Problemario de vibraciones mecánicas, I comp. [y] ed. [por] Fernando J. Elizondo Garza; colab. [de] Rolando Fco. Campos Rodríguez... [y otros]

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(1)

Problemario de

VIBRACIONES

MECANICAS I

\

1

\

\

•• M

, /

t

'A3 5 5 7 |1 9 9 1

(2)

A 3 5 5

(3)

. 5 5

l

1020111800

P R O B L E M A R I O DE V I B R A C I O N E S M E C A N I C A S I

C O N T E N I D O 0 4 1 3

Pag.

A - Elasticidad

B - M é t o d o de Newton (Fuerzas) 6

C - M é t o d o de Newton (Momentos) 9

D - M é t o d o d e Energia 1 2

E - Vibración L i b r e con Amortiguamiento-.

p D e c r e m e n t o Logaritmico.

-G - Vibración F o r z a d a (Sinusoide) 18

H.- Vibración F o r z a d a (Desbalance) 2 0

I - T r a n s m i s i b i l i d a d y Excitación p o r la Base 2 2

B i b l i o g r a f i a 2 5

U N I V E R S I D A D AUTONOMA D E NUEVO LEON F A C U L T A D DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

D E P A R T A M E N T O D E DINAMICA

P R O B L E M A R I O D E V I B R A C I O N E S M E C A N I C A S I 2a. Edicíión / E n e r o 1991

^

R e c o p i l a c i ó n / E d i c i ó n : Ing. F e r n a n d o J- E l i z o n d o Garza C o l a b o r a d o r e s : Ing. R o l a n d o Feo. C a m p o s Rodríguez

(4)

E L A S T I C I D A D

1.A S e d e s e a d i s e ñ a r un r e s o r t e con una c o n s t a n t e K=6. 8 6 7 N/m. El a l a m b r e d e a c e r o <G = 8 0 GPa. ) se construirá. el r e s o r t e tiene un d i á m e t r o d= el resorte tuviera 10 espi ras

de la espira 0 ?.

e 1 ás t i c a con el

0.01 m

de que • Si (n) . ¿puál d e b e r á ser el d i á m e t r o

\• - R r|

8 n D

2 - A O b t e n g a la Kea del s i s t e m a m o s t r a d o en la figura.

Ki = 7 . 9 4 3 N/m

K2 = 4 , 9 0 5 N/m

Viga de a c e r o de s e c c i ó n c u a d r a d a de 0 . 0 0 5 m de lado L = 1 m

3 - A e l a s t i c i d a d n e c e s a r i a p a r a la instalación d e un c o m p r e s o r e s de 11.772 N/m ¿ Q u e c o n s t a n t e e l á s t i c a d e b e r á tener c a d a r e s o r t e h e l i c o i d a l si s e m o n t a r a el c o m p r e s o r s o b r e 4 r e s o r t e s c o m o se m u e s t r a en la fia.?.

COMPREOS) R

fOMOCU«<V*SlTA*lO

3 7 7 1 4

4 . A Un motor e s m o n t a d o s o b r e 4 resortes h e l i c o i d a l e s sobre una viaa. Si los r e s o r t e s tienen una c o n s t a n t e individual de

19.620 N/m v la v i g a e s de acero con d i m e n s i o n e s largo de 1.5 m v de sección r e c t a n g u l a r d e O . 2 m d e b a s e V O . 0 5 m de a l t u r a m o n t a d a d o b l e m e n t e e m p o t r a d a . ¿ Cuál s e r á la Keg ?

5 A E n c u e n t r e la keg del si istema m o s t r a d o en la.-fig. si

Ki = K2 = 1 9 . 6 2 0 N/m Ka = K * = 2 4 . 5 2 5 N/m

^/y /y/Zz/Z/z/z/y//

IKI

| K

2

K

3 / \

(5)

G A E n c u e n t r e la Keq riel s i s t e m a m o s t r a d o en la figura. Si los v a l o r e s d e las c o n s t a n t e s e l á s t i c a s individuales son :

Ki = 14. 7 1 5 N/m Kz = 19, 6 2 0 N/m Ka = 1 1-7 7 2 N/m

K * = 13, 7 3 4 N/m

Ks = 15, 6 9 6 N/m

K tí = 6, 8 6 7 N/m

K? = 17, 6 5 8 N/m

i

7 . A Obtenga ]a c o n s t a n t e e l á s t i c a del m u e l l e m o s t r a d o en

la finura - D o n d e :

E = M o d u l o de elasticidad del material (acero) = 2 0 0 GPa. n = Numera d e hojas = 4

b = Ancho de hoja = 0 . 0 9 m

t = E s p e s o r de la hoja = 0.01 m L = D i s t a n c i a e n t r e a p o y o s = 1.2 m

8 E n b t3

V =

MUELLE -y , 3

J

o A un resorte de 2 1 , 5 8 2 N/m s o s t i e n e una masa. Si el r e s o r t e se forta a la mitad v se colocan los d o s r e s o r t e s obtenidos como se ^ t r a . ¿ Culi será la n u e v a c o n s t a n t e elástica e q u i v a l e n t e del

sistema ?

