Trabajo y energía

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(1)Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. UNIDAD 10 Trabajo y Energía. 10.1 Introducción El concepto de energía es uno de los más importantes no sólo en la ciencia sino también en la ingeniería. Aunque es relativamente nuevo, lo encontramos arraigado, no sólo en todas las ramas de la ciencia, sino en casi todos los aspectos de nuestra vida cotidiana. La energía es quizá el concepto más conocido por todos, la encontramos en los combustibles que utilizamos para el transporte y la calefacción, en la electricidad para iluminación y funcionamiento de aparatos domésticos y producción de los alimentos que consumimos. Sin embargo, estas ideas no definen claramente la energía, sólo dicen por ejemplo, que esos combustibles son necesarios para realizar un trabajo y que proporcionan algo que se denomina energía. Un concepto asociado con la energía, es el de trabajo.. 10.2 Concepto trabajo Casi todas las cantidades físicas utilizadas hasta ahora, como la velocidad, la aceleración, la fuerza… han tenido el mismo significado en física que en la vida cotidiana. Ahora se presenta una cantidad física cuyo significado para la física es muy diferenta al de la vida cotidiana: el trabajo. En la vida cotidiana, el concepto de trabajo está asociado con esfuerzos musculares o mentales, así por ejemplo, cuesta mucho trabajo: mover un sofá pesado, empujar un carro, levantar una pila de libros desde el suelo hasta un estante, aprenderse una lección, resolver un problema de matemáticas o física, caminar con un maletín al hombro lleno de libros, etc. Sin embargo, en ninguno de estos casos se realiza trabajo mecánico. En Física, el concepto de trabajo tiene un significado muy específico. Para comprenderlo, se deben considerar tres factores básicos: o. Que exista una fuerza aplicada sobre un cuerpo que pueda moverse..

(2) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. o o. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Que la fuerza aplicada este (o tenga una componente) en la dirección del movimiento producido. Que sea capaz de producir un desplazamiento del objeto sobre el cual actúa.. Bajo estas tres condiciones, en Física podemos afirmar que una fuerza aplicada sobre un cuerpo realiza trabajo. Ejemplos: o o o. Levantar un ladrillo hasta una determinada altura. Mover una silla de un lugar a otro. Empujar o arrastrar una mesa.. Es evidente que: o Realizamos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras éste se mueve de un lugar a otro, es decir, sufre un desplazamiento. o. Se efectúa más trabajo, si: o o. La fuerza es mayor, esto es, al jalar más fuerte una silla. El desplazamiento es mayor, esto es, arrastrar la silla una distancia mayor.. En Física, el trabajo describe cualitativamente lo que se logra mediante la acción de una fuerza que hace que un cuerpo se mueva una cierta distancia.. 10.3 Trabajo efectuado por una fuerza constante Consideremos un cuerpo que sufre un desplazamiento en línea recta, debido a la acción de una fuerza constante, figura 10.1.. F. F. F θ. F. r Figura 10.1 Objeto sometido a la acción de una fuerza F constante, la cual lo desplaza una distancia r.. En estas condiciones, el trabajo se define como:. El producto de la magnitud de la fuerza paralela a la dirección del movimiento por la magnitud del desplazamiento.. -2-.

(3) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. W = F// r. W = ( F cos θ )r = F r cos θ. 10.1. La ecuación 10.1 tiene la forma de un producto escalar de dos vectores, visto en el capítulo de r r vectores. Recordemos que dados dos vectores A y B , su producto escalar está definido como:. r r A ⋅ B = AB cosθ Donde el ángulo θ es el que forman los dos vectores entre si. Si tenemos en cuenta esta definición, el trabajo realizado por una fuerza constante, se puede expresar como el producto escalar entre la fuerza aplicada y el desplazamiento, así:. r r W = F ⋅r. 10.2. He aquí un punto fundamental: el trabajo es una cantidad escalar, aunque se calcule usando dos cantidades vectoriales. Si una fuerza constante de 5 N dirigida al Este, actúa sobre un cuerpo que lo desplaza una distancia de 6 metros también hacia el Este, realiza exactamente el mismo trabajo que si la fuerza actuara hacia el Norte y lo desplazara también hacia el Norte.. 10.3.1 Unidades de trabajo En el SI, la unidad de trabajo es el N ⋅ m a la que se asigna el nombre de Joule (J).. 1J = 1N .m. Actividad La siguiente actividad, es una aplicación de la definición de trabajo desde el punto de vista de la Física, comparado con lo que se entiende en la vida cotidiana. Tome el libro de Física y sosténgalo durante unos minutos con la mano estirada. Al cabo de este tiempo, usted tendrá su brazo fatigado y lo llevará muy probablemente a considerar que ha realizado una cierta cantidad de trabajo sobre el libro. Sin embargo, aún cuando usted llega a sentirse cansado, debido al trabajo realizado dentro de su cuerpo para mantener sus músculos tensionados, desde el punto de vista de la definición física, su brazo no realiza trabajo mecánico alguno para mantener el libro en reposo. El brazo estirado ejerció una fuerza sobre el libro hacia arriba (igual a la magnitud del peso del libro) para sostenerlo, pero no lo movió. Una fuerza no realiza trabajo sobre un objeto, si no logra que éste se mueva. Esto se puede observar directamente en la ecuación 10.1, que si d = 0, entonces el trabajo es igual a cero (W = 0). Teniendo en cuenta la ecuación 10.1, podemos evidenciar las siguientes situaciones:. -3-.

(4) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Si θ = 0º.. F. F. r Figura 10.2 La fuerza constante F realiza trabajo positivo, solo cuando está en la dirección del desplazamiento r.. La fuerza aplicada que realiza trabajo, está en la dirección del desplazamiento, figura 10.2. El trabajo realizado es máximo y es positivo, dado que cos0º = 1 y se puede calcular mediante:. W =Fr Si θ = 180º.. Figura 10.3 Efectúa trabajo negativo al bajar la barra, la fuerza aplicada es opuesta a la dirección del desplazamiento.. La fuerza aplicada que realiza trabajo, está en la dirección contraria al desplazamiento, figura 10.3. El trabajo realizado es negativo porque cos180º = –1 y se puede calcular mediante:. W = −F r La respuesta está en la tercera ley de Newton. Veamos la siguiente situación: cuando atrapamos un balón con la mano, figura 10.4a, la mano y el balón se mueven juntos con el mismo desplazamiento, figura 10.4b.. r El balón ejerce una fuerza sobre la mano FP sobre M en la dirección de su desplazamiento, así que el trabajo realizado por el balón sobre la mano es positivo. Sin embargo, por la tercera ley de Newton, r la mano ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el balón FM sobre P figura 10.4c, esta fuerza que detiene el balón actúa en dirección opuesta al desplazamiento del balón, por tanto el trabajo realizado por la mano sobre el balón es negativo.. -4-.

(5) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. El balón efectúa trabajo positivo sobre la mano. La mano efectúa trabajo negativo sobre el balón. FM sobre P c). a). d. b). d. d. FP sobre M Figura 10.4. a) Cuando se atrapa un balón, la mano y el balón tiene el mismo desplazamiento d. b) El balón ejerce una fuerza sobre la mano en la misma dirección del desplazamiento. c) La mano ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el balón en la dirección opuesta al desplazamiento.. Si θ = 90º. Por ejemplo, una persona camina por un pasillo sujetando una pesada bolsa que contiene provisiones, figura 10.5. La bolsa no se mueve aun cuando la persona camina con velocidad constante. Al caminar los músculos gastan energía y se puede cansar, pero como la bolsa no se mueve, su desplazamiento es cero y por tanto el trabajo efectuado es nulo.. F. d. Figura 10.5 Una persona camina horizontalmente llevando una caja. En este caso el trabajo realizado por la fuerza es cero, porque ésta es perpendicular al desplazamiento.. Los brazos de la persona ejercen sobre el paquete, una fuerza hacia arriba igual a su peso, pero ésta es perpendicular al movimiento horizontal de la persona, y por tanto, no tiene nada que ver con el paquete. Por lo que la fuerza hacia arriba no efectúa trabajo.. W = Fd cos θ = Fd cos 90º = 0. -5-.

