Hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar en especial cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos y representaban cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan
Introducción
LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES
Descripción del conjunto de números enteros
Figura 1. El trampolín
esos números en la contabilidad y otros contextos, ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. (Profesor en línea, (s.f))
La historia de los números ha sido determinante para la invención de algunos artefactos que utilizan los números enteros como parte de su estructura.
Algunos artefactos en los que se puede ver el uso de los números enteros son los ascensores, los cuales se mueven de manera vertical hacia arriba y hacia abajo. Aumentando hacia arriba los números de los pisos y disminuyendo hacia abajo, y en algunos sótanos o parqueaderos se usan los números enteros negativos para denominar que se encuentran debajo del primer piso.
Otro de estos artefactos |es el termómetro, el cual nos permite medir la temperatura por encima y por debajo de cero, siendo las cantidades por debajo del cero las más frías. 100 120 80 60 40 20 - 40 - 20 0 50 40 -40 30 -30 20 -20 10 -10 0
°F
°C
Figura 3. Termómetro
Determinar las características de los números enteros Resolver operaciones en el conjunto de números enteros
De acuerdo a la animación de la introducción, y a la siguiente imagen, define que es el conjunto de los números enteros y cuáles son sus características.
Objetivos de aprendizaje
Reconocer el conjunto de los números enteros a partir de sus propiedades
Actividad 1
Definición del conjunto de los números enteros y descripción de sus características
Figura 5. Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números enteros
Actividad 2
Reconocimiento de los conjuntos del conjunto de los números enteros Definición del conjunto de los números enteros:
____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ Características:
_________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________
1. Observa el siguiente diagrama del conjunto de los números enteros y luego completa la siguiente frase, para ello usa las palabras que te dan como opciones:
Entre otros, el conjunto de los números enteros contiene el _____________ de los ___________________ • principal
Figura 6. Diagramas de Venn
Actividad 3
Reconociendo el opuesto de un número
Partiendo de tus saberes previos sobre el concepto de número opuesto, realiza el siguiente apareamiento: lee las situaciones de las columnas A y B y luego relaciona cada cifra que aparece en las situaciones de la Columna A, con la cifra que se le opone en la columna B. Para ello, escribe el número de la columna Número situación, hasta la columna Número situación con cifra opuesta que corresponda. Luego escribe en las columnas Cifra, la cifra que representa la misma.
2. Ahora escribe los números que están en el círculo de la izquierda y que pertenecen al conjunto de los números enteros en el círculo de la derecha.
Número
situación Columna A Cifra
Número situación son cifras
opuestas Columna B Cifra
1 Un avión se encuentra a una altura de 250km. Martina ha per-dido una apuesta $250´000.000
2 El polo sur presenta una temperatura de 35°C bajo cero
Un submarino se encuentra a una profundidad de 250km
3
Juan se ha ganado una lotería por $250´000.000
Un gran Volcán Exploto en el año 470 después de Cristo
4 El fílosofo Sócrates nació en el año 470 antes de Cristo
La costa atlántica presenta una
Figura 7. Sopa de números
Actividad 4
Valor absoluto de un número
De acuerdo a tus saberes previos sobre Valor absoluto, resuelve los siguientes ejercicios. Para ello, haz clic en los botones de ejercicio.
1. Encuentra y señala en la sopa de números los valores absolutos de los números listados en la tabla de la izquierda. Mira las instrucciones.
Instrucciones:
Primero, elige el número de la tabla de la izquierda al que le buscarás el valor abso-luto, y coloréalo con el color que desees.
Luego, señala en la tabla de la derecha el valor absoluto, y coloréalo del mismo color que elegiste en la columna de la izquierda. Para señalar los valores absolutos que tengan más de un dígito, debes de colorear cada uno de los dígitos que conforman dicho número, con el mismo color que pintaste el número que elegiste en el primer paso.
Se pueden señalar números con varios dígitos de forma horizontal o vertical (no diagonal).
