3.6. El teorema de la divergencia.

6. El teorema de la divergencia.

Ya vimos una versión del teorema de Green en el plano que expresa la igualdad entre la integral doble de la divergencia de un campo vectorial extendida a una región del plano y la integral de línea de la derivada normal del campo sobre la frontera de la región. El teorema que establecemos a con-tinuación relaciona la integral triple de la divergencia de un campo extendida a un sólido con la integral de superficie de dicho campo tomada sobre la superficie frontera de ese sólido que es, pre-cisamente, una superficie cerrada.

Consideremos un campo vectorial F x y z( , , )=( ( , , ), ( , , ), ( , , ))P x y z Q x y z R x y z con derivadas par-ciales continuas en un sólido 3

U ⊆\ proyectable respecto de los tres planos coordenados, es decir, XY-proyectable, YZ-proyectable y XZ-proyectable.

Llamemos S a la superficie exterior del sólido U y denotemos por N el campo de los vectores unitarios normales exteriores a S. Vamos a comprobar que se verifica la igualdad

(0, 0, ) .

z

U S

R dV = R ⋅N dS

∫∫∫

∫∫

Podemos considerar que su frontera S se puede descomponer en tres superficies que denotaremos por ,K_S el suelo, K_P, la pared lateral y K_T, el techo. A continuación precisaremos un poco más cuales son estas tres superficies. Puesto que el sólido U es XY-proyectable, podemos escribir que

{

3

}

: ( , , ) : ( , ) , ( , ) ( , ) , U = x y z ∈\ x y ∈T f x y ≤ ≤z g x y

donde f y g son dos funciones con derivas parciales continuas definidas en una región T ⊆\2.

función f y, por tanto, el producto vectorial fundamental es (−f_x,−f_y,1), que tiene orientación in-terior. Veamos ahora una descripción adecuada de la superficie KP. Consideremos una

parametri-zación C t: ∈[ , ]a b ⊆ →\ C t( )=( ( ), ( ), 0)x t y t ∈\3 de la frontera del conjunto T ⊆\3. Entonces

(

)

{

3

}

( ), ( ), ( ( ), ( )) (1 ) ( ( ), ( )) : ( , ) [ , ] [0,1] . P

K = x t y t ug x t y t + −u f x t y t ∈\ t u ∈ a b ×

No es difícil comprobar que el producto vectorial fundamental está dado, para los valores de los pa-rámetros ( , ),t u por

(

y t g x t y t′( )( ( ( ), ( ))− f x t y t( ( ), ( ))), ( )( ( ( ), ( ))x t′ f x t y t −g x t y t( ( ), ( ))), 0 ,

)

que es un vector paralelo al plano OXY. Puesto que S=K_S ∪K_P∪K_T tenemos que

(

)

0

( ,

(0, 0, ) (0, 0, ) (0, 0, ) (0, 0, )

(0, 0, ) (0, 0, )

( , , ( , )) ( , , ( , )) ( , , ( , )) ( , , ( , ))

( , , )

S P T

S T

S K K K

K K

T T

T

z f x y

R NdS R NdS R NdS R NdS

R NdS R NdS

R x y f x y dxdy R x y g x y dxdy R x y g x y R x y f x y dxdy

R x y z dz =

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= − +

= −

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

( , )

)

. g x y

z

T U

dxdy R dV

⎡ ⎤ ₌

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫ ∫

∫∫∫

De forma similar a como hemos probado que (0, 0, ) z

S U

R ⋅NdS = R dV

∫∫

∫∫∫

se establece también

que ( , 0, 0) _x

S U

P ⋅N dS = P dV

∫∫

∫∫∫

y (0, , 0) _y .

S U

Q ⋅N dS = Q dV

∫∫

∫∫∫

Sumando estas tres igualda-des obtenemos que div( ) ,

U S

F dV = F N dS⋅

∫∫∫

∫∫

que se llama fórmula de Gauss o de la divergen-cia. En general tenemos el siguiente resultado.

TEOREMA (GAUSS). Sea U ⊆\3 un sólido limitado por una superficie cerrada S y sea N el campo

de los vectores unitarios normales exteriores a S. Si F es un campo vectorial con derivadas parcia-les continuas en U, entonces div( ) .

