1. Integral doble sobre un rectángulo.
El proceso para introducir la integral doble de un campo escalar de dos variables es similar al que usamos para la integral de una función de una variable. Recuerda que construimos sumas de Rie-mann asociadas a una partición y unos puntos internedios. Cuando la norma de la partición tiende a cero, las sumas correspondientes se aproximan a un valor real, llamado integral de la función. Aquí imitaremos dicho proceso con las modificaciones adecuadas. Cambiamos el dominio de definición, pasamos de un intervalo a un rectángulo R:=
[ ] [ ]
a b, × c d, ={
( , )x y ∈ 2:a≤ ≤x b c, ≤ ≤y d}
y en las particiones consideramos subrectángulos en vez de subintervalos.El primer objetivo de esta sección es dar una definición de volumen del conjunto
{
3}
: ( , , ) : ( , ) , 0 ( , ) ,
V = x y z ∈ x y ∈R ≤ ≤z f x y
donde f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ es una función positiva ( ( , )f x y ≥0, ( , )x y ∈R). Es decir, queremos definir (y calcular) el volumen del sólido que encierra la gráfica de la función f y el pla-no OXY en el rectángulo R.
Empezamos con una función f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ (que puede tomar valores positivos y negativos) e introducimos el concepto de suma de Riemann. Dividiendo el intervalo [ , ]a b en m
subintervalos y el intervalo [ , ]c d en n subintervalos, generamos una partición P del rectángulo
Denotamos por (Δ Rk) el área de Rk, es decir, (Δ Rk)= Δ(xk)⋅ Δ(yk). Ahora elegimos en cada sub-rectángulo Rk un punto arbitrario (x yk, k) y consideramos la suma
1 1 1 2 2 2
1
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),
N
k k k N N N
k
f x y R f x y R f x y R f x y R
=
Δ = Δ + Δ + + Δ
∑
que se llama suma de Riemann de f con respecto a P en el rectángulo R. Si la función f es posi-tiva, el sumando (f x yk, k) (Δ Rk) es el volumen de un prisma de base Rk y altura zk = f x y( k, k), que corresponde a un punto de la superficie de ecuación z= f x y( , ). Así que la suma de Riemann es una aproximación al volumen limitado por dicha superficie sobre R. La idea es que cuanto más afinemos la partición más nos acercaremos con la suma de Riemann a dicho volumen.
En concreto, estamos interesados en saber qué ocurre con estas sumas de Riemann cuando la base y la altura de estos subrectángulos se hacen cada vez más pequeña. Llamamos norma de la partición P y se denota por P , al mayor de las bases o alturas de cualquier subrectángulo de la partición. A veces ocurre que cuando P →0 (lo que significa que todos los subrectangulos son estrechos y cortos) existe el límite
0 1
lim ( , ) ( ).
N
k k k
P k
f x y R
→
∑
= Δ En general esto no ocurre con todas las funciones. Las funciones que verifican esta propiedad se llaman integrables. De forma precisa tenemos la si-guiente definición.DEFINICIÓN. Sea f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ una función. Diremos que f es integrable en el
rectángulo R si existe el límite
0 1
lim ( , ) ( ),
N
k k k
P k
f x y R
→
∑
= Δ independientemente de la partición P y de la elección de los puntos (x yk, k)∈Rk, para k =1, 2,…,N. Al valor de este límite se le denota por( , )
R
f x y dxdy
∫∫
o ( , )R
f x y dA
∫∫
y se llama integral de f en el rectángulo R. El símbolo dA se lee diferencial de área.OBSERVACIÓN. 1) Cuando la función f es positiva, la integral doble de f sobre R es el volumen
superfi-cie de ecuación z= f x y( , ) sobre el rectángulo R.
2) En particular, cuando f es la función constante e igual a 1 todas las sumas de Riemann son iguales al área del rectángulo R y, en consecuencia, la integral doble coincide con el área del rectángulo R.