(6) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. EJEMPLO 10.1 Una persona jala un bloque de madera en las siguientes situaciones: a) Ejerciendo una fuerza de 210 N formando un ángulo de 40º con la horizontal figura 10.6 y desplazando la carretilla una distancia horizontal de 18 metros. ¿Qué trabajo realizo?.. r. b) Ejerciendo una fuerza constante de F = (160 N )iˆ − (40 N ) ˆj y cuyo desplazamiento es de. r d = (14m)iˆ + (11m) ˆj . ¿Cuánto trabajo realizo?.. Solución a) Cálculo del trabajo realizado, caso 1 El trabajo realizado se calcula con la ayuda de la ecuación 10.1.. W = Fd cosθ W = (210 N )(18m) cos 40º W = 2872.8 J. F 40º. Figura 10.6 Un cuerpo sometido a la acción de una fuerza constante, el trabajo. efectuado por dicha fuerza es igual a (Fcosθ)d.. b) Cálculo del trabajo realizado, caso 2. r El trabajo realizado por la fuerza F , se calcula mediante la ecuación 6.2:. r r W = F ⋅d. [. ][. W = (160 N )iˆ − (40 N ) ˆj ⋅ (14m)iˆ + (11m) ˆj. ]. W = (160 N )(14m) + (−40 N )(11m) = 1800 J En los dos ejemplos anteriores sólo hay una fuerza actuando sobre el objeto. Existen muchas situaciones donde hay más de una fuerza actuando sobre el mismo cuerpo. ¿Cómo calcular el trabajo en estos casos?. -6-.

(7) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. 10.4 Trabajo efectuado por varias fuerzas Dado que el trabajo es una cantidad escalar, el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por las fuerzas individuales. Este trabajo total se le denomina trabajo neto.. EJEMPLO 10.2 Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra horizontalmente 20 metros. El peso total del trineo y la leña es de 14700 N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000 N a 37º arriba de la horizontal. Una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento. Calcular el trabajo neto.. Solución Todas las fuerzas son constantes y el desplazamiento es rectilíneo. Debemos dibujar un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el trineo, figura 10.7. El trabajo neto corresponde a la fricción y la componente de la movimiento. La fuerza del peso desplazamiento y el coseno de 90º. suma algebraica de los trabajos efectuados por las fuerzas de fuerza aplicada por el tractor en la dirección horizontal del no realiza trabajo, porque su dirección es perpendicular al es cero.. Wneto = W fr + WTractor y. N FT = 5000 N fr = 3500 N. 37º. F. x. w = 14700N Figura 10.7. Diagrama de cuerpo libre del trineo y su carga, tratados como una. partícula.. Cálculo del trabajo efectuado por la fuerza de fricción W fr = f r d cos180º = (3500 N )(20m)(−1). W fr = −70000 N ⋅ m = −70000 J = −7 ×10 4 J. -7-.

(8) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Cálculo del trabajo efectuado por la fuerza ejercida por el tractor. WT = Fd cos 37 º = (5000 N )(20m)(0.8) WT = 80000 N ⋅ m = 80000 J = 8 × 10 4 J El trabajo neto será:. Wneto = 1× 10 4 J. 10.5 Trabajo y energía cinética La energía es uno de los conceptos más importantes en la Ciencia. Si se utiliza la segunda ley de Newton en la solución de problemas donde las fuerzas que actúan sobre un objeto son complejas, el problema se puede tornar muy difícil para resolverlo. Un planteamiento alternativo que nos permite entender y resolver dichos problemas de movimiento, es relacionar la velocidad de la partícula con su desplazamiento bajo la influencia de alguna fuerza neta externa. Veamos la siguiente situación: Consideremos una partícula (un carro por ejemplo) de masa m que se mueve horizontalemte en línea recta con una velocidad inicial v0. Para acelerar el carro uniformemente a cierta velocidad v, se le debe aplicar una fuerza neta constante F, que sea paralela al movimiento y a lo largo de una distancia r, figura 10.8.. v0. Fneta. Dirección del movimiento. v. r Figura 10.8 Una fuerza neta constante velocidad. v0. hasta una velocidad. r F,. acelera a un automóvil desde una. r r v , a lo largo de una distancia r .. r Calculemos el trabajo efectuado por la fuerza neta F : r r Wtotal = F ⋅ r = Fr cosθ = F r Pero:. F = ma. a=. v 2 − v0 2d. Segunda ley de Newton 2. cos θ = 1. Según la cinemática Por ser θ = 0. -8-.

(9) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. En consecuencia, el trabajo realizado será:. 1 1 2 Wtotal = mv 2 − mv0 2 2 La expresión. 6.3. 1 2 mv se define como la energía cinética de translación de la partícula y se 2. representa con la letra K, esto es:. K≡. 1 2 mv 2. Energía cinética de translación. 6.4. La energía cinética es una cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo: Joules. Si tomamos en cuenta la ecuacio 10.4, la ecuación 10.3 se puede expresar:. Wtotal = K − K 0 = ∆K. Teorema del trabajo y la energía cinética. 6.5. Esta expresión se le conoce con el nombre de teorema de trabajo y la energía cinética también conocido como el principio del trabajo y la energía y relaciona el trabajo neto realizado sobre un objeto con el cambio en su energía cinética traslacional, el cual se puede enunciar así:. El trabajo neto realizado sobre un cuerpo por una fuerza externa es igual al cambio en la energía cinética traslacional del cuerpo. Según lo anterior, un objeto en movimiento puede efectuar un trabajo sobre otro con el cual hace contacto. Ejemplos: o. Un bloque que se deja caer desde cierta altura h, puede enterrar una estaca.. o. Un martillo de demolición efectúa trabajo contra un muro que lo derrumba.. o. Un martillo en movimiento efectúa trabajo sobre el clavo el cual lo entierra.. 10.6 Trabajo y energía potencial gravitacional Ya sabemos que a una partícula se le puede asociar una energía cinética si se encuentra en movimiento y que potencialmente puede realizar trabajo en virtud de la energía asociada. Un clavadista que se lanza desde el trampolín a la piscina, golpea el agua con una energía cinética, ¿de dónde proviene esa energía?. Hay otro enfoque para ver el trabajo y la energía cinética, basado en el concepto energía potencial, que es la energía asociada con la posición respecto a un nivel de referencia La energía potencial se representa por la letra U. Veamos la siguiente situación:. -9-.

(10) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Consideremos un cuerpo de masa m en las cercanías de la superficie terrestre. El cuerpo cae desde. h. una altura 0 con relación al piso, figura 10.9. Queremos saber cuál es el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad para llevarlo desde la posición 1 hasta la posición 2.. 1 Fg. r ho. 2 h. mg. Figura 10.9 El trabajo realizado por la fuerza gravitacional conforme cae la esfera desde una altura d, es igual. mgh0 − mgh .. Este trabajo se determina así:. r r Wg = F ⋅ r = Fg r cos 0º = Fg r = mgr. Wg = mg (h0 − h) = −mg (h − h0 ) Wg = −(mgh − mgh0 ). 6.6. La expresión mgh, representa la energía potencial gravitacional. Se indica con U g. U g = mgh. Energía potencial gravitacional. 6.7. La ecuación 6.6 que representa el trabajo efectuado por la gravedad, se puede expresar así:. Wg = −∆U g. Trabajo efectuado por la fuerza de gravedad. 6.8. Esta expresión significa que el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad, es igual al negativo en la energía potencial gravitacional. Este cambio, depende exclusivamente posiciones inicial y final de la partícula. De otro lado, la energía potencial gravitacional propiedad compartida de un cuerpo y la Tierra. Se la puede considerar como una energía almacena para luego ser utilizada en la realización de un trabajo.. - 10 -. cambio de las es una que se.