9. A E n c u e n t r e la Keg del sistema. Datos:

Ki = K2 = 4 9 , 0 5 0 N/m Ka = KU = 2 9 . 4 3 0 N/m

(6)

M E T O D O D E N E W T O N

( F U E R Z A S )

<1.8 Un peso de ¿ 1 , 5 8 2 N unido a un resorte lo deforma 0.007874 m. Determine la frecuencia natural.

jy/j////// JéiU/éM

w

2 - B P ^ ^ b e ser unido al resorte del problema anterior para que resulte una frecuencia natural de 1.66 Hertz ?

3 . B Un peso de 4 9 . 0 5 N q u e esta unido a ^ l a ^ a r t e inferior de un resorte cuva parte superior esta fija,

periodo natural de 0.45 seg. Determine natural si un . peso de 2 4 . 5 2 N e s colocado

resortes q u e resulta al cortar el resorte la mitad c o m o se muestra en la figura.

vibra con un el periodo entre los dos

original por

4 . B Un peso W desconocido e s colgado de un resorte de constante elástica desconocida K , teniendo el sistema una frecuencia natural de 1.6 Hz. . Cuando se agrega 9.81 N al peso desconocido W ; la frecuencia natural se reduce a un valor de

1.2783 Hz.. Determine:

a) ' El valor del peso desconocido

b ) El valor de la constante elástica del resorte

» \

5 . B Un sistema formado por una masa que pesa 1,000 N y un sistema d e resortes con una constante equivalente a 100,000 N/m e s puesto a vibrar con ^ las siguientes condiciones iniciales X(t=0)=0.1 m y x(t=0)=0.5 m/seg determine:

a) La frecuencia natural de la vibración. b) Los valores de las constantes A y B. c) La amplitud de la vibración.

6 . B Un sistema m-K con u n a frecuencia natural de 2 0 rad/seg es puesto a vibrar libremente desplazándolo positivamente 0.05 m con respecto a su posición de equilibrio y soltándolo con impulso negativo de 0 . 5 m/seg .

Determines a) X<t=o> b ) v<t=o>

(7)

7.B U n sistema m a s a - r e s o r t e , m-Kl tiene una frecuencia natural

d e f1. Si un s e g u n d o r e s o r t e K 2 e s a g r e g a d o en s e r i e con el primero, la frecuencia natural b a j a la mitad d e fl. Determine K 2 en términos d e

Kl-8. B Un e l e v a d o r que pesa 10,000 N. e s s u s p e n d i d o por un c a b l e

con área de sección transversal d e#0 0 1 m y m ó d u l o de elasticidad

2 0 0 GPa. Si en el p i s o inferior la longitud del c a b l e e s de 3 0 mts. y en el s u p e r i o r 8 mts. ¿ D e c u a n t o a c u a n t o v a r i a r á la frecuencia natural del s i s t e m a ?

Notas:

- C o n s i d é r e s e la masa del c a b l e despreciable.

- Según r e s i s t e n c i a d e m a t e r i a l e s la deformación d e una barra o c a b l e d e b i d o a la carga e s t á t i c a axial es:

W L W = carga

e= Donde: A = Area de sección Transversal.

A E L = Longitud

E . - M ó d u l o d e Elasticidad.

*

M E T O D O D E N E W T O N

C M O M E N T O S )

C U n a barra con p e s o d e s p r e c i a b l e d e longitud 3L soporta dos m a s a s c o n s i d e r a d a s puntuales. La barra se apoya en "A" y es m a n t e n i d a en e q u i l i b r i o por d o s r e s o r t e s de cte. elástica K .

Si el s i s t e m a se d e s p l a z a un p e q u e ñ o ángulo y se suelta ¿ Cuál s e r á su frecuencia d e oscilación "?

2.-C t J n a barra sin p e s o tiene en sus e x t r e m o s masas, esta

P i v o t e a d a en el centro y tiene dos resortes de constante elástica K c o l o c a d o s como se muestra en la figura.

E n c u e n t r e la frecuencia natural del sistema.

(8)

3 - C E n c u e n t r e la frecuencia natural del sistema representado la -f i a u r a si:

i. = 0 . 2 m a = 0 . 1 5 m

m = 490- 5 N-sea /m K = 6 3 7 . 6 5 N/m

Je* = m !

M

I

7 T

4. c E n c u e n t r e la -frecuencia natural del sistema r e p r e s e n t a d o

5 » C Una piara h o m n g é n e a d e lado L ( m ) y u n a masa m

( K a . ) esta s u s p e n d i d a del p u n t o m e d i o de u n o d e s u s lados, c o m o s e m u e s t r a en la •figura. E n c u e n t r e la -frecuencia natural .

