VECTORES. PLANO Son paralelos. No paralelos. Son coplanaros. Imposible

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VECTORES

BASE. Recuerda: Rag (   v u )=1 son L. D. Rag (   v u )=2 son L. I Rag (    w v u )<3 son L.D. Rag (    w v u )=3 son L.I. PLANO Son paralelos No paralelos Son coplanaros Imposible ESPACIO Son paralelos No paralelos Son coplanaros No son coplanarios. Cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de tres vectores (    w v

u ) linealmente independientes. Por lo tanto podremos decir que, en el espacio, tres vectores L.I. forman una base, pues son también sistema de generadores. La dimensión es tres.

Base ortogonal . Formada por tres vectores perpendiculares.

Base ortonormal. Formada por tres vectores perpendiculares y de módulo la unidad.

1. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.

Dados dos vectores a y b

 

libres, y elegidos dos representantes cualesquiera de ellos que tengan un mismo origen 0, estos dos vectores definen en el plano dos ángulos cuya suma es un ángulo completo. Al menor de los dos ángulos le llamaremos "ángulo de los vectores a y b

 

"

Este ángulo es independiente del origen común 0 de los dos representantes de los vectores; si

hubiéramos tomado representantes con otro origen 0', el ángulo seria el mismo. "Llamaremos producto escalar de los vectores a y b

 

al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

a b a b a b        | | | |cos( , ) " 1.1. PROPIEDADES. a) a b b a        Conmutativa. 0 a b 

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b) a b c a b a c

      

(  )    Distributiva del producto respecto de

la suma. c) (r a )  b a (r b)r a b(  )       siendo r . d) a a a a a a      

  | |2 | |  (módulo del vector a

). e) Si a y b

 

son distintos de 0, la condición necesaria y suficiente para que a y b

 

sean perpendiculares es que .a b

     0 f) a b b an      | || | Siendo |an|  = Proyección dea  sobreb               cos( , ) | | | | | | | | cos( , ) a b a a a a a b n n a b a b a b         | | | |cos( , )=|b a|| n|  

2. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR. 2.1. VECTOR UNITARIO

Un vector u se dice que es unitario si su módulo es la unidad.  

u vector unitario  u 1 Si v es un vector cualquiera no nulo, el vector 

  v v

| | será un vector unitario del mismo sentido que v . En efecto: 

         v v v v v v v v u   2    2 1 1 2.2. BASE ORTONORMAL

Una base B

u1, u2, u3

del espacio vectorial V3 se dice ortonormal o métrica si se verifican las siguientes condiciones:

b a

a n

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a) los vectores de la base son unitarios

b) los vectores de la base son perpendiculares dos a dos. Esto es equivalente a que:

Sea B

u1, u2, u3

una base ortonormal de V3 y sean a y b   V3. Podemos escribir:

    a a u a u a u b b u b u b u          1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 Calculemos:                     a b a b u u a b u u a b u u a b u u a b u u a b u u a b u u a b u u a b u u . ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )           1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 Recordando (*) resulta:

EJERCICIO (1): Hallar las proyecciones del vector a 2i j k sobre los ejes de coordenadas.

2.3. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL MÓDULO DE UN VECTOR

La expresión analítica del módulo de un vector a en una base ortonormal se obtiene fácilmente de la relación a2 a. a

a2 a12 a22 a32 

2.4. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD DE DOS VECTORES

Expresemos analíticamente la condición de perpendicularidad de dos vectores a y b  referidos a una base ortonormal

 

a y b perpendiculares

 a b.  0 ; por consiguiente la condición necesaria y suficiente para que dos vectores a y b sean perpendiculares es que: 

2.5. ÁNGULO DE DOS VECTORES

De la definición de producto escalar resulta que el coseno del ángulo que forman los vectores a y b cuyas coordenadas en una base ortonormal son 

(a1, a2, a3 ) y (b1, b2, b3 ) es: u u u 1 2 3   u u si i j si i j i. j (*)      0 1   a b.  a b1 1a b2 2 a b3 3  a a12 a22 a32   a b a1. b1 a1. b1 a1. b1 0

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11 PRODUCTO VECTORIAL.

Sea u (u1, u2, u3) y v (v1, v2, v3)  V3, se llama producto vectorial de estos dos vectores, al vector: u v u u

v v u u v v u u v v          2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 , ,

Simbólicamente se puede ver ( ya que es un determinante formado por vectores y números) que u v es el resultado de:

   i j k u u u v v v 1 2 3 1 2 3

El producto vectorial es una operación interna, ya que u v V3, es decir es un vector, cuyo módulo, dirección y sentido vamos a estudiar

Módulo u  v  u v sin u v( , ) 

Dirección perpendicular a los vectores u y v (es decir, al plano que forman)   En efecto: u u v u u u v v u u u v v u u u v v . (  ) 1 2 3   2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 2 = = u u v1 2 3 u u v1 3 2 u u v1 2 3 u u v2 3 1 u u v1 3 2 u u v2 3 1 0 luego u es perpendicular a ( u v)

Igualmente se puede demostrar que v es perpendicular a (u v) .

Sentido es el de avance de un sacacorchos que gira de u a v por el camino más corto.

11.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL. Si u y v son dos vectores libres linealmente independientes, su producto vectorial  admite la siguiente interpretación: "El valor de u v coincide con el área del paralelogramo que determinan u y v". 

En efecto:

Área del paralelogramo = v. h h u sin u v ( , )  

Área del paralelogramo = v u sin u v  ( , )  = u v sin u v  ( , ) 

 

u v =  u v sin u v( , )  = área del paralelogramo. cos(  , ) .     a b a b a b a b a b a b a a a b b b         1 1 2 2 3 3 12 22 32 12 22 32 v u h

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11.2 ALGUNAS PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL. a) u v = - (v u)

b) Si u v ,  0 y u  v 0  u y v  son paralelos. c) Área del triángulo:

Sea el triángulo de vértices:

A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3). Construimos un paralelogramo cuya área es el

doble de la del triángulo:S ABC

AB AC ( )        2

Selectividad nº 48

14 PRODUCTO MIXTO.

Se llama producto mixto de tres vectores   x y z, ,  V3 y se representa por

  x y z, ,

o ,

x y z  , ,

al producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos, es decir:

x,y,z

x.(yz).

Si x (x1,x2,x3), y (y1,y2,y3), z (z1,z2, z3), se obtiene la siguiente expresión analítica del producto mixto:

3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 z z z y y y x x x z z y y x z z y y x z z y y x z y x z y x,, (. ) .  .  . 

Si x,y,z son coplanarios ( L. Dependientes) x(. yz)0.

A

B

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GEOMETRÍA

1. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO.