U S

F dV = F N dS⋅

∫∫∫

∫∫

EJEMPLO. Consideremos el sólido V definido de la siguiente forma

{

3 2 2 2

} {

3 2 2

}

: ( , , ) : 2 , 1 ( , , ) :1 3 , 1

V = x y z ∈\ x +y +z ≤ y y≤ ∪ x y z ∈\ ≤ ≤ −y z x +z ≤

y denotemos por S la superficie exterior de dicho sólido. Vamos a calcular la integral de superficie

( , , )

S

z y − ⋅x NdS

∫∫

directamente y también la calcularemos aplicando el teorema de la divergencia. Sabemos que éste asegura que div( ) ,

V S

F dV = F N dS⋅

cál-culo sencillo establece que div ( , , ) 1,F x y z = entonces tenemos que 1 .

S V

F N dS⋅ = dV

∫∫

∫∫∫

Para

calcular esta integral triple usaremos un cambio de variables a coordenadas cilíndricas con eje OY, es decir, x=rcos ,θ y=y y z=rsen .θ Entonces los nuevos límites de integración están descritos por las siguientes desigualdades 0≤ ≤r 1, 0≤ ≤θ 2π y 1− 1−r2 ≤ ≤ −y 3 rsen .θ Observa que

2

1− 1−r = y se obtiene al despejar y en la ecuación x2+y2+z2 =2y haciendo el cambio

cos

x=r θ y z=rsenθ y, por tanto, corresponde a la superficie esférica S₁. Así mismo 3 sen

y= −r θ se obtiene al despejar y en y= −3 z y, por tanto, corresponde la superficie plana

3.

S Teniendo esto en cuenta obtenemos que

(

)

2

3 sen

2

[0,1] [0,2 ] 1 1 [0,1] [0,2 ]

8

1 3 sen 1 1 .

3 r

V r

dxdydz rdy drd r r r drd

θ

π π

π

θ θ θ

− × − − × ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} = − − + − = ⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫

∫

∫∫

Ahora vamos a calcular la integral S

F N dS⋅

∫∫

directamente. Para ello descomponemos la integral como

1 2 3

S S S S

F N dS⋅ = F N dS⋅ + F N dS⋅ + F N dS⋅

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

y calculamos cada una de estas tres integrales. Comenzamos cálculando de la integral

1

. S

F N dS⋅

∫∫

Para parametrizar la superficie S1

usaremos coordenadas esféricas centradas en el punto (0,1, 0), es decir

sen cos ,

1 sen sen ,

cos , x y z θ φ θ φ θ = ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = ⎩ donde [0, ]

θ∈ π y φ π π∈[ , 2 ]. Puesto que (cos cos , cos sen , sen ),

( sen sen , sen cos , 0)

S

S θ

φ

θ φ θ φ θ

θ φ θ φ

= −

⎧

⎨ = −

⎩ el producto vectorial

fundamental viene dado por S_θ×S_φ =(sen2θcos , senφ 2θsen , sen cos ).φ θ θ Observemos que para el punto (0, 0, 0), correspondiente a los valores de los parámetros

2

π

θ = y 3 ,

2

π

φ = se obtiene co-mo vector normal el vector (0, 1, 0),− luego la normal es exterior. Por otra parte tenemos que

2 2

2 2 3 2 2

2 3 2

( ( , )) (cos ,1 sen sen , sen cos ) (sen cos , sen sen , sen cos )

sen cos cos sen sen sen sen sen cos cos

sen sen sen sen .

F S θ φ S_θ S_φ θ θ φ θ φ θ φ θ φ θ θ

θ θ φ θ φ θ φ θ θ φ

θ φ θ φ

⋅ × = + − ⋅

= + + −

= +

Entonces 1

2 3 2

[0, ] [ ,2 ]

(sen sen sen sen ) . 3 S

F N dS d d

π π π

π

θ φ θ φ θ φ

×

⋅ = + = −

∫∫

∫∫

Continuamos

calcu-lando la integral 2

. S

F N dS⋅

∫∫

Para parametrizar la superficie S₂ usaremos coordenadas cilíndricas con base en las curvas C₁ y C₂. Los puntos de C₁ se pueden parametrizar por (cos ,1, sen )t t con

[0, 2 ].

