Álgebra En esta unidad usted aprenderá a: Al aprender lo anterior usted podrá:

Tema 1 Más o menos igual Tema 2 Ecuaciones numéricas

Tema 3 Planteamiento de ecuaciones Tema 4 Términos algebraicos

Álgebra

Unidad IV

Unidad IV

En esta unidad usted aprenderá a:

• Aplicar el concepto de igualdad en una ecuación. • Plantear ecuaciones con una o varias incógnitas. • Conocer las características de algunos cuerpos

geométricos o figuras.

• Manejar los principales elementos del álgebra.

Al aprender lo anterior usted podrá:

• Utilizar letras que representen datos en los problemas o los resultados.

• Formular ecuaciones que sirvan para resolver problemas en los que se desconoce una o varias incógnitas.

L

Tema 1

Más o menos igual

os hijos de Lourdes se admiran que en un sube y baja los tres de un lado no le ganan a su mamá que se encuentra en el otro extremo. Si Laura, Moni y Juan pesan 19 kg, 17 kg y 16 kg, respectivamente, y su mamá, Lourdes, pesa 62 kg, ¿por qué el lado de Lourdes (la mamá) siempre está más abajo?

Para analizar porqué siempre gana Lourdes, se puede hacer un diagrama como el siguiente: Moni 17 kg Juan_{16 kg Lourdes} 62 kg Laura 19 kg

Lado de Lourdes = 62 kg Lado de los niños = 52 kg

Analicemos el lado de los niños.

62 kg Ahora, el lado de Lourdes.

Para que el sube y baja quede equilibrado, el peso sumado de los tres niños que están sentados al lado izquierdo debería ser igual al de Lourdes, quien está sentada en el lado derecho.

Para que lo anterior suceda, entre los tres niños deberían aumentar el peso 10 kg, porque 52 kg + 10 kg = 62 kg (peso de Lourdes).

19 kg + 17 kg + 16 kg + 10 kg = 62 kg 62 kg Moni 17 kg Juan_{16 kg} Laura 19 kg _Lourdes 62 kg Moni 17 kg 16 kgJuan Laura 19 kg Piedra10 kg Lourdes62 kg

52 kg 62 kg

También podría ser que Lourdes adelgace 10 kg y con ello el sube y baja queda equilibrado.

Cuando el peso de un lado se iguala al del otro lado, el sube y baja se encuentra en equilibrio porque ambos pesos son iguales.

Peso de los niños más la piedra

62 kg

También podría ser que Lourdes adelgace.

Cuando los niños no cargan la piedra de 10 kg o si Lourdes no adelgaza, el sube y baja estará desigual, o sea, con un lado más pesado que otro, lo que genera que el lado más pesado baje más que el ligero. Esto se expresa de la siguiente

manera:

Se dice que hay una desigualdad.

Peso de Lourdes

62 kg

52 kg + 10 kg

62 kg

Peso de los niños

62 kg - 10 kg

Peso de Lourdes menos lo que adelgazó

52 kg

52 kg

=

=

=

=

=

=

Lado izquierdo: peso de los niños + piedra

=

Lado izquierdo: peso de los niños Lado derecho: peso de Lourdes flaca

En ambos casos, el sube y baja estará en equilibrio (ni sube ni baja).

40 = 40

igualdad

40 - 10 = 40 - 10

30 = 30

también es igualdad

52 = 52

igualdad

52 - 10 = 52 - 10

42 = 42 también es igualdad

Para que una igualdad (62 kg = 62 kg) se mantenga como tal, si se agrega o quita algo de un lado, también se debe agregar o quitar del otro.

Ejemplos

=

=

=

62 kg

62 kg

52 kg

52 kg

25 = 25

25 + (5 x 3) = 25 + (5 + 5 + 5)

25 + (15) = 25 + (15)

40 = 40

18 = 18

18 - ( ) = 18 - (3 x 1)

18 - 3 = 18 - 3

15 = 15

De la misma manera, para que se conserve la igualdad, si en uno de sus lados (también llamado miembro) se multiplica o divide, también se debe multiplicar o dividir por la misma cantidad.

52 = 52

Si se multiplica por 2, se tiene:

52 x 2 = 52 x 2

104 = 104

Observe que para que una igualdad se conserve como tal, lo que se agregue o se quite en un miembro se debe agregar o quitar en el otro.

Ejemplos

Ejemplos

52 = 52

Si se divide entre 2, se tiene:

52

÷

2 = 52

÷

2

26 = 26

6 2

1. Coloque usted el número que falta para que las siguientes igualdades se mantengan como tales.

a) 52 + 10 = 52 + b) 14 (4 + 3) = 14 -c) + (11) = + 11 d) (6 x 2) + = 12 + 3 e) 13 + (3 + ) = 13 + 6 f) 16 - ( x 3) = 16 - 6 g) 16 - ( x 3) = 10 h) 8 = 4 + ( ) 18 2 i) 15 = 5 + (2 x ) j) = 8 k) 16 = 8 x l) 12 = x 0.5 m) - + 12 = 12 - 4 n) - + 12 = 8 o) = 5 x30₂ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 16

L

Tema 2

Ecuaciones numéricas

as igualdades también se llaman ecuaciones; siempre están compuestas de dos lados o miembros y entre ambos existe un signo de igualdad.

Elementos del

primer miembro Signo deigualdad segundo miembroElementos del

3

x

6

=

6

+

6

+

6

Primer miembro

Cuando no se conoce uno de los términos o elementos de los miembros de una ecuación, a éste se le conoce como incógnita y se puede representar por una letra (por ejemplo, la “x”).