5 . C Una viaa indeformable sin masa tiene un

articulado en uno de s u s e x t r e m o s y a p o r t a una masa ( m en el otro. A una distancia (a) del apoyo hay un ^ o r t e ^

¿ C u á l e s la ecuación de la frecuencia natural de la v i b r a r o n

del sistema ?

7 C Un v o l a n t e aue pesa 3 1 0 N e s s o p r t a d o como se muestra en la f ^ . d e j á n d o l o oscilar c o m o un p é n d u l o . Si s e m i d i ó un periodo

oscilación d e 1.22 sea. D e t e r m i n e el m o m e n t o de inercia de masa

(9)

-M E T O D O D E E N E R G I A

1 - D E n c u e n t r e 3a frecuencia natural del sistema representado

la fiq.

2 - D Para á n g u l o s p e q u e ñ o s d e o s c i l a c i ó n , e n c u e n t r e la -frecuencia d e oscilación del sistema mostrado:

3 .D D e t e r m i n e frecuencia natural de, sistema. s u p o n i e n d o que

n o hay deslizamiento.

4.D UN . U N A ™ . 6 1 1 * .

R

^ I C A

M

R

(10)

V I B R A C I O N L I B R E

C O N A M O R T I G U A M I E N T O

amortiguamiento crítico.

1

-3 .E Para calibrar un amortguador U - l o c i d a d del émbolo fue

medida cuando una cierta fuerza le fue a p l i c a d . - ^ ! P - e l

5 N produjo una velocidad constante de .012 m/seg. coeficiente del amortiguador.

4 - E Un sistema en Vibr a c1 ¿, aue pesa , 9 0 . 5 N tiene una i n s t a n t e d P elasticidad equivalente de 1 9 , N / m y

^ r ^ i ^ I m i ^ t o - ^ a ^ r - s c u r r . d o 2 segundos.

b ) El amortiguamiento critico del sistema. c) El amortiguamiento real del sistema Para las condiciones iniciales:

X = O.1 m t=o

X = 0 m/seg

t=o .,.

« " ¿ S Z X R = R R = - S R S R • S . T J T S « - ™ *

amortiguamiento de 14,715 N-seg/m.

Calcular el desplazamiento para t = 0.5 seg si.

X = 0 . 1 5 m t=o

X = 0 m/seg t=o

t ¿si-'ir ¿ssxr, ,„;;

srJSsr.TSü

=« —

-amortiguador que se debe usar ?

7.E Un sistema m-k-c , esta i,nici.almente •en rmpamp. Si es

desplazado 0.1 m por debajo de su ? n U d

repentinamente es soltado, determine su desplazamiento después de

0 . 2 segundos si: K = 24.525 N/m

W = 196-2 N

Para : C = 0.5 C = * C = 1 - 5

o F El barril d e un cañdn Pesa 5,346.45 N y tiene un

r e s o r t e de retroceso con constante elástica de 292,338 N/m . Si el barril recorre 1.22 m en el disparo, determínese:

a ) La velocidad inicial de retroceso del barril.

b ) El coeficiente de un amortiguador que se acoplara al cañón para que la vibración esté en el caso critico.

3 7 7 1 4

(11)

D

E

C

R

E

M

E

N

T

O

L

O

G

A

R

I

T

M

I

C

O

1 F F n un sistema a m o r t i g u a d o "Resorte-Balancín", 3a deformación del resorte d e b i d a a los 8 9 . 1 7 2 N de p e s o del balancín e s de 0 . 0 0 1 2 7 m . C u a n d o el sistema vibra libremente s e observa que la amplitud d e c r e c e d e O.0101 m a 0 . 0 0 2 5 m en 2 0 ciclos.

C a l c ú l e s e el a m o r t i g u a m i e n t o real del sistema.

P p Un sistema v i b r a t o r i o con p e s o de 2 4 . 5 2 5 N tiene pérdidas por fricción viscosa d e tal manera que la razón entre d o s a m p l i t u d e s m á x i m a s c o n s e c u t i v a s d e su vibración e s d e 1.02 . Si la c o n s t a n t e elástica del sistema e s de 1,765.8 N/m, determine:

a) El decremento logarítmico. b ) La razón d e amortiguamiento.

c) F1 a m o r t i g u a m i e n t o real del sistema.

3. p S e g r a f i c ó para un v e h í c u l o la vibración lihre amortiguada y se o b t u v o la s i g u i e n t e gráfica: Determine:

a) El d e c r e m e n t o logarítmico. b ) L a razón d e a m o r t i g u a m i e n t o . c) con

d) Wd

A f Un c u e r p o v i b r a n d o en un medio v i s c o s o tiene un p e r i o d o natural a m o r t i g u a d o de 0 . 2 seg y u n a amplitud máxima inicial d e

a)^Determine el d e c r e m e n t o L o g a r í t m i c o si la amplitud máxima d e s p u é s de 10 c i c l o s e s de 0 . 0 0 0 5 m.

h ) Si n o e x i s t i e r a amortiguamiento. ¿ Cuál s e r í a el período natural ? < Suponga q u e elimina el a m o r t i g u a m i e n t o q u e existía

inicialmente).