t∈ π El correspondiente punto de C2 es (cos , 3 sen ,sen )t − t t con t∈[0, 2 ].π El segmento

(

)

(

) (

)

( , ) cos ,1, sen (1 ) cos , 3 sen , sen cos , (1 )(3 sen ), sen ,

S t u =u t t + −u t − t t = t u+ −u − t t

donde [0, 2 ]t∈ π y u∈[0,1]. Puesto que ( sen , (1 ) cos , cos ),

(0, 2 sen , 0)

t

u

S t u t t

S t

= − − − ⎧

⎨ = − +

⎩ el producto vectorial

fundamental viene dado por S t u_t( , )×S t u_u( , )= −

(

cos ( 2 sen ), 0, sen ( 2 sen ) .t − + t − t − + t

)

En este ca-so no importa la orientación puesto que, como veremos a continuación, la correspondiente integral de superficie vale cero. En efecto, después de realizar algunos cálculos tenemos que

(

)

2 [0,2 ] [0,1]

cos sen ( 2 sen ) cos sen ( 2 sen 0. S

F N dS t t t t t t dtdu

π×

⋅ = − − + + − + =

∫∫

∫∫

Finalmente, calculamos la integral 3

. S

F N dS⋅

∫∫

Para parametrizar la superficie S₃ usaremos coor-denadas polares en el plano OXZ y levantaremos con y= −3 z. Entonces una parametrización de

3

S es S r( , )θ =

(

rcos , 3θ −rsen , senθ r θ

)

, donde r∈[0,1] y θ∈[0, 2 ].π Puesto que

(

)

( , ) cos sen , sen

r

S r θ = θ− θ θ y S r_θ( , )θ = −

(

rsen ,θ −rcos , cosθ r θ

)

,

el producto vectorial fundamental viene dado por S r_r( , )θ ×S r_θ( , )θ =(0,− −r, r), resultando ser esta normal interior. Entonces

(

)

(

)

(

)

3 [0,1] [0,2 ]

2 [0,1] [0,2 ]

2 2

[0,1] [0,2 ]

sen , 3 sen , cos (0, , )

(3 sen ) cos

3 sen cos 3 .

S

F NdS r r r r r drd

r r r drd

r r r drd

π

π

π

θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ π

×

×

×

⋅ = − − − ⋅ − −

= − − − +

= − − + + =

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Con estos resultados tenemos que 0 3 8 .

3 3

S

F NdS⋅ = − + +π π = π

∫∫

EJEMPLO. Vamos a calcular el flujo del campo vectorial F x y z( , , )=

(

x y z2, 2, 2

)

a través de la cara exterior del cono sólido x2+y2 ≤z2, donde 0≤ ≤z 1. Posteriormente comprobaremos el resultado usando el teorema de la divergencia de Gauss. La cara exterior, que llamaremos ,S del sólido U está formada por dos superficies: una S1, que llamamos tapa en el dibujo, y que es un círculo en el

plano 1,z= y otra S₂, que llamamos cono en el dibujo y que es parte del cono de ecuación

2 2

.

z= x +y De esta forma resulta que S= ∪S1 S2. Entonces tenemos que la integral de flujo se

puede dividir en

1 2

.

S S S

F NdS⋅ = F NdS⋅ + F NdS⋅

∫∫

∫∫

∫∫

Ahora vamos a obtener sendas parametri-zaciones de las superficies S₁ y S₂ que nos permitan calcular las integrales de superficie. Tenemos entonces, usando coordenadas polares, que

2 3

1: ( , ) [0,1] [0, 2 ] 1( , ) ( cos , sen ,1)

en cuyo caso tenemos que ∂_rS r₁( , )θ × ∂_θS r₁( , )θ =(cos , sen , 0) (θ θ × −rsen , cos , 0)θ r θ =(0, 0, ).r Por otra parte S2: ( , ) [0,1] [0, 2 ]r θ ∈ × π ⊆\2 →S r2( , )θ =( cos , sen , )r θ r θ r ∈\3, en cuyo caso

te-nemos que ∂_rS r₂( , )θ × ∂_θS r₂( , )θ =(cos ,sen ,1) (θ θ × −rsen , cos , 0)θ r θ = −( rcos ,θ −rsen , ).θ r En-tonces la integral nos queda

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2

2 2 2 2

[0,1] [0,2 ]

