 P ( t 21 , T ) ! c 12 c 22 co v 1 P ( t 12 , T ) , P ( T , t 22 ) ! c 12 c 23 co v 1 P ( t 12 , T ) , P ( T , t 23 ) ! · · · · · · c 2 21 v ar 1 P ( t 21 ,T ) c 21 c 22 co v 1 P ( t 21 ,T ) , P ( T , t 22 ) c 21 c 23 co v 1 P ( t 21 , T ) , P ( T , t 23 ) ! · · · · · · · · · c 2 22 v ar ( P ( T , t 22 )) c 22 c 23 co v ( P ( T , t 22 ) , P ( T , t 23 )) · · · · · · · · · · · · c 2 23 v ar ( P ( T , t 23 ))                

(25)

La varianza se puede escribir matricialmente como:

var(WT) =

N1,1 N1,2 N2,1 N2,2 N2,3

C 

      

N1,1

N1,2

N2,1

N2,2

N2,3



      

Donde C es la matriz de covarianza descrita en la siguiente p´agina.

Cada una de las entradas del vector Nb se trata como una nueva variable y se

imponen restricciones adicionales sobre estas, de manera que tenga sentido la cantidad de bonos que se compran de cada tipo. El problema de optimizaci´on resultante es entonces:

min

b N

b

N CNbT (2.14)

s.a.

E[WT] = ¯WT

N1,1Pm(0, t1,2) +N2,1Pm(0, t2,3) = W0

N1,1−N1,2 = 0

N2,1−N2,2 = 0

N2,1−N2,3 = 0

La segunda restricción del problema indica que la inversión inicial debe ser igual a la cantidad de bonos comprados del primer tipo por su precio en el mercado más la cantidad de bonos comprados del segundo tipo por su precio en el mercado. Las últimas tres restricciones hacen referencia al hecho de que las cantidades que se tienen de los cupones deben ser iguales para bonos de la misma referencia. Este problema se puede solucionar con la expresión de N∗ y

(26)

2.4 Restricciones de ventas cortas

como se mencionó en la sección anterior, el modelo previamente descrito no incluye ninguna restricción sobre la posible venta corta de los t´ıtulos, ya que no se incluye en el problema de optimización ninguna restricción del tipo: Ni >

0. Debido a esto se propone el siguiente problema alternativo, el cual no es posible solucionar de manera anal´ıtica debido a esta restricci´on adicional de desigualdad.

min

N var(WT)

s.a.

E[WT] = ¯WT τ

X

i=1

NiPi =W0

Ni ≥0 ∀i

Debido a que se añaden restriciones al problema de optimización es más prob-able que el problema sea infactile, por lo cual la implementación del problema es posible que sea necesario quitar la restricción relacionada con el retorno esperado del portafolio o la

(27)

CHAPTER

3

Modelos de tasas de inter´

es

En el momento de estudiar la teor´ıa sobre la selección de portafolios de bonos es necesario tener en cuenta una estructura de tasas de interés que proporcionará la información necesaria para estimar la dinámica de los precios de los bonos en el tiempo y as´ı mismo servirá para resolver el problema de optimización del portafolio. El propósito de este cap´ıtulo es establecer un modelo de tasas de interés del cual se pueda deducir la información necesaria para resolver el problema de optimización.

Existen varias caracter´ısticas relevantes que se desean en un modelo de tasas de interés. Por una parte, se espera que la tasas no sean negativas en ningún momento del tiempo e idealmente debe tener la propiedad de reversión a la media en donde el drift sea positivo en caso de que la variable a modelar esté por debajo de cierto nivel y sea negativo en caso de estar por arriba de cierto nivel. Durante las últimas décadas se han desarrollado diversos modelos que satisfacen estas caracter´ısticas, la siguiente tabla describe los más importantes de ellos:

(28)

Nombre Modelo

Vasicek drt=κ(θ−rt)dt+σdWt

Cox, Ingelson, Ross (CIR) drt=κ(θ−rt)dt+σ

√

rtdWt

Ho-Lee drt=θtdt+σdWt

Vasicek Exponencial drt =rt(ηt−alogrt)dt+σrtdWt

Hull-White (Vasicek extendido) drt= (βt−αtrt)dt+σtdWt

En este documento se estudiará a profundidad el modelo de Vasicek y se re-alizará la optimización del portafolio con base en este modelo. Primero se estu-diará el marco general de Heath-Jarrow-Morton de donde se deriva la condición de no arbitraje del modelo de Vasicek.

3.1 Marco Heath-Jarrow-Morton (HJM)

En el a˜no 1987 Heath, Jarrow y Morton propusieron un modelo general de tasas de inter´es, el cual estudia el movimiento de toda la term structure de un bono. Este es un modelo general, del cual se pueden derivar otros modelos como casos particulares de este.

3.1.1 Din´

amica de las tasas forward y precios de bonos

Este modelo supone que las tasas forward, evolucionan bajo una medida de probabilidad_P seg´un el siguiente proceso de difusi´on:

df(t, T) =α(t, T)dt+σ(t, T)W(t) (3.1)

O de manera equivalente:

f(t, T) =f(0, T) +

Z t

0

α(u, T)du+

Z t

0

σ(u, T)dW(u), 0≤t ≤T (3.2)

En donde W(t) es un movimiento browniano y tanto α(t, T) comoσ(t, T) son procesos adaptados a la filtraci´on. Como se mencion´o en los preliminares, el

(29)

3.1. MARCO HEATH-JARROW-MORTON (HJM) 23

precio de un bono se puede escribir como:

P(t, T) = exp

−

Z T

t

f(t, u)du

(3.3)

