Funciones reales Funciones reales de variable real. Función característica. Función polinomial y otras funciones especiales. Funciones periódicas. Funciones impar y par. Función trigonométrica, exponencial, logaritmo y sus respectivas funciones inversas.

Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Mater del Magisterio nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática-Informática

MONOGRAFÍA

FUNCIONES REALES

Funciones reales de variable real. Función Característica. Función

Polinomial y otras funciones especiales. Funciones Periódicas. Funciones

Impar y Par. Función trigonométrica, exponencial, logaritmo y sus

respectivas funciones inversas. Funciones hiperbólicas. Ecuaciones

Polinomiales de 2°, 3° y 4° grado.

Examen de Suficiencia Profesional Resolución N° 0586-2018-D-FAC

Presentada por:

Manuel German Arteaga Sedano

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

ESPECIALIDAD: MATEMÁTICA Lima, Perú

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(3)

DEDICATORIA

(4)

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ... xi

CAPÍTULO I ... 13

NOCIÓN DE FUNCIÓN ... 13

1.1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ... 13

1.2. NOTACIÓN ... 16

1.3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN ... 16

1.3.1. Notación ... 16

1.3.2. Definiciones ... 16

CAPÍTULO II ... 18

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL ... 18

2.1. DEFINICIÓN ... 18

2.2. CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN ... 18

2.3. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN ... 20

2.4. PROPIEDAD ... 21

2.5. DEFINICIONES ... 22

2.5.1. Función par ... 22

2.5.2. Función impar ... 23

CAPÍTULO III ... 25

FUNCIONES ESPECIALES ... 25

3.1. FUNCIÓN CONSTANTE ... 25

3.1.1. Definición ... 25

3.1.2. Representación gráfica ... 25

(5)

3.2. FUNCIÓN SIGNO ... 26

3.2.1. Definición ... 26

3.2.2. Representación gráfica ... 26

3.3. FUNCIÓN LINEAL O AFÍN ... 27

3.3.1. Definición ... 27

3.3.2. Representación gráfica ... 27

3.3.3. Propiedades ... 28

3.4. FUNCIÓN IDENTIDAD ... 29

3.4.1. Definición ... 29

3.4.2. Representación gráfica ... 29

3.4.3. Propiedades ... 30

3.5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO ... 30

3.5.1. Definición ... 30

3.5.2. Representación gráfica ... 31

3.5.3. Propiedades ... 31

3.6. FUNCIÓN CUADRÁTICA ... 32

3.6.1. Definición ... 32

3.6.2. Representación gráfica ... 32

3.6.3. Propiedades ... 32

3.7. FUNCIÓN POTENCIAL ... 36

3.7.1. Definición ... 36

3.7.1.1. Si “n” es par ... 36

3.7.1.2. Representación gráfica... 37

3.7.1.3. PROPIEDADES ... 37

3.7.1.4. Si “n” es impar ... 38

3.7.1.5. Representación gráfica... 38

(6)

3.8. FUNCIÓN IRRACIONAL ... 40

3.8.1. Si “n” es par ... 40

3.8.1.1. Casos particulares ... 40

3.8.1.2. Representación gráfica... 40

3.8.1.3. Propiedades ... 41

3.8.2. Si “n” es impar ... 41

3.8.2.1. Casos particulares ... 41

3.8.2.2. Representación gráfica... 42

3.8.2.3. PROPIEDADES ... 42

3.9. MÁXIMO ENTERO ... 43

3.9.1. Definición ... 43

3.9.2. Representación gráfica ... 43

3.9.3. PROPIEDADES ... 43

3.10. FUNCIÓN EXPONENCIAL ... 44

3.10.1. Definición ... 44

3.10.2. Representación gráfica... 44

3.10.3. Propiedades ... 44

3.11. FUNCIÓN LOGARÍTMICA ... 45

3.11.1. Definición ... 45

3.11.2. Representación gráfica... 45

3.11.3. Propiedades ... 46

3.12. FUNCIÓN CARACTERÍSTICA ... 46

CAPÍTULO IV ... 47

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS, FUNCIONES HIPERBÓLICAS ... 47

(7)

4.1.1. Función periódica ... 47

4.1.2. Funciones trigonométricas inversas ... 47

4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ... 47

4.2.1. Función Seno... 47

4.2.1.1. Regla de correspondencia ... 47

4.2.1.2. Representación gráfica... 48

4.2.1.3. Propiedades ... 48

4.2.2. Función arco seno o función inversa del seno ... 49

4.2.2.1. Regla de correspondencia ... 49

4.2.2.2. Representación gráfica... 49

4.2.2.3. Propiedades ... 49

4.2.3. Función coseno... 50

4.2.3.1. Regla de correspondencia ... 50

4.2.3.2. Representación gráfica... 50

4.2.3.3. Propiedades ... 50

4.2.4. Función arco coseno o función inversa del coseno ... 51

4.2.4.1. Regla de correspondencia ... 51

4.2.4.2. Representación gráfica... 51

4.2.4.3. Propiedades ... 51

4.2.5. Función tangente ... 52

4.2.5.1. Regla de correspondencia ... 52

(8)

4.2.5.3. Propiedades ... 52

4.2.6. Función arco tangente o función inversa de la tangente ... 53

4.2.6.1. Regla de correspondencia ... 53

4.2.6.2. Representación gráfica... 53

4.2.6.3. Propiedades ... 53

4.2.7. Función cotangente... 54

4.2.7.1. Regla de correspondencia ... 54

4.2.7.2. Representación gráfica... 54

4.2.7.3. Propiedades ... 54

4.2.8. Función arco cotangente o función inversa de la cotangente ... 55

4.2.8.1. Regla de correspondencia ... 55

4.2.8.2. Representación gráfica... 55

4.2.8.3. Propiedades ... 55

4.2.9. Función secante ... 56

4.2.9.1. Regla de correspondencia ... 56

4.2.9.2. Representación gráfica... 56

4.2.9.3. Propiedades ... 56

4.2.10. Función arco secante o función inversa de la secante ... 57

4.2.10.1. Regla de correspondencia ... 57

4.2.10.2. Representación gráfica ... 57

4.2.11. Función cosecante ... 58

(9)