Sopa de Números
3 -297
6 -34
1
Figura 8. Distancia
2250 km
2250 km
Preguntas:
a. El carro negro va hacia el lado __________ y este se representa con el signo ______ b. El carro amarillo va hacia el lado ___________ y este se representa con el signo _______.
c. ¿Con cuál o cuáles signos puedes representar la distancia a la que se encuentran las ciudades? ¿Por qué?:
____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ 3. Responde las siguientes preguntas:
2. Si dos automóviles parten de un mismo punto cero a dos ciudades en sentido contrario, y cada ciudad está a 2250 km del punto de partida, y asociamos la imagen con la recta numérica, responde las siguientes preguntas:
¿Qué es el valor absoluto de un número?
____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________ ¿Cómo se representa el valor absoluto de un número?
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
Escribe tres ejemplos de valor absoluto:
Como definición de valor absoluto podemos decir:
Si tienes un número negativo, por ejemplo -5, su valor absoluto es su opuesto, es decir:
|-5| = 5, y si tienes un número positivo por ejemplo 8, el valor absoluto del número es el mismo núme-ro positivo, es decir |8| = 8
Figura 9. Recta
Actividad 5
Ubicando números enteros sobre la recta numérica
Ubica el número dado sobre la recta y escribe el antecesor y el sucesor de dicho número señalándolos con A o S, según corresponda.
-5
12
Actividad 6
Ordenando y comparando números enteros
Ubica los números de la siguiente lista hasta el lugar correcto sobre la recta numérica, luego escríbelos de mayor a menor, y de menor a mayor en los recuadros, de tal forma que se cumplan las relaciones planteadas.
Luego escribe algunas conclusiones sobre las relaciones de los números ordenados según los signos < y > y socialízalas en la clase.
-11
+1
-7
-2
+13
-1
+5
+8
-6
-11
es >
< es
es >
< es
es >
< es es >
< es
es >
< es es >
< es
es >
< es
es >
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Realiza las siguientes multiplicaciones con números enteros teniendo en cuenta las leyes de los signos. Copia en el espacio el factor o el producto que corresponda.
a) 4 • 5 • (-20) • 6 = 20 • ____ • 6 = _____ • 6 = ___
b) (-3) • (-4) • (-5) • (-6) • -2 = _____• 30 • (- 2) = _____ • (- 2) = _____
c) 8 • (-6) • (-4) • 5 • (-6) • 3 = (-48) • (-4) • 5 • _____= (-48) • ____ • -18 = (-48) • _____= _____
Ahora completa las frases y responde las preguntas
1. Multiplicar cuatro factores con signos iguales dan resultados ___________.
2. Multiplicar cuatro factores, tres con signos iguales y uno con signo contrario, dan resultados ___________. 3. Multiplicar cinco factores con signos iguales dan resultados _________ o ___________.
4. El producto entre dos números enteros es -1170 y uno de los factores es -26 ¿cuál es el valor del otro factor?
Figura 10. Leyes de los signos
Entonces, ¿cuál es el resultado de multiplicar dos factores con signos iguales o hacerlo con factores de signos contrarios? Socializa tus respuestas en la clase.
Actividad 7
Las leyes de los signos
hora resuelve los siguientes ejercicios:
{35+(54-(-37-35).(-25)+82)}
1. Realizar las operaciones intenas y eliminar signos de agrupación.
{50+[-13]-25+[35-(65)]}
, después{50+[-13]-25+[-30]}
• Cambiar los signos de resultados de las operaciones, si están precedidos del signo menos:
{50-13-25-30}
• Sumar números positivos entre si y negativos entre sí. Efectuar la suma de los dos números enteros resultantes.
-13+(-25)+(-30)=-68 -68+50=-18
Actividad 8
Suma, resta y multiplicación de números enteros
En esta actividad resolveremos sumas, restas y multiplicaciones teniendo en cuenta los signos de agrupación. Para ello resolveremos un ejemplo.
Ejemplo:
{50+[25-38]-25+[35-(45+20)]} =
Para resolverlo seguiremos los siguientes pasos
• Elimina los signos de agrupación efectuando las operaciones de los signos de agrupación más internos, hasta efectuar las operaciones de los más externos.
• Recuerda que si un signo de agrupación esta precedido de un signo menos, esto implica utilizar la ley de los signos.