Ejemplo

Segundo miembro

( 6

÷

2 ) x

3

=

( 3 x

3 )

÷

1

Primer miembro Segundo miembro

3 x 6 = 8 + 8 +

x

En esta igualdad hay una incógnita, la que representamos como “x”.

Para conocer una incógnita “x”, se recomienda realizar primero todas las operaciones posibles en la ecuación para hacerla lo más simple posible.

Observe cómo se puede obtener el valor de “x” en la ecuación anterior.

Para que el signo de multiplicación (x) no se confunda con la incógnita, se usará a partir de ahora un punto (•) o paréntesis como signo de multiplicar.

3

•

6 = 8 + 8 + x

(3) (6) = 8 + 8 + x

18 = 16 + x

¿Cuánto vale x?

Para dejar sola a la “x” en el segundo miembro de la ecuación, debo quitarle (restar) 16, porque al valor de la “x” se le está sumando 16.

segundo término:

16 + x - 16

Como resté 16 en el segundo miembro, para que se conserve la igualdad, también debo restar en el primero:

18 - 16 = 16 + x - 16

Ejemplo

Vuelvo a realizar las operaciones:

18 - 16 = 16 - 16 + x

2 = 0 + x

2 = x

No olvide que para conservar una igualdad, lo que suma o resta en un miembro de la ecuación lo debe sumar o restar en el otro.

Ejemplo

¿Cuál es el valor de la incógnita en la siguiente ecuación? Ecuación original:

Paso 1

Simplificar al máximo la ecuación.

12 + 25 - 2 = 13 - 3 + 15 + x

35 = 25 + x

Paso 2

Se deja sola a la incógnita.

En este caso, para que quede sola, hay que restarle 25 en el 2º miembro y para que la igualdad se mantenga, también se deben restar en el primer miembro.

35 - 25 = 25 + x - 25

Paso 3

Se vuelve a simplificar la ecuación al máximo.

35 - 25 = 25 - 25 + x

10 = 0 + x

10 = x

El valor de “x” es igual a 10.

Para comprobar que no hay equivocaciones, podemos poner el valor de “x”, que obtuvimos, en la ecuación original.

12 + 25 - 2 = 13 - 3 + 15 + x

Ecuación original:

12 + 25 - 2 = 13 - 3 + 15 + x

Se sustituye a la “x” (la incógnita) por el valor que se encontró (10).

12 + 25 - 2 = 13 - 3 + 15 + (10)

Se resuelven las operaciones indicadas.

35 = 35

Ecuación original

15 - (3 • 2) = 3 • x

Paso 1

Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean factibles.

15 - (3 • 2) = 3 • x

15 - 6 = 3 • x

9 = 3 • x

Paso 2

Se deja sola a la incógnita. Esto se llama despejar a la incógnita.

En este caso, para despejar a la incógnita, se debe dividir al segundo miembro entre tres, y para que la

igualdad se mantenga, también el primer miembro se debe dividir entre tres.

Paso 3

Se resuelven las operaciones para obtener el valor de la incógnita.

Recuerde que cualquier número multiplicado por 1 resulta el número original.

Observe que no es necesario poner el número 1 antes de una letra.

El valor de x es 3.

Para comprobar si el valor obtenido de la incógnita es adecuado, se sustituye éste en la ecuación original.

15 - (3 • 2) = 3 • x

15 - (3 • 2) = 3 • (3)

15 - 6 = 9

9 = 9

La igualdad se comprueba, por lo que la solución es adecuada.

= • x

3 = 1 • x

3 = x

9 = 3 • x

= • x

Paso 2

Dejar sola a la incógnita.

En este caso, como la “x” está dividida entre 2, para que quede sola ésta se debe multiplicar por dos.

Y para que la igualdad no se altere, se debe también multiplicar al primer miembro por dos.

2 • 2 =

Paso 3

Se ejecutan las operaciones.

2 • 2 =

4 = x • 1

4 = x

El valor de “x” en la ecuación es 4 ó, lo que es lo mismo, la ecuación se resuelve cuando “x” tiene el valor de 4.

Para comprobar que lo anterior es verdadero, se sustituye el valor obtenido en lugar de la incógnita y se realizan las operaciones.

- 14 + (20 - 4) =

-14 + 16 = 2

2 = 2

Paso 1

Simplificar al máximo la ecuación, resolviendo las operaciones que sean posibles.

(Primero se resuelven las operaciones de los números que están dentro del paréntesis.)

- 14 + (20 - 4) =

- 14 + 16 =

+ 2 =

Ejemplo

- 14 + (20 - 4) =

Ecuación original:

Paso 1

Se resuelve en lo posible la ecuación, ejecutando las operaciones.

Observe que para ejecutar las operaciones, es necesario quitar el paréntesis que está precedido por un signo negativo, lo que significa que cada uno de los signos de los componentes del paréntesis deben ser multiplicados por (-).

Como la “x” no tiene un signo escrito quiere decir que tiene signo positivo (+) y como (-) por (+) da menos, entonces, al eliminar el paréntesis, la “x” queda con signo negativo.

Aún falta sacar del paréntesis al -1; como el signo que está fuera del paréntesis es (-) y el del 1 es también (-), entonces (-) por (-) es igual a (+) por lo que el uno tendrá signo positivo.

5 - x + 1 = 10 - x + 6 = 10

Paso 2

Se despeja la “x”. Para ello se resta el 6 en los dos miembros de la ecuación, quedando así:

Paso 3

Se realizan las operaciones.

Como la “x” tiene signo (-), la ecuación no se altera si multiplicamos los dos miembros por (-1), quedando así:

(-x) (-1) = 4 (-1)

como

(-) (-) =

+

y (+) (-) =

-tendremos

x = -4

Para comprobar que la ecuación se resuelve bien con el valor obtenido, se puede sustituir al -4 en lugar de la “x” en la ecuación original.