El resultado sobre integrabilidad más importante de esta sección es el siguiente.
TEOREMA (INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS). Sea f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ una función continua. Entonces f es integrable en R.
OBSERVACIÓN. Se puede probar también que una función f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ que es continua en todos los puntos de R, salvo en los de una curva regular C⊂R, es integrable en R.
Integrales iteradas. Al igual que ocurre con las integrales de funciones de una variable, aplicar
directamente la definición para calcular una integral doble suele ser imposible. En el caso de una variable, la herramienta para el cálculo de las integrales era la regla de Barrow, aquí es la reducción de una integral doble a dos integrales de una variable, o sea, dos aplicaciones de la regla de Barrow.
Sea f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ una función continua en el rectángulo R: [ , ] [ , ].= a b × c d Para cada [ , ]y∈ c d podemos considerar la función ( , )f x y de la variable x que se obtiene manteniendo la variable y constante e integrarla en [ , ],a b para obtener ( , )
b
a
f x y dx
∫
que se llama integral par-cial con respecto a x. Esta integral depende del valor de y que hayamos fijado de antemano, lo cual nos permite definir la función : [ , ] ( ) : b ( , ) .a
g y∈ c d ⊆ →g y =
∫
f x y dx∈ Se puede probar que g es una función continua, lo que nos permite a su vez, considerar la integral de esta función( ) ( , ) ,
d d b
c c a
g y dy= ⎡⎢ f x y dx dy⎤⎥
⎣ ⎦
∫
∫ ∫
llamada integral iterada, primero con respecto a x y después con respecto a y de f en , R.Análogamente, podemos calcular primero la integral parcial con respecto a ,y ( , ) ,
d
c
f x y dy
∫
ydespués integrar con respecto a x para obtener ( , ) ,
b d
a c
f x y dy dx
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
llamada integral iterada, pri-mero con respecto a y y después con respecto ax de f en , R.¿Qué relación tienen estas integrales iteradas entre sí y con la integral de la función f en el rectán-gulo R? La respuesta la da el siguiente resultado.
TEOREMA (FUBINI). Sea f : ( , )x y ∈ ⊆R 2 → f x y( , )∈ una función continua en el rectángulo : [ , ] [ , ].
R = a b × c d Entonces las dos integrales iteradas de f en R coinciden y son iguales a la
inte-gral doble de f en ,R es decir, ( , ) ( , ) ( , ) .
d b b d
R c a a c
f x y dA= ⎡⎢ f x y dx dy⎤⎥ = ⎡⎢ f x y dy dx⎤⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Debido a este resultado, suele ser habitual utilizar la notación ( , )
R
f x y dxdy
∫∫
para indicar la inte-gral doble de la función f en el rectángulo R.EJEMPLO. Vamos a calcular ahora algunas integrales dobles usando el teorema de Fubini. En todos los casos llamaremos R al rectángulo de integración y aplicaremos el teorema de Fubini.
1) De la función ( , )f x y =xy+x en [1, 2] [0,3].× Integrando primero con respecto a la variable y y después con respecto a la variable x obtenemos
3 2
2 2
2 3 2 2
1 0 1 1
0 1
15 15 45
( ) ( ) .
2 2 2 2 4
y x
R
y x
xy x
xy x dA xy x dy dx xy dx xdx
= = = = ⎛ ⎤ ⎛ ⎤ ⎡ ⎤ + = ⎢ + ⎥ = ⎜ + ⎥ = = ⎜ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦
∫∫
∫ ∫
∫
∫
También podemos aplicar el teorema de Fubini integrando en otro orden:
2 3
2 2 2
3 2 3 3
0 1 0 0
1 0
3 3 45
( ) ( ) ( 1) .
