P
Polinomios, Valor numérico,
Grados
Las fórmulas para cada caso, son las siguientes:
ÁREA LATERAL = 2h . (a + 1)
ÁREA DE LA BASE = 2 a.l
OJO: Observa que estas dos fórmulas determinan dos monomios cuyas variables son: a, l y h.
Luego, el área total (A) será obtenida sumando los resultados anteriores:
En el anterior capítulo, vimos cómo la fórmula que expresa el área de un rectángulo, puede ser un ejemplo de monomio.
Te habrás dado cuenta entonces, que dos especialidades de la Matemática: Álgebra y Geometría pueden lograr
A = 2h(a + l ) + 2a . l
Es decir, el área total (A) depende de la altura (h), el ancho (a) y el largo (l). Entonces, algebraicamente escribimos:
grandes resultados trabajando juntas. A(a; ;l h) = 2h(a+ l ) + 2al
Ahora, hablemos de un sólido geométrico, que puede ser visto muchas veces en nuestro entorno. Es un sólido que lo puedes ver al observar un edificio, una caja de leche, un refrigerador o un ladrillo.
¿Adivinas cuál es? ... pues se trata de un poliedro
rectangular como el que ves en la figura. Observa sus
dimensiones: ancho (a), largo (l ) y altura (h).
Esto es lo que se denomina POLINOMIO, y es la idea principal del tema de hoy.
Parte teórica
Polinomio
Es la suma algebraica de dos o más monomios. h
Ejemplos:
a Estos son polinomios:
l
(x) = 5x2 - 7x + 3
7 Nuestro objetivo es hallar el área total de este poliedro
y para eso dividiremos el trabajo en dos partes: Q(x; y) = 4xy
3 + x8y2 - 1
2
ÁREA LATERAL
ÁREA DE LAS BASES
Valor numérico (V.N.)
Al igual que en el capítulo anterior, consiste en reemplazar las variables por números indicados.
Ejemplos:
Hallar el V.N. del polinomio:
M(x; y) = x2 + 2xy + y2, para: x = 1, y = 2
Solución:
M(1; 2) 12 2(1)(2) 22 2. Si: F = 3x3 + 2x2 - 1; calcular el valor de: F .
Grados
1
4 4 9
(x + 7)
Resolución:
Hacemos : x + 7 = 5 resolviendo : x = - 2
(5)
Un polinomio tiene dos grados: reemplazando en el polinomio:
F(- 2 + 7) = 3(- 2)3 + 2(- 2)2 - 1
a. Grado absoluto (G.A.).- Es el mayor de los grados
absolutos de los monomios que lo conforman. F(5) = 3(- 8) + 2(4) - 1
Ejemplo: Hallar el grado absoluto del polinomio:
F(5) = - 24 + 8 - 1 F(5) = - 17
5x 2 y 7 3x 4 y 2 4x 2 y 2 3. Hallar el grado del siguiente polinomio:
P(x; y) =
P(x; y) = 2,5x
16y - 5,2xy15
G.A. = 9 G.A. = 6 G.A. = 4
Luego el resultado es el mayor G.A.
Resolución:
Calculando el grado absoluto de cada uno de los términos:
P(x; y) = 2,5x16 y 5,2xy15
G.A.(P(x;y) ) = 9
G.A. 16 1
G.A. 1 15
b. Grado relativo (G.R.).- Es el mayor de los grados
relativos de los monomios que lo conforman. Grado = grado absoluto = 16 + 1 = 17
Ejemplo:
Hallar el grado relativo de “x” e “y” del polinomio: 4. El polinomio P(x) es de cuarto grado. Hallar “m”.