Un sistema de referencia es el conjunto

       0;i,j,k R formado por:

- Un punto fijo O llamado origen

- Una base ortonormal formada por los vectores

        k , j , i A cada punto P se le asocia un vector

OP de coordenadas (a, b, c)

Ejercicios: complementarios nº 1, 2

2. LA RECTA EN EL ESPACIO AFÍN

La recta r en el espacio queda determinada por un punto y un vector director (uno de los infinitos vectores que tienen la misma dirección que la recta).

Trabajando con un sistema de referencia 0; u u1 2 u3                , , , sea A x y z( o, o, o) un punto de la recta; p (p , p , p )1 2 3   un vector director de la misma, y X x y z( , , ) un punto cualquiera de la recta.

Observando la figura tenemos : OX OA AX         es decir: (*) Ecuación vectorial. t 

p A X o u 1 u 2 u 3 OX OA t p         

i

 k 

j

0 P

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Como OX  

y OA  

son los vectores posición de los puntos X, A respectivamente, sustituyendo en (*) y operando tendremos: ( , , )x y z  (x y z0, 0, 0) t p p p( 1, 2, 3)

x x t p y y t p z z t p              0 1 0 2 0 3 t 

Ecuaciones paramétricas EJERCICIOS:

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(0,1,- 1) y es paralela al vector v(2,1,3)

Complementarios nº 3

Si P1 0 , P2 0 , P3 0 despejando t en las tres ecuaciones resulta: x x P t  0 1 , y y P t  0 2 , z z P t  0 3 e igualando: (**) Ecuaciones continuas o cartesianas. EJERCICIOS:

Halla las ecuaciones continuas de la recta que pasa por A(0,1,- 1) y es paralela al vector v(2,1,3)

Tomando dos de las ecuaciones continuas de (**) y operando se obtiene: este sistema o cualquier otro equivalente que representa la recta r.

x x p y y p x x p z z p p x p y p x p y p x p z p x p z                         0 1 0 2 0 1 0 3 2 1 2 0 1 0 3 1 3 0 1 0 0 0

El más general de todos constituye las ecuaciones implícitas o generales.

Este sistema es de rango 2. EJERCICIOS:

Halla las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por A(0,1,- 1) y es paralela al vector v(2,1,3)  Complementarios nº 4, 5 X X P Y Y P Z Z P  0  1 0 2 0 3 Ax By Cz D A x B y C z D             0 0 ' ' ' '

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2.1. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.- (Siempre nos basamos en un sistema de referencia).

Sea A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3).

El vector AB b a b a b a  

( 11, 22, 33) es un vector que tiene la dirección de esa recta r. Con lo que ya se tienen datos suficientes para escribir cualquiera de las ecuaciones de la recta. Por ejemplo las ecuaciones paramétricas:

x a t b a y a t b a z a t b a              1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) t 

EJERCICIOS: Complementaros nº 6, 7 3. ECUACIONES DEL PLANO.-

Un plano  en el espacio queda deteminado por un punto y dos vectores (estos vectores no deben tener la misma dirección).

Sea el punto A  (x y z0, 0, 0) y dos vectores 

p (p , p , p )1 2 3 y q (q ,q ,q )1 2 3 .

El punto X(x, y, z) es un punto cualquiera del plano 

Observando la figura se tiene que:

AX p        q,  ,  . Además OX OA AX         , sustituyendo se obtiene: OX OA p q            ,  ecuación vectorial Como OX   y OA  

son los vectores posición de los puntos X y A respectivamente, sustituyendo: (x, y, z) = (xo, yo, zo) + (p1, p2, p3) + q1, q2, q3).Operando e igualando componentes se tiene:

, 

ecuaciones paramétricas.

Eliminando parámetros en este sistema se obtendrá la ecuación general del plano

A B r p q X A O x x p q y y p q z z p q o o o                       1 1 2 2 3 3

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Cada punto del plano (x, y, z) verifica las ecuaciones anteriores, es decir, aseguran la existencia de un valor para  y otro para , o lo que es lo mismo, el sistema:

      p q x x p q y y p q z z o o o 1 1 2 2 3 3                

debe tener solución.

Por tanto rango

p q p q p q 1 1 2 2 3 3               = rango p q x x p q y y p q z z o o o 1 1 2 2 3 3                  1. El rango de la primera

matriz es dos ya que los dos vectores son linealmente independientes, por consiguiente el rango de la segunda matriz debe ser 2, para lo cual

p p p q q q x x y y z z 0; 1 2 3 1 2 3 0 o 0     desarrollando se obtiene:

A x By C z D 0 Ecuación general, implícita ó cartesiana. EJERCICIOS: Complementaros nº8, 9, 10, 11, 12

Si A, B, C, D  0  el plano corta a los tres ejes. No pasa por el punto (0,0,0) Si dos de A, B, C son cero  el plano es paralelo a uno de los planos coordenados. Si uno de A, B, C es cero el plano es paralelo a un eje de coordenadas.

3.1. PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS. Sean

 

A a a1, 2,a3 , B b b1, 2,b3 , C c c1, 2,c3 tres puntos no alineados. Los vectores :

AB b a b a b a    11, 22, 33

AC c a c a c a    11, 22, 33 no tienen la misma dirección con lo que ya se tienen suficientes datos para escribir

cualquiera de las ecuaciones del plano. Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas serían:

x a1  b1a1   c1 a1 1 Los tres vectores son coplanarios. Rg=2

A C

B

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y a2  b2  a2   c2 a2 , 

z a3  b3a3   c3 a3 EJERCICIOS: Complementaros nº 13, 14

4. POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS .- 4.1. RECTAS DE IGUAL DIRECCIÓN

   ES COINCIDENT PARALELAS r r' B A w v

Sean las rectas r A a a a V v v v       ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 ; r ( , , )x y z  ( ,a a a1 2, 3)t v v v( 1, 2, 3) t r´      B b b b W w w w ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 ; r'( , , )x y z (b b b1, 2, 3) s w w w( 1, 2, 3) s

Si estas rectas son PARALELAS los vectores v y w

 

tienen la misma dirección, lo que equivale a decir que son L. Dependientes, es decir :v

w v w v w 1 1 2 2 3 3   , o lo que es lo mismo: 1 w v w v w v rango 3 3 2 2 1 1           

Como se observa en el dibujo, el vector AB  

= (b1- a1, b2- a2, b3- a3) no tiene la

misma dirección que V

 y W  , por tanto: 2 a b w v a b w v a b w v rango 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1              

Si las rectas son COINCIDENTES los vectores AB   v y w   tienen la misma dirección , es decir : rango              3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b w v a b w v a b w v = 1 B w A v

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4.2. RECTAS DE DISTINTA DIRECCIÓN    CRUZAN SE CORTAN SE

Si las rectas r , r´ no tienen la misma dirección 2 w v w v w v rango 3 3 2 2 1 1            SE CORTAN El vector AB  

pertenece al plano determinado por v y w

 

por tanto se podrá expresar como C. L. de ellos y, rango              3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b w v a b w v a b w v = 2 SE CRUZAN,: El vector AB  

no pertenece al plano determinado por v y w

 

por tanto no se podrá expresar como C. L. de ellos y,

rango           3 3 2 2 1 1 w v w v w v = 2; rango              3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b w v a b w v a b w v = 3 EJERCICIOS: Complementaros nº 15, 16

5. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS.