K F Un sistema en vibración c u y o p e s o e s d e 98.1 N p o s e e una c o n s t a n t e e l á s t i c a d e 2 9 , 4 3 0 N/m y un c o e f i c i e n t e de a m o r t i g u a m i e n t o d e 117.72 n-seg /m . Calcule:

a) El d e c r e m e n t o logarítmico.

(12)

V I B R A C I O N

F O R Z A D A

( S I N U S O I D E )

1 - G ,,n sistema M - K - C con u n a Wn d e 10Hz e s excitada p o r una

•fuerza a r m ó n i c a de una -frecuencia d e 40Hz por lo a n t e r i o r el

sistama vibrara a una -frecuencia d e Hz.

2 - G Un P e s o d e 120 N s u s p e n d i d o d e un m u e l l e de K = 6 , 0 0 0 N/mes forzado p a r a vibrar p o r u n a fuerza armónica de 2 0 N. Asumiendo un a m o r t i g u a m i e n t o de c = 4.3 N—seg/m.

E n c o n t r a r :

a ) L a frecuencia de resonancia, h) La amplitud d e resonancia,

c ) El ángulo d e fase d e resonancia.

3 . G U n a m á q u i n a q u e pesa 8 8 2 . 9 N e s soportada por resortes con u n a c o n s t a n t e e l á s t i c a total d e 3 9 , 2 4 0 N/m. Si la amplitud d e

vibración en resonancia e s d e 0 . 0 0 1 2 m y la razón de a m o r t i g u a m i e n t o e s 0 - 4 , D e t e r m i n e :

a ) La frecuencia de resonancia.

b) El valor d e la fuerza a r m ó n i c a de excitación.

G Un p e s o e s a c o p l a d o a un resorte cuya c o n s t a n t e elástica e s de 525.61 N/m y a un d i s p o s i t i v o amortiguador viscoso. C u a n d o el peso s e s a c ó de e q u i l i b r i o y se soltó, el p e r í o d o de la vibración se m i d i ó c o m o 1 - 8 seg y los v a l o r e s d e dos m á x i m o s c o n s e c u t i v o s fue d e 0 . 1 0 6 6 m y de 0 . 0 0 5 4 m.

Si u n a fuerza F= 0 . 9 e o s 3t actúa sobre el sistema d e t e r m i n e :

a) L a amplitud d e la vibración.

b) El á n g u l o d e fase d e la vibración.

5 , G Un d i s p o s i t i v o d e una máquina que p e s a 19.62 N vibra en un medio viscoso. C u a n d o el sistema e s e x c i t a d o con una fuerza armónica d e 2 9 . 4 3 N genera una amplitud de resonancia de 0 . 2 0 seg. Determine:

a) El c o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o .

b) El d i a g r a m a vectorial d e f u e r z a s con sus valores.

6 . 0 u n a máquina l ^ O ^ Z ^ u n T

cuva c o n s t a n t e elástica total e s d e ™ máquina v la excitación armónica d e 5 4 . 3 4 N ^ 0 4 9 ^ 7 N-seg/m, c o n s t a n t e de a m o r t i g u a m i e n t o real e s n e 1,

D e t e r m i n e : .

a) La -frecuencia de resonancia del p n r e s D n a n c ia .

ta) L a amplitud de vibración r u a n d o el s i s t e m a esta

7.6 U n a plata-forma pesa 1000 N, e s t a K " l ^ O O O

d e mué 1 les e q u i v a l e n t e a un único r e s o r t e d e E 1

N/m y s e le s o m e t e a una fuerza p e r i ó d i c a d e 5 0 N c o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o e s d¿f 2 W N seg/m

la frecuencia d e resonancia (natural).

La frecuencia (pico) d e la fuerza p e r i ó d i c a cue c o r r e s p o n d e al

m á x i m o valor del factor d e amplificación

f 03 = conjl " 2 C2 1

r> L a amplitud del m o v i m i e n t o real d e la p l a t a f o r m a para cada

(13)

V

I

B

R

A

C

I

O

N

F

O

R

Z

A

D

A

C D E S B A L A N C E )

1.H Si a s i s t e m a M - K — C d e s b a l a n c e a d o v i b r a n d o a una

f r e c u e n c i a r e l a t i v a de co/can = 2. 1-— L e a g r e g a m o s m a s a la v i b r a c i ó n

y la transmisibildad

2.— Le d i s m i n u i m o s la K la v i b r a c i ó n

3.- Le q u i t a m o s m a s a d e tal forma q u e 63/ain = 1 la v i b r a c i ó n y la transmisibi 1idad

2.H Un m o t o r d e 2 4 5 . 2 5 N e s a p o y a d o s o b r e u n a d e l g a d a viga h o r i z o n t a l la d e f o r m a e s t á t i c a m e n t e 0 . 0 0 5 m si el b a l a n c e del m o t o r e q u i v a l e a 0 . 2 9 4 3 N c o l o c a d o s a O.lm del e j e d e rotación y la amplitud d e la v i b r a c i ó n del motor e s d e 0 . 0 0 0 5 m a 4 0 0 R.P.M.. D e t e r m i n e :

a ) La velocidad c r í t i c a del s i s t e m a (resonancia) en R . P . M . . b ) La razón de a m o r t i g u a m i e n t o .

c ) El c o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o real.

