10. Series de potencias

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Ingenier´ıa Matem´

atica

Universidad de Chile

Ingenier´ıa Matem ´atica

FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEM ´ATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE

C ´alculo Diferencial e Integral 07-2

Mart´ın Matamala y Jorge San Mart´ın.

SEMANA 15: SERIES NUM ´ERICAS Y SERIES DE POTENCIAS

10.

Series de potencias

Definici´on 10.1 (Serie de potencias). Una serie de potencias es una serie Serie de potencias

en donde el t´ermino general es de la forma ak(x−α)k.

No es dif´ıcil notar que la convergencia de estas series depende fuertemente del va-lor dex. Nosotros nos concentraremos en el caso de series de potencias centradas en cero, es decir, consideraremos solamente el casoα= 0.

Ejemplo 10.1.

Consideremos la serie de potencias P

xk. Esta serie corresponde a una serie

geom´etrica con raz´onx. Sabemos que si|x|<1 esta serie converge absoluta-mente y que si |x| ≥1 diverge. Esto quiere decir que en el intervalo (−1,1) podemos definir la funci´on g(x) = Pxk. En este caso podemos calcular el

valor de la serie de modo queg(x) = 1

1−x parax∈(−1,1).

Al analizar el ejemplo anterior parece natural que si la serie converge para x0

lo haga tambi´en paraxcon|x| ≤ |x0| y rec´ıprocamente, que si diverge parax0

tambi´en lo haga para valores dexcon|x0|<|x|.

La siguiente proposici´on nos acerca a la respuesta.

Proposici´on 10.1. Si la serie P

akxk

0 converge, se tiene que para cada a ∈

(0,|x0|) y para todox∈[−a, a]la seriePakxk converge absolutamente.

Demostraci´on. Parax[a, a] y r= a x0 la sucesi´on (|anx n|) es mayorada por|anxn | ≤ |an|an ≤ |an| |x0|n a x0 n =|an| |x0|nrn. El t´ermino |anxn

0| es acotado (converge a cero) pues Pakxk0 es convergente.

Entonces,|anxn| ≤M rn. El lado derecho es una constante por el t´ermino general

de una serie geom´etrica con raz´on r < 1. Usando el criterio de mayoraci´on concluimos que la serieP

akxk converge para todox[a, a].

10.1.

Radio e intervalo de convergencia

Notar que la Proposici´on 10.1 nos dice que siP

akxk

0 diverge entonces tambi´en

diverge la serieP akxk para |x|>|x0|. Definamos R= supnx0: X akxk 0<+∞ o .

Este valor es finito si existe alg´unxpara el cual la serie P

akxk diverge y vale

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Definici´on 10.2 (Radio de convergencia). Al valorRlo llamaremos el ra- Radio de convergencia

dio de convergencia de la serie de potenciasP

akxk.

La Proposici´on 10.1 nos asegura que para todo x ∈ (−R, R) la serie converge y para todo x /∈ (−R, R) la serie diverge. Si aplicamos el criterio del la ra´ız

n-´esima a la seriePakxk obtenemosr=|x|l´ım|an|n1.

Entonces,ρ= l´ım|an|n1 es igual a 1

R cuandoR6= 0 y vale cero cuandoR= +∞,

con lo que tenemos una manera de calcularRbasada solamente en (an).

Definici´on 10.3 (Intervalo de convergencia). Llamamosintervalo de con- Intervalo de convergencia

vergencia I al conjunto de reales x para los cuales la serie P

akxk converge.

Tenemos que(−R, R)⊆I⊆[−R, R]. Ejemplo 10.2.

Dependiendo de la serie se puede tener que I = (−R, R), I = (−R, R],

I= [−R, R) o I= [−R, R].

Caso.I= (−R, R).P

(−1)kxk.Parax

∈(−1,1) podemos aplicar el criterio de Leibnitz y concluir que la serie converge. En x= 1 la serie diverge y lo mismo ocurre parax=−1. Entonces, el radio de convergencia de la serie es

R= 1 y su intervalo de convergencia es (−1,1). Caso I = (−R, R]. P( −1)k+1xk k . Para x = −1 la serie es P −1 k que

di-verge. Para x = 1 la serie es P

(−1)k+1 1k que converge. Luego el radio de convergencia es R= 1 y el intervalo de convergencia es (−1,1].

Caso I= [−R, R).Pxk

k . Hacerlo como ejercicio.R= 1,I= [−1,1).

Caso I = [−R, R]. Pxk

k2. Para x > 1 la serie diverge pues la sucesi´on x n

n2

diverge a infinito. Para x= 1 la serie converge por lo que su radio de con-vergencia es R = 1. Adem´as para x = −1 la serie P(

−1)k 1

k2 converge

absolutamente.

10.2.