Sean los planos S

0 D z C y B x A 0 D z C y B x A 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1                   A B  v  w r r ´ A B  v  w r r ´

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Si estos planos tienen puntos en común, el sistema será compatible.

Sea M A B C A B C M A B C A B C D D 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2               ;

Aplicando el T. de Rouché nos encontramos con dos casos:

a) rango

 

 

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 1 M rango

M       con lo que 1 y 2 son

COINCIDENTES.

b) rango

 

M1 rango

 

M2 2el sistema presenta infinitas soluciones (en función de un parámetro). Los planos 1 y 2 se CORTAN en una recta.

Si los dos planos que forman el sistema, no tienen puntos en común, entonces el sistema no tiene solución. Aplicando el T. de Rouché rango

 

M1 rango

 

M2 es decir: rango

 

M1 1 y rango

 

M2 2

Para ello es condición necesaria y suficiente que A A B B C C D D 1 2 1 2 1 2 1 2    que es la condición de PARALELISMO.

EJERCICIOS: Complementaros nº 17, 22 a), b) Selectividad 1

Ecuación del plano paralelo a: x+2y+z- 3= 0 que pasa por el punto P(1.0.1)

6. POSICION RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO.-

Consideremos el plano  y la recta r dada, en forma de dos planos secantes:  ax by cz d 0                 0 d z c y b x a 0 d z c y b x a r 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Como 12 r, el rango 1 2 2     

 , en todos los casos.

Si llamamos:            2 2 2 1 1 1 1 c b a c b a c b a M ;            2 2 2 2 1 1 1 1 2 d c b a d c b a d c b a M

Como rang (M1) 2 pueden considerarse tres casos:

1º.- rango

 

M1 = rango

 

M2 = 3  sistema compatible y determinado. La recta y el plano tienen un punto en común: r  P

2º.-

 

 

     3 M rango 2 M rango 2 1

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3º.-

sistema compatible indeterminado. La recta está contenida en el plano r.

EJERCICIOS: Complementaros nº 18 Selectividad nº 61

7. POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS

Para estudiar la posición relativa de tres planos hay que discutir el sistema formado por sus ecuaciones:

                       0 " d z " c y " b x " a " 0 ' d z ' c y ' b x ' a ' 0 d cz by ax

Las matrices de los coeficientes y ampliada correspondientes a este sistema son: C =           " c " b " a ' c ' b ' a c b a y A =           " d ' d d " c " b " a ' c ' b ' a c b a

CASO 1 rg(C) = rg(A) = 3  Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto. Fig. 1.

CASO 2 rg(C) = 2 y rg(A) = 3  Sistema incompatible .Pueden darse dos subcasos:

2.1.-Que dos de los planos sean paralelos. Fig 2. 2.2.-Que no se de paralelismo entre planos. Fig 3.

 

 

  2 M rango 2 M rango 2 1 r r r P    1 2 3

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CASO 3 rg(C) = rg(A) = 2  Sistema compatible indeterminado de grado uno.Pueden darse dos subcasos:

3.1.- Que dos de los planos sean coincidentes. Fig 4. 3.2.- Que no haya coincidencia de planos. Fig 5.

CASO 4 rg(C) = 1 y rg(A) = 2  Sistema incompatible . Pueden darse dos subcasos:

4.1.- Que los tres planos sean paralelos. Fig 6.

4.2.- Que dos planos sean coincidentes y el tercero paralelo. Fig 7.

CASO 5 rg(C) = rg(A) = 1  Sistema compatible indeterminado de grado dos. Los tres planos son coincidentes. Fig 8.

EJERCICIOS: Complementaros nº 19

8. VECTOR CARACTERÍSTICO DE UN PLANO.

Consideremos un plano  definido por la ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0 (*) (probar que el vector u ( ,A B C, ) es perpendicular al plano Para ello es suficiente probar que u

es perpendicular a cualquier vector paralelo al plano . p 1 p 2 u

(15)

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EJERCICIOS:

(1) Hallar el vector  al plano

                  3 1 z 2 3 y 2 2 x , 

(2) Hallar un vector unitario  al plano definido por A(1, 2, 3), B( -1, 2, 1), C(-3, 0, 0).

(3) Hallar la ecuación del plano incidente con (1, 2, 3) y  al vector (1, 0, 2). (4) Ecuación del plano incidente con el punto (3, 1, 2) y perpendicular a la recta

          0 3 z y 2 x 0 1 y x (5) Ecuación de la recta:

a) incidente con el punto (3, 4, 1) y  al plano 3x - 2y + 2z = 0. b) incidente con el punto (1, 2, 0) y ║ al plano y - 3z = 0. (6) Complementaros nº 20

(7) Selectividad nº 49, 50, 60

9. ÁNGULO DE DOS RECTAS. 9.1. RECTAS QUE SE CORTAN.

Dos rectas al cortarse forman cuatro ángulos, iguales dos a dos. Por definición se llama ángulo de dos rectas r, r' que se cortan, al menor de los dos ángulos () . El otro ángulo  es suplementario.

Supongamos que el vector director de la recta r, es v

y que el vector director de la recta r' es w

.

En el caso a el ángulo formado por las rectas r y r' coincide con el formado por los vectores directores v

y w

, por consiguiente cos( r, r') = cos (v

,w

) = cos .

En el caso b el ángulo formado por las rectas r y r' y el formado por los vectores directores v

y w

, son suplementarios, por tanto cos( r, r') = - cos (v

 ,w  ) .Ahora bien, en ambos casos: cos( r, r') = |cos (v  ,w  )| r r' w v   a) r r' w v   b

(16)

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entonces:

cos  = cos( r, r') = |cos (v

 ,w  )| = v1w v2w v3w v v v w w w 1 2 3 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2       EJERCICIOS:

(1) Calcula el ángulo formado por las rectas:

               0 5 2 0 4 5 3 2 1 3 1 5 3 y x z y x z y x Selectividad nº 40

9.2. RECTAS QUE SE CRUZAN.

En este caso se define el ángulo de las rectas r y r' como el ángulo formado por dos paralelas a ambas trazadas por un punto cualquiera del espacio, por consiguiente, la fórmula anterior es válida para el cálculo del ángulo que forman dos rectas que se cruzan.