Derivando −RT

t f(t, u)du con respecto a t, se obtiene que:

d

−

Z T

t

f(t, u)du

=f(t, t)dt−

Z T

t

df(t, u)du

=r(t)dt−

Z T

t

[α(t, u)dt+σ(t, u)dW(t)]du

=r(t)dt−

Z T

t

α(t, u)dtdu−

Z T

t

σ(t, u)dW(t)du

=r(t)dt−

Z T

t

α(t, u)du

| {z }

α∗₍_t,T₎

dt−

Z T

t

σ(t, u)du

| {z }

σ∗₍_t,T₎

dW(t)

=r(t)dt−α∗(t, T)dt−σ∗(t, T)dW(t)

Considere ahora la funci´on g(x) = exp(x) y sus derivadas: g(x) = g0(x) =

g00(x) = exp(x), entonces P(t, T) = g−RT

t f(t, u)du

(30)

de It˜o se obtiene que:

dP(t, T) = dg

−

Z T

t

f(t, u)du

=g0

−

Z T

t

f(t, u)du

d − Z T t

f(t, u)du

+ 1 2g 00 − Z T t

f(t, u)du d

−

Z T

t

f(t, u)du

2 = exp − Z T t

f(t, u)du

(r(t)dt−α∗(t, T)dt−σ∗(t, T)dW(t))

+ exp

−

Z T

t

f(t, u)du

1 2σ

∗

(t, T))2(dW(t))2

| {z }

(dt)2₌_dtdW₍_t_{)=0 y}_dW₍_t₎2₌_dt

=P(t, T)

r(t)−α∗(t, T) + 1

2σ

∗

(t, T)2

dt

−P(t, T)σ∗(t, T)dW(t)

Esta última ecuación describe la dinámica de los precios de los bonos teniendo en cuenta el proceso de difusión que sigue la tasa forward instantánea.

3.1.2 Condiciones de no-arbitraje del modelo HJM

La última condición no es necesariamente libre de arbitraje en todos los casos, pues depende de las escogencias de α∗(t, T) y de σ∗(t, T). Esta trayectoria de P(t, T) es libre de arbitraje si el factor dt depende únicamente de r(t), de manera que es necesario que −α∗(t, T) + 1₂σ∗(t, T)2 _{sea igual a 0, o de manera}

equivalente es necesario encontrar una medida de probabilidad ˜_P bajo la cual el precio descontado del bono sea una martingala para as´ı satisfacer el ptimer teorema de la valoraci´on de activos[1]. El precio descontado del bono se puede ver bajo la siguiente expresi´on:

D(t)P(t, T) = exp

−

Z t

0

r(u)du

(31)

3.1. MARCO HEATH-JARROW-MORTON (HJM) 25

Como se mencion´o en los preliminares,dD(t) =−r(u)D(t)dtentonces al aplicar la regla del producto se obtiene que:

d(D(t)P(t, T)) =−r(t)P(t, T)dt+D(t)dP(t, T)

=−D(t)[−r(t)dt+P(t, T)

r(t)−α∗(t, T) + 1

2σ

∗

(t, T)2

dt

−P(t, T)σ∗(t, T)dW(t)]

=−D(t)P(t, T)

−α∗(t, T) + 1 2σ

∗

(t, T)2

dt−σ∗(t, T)dW(t)

(3.5)

Ahora es necesario escribir el t´ermino en part´entesis cuadrados como

−σ∗(t, T)[Θ(t)dt+dW(t)] (3.6)

Para asi utilizar el teorema de Girsanov (Teo. 1.2)[2] para cambiar a una medida de probabilidad ˜_P bajo el cual

˜

W(t) =

Z t

0

Θ(u)du+W(t)

sea un movimiento Browniano. De esta manera, se puede reescribir la ecuaci´on (3.5) como:

d(D(t)P(t, T)) = −D(t)P(t, T)σ∗(t, T)dW˜(t)

De la anterior ecuación se sigue que D(t)P(t, T) es una martingala bajo ˜_P. Para resolver el problema anterior, es necesario igualar los términos que de ambas ecuaciones y encontrar Θ(t) que resuelva la siguiente ecuación:

−α∗(t, T) + 1 2σ

∗

(t, T)2

dt−σ∗(t, T)dW(t)

=−σ∗(t, T)[Θ(t)dt+dW(t)] (3.7)

(32)

En otras palabras, es necesario encontrar un proceso Θ(t) que satisfaga que:

−α∗(t, T) + 1 2σ

∗

(t, T)2

=−σ∗(t, T)Θ(t) (3.8)

Evidentemente existen infinitas soluciones a esta ecuación para un tiempo de maduraciónT, todas estas conocidas como las ecuaciones del precio de mercado, de lo cual se va a hablar un poco más a profundidad más adelante. Sin embargo, note que Θ(t) solo depende de t. Para resolver esta ecuación, recuerde la definición de α∗(t, T) y σ∗(t, T), de manera que:

∂

∂Tα

∗

(t, T) =α(t, T) (3.9)

∂

∂Tσ

∗

(t, T) =σ(t, T) (3.10)

Entonces al derivar la ecuaci´on (3.8) con respecto a T, se obtiene que:

−α(t, T) +σ∗(t, T)σ(t, T) =−σ(t, T)Θ(t) (3.11)

Entonces,

α(t, T) = σ(t, T)[σ∗(t, T) + Θ(t)] (3.12)

Todo lo anterio permite que el siguiente teorema determine las condiciones de no arbitraje del modelo Jeath-Jarrow-Morton.