4.2.11.2. Representación gráfica ... 58

4.2.11.3. Propiedades ... 59

4.2.12. Función arco cosecante o función inversa de la cosecante ... 59

4.2.12.1. Regla de correspondencia ... 59

4.2.12.2. Representación gráfica ... 59

4.2.12.3. Propiedades ... 60

4.3. FUNCIONES HIPERBÓLICAS ... 60

4.3.1. Seno hiperbólico ... 60

4.3.1.1. Regla de correspondencia ... 60

4.3.1.2. Representación gráfica... 61

4.3.2. Coseno hiperbólico ... 62

4.3.2.1. Regla de correspondencia ... 62

4.3.2.2. Representación gráfica... 62

4.3.3. Tangente hiperbólico ... 63

4.3.4. Cotangente hiperbólico ... 64

4.3.4.1. Regla de correspondencia ... 64

4.3.4.2. Representación gráfica... 64

4.3.5. Secante hiperbólico ... 65

4.3.5.1. Regla de correspondencia ... 65

4.3.5.2. Representación gráfica... 66

4.3.6. Cosecante hiperbólico ... 67

(10)

4.3.6.2. Representación gráfica ... 67

CAPÍTULO V ... 68

ECUACIONES DE 2° GRADO, 3° GRADO Y 4° GRADO ... 68

5.1. ECUACIONES POLINOMIALES DE 2° GRADO ... 68

5.1.1. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas ... 68

5.1.1.1. Ecuaciones cuadráticas sin término lineal 𝒃 = 𝟎 ... 68

5.1.1.2. Ecuaciones cuadráticas sin término independiente (𝒄 = 𝟎) ... 69

5.1.1.3. Ecuaciones cuadráticas completas... 70

5.1.2. Distintos tipos de solución ... 72

5.2. ECUACIONES POLINOMIALES DE 3° GRADO ... 73

5.2.1. Método de Solución de la Ecuación Cúbica ... 73

5.3. ECUACIONES DE CUARTO GRADO ... 76

APLICACIÓN DIDÁCTICA ... 80

SÍNTESIS ... 87

APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS ... 88

Referencias Bibliográficas... 89

(11)

INTRODUCCIÓN

La presente monografía está orientada para explicar el tema de Funciones reales de variable real.

Uno de los más importantes conceptos de la Matemática se refiere a un tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B, llamadas funciones de A en B. Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra, o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un círculo depende de la medida de su radio; si se conoce la medida de la longitud del radio, su área está completamente determinada. Así, se dice que el área de un círculo es una función de la longitud de su radio. (Venero, 2008, pág. 336)

Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". (Funciones matemáticas, 2016)

(12)
(13)

CAPÍTULO I

NOCIÓN DE FUNCIÓN 1.1.DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

En la búsqueda de una definición concreta, y entendible de lo que es una Función se puede encontrar una gran variedad de acuerdo al nivel académico (escolar, pre universitario, universitario, etc.), pero casi todos apuntan a una misma idea. A continuación, se dará a conocer algunas de estas definiciones.

Sea A; un conjunto arbitrario de números reales. Si a todo número 𝑥 ∈ 𝐴se le ha puesto en correspondencia cierto número real bien determinado 𝑓(𝑥), se dice que el conjunto A está

definida una función numérica“f”. El conjunto A se denomina campo de definición y el conjunto 𝐵 = {𝑦 ∈ ℝ / 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 𝜖 𝐴}, conjunto de valores de la función numérica f. La función se

escribe simbólicamente en la forma 𝑓: 𝐴 → 𝐵, o bien 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Sea dado un conjunto de números X y supongamos que se indica cierta regla (ley), designada mediante la regla f, de acuerdo con la cual a cada valor de la magnitud x (variable

independiente) del conjunto X se le pone en correspondencia un valor bien determinado de la magnitud y (variable dependiente). Suele decirse en este caso que viene dada la función y=f(x) con el campo definido X, o bien que viene dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el conjunto X. El conjunto Y de todos los valores que toma en este caso la variable se denomina campo de variación de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).

(14)

no tienen la misma primera componente. Es decir, que a cada x Є A le corresponde uno y sólo un y Є B. A este último se le conoce como la condición de unicidad de una función. Es decir:

Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 𝛬 (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 𝑦 = 𝑧

Simbólicamente

𝑓: 𝐴

𝐵 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛

⟺ ∀

𝑥 ∈ 𝐴, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵

/

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera no vacíos, si a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B, esta correspondencia de elementos se llama función de A en B. Esto es si para cadax Є A, existe un único y Є B, talque (x, y) Є f, entonces f es función.

Un conjunto de pares ordenados (x; y) tomados de A × B (o subconjunto de A × B) se

denomina FUNCIÓN “f” de A en B si y sólo si dos pares distintos NO tienen la misma primera componente.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.

Una función “f” de A en B es una triada (f, A, B), donde f es una relación de A en B, que satisface las siguientes condiciones:

Dom(f) ⊂ A

(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 𝛬 (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⟹ 𝑦 = 𝑧

“f” será una función de A (conjunto de partida) en B (conjunto de llegada) si: “f” es una relación de A en B

Tiene unicidad (relación con un solo elemento) es decir: Si (𝑎; 𝑏) ∈ 𝑓 𝛬 (𝑎; 𝑐) ∈ 𝑓 ⟹ 𝑏 = 𝑐

(15)

Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama función de A en B a aquel conjunto de pares ordenados (x; y), tales que a cada elemento x Є A se le debe corresponder un único elemento del conjunto B.

Una función de un conjunto de a en un conjunto B, es una relación f AxB que satisface la condición:

Si (x, y) Є f Λ (x, y’) Є f, entonces y = y’

De acuerdo a las definiciones indicadas en la introducción podemos ver una gran variedad, pero en todos ellos lo común es que una función es un conjunto de pares ordenados bajo ciertas condiciones, y en base a esto la conclusión sobre la definición de una función es la siguiente:

“f” es una función de A en B

“f” es una relación de A en B donde para un x Є A,

Ị y Є B / (x; y) Є f.

Donde

(16)

No son funciones

1.2.NOTACIÓN

Una función “f” de A en B se puede representar de la siguiente manera:

:  

f A B ó A B

f

1.3.DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

1.3.1. Notación

El dominio de una función f se puede denotar como: Dom (f), Domf, Df, Df. El rango de una función f se puede denotar como: Ran (f), Ranf, Rf, Rf. 1.3.2. Definiciones

Dada una función: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 / 𝑦 = 𝑓(𝑥), se define:

𝐷𝑜𝑚𝑓 = {𝑥 є 𝐴 / (𝑥; 𝑦) є 𝑓} y 𝑅𝑎𝑛𝑓 = {𝑦 є 𝐵 / (𝑥; 𝑦) є 𝑓}

Además

  

Domf A Ranf B

Ejemplo 1 Dada la función:

f = {(1; 4), (2; 3), (3; 0), (4; 1), (5; 2), (6; 2)} Donde

(17)

Ejemplo 2

(18)

CAPÍTULO II

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

2.1. DEFINICIÓN

Sea la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵.