9.3. PERPENDICULARIDAD.

Si dos rectas son perpendiculares   90º, cos( r, r') = cos (90º) Entonces:

v1w1 v2w2 v3w3= 0 EJERCICIO (1).

Hallar el ángulo que forman las rectas:           4 z y 2 x r   2 1 z 2 y 2 1 x s      

10. ÁNGULO DE DOS PLANOS.

Consideremos dos planos y ' que se cortan, de ecuaciones:

 Ax By Cz D 0

(17)

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Al cortarse forman cuatro ángulos diedros, iguales dos a dos. Por definición, el ángulo de dos planos y ' es el menor de los ángulos diedros2 que determinen.

Designemos por u ( ,A B C, ) y u' ( ',A B C', ') los vectores característicos de los planos y ', respectivamente.

Dependiendo del sentido de estos vectores, el ángulo (' ) que forman los planos y ' será igual o suplementario del ángulo (u u , ') que forman sus vectores

característicos.

En la figura a  = (' ) = ( u u, ') , por tanto, cos (' ) = cos (u u , '). En la figura b los ángulos  = (' ) y (u u , ') son suplementarios, por

tanto cos (' ) = - cos ( u u, ') En los dos casos se verifica :cos (' ) = cos ( , ' )u u  . De ahí que:

cos cos (' ) = cos ( , ' ) u u = AA BB CC

A B C A B C ' ' ' ( ' ) ( ' ) ( ' )       2 2 2 2 2 2 EJERCICIOS: Complementaros nº 21 Selectividad nº 43

11. ÁNGULO DE RECTA Y PLANO.

Sea la recta r determinada por un punto P y el vector director v

; sea el plano  dado por su ecuación : Ax + By + Cz + D = 0.

El ángulo que forma la recta r y el plano  es el mismo que forma la recta r con su proyección ortogonal r' sobre el plano 

Este ángulo es complementario del ángulo  que forman el vector director de la recta y el característico del plano, por tanto:

2La medida de un ángulo diedro es la del ángulo plano formado por dos semirectas perpendiculares a la arista en un mismo punto, contenidas cada una de ellas en cada una de las caras del diedro

u u'  ' a   u'    ' u b u    r v

(18)

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ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 sin  = cos ( ,u v ) = Av Bv Cv A B C v v v 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2       EJERCICIO

(1). Hallar el ángulo que forman la recta         2 y 4 x 3 7 z 5 x 2 r y el plano   x y 2z 0. Punto de corte

12 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

Sea P p( 1, p2, p3) y el plano

 Ax By Cz D 0. Sea M un punto del plano  y base de la perpendicular trazada desde P (camino más corto ) al plano.

d P Ap Bp Cp D A B C ( , )      1 2 3 2 2 2 EJERCICIO .

(1) Hallar la distancia del punto (-1, 3, -4 ) al plano 3x + 3y -2z - 2 = 0.Punto simétrico

(2) Selectividad nº 13, 16, 18.

PUNTO SIMÉTRICO P´ RESPECTO A UN PLANO

P ´, se encuentra en la recta perpendicular al plano trazada desde P y además: d(P,π) = d(P ´π)

EJERCICIO:

Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano π: x – y+z = 1 Complementarios nº 23 a)

Selectividad nº 47

13 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS.

La distancia entre dos planos paralelos se puede hallar sin más que calcular la distancia de un punto de una de ellos al otro plano. Así, dados dos planos y ' paralelos, sus ecuaciones difieren únicamente en los términos independientes:

               0 ' D Cz By Ax ' 0 D Cz By Ax

Si P x1( 1, y1,z1) es un punto del plano , entonces:

d d P Ax By Cz D A B C ( , ' ) ( , ' )    '   1 1 1 1 2 2 2  M P

(19)

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como -D = Ax1 By1 Cz1 por ser P1 un punto del plano 

d D D

A B C

( ,  ' ) '

 

2 2 2

EJERCICIOS: Selectividad: 6, 11 (parecidos), 19, 24, 46, 51

14 VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS. Si:             0 ' D z ' C y ' B x ' A 0 D Cz By Ax

r y  es el plano definido por la primera ecuación de r y ' el definido por la segunda, entonces es perpendicular a

(A, B, C) y ' es perpendicular a (A', B', C' ) .

Luego r, por pertenecer a y ' es perpendicular a estos vectores, por tanto, r es paralela al producto vectorial de (A, B, C) y (A', B', C' ).

EJERCICIO

(1) Hallar un vector director de la recta :            0 4 z x 2 0 3 z y x r

15 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Sea el punto P p( 1, p2, p3) y la recta r que pasa por A a( ,1 a2, a3) y tiene por vector director v (v1, v2, v3).

La distancia de P a r es el segmento d, trazado perpendicularmente desde P a r.

Tomemos un representante de v en la recta, a partir  de A y construyamos el triángulo APB.

El área del triángulo la podemos calcular de dos modos: S APB AB AP v AP S APB AB d v d ( ) ( ) . .                           2 2 2 2  

igualando ambas expresiones:

  v d v AP . 2  2    despejando A B P d v

(20)

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ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 d v AP v      

NOTA: Para hallar la distancia entre dos recta paralelas, basta calcular la distancia de un punto de una de ellas a la otra.

EJERCICIO

(1) Halla la distancia del punto (1, -1, 2 ) a la recta               3 z y 2 1 x r (2) Selectividad nº 7, 23, 22, 32, 38, 39, 44, 53, 59

PUNTO SIMÉTICO P´ RESPECTO A UNA RECTA

P ´, se encuentra en la recta que pasa por P y corta a la dada perpendicularmente y además: d(P,r) = d(P ´r)

EJERCICIO

(1) Selectividad nº 37

(2) Complementarios nº 23b)

16 VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO.

Vamos a probar que el valor absoluto del producto mixto

x,y,z

, es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores.

El volumen del paralelepípedo es igual al área de la base por la altura:

V s h s y z h x x x y z            . . cos cos( , )         V y z x  cos( ,x y  z)  x y  z cos( ,x y  z)  x. (y z) EJERCICIOS.

(1) Siendo A(-1, 1, 0), B(2, 1, 3), C(0, 1, -1), D(1, 0, 3), hallar el volumen del paralelepípedo de aristas AB, AC, AD.

z y x A B C D h y z 

V x y z  , ,

(21)

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(2) Selectividad nº 5, 10, 14, 15 (parecidos)

17 VOLUMEN DEL TETRAEDRO.

Consideremos el tetraedro ABCD de la figura anterior.