Teorema 3.1. Un modelo para la term structure para bonos cero cupón el cual es determinado por un único movimiento Browniano es libre de arbitraje si existe un proceso Θ(t) tal que para todo t≤T se satisfaga la ecuación:

α(t, T) = σ(t, T)[σ∗(t, T) + Θ(t)] (3.13)

En este caso, los procesos α(t, T) y σ(t, T) son el drift y la volatilidad para el proceso de la tasas forward y σ∗(t, T) =R_tT σ(t, T) y Θ(t) se llama el precio de riesgo del mercado.

(33)

3.2. VASICEK 27

del teorema, entonces también satisfaece la ecuación (3.8) para as´ı poder uti-lizar el teorema de Gisanov para construir una medida de riesgo neutral la cual garantize que el modelo es libre de arbitraje. Supongamos entonces que efectivamente se tiene que Θ(t) satisface esa ecuación, es fecir que:

α(t, v) = σ(t, v)[σ∗(t, v) + Θ(t)]

Entonces:

Z v=T

v=t

α(t, v) = α∗(t, v)

v=T

v=t

= 1 2(σ

∗₍_{t, v}₎₎2

v=T

v=t

+σ∗(t, v)Θ(t)

v=T

v=t

α∗(t, T) = 1

2(σ

∗

(t, T))2+σ∗(t, T)Θ(t)

El valor de Θ se conoce como el valor de riesgo del mercado y refleja la tasa de retorno instant´anea de un bono por unidad de riesgo adicional. Esta funci´on permite cambiar de la medida de riesgo neutral a la medida de riesgo real. Si Θ es igual a cero, la medida de riesgo neutral y la medida de riesgo real son iguales; en este caso vamos a asumir que son iguales.

Bajo diferentes escogencias deσyαse llegan a distintos modelos de tasas de interés; según su definición, algunos admiten posibilidades de arbitraje mientras que otros no. Ahora estudiaremos el caso particular de este modelo conocido como el modelo de Vasicek el cual no admite posiblidades de arbitraje[3].

3.2 Vasicek

El primer modelo libre de arbitraje para la short rate fue propuesto en 1977 por Oldrich Vasicek, el cual asume que toda la estructura de tasas de inter´es

(34)

depende de una ´unica variable aleatoria: la short rate,rt. El modelo hace tres

suposiciones b´asicas:

1. La tasa spot sigue un proceso de Markov continuo, lo que se llama un proceso de difusi´on.

2. El precio de un bono P(t, s) est´a determinado por por las expectativas del movimiento de la tasaspot en el intervalo [t, s].

3. El mercado es eficiente, es decir que no existen costos de transacción, toda la información está disponible para todos los inversionistas simultáneamente, y todo inversionista actua de manera racional queriendo maximizar su ganancia.

La short rate sigue en este caso un proceso de Ornsteirn-Uhlenbeck, el cual se caracteriza por ser un proceso de Markov estacionario con incrementos nor-malmente distribuidos. Desafortunadamente la mayor desventaja que tiene el modelo es el hecho de que las tasas pueden tomar valores negativos, aunque esto ocurre con muy baja probabilidad. Sin embargo, la mayor ventaja del modelo es la facil aplicabilidad y sencillez con la que se desarrolla ya que ex-iste una solución cerrada para la ecuación diferencial estocástica y as´ı mismo para toda la información deseada de la curva de interés, gracias a que en todo momento del tiempo se conoce la distrubicón exacta de r(t).

3.2.1 Din´

amica de la short rate

El Vasicek es un modelo de un solo factor con la propiedad de reversión a la media, en donde el comportamiento de la short rate, r(t) se describe según la siguiente ecuación diferencial estocástica:

dr(t) = κ(θ−r(t))dt+σdWs(t) (3.14)

En la anterior ecuaci´on, θ es nivel de reversi´on a la media, es decir el valor al cual tiende rt en el largo plazo. Igualemente, κ >0 representa la velocidad de

(35)

3.2. VASICEK 29

reversión a la media la cual describe qué tan rápido ocurre esta tendencia hacia

θ, σ es la volatilidad de la short rate y Ws es un movimiento Browniano bajo

la medida de riesgo neutral. Note que cuando r(t)> θ, el valor deκ(θ−r(t)) es negativo por lo tanto la tasa tiende a la baja, mientras que si r(t) < θ, ese mismo drift es positivo, haciendo que el valor de rt aumente, es as´ı como es claro que el proceso tiende a θ en el largo plazo.[?]

Una de las grandes ventajas del modelo de Vasicek es que el modelo tiene una solución cerrada para la ecuación diferencial estocástica que determina el modelo. El siguiente teorema encuentra esta forma cerrada utilizando el lema de Itô.

Lema 3.1. La short rate, descrita por el modelo de Vasicek se puede escribir como:

r(t) = r(s)e−κ(t−s)+θ(1−e−κ(t−s)) +σe−κ(t−s)

Z t

s

eκudWu (3.15)

Demostraci´on. Considere la funci´ong(rt, t) = rteκt, entonces:

∂g

∂t =κre

κt ∂g

∂r =e

κt ∂2g

∂r2 = 0 (3.16)

Sustituyendo los términos en la fórmula de Itô, obtenemos que:

dg=rκeκtdt+eκtdrt

=rκeκtdt+eκt(κ(θ−r)dt+σdWt)

=rκeκtdt+θκeκtdt−rκeκtdt+eκtσdWt

(36)

Al integrar a ambos lados, obtenemos que:

Z t

0

dg=κθ

Z t

0

eκsds+σ

Z t

0

eκsdW s

g(t)−g(0) =κθ

eκt₋₁

κ

+σ

Z t

0

eκsdW s

g(t) = g(0) +θ[eκt−1] +σ

Z t

0

eκsdW s

reκt =r0+θ[eκt−1] +σ

Z t

0

eκsdW s

r(t) = r0e−κt+e−κtθ[eκt−1] +σe−κt

Z t

0

eκsdW s

r(t) = r0e−κt+θ[1−e−κt] +σe−κt

Z t

0

eκsdW s

Por la anterior caracterización de r(t), dado que tiene incorporado un movimiento Browniano se puede notar que lashort rate sigue una distribución normal y a partir de la ecuación anterior, es posible calcular la media y la varianza de esta variable aleatoria[4]:

Lema 3.2. La variable aleatoriar(t)se distribuye normal con mediaE[r(t)|Fs]

y varianza var(r(t)|Fs) especificados por:

E[r(t)|Fs] =r(s)e−κ(t−s)+θ(1−e−κ(t−s)) (3.17)

var(r(t)|Fs) =

σ2

2κ(1−e

−2κ(t−s)

(37)

3.2. VASICEK 31

Demostraci´on.

E[r(t)|Fs] =r(s)e−κ(t−s)+θ(1−e−κ(t−s)) + E

σe−κ(t−s)

Z t

s

eκudWu

| {z }

*

=r(s)e−κ(t−s)+θ(1−e−κ(t−s))

var(r(t)|Fs) = var(σe−κ(t−s)

Z t

s

eκudWu) = σ2e−2κ(t−s)

Z t

s

e2κudu

=σ2e−2κ(t−s)e

2κs

2κ t

s

= σ

2

2κ(e

2κ(t−s)₋₁₎

= σ

2

2κ(1−e

−2κ(t−s)

)

(3.19)

A partir de la media y la varianza calculadas, podemos observar que cuando

t → ∞, E[r(t)|Fs]→ θ, lo cual concuerda con lo dicho anteriormente sobre la

reversi´on a la media. Igualmente se puede notar que var(r(t)|Fs)→ σ

2

2κ, lo cual

indica que cuando el tiempo tiende a infinito, la varianza es finita a diferencia de un movimiento Browniano.

(38)

calcular, y est´a dada por la siguiente expresi´on:

cov(r(t), r(u)) = cov((r(0)e−κt+θ(1−e−κt) +σe−κt

Z t

0

eκvdWv,

r(0)e−κ(u−s)+θ(1−e−κu) +σe−κu

Z u

0

eκvdWv)

= cov

σe−κt

Z t

0

eκvdWv, σe−κu

Z u

0

eκvdWv

= E

σe−κt

Z t

0

ekvdWv·σe−κ(u−s)

Z u

0

ekvdWv

−E

σe−κt

Z t

0

ekvdWv

E

σe−κu

Z u

0

ekvdWv

= E

σ2e−κ(t+u)

Z t

0

ekvdWv·

Z u

0

ekvdWv

Se puede verificar que dado un movimiento BrownianoWsy dadas dos funciones

f(s), g(s):

E

Z t

0

f(s)dWs·

Z t

0

g(s)dWs

=

Z t

0

f(s)g(s)ds

Entonces,

cov (r(t), r(u)) =σ2e−κ(t+u)

Z min(t,u)

0

e2κvdv

=σ2e−κ(t+u)

1 2κ(e

2κmin(t,u)₋

1)

(3.20)

3.2.2 Estructura de los precios de los bonos

Recuerde que el proceso de descuento est´a dado por D(t) = exp(R₀tr(s)ds), entonces dD(t) =−r(s)D(t)dt

Seg´un el primer teorema fundamental de la valoraci´on de activos, es nece-sario que el precio del bono descontado sea una martingala bajo la medida de riesgo neutral:

(39)

3.2. VASICEK 33

Entonces,

P(s, t) = ˜_E

exp − Z t s

rudu

Fs (3.22)

Note que dado que rt sigue una distribuci´on normal,

Rt

s rudu tambi´en sigue

una distribuci´on normal pues la integral se puede ver como una suma de vari-ables aleatorias distribuidas normalmente. La media y varianza de esta nueva variable aleatoria se calculan a continuaci´on:

E

Z t

s

rudu

=

Z t

s

E[ru]du

=

Z t

s

rse−κu+θ(1−e−κu)du

=

−rs

κe

−κu₊_θu₊ θ

κe −κu t s

=− rs

κe

−κ(t−s)₊_θ₍_t₋_s_{) +} θ

κe

−κ(t−s)

=1

κ(rs−θ)[1−e

−κ(t−s)_{] +}_θ₍_t₋_s₎

(3.23)

Por otra parte, la varianza est´a dada por:

var

Z t

s

rudu

= cov

Z t

s

rudu,

Z t

s

rudu

= Z t 0 Z T t

σ2e−κ(s+u)

1 2κe

2κmin(v,u)₋₁

dudv

=σ

2

2κ3(2κ(t−s)−3 + 4e

−κ(t−s)₋_e−2κ(t−s)₎

(3.24)

Note que la expresi´on E[exp(−Rt

s rudu)|Fs] es equivalente a encontrar la funci´on

generadora de momentos MX(λ) = E[eλX] para la variable aleatoria X =

Rt

srudu y evaluarla en λ = −1. Recordemos que la funci´on generadora de

momentos para una distribuci´on normal de par´ametros µ y σ2 _es _M

X(λ) =

eλµ+1₂(λσ)2_{. Como se mencion´}_{o anteriormente,} Rt

s rudu sigue una distribuci´on

normal, por lo tanto en particular para este caso se tiene que E[e−X_{] =}_e−µ+1 2σ