La función f será una función real de variable real si y sólo si 𝐴 ⊆ ℝ 𝛬 𝐵 ⊆ ℝ Es decir:

Dom (f) ⊆ A ⊆ IR Ran (f) ⊆B ⊆ IR

Pero cuando se indica solamente la regla de correspondencia, se debe asumir que aquella función es de variable real y que su dominio es aquel conjunto de números reales para los cuales está definida la regla de correspondencia; es decir, aquel conjunto de valores reales para los cuales es posible obtener también un valor real a partir de la regla de correspondencia. Al

dominio obtenido de esta manera se le llama DOMINIO IMPLICÍTO o DOMINIO MAXIMAL.

2.2. CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Ejemplo 1

Halle el dominio de la función: f(x) = x - 4

Resolución

(19)

𝑓(𝑥) será real si: x – 4 ≥ 0 x ≥ 4 Por lo tanto, Domf = [4; +∞⟩

Ejemplo 2

Halle el rango de la función real g(x) = 3x2+1; x є ⟨-5; 3]

Resolución

Partiendo del dominio

x є ⟨-5; 3] ⟹ -5 < x ≤ 3 ⟹ 0 ≤ x2 ≤ 25 ⟹ 0 ≤ 3x2 ≤ 75 ⟹ 1 ≤ 3x2+1 ≤ 76  1 ≤ g(x) ≤ 76 ∴ el Ran = [1; 76]

Ejemplo 3

Dada la siguiente función 𝑓 tal que:

𝑓(𝑥) = {2x − 2; x ∈− 2; 1 > √𝑥 − 5; 𝑥 ≥ 5

Halle su dominio y rango.

Resolución

Cálculo del dominio

Como x є [-2; 1⟩ v x ≥ 5, entonces:

x є [-2; 1⟩ v x є [5; +∞ ⟩ ∴ el Dom (f) = [-2; 1⟩ U [5; +∞⟩ Cálculo del rango

Sea f (x) = 2x - 2 1 Sea f (x) = x - 5 2 Por lo tanto

(20)

-6 ≤ 2x-2 < 0 x - 5 0 Ranf = [-6;+∞⟩ -6 ≤ f1(x) < 0 f2(x) ≥ 0

Ranf1 = [-6; 0⟩ Ranf2 = [0; +∞⟩

2.3. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Si f es una función real de variable real, entonces la gráfica de f, es el conjunto de pares ordenados de “f” considerados como un conjunto de puntos de ℝ2 denotado como "𝐺𝑟(𝑓)”.

Simbólicamente

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ, definimos

𝐺𝑟(𝑓) = { (𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑥

𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓(𝑥) }

Ejemplo 1

Graficar la función f = {(1; 2), (2; 0), (3; 5), (4; 4), (5; 6)} Resolución

Ubicando los pares ordenados de la función en el plano cartesiano, tenemos:

Ejemplo 2

(21)

Resolución

En este caso, como x є ⟨-3; 4], su dominio tiene infinitos números reales, por lo que sé recomienda tabular, y se encuentra algunos puntos de paso de la gráfica que al final se unirán, entonces realizando la tabulación, tenemos:

Representándolos en el plano cartesiano

2.4. PROPIEDAD

Una gráfica en IR2, represen la gráfica de una función, si toda recta paralela al eje Y corta a la gráfica a lo más en un punto.

(22)

2.5. DEFINICIONES

2.5.1. Función par

Una función “f” es par cuando cumple las siguientes condiciones: Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓)

(−𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓),

𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓)

f (-x) = f(x) Ejemplo1

Compruebe si la función f(x) = 6x2 + 4, de Df = IR, es par. Como x Є

IR

- xЄ

IR

(23)

Ejemplo 2

Averigüe si la función f(x)=|x| + 3x, Df = IR, es par. Como x Є

IR

 - xЄ

IR

f (-x) = |-x|4 + 3(-x) = |x|4 - 3x f (-x) ≠ f(x). ∴ la función NO es PAR. Nota

La característica de esta función, es que su gráfica es simétrica, con respecto al eje Y.

.

2.5.2. Función impar

Una función “f” es impar, cuando cumple las siguientes condiciones: Si: 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓)

(−𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓),

𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓)

f(-x) = -f(x) Ejemplo 1

(24)

Si x Є⟨

-4; 4

⟩ -x Є⟨

-4; 4

f(-x) = 2(-x)3 + 4(-x) = -2x3 - 4x = -(2x3 + 4x) = -f(x) f(-x) = -f(x) Por lo tanto, la función es IMPAR.

Ejemplo 2

Averigüe si la función h(x) = 12

x ,

es impar,

si x

Є IR -

{

0

}

.

Si x Є

IR

-

x Є

IR

h (-x) = 12

(-x) = 2 1

x = h(x)  h (-x) ≠ -h(x).

Por lo tanto, la función no es impar. Nota

(25)

CAPÍTULO III

FUNCIONES ESPECIALES 3.1. FUNCIÓN CONSTANTE

3.1.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ/ 𝑦 = 𝑐, “𝑐” 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒}.

También se puede definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑐; 𝑐 ∈ ℝ

3.1.2. Representación gráfica

Se puede graficar la función tabulando algunos valores, como, por ejemplo:

3.1.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩ Rango (f) = {c}

Su gráfica es una recta paralela al eje X.

(26)

La función constante cumple lo siguiente: - Es acotada.

- No toma un valor máximo ni mínimo. - Es función par.

- Es monótona en todo su dominio. 3.2. FUNCIÓN SIGNO

3.2.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ / 𝑦 = 𝑆𝑔𝑛(𝑥)}.

También se puede definir, como una función cuya regla de correspondencia es: f(𝑥) = 𝑆𝑔𝑛(𝑥). Donde:

𝑆𝑔𝑛(𝑥) = {

1; 𝑥 > 0 0; 𝑥 = 0 −1; 𝑥 < 0

3.2.2. Representación gráfica

Se puede graficar la función tabulando algunos valores, como, por ejemplo:

(27)

Rango (f) = {-1; 0; 1}

Su gráfica es la unión de 3 funciones constantes. La función es acotada.