El volumen de un tetraedro es igual a un tercio del área de la base por la altura. V = 1

3 área del triángulo (DBC) . h = 1 3 1 2   y z h V = 1

6 1 6       y z x cos  x y z, ,

EJERCICIOS: Selectividad nº 4, 20 (parecidos), 33, 34, 42

18 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Sean dos rectas:

 r determinada por el punto A(a1, a2, a3 ) y el vector director 

u (u1,u2,u3).

 r' determinada por el punto B(b1, b2, b3 ) y el vector director

v (v1,v2,v3). Puede ocurrir:

a) r y r' SE CORTAN

d(r, r') = 0.

b) r y r' son PARALELAS

d(r, r') se calcula como la distancia de un punto cualquiera de r a r' o viceversa.

c) r y r' se CRUZAN .En este caso consideremos el plano que pasa por r' y es paralelo a r. Se proyecta la recta r sobre dicho plano.

Se observa que la distancia entre r y r' coincide con el valor de la altura del paralelepípedo formado por u v y BA ,

  .

d(r, r') = h h es la altura del paralelepípedo A B h v u r r' proyección de r 

(22)

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Volumen = BA u v

 

. ( );

Volumen = área de la base . altura = u v . h. Igualando ambas expresiones y despejando h, se obtiene:

h BA u v u v      . ( )   EJERCICIOS

(1) Hallar la distancia entre las rectas :

           t z 0 y t 2 1 x r y 1 2 z 1 3 y 1 x ' r           (2) Selectividad nº 8, 9, 12, 17, 21, 41, 45, 52 (3) Complementarios nº 24, 25, 26, 27

(23)

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EJERCICIOS SELECTIVIDAD

1.- Determine razonadamente si el plano que pasa por los puntos (0,0,1), (1,1,- 1) y (2,- 1,0) tiene o no puntos en común con el plano que pasa por los puntos (3,2,- 4), (-3, -3,7) y (2,2,-3). (1994)

2.- Obtener la mínima distancia entre las partículas A y B cuyas posiciones vienen dadas por (xA,yA,zA)=t (1,2,0), y (xB,yB,zB)=(2, - 4,7)+t (-2,3,0), siendo t el tiempo en segundos.

Calcular la mínima distancia entre las rectas:

r: (x,y,z)= t (1,2,0) y s: (x,y,z)= (2, 3,7)+t (-2,3,0): Justificar la no coincidencia de los dos resultados anteriores. (1995)

3.- Supongamos que el sistema de referencia OXYZ tiene el eje OZ vertical y el plano OXY es horizontal. Se considera la varilla vertical de extremos A=(2,1,0) y

B=(2,1,12). En dos momentos determinados del día la sombra que proyecta A sobre el plano XOY coincide con los puntos (7,0,0) y (0,6,0). Obtener:

a) Ecuaciones de la recta que describe la sombra de A a lo largo del día. b) Calcula la longitud más corta de la sombra a lo largo del día. (1995)

4.- Los planos : x+y+z=4,  ´: x – z=0,  ´´ : x+y=3 tienen un único punto en común. Se pide:

a) Determinarlo.

b) Hallar las ecuaciones de las rectas en que cada uno de estos planos corta a x=0. c) Volumen del tetraedro limitado por estos tres planos y el plano x=0. (Junio 1996) 5.- Las bases de un paralelepípedo son ABCD y EFGH, donde A=(2,3,1), B=(4,3,1),

C=(2,7,1) y E=(8,0,0). Se pide: a) Coordenadas de D, F, G, H. b) Volumen del paralelepípedo.

c) Altura del paralelepípedo. . (Sep 1996)

6.- Deduce razonadamente en que casos los planos 1 y 2 son o no paralelos: a) 1: x – y+2z=8 2: 2x – 2y+3z=16

b) 1: x – y+2z=8 2: 2x – 2y+4z=8 c) 1: x – y+2z=8 2: 2x – 2y+4z=16

Calcula la distancia entre 1 y 2 cuando sean paralelos. (Sep 1996)

7.- Encontrar la distancia del origen a la recta determinada por la intersección de los planos 1 y 2, sabiendo que la ecuación de 1 es x+2y+z+4=0 y que 2 es el plano que pasa por los puntos (1,1,1), (1,2,3) y (2,0,0) (junio 1997)

(24)

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8.- Sea r1 la recta que pasa por los puntos A=(1,0,2) y B=(0,1,3). Sea r2 la recta que pasa por los puntos C=(0,3,0) y D=(1,2,1). Justificar si r1 y r2 se cruzan o no se cruzan.

Hallar la distancia entre r1 y r2. (junio 1997)

9.- Sea r1 la recta que pasa por los puntos A=(0,0,0) y B=(0,1,0). Sea r2 la recta que pasa por los puntos C=(0,0,5) y D=(a,7,5).

Calcula la distancia entre r1 y r2 , interpretando geométricamente la dependencia o independencia del resultado obtenido respecto al parámetro a. (Sep 1997)

10.- Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, donde

A=(8,0,0), B=(0,8,0), C=(0,0,8) y E=(8,8,8). Obtén también las coordenadas de los restantes vértices. (Junio 1998)

11- Deduce razonadamente en que casos los planos 1 y 2 son o no paralelos: a) 1: x+y+z=2 2: x+y - z=4

b) 1: x – y+z=4 2: x – y+z=2

Calcula la distancia entre 1 y 2 cuando sean paralelos. (Junio 1998)

12.- Sea r1 la recta que pasa por A=(2,4,0) y B(6,2,0) y sea r2 la recta que pasa por

C(0,0,7) y D=(3,2,0). Obtener razonadamente la distancia entre r1 y r2. (Junio 1999)

13.- Obtened la distancia desde el punto (0,0,7) al plano que pasa por los puntos (0,0,0), (0,2,4) y (4,2,0). Explica brevemente el método seguido. (Sep 1999)

14.- Halla el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que A=(1,0,0), B= (2,3,0), C=(4,0,5) y E=(7,6,3). Encuentra las coordenadas de los restantes vértices del paralelepípedo. . (Sep 1999)

15.- Consideramos el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que

A=(1,1,1), B= (2,1,1), C=(2,4,1) y E=(1,2,7). Calculad el área de una de sus bases, el volumen del paralelepípedo y la distancia entre las bases. (Junio 2000)

16.- Halla la distancia desde el punto (0,0,10) al plano que pasa por los puntos: (0,0,1), (4,2,7) y (4,0,3). (Junio 2000)

17.- Considera las rectas r: x=y=z y r´:      0 z 5 y

. Comprueba que los puntos 0=(0,0,0) y A=(1,1,1) pertenecen a la recta r, y que los puntos B=(0,5,0) y C=(10,5,0)

pertenecen a la recta r´. Obtén la distancia entre estas dos rectas. Explica la relación entre el producto mixto de los vectores

, OB y BC ), 1 , 1 , 1 ( k j i OA           el producto vectorial de   BC y OA y la

(25)

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18.- Obtener la distancia del, punto (0,0,7) al plano determinado por los puntos (0,0,0), (0,2,2) y (2,0,2). (Sep 2000)

19.-Hallar razonadamente las ecuaciones de los planos paralelos al plano  de ecuación 12x+3y – 4z=7 que distan 6 unidades de . (Junio 2001)

20.- Obtener las ecuaciones de las rectas obtenidas al cortar cada uno de los planos 1: x+y+z=3, 2: x - z=0 y 3: y – z=0 con el plano4: z=0.