3.H Un m o t o r q u e p e s a 1,962 N e s s o p o r t a d o p o r r e s o r t e s de c o n s t a n t e e l á s t i c a total d e 3 , 9 2 4 , 0 0 0 N/m y tiene un p e s o d e d e s b a l a n c e q u e genera una fuerza de e x c i t a c i ó n d e 7 8 4 . 8 N c u a n d o g i r a a 3 0 0 R.P.M. Si la razón de a m o r t i g u a m i e n t o del s i s t e m a es d e 0 . 2 . D e t e r m i n e L a amplitud d e la v i b r a c i ó n del sistema.

4.H El rotor d e un m o t o r d e C.D. g i r a a 1,800 R.P.M.. Dicho

r o t o r p e s a 1 , 9 6 2 N y t i e n e u n a e x c e n t r i c i d a d d e 0.0001 m. Si d e s e a m o s c o l o c a r un p e s o d e b a l a n c e o del lado c o n t r a r i o al d e s b a l a n c e a una d i s t a n c i a de 0 . 2 7 m del e j e d e giro.

¿ Q u e v a l o r d e b e r t e n e r d i c h o p e s o d e b a l a n c e o ?

5.H Una m á q u i n a rotativa que pesa 981 N s e apoya en 4 r e s o r t e s d e c o n s t a n t e e l á s t i c a individual de 9 , 8 1 0 N/m. El rotor de la m á q u i n a t i e n e un d e s b a l a n c e e q u i v a l e n t e a 2 9 . 4 3 N-m . Si la m á q u i n a o p e r a a 2 4 0 R . P . M . . D e t e r m i n e la amplitud de v i b r a c i ó n del s i s t e m a

6 H T e n e m o s una m á q u i n a industrial, que p e s a 4 9 0 5 N y q u e e s

s o p o r t a d a s o b r e r e s o r t e s con una deformación e s t á t i c a de 0 0 m li I ¡ m á q u i n a t i e n e un d e s b a l a n c e d e 2 4 . 5 2 5 N d e p e s o c o l o c a d o a

0.1 m t s del e j e de rotación. D e t e r m i n e : a ) La f r e c u e n c i a natural del s i s t e m a .

b ) La fuerza de e x c i t a c i ó n c u a n d o el s i s t e m a g i r a a 1,200 RPM.

c ) La amplitud de v i b r a c i ó n a 1,200 RPM.

7 H Un m o t o r d e 7 8 4 . 8 N de p e s o e s t a s o p o r t a d o por 4 r e s o r t e s de

r n n s t a n t e e l á s t i c a 4 9 , 0 5 0 N/m c a d a uno.

a ° ¿ A q u e velocidad ¿n RPM trabaja la E q u i n a en r e s o n a n c i a ? b Si el rotor del m o t o r t i e n e un p e s o d e d e s b a l a n c e de 0 2 9 4 N c o l o c a d o a 0 . 1 5 m del e j e d e rotación y gira a u n a velocidad de d o s v e c e s su velocidad critica. D e t e r m i n e la amplitud de v i b r a c i ó n d e regimen p e r m a n e n t e . = C h a l a n d o el

c ) P a r a el inciso a n t e r i o r en q u e zona e s t a r á trabajando

s i s t e m a a n t e r i o r y p o r q u e ?

« H U n a m á q u i n a industrial p e s a 1000 N e s s o p o r t a d a s o b r e

r e s o r t e s con una d e f l e x i ó n e s t á t i c a de 0 . 2 0 m. Si la m á q u i n a

t i e n e un d e s b a l a n c e d e 2 N-m. D e t e r m i n e :

a ) La a m p l i t u d de la v i b r a c i ó n a una velocidad de 1200 RPM .

(14)

TRANSMISIBILIDAD Y EXCITACION POR LA BASE

1.1 Un a p a r a t o d e navegación e s instalado en un avión, d e tal manera que queda s e p a r a d o d e la estructura del avión por medio de a i s l a d o r e s de vibración, los c u a l e s se de-forman 0 . 0 0 2 m bajo el p e s o del aparato. Si la e s t r u c t u r a del avión vibra a al

frecuencia de los m o t o r e s del mismo, que e s 3,000 RPM, c a l c u l e que 7. d e la vibración d e la e s t r u c t u r a se transmitirá al aparato de n a v e g a c i ó n .