El valor máximo de la función es “y = 1” y su mínimo es “y = -1”. Es una función impar.

La función es monótona (no decreciente).

El punto (0; 0) es solamente el único punto de intersección de los ejes X e Y.

3.3. FUNCIÓN LINEAL O AFÍN

3.3.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ / 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 0}.

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde 𝑎 ≠ 0

3.3.2. Representación gráfica

(28)

3.3.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩ Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩

Su gráfica es una recta diagonal que corta al eje Y en “b” y al eje X en “–b/a”. Los puntos (-b/a; 0) y (0; b) son los únicos puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

La pendiente de la recta es “a”. Si 0º< β < 90º, entonces, a > 0. Si 90º< β < 180º, entonces, a < 0. La función no es acotada.

La función no toma ni un valor máximo, ni tampoco mínimo. La función no es par ni impar.

(29)

EJEMPLOS

1. Grafique la función f(x) = 2x+6 2. Grafique la función f(x) = -3x+8 Resolución Resolución

Será suficiente con conocer los puntos Como en el ejemplo anterior (-b/a; 0) y (0; b). Se hallará (-b/a; 0) y (0; b). En este caso a=2 y b=6. En este caso a=-3 y b=8. Donde los pares serán: (-3; 0) y (0; 6). Teniendo: (8/3; 0) y (0; 8) Por lo tanto, su gráfica será: Por lo tanto su gráfica será:

3.4. FUNCIÓN IDENTIDAD

3.4.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ× ℝ / 𝑦 = 𝑥}.

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑥. 3.4.2. Representación gráfica

(30)

3.4.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩ Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩

Su gráfica es una recta diagonal que pasa por el origen (0; 0).

El ángulo que se forma con la gráfica de la función y el eje X es 45º, por lo cual su pendiente es 1.

Las componentes de sus pares ordenados son iguales (y = x). La función no es acotada.

La función no toma un valor máximo, ni tampoco mínimo. La función es impar.

La función es creciente en todo su dominio. 3.5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

3.5.1. Definición

(31)

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: f(x) = |x|. Donde:

     IxI =

x; x > 0 0; x = 0 -x; x < 0

3.5.2. Representación gráfica

Para tener una idea de la forma que tiene la gráfica de la función se puede tabular algunos valores de la función.

3.5.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩ Rango (f) = [0; +∞⟩

El punto (0; 0) es el único punto de intersección con los ejes X e Y. El ángulo que se forma con la gráfica y el eje X es 45º.

La función está acotada inferiormente porque f(x) ≥0. El valor mínimo es “y = 0”.

Es una función par.

(32)

La función es decreciente en el intervalo ⟨-∞; 0]. 3.6. FUNCIÓN CUADRÁTICA

3.6.1. Definición

f = {(x; y)Є IRxIR / y = ax2+bx+c Λ a≠0}.

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax2+bx+c; a≠0.

3.6.2. Representación gráfica

Su gráfica es una curva que se le denomina “parábola” donde:

3.6.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩

El punto (0; c) es el único punto que corta al eje Y.

Toda función cuadrática f(x) = ax2+bx+c; a ≠ 0, se puede completar cuadrados reduciéndose a la forma f(x) = a(x-h)2+k, donde:

(33)

La función será par si b = 0. Si a > 0

Rango (f) = [k; +∞⟩.

La función está acotada inferiormente porque f(x) ≥ k. La función toma un valor mínimo y = k, cuando x = h. La función es creciente en el intervalo [h; +∞⟩. La función es decreciente en el intervalo ⟨-∞; h].

Si a < 0

Rango (f) = ⟨-∞; k].

La función está acotada superiormente porque f(x) ≤ k. La función toma un valor máximo y = k, cuando x = h. La función es creciente en el intervalo ⟨-∞; h]. La función es decreciente en el intervalo [ℎ; +∞⟩.

Ahora, sea la discriminante como ∆=b2- 4ac, además, x1 y x2 son las raíces de la función f(x) = ax2+bx+c, donde {a; b; c} ⊂IR, entonces tenemos:

(34)

>  

  1 21 2

Si 0 x , x IR x x

Donde su gráfica podría ser:

Caso II

   1 212

Si 0 x , x IR x x

Donde su gráfica podría ser:

Caso III

< 

  1 2

Si 0 x , x IR

(35)

OBSERVACIÓN

Para tener un gráfico aproximado de una función cuadrática será suficiente con conocer la concavidad de la parábola, la coordenada del vértice “(h; k)” y el punto de corte con el eje Y “(0; c)”.

EJEMPLO

1. Esboce la función f(x) = x2-4x+7 Resolución

La función es cóncava hacia arriba, porque a=1>0

(36)

2. Bosqueje la función g(x) = -x2-2x+8

Resolución La función es cóncava hacia abajo, porque a=-1<0 Completando cuadrados en la función

g(x) = -x2-2x+8 = -(x2+2x+1-1) +8= -(x-1)2+1+8 = -(x+1)2+9. Donde su vértice será: (-1; 9), pero también se puede utilizar las raíces de la función para el bosquejo, en este ejemplo son: x1=-4, x2=2, porque a más puntos conocidos, mejor será el gráfico.

El punto de corte con el eje “Y” será (0; 8). Gráficamente se tiene:

3.7. FUNCIÓN POTENCIAL Se divide en 2 tipos y son: 3.7.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ / 𝑦 = 𝑥𝑛; 𝑛 𝑍+}.

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛; 𝑛 𝑍+. Su gráfica y propiedades dependerán del valor de “n”.

3.7.1.1. Si “n” es par

(37)

f1(x) = x2; f2(x) = x4; f3(x) = x6; ...

3.7.1.2. Representación gráfica

Para tener una idea de la forma que tiene la gráfica de la función, se puede tabular algunos valores de la función. Donde su gráfica puede ser uno de los siguientes:

3.7.1.3. PROPIEDADES

Dominio (f) = ⟨-∞;+∞⟩ Rango (f) = [0;+∞⟩

El único punto de intersección con los ejes x e y es el punto (0; 0). La función está acotada inferior mente porque f(x) ≥0.

(38)

Es una función par.

La función en el intervalo [0; +∞⟩, es creciente. La función en el intervalo ⟨−∞; 0], es decreciente.