Esos cuatro planos limitan un tetraedro del que se obtendrá el área de la cara situada en el plano 4 y la altura sobre esa cara, explicando el método utilizado. (Junio 2001)

21.- Sea r1 la recta que pasa por los puntos A ( 0,0,0) y B = (80,10,0) y sea r2 la recta que pasa por C = ( 0,0,10) y D = ( m, 10, 10) . Obtener la distancia entre r1 y r2. Justificar geométricamente que la distancia entre r1 y r2. es independiente de m (Sep 01) 22.- Dados los puntos A=(1,-2,3) y B(0,2,1), se pide:

a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. (1,1 puntos) b) La ecuación del plano  que esta a igual distancia de A que de B. (1,1 puntos). c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y – z =0 con el plano 

del apartado b) (1,1 puntos) (Junio 2002)

23.- a) Hallad la distancia del punto P=(3,-1,4) a la recta “r” intersección de los planos: : 2x+y – z+5=0

: 4x+4y – z+9=0

b) Hallad la ecuación del plano que pasa por la recta “r” y el punto P. (1,5 puntos) (Junio 2002)

24.- Dado el plano definido por la ecuación: : 8x – 4y+z=3; hallad:

a) La ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por P(1,-3,7), expresada como intersección de dos planos (1 punto)

b) La distancia del punto P al plano puntos)

c) Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano (1,5 puntos) (Sep 2002)

25.- Consideremos los planos: : x+y – 6=0 ; : 2x+4y+az+2=0, donde a es un parámetro real. Se pide:

a) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos: ,  cuando a=4 (1,5 puntos)

b) Calcular razonadamente a para que los planos  y  se corten formando un

ángulo de 45º (1,8 puntos) (Sep 2002)

26.- Sean r y r’ las rectas del espacio R3, determinadas por del modo siguiente:

r pasa por los puntos A(3,6,7) y B(7,8,3) y r’ es la recta intersección de los planos de ecuaciones: x – 4y – z = - 10 y 3x – 4y+z = - 2. Se pide:

(26)

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a) Calcular de cada una de las rectas r y r’ una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas (1 Punto)

b) Calcular la distancia d entre las rectas r y r’ (1,3 Puntos)

c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C siendo C un punto cualquiera de la recta r’ (1 Punto) Junio 2003

27.- Sean r la recta y π el plano del espacio R3, determinados por del modo siguiente: r pasa por los puntos (2,2,4) y (- 1,2,1) y π pasa por los puntos (1,0,1) , (1,-1,0) y (3,0,0). Se pide:

a) Probar que la recta r no es paralela a π (1 Punto).

b) Calcular el punto P intersección de r y π y el ángulo que forman la recta r y el plano π (1 Punto).

c) Determinar los puntos S y T de la recta r que cumplan que su distancia a π sea 4u (1,3 Puntos) Junio 2003

28.- Sean π y π’ los planos del espacio R3, determinados del siguiente modo: El plano π pasa por los puntos (0,2,1), (3,-1,1) y (1,-1,5) y el plano π’ pasa por los puntos (3,0,2) , (2,1,1) y (5.4.-2). Se pide calcular :

a) Una ecuación paramétrica de la recta r intersección de los planos π y π’ (1,3 P) b) El ángulo α que forman los planos π y π’ (0,7 Puntos)

c) La ecuación del plano que contiene a la recta r y forma un ángulo de 90 grados con el plano π (1,3 Puntos) Septiembre 2003.

29.- En el espacio R3 consideramos el punto P(3,2,3) y la recta r intersección de los planos de ecuaciones x+3y – 4z = 0 y x+2y – 2z = 1. Calculad:

a) La distancia d del punto P a la recta r. (1,3 Puntos)

b) Los puntos M y N de la recta r cuya distancia al punto P es 5d. (1,3 Puntos) c) El área del triángulo de vértices P, M y N (0,7 Puntos) Septiembre 2003. 30.- Dados los planos π1: x+y+z = - 5, π2: x – 3y – z = 3 y la recta r:

2 z 3 1 y 2 2 x     , se pide:

a) determinar razonadamente la posición relativa de la recta r y la recta s intersección de los planos π1 y π2 (1,7 Puntos)

b) Obtener razonadamente laecuación del plano que contiene a la recta s anterior y es paralelo a r(1,6 Puntos) Junio 2004

31.- Se consideran la recta r: (x,y,z) = (t+1,2t,3t), el plano π: x – 2y – z = 0 y el punto P (1,1,1). Se pide:

a) Determinar la ecuación del plano π1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano π (0,9 Puntos)

b) Determinar la ecuación del plano π2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P (1,2 Puntos)

c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos anteriores π1 y π2 (1,2 Puntos) Junio 2004

32.- a) Obtener el plano que pasa por el punto P(- 2,4 – 3) y es perpendicular a la recta r:(x,y,z) = (1,2,0) +t(1,- 2,1) (1 Punto)

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b) Calcular la distancia entre el punto P y la recta r (2,3 Puntos) Septiembre 2004. 33.- Consideramos los puntos: A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) y D(2,1,2). Se pide:

a) Hallar el área del triángulo de vértices B, C y D (1,1 Puntos)

b) Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (1,1 Puntos)

c) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por los puntos B, C y D (1,1 P) Sep 04

34.- Se consideran el plano π  y+z – 12m = 0 (m parámetro real) y las rectas:      z y 1 x : u v:      z 2 y 2 x w:      z 3 y 3 x

. Sean A, B, y C los puntos de intersección de π con u, v, w, respectivamente.

a) calcular las coordenadas de A, B, C en función de m (1,8 puntos)

b) Hallar los valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a. (1,5 Puntos) (junio2005)

35.- Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7, 2, -3) y tales que las proyecciones perpendiculares del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y,z)=(0,4,1)+t(1,0,0) (3.3 puntos) (junio2005)

36.- Un paralelepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas:

y uno de sus vértices es (12, 21, -11). Se pide: a) Hallar los vértices restantes (2,5 puntos).

b) Calcular su volumen (0,8 puntos). (Septiembre 2005)

37.- Dados los planos π : 5x − y − z = 0 , σ : x + y − z = 0 y el punto P(9, 4, -1), determinar:

a) La ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a π y a σ (1,5 puntos). b) El punto simétrico de P respecto de la recta r, intersección de los planos π y σ (1,8 puntos). (Septiembre 2005)

38.- Dados los puntos: A(4, - 4,9), B(2,0,5), C(4,2,6), L(1,1,4), M(0,2,3) y N(3,0,5); se pide:

a) Calcular la distancia “d” del punto C al punto medio del segmento de extremos A, B (0,5 p) y el área “S” del triángulo de vértices A, B, C (1 p).

b) Calcular las ecuaciones implícitas del plano π que pasa por los puntos A, B, C (0,4 p) y del plano π ´ que pasa por los puntos L, M, N (0,4 p)

c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta “r” intersección de los planos π y π ´ (0,6, p) y el ángulo α que determinan los planos π y π ´(0,4 p) Junio 2006 39.- En el espacio se consideran:

 La recta “r” intersección de dos planos de ecuaciones implícitas: x+y – z = 5 y 2x+y – 2z = 2.

