NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICA

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MATEMÁTICA APLICADA 1

LOGICA

1. INTRODUCCIÓN

Los símbolos especiales de la lógica resultan ser de ayuda en el uso y manejo de enunciados y razonamientos, la adopción de una notación lógica especial facilita considerablemente la derivación de inferencias y la evaluación de razonamientos.

La lógica es la ciencia del razonamiento y tiene sus aplicaciones en las distintas disciplinas, tales como:

 En las Matemáticas para demostrar teoremas.

 En la computación para verificar la corrección de los programas y para demostrar teoremas.  En las ciencias físicas y naturales para sacar conclusiones de los experimentos.

 En las ciencias sociales y en la vida cotidiana para resolver una infinidad de problemas.

2. DEFINICIÓN

Ciencia que expone las leyes, maneras y formas del conocimiento científico. Razonamiento o método de las ideas.

La importancia de esta materia radica en que proporciona reglas para poder saber cuándo

nuestros razonamientos se pueden tomar como correctos. Es necesario que se entienda que la

lógica no enseña a pensar, ya que es una acción propia de cada persona, pero si puede enseñar a ordenar las ideas.

La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir los razonamientos correctos de los incorrectos.

2.1. ENUNCIADO

A una expresión lingüística que establece unos pensamientos completos llamaremos Enunciado.

Los enunciados están clasificados en enunciados interrogativos, imperativos, declarativos, etc. De estos enunciados nos interesa en particular los declarativos por tener la característica de poder ser VERDADEROS O FALSOS.

Algunos enunciados son compuestos, es decir, están formados de enunciados simples y de varias conectivas que se estudiaran después.

2.1.2. EJEMPLOS

Son enunciados declarativos los siguientes: a) El libro tiene páginas (verdad) b) Bolívar fue español (falso)

c) Mi tía tiene un diente de oro (tiene la característica de poder ser verdadero o falso)

Pero no son enunciados declarativos los siguientes: a) El niño que llora ( ¿? )

b) Que día es ( ¿? )

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2.1.3. EJERCICIOS

Indique cuales de las siguientes expresiones lingüísticas representan enunciados declarativos.

a) Los hombres son mortales b) Universidad Mayor de San Simón c) Hace calor

d) Se puede encontrar a Juan

e) Veremos qué planes hay para mañana f) El sol es cuadrado o la luna es de queso

2.2. PROPOSICION.

Una Proposición es un enunciado declarativo (expone un hecho) por lo que tiene sentido de ser verdadero o falso según un contexto determinado. Toda proposición está asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o bien falso (F).

2.2.1. Ejemplos.

a) El calor dilata a los cuerpos (V) b) El cuadrado tiene cinco lados (F)

c) El municipio de Tiquipaya está en La Paz (F) 2.2.2. Principios básicos de la lógica

1) Principio de no contradicción

Una proposición no puede ser Verdadera y Falsa a la vex 2) Principio del tercer excluido

Cualquiera sea la proposición o es verdadera o falsa, se verifica uno de los dos y nunca un tercero.

2.2.3. Clasificación de proposiciones 1) Proposiciones simples

Son aquellas que no incluyen dentro de sí misma otra proposición a) Cochabamba es una ciudad

b) El sol tiene la forma de un triangulo

2) Proposiciones compuestas

Son aquellas que resultan de la combinación de dos o más proposiciones simples, vinculadas por conectivos o enlaces lógicos.

a) Las rosas de mi jardín son rojas y las de tu jardín son amarillas

b) Si los domingos duermo hasta tarde entonces por la mañana ,no puedo ir a correr al estadio.

2.2.4. Notación de proposiciones

Las proposiciones son denotadas por las letras minúsculas p, q, r, etc. Se las usa de la siguiente forma:

p :“La cordillera del Tunari está al norte de la ciudad de Cochabamba” Denotaremos o llamaremos “p”

En la práctica usamos la siguiente convención: q: los perros tienen cuatro patas

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3. LOS SIMBOLOS LOGICOS o CONECTORES LOGICOS.

3.1. NEGACION: (∿ ) (¬)

Dado la proposición p, su negación será ¬p, que se lee: “no p “ Ejemplo: Dumas escribió la Dama de las Camelias

Simbolizando tenemos:

p: Dumas escribió la dama de las Camelias Su negación será:

¬p: Dumas no escribió la dama de las Camelias

3.2. LA CONJUNCION: ( ⋀ ) Dadas dos proposiciones p, q

p ⋀ q, se llama conjunción de p y q . Leemos “p y q” Ejemplo: p: Juan tiene trece años

q: Rosa tiene quince años

p ⋀ q se lee: Juan tiene trece años y Rosa tiene quince años

3.3. LA DISYUNCION: ( ⋁ ) Dadas dos proposiciones p, q

p ⋁ q , se llama disyunción de p y q y se lee “p o q” Ejemplo: s: Francisco es alto

t: Emilio es bajo

s ⋁ t se lee: Francisco es alto o Emilio es bajo

3.4. LA IMPLICACION o CONDICIONAL: (⇒) Si p y q son dos proposiciones

p ⇒ q se llama implicación y se lee: si p entonces q o p implica a q Ejemplo: p: hace suficiente frío

q : el agua se helará

p ⇒ q se lee: Si hace suficiente frío, entonces el agua se helará

3.5. DOBLE IMPLICACION O BI-IMPLICACION : (⇔ )

Otra proposición corriente es el de la forma “p si, y solamente si q” o con una cómoda abreviatura “p ssi q”. Tal proposición se llama bicondicional y se les denota por:

p ⇔ q

Ejemplo: París está en Francia si, y solamente si, 2+2 = 5 r: París está en Francia

s: 2+2 = 5 r ⇔ s

3.6. DIFERENCIA SIMETRICA: (

ṿ

) Dadas dos proposiciones p y q

La proposición p

ṿ

q, se llama diferencia simétrica y se lee “o p o q” en sentido excluyente. Ejemplo: O los estudiantes se levantan temprano para llegar en hora a sus clases o se duermen para llegar tarde a sus clases.

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MATEMÁTICA APLICADA 4 p: los estudiantes se levantan temprano para llegar en hora a sus clases

q: los estudiantes se duerme para llegar tarde a sus clases p

ṿ

q

3.7. EJERCICIOS

Simbolizar las siguientes proposiciones colocando correctamente el símbolo lógico: a) a la vez llueve y hace sol

b) Antonio ira al futbol o irá al cine

c) Si un material se calienta entonces se dilata

d) El área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DEF o el área del triángulo ABC es menor que el área del triángulo DEF

e) A la vez x es mayor que 1 o x es menor que 1 y x es menor que 0

f) Álvaro esta en clase de Historia , si Jaime está en la clase de Teoría entonces está en el aula 221-B

g) 2 es mayor que 1 y -3 es mayor que -1

4. OPERACIONES PROPOSICIONALES

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad

4.1. NEGACIÓN.- el valor de verdad de la negación de un enunciado depende de las siguiente condición :

Si el enunciado p es verdadero, entonces ¬p es falso; si p es falso, entonces ¬p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negación de un enunciado es siempre el opuesto del valor de verdad del enunciado

Ejemplo:

p: París está en Francia (v) ¬ p: parís no está en Francia (F)

4.2. CONJUNCIÓN.- Diremos que la conjunción es verdadera si ambos enunciados son verdaderos y serán falsos en los demás casos.

p ⋀ q

V V V

V F F

F F V

F F F

Ejemplo 1: El tres es impar y el cuatro es par p: el tres es impar (v)

q: cuatro es par (v) p ⋀ q es verdadero Ejemplo 2: 7 > 3 y -4 > 1 r: 7 > 3 (v)

p ¬ p

V F

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MATEMÁTICA APLICADA 5 s: -4 > 1 (F)

r ⋀ s , es una conjunción falsa pues uno de los enunciados que la forma lo es

4.3. DISYUNCIÓN.- Diremos que la disyunción de dos enunciados es falsa si ambos anunciados declarativos son falsos y en los demás casos son verdaderos.

p ⋁ q

V V V

V V F

F V V

F F F

Ejemplo:

Dos más dos es cuatro y el sol es cuadrado r: 2 + 2 = 4 (v)

s: el sol es cuadrado (F)

r ⋁ s es un enunciado verdadero ya que uno de los dos es verdadero

4.4. IMPLICACIÓN.- el valor de verdad de la implicación, resulta de la condición: el enunciado p⇒q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir que un enunciado verdadero no puede implicar uno falso.

p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F V F

Ejemplo:

Si Madrid está en España entonces los madrileños son franceses p: Madrid está en España (V)

q: los madrileños son franceses (F) p⇒q ( F)

4.5. DOBLE IMPLICACIÓN.- el valor de verdad obedece a la condición: si p y q tienen el mismo valor de verdad entonces p⇔q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p⇔q es falso.

p ⇔ q

V V V

V F F

F F V

F V F

Ejemplo:

Los cochabambinos son bolivianos si y solo si Cochabamba esta en Bolivia s: Los cochabambinos son bolivianos (v)

r: Cochabamba esta en Bolivia (V) s ⇔ r (v)

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MATEMÁTICA APLICADA 6 Los cochabambinos son peruanos si y solo si Cochabamba esta en Bolivia

s: Los cochabambinos son peruanos (F) r: Cochabamba esta en Bolivia (V) s ⇔ r (F )

4.6. DIFERENCIA SIMÉTRICA.- o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la proposición

p

ṿ q (p o q en sentido excluyente), es verdadera solamente si los componentes tienen

valores de verdad diferentes.

p

_ṿ

q

V F V

V V F

F V V

F F F

Ejemplo:

O Javier es Cochabambino o es Cruceño p: Javier es Cochabambino (V)

q: Javier es Cruceño (F) p v q (V)

4.7. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F V F

En el caso de la implicación p ⇒ q se llama a “p” antecedente y a “q” consecuente.