P(x; y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2 P(x) = 7 x1 + m+ 6 x2 + m + 5 x3 + m
Solución:
Hallamos el grado relativo para cada término: ResoluciónDatos del problema: Grado = 4 (mayor exponente de “x”) :
5x 2 y 7
3x 4 y 2
4x 2 y 2
resolviendo: m = 1
3 + m = 4
G.R.(x) = 2 G.R.(x) = 4 G.R.(x) = 2 G.R.(y) = 7 G.R.(y) = 2 G.R.(y) = 2
Luego, cogemos el mayor en cada caso; así:
G.R.(x) = 4 ; G.R.(y) = 7
Problemas resueltos
1. Si: x = 2; y = 3; z = 6; hallar el valor de:
5. Si: P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1
Determine: P(- 2)
Resolución:
Reemplazando: x = - 2 se tiene:
P(- 2) = (- 2)3 - 3(- 2)2 + 3(- 2) - 1
P(- 2) = - 8 - 3(4) - 6 - 1
P(- 2) = - 8 - 12 - 6 - 1
P(- 2) = - 27
E = 3(x y) xy xz yz xyz x2 y2 z2 27
4(x y) z y x
Resolución:
Sustituyendo valores:
E = 3(2 3) (2)(3) (2)(6) (3)(6) + (2)(3)(6) -
Problemas para la clase
Bloque I
1. Hallar el valor numérico de: P(x) = x2 + 2x + 1
4(2 3) 6 3 2
(2)2 - (3)2 - (6)2 + 27
15
para: x = 2
a) 4 b) 7 c) 8
d) 9 e) 1 Efectuando: E = -
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
(x) (P
2
2
2 2 3 3
2
)
2. Calcular el V.N. de: Q(x) = 3x2 + 7;
para: x = 4
a) 55 b) 48 c) 16 d) 91 e) 151
3. Si: P(x) = 2x3 + x + 7;
calcular el valor de “P(1)”.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
a) 11 b) 9 c) 12
d) 4 e) 10
10.Indicar el G.R.(x) del polinomio: P(x; y) = 2xy2 + 7x3y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 7 e) 0
Bloque II
3 1 3
2 2
4. Sabiendo que: M(x) = x2 + x + 1 1. Si: P(x; y) = 2 xy + x y - 4 2
hallar el valor de “M(5)”.
a) 25 b) 31 c) 30 d) 1 e) 5
calcular: P 1
(8; ) 4
1 a)
4
13 3
b) 8 c) 4
2 1 1
5. Calcular el V.N. de: J(x) = 7 x para: x = 1
-
5 x + 2 d) 13 e) 3
4 16
39 41 70 4 2 1
a) 35 b) 35 c) 39 2. Si: M(x; y) = 7 x .y - 343 x .y + 4
41 39 hallar: M 1
d) 70 e)
41 (7; ) 2
3 1 a) 1 b) 3 c) 1
6. Calcular el V.N. de: Q(x) = 2 x para: x = 2
- x - 2
4 2
3 d) 8
4 8
e) 7
a) 5 b) 6 c) 8
1 7
d) e)
4 2 3. Si: P = x
2 + x + 1; calcular: P
(P(0) )
7. Calcular el V.N. de: P(x; y) = 5x2y3 - x3y2
1
a) 3 b) 1 c) 13
d) 0 e) 11 para: x = 2; y = 2
1 1
1 5 2
a) b) c)
4. Calcular el V.N. de: Q(a; b; c; d) =
4 a + 5bc - 6 d
2 2 3 para: a = 12; b = 2; c = 1 ; d = 12
d) 2 e) 1 10
8. Indicar el G.A. del polinomio: 1
P(x; y) = 3x2y7 - x4y3 + 8x6y4
5. Calcular el valor numérico de:
a) 11 b) 9 c) 7
d) 10 e) 8 para: x = - 1 F(x; y) = - 12x - 8y + 6x + 8y
9. Cuál es el G.A. del polinomio: a) - 6 b) 6 c) - 1 5 7 4 2
2 2 12 d) 1 e) 0
M(x; y) =
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1
a) 0 b) 4 c) 2
d) - 2 e) - 4
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2
6. Cuál es el valor numérico de:
J(x; y; z) = 8(x + y + 3z) - 6(x + y + 2z) - 2(x + y + z)
1 para: z =
10
3. Si: P(2) = 4, determine “m”, si:
P(x) = (m - 1)x2 + mx + m + 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Determinar el grado del polinomio:
P(x; y) = 2x5y7 + x2y10 + xy11
a) 10 b) 12 c) 11 d) 15 e) 16
8. Hallar la suma de coeficientes de P(x), si el polinomio: P(x) = 3mxm + xm + 2 - xm + 4
es de grado 7.