-{52-[36-58-(24+82)+36]+32+(-42)}
Figura 11. Operaciones con numeros enteros
Ahora observa la animación de la actividad, y compara lo que hiciste con lo que plantea esta. ¿Se cumplen los casos presentados?, socializa tus conclusiones con los compañeros.
Aquí te presentamos un resumen Suma de enteros
Signos de 1er
sumando Operación Signos de 2do sumario Signo del resultado Ejemplo
Positivo (+) (+) Positivo (+) Positivo (+) (se suman los valores absolutos
5+7=+12
de los números)Negativo (-) (+) Negativo (-) Negativo (-) (se suman los valores absolutos
-5+(-7)=-12
de los números)Positivo (+) (+) Negativo (-) Signo del mayor (se restan los valores absolutos
-5+(-7)=-2
de los números)Negativo (-) (+) Positivo (+) Signo del mayor (se restan los valores absolutos
-5+7=12
de los números)Resta:
Recuerda que la resta en los números enteros se puede definir como la suma de un número con el opuesto del sustraendo
En la multiplicación de dos factores: si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo, por ejemplo:
El conjunto de los números enteros
Positivo un negativo
Signos
positivos contrariosSignos negativosSignos
Positivo otro
positivo Negativo un postivo Negativo otro negativo Igual, dan un producto positivo Igual, dan un producto positivo
Al conjunto de los números naturales y
sus opuestos Contiene Puede realizar
operaciones como Tiene características como
Donde factores con signos Donde se pueden restar, de número
Donde todos los sumandos pueden presentar La multiplicación Son infinitos Se pueden representar por medio de
la recta númerica Entre dos
números negativos, el
mayor es el que esté mas
cercano al cero Todos tienen un antecesor y un sucesor
Entre dos números positivos,
el mayor es que esté mas alejado
A partir de los valores que aparecen en las columnas a, b y c, resuelve las operaciones que se indican en las siguientes tres columnas:
Realiza aquí los respectivos desarrollos:
Actividad 1
a b c a+(b + c) b • [c-(a + b)] - [a + b • (- c)]
2 6 3
4 -2 5
-3 3 4
Lee la siguiente situación y después responde:
Un termómetro marca a las 7 a.m., una temperatura de 8°C, y durante el día tiene los siguientes movi-mientos:
• A las 10:00 a.m. la temperatura sube 25°C. • A la 1:00 p.m. baja 17 °C.
• A las 4:00 p.m. el termómetro está marcando 22°C • A las 7:00 p.m. la temperatura baja a 15°C.
A partir de la siguiente situación resuelve:
En un tanque hay 200 L de agua. Si se abre una llave en la parte superior para que deposite 23 litros del líquido por minuto, y al mismo momento se abre otra llave que se encuentra en la parte inferior del depósito para que riegue externamente 14 L de agua por minuto, si se dejan abiertas las dos llaves por 12 minutos
a. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque al cerrar las llaves?
_______ Responde:
• ¿Qué temperatura marca el termómetro a las 10:00 a.m.? ____ • ¿Cuál es la temperatura a la 1:00 p.m.? _____
• ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la 1:00 .pm. y las 4:00 p.m.? ____ • ¿Cuántos grados marca a las 7:00 p.m.? ____
• ¿Qué diferencia hay entre la temperatura de las 7:00 a.m. y las 7:00 p.m.? _____
Actividad 2
Actividad 3
7:00 AM
8.0° C
Lista de figuras
Figura 1. El trampolínFigura 2. El ascensor
Figura 3. Termómetro
Figura 4. Ascensor en edificio
Figura 5. Conjunto de los números enteros
Figura 6. Diagramas de Venn
Figura 7. Sopa de números
Figura 8. Distancia
Figura 9. Recta
Figura 10. Leyes de los signos
Figura 11. Libro
Figura 12. Termómetro
Figura 13. Caneca
Referencias
Hipertextos 7. (2010). Santillana.
C. Boyer. (1987). Historia de la matemática. Alianza Universidad.
Sánchez , L. E., & Restrepo , M. (2011). Matemáticas para pensar 7. Norma.
Profesor en línea (Sf) Números enteros(z) Recuperado de http://www.profesorenlinea.cl/mate