2 2 2 2 2

[0,1] [0,2 ]

3 3 3

[0,1] [0,2 ] [0,1] [0,2 ]

3 3

cos , sen ,1 (0, 0, )

cos , sen , ( cos , sen , )

1 cos sen

1

1 cos sen 4

S S S

F NdS F NdS F NdS r r r drd

r r r r r r drd

rdrd r drd

d

π

π

π π

θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

π θ θ

× × × × ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ − − = − − − = − − −

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

2 0 1 2 . 4 2 π _π

θ π= − π =

∫

El teorema de la divergencia asegura que

(

)

(

)

2 1 1

0 0 2 1 0 0 2 0 cos

div 2 ( ) sen

2 cos sen

( 1 ) (1 2 cos 2 sen ) 1 cos sen

.

4 6 6 2

S U U

r

x r

F NdS Fdxdydz x y z dxdydz y r

z z

r r z rdz dr d

r r r r r dr d

d π π π θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ _θ π

= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⋅ = = + + =_⎢ = _⎥ ⎢ = ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ = _{⎢ ⎢} + + _{⎥ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − _⎢ − + + + + _⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = _⎜ + + _⎟ = ⎝ ⎠

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Relación entre la fórmula de la divergencia en el plano y en el espacio. La fórmula de la diver-gencia div

U S

F dV = F N dS⋅

∫∫∫

∫∫

es una generalización a tres dimensiones de la fórmula de la di-vergencia en el plano, es decir, div ,

D C

Gdxdy= G N ds⋅

∫∫

v

∫

siendo D el interior de una curva de Jordan C y G x y( , )=( ( , ), ( , ))P x y Q x y un campo vectorial con derivadas parciales continuas en D.

Para comprobar esta afirmación consideremos el sólido V definido de la siguiente forma

{

3

}

: ( , , ) : ( , ) , 0 1 .

V = x y z ∈\ x y ∈D ≤ ≤z Observemos que el sólido V es un cilindro recto con base en la región D y altura 1. La superficie de este sólido está compuesta de tres caras, la base D, que como superficie de _\3

se denota por S_3, la tapa superior que es una copia de la región D en el pla-no z=1 y que denotamos por S₁ y, por último, la superficie lateral del cilindro que llamamos S₂.

Consideremos también el campo vectorial ( , , ) : ( ( , ), ( , ), 0).F x y z = P x y Q x y Entonces se verifica que

divF =div .G Por tanto, tenemos que

1

0

div div div .

V D D

Fdxdydz= ⎡_⎢ Gdz dxdy⎤_⎥ = Gdxdy

⎣ ⎦

∫∫∫

∫∫ ∫

∫∫

normales a S₁ y S₃ son ortogonales a los campos ( , 0, 0)P y (0, , 0).Q Teniendo esto en cuenta ob-tenemos que

2 2

( , 0, 0) (0, , 0) ( , 0, 0) (0, , 0) .

S S S S S

F NdS⋅ = P ⋅NdS+ Q ⋅NdS = P ⋅NdS+ Q ⋅NdS

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

Para calcular estas dos integrales vamos a describir una parametrización de la superficie S₂. Si de-notamos por ( ( ), ( )),x t y t con t∈[ , ],a b a una parametrización de la curva C recorrida en sentido positivo, entonces ( ( ), ( ), ),x t y t u con t∈[ , ]a b y u∈[0,1] es una parametrización de la superficie

2,

S cuyo producto vectorial fundamental viene dado por ( ( )y t′ −x t′( ), 0), con t∈[ , ].a b Entonces

(

)

2 2

[ , ] [0,1] [ , ] [0,1]

( , 0, 0) (0, , 0) ( , 0, 0) (0, , 0)

( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )

( ( ), ( )), ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ,

S S S S S

a b a b

b

a C

F N dS P N dS Q N dS P N dS Q N dS

P x t y t y t dtdu Q x t y t x t dtdu P x t y t Q x t y t y t x t dt G N ds

× ×

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

′ ′

= + −

′ ′

= ⋅ − = ⋅

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

v

∫

como queríamos probar.

TEOREMA (FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES). Sea U ⊆\3 un sólido limitado por una

superfi-cie cerrada S y sea N el campo de los vectores unitarios normales exteriores a S. Sean f un cam-po escalar y F un campo vectorial con derivas parciales segundas continuas en U. Entonces

div .