a) 7 b) 3 c) 9
d) 5 e) 11
9. Calcular “a”, si en el polinomio:
P(x ; y) = 5x3y4 - 7xa + 3y8 + 2xa + 1y11
se cumple que: G.R.(x) = 8
a) 1 b) 2 c) 3
4. H a l l a r “ m ” IN, sabiendo que el polinomio “P
(x)” es de
grado 36.
P(x) = 0,2[x5m + 3]2 + 7 [xm + 1]3 ; ( m lN )
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 8
5. Calcular el valor numérico de la expresión: (2 - x - x2)1 - x ; para: x = - 2
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
6. Encuentre el grado absoluto de:
F(x; y) = 3xn + 4 . yn + 5 + xn + 1 . yn + 7; ( n lN )
si: G.R.(x) = 10
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
7. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
d) 4 e) 5 P
(x; y) = axa - 2 yb - 3 + bxa + 1 yb - 5xa - 3 yb + 3
10.Cuál es el mínimo valor que puede tomar “n”, si en el siendo: G.R.(x) = 10 y G.A. = 16
7 4 n + 6 3 n + 4 4
polinomio: J(x; y) = 2 x y se cumple que: G.R.(y) = 4
- 5x y + xy a) 6 b) 10 c) 18
d) 24 e) 32
8. Si el grado absoluto del polinomio:
P(x; y) = x2a yb + 5 + 2xa yb + 3 + 3xayb + 1 ; ( a,b lN )
Bloque III
1. Si: P(x) = 5x2 + 7x - 12
es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables, calcular “G.R.(y)”.
calcular: P(1)
P(1)
a) 1 b) - 1 c) 2 9. El grado de P(x) es 18. Indique el valor de “m” en:
d) - 2 e) 0 P(x) = (xm + 2)(xm - 3)
2. Si: P(x) = x2 - 3x + 1
P(2) P(1)
calcular: E =
P(4) P(3)
a) 1 b) 2 c) - 2
d) 4 e) - 4
10.Dado el polinomio: 1
G(m;n) = 2m4n7 + m12 - 9 mn10
5 calcular: G.R.(m) + G.R.(n)
Autoevaluación
1. Dado el polinomio:
P(x) = 5x2y3 - 7xy4 + 6x3y2
entonces, su G.A. es:
a) 1 b) 2 c) 3
3. Si tenemos el polinomio:
R(a; b) = 7a8b3 -
calcular: G.R.(a) + G.R.(b) 1
a5b4 +
2
5 ab9
3
d) 5 e) - 4
2. Para el polinomio:
a) 11 b) 9 c) 8
d) 17 e) 25
4. Si tenemos el polinomio:
7 9 1 4 2
4 7 2 5 4 7 P = x + x + 1
Q(x; y) = 3 x y
se cumple:
+ x y 2 - 3 x y
entonces el valor d e: P(x) (- 2) es:
a) G.A. < G.R.(x) b) G.R.(x) < G.R.(y) c) G.A. < G.R.(y) d) G.R.(x) = G.R.(y) e) G.R.(y) < G.R.(x)
a) 21 b) 18 c) - 19 d) - 16 e) 0
5. Dado el polinomio:
entonces se cumple: P(x) = x
2 - 1
NOTAS CURIOSAS
Como ya se había mencionado, en este capítulo veremos algunas ilusiones ópticas:
¡Observa bien!
Aparentemente las curvas de esta figura son espirales, sin embargo son circunferencias. Esto puedes comprobarlo con un compás.
Lo que observas a continuación, es la denominada “Ilusión de Hering”. A cierta distancia, las dos líneas horizontales aparentan es ta r curva s, sin emba rgo no lo es tá n. ¡Compruébalo con una regla!
