UNIVERSIDAD
DE
ATACAMA
FACULTADDE INGENIER´IA / DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA
ESTAD´
ISTICA Y PROBABILIDADES
PAUTA DE CORRECCI ´
ON: PRUEBA PARCIAL N
o2
Profesor: Hugo S. Salinas. Segundo Semestre 2011
1. RESOLVER. 30 puntos.
a) En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por t´ermino medio. ¿Cu´al es la probabilidad de que el pr´oximo a˜no se produzcan m´as de dos?
Soluci´on:
SeaX n´umero de incendios anuales. En este casoXse puede modelar con la distribuci´on de Poisson con λt= 2. La probabilidad que se pide es
P(X >2) = 1−P(X ≤2) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X = 2) = 1−e−2 −2e−2−2e−2
= 0.3233.
(6 ptos.)
b) Una caja con 12 art´ıculos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso sin reemplazamiento, ¿cu´al ser´a la probabilidad de no incluir art´ıculos defectuosos en la muestra?
Soluci´on:
Sea X el n´umero de art´ıculos defectuosos en la muestra de tama˜no tres. Aqu´ıX sigue una distribuci´on hipergeom´etrica con par´ametros N = 12, k = 4 y n = 3. Se pide calcular P(X = 0) = 4 0 8 3 12 3 = 0.2545. (6 ptos.)
c) Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece dos 6. Si sabemos que no sali´o en la primera tirada, ¿cu´al es la probabilidad de necesitar m´as de 3 lanzamientos? Soluci´on:
SeaX el n´umero de lanzamientos necesarios hasta que aparece dos 6. En este casoX se distribuye binomial negativa con probabilidad de ´exitop= 1/6,k= 2 yX ∈ {2,3, . . .}. Se pide calcular
P(X >3|X >1) = P(X >3)
porque seguro que se necesitan m´as de un lanzamiento para conseguir dos veces 6. Como m´ınimo se necesitan dos lanzamientos. Por lo tanto:
P(X >3) = 1−P(X ≤3) = 1− 1 1 (1/6)2(5/6)0− 2 1 (1/6)2(5/6)1 = 0.9259. (6 ptos.)
d) Si se contesta sin pensar (al azar) un test de 10 preguntas en las que hay que contestar si es verdadero o falso. ¿Cu´al es la probabilidad de acertar m´as del 70 % de las preguntas? Soluci´on:
Primero, el test posee 10 preguntas y el 70 % del test son 7 preguntas. SeaX el n´umero de respuestas correctas del test. La v.a.Xse distribuye binomial con par´ametrosn = 10 y probabilidad de ´exitop= 0.5. Se pide calcular
P(X ≥8) = 10 X x=8 10 x (0.5)10 = 0.0546. (6 ptos.)
e) Una agencia de arriendo de autom´oviles en un aeropuerto tiene disponibles cinco Hyun-dai, siete Chevrolet, cuatro Kia, tres Honda y cuatro Toyota. Si la agencia selecciona al azar nueve de estos autos para transportar delegados del aeropuerto al centro de con-venciones de una Universidad, calcular la probabilidad de que se utilicen dos Hyundai, tres Chevrolet, un Kia, un Honda y dos Toyota.
Soluci´on:
Sean los siguientes eventos:
E1 = se utiliza un auto Hyundai
E2 = se utiliza un auto Chevrolet
E3 = se utiliza un auto Kia
E4 = se utiliza un auto Honda
E5 = se utiliza un auto Toyota
Las probabilidades correspondientes para cada evento son p1 = 5/23, p2 = 7/23, p3 =
4/23,p4 = 3/23 yp5 = 4/23, respectivamente. Estos valores permanecen constantes para
todas las selecciones. En este caso caso se trata de una v.a. (X1, X2, X3, X4) multinomial
con par´ametros n = 9, p1 = 5/23, p2 = 7/23, p3 = 4723, p4 = 3/23 y p5 = 4/23.
Entonces se pide calcular
f 2,3,1,1,2,9, 5 23, 7 23, 4 23, 3 23, 4 23 = 9 2,3,1,1,2 5 23 2 7 23 3 4 23 1 3 23 1 4 23 2 = 9! 2! 3! 1! 1! 2! 5 23 2 7 23 3 4 23 1 3 23 1 4 23 2 = 24893568000 1801152661463 = 0.0138. (6 ptos.)
2. 27 puntos.Un ingeniero desea seleccionar, entre los dos dise˜nos de circuitos que se muestran en la Figura, aquel que brinda una mayor probabilidad de que la corriente circule entre el punto Ay el punto B. Si las componentes (resistencias) funcionan de forma independiente y cada una tiene una probabilidad p de funcionar. ¿Cu´al de los dos dise˜nos debiera escoger el ingeniero?. Justifica tu respuesta haciendo los c´alculos que correspondan.
Soluci´on:
Del enunciado se tiene queP(i) = ppara todo i= 1,2,3 y 4. Sean los eventos
Fj : el Circuitoj funciona, j = 1,2.
