2 – Matem´aticas 1 : Preliminares
Cap´ıtulo 1
N´
umeros Complejos
Este tema de n´umeros complejos es m´as informativo que recordatorio, siendo el uso expl´ıcito de los complejos escaso en las asignaturas de Matem´aticas 1 y 2. Sin embargo conocer su existencia e interrelaci´on con los reales es muy ´util para la descomposici´on y busqueda de ra´ıces de polinomios, o en la resoluci´on de ecuaciones diferenciales; tambi´en en asignaturas de electricidad, teor´ıa de la se˜nal, etc. usan de ellos.
1.1
Los n´
umeros complejos
Conocemos y manejamos ya diversos conjuntos de n´umeros, los naturales N = {0,1,2,3, . . .}, los enteros
Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}, los racionales Q={mn :n∈Z, m∈Z−{0}} y los n´umeros reales R (o decimales que completan los “huecos” entre los racionales con los irracionales R=Q∪I). Cumpliendo N⊆Z⊆Q⊆R.
Nota: Un n´umero real puede describirse en la forma e.d1d2d3. . . dn. . . , un n´umero entero seguido de infinitos
decimales. Si, a partir de uno de ellos, todos los decimales son cero ´o los decimales se repiten peri´odicamente el n´umero es racional (as´ı, 1
3 = 0.
z{
3 = 0.33333. . ., luego 1 = 0.z{9 = 0.99999. . .).
Tenemos definidas unas operaciones de suma y producto en cada conjunto que son “internas” (suma o producto de naturales es natural, suma o producto de enteros es entero, etc.) y coherentes con la cadena de contenciones (si sumamos dos enteros como racionales o reales, el resultado es el mismo que si los sumamos como enteros). A efectos pr´acticos, son las mismas operaciones para todos los conjuntos.
Sin embargo, no tienen en cada conjunto las mismas propiedades: en N ni para la suma ni para el producto
existe inverso (ni la resta ni la divisi´on de naturales es, en general, un natural), en Z existe el inverso para
la suma pero no para el producto (la resta de enteros es entera pero no la divisi´on) y tanto en Q como en R
podemos restar y tambi´en dividir por valores distintos de cero.
La otra operaci´on o manipulaci´on b´asica entre n´umeros, lapotencia (una generalizaci´on del producto) nos distingue m´as estos dos ´ultimos conjuntos. As´ı 2∈Q (luego a R), pero 212 =
√
2 ∈/ Q, aunque s´ı se cumple que 212 ∈R.
En R, es cierto que si x e y son reales con x≥ 0 , entonces xy ∈ R; pero no se cumple cuando x <0 .
Para resolver este “defecto” se contruyen los n´umeros complejos: un conjunto C que contenga a R, que sus
operaciones suma y producto permitan restar y dividir y sean coherentes con las operaciones de los subconjuntos, y que para la potencia se verifique adem´as que si z, w∈C, entonces zw∈C.
1.2
El plano complejo
Consideremos el conjunto R2 y contruyamos en ´el unas operaciones suma y producto que funcionen como
deseamos. Sobre R2 tenemos definida una operaci´on suma que s´ı es interna:
(a1, b1)∈R2, (a2, b2)∈R2, y (a1, b1) + (a2, b2) = (a1+a2, b1+b2)∈R2,
con operaci´on inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, (a1, b1)∈R2, (a2, b2)∈R2, y (a1, b1)·(a2, b2) =a1a2+b1b2∈R
y no admite una operaci´on inversa.
Dotar a R2 de una operaci´on “producto” interna, con un funcionamiento an´alogo al funcionamiento del
producto en R crea una nueva estructura conocida como elconjunto de los n´umeros complejosy tambi´en
comoplano complejoocuerpo complejo.
Esta operaci´on producto “∗” se define de la forma siguiente:
(a1, b1)∗(a2, b2) = (a1a2−b1b2, a1b2+b1a2).
As´ı, el conjunto de los n´umeros complejos, C, est´a formado por R2 con dos operaciones b´asicas: suma “+”
3 – Matem´aticas 1 : Preliminares 1.2 El plano complejo
1.2.1
Forma bin´
omica de un n´
umero complejo
El producto (complejo) tiene por elemento neutro (1,0) , pues
(1,0)∗(a, b) = (a, b)∗(1,0) = (1a−0b,0a+ 1b) = (1a,1b) = (a, b).