U S U

Df FdV⋅ = f F dS⋅ − f FdV

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

DEM. Para obtener esta fórmula basta aplicar el teorema de la divergencia al campo vectorial f F y tener en cuenta que div(f F)=Df F⋅ + f div .F

EJERCICIO 1. Sea S el trozo de la superficie del paraboloide x2+y2+ =z 1 situado por encima del

plano OXY. Sea F el campo vectorial definido por

(

2 2

)

( , , ) 1 , 2 ,1 .

F x y z = −y y +x Vamos a calcu-lar la integral rot

S

F N dS⋅

∫∫

directamente, usando el teorema de Stokes y usando el teorema de la divergencia.

EJERCICIO 2. Sea F x y z( , , )= −

(

1 2 , 2y y2,1+x2

)

y sea S la superficie esférica de radio 2 en el

se-miespacio z≥0. Calcula la integral de flujo S

F N dS⋅

∫∫

directamente y usando el teorema de la divergencia.

EJERCICIO 3. Sea S la superficie formada por las cinco caras superiores del cubo definido por

0≤ ≤x 1, 0≤ ≤y 1, 0≤ ≤z 1 y consideremos el campo vectorial

(

2

)

( , , ) , 0, .

integral de superficie ,

S

F N dS⋅

∫∫

donde N representa el vector normal exterior al cubo.

EJERCICIO 4. Se corta el interior de la esfera x2+y2+z2 =25 por el plano z=3. La parte más pequeña es un sólido V limitado por una superficie S constituida por dos partes, una esférica y otra plana. Calcula

(

, ,1

)

S

xz yz ⋅N dS

∫∫

(tomando la normal exterior a S) y comprueba el resultado usando el teorema de la divergencia.

EJERCICIO 5. Dados el campo vectorial F x y z( , , )=(x y z3, 3, ) y la superficie S dada por

2 2

1

x +y = con 0≤ ≤ +z x 2, calcula S

F N dS⋅

∫∫

directamente y comprueba el resultado aplicando el teorema de la divergencia.

EJERCICIO 6. Sea F x y z( , , )= −

(

1 2 , 2y y2,1+x2

)

y sea S la superficie esférica de radio 2 en el

se-miespacio z≥0. Calcula S

F N dS⋅

∫∫

directamente y usando el teorema de la divergencia.

EJERCICIO 7. Sea S la superficie exterior de la pirámide formada por los planos coordenados y el

plano x+ + =y z 1. Sea C la curva cerrada obtenida al cortar el plano x+ + =y z 1 con los planos coordenados. Sea F x y z( , , )=

(

xz xy yz, ,

)

.

(1) Calcula, directamente y por el teorema de la divergencia, la siguiente integral ,

S

F N dS⋅

∫∫

con-siderando en S la orientación exterior.

(2) Calcula, directamente y por el teorema de Stokes, C

F dC⋅

∫

v

estando C orientada positivamente si se observa desde el punto (0, 0, 2).

EJERCICIO 8. Para cada punto ( , , )x y z ∈\3, sean r su vector de posición y r su distancia al

ori-gen, o sea, r= + +xi yj zk y 2 2 2

.

r = r = x +y +z Calcula, según los valores del número entero ,

n el flujo del campo vectorial rnr a través de la cara exterior de la superficie esférica unidad.

EJERCICIO 9. Sea S la superficie parametrizada por S u v( , )=

(

ucos , (1v −u) cos , senv v

)

, donde

[0,1]

u∈ y v∈[0, ].π₂ (1) Calcula el área de S.

(2) Determina el plano tangente a S en el punto 1 1, , 3 . 4 4 2 P= ⎜⎛_⎜ ⎞⎟_⎟

⎝ ⎠

(3) Calcula el flujo del campo vectorial 2 2 2

( , , ) ( , , )

(4) Sea V el sólido limitado por S y por los planos coordenados. Calcula div .

V

F dxdydz

∫∫∫

EJERCICIO 10. Sea V :=

{

( , , )x y z ∈\3:x2+y2 ≤ ≤z y

}

y considera el campo F x y z( , , )=(0, , 0).y

Calcula la integral div

V

F dxdydz