Los puntos (0; 0), (1; 1) y (-1; 1) son los únicos puntos en común de las gráficas de la forma 𝑦 = 𝑥𝑛, donde “n” es par. Es decir, cuando se evalúa en 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1, las tres funciones tendrán la misma imagen.

Cuando x Є ⟨-1; 1⟩, se cumple que: x2 > x4 > x6.

Es por eso que, la gráfica de la función x2 está sobre x4. Además, la gráfica de la función x4 está sobre la gráfica x6.

Cuando 𝑥 ∈ ⟨−∞; −1⟩⋃⟨1; +∞⟩, se cumple que: x2 < x4 < x6.

Es por eso que la gráfica de la función x6 está sobre x4. Además, la gráfica de la función x4 está sobre la gráfica de x2.

3.7.1.4. Si “n” es impar

Ejemplo

f1(x) = x1; f2(x) = x3; f3(x) = x5; ...

3.7.1.5. Representación gráfica

(39)

3.7.1.6. PROPIEDADES

Dominio (f) = ⟨-∞;+∞⟩ Rango (f) = ⟨-∞;+∞⟩

El único punto de intersección con los ejes x e y es el punto (0; 0). No es acotada la función.

No toma ningún valor máximo ni tampoco mínimo, la función. Es una función impar.

(40)

Los puntos (0; 0), (1; 1) y (-1;-1) son los únicos puntos en común de las gráficas de la forma 𝑦 = 𝑥𝑛, donde “n” es impar. Es decir, cuando se evalúa en x=0 v x=1 v x=-1, las tres funciones

tendrán la misma imagen.

Cuando 𝑥 ∈ ⟨−∞; −1⟩ ∪ ⟨0; 1⟩, se cumple que: x> x3 > x5.

Es por eso que la gráfica de la función x está sobre x3. Además, la gráfica de la función x3 está sobre la gráfica x5.

Cuando x

є

⟨-1; 0⟩U⟨1; +∞ ⟩, se cumple que: x< x3 < x5.

Es por eso que la gráfica de la función x5 está sobre x3. Además, la gráfica de la función x3 está sobre la gráfica de x.

3.8. FUNCIÓN IRRACIONAL

 

 + n

f(x) = x ; n Z - 1 . Su gráfica y propiedades dependerán del valor de “n”.

3.8.1. Si “n” es par

3.8.1.1. Casos particulares

1

f (x) = x ; 4 2

f (x) = x ; 6 3

f (x) = x ;

(41)

3.8.1.3. Propiedades

Dominio (f) = [0; +∞⟩. Rango (f) = [0; +∞⟩

El único punto de intersección, donde corta es el punto (0; 0) con los ejes de coordenadas. Está acotada inferior porque f(x) ≥0.

La función toma su valor mínimo y=0, cuando, x=0. La función no es par ni tampoco impar.

La función es monótona (creciente).

Los puntos (1; 1) y (0; 0) son los únicos puntos en común de las gráficas de la forma 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛 , donde “n” es par. Es decir, cuando se evalúa en x=1 v x=0, las dos funciones tendrán la misma imagen.

Cuando x

є

⟨0; 1⟩, se cumple que: 4√𝑥 > √𝑥

Es por eso que la gráfica de la función √𝑥4 está sobre la gráfica de √𝑥 . Cuando x

є

⟨1;+∞⟩, se cumple que: 4√𝑥 < √𝑥

Es por eso que la gráfica de la función √𝑥 está sobre la gráfica de √𝑥4 . 3.8.2. Si “n” es impar

3.8.2.1. Casos particulares

3 1

f (x) = x ; 5 2

f (x) = x ; 7 3

(42)

3.8.2.2. Representación gráfica

3.8.2.3. PROPIEDADES

Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩. Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩.

El único punto de corte de los ejes de coordenadas es el punto (0; 0). No es acotada.

No toma un valor máximo ni un valor mínimo. Es impar.

Es monótona (creciente).

Los puntos (1; 1) y (-1;-1) son los únicos puntos en común de las gráficas de la forma n

f(x) = x , donde “n” es impar. Es decir, cuando se evalúa en x=1 v x=-1, las dos funciones tendrán la misma imagen.

Cuando x

є

⟨-∞;-1 ⟩U⟨0; 1⟩, se cumple que: 5√𝑥 > √𝑥3

(43)

Es por eso que la gráfica de la función 3√𝑥está sobre la gráfica de √x5

3.9. MÁXIMO ENTERO

3.9.1. Definición

f = {(x; y)Є IRxIR / y =

x

⟧}

.

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) =

𝑥

. Donde

𝑥

= 𝑛

𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1, 𝑛

є 𝑍.

3.9.2. Representación gráfica

Tabulando con intervalos convenientes.

3.9.3. PROPIEDADES Dominio (f) = ⟨-∞; +∞⟩. Rango (f) = Z.

(44)

Los puntos de la forma (0; m), donde 0 ≤ m < 1, serán puntos que cortan los ejes de coordenadas.

La función: No es acotada.

No toma un valor máximo, ni tampoco un valor mínimo. No es par ni tampoco impar.

Es monótona (creciente).

3.10. FUNCIÓN EXPONENCIAL

3.10.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ / 𝑦 = 𝑎𝑥 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ≠ 1}

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ; 𝑎 ∈ ℝ+ 𝑎 ≠ 1

3.10.2. Representación gráfica

(45)

Rango (f) = ⟨0; +∞⟩.

El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 1). La función:

Está acotada inferiormente porque y >0.

No toma un valor máximo, ni tampoco mínimo. No es par, ni tampoco impar.

Si a > 1

La función es creciente en todo su dominio. Entonces: 𝑥1 < 𝑥2 ⟺ 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2, Si 0 < a < 1

La función es decreciente en todo su dominio. Entonces: 𝑥1 < 𝑥2 ⟺ 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2

3.11. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

3.11.1. Definición

𝑓 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ × ℝ / 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 𝛬 𝑏 ∈ ℝ+ 𝑏 ≠ 1}

También lo podemos definir, como una función cuya regla de correspondencia es: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 𝛬 𝑏 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ≠ 1

(46)

3.11.3. Propiedades Dominio (f) = ⟨0; +∞⟩. Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩.

El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 1). . La función:

No es acotada.

No toma un valor máximo, ni tampoco mínimo. No es par, ni tampoco impar.