Con esto tenemos que la probabilidad de que funcione el Circuito 1es igual a
P(F1) = P((1∪2)∩(3∪4)) =P(1∪2)P(3∪4),
(6 ptos.)
porque los Circuitos 1 y 2 son independientes de los Circuitos 3 y 4, seg´un las especificaciones (ver Figura). Luego:
P(F1) = [P(1) +P(2)−P(1∩2)][P(3) +P(4)−P(3∩4)]
= [P(1) +P(2)−P(1)P(2)][P(3) +P(4)−P(3)P(4)], 1 y 2 (3 y 4) son indep. = (2p−p2)2 =p2(2−p)2.
(6 ptos.)
La probabilidad de que funcione elCircuito 2 es igual a
P(F2) =P((1∩2)∪(3∩4)) =P(1∩2) +P(3∩4)−P((1∩2)∩(3∩4)),
(6 ptos.)
Usando los mismos argumentos anteriores, se tiene que,
P(F2) = P(1)P(2) +P(3)P(4)−P(1∩2)P(3∩4)
= P(1)P(2) +P(3)P(4)−P(1)P(2)P(3)P(4) = p2+p2 −p4 =p2(2−p2).
(6 ptos.)
Prueba:
Sabemos que, por definici´on 0≤p≤1, entonces (1−p)2 ≥0. Desarrollando este binomio se llega al resultado. En efecto,
(1−p)2 ≥ 0, 1−2p+p2 ≥ 0, ×2, 2−4p+ 2p2 ≥ 0, 2−4p+p2 ≥ −p2, +2 4−4p+p2 ≥ 2−p2, (2−p)2 ≥ 2−p2. (3 ptos.)
3. (27 ptos.)En una regulaci´on de calles por sem´aforos, la luz verde est´a encendida durante 15 segundos, la luz amarilla 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condicio-nes de tr´afico inducen variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los autom´oviles, de forma quellegar cuando el sem´aforo est´a verdees un suceso aleatorio. Para cinco autom´oviles que lleguen en tiempos diferentes e indeterminados, calcular la probabilidad de que:
Primero, sea p la probabilidad de que un autom´ovil cualquiera encuentre luz verde. La luz verde est´a encendida durante 15 segundos de un total de 75, por lo tantop = 1575 = 0.2. Sea
X el n´umero de autom´oviles que encuentran la luz verde. Entonces X ∼b(n= 5, p= 0.2).
a) solo tres encuentren la luz verde, Soluci´on: P(X = 3) = 5 3 (0.2)3(0.8)2 = 0.0512. (9 ptos.)
b) a lo m´as cuatro encuentren la luz verde Soluci´on: P(X ≤4) = 1−P(X = 5) = 1− 5 5 (0.2)5(0.8)0 = 1−(0.2)5 = 0.9996. (9 ptos.)
c) m´as de uno encuentre la luz verde. Soluci´on: P(X >1) = 1−P(X = 0)−P(X = 1) = 1− 5 0 (0.2)0(0.8)5− 5 1 (0.2)1(0.8)4 = 0.2627. (9 ptos.)
4. (16 ptos.)Supongamos que se desea estudiar la temperatura m´axima de una reacci´on en un proceso qu´ımico durante un determinado per´ıodo. Para esto se lleva a cabo una investigaci´on durante varios d´ıas y se concluye que la temperatura m´axima de dicho proceso, se puede modelar por la v.a. T con funci´on de densidad:
f(t) = 0, t≤ −1 −α t, −1< t <0 αe−6t, t≥0
a) Sabiendo quef(t) es la funci´on de densidad de la v.a. T, determinarα. Soluci´on:
Se sabe queR−∞∞ f(t)dt= 1 por definici´on. Entonces
Z ∞ −∞ f(t)dt = Z −1 −∞ 0dt−α Z 0 −1 tdt+α Z ∞ 0 e−6tdt = 1 Resolviendo la integral, −α t2 2 0 −1 +α −e −6t 6 ∞ 0 = 1
Evaluando, resulta la ecuaci´on α2 + α6 = 1. Por lo tanto la soluci´on es α= 32.
(4 ptos.)
b) ¿Cu´al es la temperatura m´axima esperada? Soluci´on:
Se pide calcular la esperanza de la distribuci´onf(t). En efecto:
E(T) = Z ∞ −∞ tf(t)dt = −3 2 Z 0 −1 t2dt+ 3 2 Z ∞ 0 te−6tdt = −3 2 t3 3 0 −1 + 3 2 1 36 ver formulario. = −3 2 1 3 + 3 2 1 36 =− 1 2 + 1 24 =− 11 24 =−0.4583. (4 ptos.)
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la temperatura m´axima est´e entre −0.5 y 2? Soluci´on: P(−0.5< T <2) = P(−0.5< T <0) +P(0< T <2) = Z 0 −0.5 −3 2tdt+ Z 2 0 3 2e −6t dt = −3 2 t2 2 0 −0.5 +3 2 −e −6t 6 2 0 = 3 2 1 8+ 1 4(1−e −12) = 0.4374. (4 ptos.)
d) Probar que P −1
2 < T <2|T >1
= 1−e−6. Soluci´on:
Utilizando la definici´on de probabilidad condicional se tiene que,
P(−0.5< T <2|T >1) = P(1< T <2) P(T > 1) = R2 1 3 2e −6tdt R∞ 1 3 2e −6tdt = h −e−6t 6 i2 1 −e−6t 6 ∞ 1 = −e −12+e−6 e−6 = 1−e−6. (4 ptos.)