5 - (-4 -1) = 10

5 - ( -5 ) = 10

5 + 5 = 10

Lo cual indica que está bien resuelto.

- 6 + 6 - x = 10 - 6

0 - x = 4

5 - (x - 1) = 10

Ejercicios

1. Obtenga el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones. a) 13 - (8 + 2) = 2 + x b) 18 + ( ) = 30 - x c) 14 + (2 x 3) = 10 • x d) x + 6 = 20 e) 18 - ( ) = f) 6 • ( ) = g) - 7 + (22) = 15 - x h) 8 - (x - 2) = 20

Las ecuaciones sirven para plantear las soluciones a problemas en los que falta un dato, como se observa a continuación.

Ejemplo

Marcela compró 5 tazas. Si por ellas pagó 25 pesos, ¿cuánto costó cada taza?

5 • x pesos = 25 pesos

Paso 2

Se simplifica al máximo la ecuación. En este caso, la ecuación está simplificada ya que todas las

operaciones ya fueron ejecutadas.

Tratar de dejar sólo una taza (que es el valor que se busca); para esto, se deben de dividir entre 5 a los dos miembros de la ecuación.

=

25 5 Paso 3

Se ejecutan las operaciones, y se tiene que: = 1 y = 5.

• x pesos = pesos

1 • x pesos = 5 pesos

x = 5

○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○

Lo que significa que cada taza tiene un valor de 5 pesos.

8 4 1 2 48 6 x2 12 x Paso 1 Se hace el planteamiento de la ecuación original.

Se multiplica el número de tazas (5) por lo que cuesta cada taza (x pesos), y esto es igual a 25 pesos.

5 • x pesos = 25 pesos

La señora Olivia cobró a un cliente 27 pesos por 5 litros de leche y una barra de mantequilla que vale 3 pesos. ¿Cuánto cuesta cada litro de leche?

27 = (5 x) + 3

5 litros de leche

Lo que le cobró Lo que cuesta un litro de leche

3 pesos de una barra de mantequilla Observe que ya no se puso el punto para indicar (5 • x).

Es importante saber que aun cuando se acepta escribir 5x + 3, en este ejemplo se puso un paréntesis al (5x) para evitar la confusión de si primero se le suma a la “x” el 3 y luego se multiplica por 5. Lo que es incorrecto, ya que algebraicamente eso se escribiría así: 5 (x+3).

Se deja sola a la “x”.

Para quitar el +3, se restan 3 en los dos miembros.

=

4.80 = 1x

De acuerdo a lo anterior, cada litro de leche (x) cuesta 4.80 pesos.

Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor de x = 4.80 en la ecuación original.

27 = 5x + 3

27 = (5 • 4.80) + 3 (

27 = 24 + 3

27 = 27

Se cumple la igualdad, por lo que la ecuación numérica fue bien resuelta.

Luego, para quitar el 5 que está multiplicando a la “x”, se divide entre 5 a los dos miembros.

24 = 5x

27 - 3 = (5x) + 3 -3

24

Humberto vendió 4 toneladas de maíz; después de haber pagado 100 pesos de impuestos, le quedarón 2,500 pesos. ¿En cuánto vendió cada tonelada de maíz?

2,500 = (4x) - 100

Lo que cobró Impuestos que pagó

4 por el costo de cada tonelada de maíz

Para resolver la ecuación, se deja sola a la “x” (la que no se conoce).

Para quitar el 4 que está multiplicando a la “x”, se dividen los dos miembros entre 4.

650 = x

Con lo que se dice que cada tonelada de maíz fue vendida en 650 pesos.

Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de la “x” obtenido en la ecuación original.

2,500 = 4 (650) - 100

2,500 = 2,600 - 100

2,500 = 2,500

Como se cumple la igualdad, la ecuación fue bien planteada y resuelta.

Ejemplo

Recuerde que todo número dividido entre sí mismo da la unidad.

Para eliminar el -100 en el segundo miembro, se suman 100 en los dos miembros.

2,500 + 100 = 4 x - 100 + 100

Se ejecutan las operaciones y nos queda:

2,600 = 4 x

=

Lucrecia tiene 2 hijos. La suma de sus edades es 12 años. Si el más grande tiene 8 años, ¿cuántos años tendrá el menor?

8 años + x años = 12 años

Edad desconocida

Suma de las dos edades Se despeja a la “x” (edad desconocida); para ello se debe eliminar al 8 que tiene signo positivo, lo que se logra restando 8 en ambos miembros.

Planteamiento de la ecuación: La suma de las edades es 12 y uno de los dos hijos tiene 8 años.

Como la igualdad se cumple, la ecuación está bien resuelta.

8 + (4) = 12

12 = 12

Lo que nos indica que la edad del hijo pequeño de Lucrecia es de 4 años. Para comprobar si la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de “x” obtenido en la ecuación original.

8 - 8 + x = 12 - 8

x = 4

Un camión cargado pesa 9,485 kg. Si el camión sin carga pesa 1,430 kg, ¿cuál es el peso de la carga del camión?

Peso total del

camión con carga Peso del camiónsin carga Peso de la carga

9,485 kg = 1,430 kg + x

Para dejar sola a la incógnita “x” (lo que no se conoce), los 1,430 kg que se están sumando en el segundo miembro se eliminan al restarles 1,430 kg; pero para que la ecuación no se altere, se deben restar también en el primer miembro.

Por lo que se puede afirmar que la carga del camión es de 8,055 kg.

Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor obtenido de “x” en la ecuación original.