Si p ⇒ q es Verdadero y p es Verdadero, entonces q es Verdadero, se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

Cuando p ⇒ q es Verdadero, si q es verdadero, entonces p puede ser Verdadero o Falso, más para que p sea Verdadero se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.

Resumen: Si p ⇒ q es Verdadero, entonces p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p

5. TABLAS DE VERDAD

Una simple manera concisa de mostrar la relación entre el valor de una proposición P(p, q, …) y los valores de verdad de sus variables p, q, … es por una tabla de verdad.

En la tabla hay suficientes filas para abarcar todas las combinaciones de V y F para las variables (para n variables se requieren 2n filas). Luego hay otra columna para cada paso sucesivo del cálculo del valor de verdad que se busca para la proposición.

La tabla de la proposición queda formada por las columnas encabezadas por las variables Ejemplo 1:

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¬ (p ⋀ ¬ q)

V V F F

F V V V

V F F F

V F F V

Ejemplo 2:

Determinar los valores de verdad de la siguiente proposición: (p ⋀ q) ⇒ ¬ q

p ⋀ q ⇒ ¬ q

V V V F F

V F F V V

F F V V V

F F F V V

5.1. CLASIFICACION DE FORMULAS PROPOSICIONALES 5.1.1. TAUTOLOGIAS

Algunas proposiciones P(p, q …) tienen solo V en la última columna completada en el último paso de su tabla de verdad, es decir que dicha proposición será siempre una proposición verdadera sean cuales fueren las proposiciones, verdaderos o falsos por los que sustituyan las variables. Estas proposiciones se llaman TAUTOLOGIAS

Ejemplo: p ⋁ ¬p

p ⋁ ¬p

V V F

F V V

5.1.2. CONTRADICCION

Una proposición P(p,q, …) es una contradicción si la proposición es falsa para cualesquiera de los enunciados verdaderos o falsos. …) tienen solo F en la última columna completada en el último paso de su tabla de verdad

Ejemplo: p ⋀ ¬p

p ⋀ ¬p

V F F

F F V

5.1.3. CONTINGENCIAS

Es una proposición que tienen valores de verdad V y F en la última columna completada en el último paso de su tabla de verdad

Ejemplo: p ⇒ ¬p

p ⇒ ¬p

V F F

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5.2. EJEMPLO DE TABLA DE VERDAD CON TRES ENUNCIADOS

[(p⇒q) ⋀ (q⇒r)]⇒(p⇒r) Para determinar el número de filas

Se define el número enunciados: 3 luego 23= 8 filas

[(p ⇒ q) ⋀ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

V V V V V V V V V F V

V V V F V F F V V V F

V F F F F V V V V F V

V F F F F V F V V V F

F V V V V V V V F V V

F V V F V F F V F V F

F V F V F V V V F V V

F V F V F V F V F V F

6. LEYES LOGICAS

Las leyes lógicas son aquellas proposiciones que tiene el carácter de ser siempre verdaderas, son proposiciones tautológicas. Lo que significa que las leyes lógicas son tautologías.

6.1. Involución: ¬( ¬p) ⇔ p

Se lee: “no, no p, equivale a p” 6.2. Idempotencia: (p ⋀ p) ⇔ p

(p Vp) ⇔ p 6.3. Conmutatividad:

a) De la disyunción p V q ⇔ q V p b) De la conjunción p ⋀ q ⇔ q ⋀ p 6.4. Asociatividad:

a) De la disyunción (p V q) V r ⇔ p V(q V r) b) De la conjunción (p ⋀ q) ⋀r ⇔ p⋀( q ⋀ r) 6.5. Distributividad:

a) De la conjunción respecto de la disyunción (p V q) ⋀ r ⇔ (p⋀ r) V ( q ⋀ r)

b) De la disyunción respecto de la conjunción (p ⋀ q) V r ⇔ (p V r) ⋀ ( q V r)

6.6. De Morgan:

a) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones

¬(p V q) ⇔ ¬ p ⋀ ¬q

b) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones

c) ¬(p ⋀ q) ⇔ ¬ p V ¬q 6.7. Equivalencia lógica

(p⇒q)⇔(¬p V q)

7. IMPLICACIONES ASOCIADAS

Sea el condicional directo p⇒q, en conexión con él, se presentan otro tres, obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente: q⇒p reciproco, ¬p⇒¬q contrario, ¬ q⇒¬p contra recíproco.