2.J Un m o t o r y s u base pesan 2 2 2 , 9 5 1 . 8 7 N . El c o n j u n t o esta s u s t e n t a d o p o r a i s l a d o r e s de vibración con una c o n s t a n t e e l á s t i c a e q u i v a l e n t e de 520,911 N/m y p o r un amortiguador ajustado de tal forma q u e su c o n s t a n t e sea un 2 0 7. del a m o r t i g u a m i e n t o critico. Si el c o n j u n t o e s e x c i t a d o por una fuerza producida por el motor a s u frecuencia de giro, ¿ en que rango d e velocidad del m o t o r la

transmisibi1idad s e r á m e n o r del I X ?

3.1 Un panel d e m e d i d o r e s m o n t a d o s o b r e r e s o r t e s tiene una frecuencia natural de 15 Hz. Dicho panel se montará en un piso que tiene una v i b r a c i ó n de amplitud igual a 0 . 0 0 0 1 5 m y la frecuencia d e 6 0 Hz. Si el f a b r i c a n t e especifica que la vibración m á x i m a en el panel para que e s t e o p e r e c o r r e c t a m e n t e e s de

0.0001 m.

¿ C u m p l i r e m o s la condición dada por el fabricante ?

4..I U n a unidad d e radio d e un avión pesa 117.72 N y d e b e ser aislada d e la vibración d e los m o t o r e s que varía en frecuencia e n t r e 1600 y 2 2 0 0 RPM.

¿ Que deformación e s t á t i c a deben tener los resortes s o b r e los que se debe m o n t a r la unidad para tener un 8 5 7. de a i s l a m i e n t o ?

N O T A : S e diseña para 1600 RPM d e tal manera que si sube la velocidad la Tr d i s m i n u y e m e j o r a n d o la condición del sistema.

5-1 U n a p l a t a f o r m a con m a s a de 1,000 Kgs.y que esta soportada por un c o n j u n t o de m u e l l e s e q u i v a l e n t e a un resorte con c o n s t a n t e e l á s t i c a de 9 8 , 1 0 0 N/m, s e s o m e t e a una fuerza a r m ó n i c a d e 490.5 N d e a m p l i t u d . Si el c o e f i c i e n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o e s d e 1,962 N - s e g / m C a l c u l a r :

a) La transmisibi1idad en resonancia. b ) La fuerza transmitida en resonancia.

6 - 1 Un motor d e 14,715 N de peso e s t a soportada por 4 resortes con una c o n s t a n t e elástica d e 196,200 N/m cada uno y por un amortiguador ajustado de tal manera que su constante ser 12.5 7. del a m o r t i g u a m i e n t o crítico. Si el motor tiene un d e s b a l a n c e de 0 . 2 9 4 N localizado a 0 . 1 2 5 m del eje d e rotación y gira a 1800 RPM e n c u e n t r e :

a) La fuerza transmitida. b) L a transmisibi1idad.

7.1 Una máquina que pesa 981 N y que e s t a soportada por resortes d e c o n s t a n t e e l á s t i c a total d e 196,200 N/m y por amortiguadores de c o e f i c i e n t e 1,373.4 N-seg/m, e s e x c i t a d a armónicamente por una fuerza d e magnitud 4 9 . 0 5 N y frecuencia 15 Hz. Determine :

a) La transmisibilidad. b) L a fuerza transmitida.

8.1 Una unidad d e refrigeración pesa 6 5 0 N, e s t a soportada por 3 m u e l l e s d e rigidez K en N/m cada uno. Si la unidad opera a 5 8 0 RPM. Cuál sera el valor d e la c o n s t a n t e K de los muelles, para que el ÍOV. d e la fuerza de la unidad sea transmitida a la estructura que lo soporta.

9 - 1 Una m á q u i n a e s e x c i t a d a por u n a fuerza o s c i l a n t e producida por la operación misma d e la máquina. L a máquina y la base pesan 2 3 0 0 N y están s u s t e n t a d a s m e d i a n t e un m o n t a j e aislador de v i b r a c i o n e s q u e tiene u n a c o n s t a n t e e l á s t i c a e q u i v a l e n t e d e 5 3 , 0 0 0 N-m y un a m o r t i g u a d o r a j u s t a d o d e manera que su a m o r t i g u a m i e n t o sea un 207. del crítico. Si la frecuencia de la fuerza e s igual a la velocidad d e funcionamiento de la máquina. a) ¿ B a j o que condición d e velocidad en RPM s e transmitirá a la cimentación una fuerza igual a la e x c i t a c i ó n ?

b ) ¿ Bajo que condición d e velocidad sera la amplitud d e la fuerza transmitida menor del 207. d e la amplitud de la fuerza de e x c i t a c i ó n ?

10-1 U n v i b r o m e t r o e s un a p a r a t o

d e s t i n a d o a medir las a m p l i t u d e s d e las v i b r a c i o n e s y c o n s i s t e en esencia, d e un resorte d e lámina u n i d o a u n a c a j a por un e x t r e m o y con una masa m en el otro.