Ejemplo

Como el peso total del camión con carga debe ser igual al peso del camión más el peso de la carga, se puede plantear la siguiente ecuación:

Como la igualdad se comprueba, la ecuación fue bien resuelta.

9,485 kg = 1,430 kg + (8,055 kg)

9,485 kg = 9,485 kg

8,055 kg = x

Al realizar las operaciones se tiene que:

Martín compró un automóvil a crédito, por el que va a pagar en total 87,000 pesos. Si de enganche pagó 26,280 pesos y le quedan letras de 2,530 pesos mensuales, ¿en cuántos meses terminará de pagar su auto?

Como lo que cuesta el automóvil menos el enganche debe ser igual a lo que va a pagar al mes por el número de meses, se puede plantear la siguiente ecuación:

87,000 - 26,280 = 2,530

•

M

Costo total del

automóvil El engancheque dio pagar al mesLo que va a Número de mesesque va a pagar Se resuelven las operaciones de la ecuación.

= M

Haciendo las operaciones se tiene:

Para saber si se resolvió bien la ecuación, se sustituye el valor de “M” (24) en la ecuación original.

La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación está bien resuelta.

87,000 - 26,280 = 2,530 (24)

60,720 = 60,720

24 = M

Lo anterior indica que Martín pagará su deuda en 24 meses. Se despeja la incógnita.

En este caso, es el número de meses (M) en los que pagará lo que quedó a deber. Para quitar los 2,530 pesos que están multiplicando a “M” en el segundo miembro, se divide entre 2,530, pero para que no se altere la ecuación, el primer

miembro también debe ser dividido entre 2,530.

60,720 = 2,530

•

M

60,720 2,530

2,530 2,530

El terreno de la casa de Matías es rectangular. Si de superficie mide 162 m2 _{y uno}

de sus lados tiene 9 m, ¿cuánto mide el otro lado?

Planteamiento de la ecuación:

Se sabe que el área de un rectángulo es el producto de sus lados.

Por lo tanto, se tiene que multiplicar el lado 1 (9 m) por el lado 2 (L₂) y esto es igual al área del terreno.

La ecuación queda como la siguiente:

9 m

•

L

= 162 m

Lado uno Lado dos Área delterreno

Para despejar “L₂”(la incógnita), se dividen los dos miembros entre 9.

L

L

= 18 m

Se obtiene que el otro lado del terreno de la casa de Matías mide 18 m.

Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el valor de “L₂” obtenido en la ecuación original.

Ejemplo

Como la igualdad se comprueba, la ecuación está bien resuelta.

9 m

•

L

= 162 m

9 m

•

18 m = 162 m

162 m

_{= 162 m}

Si al número 12 se le agrega 3 veces un número y el resultado es el número 24, ¿cuál es el número que se agregó?

Planteamiento de la ecuación:

12 + ( 3 x ) = 24

Para quitar los 12 que están sumando, se restan 12 en ambos miembros.

x =

x = 4

El número buscado es 4. Para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye el 4 en la ecuación original.

La igualdad se comprueba, por lo que la ecuación fue bien resuelta.

12 + 3 x = 24

12 + 3 (4) = 24

24 = 24

Para dejar sola a la “x”, se dividen ambos miembros entre 3.

12 - 12 + (3x) = 24 - 12

3x = 12

El ancho y largo de una caja son 0.5 m y 0.8 m, respectivamente. Si su capacidad es de 0.4 m3_{, ¿cuál es la medida del fondo de la caja?}

Se dividen ambos miembros entre 0.4 y se obtiene:

Lo que indica que de fondo la caja tiene un metro.

Para comprobar lo anterior, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original.

Ejemplo

Como la igualdad se confirma, la ecuación estuvo bien resuelta.

0.5

•

0.8

•

x = 0.4

0.5 • 0.8

•

(1) = 0.4

0.4 = 0.4

Como la capacidad de un

paralelepípedo es el producto de sus tres lados, se puede plantear la ecuación siguiente:

0.5 • 0.8 • x

= 0.4

Para dejar sola a la incógnita, primero se resuelven las operaciones de la ecuación.

x =

x = 1

0.5 m • 0.8 m • x m = 0.4 m

0.4 m • x m = 0.4 m

Pancracio ahorra “x” cantidad de dinero durante un año. El banco en donde tiene su dinero le da el 11% de interés. Si se suman 228 pesos a lo que el banco le dio de interés, se obtienen 580 pesos. ¿Cuánto ahorró Pancracio?

Para despejar la incógnita,

primero, se restan 228 en ambos miembros.

=

x = 3,200

Con lo anterior se sabe que la cantidad que ahorró Pancracio fue de 3,200 pesos. Para comprobarlo, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original.

Considerando que el 11% equivale a 0.11 de la cantidad ahorrada, ahora se plantea la ecuación:

(0.11 x) + 228 = 580

Lo que aumentó 11%

Después, se dividen los dos miembros entre 0.11.

(0.11) (x) + 228 = 580

(0.11) (3,200) + 228 = 580

352 + 228 = 580

580 = 580

Demostrando la igualdad de la ecuación se confirma que estuvo bien resuelta.

(0.11x) + 228 - 228 = 580 - 228

(0.11x) = 352

Problemas

1. Si al número 5 se le agrega 3 veces un número y su resultado es el número 20, ¿cuál es el número agregado?

2. Una persona ahorra durante un año una cantidad, por lo que recibe el 14% de interés. Si agrega a lo que recibió de intereses 500 pesos y obtiene 1,200 pesos, ¿cuánto había ahorrado en un año?