Si a > 1

La función es creciente en todo su dominio. Entonces:

a a

log

log

 

1 2 1 2

x x x x

Si 0 < a < 1

La función es decreciente en todo su dominio. Entonces:

a a

log

log

 

1 2 1 2

x x x x

3.12. FUNCIÓN CARACTERÍSTICA

𝑓(𝑥) = {1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐴 0, 𝑠𝑖 𝑥 ∉ 𝐴

(47)

CAPÍTULO IV

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS, FUNCIONES HIPERBÓLICAS 4.1 DEFINICIONES

4.1.1. Función periódica

Una función f es periódica cuando cumple las siguientes condiciones: 1. Si

xЄ Dom (f) existe un número T ≠ 0 tal que (x+T) Є Dom (f) 2. f(x+T) = f(x)

Al menor número positivo de T se le llama PERIODO MÍNIMO O PERIODO PRINCIPAL de la función f.

Las funciones trigonométricas se caracterizan porque todas ellas son periódicas, pero varia en su periodo principal.

4.1.2. Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas son periódicas, lo que implica que NO SON INYECTIVAS en todo su dominio, pero restringiendo sus dominios pueden ser INYECTIVAS; y por lo tanto, tendrán INVERSA, y así tenemos las siguientes funciones trigonométricas, con sus respetivas inversas.

4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

4.2.1. Función Seno

4.2.1.1. Regla de correspondencia

(48)

4.2.1.2. Representación gráfica

4.2.1.3. Propiedades

Dominio (f) = ⟨-∞;+∞⟩. Rango (f) = [-1; 1]. La función es acotada

La función toma su valor mínimo y=-1 para cadax = -k π+ 2π , donde 

2 k k Z

La función toma su valor máximo y= 1 para cada

 n

π

x = - + 2π , donde

2 n n Z

Su periodo principal es 2π. La función:

Es impar.

No es monótona en todo su dominio, pero Es creciente en cada intervalo. [−𝜋

2+ 2𝜋𝑘; 𝜋

2+ 2𝜋𝑘 ], donde 𝑘 ∈ ℤ Es decreciente en cada intervalo [−𝜋

2+ 2𝜋𝑘; 3𝜋

2 + 2𝜋𝑘 ], donde 𝑘 ∈ ℤ

(49)

4.2.2. Función arco seno o función inversa del seno

4.2.2.1. Regla de correspondencia

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥)

4.2.2.2. Representación gráfica

Partiendo de la gráfica del Sen(x), la gráfica de la función Arcsen(x) es:

4.2.2.3. Propiedades

Dominio (f) =

1;1 .

Rango (f) = .

 

π π - ;

2 2

La función es monótona.

La función toma su valor mínimo 𝑦 = −𝜋

2 , para 𝑥 = −1 La función toma su valor máximo 𝑦 =𝜋

2 , para 𝑥 = 1 No es periódica.

Es impar.

(50)

El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 0).

4.2.3. Función coseno

4.2.3.1. Regla de correspondencia

f(x) = Cos(x)

4.2.3.2. Representación gráfica

4.2.3.3. Propiedades

Dominio (f) = ⟨-∞;+∞⟩. Rango (f) = [-1; 1]. La función es acotada

La función toma su valor mínimo y=-1 para cadax =k π + 2π , dondek kZ La función toma su valor máximo y= 1 para cada

 n

x = 2π , donden n Z

Su periodo principal es 2π. La función es par.

La función no es monótona en todo su domino, pero,

(51)

El único punto de intersección es el punto (0; 1), con el eje Y, además los puntos de la forma: (𝜋

2+ 𝜋𝑘; 0), donde 𝑘 ∈ ℤ, serán puntos de intersección con el eje X. 4.2.4. Función arco coseno o función inversa del coseno

4.2.4.1. Regla de correspondencia

f(x) = Arccos(x) = Cos*(x)

4.2.4.2. Representación gráfica

Partiendo de la gráfica del Cos(x), la gráfica de la función Arccos(x) es:

4.2.4.3. Propiedades

Su dominio es [−1; 1] Su rango es [0; 𝜋] La función es acotada.

(52)

La función no es impar ni par.

La función es monótona (decreciente).

Los puntos de intersección con los ejes de coordenadas son: (0;𝜋

2)y (1; 0). 4.2.5. Función tangente

4.2.5.1. Regla de correspondencia

𝑓(𝑥) = 𝑇𝑔(𝑥)

4.2.5.2. Representación gráfica

4.2.5.3. Propiedades

Dominio (f ) =  

 

π

kZ ( 2k +1)

x∈ R - , donde

2 .

Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩. La función:

No es acotada Es impar.

(53)

No es monótona en todo su dominio, pero,

Es creciente en cada intervalo en cada intervalo < 𝑘 −𝜋 2; 𝜋𝑘 +

𝜋

2 >, donde 𝑘 ∈ ℤ. Su periodo principal es π.

El único punto intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 0), además los puntos de la forma: (𝜋𝑘; 0), donde 𝑘 ∈ ℤ , serán puntos de intersección con el eje X.

4.2.6. Función arco tangente o función inversa de la tangente

4.2.6.1. Regla de correspondencia

f(x) = Arctg(x) = Tg*(x)

4.2.6.2. Representación gráfica

Partiendo de la gráfica del Tan(x), la gráfica de la función Arctg(x) es:

4.2.6.3. Propiedades

Su dominio es - ;+  .

Su rango es -π π; . 2 2

(54)

La función no toma un mínimo ni máximo. La función no es periódica.

La función es impar.

La función es monótona (creciente).

El punto (0; 0) es el único punto de intersección con los ejes de coordenadas. 4.2.7. Función cotangente

4.2.7.1. Regla de correspondencia

f(x) = Cot(x)

4.2.7.2. Representación gráfica

4.2.7.3. Propiedades

Dominio (f) = x∈ IR -

 

πk , donde kZ. Rango (f) = ⟨-∞; +∞⟩.

(55)

No toma un valor máximo ni tampoco un mínimo valor. Su periodo principal es π.

La función es impar.

La función no es monótona en todo su dominio pero,

Es decreciente en cada intervalo en cada intervalo πk; π(k +1) donde, kZ.

Los puntos de la forma: 

 

π

+πk;0 donde

2 , kZ, serán puntos de intersección con el eje X.

4.2.8. Función arco cotangente o función inversa de la cotangente

4.2.8.1. Regla de correspondencia

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 𝐶𝑡𝑔∗(𝑥)

4.2.8.2. Representación gráfica

Partiendo de la gráfica del Ctg(x), la gráfica de la función Arcctg(x) es:

4.2.8.3. Propiedades

(56)

La función cumple que: Es acotada.