De hecho, para cualquier real λ, se tiene que (λ,0)∗(a, b) = (λa−0b,0a+λb) = (λa, λb) ; como en R2
tambi´en sabemos que λ(a, b) = (λa, λb) , pueden identificarse los elementos (λ,0) con los n´umeros reales λ, es decir, en C podemos decir que (λ,0) =λ a todos los efectos.
Como (a, b) = (a,0) + (0, b) =a+ (0, b) = a+b(0,1) , haciendo (0,1) = i el n´umero complejo se escribe (a, b) = a+ib, que se denomina forma bin´omica del n´umero complejo. Del elemento i se dice que es la unidad imaginaria, y se cumple que i2=ii= (0,1)∗(0,1) = (−1,0) =−1 .
En la forma bin´omica, el producto se efectua como un producto de binomios habitual, pues:
(a+ib)(c+id) =ac+iad+icb+i2bd= (ac−bd) +i(ad+cb) = (ac−bd, ad+cb) = (a, b)∗(c, d) Con esta nueva notaci´on, suele escribirse C = {a+ib : a, b ∈ R} (a veces C = R+iR) y se denotan los elementos de C por z=a+ib; y se representan en el plano R2 que se denomina entoncesplano complejo, al
eje se abcisas se le denominaeje real y al de ordenadaseje imaginario.
Definici´on 1.- Si z = a+ib es un n´umero complejo, al valor real a se le llama se llamaparte real de z, Re(z) =a, y al valor real b laparte imaginaria, Im(z) =b, es decir, z= Re(z) +iIm(z) .
Si la parte imaginaria de z es cero, el complejo es un n´umero real y, suele indicarse con z∈R. Si la parte
real de z es cero se dice que es imaginario puro y, suele indicarse con z∈iR.
El cero en C es el cero real (0,0) = 0 +i0 = 0 .
Proposici´on 2.- Sea z∈C− {0}, entonces existe un ´unico w∈C tal que zw= 1 .
Demostraci´on:
En efecto, con z = a+ib y w = x+iy, zw = ax−by+i(ay+bx) y zw = 1 = 1 +i0 ⇐⇒ el sistema
ax−by= 1
bx+ay= 0 tiene soluci´on ´unica. Que es cierto, con x= a
a2+b2 e y=
−b a2+b2 (a
2+b26= 0 pues z6= 0 ).
Si z=a+ib, el inverso se denota por z−1=1z y viene dado por la expresi´on z−1=a2a+b2 +i
−b a2+b2 =
a−ib a2+b2.
1.2.2
Conjugado de un n´
umero complejo
Definici´on 3.- Seaz=a+ib un complejo, se llamaconjugadodez al n´umero complejo z=a+i(−b) =a−ib.
Nota: Con la notaci´on de R2, el conjugado de (a, b) es (a,−b) y son sim´etricos respecto al ejereal (de abcisas).
Propiedades 4.- Sean z, w∈C, entonces
a) z=z; z+w=z+w; zw=z w; z−1= (z)−1.
b) z=z ⇐⇒ z=a+i0∈R; z=−z ⇐⇒ z= 0 +ib∈iR.
c) z+z= 2 Re(z) ; z−z=i2 Im(z) . .
1.2.3
M´
odulo de un n´
umero complejo
Definici´on 5.- Sea z=a+ib∈C. Se denominam´odulo(o norma) de z al valor real |z|= +√a2+b2. Nota: Si z es real, z=a+i0 =a, se tiene que |z|= +√a2+ 02= +√a2=|a|, es decir, el m´odulo complejo
coincide con el valor absoluto real.
Propiedades 6.- Sean z, w∈C, entonces
a) |z| ≥0 ; |z|= 0⇐⇒z= 0 .
4 – Matem´aticas 1:Preliminares 1.3 Forma polar de un n´umero complejo c) |z|=|z|: |z|2=zz; 1z = zzz =|zz|2. d) |z+w| ≤ |z|+|w|; |z−w| ≥ |z| − |w| . e) |zw|=|z| |w|; z−1 =|z|−1. .