Series de potencias, integraci ´

on y derivaci ´

on

Dada una serie de potenciasP

akxk con intervalo de convergenciaI, es posible

definir naturalmente la funci´on

f :I −→ x 7−→f(x) =Pakxk= l´ım n→∞ n P k=0 akxk. (10.1)

Mostraremos a continuaci´on que esta funci´on es integrable y derivable, y de manera f´acil a partir de la serie de potencias original.

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Veamos primero el siguiente teorema:

Teorema 10.1. Sea P

akxk una serie de potencias con radio de convergencia

mayor que cero. Definiendo la funci´on f como en (10.1), se tiene que ella es continua en int(Domf).

Demostraci´on. Como Domf es un intervalo, entonces probar quef es conti-nua en int(Domf) es equivalente a probar que

∀q∈int(Dom(f))∩ ∗+, f es continua en(−q, q).

Sea entoncesq∈int(Domf)∩ ∗

+. Definimos, paran∈ , la funci´on:

fn(x) = n X k=0 akxk. Luego |fn(x)| ≤ n X k=0 |akxk|= n X k=0 |ak||x|k ≤ n X k=0 |ak|qk = n X k=0 |akqk|. Sean Sn = n P k=0 akqk y S = P∞ k=0|akq k

|. Para n, m ∈ tales que n > m y

x∈[−q, q], se tiene |fm(x)−fn(x)|= m X k=n+1 akxk ≤ m X k=n+1 |ak||xk | ≤ m X k=n+1 |akqk |=Sm−Sn.

En resumen, hemos probado que

∀x∈[−q, q], ∀n∈ , ∀m > n, |fm(x)−fn(x)| ≤Sm−Sn.

Haciendom→ ∞, se deduce que

∀x∈[−q, q], ∀n∈ , |f(x)−fn(x)| ≤S−Sn. (10.2) Usando esto probemos quef es continua enx0∈(−q, q), es decir

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Veamos que para cualquiern∈ ,

|f(x)−f(x0)|=|f(x)−fn(x) +fn(x)−fn(x0) +fn(x0)−f(x0)|

≤ |f(x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(x0)|+|fn(x0)−f(x0)|

≤ |S−Sn|+|fn(x)−fn(x0)|+|S−Sn|

≤2|S−Sn|+|fn(x)−fn(x0)|

Sea entoncesn0∈ tal que |S−Sn0| ≤

ε

3, luego

|f(x)−f(x0)| ≤2ε

3 +|fn0(x)−fn0(x0)|.

Ahora, comofn0(x) es un polinomio de grado≤n0, entoncesfn0(x) es continua

enx0, por lo tanto

∃δ >0, ∀x∈ , |x−x0| ≤δ⇒ |fn(x)−fn(x0)| ≤

ε

3. Con esteδ >0, se tiene lo buscado, es decir

∀x∈(−q, q), |x−x0| ≤δ⇒ |f(x)−f(x0)| ≤ε.

Gracias a este teorema, tenemos que la funci´on definida por la serie de potencias es integrable en int(I). Para ver que adem´as es f´acil integrarla, debemos probar el siguiente resultado:

Proposici´on 10.2. SeaP

akxkuna serie de potencias de radio de convergencia R >0. Entonces para todop∈ , la serieP

kpakxk tiene radio de convergencia R.

Demostraci´on. Seaq(0, R), luegoP

akqk converge absolutamente. Gracias

al Teorema 9.1, la sucesi´on (akqk) est´a acotada, digamos

|akqk

| ≤C. Luego para cualquierx∈(−q, q),

|kpakxk|= k p akqkx k qk ≤Ck p x q k .

Consideremos entonces la seriePkpzk, llamandoz= xq

. Usando el criterio de la ra´ızn-´esima, tenemos

k √ kpzk=z√k kp −→ k→∞z. Es decir, si|z|<1 entoncesP

kpzk converge. Por lo tanto,P

kpakxk converge

absolutamente six∈(−q, q). Como la serie P

kpakxk converge para todo x

∈ (0, R), luego si el radio de convergencia de esta serie esR∗, entonces R

≥R.

Aplicando el mismo razonamiento, a la serie de potencias P

k−p

·kpakxk =

P

k−p˜akxk (con ˜ak =kpak), obtenemos queR

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Observaci´on: Gracias a este ´ultimo resultado, si P

akxk tiene radio de

convergenciaR >0, entoncesPakxk+1

k+1 tiene tambi´en radio de convergencia

R >0.

Lo mismo sucede para la serie de potencias P

k≥1kakx

(6)

Probemos entonces que para integrar la funci´on definida por una serie de poten-cias, basta integrar el t´ermino general de la serie.

Teorema 10.2. Sea P

akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R >0. Entonces la funci´onf definida como en (10.1), es integrable en (−R, R)

y ∀x∈(−R, R), Z x 0 f(t)dt= Z x 0 (Xaktk)dt=Xakxk+1 k+ 1 .

Demostraci´on. Gracias al Teorema 10.1,f es integrable. Definimos, paran∈ , como en el Teorema 10.1:

fn(x) = n X k=0 akxk. Se tiene que Z x 0 fn(t)dt= Z x 0 n X k=0 aktk dt= n X k=0 akxk+1 k+ 1 n→∞−→ Xakxk+1 k+ 1 .