No toma un mínimo ni máximo. No es periódica.

No es impar ni par.

Es monótona (decreciente).

El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0;𝜋

2)es el único punto de intersección con los ejes de coordenadas.

4.2.9. Función secante

4.2.9.1. Regla de correspondencia

f(x) = Sec(x)

4.2.9.2. Representación gráfica

4.2.9.3. Propiedades

Dominio (f) =  

 

π

kZ ( 2k +1)

x∈ R - , donde

(57)

Rango (f) = ⟨-∞; -1] U [1; +∞⟩. La función no es acotada La función:

No toma un valor máximo, ni tampoco un valor mínimo. Su periodo principal es 2π.

Es par.

No es monótona.

La grafica no corta en ningún punto a los ejes de coordenadas. 4.2.10. Función arco secante o función inversa de la secante

4.2.10.1. Regla de correspondencia

f(x) = Arcsec(x) = Sec*(x)

4.2.10.2. Representación gráfica

Partiendo de la gráfica del Sec(x), la gráfica de la función Arcsec(x) es:

4.2.10.3. Propiedades

(58)

Rango (f) =  ; ; 

 

π π

0 π

2 2

La función cumple que: Es acotada.

Toma su valor mínimo 𝑦 = 0, para 𝑥 = 1 Toma su valor máximo para 𝑦 = 𝜋 ∧ 𝑥 = −1 No es periódica.

No es impar ni par. No es monótona.

El único punto de intersección con los ejes de coordenadas. punto (1;0) es el único punto de 4.2.11. Función cosecante

4.2.11.1. Regla de correspondencia

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑠𝑐(𝑥)

(59)

4.2.11.3. Propiedades

Dominio (f) = x∈ IR -

 

πk , donde kZ. Rango (f) = ⟨-∞;-1] U [1;+∞⟩.

La función: No es acotada

No toma un valor máximo ni tampoco un mínimo valor. Su periodo principal es 2π.

Es impar. No es monótona.

La gráfica no corta en ningún punto a los ejes de coordenadas. 4.2.12. Función arco cosecante o función inversa de la cosecante

4.2.12.1. Regla de correspondencia

f(x) = Arccsc(x) = Csc*(x)

4.2.12.2. Representación gráfica

(60)

4.2.12.3. Propiedades

Dominio (f) = ; 1

 

1; Rango (𝑓) = −𝜋

2; 0 >< 0; 𝜋 2

La función cumple que:

Está acotada inferior y superiormente. Toma su valor mínimo 𝑦 = −𝜋

2, para 𝑥 = −1 Toma su valor máximo 𝑦 =𝜋

2, para 𝑥 = 1 No es periódica.

Es impar.

No es monótona.

No tiene puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

4.3. FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo.

4.3.1. Seno hiperbólico

4.3.1.1. Regla de correspondencia

x -x

e - e Senh(x) =

(61)

4.3.1.2. Representación gráfica

Donde:

a) Dominio(𝑓) = ⟨−∞; +∞⟩. b) Rango(𝑓) = ⟨−∞; +∞⟩. c) La función cumple que - Es acotada.

- No toma un máximo, ni valor mínimo. - No es periódica.

- Es impar.

- Es monótona (creciente).

(62)

4.3.2. Coseno hiperbólico

4.3.2.1. Regla de correspondencia

x -x

e + e Cosh(x) =

2 ; e=2,718281828459…

4.3.2.2. Representación gráfica

Donde:

a) Dominio(𝑓) = ⟨−∞; +∞⟩. b) Rango(𝑓) = [1; +∞⟩. c) La función cumple que:

- Es acotada inferiormente, porque 𝑓(𝑥) ≥ 1. - Toma su mínimo valor 𝑦 = 1, cuando 𝑥 = 0. - No es periódica.

- Es par.

(63)

- Es decreciente en el intervalo −∞; 0 - Es creciente en el intervalo 0; +∞

- El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 1) 4.3.3. Tangente hiperbólico

4.3.3.1. Regla de correspondencia

x -x

e - e

Tgh(x) = xe + e-x ; e=2,718281828459…

4.3.3.2. Representación gráfica

Donde:

(64)

c) La función cumple que es acotada. - No toma un máximo, ni mínimo valor. - No es periódica.

- Es impar.

- Es monótona (creciente).

h) El único punto de intersección con los ejes de coordenadas es el punto (0; 0). 4.3.4. Cotangente hiperbólico

4.3.4.1. Regla de correspondencia

x -x

e + e

Ctgh(x) = x -x

e - e ; e=2,718281828459…

(65)

Donde:

a) 𝐷𝑜𝑚𝑛𝑖𝑜(𝑓) = ℝ − {0}

b) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑓) =    ; 1 1;+ c) La función no es acotada.

d) La función no toma un máximo valor ni mínimo valor. e) La función no es periódica.

f) La función es impar. g) La función no es monótona.

h) La gráfica no tiene puntos de intersección con los ejes de coordenadas 4.3.5. Secante hiperbólico

4.3.5.1. Regla de correspondencia

Sec(x) = x 2 -x

(66)

4.3.5.2. Representación gráfica

Donde:

a) 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜(𝑓) = - ;+  b) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑓) = 0 1;

c) La función cumple que - Es acotada.

- Toma su máximo valor, 𝑦 = 1, cuando 𝑥 = 0. - No es periódica.

- Es par.

- No es monótona, pero,

Es creciente en el intervalo −∞; 0 Es decreciente en el intervalo 0; +∞

(67)

4.3.6. Cosecante hiperbólico

4.3.6.1. Regla de correspondencia

2

Csch(x) = x -xe - e ; e=2,718281828459…

4.3.6.2. Representación gráfica

Donde:

a) 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜(𝑓) = ℝ − {0}. b) 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑓) = ℝ − {0}. c) La función cumple que - No es acotada.

- No toma un máximo ni mínimo valor. - No es periódica.

- Es impar. - No es monótona.