(11) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Ejemplos de energía potencial gravitacional o. Cuando un cuerpo cae hacia la Tierra, ésta ejerce sobre él una fuerza de gravedad (peso) en la dirección de su movimiento, la cual efectúa trabajo sobre el cuerpo. La caída de una corriente de agua tiene una energía potencial gravitacional cuando está en la cima, el agua cuando cae gana energía cinética, la cual le permite realizar trabajo, por ejemplo, poniendo a funcionar una rueda Pelton.. o. Cuando un cuerpo está a una altura determinada, tiene energía potencial. Un ladrillo pesado sostenido a cierta altura tiene energía potencial gravitacional, debido a su posición en relación con el suelo, porque si se suelta caerá por acción de la fuerza de gravedad y puede efectuar trabajo enterrando una estaca.. Consideremos otro aspecto, de un cuerpo que se encuentra en la posición más alta A, figura 10.10, y queremos desplazarlo a través de la trayectoria indicada, pasando sucesivamente por las posiciones B, C y de nuevo a la posición A. En la posición A, el objeto tiene una energía potencial gravitacional relativa al suelo.. U g = mgh Para bajarlo al primer escalón se debe realizar un trabajo negativo en contra de la gravedad:. U 1 = − mgd1 .. (Los vectores fuerza y desplazamiento son antiparalelos).. Durante el desplazamiento en la superficie horizontal del escalón, la fuerza de gravedad no realiza trabajo, debido a que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares entre si,. U2 = 0 . d 10 d8. mg. d9. A d1. mg. d7 d2. d6. h d3. d5 d4 C. B Figura 10.10 La fuerza gravitacional, que es conservativa, no realiza trabajo neto sobre el cuerpo al realizar un recorrido a través de un camino cerrado.. Para llevarlo hasta la posición B, nuevamente la fuerza de gravedad realiza trabajo negativo en contra de la gravedad, dado por:. U 3 = − mgd 3 ,. - 11 -.

(12) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. De manera que para esta posición el trabajo total sería:. U AB = U 1 + U 2 + U 3 = − mg (d1 + d 3 ) = −mgh . Durante el recorrido entre B y C el trabajo realizado por la fuerza es cero,. U BC = 0 . Durante el trayecto de ascenso, en los recorridos horizontales la fuerza de gravedad no realiza trabajo,. U6 = U8 = 0 . En los recorridos verticales, la fuerza gravitacional realiza trabajo positivo, los vectores fuerza y desplazamiento son paralelos. En este recorrido el trabajo neto sería:. U BA = U 7 + U 9 = mg (d 7 + d 9 ) = mgh . En estas condiciones, el trabajo neto de todo el recorrido (viaje redondo) será:. Wneto = W AB + WBC + WBA = −mgh + 0 + mgh = 0 Según este resultado, una fuerza que permite efectuar trabajo neto igual a cero a través de una trayectoria cerrada, se denomina fuerza conservativa. La fuerza de gravedad y la fuerza elástica de un resorte, son ejemplos de fuerzas conservativas. El trabajo realizado por esta fuerza, tiene la siguiente característica o. El trabajo realizado sobre una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, es cero. (Una trayectoria cerrada es aquella en la cual los puntos inicial y final coinciden).. 10.7 Conservación de la energía mecánica total Más importante que saber qué es la energía, es entender su comportamiento, es decir, cómo se transforma. Podemos entender mejor casi cualquier proceso o cambio que ocurre en la Naturaleza si lo analizamos en términos de la transformación de la energía de una forma a otra. Las leyes de la conservación son las piedras angulares de la física, tanto teóricamente como en la práctica. La mayor parte de los científicos podrían considerar la conservación de la energía como la más profunda y transcendental de estas importantes leyes. Cuando decimos que algo se conserva, queremos decir, que es constante, o que tiene un valor constante.. 10.7.1 Conservación de la energía mecánica (Sistema conservativo) La idea de una fuerza conservativa (como la fuerza de gravedad), nos permite ampliar el principio del trabajo y la energía para abarcar la energía potencial.. - 12 -.

(13) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. El teorema del trabajo y la energía cinética ecuación 10.5, dice que el trabajo total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio en su energía cinética:. Wtotal = ∆K = K 2 − K1 Si la fuerza de gravedad es la única que actúa, entonces, el trabajo total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio negativo en su energía potencial:. Wtotal = −∆U = U 1 − U 2 Igualando estas dos expresiones, podemos escribir:. ∆K = −∆U. 6.9. Reemplazando, obtenemos:. K 2 − K1 = U 1 − U 2 Que se puede escribir:. K1 + U 1 = K 2 + U 2. 6.10. La suma K + U de las energías cinética y potencial se define como la Energía mecánica total del sistema (E), que se puede definir en términos generales así:. E ≡ K +U. Energía mecánica. 6.11. Esta expresión nos permite escribir lo siguiente:. E1 = K1 + U 1. Es la energía mecánica total en el punto 1. E2 = K 2 + U 2. Es la energía mecánica total en el punto 2. Entonces, la ecuación 10.10 se puede escribir como:. E1 = E2 Esto es, la energía mecánica total E, tiene el mismo valor en el punto 1 que en el punto 2 (siempre que el sistema sea conservativo). En general:. K1 + U 1 = K 2 + U 2. Conservación de la energía mecánica. 6.12. Conservación de la energía mecánica. 6.13. La ecuación 6.9 se puede escribir así:. ∆K + ∆U = 0 Esta expresión nos dice que:. - 13 -.

(14) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. o. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Si hay una disminución en la energía potencial del sistema, entonces, la energía cinética se incrementa en el mismo valor. El sistema se denomina sistema conservativo.. También expresa un principio muy útil, el de conservación de la energía mecánica para fuerzas conservativas: o. Si el sistema es conservativo, la energía mecánica total del sistema tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento. Esto implica que la energía mecánica total no aumenta ni disminuye, permanece siempre constante, es decir se conserva.. 6.7.2 Conservación de la EM (sistema no conservativo) Hemos visto que cuando un sistema es conservativo, la energía mecánica total es constante (se conserva). Sin embargo, si alguna de las fuerzas que actúan sobre el sistema le disipa energía, la fuerza se denomina fuerza no conservativa. La fricción es una de las fuerzas no conservativas más conocida. Veamos el siguiente problema: Describir la pérdida de energía debido a la fuerza fricción cinética, que actúa sobre un bloque que se ecuentra en movimiento sobre una superficie horizontal con fricción, figura 10.11.. v0. Dirección del movimiento. v. fr d Figura 10.11 Un bloque deslizándose hacia la derecha sobre una superficie horizontal, frena ante la presencia de una fuerza de fricción cinética.. La fuerza externa causante de que el bloque experimente una desaceleración, es la fuerza de fricción cinética f r que actúa hacia la izquierda. El trabajo efectuado por esta fuerza de fricción cinética sobre el bloque para disminuir su velocidad es:. W fr = f r d cos180º = − f r d Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética, se tiene:. (. − f r d = K − K 0 = 12 m v 2 − v0. 2. ). Pero la velocidad final es menor que la inicial, dando como resultado una pérdida en la energía cinética, por la presencia de la fuerza de fricción cinética. Esta energía cinética perdida se disipa en calor que se divide entre las superficies en contacto. Cuando hay fuerzas de fricción, el teorema del trabajo y la energía cinética, toma la forma:. - 14 -.

(15) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. − f r d = ∆K. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Trabajo realizado por una fuerza no conservativa. 614. La expresión anterior nos dice que hay pérdida en la energía cinética a través del trabajo realizado por la fuerza no conservativa, esto indica entonces, que la energía mecánica total del sistema no permanece constante. Este tipo de fuerzas de fricción que causan una pérdida en la energía mecánica del sistema se les denominan también fuerzas disipativas. Un sistema que contenga al menos una fuerza disipativa, es un sistema no conservativo. En general, las fuerzas conservativas y las no conservativas realizan trabajo sobre cuando actúan sobre los cuerpos. En estas condiciones, el trabajo total Wtotal se puede expresar como la suma del trabajo efectuado por las fuerzas conservativas WC más el trabajo efectuado por las fuerzas no conservativas WNC :. Wtotal = WC + WNC. 6.15. Del principio del trabajo y la energía, y de la ecuación 6.9 se obtiene:. WNC = ∆K + ∆U. 6.16a. K1 + U1 + WNC = K 2 + U 2 ∆E = ∆K + ∆U. 6.16b 6.16c. Así pues, el trabajo realizado por una fuerza no conservativa que actúa sobre un cuerpo, es igual a la suma de los cambios en la energía cinética y potencial. Si consideramos que el trabjo realizado por las fuerzas no conservativas corresponde a la variación de la energía interna del sistema, la ecuación 6.16a se puede escribir:. ∆K + ∆U + ∆U int = 0. Ley de conservación de la energía. 6.17. La expresión 10.17 representa la ley general de conservación de la energía. En un proceso dado, las energías cinética, potencial y la interna de un sistema pueden cambiar, pero la suma de todos los cambios debe ser siempre igual a cero. Una disminución en una forma de energía se compensa con un aumento en las otras formas, es decir, siempre que la energía es transferida o transformada, no se gana ni se pierde energía. Esta es la ley de conservación de la energía, uno de los principios más importantes de la física, que se puede enunciar así:. En cualquier proceso, la energía nunca puede crearse ni destruirse. La energía puede transformarse de una forma en otra, pero la energía total del sistema aislado siempre es constante. El enunciado anterior se puede ilustrar de la manera siguiente: al estirar una cauchera que contiene una piedra pequeña, hacemos trabajo sobre las bandas elásticas de caucho que la componen, esto conduce a un almacenamiento de energía potencial elástica en las bandas. Cuando soltamos la piedra, la energía potencial almacenada es transferida a la piedra como energía cinética que utiliza para salir disparada e impactar en el blanco que puede ser un poste de una cerca de madera (o un pajarito). La piedra cede esta energía al blanco a través de una fuerza de impacto, efectuando trabajo sobre el objetivo. Es muy probable que este trabajo no coincida con la energía cinética de la. - 15 -.