3. Se tiene una caja de base rectangular que mide 0.4 m por 0.8 m. Si el volumen de la caja es 0.240 m3_{, ¿cuál será su altura?}

Si a la mitad de un número se le restan 4 y se obtiene 26, ¿cuál es el número que fue dividido a la mitad?

( ) - 4 = 26

Para despejar la incógnita, se suman 4 en los dos miembros de la ecuación.

( ) - 4 + 4 = 26 + 4

= 30 Y para conocer el valor de “x”, se multiplica por 2 a los dos miembros.

= 2

•

30

x = 60

Con lo que el número buscado es 60; para comprobar que la ecuación fue bien resuelta, se sustituye este número en la ecuación original.

( ) - 4 = 26

30 - 4 = 26

26 = 26

Se comprueba la igualdad, por lo que la ecuación fue bien resuelta.

Ejemplo

5. ¿Qué edad tiene el hijo de Zacarías si éste dentro de 45 años tendrá el triple que ahora?

6. ¿Cuál es el diámetro (D) de un círculo si su perímetro es de 6.28 m?

7. Si un triángulo tiene de área 30 m2 _{y de base 20 m, ¿cuál será su altura?}

8. En la tienda de Rodrigo se obtuvieron en este año 85,450 pesos de ganancias, lo que significó el 28% más de lo que obtuvieron el año pasado. ¿Cuáles fueron las ganancias en la tienda de Rodrigo el año pasado?

debe dar de enganche?

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

Recuerde que el 28% de ganancias más que el año pasado se representa por el 1.28 de lo que ganó el año pasado.

Recuerde que el área de un triángulo se puede obtener por medio de

la fórmula A= ; en la que A = área, b = base y h = altura.b x h₂

A

Tema 3 Planteamiento de ecuaciones

maro tiene tres recipientes con las siguientes dimensiones.

¿Con qué formula, usando letras, se pueden expresar las operaciones realizadas para obtener las capacidades de los tres recipientes?

Para conocer el volumen o capacidad del recipiente 1, se multiplica el lado del frente del recipiente (1.1 m) por el lado de fondo (0.9 m) por el alto (0.9 m); de lo anterior se obtiene lo siguiente:

De la misma manera se puede calcular el recipiente 2: frente (0.8 m) por su fondo (0.7 m) por su alto (0.6 m).

Observe que el signo de multiplicación x (cruz) fue cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis). Además, las cantidades de cada lado se colocaron dentro de un paréntesis, lo que nos indica que la m de metros pertenece al número que acompaña.

(0.8 m)

•

(0.7 m)

•

(0.6 m) = 0.336 m

(1.1 m) • (0.9 m) • (0.9 m) = (0.891 m

₎

Recuerde que m • m • m = m3 _.

En esta ecuación, las letras “a”, “b” y “h” pueden adquirir cualquier valor del

frente, fondo y alto de un recipiente. Por lo que se puede decir que esta fórmula sirve para calcular el volumen de cualquier paralelepípedo regular.

V = a

•

b

•

h

Para conocer el volumen de los tres recipientes, se multiplicó la dimensión del frente por la del fondo y por la de la altura.

Si al frente se le llama “a”, al fondo “b” y a la altura “h”, tendremos que el volumen (V) se obtiene de la siguiente manera.

Si a los lados de los recipientes se les nombra de la siguiente manera.

También en el tercer recipiente hacemos lo mismo: frente (1 m) por fondo (0.8 m) por alto (0.7 m).

(1 m)

•

(0.8 m)

•

(0.7 m) = 0.56 m

Recuerde que el signo de multiplicación (x) puede ser cambiado por un punto para no confundirlo con una letra x (equis).

utilizan mucho para expresar fórmulas o para indicar las operaciones que debemos seguir para obtener un resultado.

Ejemplos

Uso Enunciado Expresión algebraica

Perímetro = (

p

Área =

Volumen = (área de la base) x (altura)

Velocidad =

Voltaje = (resistencia) x (corriente)

P =

p

p

V =

p

•

r

•

h

v =

p

V = R

•

I

A = b

•

h

Área = (base) x (altura) Área de un rectángulo Área de un triángulo Perímetro de un círculo Volumen de un cilindro Volumen de un cono Presión Velocidad Voltaje d t (base) x (altura) 2

A =

P =

Presión =(fuerza)_(área)

Volumen = (área de la base) x (altura)

(área de la base) =

p

(área de la base) =

p

p

(constante)

p

Con el álgebra se pueden simplificar las expresiones algebraicas ya que las letras pueden tener cualquier valor.

A = b • h

Si a ese rectángulo le trazamos una línea diagonal y lo dividimos en dos partes, tendremos dos triángulos.

Con lo anterior, podemos señalar que el área de un triángulo es igual a la de un rectángulo, pero dividido entre dos.

Como el área de un rectángulo es igual a multiplicar la base por la altura:

Ejemplo

Si se conoce que el área de un rectángulo es el producto de multiplicar su base (b) por su altura (h), tenemos que:

Área de un triángulo =

A =

se puede construir una expresión algebraica que nos indique cuál es la fórmula para obtener el área de un triángulo.

A = b

•

h

Ejemplos

Si el costo de un kilo de plátanos es “w” pesos, ¿cuál será el costo total “y” de “n” kilos de plátanos?

Total Número de

kilos adquiridos

n • w = y

En algunas ocasiones, no se coloca el punto para indicar la multiplicación, por lo que la ecuación anterior también podría ser expresada de la siguiente manera:

n w = y

Planteamiento de la ecuación:

El costo de un kilo de plátanos es igual a “w”. Si se adquieren “n” kilos de plátanos, el total “y” será igual a multiplicar lo que cuesta un kilo (w) por el número de kilos que se adquieran (n).