 Y la recta “s” que pasa por los puntos P(3,10,5) y Q(5,12,6). Se pide:

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b) Calcular el punto “H” intersección de “r” y ”s” (0,6 p) y el ángulo α que determinan “r” y ”s” (0,4 p).

c) Calcular los puntos M y N de la recta “r” para que el área de cada uno de los

triángulos de vértices PQM PQN es de 3 unidades de área (1,3 p). Junio 2006 40.- Dadas las rectas r y s, que se cortan de ecuaciones: r:

y 6 3 z 2 6 1 y 2 2 1 x      s: 4 1 z 2 3 y 2 2 3 x    , se pide calcular: a) El punto P de corte de r y s. (1,1 Puntos)

b) Un vector direccional de r y otro de s, (0,5 puntos), y el ángulo  que forman las rectas r y s en el punto de corte P. (0,6 puntos).

c) La ecuación implícita ax+by+cz+d = 0 del plano  que contiene a las rectas r y s. (1,1 puntos) Junio 2007

41.- Dados el punto Q = (3, - 1, 4) y la recta r de ecuación paramétrica r: x= -2+3, y = - 2, z = 1+4, Se pide:

a) Hallar la distancia del punto Q a la recta r. (1,1 puntos).

b) Justificar que la recta s que pasa por Q y tiene (1, - 1, 1) como vector direccional no corta a r. (1,1 puntos)

c) Calcular la distancia entre la recta r y s. (1,1 puntos) Junio 2007 42.- Dado el plano  2x+y+3z – 1 = 0 y el punto Q = (2 , 1 , 3), se pide:

a) La distancia del punto Q al plano . (1,1 puntos).

b) El área del triángulo cuyos vértices P1 , P2, P3 son los puntos de intersección del plano  con los ejes coordenados (1,1 puntos).

c) El volumen del tetraedro de vértices P1 , P2, P3 y Q (1,1 puntos). Sep 2007 43.- Dados los planos 1 y 2 de ecuaciones:

1 x+2y+z+3= 0; 2 2x+y – z – 6=0, se pide: a) Calcular el ángulo  que forman los planos 1 y 2. (1,1 puntos)

b) Calcular la ecuación paramétrica de la recta “r”, intersección de los planos 1 y 2 (1,1 puntos)

c) Comprobar que el plano  de ecuación x+y – 1 = 0 es el plano bisector de 1 y 2, es decir,  forma un ángulo de /2 con cada uno de los planos 1 y 2, donde  es el ángulo obtenido en el apartado a). (1,1 puntos). Septiembre 2007 44.- Se dan los puntos A=(2, 1, 1) y B= (1, 0, - 1) , y la recta r de ecuación

r : 2 2 z y 5 x    

 . Se pide calcular razonadamente: a) El punto C de r que equidista de A y B (2 puntos)

b) El área del triángulo ABC. (1,3 puntos). Junio 2008

45.- Dadas las rectas r, intersección de los planos y+z=0 y x – 2y – 1 = 0, y la recta s de ecuación y 1 z 3, 2 x      se pide:

a) Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de r y s. (1,1 puntos)

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c) Calcular la distancia entre las rectas r y s. (1,1 puntos) Junio 2008 46.- Dados los planos 1:xyz3 y 2 :xyaz0., se pide:

a) El valor de “a” para que los planos 1y 2 sean perpendiculares y, para ese valor

de “a”, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de esos dos planos. (1,5 puntos).

b) El valor de “a” para que los planos 1y 2 sean paralelos y, para ese valor de “a”,

obtener la distancia entre los planos 1y 2. (1,8 puntos) Septiembre 2008

47.- Dados el punto O = (0,0,0) y el plano : x+y+z = 6. Calcular razonadamente: a) La ecuación de la recta r que pasa por O y es perpendicular al plano . (1,1 p) b) Las coordenadas del punto simétrico de O respecto al plano. (1,1 puntos) c) La ecuación del plano que contiene al eje X y a la recta r. (1,1 puntos) Sep 08 48.-Sean A, B, y C los puntos de intersección del plano de ecuación x+4y – 2z – 4 = 0

con los tres ejes coordenados OX, OY y OZ; respectivamente. Se pide calcular razonadamente:

a) El área del triángulo ABC. (1,1 puntos). b) El perímetro del triángulo ABC. (1,1 puntos).

c) Los tres ángulos interiores del triángulo ABC. (1,1 puntos). Junio 2009 49.- Dados los puntos O = (0,0,0), A = (4,4,0) y P(0,0,12), se pide obtener

razonadamente:

a) La ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano de ecuación z = 0 (1 punto).

b) La ecuación del plano que cumpla las dos condiciones siguientes:  Pase por P y por un punto Q de la recta de ecuación x = y = 4.

 Sea perpendicular a la recta que pasa por O y Q (2,3 puntos por hallar uno de los planos solución) Junio 2009 50.- Dados los puntos P= (3, -1, 4) y Q= (1, 0, -1), y el plano π de ecuación

π: x – 2y+2z+5 = 0, se pide calcular razonadamente:

a) La ecuación de la recta “r” que pasa por P y es perpendicular al plano π (1,4 p) b) La ecuación de los planos que pasan por P y son perpendiculares al plano π (1 p) c) La ecuación del plano π’ que pasa por los puntos P y Q y es perpendicular al

plano π. (0,9 puntos). Septiembre 2009

51.- Sea π el plano de ecuación π: 3x+2y+4z – 12 = 0. Calcular razonadamente: a) La ecuación de los dos planos paralelos a π que distan 5 unidades de π. (1,2 p) b) Los tres puntos A, B y C, intersección del plano π con cada uno de los ejes

coordenados. (0,6 puntos).

c) Los tres ángulos del triángulo ABC: (1,5 puntos) Septiembre 2009 52.- Dadas las rectas de ecuaciones , y

a) Justificar que las rectas “r” y “s” se cruzan (4 puntos)

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c) Determinar la ecuación del plano que es paralelo y equidistante a las rectas

“r” y “s” (3 puntos) Junio 2010

53.- Sea r la recta de vector director (2,-1, 1) que pasa por el punto P= (0, 3,-1). Se pide: a) Halla razonadamente la distancia del punto A=(0,1,0) a la recta r. (4 puntos) b) Calcula razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P y

A con la recta r en el punto P. (4 puntos)

c) Si Q es el punto donde la recta r corta al plano de ecuación z=0, comprobar que el triángulo de vértices APQ tiene ángulos iguales en los vértices P y Q. (2 p) Junio 2010

54.- Se pide obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano

π

que pasa por los puntos 0=(0,0,0), A=(6, -3, 0) y B=(3,0,1). (3 puntos)

b) La ecuación de la recta

r

que pasa por el punto P=(8,7, -2) y es perpendicular al plano

π.