(16) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. piedra, es decir, el balance de energías no cuadra exactamente, esto se debe a que no se ha considerado la energía en forma de calor proveniente del impacto, tanto la piedra como el blanco deben estar un poco más calientes. ¿Cuánto?. Lo bastante, como para compensar la diferencia de energía. Desde un punto de vista universal, se puede decir que la energía total del universo es constante. Si una parte del universo gana energía, en alguna forma otra parte debe perder una cantidad igual de energía. No se ha encontrado aún ninguna violación a este principio.. Problema de consulta: Realice una consulta detallada de dónde proviene y cómo se almacena la energía en los alimentos que consumimos a diario y de cómo el organismo humano la absorbe para su supervivencia.. 6.8 Energía potencial elástica La fuerza de recuperación de un resorte es una fuerza conservativa, tiene una característica especial que es una variable. Para mantenerlo estirado o comprimido una distancia x más allá de su longitud original, debemos aplicar una fuerza de magnitud F la cual responde a la ley de Hooke:. FR = −kx. Fuerza requerida para estirar un resorte. Consideremos el caso de un sistema masa-resorte. El resorte se puede deformar fácilmente. El bloque se puede mover horizontalmente y está unido al resorte, figura 10.12. x=0. d x0 -F. x -F. F FR Figura 10.12 La fuerza F necesaria para estirar un resorte, es proporcional al alargamiento x. Cuando el resorte se estira, la fuerza recuperadora efectúa trabajo negativo sobre el bloque.. Aplicamos una fuerza gradualmente halando el bloque hacia la derecha para luego soltarlo. ¿Cuánto trabajo efectúa la fuerza recuperadora del resorte que ahora actúa sobre el bloque, para moverlo de una posición x0 hasta una posición x final? Como la fuerza es variable, el trabajo efectuado por la fuerza para llevar el resorte desde una posición inicial x0 hasta una final, se calcula mediante la siguiente expresión:. - 16 -.

(17) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. W = −(U elast − U 0 elast ) = −∆U elast. 6.20. La expresión anterior indica que, el trabajo efectuado por un resorte sobre un agente externo, es igual a la variación negativa de la energía potencial elástica.. Ejemplos de energía potencial elástica o. Cuando se dobla un arco, se debe aplicar una fuerza con los brazos, la cual efectúa un trabajo sobre el arco y de paso almacena una energía potencial elástica. Esta energía almacenada efectúa trabajo sobre la flecha para ponerla en movimiento. Aquí en este ejemplo, la energía almacenada se convierte en energía cinética de translación.. o. En un reloj de péndulo, el muelle del reloj almacena energía potencial elástica, porque cuando una persona le da cuerda, ejerce una fuerza la cual efectúa un trabajo para enrollar el mecanismo. A medida que se desenrolla la cuerda, éste ejerce una fuerza y efectúa un trabajo para mover las manecillas.. 6.9 Diagramas de energía Cuando una partícula se mueve en línea recta bajo la influencia de una fuerza conservativa, podemos entender mejor los posibles movimientos examinando la gráfica de la función de energía potencial U (x) . Consideremos un sistema masa-resorte, en el cual el bloque se encuentra moviéndose hacia el resorte, sobre una superficie horizontal sin fricción, figura 10.13. La energía potencial elástica del resorte, se puede considerar como la energía que almacena cuando se comprime o se estira, más allá de su longitud original. Como no se considera rozamiento la fuerza elástica del resorte es conservativa, entonces el sistema es conservativo y la energía mecánica total se conserva. Antes del choque en el punto A, el bloque tiene energía cinética y el resorte está en equilibrio, por lo que la energía potencial elástica almacenada en él es cero. La energía mecánica sería entonces:. E A = K bloque + 0 EA =. 1 2 mv A 2. Una vez el bloque entra en contacto con el resorte, comienza a comprimirlo. En el punto B, el bloque ha perdido parte de su energía cinética, que se ha transformado en energía potencial elástica del resorte, de manera que la energía total del sistema será:. E B = K bloque + U elastica EB =. 1 1 2 2 mvB + kxB 2 2. - 17 -.

(18) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. vA. x=0. A. E=. 1 mv 2 A 2. E=. 1 mv 2 1 k x 2 B + B 2 2. E=. 1 kx 2 m 2. E=. 1 mv 2 1 k x 2 D + D 2 2. E=. 1 mv 2 1 mv 2 E = A 2 2. vB B xB. vC = 0 C xm. vD D. vD = -vA. xD. E. Figura 10.13 Un bloque se desliza sobre una superficie horizontal sin fricción y choca contra un resorte comprimiéndolo, para luego ser expulsado por el resorte.. La suma de estas dos energías debe ser igual a la energía cinética que tiene el bloque antes de chocar con el resorte, E B = E A . En el punto C, el resorte está totalmente comprimido y el bloque está en reposo. La energía cinética del bloque es ahora cero, debido a que toda su energía fue transferida al resorte quien la almacenó en forma de energía potencial elástica. La energía mecánica total, será:. EC = 0 + U elastica 1 2 EC = kxm 2 Nuevamente, La energía potencial elástica que tiene el resorte en este momento debe ser igual a la energía cinética que tiene el bloque antes de chocar con el resorte EC = E A . En el punto D, el resorte tiene la misma compresión del punto B, por lo que la energía mecánica total será:. ED = EB. - 18 -.

(19) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. 1 1 2 2 E D = mv D + kx D 2 2 La suma de estas dos energías debe ser igual a la energía cinética que tiene el bloque antes de chocar con el resorte, E D = E A . Una vez que el resorte está comprimido en el punto E, la fuerza recuperadora expulsa al bloque empujándolo hacia la izquierda. En la descompresión, el resorte le transfiere al bloque su energía potencial almacenada en energía cinética, tal que en el punto E, el bloque tiene nuevamente la misma energía cinética inicial que tenía antes del choque, E E = E A . La energía mecánica total será:. 1 1 2 2 E D = mv D = mv A 2 2 Durante la compresión y descompresión del resorte, ha ocurrido una transferencia de energía, inicialmente energía cinética en potencial elástica y luego en energía cinética. El sistema no perdió energía por que el sistema es conservativo donde la energía mecánica total del sistema se mantuvo constante. Tanto la energía cinética como la potencial elástica, son funciones cuadráticas, que al graficarlas se obtienen las gráficas representadas en la figura 10.14. U= U K E=U+K. 1 kx 2 2 U K. K K=. 1 mv 2 2. U. -A. 0. A. x. Figura 10.14 Gráficas de las funciones de la energía potencial elástica, energía cinética y la energía mecánica total de un sistema masa-resorte.. Si observamos detenidamente esta figura, podemos extraer la siguiente información: En el punto 0, donde el resorte aún no ha sido comprimido, éste tiene una energía potencial elástica mínima cuyo valor es cero. La energía mecánica del sistema masa-resorte, corresponde a la energía cinética del bloque y su valor es máximo. En el punto A de máxima compresión del resorte, la energía potencial elástica tiene un valor máximo mientras que la energía cinética del bloque tiene ahora un valor mínimo de cero. La energía mecánica total del sistema masa-resorte corresponde a la energía potencia almacenada por el resorte.. - 19 -.