Por lo que la ecuación será la siguiente:

Si Malena en el mercado compra “n” kilos de plátano y el kilo cuesta “w” pesos, ¿cuánto tendrá que pagar al frutero si éste le debe 8 pesos de cambio?

Planteamiento de la ecuación:

“n” kilos de plátano por “w” pesos que cuesta cada kilo sería el total; pero como le deben a Malena 8 pesos, se debe restar 8 al producto de “n” por “w”.

Por lo que la ecuación quedará de la siguiente manera: Número de kilos que compró Lo que le cuesta un kilo

( n •

w ) - 8 = y

Ejemplo

Observe que para indicar que primero se multiplica el número de kilos por lo que cuesta un kilo, esto fue encerrado en un paréntesis y, luego, se le restan los 8 pesos que le deben a Malena.

Si esto no se hace, puede haber confusiones, porque no se sabría si se le quitan los 8 pesos a la “w”, lo que es incorrecto porque no es lo mismo multiplicar “n” por “w” y al producto quitarle los 8, que quitarle 8 a “w” y lo que dé multiplicarlo por “n”.

(n • w) - 8 = y

Con la ecuación bien planteada: n = 4 kilos (lo que compró)

w= 4.50 (lo que cuesta el kilo)

(4 • 4.50) - 8 = y

(18) - 8 = y

10 = y

y = lo que se debe pagar

Con la ecuación mal planteada:

n • w - 8 = y

Aquí no se sabe si primero restar a “w” 8, o primero multiplicar “n” por “w” y, luego, restar. Observe qué pasa si primero a “w” se restan 8.

4

•

4.50 - 8 = y

4

•

(-3.50) = y

-14 = y

Observe qué pasa si el kilo de plátanos cuesta 4.50 pesos y Malena compra 4 kilos.

Malena debe pagar sólo 10 pesos. Lo que es diferente a lo que debepagar Malena.

pesos kilo

qué se multiplica o divide, qué se resta o suma.

Ejemplos

Ernesto va a comprar “n” litros de pintura vinílica blanca. Como es buen cliente, en el precio de cada litro (“b” pesos), le hacen un descuento del 10% (0.1 b). ¿Cuál será la ecuación con la que puede calcular lo que debe pagar si compra diferentes cantidades de pintura de diferentes precios?

Pruebe su ecuación para cuando Ernesto compra lo siguiente: a) 5 litros de pintura de a 13 pesos cada litro

b) 14 litros de pintura de a 18 pesos cada litro c) 3 litros de pintura de a 7 pesos cada litro Planteamiento de la ecuación:

Costo de un litro con descuento:

b - (0.1 b)

Costo de “n” litros con descuento:

y = n (b - (0.1 b))

en donde:

n = número de litros que va a comprar b = precio de cada litro

Observe que se asignó la letra “y” al costo total con el descuento. Podría haber sido cualquier letra. También observe que hay un paréntesis (0.1 b) dentro de otro paréntesis (b - (0.1 b)).

Primero, se multiplica el (0.1 • 13) para quitar el paréntesis que está dentro del paréntesis:

y = 5 (13 -(0.1 • 13))

y = 5 (13 - 1.3)

Luego, se hacen las operaciones que están en el paréntesis que queda, para ser eliminado.

Sustituyendo:

y = 14 (18 - (0.1

·

18))

Se hacen las operaciones del

paréntesis que está dentro del otro paréntesis para que sea eliminado.

1. Pruebe usted ahora la ecuación con los datos de n = 3 litros y b = 7 pesos por litro. a) y = n (b - (0.1b)) b) y = ___ ( ___ - (0.1 • 7)) c) y = 3 ( 7 - ____ ) Sustituyendo “n” y “b” en la ecuación:

y = 5 (13 - (0.1 • 13))

a) Prueba de la ecuación b) Prueba de la ecuación

y = 14

•

16.2

y = 226.80

Se elimina el paréntesis que queda, haciendo las operaciones de los números que están en él.

y = 14 (18 - 1.8)

y = n (b - (0.1 b))

n = 5 litros

b = 13 pesos por litro

y = 58.50

Debe pagar 58.50 pesos.

Por último, se hace la multiplicación, con lo que se obtiene el resultado.

y = 5 • 11.7

n = 14 litros

b = 18 pesos por litro

y = n (b - (0.1 b))

○

○○○○○○○○○○○○○○○○○

Ejercicios

d) y = 3 • _____ e) y = ______

Esto se puede hacer porque los dos términos tienen “b”.

Por lo anterior, se puede simplificar aún más nuestra ecuación, de la siguiente manera:

Para comprobar que esta ecuación es lo mismo que la que antes se había obtenido, la probaremos con los datos:

a) n = 5, b = 13

b) n = 14, b = 18

c) n = 3, b = 7

a) Sustituyendo cuando

n = 5 y b = 13, se tiene:

y = (0.9 b) n

y = 0.9 (13 •

5)

y = 0.9 (65)

y = 58.5

Cantidad igual a la que se obtuvo con la ecuación anterior.

2. Obtenga el resultado, sustituyendo en la nueva ecuación cuando los valores de n = 3 y b = 7.

1. Ahora, usted sustituya cuando n = 14 y b = 18 a) y = (0.9 b) n b) y = 0.9 ( ___ • ___ ) c) y = ________ a) y = ________

Ejercicios

y = (0.9 b) n

Pero puede ser simplificada ya que el término (b - 0.1 b) es igual a (0.9 b), porque:

y = n (b - 0.1 b)

+ 1 b

- 0.1 b

+ 0.9 b

1. Si un rectángulo tiene “L” metros de largo y “a” metros de alto, ¿cómo se puede plantear una ecuación para obtener el área?