(15)

11.1 El s i s t e m a d e ^ ^ ^ y ^ Ä T r d e u n a -forma muy s i m p l e , p o r ei s i ^ v e

^ T S ì S T i r ^ i S T S l . - r - n c i . l del m o v i m i e n t o a b s o l u t o £

l a m a s a . s i n u s o . d e .

"r r Go : d uCi "y u n rCe ^ , e : f ^ % a , a la a m p l i t u d del m o v x m x e n t o

a b s o l u t o d e

m-IM

12-1 U n P ^ e K o ; e mo i;u e de _ 3 0T N s e a ^ a d o s m ^ l e s

-c r e s t a y v a l l e d e 0 . 0 6 m ) . D e t e r m i n a r :

b', L a S f l i T - f i r ^ ^ a q u e s e e n c u e n t r a s o m e t i d o d i c b o

r e m o l q u e , si s u v e l o c i d a d e s d e 6 0 K m / h r .

LOS m u e l l e s d e un c a m i ó n son c o m p r i m i d o s 0 . 10 m Po r s u

p e s o . E n c o n t r a r : - ,<,_ pc;t.a v i a j a n d o s o b r e una

L ^ r ^ n ^ í " ^ . S o T i r ^ ' c o n L p l i t u d de 0 . 0 3 ^ S l ^ l T ^ T ^ £ v i b r a c i ó n a . 0 K m / b r?

* I n t r o d u c c i ó n a l a s V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s . R o b e r t F. S t e i d e l

E d i t . C . E . C . S . A .

* T e o r í a d e V i b r a c i o n e s . W i l l i a m T h o m p s o n

E d i t . P r e n t i c e H a l l .

* C o n c e p t o s s o b r e V i b r a c i ó n y C H o q u e e n la I n g e n i e r í a C H a r l e s C r e d e

E d i t . H e r r e r o H i l l .

* V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s . S e t o .

S e r i e S c h a u m

E d i t . MC. G r a w H i l l .

* V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s .

R. R o c a Vi la y J u a n L e ó n L. E d i t . L i m u s a

* V i b r a c i o n e s M e c á n i c a s . J. P. D e n H a r t o g

(16)

11.1 El sistema d e ^ ^ ^ y ^ Ä T r de una -forma muy simple, por ei

^ T S ì S T i r ^ i S T S l . - r - n c i . l del m o v i m i e n t o absoluto £

l a masa m sinuso.de.

C brr Go : d uCi "y u n rCe ^ , e : f ^ % a , a la ampiitud del movxmxento

a b s o l u t o d e

m-IM

12-1 Un N apoya ^sobre d o s m u e n e . d e

cresta y v a l l e de 0 . 0 6 m ) . Determinar:

£ L a S f l i T - f i r ^ ^ a q u e s e e n c u e n t r a sometido dicbo

remolque, si su velocidad e s d e 6 0 Km/hr.

^ L o s m u e l l e s d e un camión son c o m p r i m i d o s 0 . 1 0 m Po r su

peso. Encontrar: p=ta viajando sobre una

b e t ^ ^ n ^ ^ i " a p r o x i m a d o a u n seno c o n L p l i t u d de 0 . 0 3

r C u Í n " r adl f a mnpdl t tdu d de l i b r a c i ó n a . 0 K m / b r?

* Introducción a las V i b r a c i o n e s Mecánicas. R o b e r t F. Steidel

Edit. C.E.C.S.A.

* Teoría d e Vibraciones. William T h o m p s o n

Edit. P r e n t i c e Hall.

* C o n c e p t o s s o b r e Vibración y C H o q u e en la Ingeniería C H a r l e s C r e d e

Edit. H e r r e r o Hill.

* Vibraciones Mecánicas. Seto.

S e r i e Schaum

Edit. MC. Graw Hill.

* V i b r a c i o n e s Mecánicas.

R. R o c a Vi la y Juan León L. Edit. L i m u s a

* V i b r a c i o n e s Mecánicas. J. P. Den H a r t o g

(17)

3 - B ciclo

4—B

6 - B

W (peso)

X ( t = 0 )

17.32 N

N/m

5 - B

K

Oin 3 1 . 3 2 Rad/seg

A 0 . 0 1 5 9 m

B 0. 1 m

Amp 0 . 1 O 1 2 m

Z ' Rad/seg - ^ r

5 - C <*>n

4 m

I

/ - 7 1 . 3 0 Rad/seg 3 - C V

(imag. n o v i b r a )

/ 2 K a2+ W1 Rad/seg

4 - C / — y ml

y 6 9 Rad/seg

5 1

6 - C

K_

m

Rad/seg

— 7Z2 1.041 K g - m2

7 — C J c9

/ K R * Rad/seg

j p un i

J M R2+ ( 1 / 2 ) M R2

2 1

/—2 ( K 1+I6K2) ' Rad/seg

2 - D ^ y — ^

/

y- Rad/seg

tn + M i + H a

y

-7=y Rad/seg

- 3 Ï T

/

~~ " T T ~ 9 1 8 Rad/seg „ p cod 11.vi»