2

, donde µ y σ son los par´ametros de la distribuci´on de R_strudu. Resolviendo

(40)

entonces la f´ormula para el precio obtenemos que:

P(s, t) = E

exp − Z t s

rudu

= exp(−(1

κ(rs−θ)[1−e

−κ(t−s)

] +θ(t−s))

+1 2

σ2

2κ3(2κ(t−s)−3 + 4e

−κ(t−s)₋_e−2κ(t−s)₎₎

= exp(−rs

1−e−κ(t−s) κ

+θ

1−e−κ(t−s)

κ −(t−s)

+ σ

2

2κ2(t−s)

+ σ

2

4κ3

−2 + 2e−2κ(t−s) κ

+ σ

2

4κ3 −1 + 2e

−2κ(t−s)₋

e−2κ(t−s))

= exp(−rs

+θ

1−e−κ(t−s)

κ −(t−s)

+ σ

2

2κ2(t−s)

− σ

2

2κ2

− σ

2

4κ

e−2κ(t−s)−2e−κ(t−s)+ 1

κ2 )

= exp(−rs

+θ

1−e−κ(t−s)

κ −(t−s)

− σ

2

2κ2

1−e−κ(t−s)

κ −(t−s)

− σ

2

4κ

1−e−κt κ

2

)

= exp(−rs

+

θ− σ

2

2κ2

1−e−κ(t−s)

κ −(t−s)

− σ

2

4κ

2

)

= exp

−rsA(s, t) + (θ−

σ2

2κ2)(A(s, t)−(t−s))−

σ2

4κA(s, t) 2

(41)

3.2. VASICEK 35

Donde,

A(s, t) = 1−e

−κ(t−s)

κ (3.25)

D(s, t) =

θ− σ

2

2κ2

(A(s, t)−(t−s))− σ

2

4κA(s, t) 2

(3.26)

3.2.3 Condiciones de no arbitraje en el modelo de

Va-sicek

Para verificar que efectivamente el modelo de Vasicek es un caso particular del modelo de HJM[5] y que además es libre de arbitraje, es necesario mostrar que el modelo de Vasicek satisface la condición de existencia de una medida de riesgo neutral[2]. La dinámica de los precios de los bonos a partir de este modelo están dados por:

P(s, t) = exp (−rsA(s, t) +D(s, t)) (3.27)

En donde,

A(s, t) = 1−e

−κ(t−s)

κ (3.28)

D(s, t) =

θ− σ

2

2κ2

(A(s, t)−(t−s))− σ

2

4κA(s, t)

2 _(3.29)

Igualmente, las tasas forward est´an dadas en t´erminos de los precios como:

f(t, T) = ∂

∂T logB(t, T) =r(t)

∂

∂TA(t, T) +

∂

∂TD(t, T) (3.30)

(42)

respecto at, entonces se tiene que:

df(t, T) = ∂

∂TA(t, T)dr(t) +r(t)

∂

∂TA

0

(t, T)dt+ ∂

∂TD

0

(t, T)dt (3.31)

=

∂

∂TA(t, T)(κ(θ−r(t))) +r(t) ∂

∂TA

0

(t, T) + ∂

∂TD

0

(t, T)

dt

(3.32)

+σ ∂

∂TA(t, T)dW˜(t) (3.33)

es un caso particular del modelo de HJM con σ(t, T) = σ ∂

∂TA(t, T).

Para que se satisfagan las condiciones, es necesario queα(t, T) = σ(t, T)σ∗(t, T) =

σ(t, T)R_tT σ(t, u)du. El término en los paréntesis cuadrados de la ecuación an-terior representa en este caso a α(t, T). Igualando los términos, se obtiene que:

∂

∂TA(t, T)(κ(θ−r(t))) +r(t) ∂

∂TA

0

(t, T) + ∂

∂TD

0

(t, T)

=σ

∂

∂TA(t, T)

Z T

t ∂

∂vA(t, v)dv

=σ

∂

∂TA(t, T)

[A(t, T)−A(t, t)]σ

=

∂

∂TA(t, T)

A(t, T)σ2

A partir de las expresiones (3.28) y (3.29), se obtiene que:

∂

∂TA(t, T) =e

−κ(T−t) _(3.34)

∂

∂TD

0

(t, T) =

θ− σ

2

2κ2

e−κ(T−t)− σ

2

2κe

(43)

3.2. VASICEK 37

Entonces,

σ(t, T) =σe−κ(T−t) (3.36)

σ∗(t, T) =

Z T

t

σ(t, u)du= σ

κ(1−e

−κ(T−t)₎ _(3.37)

Reeplazando, se obtiene que:

∂

∂TA(t, T)(κ(θ−r(t))) +r(t) ∂

∂TA

0

(t, T) + ∂

∂TD

0

(t, T)

=e−κ(T−t)(κ(θ−r(t))) +r(t)κe−κ(T−t)+

θ− σ

2

2κ2

e−κ(T−t)− σ

2

2κe

−2κ(T−t)

= σ

2

κ e

−κ(T−t)₋_e−2κ(T−t)

=σ(t, T)σ∗(t, T)

Como se quer´ıa.

3.2.4 Calibraci´

on del modelo

Es claro que para poder determinar la estructura de interés de los bonos, es necesario calibrar el modelo para encontrar los parámetros necesarios que mejor se ajusten a la curva del mercado. La literatura es clara diciendo que este mod-elo es tal vez uno de los modmod-elos de tasas de interés que tiene peor ajuste con respecto a las curvas del mercado. Enla presente investigación se procede a calibrar el modelo de manera diferente a como recomienda la literatura: se re-aliza una calibración en dos pasos: el primero tendrá en cuenta el movimiento histórico de la short rate y la segunda parte tendrá en cuenta la curva actual del mercado para tener un mejor ajuste a la actualidad.