(3 puntos).

c) El punto Q del plano

π

cuya distancia al punto P es menor que la distancia de cualquier otro punto del plano

π

al punto P. (4 puntos). Septiembre 2010 55.- Dadas las rectas r y s de ecuaciones

y

Se pide calcular razonadamente:

a) las coordenadas del punto P de intersección de las rectas r y s. (3 puntos) b) El ángulo que forman las rectas r y s. (3 puntos).

c) Ecuación implícita Ax+By+Cz+D=0 del plano π que contiene a las rectas r y s.

(4 puntos) Septiembre 2010

56.- En el espacio se dan las rectas y . Obtener razonadamente:

a) Un punto y un vector de cada recta (3 puntos) b) La posición relativa de las rectas r y s. (4 puntos)

c) La ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (3 p). Junio 2011 57.- En el espacio se dan las rectas

y . Obtener razonadamente:

a) Un vector director de cada una de las rectas r y s.(2 puntos)

b) La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (0,1,3). .(3 puntos)

c) El punto de intersección de las rectas r y s. (2 puntos) y la ecuación del plano

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58.- En el espacio se dan las rectas r:

. Obtener razonadamente:

a) El valor de para que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 ptos) b) La ecuación del plano que contiene a las recta r y s para el valor de obtenido

en el apartado anterior. (2 puntos)

c) La ecuación del plano perpendicular a la recta r que contiene al punto

(1,2,1). (4 puntos). Septiembre 2011

59.- Se da la recta y el plano

π

α

:

( α)x y αz – 2 - 6α ,

dependiente del parámetro real α. Obtener razonadamente:

a) La ecuación del plano

π

α

que pasa por el punto (1,1,0).

(3 puntos) b) La ecuación del plano

π

α que es paralelo a la recta r. (4 puntos)

c) La ecuación del plano

π

α que es perpendicular a la recta r. (3 puntos). Sep -11 60.- Se dan las rectas

y : siendo y β parámetros reales. Calcular razonadamente:

a) Las coordenadas del punto de corte de y . (3 puntos). b) La ecuación del plano que contiene a esas dos rectas. (4puntos).

c) La distancia del punto (0 , 0 , 1) a la recta . (3 puntos). Junio 2012 61.- Se da la recta r de ecuación y el plano π de ecuación

, donde n y p son dos parámetros reales. Obtener razonadamente:

a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano π es un punto. (4 puntos)

b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano π. (3 puntos)

c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano π.

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS GEOMETRÍA

1.- Representa los puntos siguientes: P(5, 2, 3), Q(3, –2, 5), R(1, 4, 0),S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3).

2.- Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P. Proyéctalo, P', sobre el planoXY. Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas de P. (Observa que el único paso arbitrario es decidir la situación de P').

3.- Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas

4.- a) Escribe las ecuaciones paramétricas de “r” determinada por los planos: x – y = 0

y + z = 2 b). Halla el vector director de la recta “r” 5.- Dada la recta x yz    1 1

2 exprésala como intersección de dos planos.

6.- a)Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por estos puntos: (–5, 3, 7) y (2, –3, 3)

b) Localiza seis puntos, además de los dados, de la recta anterior.

7.- Comprueba si alguno de los puntos que se dan a continuación A (5, 0, 0) B (3, 3, 4)

C (15, –15, 4) D(1, 6, 0), pertenecen o no a la recta dada            t z t y t x r 4 3 2 5 :

8.- Halla las ecuaciones del plano determinado por el punto A (1,-.3, 2) y por los vectores:

u(2, 1, 0) y v(-1, 0, 3).

9.- Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ, OXZ.

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11.- Escribe las ecuaciones implícitas y paramétricas de las siguientes figuras:

12.- Representa las figuras dadas por las siguientes ecuaciones:

13.- a) Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita del plano que pasa por P(1, 7, –2), Q(4, 5, 0) y R(6, 3, 8).

b) Halla otros tres puntos del plano.

c) Calcula n para que A (1, n, 5) pertenezca al plano.

14.- Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2, 1, 2) y a la recta:

15.- Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posible:

(34)

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16.- Estudia las posiciones relativas de los pares de rectas que aparecen en estos apartados. Cuando se corten, calcula el punto en que lo hacen:

a)                         z 2 y 1 x 5 z 3 2 y 5 1 x b)                    1 z 2 y 2 z y t 2 1 z t y t 3 x

17.- Calcula m y n para que los planos α: mx + y – 3z – 1 = 0 y β: 2x + ny z – 3 = 0 sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes?

18.- Estudia la posición relativa del plano y de la recta:

19.- Estudia la posición de los siguientes planos:

20.- Dado el plano π: 2x + 3y + z = 0 y la recta r:

2 1 1 2 1 1      y z x , halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.

21.- Calcula el ángulo que forman los planos α: z = 3 y β: x – y+2z+4=0

22.- Sea r la recta de intersección de los planos ax + 9y – 3z = 8 y x + ay z = 0. Determina el valor de a para que:

a) Los dos planos sean paralelos. b) Los dos planos sean perpendiculares.

c) La recta r corte al plano OXY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas sea 2.

23.- Halla los puntos simétricos de P(1, 2, 3) respecto del plano α: x – 3y – 2z + 4 = 0 y respecto de la recta r dada como intersección de las planos: x – y + 3= 0, 4x – z = 0 24.- ¿Son coplanarios los puntos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(2, 1, 0) y D(–1, 2, 1)?

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25.- Determina el valor de a para que las rectas r y s sean coplanarias:

Halla el plano que las contiene.

26.- Estudia la posición relativa de la recta: r y el plano π: x – y + z – 3 = 0.

27.- Comprueba que las rectas

3 1 1 1 1 : 2 3 1 1 0 : x y z y s x y z r          se cruzan y

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