(20) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. A medida que el resorte se comprime, va ganando energía potencial y el bloque pierde energía cinética. En cualquier momento, la suma de la energía almacenada por el resorte y la energía perdida por el bloque es siempre igual a la energía mecánica total del sistema masa-resorte. 6.10 Potencia La definición de trabajo no menciona el tiempo que demora en realizarlo. Veamos los siguientes ejemplos: o o. o. Si levantamos una pesa de 400 N hasta una altura de 50 cm con velocidad constante, realizamos 200 J de trabajo, sea que tardemos un segundo, una hora o un año. Cuando subimos unas escaleras llevando una carga a cuestas efectuamos la misma cantidad de trabajo si la subimos lentamente o corriendo. Entonces, ¿por qué sentimos mas fatiga después de correr escaleras arriba unos pocos segundos que si subimos despacio durante algunos minutos? Imaginemos dos modelos idénticos de un automóvil: uno con un motor económico de cuatro cilindros y el otro con un motor muy costoso de ocho cilindros. A pesar de los diferencias en los motores, los autos tiene la misma masa. Ambos carros suben por una autopista, pero al carro con el motor de ocho cilindros emplea menos tiempo en alcanzar la cima. Ambos han realizado la misma cantidad de trabajo contra la gravedad, pero en diferentes tiempos.. Desde un punto de vista práctico, es interesante conocer no sólo el trabajo realizado sobre un cuerpo sino también la rapidez con la que se efectúa trabajo, esto es la potencia. En la vida cotidiana, “potencia” suele ser sinónimo de “energía” o “fuerza”. En Física utilizamos una definición mucho más precisa: potencia es la rapidez con la que se efectúa trabajo. Se representa por la letra P y su definición matemática es:. P≡. Trabajo realizado Energia transformada ≡ tiempo tiempo. P≡. W t. 6.22. Un motor de gran potencia realiza trabajo con rapidez. o. o o. Un motor de carro que proporciona dos veces más potencia que otro, no produce necesariamente el doble de trabajo, ni avanza con el doble de rapidez que el motor menos potente. Dos veces más potencia significa que el motor puede realizar el doble de trabajo en el mismo intervalo de tiempo o la misma cantidad de trabajo en la mitad del tiempo. Un motor potente puede hacer que un automóvil alcance una cierta rapidez en menos tiempo que un motor menos potente.. - 20 -.

(21) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. 6.10.1 Unidades de potencia En el SI, la unidad de potencia es el Joule por segundo ( J / s ) conocido también como watt ( W ) (en honor al inglés James Watt quien inventó la máquina de vapor).. 1W = 1J / s = 1kg ⋅ m 2 / s 2 El watt es una unidad muy familiar en el ámbito de los aparatos electrodomésticos porque miden la rapidez con que una bombilla o calentador transforma la energía eléctrica en energía luminosa o térmica. Una bombilla de 100 W, convierte 100 J de energía eléctrica en luz y calor cada segundo. En el sistema inglés, se suele expresar la potencia de los motores en caballos de fuerza ( hp ) . Un caballo de fuerza1 se define como:. 1hp = 550 ft ⋅ lb / s 1hp = 746W El kilowatt-hora ( kWh) es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Se define como el trabajo realizado en 1 hora cuando la potencia es de 1 kW, así que:. (. ). 1kW = 10 3 J / s (3600s ) = 3.6 ×10 6 J = 3.6 MJ Es importante reconocer que el kilowatt-hora es una unidad de energía eléctrica no de potencia. Cuando usted paga su recibo de consumo eléctrico a la empresa prestadora de servicio, esta energía es la potencia consumida multiplicada por el tiempo durante el cual se empleo. Por ejemplo, una bombilla de 300 W encendido durante 12 horas, consumirá (0.3kW)(12h) = 3.6 kW-h de energía eléctrica. En mecánica también podemos expresar la potencia en términos de fuerza neta aplicada y de la velocidad.. P=. W Fd = = Fv t t. P = Fv. Potencia mecánica. 1. 6.23. Esta unidad la escogió James Watt por primera vez porque necesitaba una forma de expresar las potencias de sus máquinas de vapor. Experimentalmente encontró que un caballo puede trabajar todo un día a una tasa de 360 ft.pies/s. Para que no lo acusaran de exagerado al vender sus máquinas de vapor, lo multiplicó por 1.5.. - 21 -.

(22) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. EJEMPLOS DE APLICACIÓN. EJEMPLO 10.3 Un bloque de 8 kg de masa resbala hacia abajo sobre un plano inclinado 20º con movimiento uniforme, figura 10.15a. a) ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre el bloque, si la altura del plano es de 1.2 metros? y N. fr. L 20º 20. 20º 20. x. mg b). a). Figura 10.15 a) Un bloque que resbala debajo de un plano inclinado. b) Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 6.2.. Solución Se debe hacer un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre el bloque, figura 10.15b.. Trabajo neto El trabajo neto será la suma algebraica de los trabajos efectuados por la fuerza de fricción cinética y la componente del peso paralela a la dirección del movimiento.. Wneto = W friccion + Wgravedad. Trabajo realizado por la fuerza de fricción W friccion = f rc d cosθ = µ c Nd cosθ El coeficiente de fricción cinético es igual a la tangente del ángulo de inclinación del plano, esto es:. µ c = tan α . La normal es igual a la componente del peso perpendicular al plano, esto es:. - 22 -.

(23) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. N = mg cos α . La distancia d que desciende el bloque se puede calcular según la figura 10.15a:. L cos α. d=. El ángulo θ es el que forma la dirección de la fuerza de rozamiento y la dirección del movimiento que en este caso es de 180º, lo cual implica entonces que: cos18º = – 1. Reemplazando estos valores se obtiene:. W friccion = −mgL tan α. Trabajo realizado por la fuerza de gravedad Wgravedad = Fg d cosθ Fg es la componente del peso paralela a la dirección del movimiento, por lo que cosθ = cos0º = 1. La distancia d se conoce por el caso anterior, reemplazando estos valores se obtiene:. Wgravedad = mgL tan α Fácilmente podemos deducir entonces que el trabajo neto es igual a 0 b) Si el bloque descendiera con aceleración, entonces, la componente del peso en la dirección del movimiento sería mayor que la fuerza de fricción, dado que:. ∑F. x. = ma. mgsenθ − f r = ma f r = m( gsen20º −a ) El trabajo realizado por la fuerza de fricción sería ahora:. W friccion = f r d cosθ = f r d cos180º = − f r d = − m( gsen20º − a) a   W friccion = − mL g tan 20º −  cos 20º  . - 23 -. L cos 20º.

(24) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. EJEMPLO 10.4 Situaciones donde hay trabajo positivo y trabajo nulo La persona de la figura 10.5, debe subir unas escaleras hasta un segundo nivel, figura 10.16. ¿Cuál es el trabajo neto realizado por la fuerza que actúa sobre la caja de provisiones para llevarla hasta el segundo nivel?. Dirección del movimiento. F. mg. h3 d3. h2 d2. h1 d1. Figura 10.16 Una persona camina por un corredor llevando cargado un paquete de provisiones y luego sube por unas escaleras.. El trabajo neto es la suma algebraica de: el trabajo correspondiente al levantamiento de la caja desde el piso hasta la altura del pecho, mas el correspondiente al recorrido del corredor, mas el de la subida del primer escalón, mas el del recorrido del primer escalón, el de la subida del segundo escalón y así sucesivamente hasta llegar a su destino.. 5 F. 1 F. 3 F. F. h3. F. 2. 6 d3. h2. 4 h1. F. d2 h. d1. Figura 10.17 Diagrama de las direcciones de la fuerza aplicada a la caja y la dirección del desplazamiento, tanto en la parte del recorrido horizontal como el avance vertical.. - 24 -.