La mayor´ıa de documentos que tratan sobre el modelo de Vasicek únicamente realizan la calibración del modelo utilizando la serie histórica de la short rate y utilizando estos parámetros para determinar los precios de los bonos ya sea por estiamdores de m´ınimos cuadrados o máxima verosimilitud. Sin embargo,

(44)

debido a que la definición de los precios de los bonos incluye en sus términos los parámetros del modelo de Vasicek, es necesario que estos parámetros no solo sean consistentes con la información histórica sino que estén adaptados al proceso real de los precios del mercado. Esto motiva entonces a realiza el segundo paso de la calibración propuesta en este documento.

La primera parte utiliza la serie histórica más parecida a la short rate que en este caso es la tasaovernight, la cual es la tasa de un préstamo a un d´ıa. Se asume entonces que la serie histórica de esta tasa sigue precisamente el modelo de Vasicek, as´ı que se encontrarán los parámetros κ, σ y θ que mejor ajusten esta información. Para esto considere la siguiente discretización del modelo de Vasicek:

r(ti) = c+br(ti−1) +δ(ti) (3.38)

En donde,

c=θ(1−exp(−κ∆t))

b= exp(−κ∆t)

δ=σ

r

(1−exp(−κ∆t)) 2κ

∼N(0,1)

En este caso δ se obtiene utilizando propiedades de un proceso autoregresivo

AR(1), mientras que si se utilizara la discretización de Euler, este término ser´ıa simplementeσ√∆t. Para encontrar los parámetros del modelo de Vasicek, basta

(45)

3.2. VASICEK 39

despejar los par´ametros de las ecuaciones anteriores:

κ= −lnb

∆t

θ = c

1−b

σ = _r δ

(b2₋_1)∆_t

2 lnb

Basta entonces con encontrarb, cyδ. Esto se puede resolver ya sea encontrando m´ımimos cuadrados o estimadores de máxima verosimilitud. A continuación se encuentran las expresoiones de estos parámetros utilizando los estimadores de máxima verosimilitud:

ˆ_b₌ n

Pn

i=1riri−1−Pni=1ri

P

i=1ri−1

nPn_i₌₁r2

i−1−(P_i₌₁ri−1)2

ˆ

c=n

n X

i=1

(ri−ˆbri−1)

ˆ

δ= 1

n n X

i=1

[ri−ˆbri−1−θˆ(1−ˆb)]

En donde los datos xi hacen refefencia a la serie hist´orica que se tiene para la

short rate.

Después de haber encontrado los parámetros que mejor ajutan al movimiento histórico de la tasa, se utilizará la estructura de precios del mercado actual para determinar los parámetros que mejor se ajustan a la curva. Los parámetros anteriormente encontrados, servirán como el punto inicial o semilla del prob-lema de optimización; ya que al ser un problema de varias variables puede haber infinitas soluciones que tengan buen ajuste pero no sean consistentes con su significado en el mercado. Por ejemplo, θ no deber´ıa ser un valor más grande que 5% porque nadie aceptar´ıa un prestamo a un d´ıa con esa tasa. Con

(46)

este punto incial, se encontrará un m´ınimo local cercano a este, para el cual sus valores tienen un significado real en el mercado. La segunda parte de la calibración consiste en encontrar los argumentos que ajusten mejor el modelo teórico a los precios del mercado. A continuación se ejemplificará la razón por la cual vale la pena realizar ambas partes de la calibración. La siguiente gráfica muestra la curva real de precios de mercado y la curva obtenida tras calibrar el modelo utilizando únicamente la segunda parte de la calibración, la cual no tiene en cuenta la información histórica:

Para este caso, los par´ametros´optimos obtenidos son: ˆ

κ= 0.0022 θˆ= 2.4001 σˆ = 0.0065

Note que el ajuste es realmente bueno, pero el valor deθque es el valor esperado de la short rate en el largo plazo no es consistente con la realidad. Es por esto que la serie histórica debe ser tenida en cuenta en la calibración del modelo. Por otra parte, veamos por qué la segunda parte de la calibración es importante. La siguiente gráfica muestra una calibración a datos del mercado utilizando

(47)

3.2. VASICEK 41

´

unicamente la información histórica con parámetros de máxima verosimilitud, y sin tener en cuenta la estructura de tasas de interés actual:

En este caso los par´ametros obtenidos son:

ˆ

κ= 0.0043 θˆ= 0.0354 σˆ = 1.3815 exp(−06)

Estos parámetrosóptimos se ajustan muy bien a la história de los datos, pero cuando se proyecta la curva de precios el desajuste es bastante alto. El hecho de complementar ambas metodolog´ıas mejora sustancialmente la aproximación, como se podrá ver en el siguiente cap´ıtulo.

Una vez seleccionado el modelo de tasas de interés a utilizar, es necesario encontrar los parámetros que requiere el modelo de optimización descrito en el cap´ıtulo anterior. La siguiente tabla resume los parámetros necesarios que se deben encontrar:

(48)

Nombre Modelo

E[P(T, t)] t=T + 1, . . . , τ

E

1

P(t, T)

t = 1, . . . , T −1

cov (P(T, t1), P(T, t2))

t1 =T + 1, . . . , τ

t2 =T + 1, . . . , τ

cov

P(T, t1),

1

P(t2, T)

t1 =T + 1, . . . , τ

t2 = 1, . . . , T −1

cov

1

P(t1, T)

, 1

P(t2, T)

t1 = 1, . . . , T −1

t2 = 1, . . . , T −1

Recuerde que r(t) es una variable aleatoria la cual sigue una distribuci´on normal con media E[r(t)] y varianza var(r(t)) dadas por las ecuaciones (3.17) y (3.18), y dado que P(s, t) = exp(−A(s, t)r(s) +D(s, t)) se puede concluir el siguiente observaci´on sobre las expresiones de la tabla anterior:

Observaci´on 3.1. P(T, s)se distribuye lognormal con par´ametrosµp = (−A(T, s) E[r(T)]+

D(T, s)) yσ_p2 =A(T, s)2var(r(T)).