Esto gracias a la observaci´on de la Proposici´on 10.2. Sea entoncesx∈(−R, R) y veamos

Z x 0 f(t)dt− Z x 0 fn(t)dt ≤ Z x 0 (f(t)−fn(t))dt ≤ Z x 0 | f(t)−fn(t)|dt

Y usando (10.2) en la demostraci´on del Teorema 10.1, ≤ Z x 0 | S−Sn|dt ≤ | x||S−Sn| →0. Luego, Z x 0 fn(t)dt → Z x 0 f(t)dt y Z x 0 fn(t)dt → Xakx k+1 k+ 1 , y por unicidad del l´ımite,

Z x 0 f(t)dt=Xakx k+1 k+ 1 .

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Adem´as, gracias a este ´ultimo teorema, se tiene la misma propiedad para el caso de la derivada.

Teorema 10.3. Sea P

akxk una serie de potencias, con radio de convergencia R >0. Entonces la funci´on f definida como en (10.1), es derivable en (−R, R)

y

∀x∈(−R, R), f′(x) =X

k≥1

kakxk−1.

Demostraci´on. Gracias al Teorema 10.2, la serie de potenciasP

k≥1kakx k−1 es integrable en (−R, R) y∀x∈(−R, R). Z x 0 X k≥1 kaktk−1 dt=X k≥1 akkx k k = X k≥1 akxk =f(x) −a0. Luego f′(x) =   Z x 0 X k≥1 akktk−1 dt   ′ =X k≥1 kakxk−1. Los resultados anteriores nos dicen que el radio de convergencia de una serie y el de la serie derivada son iguales. M´as a´un, lo mismo es cierto para la serie derivada por lo que tambi´en ser´a cierto para las derivadas de cualquier orden. Entonces la funci´onf(x) que se obtiene de la serie de potencias esinfinitamente derivable

y todas sus derivadas tienen el mismo radio de convergencia. Adem´as se tiene que

f(j)(x) =X

k≥j

k(k−1)· · ·(k−j)akxk−j,

es decir, la serie que se obtiene al derivar t´ermino a t´ermino la serie de la funci´on

f representa la derivada de ordenjdef. De aqu´ı que,f(j)(0) =ajj!, y entonces

el t´erminoaj de la serie que representa af debe ser f(j)j!(0), es decir, aquel de la serie de Taylor paraf en torno a cero.

Ejemplo 10.3.

1. Consideremos f(x) = ex. Sabemos que f(j)(0) = e0 = 1 para todo

j≥0. Entonces la serie candidata esP∞ k=0 xk k!. Dado cualquierx0∈ se tiene queP∞ k=0 xk 0 k! existe pues xk+10 k! (k+1)!xk 0 = x0

k+1 →0. Esto dice que el

radio de convergencia es infinito y entonces la serie converge para todo

x∈ . Utilizando las f´ormulas del residuo para el desarrollo de Taylor es posible probar que para todox∈ ,ex=Pxk

k!. De modo que no es

novedoso que la serie derivadaP

kxk−1

k! sea igual a

Pxk

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2. Busquemos una serie que represente a la funci´on f(x) = √1 +x. Se tiene quef′(x) = 1 2(1 +x) −1 2,f′′(x) =1 2 1 2(1 +x) −3 2 y en general f(j)(x) = (1)j+11 2 1 2 3 2· · · (2j−1) 2 (1 +x) −2j+12 Luego f(j)(0) = (1)j+1 1·3···(2j−1) 2j y el t´ermino aj = (−1)j+1 1·3···2(2jjj−! 1). La serie P

ajxj converge para

|x| < 1 pues

1·3···(2j+1)

2j+1(j+1)! 1·3···(2j−1)

2j j!

|x|= (22(jj+1)+1)|x| → |x|. De modo que el radio de convergencia esR= 1 y el intervalo esI= (−1,1) pues la sucesi´onak no converge a cero.

10.3.

Algebra de series de potencias

´

Las series de potencias se pueden sumar y multiplicar y los radios de convergencia de las series resultantes estar´an determinados por aquellos de las series originales.

Teorema 10.4. Dadas dos series de potencias P

akxk y P

bkxk convergentes

para x0. Entonces la serie P(ak+bk)xk converge para todox∈(− |x0|,|x0|)

y se tiene que P (ak+bk)xk =P akxk+P bkxk. Adem´as, sick =Pk ajbk−j la serie P

ckxk converge para todo x

∈ (− |x0|,|x0|) y se tiene que Pckxk =

P

akxk P

bkxk

.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio. ◭Ejercicio

Ejemplo 10.4. Calculemos el producto Pxk k! Pxk k! . El coeficienteck =Pk 1 j! 1 (k−j)! = 2k k!. Entonces, P ckxk =P(2x)k k! =e 2x. Natural.

Figure

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