Las cuatro implicaciones propuestas se llaman conjugadas, el siguiente esquema nos proporciona la relación que las vincula:

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p⇒q reciproco q⇒p

¬p⇒¬q ¬ q⇒¬p

Las implicaciones contra reciprocas son equivalentes, son tautologías:

( p⇒q) ⇔ ( ¬p⇒¬q ) (q⇒p) ⇔ (¬p⇒¬q)

Si la implicación directa es V, también lo es la contra recíproca y no podemos afirmar la verdad de la recíproca o de la contraria.

8. INFERENCIA LOGICA (argumento o razonamiento)

Se llama a toda aseveración de un conjunto finito de proposiciones que originan como consecuencia otra proposición final q.

p1, p2, p3 son las premisas y q conclusión o proposición inferida

Las premisas son proposiciones o enunciados iniciales, que se conoce como verdaderas y sobre los cuales se basa un razonamiento. La conclusión es verdadera si el proceso de inferencia es correcto.

En el proceso de inferencia se pueden dar las siguientes posibilidades: a) premisas verdaderas, conclusión verdadera

b) premisas falsas, conclusión verdadera c) premisas falsas, conclusión falsa

Podemos obtener de lo anterior que:

Si las premisas son correctas, la conclusión tiene que ser correcta por el inciso a, pero si las premisas son incorrectas o falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa, es decir no se puede asegurar nada respecto a la conclusión y tampoco podemos inferir nada.

Un razonamiento deductivo es válido cuando el condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión, es tautológico.

La inferencia lógica cuenta con reglas de inferencia, que facilitan el paso de las premisas a la conclusión.

8.6. PRIMER REGLA,( MODUS PONENS ) Afirma el antecedente para afirmar el

consecuente: si p⇒ q y p , entonces q

[( ⇒ ) ] ⇒

Con

trar

io

s

Con

trar

io

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MATEMÁTICA APLICADA 10 Tiene la siguiente forma:

1. p⇒ q (premisa) (V) 2. p (premisa) (V) 3. q (conclusión) (V)

Como p⇒q es verdadera, no se da el caso que p es verdadera y q falsa y el único caso que se da con p verdadero es que q es verdadero.

Ejemplo:

p: voy al teatro q: disfruto la función

1. si voy al teatro entonces disfruto al función (premisa) p⇒q (v) 2. voy al teatro (premisa) p (V) 3. disfruto la función (conclusión) q (V)

8.7. SEGUNDA REGLA. (MODUS TOLLENS) Niega el consecuente para negar el

antecedente [( ⇒ ) ] ⇒

0.Tiene la forma :

1. p⇒q

2. ¬q

3. ¬p

Ejemplo:

1. Si Juan estudia entonces sacará buena nota en el examen de Ecología 2. No saco buena nota en el examen de Ecología

3. Juan no estudia

7.3. TERCERA REGLA (Silogismo Disyuntivo) Parte de una disyunción niega uno delos enunciados para afirmar el otro

tiene la forma:

a) 1. p V q b) 1. p V q 2. ~p 2. ~q 3. q 3. p

Ejemplo:

1. Esta tarde vamos al cine o estudiamos Teoría 2. Esta tarde no vamos al cine

3. Estudiamos Teoría

7.4. CUARTA REGLA (Simplificación) Parte de una conjunción para concluir como verdadera cualquiera de ambas premisas

Tiene la forma:

a) (p ⋀ q) ⇒ p b) (p ⋀ q ⇒ q 1. p ⋀ q 1. p ⋀ q

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7.5. QUINTA REGLA (adjunción). Parte de dos proposiciones como premisas y se concluye

como verdadera la conjunción de ambos. Tiene la forma:

1. p 2. q 3. p Λ q

7.6. SEXTA REGLA (ley de la transitividad o silogismo hipotético) Parte de dos implicaciones cuyo consecuente del primero es el antecedente del segundo, para concluir con otra implicación, cuyo antecedente es el mismo de la primera implicación y el consecuente es el mismo de la segunda implicación.

[(p⇒q) ⋀ (q⇒r)]⇒(p⇒r) Tienen la forma:

1. p⇒q 2. q⇒r 3. p⇒q

Ejemplo:

Si hace mucho frio esta noche entonces cae nieve en la cordillera Si cae nieve en la cordillera entonces jugaremos con nieve

Se infiere: si hace mucho frio entonces jugaremos con nieve

Ejemplo de inferencia:

Infiera o demuestre ¬n de las siguientes premisas: 1. r ⇒ s premisa

2. r premisa 3. s ⇒ q premisa 4. q⇒¬n premisa 5. s de 1. y 2. R1 6. q de 3. y 4. R1