1

P(s,T) se distribuye lognormal con par´ametros µp = (A(s, T) E[r(s)]−D(s, T))

y σ2

p =A(s, T)2var(r(s).

Los valores esperados y las coviarianzas entre estos est´an dados por las sigu-ientes ecuaciones:

E [P(T, s)] = exp

D(T, s)−A(T, s) E [rT] +

1

2A(T, s)

2_var(_r

T)

E

1

P(s, T)

= exp

−D(s, T) +A(s, T) E [rs] +

1

2A(s, T)

2_var(_r

s)

cov (P(T, t1), P(T, t2)) = E [P(T, t1)] E [P(T, t2)] (exp(A(T, t1)A(T, t2))−1)

cov

1

P(t1, T)

, 1

P(t2, T)

= E

1

P(t1, T)

E

1

P(t2, T)

×(exp(A(t1, T)A(t2, T) cov(rt1, rt2))−1)

cov

P(T, t1),

1

P(t2, T)

= E [P(T, t1)] E

1

P(t2, T)

(49)

3.2. VASICEK 43

(50)

(51)

CHAPTER

4

Resultados computacionales

El presente cap´ıtulo pretende dar las conclusiones más relevantes sobre los re-sultados computacionales obtenidos trás ajustar la curva del mercado real al modelo y tras resolver el problema de optimización. Se observará un análisis de sensiblidad de los parámetros del modelo de Vasicek sobre los portafolios ´

optimos obtenidos, adem´as de an´alisis sobre los resultados obtenidos para difer-entes casos.

En el presente documento se aplica la teor´ıa desarrollada anteriormente en el mercado de bonos colombiano. Este mercado cuenta con distintos tipos de instrumentos de deuda los cuales se pueden categorizar según la monenda en la que se pagan; existen bonos en pesos, en UVR1 y en dólares. Los vencimientos de los bonos denominados en pesos y en UVR oscilan entre tres meses y quince años, mientras que los bonos denominados en pesos oscinal entre los 3 y 30 años.

(52)

4.1 Metodolog´ıa

La metodolog´ıa para la aplicación del problema de optimización incluye por una parte la calibración del modelo de Vasicek al mercado colombiano, as´ı como la aplicación del problema de optimización de portafolios de bonos al mismo. Recordemos que el modelo de Vasicek busca estimar el comportamiento de la

short rate y como se mencionó anteriormente, esta tasa no es directamente observable en el mercado pues en la vida real no se toman préstamos con vencimiento instántaneo. Las tasas con menores plazos en el mercado colom-biano son estimadas por el Banco de la República, y se conocen comoIndicador Bancario de Referencia, IBR. El menor plazo para el cual se estima esta tasa es de un d´ıa, y se conoce más espec´ıficamente con el nombre deIBR overnight.

4.1.1 Calibraci´

on del modelo

Como se mencionó anteriormente, la calibración del modelo de Vasicek se hace en dos etapas. La primera etapa consiste en utilizar la serie histórica de la

short rate para determinar los parámetros κ, θ y σ del modelo de Vasicek que mejor se ajustan a la vida real. La serie histórica de la tasaovernightse puede obtener directamente de la página del Banco de la República2 _{para un periodo}

de tiempo suficientemente largo. A continuación se muestra la serie histórica de la tasa overnight para los últimos cinco años:

(53)

4.1. METODOLOG´IA 47

A partir de esta serie histórica, se encuentran entonces los parámetros de máxima verosimilitud que ajustan de mejor manera el modelo de Vasicek. A modo de ejemplo, la siguiente gráfica muestra diferentes caminos de simula-ciones realizadas para la tasa overnight para los parámetros encontrados por máxima verosimilitud: κ= 0.0043, θ= 0.0354, σ= 1.3815 exp(−06)

(54)

Como se puede observar, las simulaciones siempre empiezan en la tasa

short rate del d´ıa de an´alisis (r(0) = 0.0435) y todas las simulaciones oscilan alrededor del valor de θ = 0.0354 siendo correspondiente con la propiedad de reversi´on a la media.

A la fecha (28 de febrero de 2015), el mercado colombiano cuenta con once t´ıtulos de deuda pública denominados en pesos y 8 t´ıtulos denominados en UVR. Para este caso se analizarán aquellos bonos denomidados únicamente en pesos. La siguiente tabla describe la información más relevante de estos t´ıtulos a la fecha:

(55)

Table 4.1: T´ıtulos de Deuda Vigentes (28/02/15 Vencimiento Cup´on Tasa Valoraci´on

28-oct-2015 8% 0.0451 15-jun-2016 7,25% 0.0465 24-oct-2018 11,25% 0.0515 21-nov-2018 5% 0.0502 11-sep-1019 7% 0.052

24-jul-2020 11% 0.0544 04-may-2022 7% 0.0621 24-jul-2024 10% 0.0653 26-ago-2026 7,5% 0.0687 28-abr-2028 6% 0.0716 18-sep-2030 7,75% 0.0736