Definici´on 7.- Se llamadistancia entre z y w al valor real d(z, w) =|z−w|. Del m´odulo, son inmediatas las propiedades
a) d(z, w)≥0 ; d(z, w) = 0⇐⇒z=w. b) d(z, w)≤d(z, t) +d(t, w) , ∀t∈C.
1.3
Forma polar de un n´
umero complejo
Sea z=a+ib= (a, b) . Un punto de R2 queda perfectamente determinado mediante su distancia al origen |z|
y el ´angulo θ que forma con el eje polar (el semieje real positivo).
Definici´on 8.- Sea z = x+iy un n´umero complejo no nulo. Se llama argumento de z y se designa por arg(z) a cualquier n´umero real θ que verifique que
z=x+iy=|z|cosθ+i|z|senθ=|z|(cosθ+isenθ).
Se dice entonces que z est´a enforma polar(o m´odulo argumental) y denotarse por z=|z|θ.
Como las funciones seno y coseno son peri´odicas de per´ıodo 2π, arg(z) est´a determinado salvo m´ultiplos de 2π; es decir, hay infinidad de argumentos de z, pero dos cualesquiera de ellos difieren en m´ultiplos de 2π. Si fijamos como argumento preferido el arg(z)∈(−π, π] , puede obtenerse de
arg(z)∈(−π, π]= arccotgyx, six >0 π+ arccotgyx, six <0 e y≥0 −π+ arccotgyx, six <0 e y <0 π 2, six= 0 ey >0 −π 2, six= 0 ey <0. arccotgxy π+ arccotgyx −π+ arccotgyx
Al argumento que se encuentra dentro del intervalo de tama˜no 2π elegido como preferente suele denominarse argumento principaly denotarse por Arg(z) . Con este concepto, todos los argumentos de z se pueden describir mediante: arg(z) = Arg(z) + 2kπ, ∀k∈Z.
Aunque estamos habituados a manejar el argumento en el intervalo [0,2π) ´o (0,2π] , es m´as usual tomar el intervalo (−π, π] ´o el [−π, π) como preferente debido sobretodo a:
Operaciones multiplicativas en forma polar 9.- Si z=|z|θ y w=|w|δ, se cumple que: a) z=|z|(−θ); z−1= (|z|−1)(−θ).
b) zw= (|z| |w|)θ+δ; wz = (||wz||)θ−δ; zn= (|z|n)nθ. .
1.3.1
Raices complejas
Proposici´on 10.- Un complejo z 6= 0 tiene n ra´ıces n-´esimas distintas. Si θ es un argumento de z, son precisamente zn1 = (|z| 1 n)θ n+2kπn , para k= 0, . . . , n−1. Demostraci´on:
Un complejo w es la ra´ız n-´esima de z, si se verifica que wn=z; es decir, si |w|n
=|z| y narg(w) = arg(z) = θ+ 2kπ (alguno de los argumentos de z). Luego|w|=|z|n1 y arg(w) =θ+2kπ
5 – Matem´aticas 1 : Preliminares 1.4 Ejercicios
argumentos s´olo se obtienen n n´umeros complejos distintos, los mismos que se obtienen tomando los n valores de k= 0,1, . . . , n−1 . Es decir, existen n, y s´olo n, complejos distintos que son ra´ıces n-´esimas de z, que son
zn1 =|z| 1 n cosθ+2kπ n +isen θ+2kπ n , conk= 0, . . . , n−1.
Observaci´on 11.- Es claro de la prueba anterior que las ra´ıces n-´esimas de un complejo est´an distribuidas re-gularmente en una circunferencia de radio pn |z|. Por
ejemplo, las ra´ıces quintas dez=rπ
3, son los 5 n´umeros
complejos (i) z0= 5 √ rπ 15+2π50 = 5 √ rπ 15. (ii) z1= 5 √ rπ 15+ 2π1 5 = 5 √ r7π 15. (iii) z2= 5 √ rπ 15+ 2π2 5 = 5 √ r13π 15 . (iv) z3= 5 √ rπ 15+2π53 = 5 √ r19π 15 = 5 √ r−11π 15 . (v) z4= 5 √ rπ 15+ 2π4 5 = 5 √ r25π 15 = 5 √ r−5π 15 . que quedan distribuidos como en la figura aneja.