(25) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. De acuerdo con la figura 6.17, el trabajo neto se puede expresar:. Wneto = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 + W6 En la figura 10.17 es claro notar que los trabajos correspondientes a los recorridos horizontales son iguales a cero, porque la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. Los trabajos correspondientes a los desplazamientos verticales son positivos, debido a que el ángulo entre la fuerza es de 0º, de manera que el trabajo ahora será:. Wneto = W1 + W3 + W5 Wneto = F (h1 + h2 + h3 ) La fuerza aplicada a la caja corresponde a la fuerza del peso y la suma de las alturas corresponde a la altura de las escaleras, finalmente el trabajo neto será:. Wneto = mgh. EJEMPLO 10.5 Calcular el trabajo neto efectuado sobre una mochila de 15 kg que carga un excursionista, el cual trepa por una pendiente de 10 m de altura, figura 10.18a. Asumir que el movimiento del excursionista es uniforme.. Solución El trabajo neto efectuado es igual al trabajo efectuado por el excursionista más el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad:. WNETO = Wexcurs + Wg. 1. Fexc d. θ. Fexc θ. d. θ. mg h = 10m. α a). b). Figura 10.18 a) Representación gráfica del ejemplo 6.3. b) Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre el maletín. - 25 -.

(26) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Trabajo realizado por el excursionista Wexc = Fexc d cosθ. 2. Según la figura 6.18b, la fuerza del excursionista es la de gravedad:. Fexc = mg d cosθ = h Reemplazando en la ecuación 2:. W = mgh Observe que el trabajo depende solamente del cambio de altura y no del ángulo de subida. El mismo trabajo hubiera sido efectuado para elevar la mochila en dirección vertical a la misma altura. Reemplazando los valores del problema, se obtiene:. W = 1470 J. Trabajo efectuado por la fuerza de gravedad De acuerdo con la figura 10.19, el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad se puede expresar:. Wg = Fg d cosθ. 3. θ d. d. α. θ. θ h = 10m. α. Fg. Figura 10.19 Representación gráfica de la fuerza de gravedad y el desplazamiento.. Pero el cosθ , no se conoce, para calcular este valor utilizamos los siguientes recursos: De la figura 10.19, se obtiene:. cosθ =. h d. Despejando h, de la figura 10.19, se obtiene:. - 26 -.

(27) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. θ = 90º + α cosθ = cos(90º + α ) = cos 90º cos α − sen90º senα cosθ = − senα = −. h d. Reemplazando en la ecuación 3, se obtiene:. W = − mgh Teniendo en cuenta los valores numéricos del problema, se obtiene:. W = −1470 J Observe que el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad, no depende del ángulo de inclinación de la pendiente, solamente depende de la altura de la colina. Esto es así debido a que la gravedad trabaja únicamente en dirección vertical. El trabajo neto efectuado sobre la mochila es cero, puesto que la fuerza neta sobre ella es cero.. EJEMPLO 10.6 (conceptual) Trabajo total cuando la velocidad es constante Un electrón se mueve hacia la derecha en línea recta con velocidad constante de 8 ×10 7 m / s . Sobre él actúan fuerzas eléctricas, magnéticas y gravitacionales. Calcular el trabajo total efectuado sobre él durante un desplazamiento de 1 metro.. Solución La velocidad del electrón es constante, por tanto su aceleración es cero y, por la segunda ley de Newton, la fuerza neta es cero. Entonces, el trabajo total realizado por todas las fuerzas debe ser cero. El trabajo de fuerzas individuales tal vez no sea cero, pero eso no es lo que se pregunta.. EJEMPLO 10.7 (conceptual) Un martillo golpea un clavo El teorema del trabajo y la energía cinética nos dice que si se efectúa trabajo positivo W sobre una partícula, su energía cinética aumenta una cantidad K. El principio también es válido para el caso inverso: si se efectúa trabajo negativo – W sobre la partícula, la energía de este disminuye una cantidad K. Es decir, una fuerza que se ejerce sobre un cuerpo, opuesta ala dirección del movimiento de éste, reduce su velocidad y por ende su energía cinética. La fuerza sobre el martillo de la figura 10.20 actúa hacia la izquierda, mientras que el r desplazamiento d es hacia la derecha, el ángulo es de 180º, por tanto el trabajo efectuado sobre el martillo es negativo. - 27 -.

(28) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. W = Fd cosθ = Fdco180º = − Fd En este caso, la energía cinética del martillo disminuye.. -F F. Figura 10.20 Un martillo en movimiento pega contra un clavo y se detiene. El martillo ejerce una fuerza F sobre el clavo; el clavo ejerce una fuerza –F sobre el martillo, según la tercera ley de Newton. El trabajo efectuado sobre el clavo es positivo, el trabajo efectuado sobre el martillo en negativo.. También debemos notar en este ejemplo que, el martillo al desacelerar efectúa trabajo positivo r sobre el clavo: si éste ejerce una fuerza − F sobre el martillo para desacelerarlo. El martillo ejerce r una fuerza F sobre el clavo durante una distancia d, el ángulo es 0º, por tanto el trabajo efectuado sobre el clavo es positivo.. W = Fd cos θ = Fdco 0º = + Fd Así, la disminución de la energía cinética del martillo también es igual al trabajo que puede efectuar el martillo sobre otro objeto.. EJEMPLO 10.8 En el problema del trineo del ejemplo 10.2, vamos a suponer que en un instante la velocidad del trineo es de 2 m/s, queremos saber ¿cuál es la velocidad después de avanzar los 20 metros?. Solución Para este caso usamos el teorema del trabajo y la energía cinética. Utilizamos también el diagrama de cuerpo libre de la figura 10.7 y el resultado del trabajo neto allí obtenido. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, podemos escribir:. (. Wneto = ∆K = 12 mv 2 − 12 mv0 = 12 m v 2 − v0 2. 1 2. (. ). 2. ). m v 2 − v0 = 1× 10 4 J 2. Despejando la velocidad final. - 28 -.

(29) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. v = v0 + 2. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. 2×10 4 J m. Pero el valor de la masa no lo conocemos, para esto usaremos la fórmula del peso:. w = mg ⇒ m = m=. w g. 14700 N 14700kg m / s 2 = = 1500kg 9.8m / s 2 9.8m / s 2. Reemplazando, se obtiene:. v=. (2m / s )2 + 2 × 10. J 2 × 10 4 kg m 2 / s 2 = 4m 2 / s 2 + 1500kg 1500kg 4. v = 4.2m / s. EJEMPLO 10.9 El siguiente ejemplo de la Figura 10.21, ilustra un aspecto muy importante relacionado con la selección del punto de referencia cero. La energía potencial es la energía asociada en virtud de la posición, entonces, la energía potencial en una posición determinada 0, es (U0). La posición o punto de referencia es arbitraria. Por conveniencia y 0 = 0 o h0 = 0 . El valor de la energía potencial en una posición en particular, depende del punto de referencia que se use. No obstante, el cambio de. energía potencial asociada con dos posiciones diferentes es el mismo, sin importar la posición de referencia.. m U2 = mgy. y. U0 = mgy0 =0. y=0 -y. Pozo de energía potencial. U1 = -mgy. Figura 10.21 La selección del punto de referencia. y0. es arbitraria dando lugar a una. energía potencial negativa. En este caso se dice que el objeto está en un pozo de energía potencial.. - 29 -.

(30) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. En la Figura 10.21, si se hubiera tomado el suelo como punto de referencia, entonces la energía U 0 no hubiera sido cero y U2 sería mayor. Observe que la energía potencial puede ser negativa. Cuando un objeto tiene una energía potencial negativa, se dice que está en pozo de energía potencial, lo cual es algo así como estar realmente en un pozo. Se necesita trabajo para elevar el objeto a una posición más elevada en el pozo o sacarlo fuera de él.. EJEMPLO 10.10 (conceptual) Dos veleros para hielo compiten en un lago horizontal congelado sin fricción. Uno de los botes tiene una masa m y el otro 2m, pero sus velas son idénticas por lo que el viento ejerce la misma fuerza constante sobre cada bote. Los dos parten del reposo y la meta está a una distancia d. ¿Cuál bote cruza la meta con la mayor energía cinética?. Solución Si utilizamos la definición de energía cinética, ecuación 10.4 K = 12 mv 2 , la respuesta podría ser obvia. El velero con masa 2m tiene mayor masa y podemos suponer que alcanza mayor energía cinética al llegar a la meta, pero el bote con menos masa cruza la meta con mayor rapidez y podemos suponer que este bote tiene mayor energía cinética. ¿Cómo decidimos?. La forma correcta de enfocar el problema es recordar que la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total necesario para acelerarla desde el reposo. Ambos botes recorren la misma distancia d y la misma fuerza del viento en dirección del movimiento realiza trabajo sobre ellos. Por tanto el trabajo total realizado entre la salida y la meta es el mismo para los dos botes, esto es:. Wtotal = Fd cos 0º = Fd En la meta cada bote tiene una energía cinética igual al trabajo total efectuado sobre él, porque partió del reposo. Así ambos botes tienen la misma energía cinética cuando pasan por la meta. El lector podría pensar que se trata de una pregunta “caprichosa”, pero no es así. Si entiende realmente el significado físico de cantidades como la energía cinética, podrá resolver problemas con mayor rapidez y comprensión.. EJEMPLO 10.11 Una pelota de 0.5 kg, se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. a) ¿Cuál es la variación de la energía cinética ∆K , entre el punto de partida y la posición más alta?, b) Cuál es la variación de la energía potencia gravitatoria ∆U g ?, c) ¿Cuáles son los cambios totales en la energía cinética y la energía potencial cuando regresa al punto de partida?.. Solución. - 30 -.