Como se mostró en la sección de la calibración, los parámetros que ajustan mejor la serie histórica no necesariamente ajustan correctamente las curvas de precios actuales del mercado. La segunda parte de la calibración consiste en ajustar de mejor manera la curva de precios a partir de la expresión (1.8). Como se mencionó en la sección 3.2.4 la minimización entre estas dos curvas se realiza a partir de la curva cero cupón teórica que se puede extraer de la información de los bonos del mercado, pues recuerde que el precio de un bono cuponado con vencimiento en T se puede ver como:

Pc(t, T) =

X

ti

P0(t, T)cti (4.1)

En donde Pc(t, T) y P0(t, T) hacen referencia a los precios cuponados y cero

cup´on respectivamente y cti es el pago del cup´on en el momento ti. De esta

manera primero se extrae de la información del mercado de bonos cuponados una curva cero cupón teórica la cual minimiza Pc(0, t) con la curva real de

precios. La siguiente gráfica muestra la yield to maturity del mercado y la curva cero cupón teórica extraida a partir de los precios reales:

(56)

En la gráfica los puntos amarillos indican los bonos reales junto con sus tasa de mercado, la linea azul es una interpolación de esta tasa a los demás vencimientos. La curva cero cupón teórica siempre va a estar por encima de la curva de tasas de bonos cuponados. Esta curva cero cupón se construye mediante un método de boostrapping, y dado que existen varios t´ıtulos en el mercado, el ajuste de los precios calculados a partir de esta curva cero cupón no va a ser exacto con respecto a los precios reales del mercado. La siguiente gráfica muestra el error existente entre los precios calculados con esta curva y los precios reales del mercado.

(57)

Los parámetros resultantes del modelo de Vasicek tras realizar la segunda parte de la calibración son: κ = 0.5627, θ = 0.077, σ = 0.0503. Una vez calculados los parámetros es posible calcular nuevamente los precios de los bonos del mercado a partir de esta nueva curva de manera similar a la anterior. La siguiente gráficas el ajuste entre los precios calculados por el modelo después de la calibración y los precios reales del mercado:

(58)

Como se puede ver el ajuste final es mucho mejor que cuando se real-iza únicamente la primera parte de la calibración. Note que el ajuste en los primeros vencimientos es bastante bueno, sin embargo existe una mayor difer-encia en los precios de los últimos periodos, sin embargo el comportamiento es similar entre las diferenetes curvas y la diferencia máxima entre ellas es de 10 pesos.

4.1.2 Sensibilidad en los par´

ametros

Es posible realizar un análisis de sensibilidad sobre los parámetros del mod-elo con el fin de entender como cambia la valoración de los bonos según los parámetros κ, σ y θ.

(59)

yκ= 0.5627 y los otros dos factores se alteran multiplicandolos por un factores de 2 y 1/2 en cada caso. Las siguientes gráficas muestran qué sucede con los precios de los bonos cuando los parámetros son alterados de la manera descrita:

(60)

Sensibilidad en θ

Sensibilidad en σ

Como se puede observar en las imágenes anteriores, el parámetro frente al cual son más sensibles los precios es θ, esto es de esperarse pues es el parámetro

(61)

que determina el movimiento de la tasa short rate en el largo plazo por ser la media de reversión del modelo. Igualmente se puede observar que los precios de los bonos se comportan de manera inversa con rescpecto a κ y a σ, pues mientras que estos parámetros aumentan, la curva de precios baja, y cuando estos parámetros aumentan, los precios de los bonos disminuyen. Lo contrario ocurre con σ, pues cuando el valor de σ aumenta los precios aumentan y as´ı mismo los precios disminuyen cuando el valor de este parámetro disminuye.

Observación 4.1. Una vez se entiende como se comportan los precios con respecto a los parámetros, es posible alterar estos de manera que la predicción de los precios tenga un mayor ajuste con respecto a los precios de mercado. En este caso, observe lo que ocurre cuando se toma el valor de κ= 1.1254:

El ajuste de los precios es mucho mejor cuando se toma este nuevo valor de κ que con el original.

4.1.3 An´

alisis retrospectivo

Debido a que todo este analisis se realizó con la infomación de febrero 28 de 2015, al d´ıa de hoy (30 de abril) es posible realizar un análisis retrospectivo con

Optimización de portafolios de bonos - aplicación al mercado colombiano

Optimizaci´

on de portafolios de

Bonos

Aplicaci´

on en el mercado colombiano

Daniela Bernal Abella

Departamento de Matem´

aticas

Universidad de los Andes

Asesor: Mauricio Junca

Contents

Abstract

CHAPTER

1

Preliminares

1.1

C´

alculo estoc´

astico

1.2

Teor´ıa de bonos y estructura de tasas de

inter´

es

CHAPTER

2

Optimizaci´

on de portafolios

2.1

Teor´ıa de portafolios de Markowitz

2.2

Markowitz aplicado a bonos cero cup´

on

2.3

Markowitz aplicado a bonos cuponados

2.4

Restricciones de ventas cortas

CHAPTER

3

Modelos de tasas de inter´

es

3.1

Marco Heath-Jarrow-Morton (HJM)

3.1.1

Din´

amica de las tasas forward y precios de bonos

3.1.2

Condiciones de no-arbitraje del modelo HJM

3.2

Vasicek

3.2.1

Din´

amica de la short rate

3.2.2

Estructura de los precios de los bonos

3.2.3

Condiciones de no arbitraje en el modelo de

Va-sicek

3.2.4

Calibraci´

on del modelo

CHAPTER

4

Resultados computacionales

4.1

Metodolog´ıa

4.1.1

Calibraci´

on del modelo

4.1.2

Sensibilidad en los par´

ametros

4.1.3

An´

alisis retrospectivo