z=rπ 3 z0=5 √ rπ 15 z1=5 √ r7π 15 z2=5 √ r13π 15 z3=5 √ r19π 15 z4=5 √ r25π 15 s s s s s s
1.3.2
La exponencial compleja
Definici´on 12.- Si z=a+ib, se define la exponencialcompleja por ez=ea(cosb+isenb)
Proposici´on 13.- Se verifican las siguientes propiedades: a) Si z=a∈R, entonces ez =ea+i0=ea(cos 0 +
isen 0) =ea y la exponencial compleja coincide con la exponencial real.
b) Si z=ib∈iR, entonces eib=e0+ib=e0(cosy+iseny) = cosy+iseny. Entonces, si z=a+ib, se tiene que ez=eaeib.
c) |ez|=|ea| |eiy|=ea|cosy+iseny|=eap
cos2y+ sen2y=ea. De donde ez6= 0 , para todo z∈C.
d) ez=ez, (ez)−1=e−z y ez+w=ezew, para todo z, w∈
C.
e) ez es peri´odica de per´ıodo 2πi y si ez=ew, entonces z−w= 2kπi, con k∈Z.
Nota: Si z6= 0 , puede escribirse como z=|z|eiArg(z) que se denomina forma exponencial de z.
Definici´on 14.- Sea z un n´umero complejo no nulo. Se dice que un n´umero complejo w es unlogaritmode z, y se escribe w= logz, cuando ew=z.
Proposici´on 15.- Sea z un n´umero complejo no nulo, los logaritmos de z son todos los commplejos log(z) = ln|z|+iarg(z) (uno por cada argumento de z)
Al valor Log(z) = ln|z|+iArg(z) que se le llamalogaritmo principal de z y cualquiera de los otros logaritmos de z se obtienen de: log(z) = Log(z) + 2kπi, ∀k∈Z.
1.4
Ejercicios
1.1 Efectuar las siguientes operaciones, expresando el resultado en forma bin´omica: i−1; √ 2 +i 2i ; 2−i 1 +i+i; 5 (1−i)(2−i)(i−3); i 344+ (−i)231; (1 +i)5+ 1 (1−i)5−1;
6 – Matem´aticas 1 : Preliminares 1.4 Ejercicios
1.2 Usar, cuando sea posible, las propiedades del m´odulo para calcular:
i−1 ; √ 2 +i 2i ; 2−i 1 +i+i ; 5 (1−i)(2−i)(i−3) ; i344(−i)231 ; i(1 +i)5 2(1−i)5 ;
1.3 Expresar en forma exponencial, z=|z|eiarg(z), los complejos siguientes:
a) −8 b) −1−i c) (− √ 3+i 2 ) 3 d) h4 cos(π 2) + 4isen( π 2) i−2
1.4 Expresar en forma bin´omica los complejos siguientes (tomar Arg(z)∈(−π, π] ):
a) √2eiπ b) e1−iπ2 c) iei74π d) Log(i3) e) Log(2e1+iπ3)
1.5 Hallar todos los valores complejos de:
a) i12 b) 816 c) (−1)13 d) (− √ 3 +i)35 e) h 4 cos(23π) + 4isen(23π)i −3 4
1.6 Si se sabe que 1 +i es una ra´ız c´ubica de z, hallar z y las dem´as ra´ıces.
1.7 Describir geom´etricamente las regiones del plano complejo: a) |z−i|= 1 b) z2
= 4 c) 0≤Argz≤π2 d) z=z
e) z=−z f) Im(z)≤0 g) Re(z)>2 h) Re(z) + Im(z) = 1 1.8 ¿Que valores de z verifican que |z+ 1|<|z−i|?
1.9 Resolver las ecuaciones:
a) z4+ 2 = 0 b) z2+ 2z−i= 0 c) z3
2 + (i+ 1)z
2−(2−i)z= 0
d) z3=−1 e) z6=iz f) z4+ (3−2i)z2= 6i
1.10 Hallar los z para los que
a) ez∈R b) Re(ez) = 0 c) |e−iz|<1 d) ez=−1 e) e2z=i f) ez=e−z 1.11 Resolver la ecuaci´on z4=z.
1.12 Probar que son ciertas las siguientes desigualdades: |a+bi| ≤ |a|+|b| ≤√2|a+bi|. 1.13 Probar las propiedades de la exponencial compleja dadas en c) y d) de la proposici´on 13.