(31) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. La ilustración gráfica del problema se indica en la figura 10.22 a) Cálculo de la variación de la energía cinética ∆K , entre el punto inicial y de máxima altura La variación de la energía cinética entre dos posiciones diferentes, está determinada por:. ∆K = K − K 0. ∆K = 12 mv 2 − 12 mv0. 2. v=0. hmax. ∆K = ? ∆Ug = ?. vo = 10 m/s. Figura 10.22 Ilustración gráfica del ejemplo 10.11.. Pero la velocidad en la posición más alta es cero ( v = 0) , figura 6.22, entonces:. ∆K = − 12 mv0 = − 12 (05kg )(10m / s ) 2 2. ∆K = −25 J El signo negativo, indica que la pelota pierde energía cinética a medida que se realiza un trabajo negativo sobre ella a causa de la fuerza de gravedad. b) Cálculo de la variación de la energía potencial gravitatoria ∆U g , entre el punto inicial y el de máxima altura. La variación de la energía potencial gravitatoria entre dos posiciones diferentes, está determinada por:. ∆U g = U − U 0 ∆U g = mghmax − 0 Pero la altura máxima no se conoce, sin embargo se puede calcular mediante la siguiente expresión:. - 31 -.

(32) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. 2. hmax =. v0 (10m / s ) 2 = = 5.1m / s 2 g 2(9.8m / s 2 ). Reemplazando este valor se obtiene la variación de la energía potencial gravitatoria:. ∆U g = (0.5kg )(9.8m / s 2 )(5.1m / s ) = 25 J c) Cálculo de los cambios totales en la energía cinética y la energía potencial gravitatoria al regresar a la posición inicial de partida. Cambio total en la energía cinética. ∆K = K − K 0 ∆K = 12 mv 2 − 12 mv0. 2. Cuando la pelota regresa a la posición de partida tiene la misma velocidad con la cual salio, esto es: v = v0 . Como consecuencia de esto, el cambio total en la energía cinética es cero, ∆K = 0 Cambio total en la energía potencial gravitatoria. ∆U g = U − U 0 ∆U g = mgh − mgh0 Cuando la pelota regresa a la posición de partida, h = h0 = 0 , lo cual nos dice que el cambio total en la energía potencial gravitatoria es también cero, ∆U g= 0. EJEMPLO 10.12 Un bloque de 0.25 kg que parte del reposo, es deslizado sobre una superficie horizontal hasta una distancia de 0.5 metros debido a una fuerza constante de 6 N, figura 10.23. Calcular: a) La energía cinética, b) La velocidad final, c) El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento una vez que la fuerza F deja de actuar.. F. d Figura 10.23 Ilustración gráfica del ejemplo 10.12.. Solución. - 32 -.

(33) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. a) En este caso no podemos calcular la energía cinética en forma directa, debemos aplicar el teorema del trabajo y la energía cinética:. W = ∆K = K − K 0 = 12 mv 2 − 12 mv0. 2. 1. Como el bloque parte del reposo, entonces v0 = 0 , por lo tanto:. W = 12 mv 2. 2. Ahora, el trabajo efectuado por la fuerza aplicada sobre el bloque, es:. W = Fd cosθ Según la figura 10.23, el ángulo entre la fuerza aplicada y la dirección del desplazamiento es 0º, entonces cos 0 º = 1 . Al reemplazar se obtiene:. W = Fd = 6 N (0.5m) = 3 J. 3. Esta es la energía que tiene el bloque cuando recorre los 0.5 metros. Al reemplazar este valor en la ecuación 2, se obtiene la velocidad que lleva el bloque en esta posición.. v=. 2K 2 × 3J = = 4.9m / s m 0.25kg. b) En este caso la fuerza que actúa sobre el bloque es la fuerza de rozamiento la cual se encarga de realizar trabajo hasta detenerlo, así que debemos aplicar nuevamente el teorema del trabajo y la energía cinética, teniendo en cuenta que la velocidad inical del bloque es la velocidad final del recorrido anterior, figura 10.24.. vo = 0. v = 4.9 m/s. v=0. F. Figura 10.24 Ilustración gráfica del ejemplo 6.12, parte c).. W = ∆K = K − K 0 = 12 mv 2 − 12 mv0. 2. Como el bloque se detiene, entonces v = 0 , por lo tanto:. W = − 12 mv0 = − 12 (0.25kg )(4.9m / s ) 2 = −3 J 2. El signo negativo, indica se pierde energía debido a la fuerza de fricción que realiza trabajo para detener el bloque.. - 33 -.

(34) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. EJEMPLO 10.13 Un auto que viaja por una carretera horizontal con una velocidad v1 y puede frenar hasta el reposo en una distancia de d, figura 10.25. Si el auto corre al doble de esta velocidad, ¿qué distancia mínima necesitará para el frenado?. (Esta pregunta es típica en ciertos exámenes de tránsito para obtener una licencia de conducción).. Solución La fuerza encargada de frenar el carro debe estar actuando en dirección contraria a la dirección del movimiento, esto hace que el ángulo entre ésta y la dirección del movimiento es de 180º. Lo que implica que cos180º = −1 . El trabajo realizado por esta fuerza debe ser:. W = Fd cosθ = Fd cos180º = − Fd v0. F. v. Dirección del movimiento. d Figura 10.25 Ilustración gráfica par el ejemplo 10.13.. Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene:. W = −mad. 1. Ahora aplicamos el teorema del trabajo y la energía cinética. W = ∆K = K − K 0 = 12 mv 2 − 12 mv0. 2. Pero la velocidad final v = 0. W = − 12 mv0. 2. 2. Igualando las ecuaciones 1 y 2 y despejando d, se obtiene: 2. d=. v0 2a. 3. Esta ecuación representa la distancia de frenado. La aplicamos a cada uno de los casos:. Caso 1 2. v d1 = 10 2a. - 34 -.

(35) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Caso 2 2 v 2  v20 (2v10 ) 2 = = 4 10  2a 2a  2a  d 2 = 4d1. d2 =. El resultado anterior predice que, si se duplica la velocidad, entonces necesitamos una distancia cuatro veces mayor.. Ejercicio: Calcule las distancias para los siguientes casos: a) 120 km/h, b) 80 km/h, c) 50 km/h, d) 40 km/h y e) 20 km/h.. EJEMPLO 10.14 (conceptual) La primera característica de la fuerza, significa que, el trabajo efectuado depende de la posición inicial y final del objeto y no de la trayectoria seguida. La figura 10.26, ilustra un ejemplo, de la fuerza conservativa de la gravedad. El atleta puede moverse del punto 1 al punto 2 siguiendo varios caminos, pero el trabajo realizado por la fuerza conservativa es el mismo para todos los casos.. 2. 1. Figura 10.26. La fuerza gravitacional, que es conservativa, realiza el mismo trabajo sobre el corredor sin importar cual camino escoge.. EJEMPLO 10.15 Un potente ascenso En un evento deportivo, una maratonista de 50 kg de masa sube corriendo las escaleras de una torre que tiene 443 metros de altura. ¿Qué potencia desarrolla si la sube en 15 minutos?. - 35 -.