2 2 2 2 2 4
x y
R
x y
x y x y
xy x dA xy x dx dy dx y dx y
= = = = ⎛ ⎤ ⎛ ⎤ ⎡ ⎤ + = ⎢ + ⎥ = ⎜ + ⎥ = + = ⎜ + ⎥ = ⎣ ⎦ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦
∫∫
∫ ∫
∫
∫
2) De la función ( , )f x y =cos(x+y) en 0, 0, .
2 2
π π
⎡ ⎤ ⎡× ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Integrando primero con respecto a la va-riable y y después con respecto a la variable x obtenemos
(
]
(
]
2 2 2
2 0
0 0 0
2 2
2 0
0 0
cos( ) cos( ) sen( )
sen sen (cos sen ) sen cos 0.
2 y y R x x
x y dA x y dy dx x y dx
x x dx x x dx x x
π π π π
π π π π = = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + = + = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = ⎜ ⎜ + ⎟− ⎟ = − = + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫
∫ ∫
∫
∫
∫
OBSERVACIÓN. Cuando la función ( , )f x y tiene alguna forma especial, la integración iterada produ-ce ciertos resultados de utilidad en la práctica.
1) Supongamos que ( , )f x y es producto de una función que depende sólo de x por otra que de-pende sólo de ,y es decir, ( , )f x y =h x g y( ) ( ). En este caso se tiene que
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
d b d b d b
R c a c a c a
f x y dA= ⎡⎢ h x g y dx dy⎥⎤ = ⎢⎡g y h x dx dy⎥⎤ = ⎜⎛ g y dy⎟⎜⎞⎛ h x dx⎞⎟
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
2) Si f x y( , ) es suma de una función que depende sólo de x y de otra que depende sólo de y, es decir, f x y( , )=h x( )+g y( ), entonces se tiene que
(
)
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
d b d b
R c a c a
b d
a c
f x y dA h x g y dx dy h x dx g y b a dy c d h x dx b a g y dy
EJERCICIO 1. Sea f : ( , )x y ∈ 2 → f x y( , )∈ la función definida por f x y( , )= −4 y2 y sea R el cuadrado definido por R: [0, 3] [ 2, 0].= × − Calcula ( , ) .
R
f x y dxdy
∫∫
Calcula también la integral do-ble ( , ) ,T
f x y dxdy
∫∫
siendo T: [0, 2] [0, 3].= ×EJERCICIO 2. Sea f : ( , )x y ∈ 2 → f x y( , )∈ la función definida por ( , )f x y = + +x y 1 y sea R
el cuadrado definido por R: [ 1, 0] [ 1,1].= − × − Calcula ( , ) .
R
f x y dxdy
∫∫
Calcula también la integral doble ( , ) ,T
f x y dxdy
∫∫
siendo T: [ 1,1] [ 1, 0].= − × −EJERCICIO 3. Sea f : ( , )x y ∈ 2→ f x y( , )∈ la función definida por f x y( , )=x y2 −2xy y sea
R el cuadrado definido por R: [0, 3] [0, 2].= × Calcula ( , ) .
R
f x y dxdy
∫∫
Calcula también la integral doble ( , ) ,T
f x y dxdy
∫∫
siendo T: [ 2, 0] [0, 3].= − ×EJERCICIO 4. Sea f : ( , )x y ∈ 2→ f x y( , )∈ la función definida por f x y( , ) 1
xy
= y sea R el
cuadrado definido por R: [1, 2] [1, 2].= ×
EJERCICIO 5. Sea f : ( , )x y ∈ 2 → f x y( , )∈ la función definida por ( , )f x y =cosx+sen y y sea R el cuadrado definido por R: [ , 2 ] [0, ].= π π × π Calcula ( , ) .
R
f x y dxdy
∫∫
EJERCICIO 6. Sea f : ( , )x y ∈ 2 → f x y( , )∈ la función definida por ( , )f x y =cosx+sen y y sea R el cuadrado definido por R: [1, 7] [1, 7].= × Calcula ( , ) .
R
x f x y dxdy