2. El costo de un litro de pintura es “w” pesos. ¿Cómo se puede expresar algebraicamente el costo “y” de “n” litros de pintura?

Problemas

○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

x = 2 n

3. Plantee una expresión algebraica para señalar que el precio total de “n” ladrillos, cuyo costo unitario es “p”, es igual a “y”.

4. ¿Cuál será la expresión algebraica que señale que el precio por metro cuadrado “p” es igual al precio total “y” entre la superficie “n” en m2 _{del piso?}

5. Considerando que n = 175, 200, 250 y 222, ¿cuáles serán los valores de “x” en la siguiente ecuación?

Como se puede observar, con las letras se pueden hacer operaciones, con lo que las ecuaciones algebraicas se pueden simplificar y facilitar los cálculos. En la próxima unidad, usted aprenderá a hacer operaciones con las letras y a simplificar las operaciones.

7. Si un cubo tiene 6 caras iguales, como se muestra en el dibujo, y cada lado de las caras se le denomina “L”, encuentre una fórmula para calcular la superficie de un cubo.

Recuerde que la superficie de un cuadrado es:

A = L x L

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

ecuación para obtener el área o superficie de la región sombreada (A).

8. Aplicando la fórmula obtenida para calcular la superficie de un cubo, ¿cuál será la superficie de un cubo que mide 2 m por lado?

2

2 _a

b

9. Si la velocidad media (v_m) de un automóvil se encuentra determinada por la distancia que recorre (E) entre el tiempo utilizado (t):

a) Plantee una fórmula para la velocidad media con las siguientes literales:

10. Si el volumen de una pirámide es igual al producto del área de la base por de su altura, encuentre una fórmula para obtener el volumen de una pirámide como la que se muestra en el dibujo.

Base rectángular con lados “a” y “b”, la altura se representa por “h”.

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

1 3

c) Plantee otra ecuación para las siguientes literales: v_x = velocidad media

l = espacio recorrido x = tiempo utilizado

b) ¿Cuál será la velocidad media de un automóvil que recorre la distancia (E) de 160 km en (t) 2 h?

v_m = velocidad media E = espacio recorrido

P

ara hacer más fácil el manejo de las operaciones algebraicas, se recomienda conocer algunas definiciones para que al referirse a ellas se entienda siempre lo mismo.

A continuación se presentan algunos de los términos comunes utilizados en el álgebra.

Coeficiente. Es el número o letra que indica el número de veces que se va a sumar una cantidad.

En 2b el número 2 es el coeficiente, indica que se debe considerar dos veces a la “b”. También un coeficiente puede estar representado por una letra como la “n”, en donde “n” indica que se debe considerar “n” veces la “e”.

Esto se puede representar de la siguiente manera:

e + e + e + e +e + e... = n(e) --- (“n” veces la suma de la “e”)

Fórmula. Es una regla expresada por medio de símbolos que indica las operaciones que se deben efectuar para obtener ciertos resultados.

(m + w) - a (m + w)

En esta ecuación, a la suma de “m” y “w” se le debe restar lo que resulte de la suma de “m” y “w” multiplicado por “a”.

Ejemplo

Paréntesis. Es un signo de agrupación que permite indicar qué operaciones se realizan primero, o que al resultado de un conjunto de elementos se le va a aplicar el

resultado de otro conjunto de elementos.

Miembros de una ecuación. Son las partes de una ecuación que se ubican a cada lado del signo de igual. Así, una ecuación siempre tiene dos miembros, al de la izquierda se le conoce como primer miembro y al de la derecha se le conoce como segundo miembro. Cada uno de los miembros de una ecuación puede tener uno o varios términos.

Ecuación. Es una igualdad que sólo es cierta para un valor determinado de uno de sus elementos llamado incógnita.

A = b x a, es la fórmula para obtener el área de un rectángulo, multiplicando la base por la altura.

6x = 18

Esta ecuación sólo es cierta para cuando x = 3, siendo “x” la incógnita.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

3x + 8 = 25

maneras:

a x b, a • b, a b, (a) (b)

Sin embargo, cuando se están utilizando literales, se recomienda no utilizar el simbolo de “por” (x), porque se puede confundir con la letra “equis” (x).

Términos semejantes. Son aquellos que sólo difieren en los coeficientes y tienen las mismas literales.

Exponente. Es un “numerito” o cantidad que se coloca arriba y a un lado de otro número o literal que se llama base y significa el número de veces que se debe multiplicar por sí misma a la base para obtener un resultado que se llama potencia.

Ejemplo

53 _{(cinco al cubo), el tres pequeño es el exponente y el cinco es la base. Esto}

significa que el cinco debe ser multiplicado por sí mismo tres veces, con lo que se obtiene el resultado o potencia (125).

Ejemplo

2x y 13x son términos semejantes porque sólo varió el coeficiente. También lo son ax y bx porque lo que varía entre ellos es el coeficiente.

En la ecuación y = ax2 _{- x + 4, la “y” está en función de “x”, porque si se modifica}

la “x” la “y” también lo hará. En esta ecuación, la “y” es la variable dependiente y la “x” es la variable independiente.

Ejemplo

Variable dependiente o función. Es una cantidad que depende de las modificaciones que sufra en una ecuación otra cantidad llamada variable independiente.

5

_{= 5 x 5 x 5 = 125}

También se puede indicar con liteales; por ejemplo, xa _{en donde “x” es la base y}

El número que elevado al cuadrado nos da 49 es 7, porque . El número que elevado al cubo nos da 125 es 5, porque .

Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Es el nombre que se da a los términos de los miembros de una ecuación de acuerdo al número de partes que están separadas por un signo de más o de menos.

Cantidad de elementos Uno Dos Tres Más de dos Ejemplo 2x 2x + 3y 2x + 3y - 2x2 2x + 3y - 2z + 5w Nombre Monomio Binomio Trinomio Polinomio

Grado de un término. Es la suma de los exponentes de las incógnitas o literales.

Grado de una expresión algebraica. Es el mismo que el del término con mayor grado.

Ejemplo

La ecuación x2 _{- x + 9 = 0 es de segundo grado y la ecuación 6x}2 _{+ 12xy}2 _{- 45 = 0}

es de tercer grado, debido a que el grado de 12xy2 _{es tres.}

Así, cuando tienen un solo elemento se les dice monomios. Si tienen dos, se llaman binomios; con tres, se les conoce como trinomios y a todas las que tienen más de dos se le llama polinomios. Lo anterior se muestra en los siguientes ejemplos. l2x es de primer grado, ax2 _{es de segundo grado, xy es de segundo grado (uno de}

la “x” y otro de la “y”), x2_y3 _{es de quinto grado (dos de la “x” y tres de la “y”).}

Ejemplo

Ejemplos

Radicación. Es la operación aritmética que nos permite conocer a la base, cuando se conoce el exponente y la potencia.

En el caso de 3x2 _{- 4x + 12, como se tienen tres partes será un trinomio.}

Ejercicios

1. Ponga usted el nombre de los términos que se presentan a continuación. a) 56x + 23y = b) 12s - 14 r + 3 n + 14 w = c) 13 x - 2 y = d) n = e) 2b = f) (2c - 3b) (3b - 2c) = g) x2 _{- x + 15 =} h) 123x2 ₌ i) 7x4 _{- 2x}2 _{+ 9m =} j) cd - 8da =

2. Observe la ecuación

3x

_{- 2yx}

_{= 14y - 2xy}

_{+ 5}

preguntas.

a) ¿Qué términos componen el miembro izquierdo de la ecuación? b) ¿Cuál es el grado del miembro derecho de la ecuación?

c) Diga si el miembro derecho de la ecuación es un monomio, binomio o trinomio. d) ¿Cuál es el grado del término 2xy2_?

e) ¿Cuál es el exponente del término 3x5_?

f) Señale qué términos son semejantes en el primero y en el segundo miembro de la ecuación.

Ejemplo

Autoevaluación

Autoevaluación

Unidad IV: Álgebra

Ahora que terminó la Unidad IV, vamos a recordar los temas que ya estudió:

Más o

menos igual, Ecuaciones numéricas, Planteamiento de ecuaciones

y

Términos algebraicos.

Para conocer lo que aprendió, es importante que resuelva los siguientes ejercicios;

recuerde que puede utilizar todo el material que considere útil.

1. Complete las siguientes igualdades.

a) 123 (7 + 7) = 1,522 +

b) 37 + 58 - = 40 + 40

c) + 56 + (75 - 50) = (75 • )

d) (240 • 5) - 230 = 1,000 - +

288

2

2. Lalo acostumbra nadar 800 metros los miércoles y los viernes, 700 metros. Beto

nada 900 metros los lunes y 450 metros los viernes. ¿Cuántos metros más debe

nadar Beto para igualar la cantidad que nada Lalo cada semana?

a) ¿Cuánto cobraron por el corte de cabello a cada persona?

b) ¿A cuántas personas más les cortó el cabello Sandra?

3. El martes, Marcela le cortó el cabello a 15 personas y ganó 375 pesos; Sandra ganó

425 pesos por los cortes de cabello que hizo.

¿Qué distancia hay del correo a la iglesia si doña Lupe caminó en total 1,400 metros

y de regreso a su casa volvió a pasar frente al correo?

5. Rocío compró 5 cajas de 24 refrescos cada una y pagó en total 360 pesos. ¿Qué

ecuación utilizaría para saber el costo cada de refresco?

a) (24x)

_{= 360}

b) (24x)5 = 360

c) = 360

d) (24x) + 5 = 360

6. Si a un número “x” se le suman 7 y se divide entre 3, el resultado es 21. ¿Cuál es la

ecuación que expresa lo anterior?

a) x + 7 =

b) x + 7 = 21 + 3

c) x + 7 = 21 - 3

d) = 21

x + 7

3

21

3

24x

5

Área = 60 m

h

12 m

8. Memo recorrió en su coche 400 km a una velocidad de 120 . ¿En cuánto tiempo

recorrió esa distancia?

km h

Recuerde:

A = bh

Recuerde:

v =

h = 5 m

t = 3.33 h ó t = 3 h 20 min

Sugerencias

Si usted respondió 4 preguntas correctamente, se le sugiere que continúe estudiando

la siguiente unidad.

Si obtuvo menos aciertos, es conveniente que se regrese a estudiar esta unidad para

reafirmar los temas.

Instrucciones

Revise sus respuestas a los ejercicios. Si tuvo dificultad para responder las preguntas

correctamente, identifique sus aciertos y fallas y vuelva a leer la unidad.

Respuesta

a) 200

c) 3

b) 15

d) 40 y 10

Nota: La respuesta de la igualdad del d) puede variar, es decir, puede ser 50 y 20, 60 y 30, 70 y 40, etcétera, lo importante es que la igualdad sea 970.

x + 7 3

150 m

a) 25

b) 2 cortes más que Marcela.

200 m

b) (24x)5 = 360

d) = 21

Pregunta

1

2

3

4

5

6

7

8

Recuerde

Una vez que haya resuelto su ejercicio, registre su avance en el cuadro al final del

módulo.