(36) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Solución Trataremos a la corredora como una partícula de masa m. Recordemos que para levantar un cuerpo que tiene masa m, se requiere efectuar una cantidad de trabajo en contra la gravedad.. W = Fd cosθ = mgh cos 0º = mgh W = (50kg )(9.8m / s 2 )(443m) = 2.17 × 105 J La potencia será:. P=. 2.17 ×10 5 J = 241W 15 × 60 s. Conversión a caballos de fuerza. P = 241W ×. 1hp = 0.323hp 746W. De hecho, la potencia total desarrollada por la corredora será muchas veces más que la calculada, porque ella realmente no es una partícula, sino un conjunto de partes que ejercen fuerzas unas sobre otras y realizan trabajo, como el necesario para inhalar y exhalar; oscilar las piernas y brazos y aumentar la temperatura del cuerpo. Lo que hemos calculado es sólo la parte de su gasto de potencia que invierte en subir la torre.. EJEMPLO 10.16 Un bloque cuya masa es de 3 kg, rueda por un plano inclinado que tiene una altura de 5 metros y un ángulo de 30º, figura 10.27. La fuerza de fricción entre el bloque y la superficie del plano es de 5 N. Mediante métodos de energía, determinar la velocidad que alcanza el bloque cuando está en la posición más baja del plano.. Α. 5m 30º Figura 10.27 Representación gráfica del ejemplo 10.16.. - 36 -. Β.

(37) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Solución Si tenemos en cuenta la fuerza de fricción, entonces el sistema no es conservativo, y la energía mecánica no se conserva. En la posición A, el bloque parte del reposo y tiene una velocidad inicial de cero. Por lo tanto la energía mecánica total en la parte superior, es su energía potencial gravitacional.. E A = K A + U A = mgh. 1. E A = (3kg )(9.8m / s 2 )(5m) = 147 J Cuando el bloque alcanza la posición B, la energía potencial es cero, debido a que h = 0 . Como existe una fuerza de fricción cinética actuando sobre el bloque, el sistema no es conservativo, y la energía mecánica se reduce. En consecuencia podemos escribir:. E B = K B + U B − W fr E B = 12 mv 2 − f r d. 2. Donde d es la longitud del plano inclinado, que se puede calcular así:. d=. 5m = 10m sen30º. 3. Reemplazando este valor en la ecuación 2. 1 (3kg )v 2 E B = (3Kg )v 2 − 5 N (10m) = − 50 J 2 2. 4. En estas condiciones podemos escribir la siguiente condición de conservación de energía mecánica:. E A = EB 147 J =. (3kg )v 2 − 50 J 2. Al despejar la velocidad y realizando los cálculos, se obtiene el siguiente valor:. v = 9m / s. EJEMPLO 10.17 La figura 10.28, se muestran dos bloques conectados entre si por medio de una cuerda que pasa por una polea sin fricción. El bloque de masa m1 descansa sobre una superficie horizontal y está conectado a un resorte de constante de elasticidad k. el sistema se libera desde el reposo cuando el. - 37 -.

(38) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. resorte no está deformado. Si el bloque que cuelga de masa m2 , cae una distancia h antes de quedar en reposo, calcular el coeficiente de fricción cinético entre m1 y la superficie.. d. m1. m2 h. Figura 10.28 Representación gráfica del ejemplo 10.17.. Solución El sistema consiste de dos bloques, el resorte y la Tierra. El sistema, no es conservativo, por lo que la energía mecánica no se conserva. Aplicamos la conseración de energía mecánica, ecuación 10.17c.. ∆E = ∆K + ∆U. 1. El sistema parte del reposo y vuelve al reposo, entonces la variación de la energía cinética es cero.. ∆K = 0. 2. En el sistema, es necesario considerar dos formas de energía potencial: gravitacional y elástica, entonces:. ∆U = ∆U g + ∆U elastica. 3. Al reemplazar las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 1, se obtiene:. ∆E = ∆U g + ∆U elastica. 4. Calculo de la variación de la energía mecánica del bloque m1 Conforme el bloque de masa m2 , desciende una distancia h, el bloque de masa m1 se mueve horizontalmente y avanza también una distancia d igual a h. Este bloque está sometido a una fuerza de fricción y pierde energía. Por lo que la variación de la energía mecánica está determinada por el trabajo realizado de la fuerza no conservativa f r :. ∆E = − f r h = − µ c m1 gh. 5. - 38 -.

(39) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Calculo de la variación de la energía potencial gravitatocional La variación de la energía potencial gravitatocional está asociada sólo con el bloque de masa m2 , así que:. ∆U g = U g. final. −U g. inicial. = −U g. inicial. = − m2 gh. 6. Calculo de la variación de la energía potencial elástica La variación de la energía potencial elástica está asociada con el resorte conectado al bloque m2 , así que:. ∆U elastica = U elast. final. − U elast. inicial. = U elast. final. ∆U elastica = 12 kx 2 = 12 kh 2. 7. Combinando las ecuaciones 4, 5, 6 y 7 y despejando luego el coeficiente cinético de fricción, se obtiene:. µc =. m1 g − 12 kh m2 g. Esta expresión permite calcular el coeficiente cinético de fricción entre un objeto y una superficie.. EJEMPLO 10.18 La figura 10.29, muestra un péndulo formado por una esfera de masa 0.5 kg, está unida a una cuerda delgada de longitud 2 metros. La esfera se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular a) la velocidad de la esfera cuando se encuentra en la posición mas baja, b) la tensión en la cuerda.. Solución La fuerza que realiza trabajo sobre la esfera es la de gravedad. La fuerza de la tensión es siempre perpendicular en todo momento a la trayectoria, por lo que no efectúa trabajo. Como la fuerza gravitacional es conservativa, entonces, la energía mecánica total del sistema se conserva, esto significa que a medida que el péndulo oscila de un extremo a otro hay una transformación continua entre la energía potencial gravitacional y la energía cinética del péndulo. En el instante en que se suelta el péndulo en el punto A, la energía del sistema es totalmente potencial. En el punto B, el péndulo tiene energía cinética pero el sistema ha perdido energía potencial. En el punto C, el sistema ha recuperado su energía potencial inicial y la energía cinética del péndulo de nuevo es cero. a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica del sistema, se obtiene.. - 39 -.

(40) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. En el punto A:. E A = K A + U A = 0 + mgh P. 30º L. T C. D. A h. B mg Figura 10.29 Representación gráfica del ejemplo 10.18.. Cálculo de la altura h: Del triángulo rectángulo ADP:. DP = L cos 30º Entonces:. y = L − L cos 30º = L(1 − cos 30º ) Reemplazando, se obtiene:. E A = mgL(1 − co30º ) En el punto B:. 1 1 E B = K B + U B = mv 2 + 0 = mv 2 2 2 Igualando las dos energías mecánicas:. E A = EB 1 mgL(1 − co30º ) = mv 2 2. - 40 -.

(41) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 10 – Trabajo y Energia. Simplificando y despejando la velocidad:. v = 2 gL(1.c0s30º ) Al reemplazar los valores:. v = 2.29m / s b) Como la fuerza de la tensión no realiza trabajo, su valor no se puede calcular mediante métodos de energía. Se aplica la segunda ley de Newton en la dirección radial, cuando el péndulo pasa por el punto B:. ∑F. r. = Fcentripeta. T − mg =. mv 2 L. Despejando T:.  v2  T = m g +  L  Reemplazando el valor de la velocidad:. T = mg (1 + 2(1 − cos 30º ) ) = mg (3 − 2 cos 30º ) Al reemplazar con los valores, se obtiene el valor de la fuerza de la tensión en el punto B:. T = 6.21N. EJEMPLO 10.19 Plano inclinado con fricción La figura 10.30 muestra una caja de 12 kg que se debe subir a un camión deslizándola por una rampa. Un obrero, sin considerar la fuerza de fricción cinética, estima que puede subir la caja proporcionándole una velocidad de 5 m/s mediante un empujón en la base, pero la fricción no se puede despreciar ya que la caja solamente sube 1.6 metros, se detiene y regresa. a) Suponiendo que la fuerza de fricción cinética que actúa sobre la caja es constante, calcular su magnitud. b) ¿Qué velocidad tiene la caja al volver a la base de la rampa? c) ¿Cuál es la energía mecánica al regresar?. Solución a. La primera parte del movimiento de la caja es desde la base de la rampa, punto 1, hasta donde la caja se detiene instantáneamente, punto 2, figura 10.30a.. - 41 -.

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