(18)

3 — E

C

41- 6 6 6

N - s e g

M

- 3 . 6 8 x 10 *

1 9 8 1 . 0 1

7 9 2 . 4

4 — E Xt = o

C e (amort. C r i t i c o )

C (amort. real )

- 3 . 6 8 x 10 *

1 9 8 1 . 0 1

7 9 2 . 4

N - s e g m N - s e g

m N - s e g

m N - s e g

m

5 - E Xt=0.5 seg 0 . 0 2 7 m

6 — E C 1 0 8 4 . 8 N - s e g

6 — E

m

7 — E X

t=o.2 «*g r C = 0 . 5

- 0 . 0 0 2 5 6 m

X

t=o.2 «*g

C=l — 0 . 0 0 0 7 2 9 m

0 = 1 . 5 — 0 . 0 0 8 6 3 4 m

8 — E Xt=0

C e

2 8 . 2 5 5

2 5 , 2 4 8 . 3 8

m seg N-seg

m

1 - F C 1 7 . 7 3

N - s e g m

0 . 0 1 9 8 0 . 0 0 3 1 5 0 . 4 1 8 7 2 - F <5 ( d e c r e m e n t o log.?

C (raz n d e a m o r t . ) C

0 . 0 1 9 8 0 . 0 0 3 1 5

0 . 4 1 8 7 N - s e g

m

3 — F 6 1 . 2 4

0 . 1 9 3 6 3 . 6 5 3 . 5 9

K 0ir\

tod

1 . 2 4 0 . 1 9 3 6 3 . 6 5 3 . 5 9

R a d / s e g R a d / s e g

4 - F <5

Tr,

0 . 3 9 1

O . 1 9 9 6 s e g

5 - F ó 0 . 6 8 5

5 - F

Xi 1 . 9 8

Xa

3 - 6

4 - G

5 - G

6 - B

7 - G

1 - H

2 - H

o> ( r e s o n a n c i a ) X o ( r e s o n a n c i a ) ( r e s o n a n c i a )

ÍO ( r e s o n a n c i a )

Fo

Xo

co ( r e s o n a n c i a )

X o

( r e s o n a n c i a ) (pico)

Xo( r e s o n a n c i a )

X o( p i c o )

1 .

2 .

3.

-rjr. {velocidad c r i t i c a )

C

C

20.86

3 7 . 6 7 0 4

0.0022

5 8 . 7 6

7 8 0 . 6 7 9

20

0 . 0 0 2 5

9 . 9 9 . 8 0 2 0 . 0 2 5 2 2 0 . 0 2 5 3 5 4

4,

»

F . F

4 2 2 . 9 9 0 . 0 9 8 8

218.828

M

g r a d o s

N-seg

M

R a d / s e g

M

R a d / s e g R a d / s e g

M

M

R P M

N - s e g

M

3 — H Xo

4 . 4 8 x 1 0 5 m

4 — H W (balanceo)

0 . 7 2 6 6 N

5 — H Xo

0 . 0 7 8 3 m

6 — H Gin

Fc Xo

4 4 . 2 7 3 9 5 1 . 6 3 2 . 6 7 6 3 3

N

X 10 tí m

7 — H T]n

X o

4 7 2 . 8 8 7 . 4 9 x 1 0

R P M

"s m

T]n

X o

E L S I S T E M A S E R C S O N A N C I A

(19)

m

8—H Xol

X o 2 0 - 0 0 0 5 7 3 m

1-1 Tr en "/. 5.229

7.

2-1 í*> 215.83

Rad seg

3-1 Xo

si

0.00001

cumple Xo<Xomax m

4-1 A 7.441 X 10~

7 m

5 - 1 Tr (en resonancia ) Ft

5 . 1 4 8

2 5 2 5 . 0 9 i4

6 - 1 Ft Tr

4.5549 0.0341882

N

7 - 1 Tr 0.3338 N

7 - 1

Ft 16.37 N

8 - 1 K 7,403. 5 7

N/m

9 - 1

Y }T R < 0 . 2

2 0 3 . 0 2

524.9

' R.P.M.

R.P.M.

10-1 Yo 0 . 0 0 4 5

m

11-1 Ec. Diferencial m x + k x = k Yo C o s j-Yo

Xo Xo

-4 n oc> m 2 2 « 1 - —

L2 K

12-1 oo (resonancia)

Xo

0 . 2 3 0 4

4.47 x 10"7

Km/Hr

m

13-1 Xo 0 . 0 4 5 7 7

m

C a p i l l a A l f o n s i n a U . A . N . L .

E s t a p u b l i c a c i ó n d e b e r á s e r d e v u e l t a a n t e s d e l a

ú l t i m a f e c h a a b a j o i n d i c a d a .

(20)

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