(68)

CAPÍTULO V

ECUACIONES DE 2° GRADO, 3° GRADO Y 4° GRADO Las ecuaciones en general, son igualdades entres expresiones algebraicas en las que intervienes una o más variables

5.1. ECUACIONES POLINOMIALES DE 2° GRADO

Estas ecuaciones, también reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas. Son expresiones de la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, Siendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales y 𝑎 ≠ 0; que tienen un término en 𝑥2, es el termino cuadrático, un término en 𝑥, es el termino lineal y un término independiente de 𝑥, es el termino lineal. (Baldor, 1991, pág. 446)

5.1.1. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas

Según (Carione N, 1997) mencionan que para determinar el conjunto solución de estas ecuaciones, es importante analizar, si contiene todos los términos. En caso de no presentar el término lineal o el independiente (𝑎 = 0 𝑜 𝑏 = 0) conviene aplicar métodos prácticos de resolución, distintos del correspondiente a una ecuación cuadrática completa. Resolver una ecuación de segundo grado es hallar el valor o valores de la incógnita 𝑥 que hace que se cumpla la igualdad que establece la propia ecuación.

5.1.1.1. Ecuaciones cuadráticas sin término lineal 𝒃 = 𝟎 Son de la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑐 = 0

En este caso, se obtiene la solución en forma inmediata, aplicando propiedades de las operaciones, que permiten despejar la incógnita.

(69)

1 4. 4𝑥

2 =1 4. 9 𝑥2 =9

4

Cabe recordar que al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros se deben considerar los dos signos posibles para la incógnita.

De esta manera resulta: 𝑥 = ±√9 4

𝑥 = ±3 2 Verificaciones

4. (3 2)

2

− 9 = 0 4. (−3

2) 2

− 9 = 0

4 .9

4− 9 = 0 4 .

9

4− 9 = 0

9 − 9 = 0 9 − 9 = 0

0 = 0 0 = 0

El conjunto solución es 𝑆 = {3 2, −

3 2}

5.1.1.2. Ecuaciones cuadráticas sin término independiente (𝒄 = 𝟎)

Son de la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 = 0

(70)

Ejemplo: 3𝑥2+ 6𝑥 = 0

Factorizando el primer miembro (factor común 𝑥): 3𝑥 ⋅ (𝑥 + 2) = 0 Aplicando propiedad: 3𝑥 = 0 ∨ 𝑥 + 2 = 0

La solución de 3𝑥 = 0 es 𝑥 = 0. Y la solución de 𝑥 + 2 = 0 es 𝑥 = −2 Verificaciones

3 ⋅ 0 ⋅ (0 + 2) = 0 3 ⋅ (−2) ⋅ (−2 + 2) = 0

0 ⋅ 2 = 0 −6 ⋅ 0 = 0

0 = 0 0 = 0

El conjunto solución de la ecuación cuadrática es 𝑆 = {0; −2}

5.1.1.3. Ecuaciones cuadráticas completas

Son de la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 distintos de cero.

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el primer coeficiente; es decir entre "𝑎", de forma que:

𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0  Entre "𝑎" = 𝑥2+𝑏

𝑎𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0

 Si reemplazamos valores usando otras letras para simplificarlo de forma que: 𝑚 = 𝑏 𝑎 y 𝑛 = 𝑐

𝑎

 La demostración queda como sigue; desde la ecuación lineal: 𝑥2+ 𝑚𝑥 + 𝑛 = 0

 Transponiendo 𝑛 : 𝑥2+ 𝑚𝑥 = −𝑛  Sumando 𝑚

2

4 a ambos términos: 𝑥

2+ 𝑚𝑥 +𝑚2

4 =

(71)

 Simplificando el primer término a un binomio cuadrado:

(𝑥 +𝑚 2)

2 =𝑚2

4 − 𝑛

 Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:

𝑥 +𝑚

2 = ±√

𝑚2 4 − 𝑛  Transponiendo 𝑚

2 y simplificando la fracción de la raíz 𝑥 =−𝑚

2 ± √

𝑚2−4𝑛 4  Simplificando a común denominador

𝑥 =−𝑚 ±√𝑚2−4𝑛

2

 Si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏

2− 4𝑎𝑐

2𝑎

Ejemplo: Se resuelve a continuación una ecuación mediante la aplicación de la fórmula. En la ecuación 2𝑥2− 𝑥 − 1 = 0; 𝑎 = 2 , 𝑏 = −1 𝑦 𝑐 = −1

Remplazando en la fórmula:

𝑥1,2 =−(−1) ± √(−1)

2− 4 ⋅ 2 ⋅ (−1) 2 ⋅ 2

𝑥1,2 =1 ±√9

4 =

1 ±3 4 Es decir, se obtiene: 𝑥1 = 1 y 𝑥2 =−1

2

(72)

5.1.2. Distintos tipos de solución

Las ecuaciones cuadráticas pueden presentar distintos tipos de solución, para determinar el tipo de solución, también llamado naturaleza de las raíces, se analiza el radicando de la fórmula de resolución. Dicho radicando recibe el nombre de discriminante, y se denota con la letra griega delta△.

Entonces:

△= 𝑏2− 4𝑎𝑐

El discriminante permite determinar la naturaleza de las raíces sin resolver la ecuación:  Si △> 0 las raíces son números reales y distintos.

 Si △= 0 las raíces son números reales e iguales.

 Si △< 0 las raíces son números complejos conjugados.

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante

determina la índole y la cantidad de raíces. (Camus N, 1995)

 Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

−𝑏 + √△ 2𝑎 𝑦

−𝑏 − √△ 2𝑎

 Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola solo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

(73)

 Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

−𝑏 2𝑎 + 𝑖

√− △ 2𝑎 , 𝑦

−𝑏 2𝑎 − 𝑖

√− △ 2𝑎 Donde 𝑖 es la unidad imaginaria

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si solo si el discriminante es no negativo.

5.2. ECUACIONES POLINOMIALES DE 3° GRADO

La ecuación cubica o también conocida como la ecuación de tercer grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de tercer grado de la forma:

𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

Donde el coeficiente "𝑎" es necesariamente diferente de cero (En el caso que 𝑎 = 0 se obtiene una ecuación cuadrática o de grado dos)

Su solución se debe al parecer al matemático italiano Niccolo Fontano Tartaglia, pero muchos afirman que este realmente copió el método de un alumno del profesor Scipione del Ferro, quien nunca publicó nada, al respecto.

La historia parece castigar a Tartaglia ya que fue Gerolamo Cardano, después de engañarlo, el que se encargaría de escribir el método de solución en su famoso libro “Ars Magna”.

5.2.1. Método de Solución de la Ecuación Cúbica

Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término "𝑎" 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 → 𝑥3+𝑏

𝑎𝑥 2+𝑐

(74)

Donde: 𝑗 = 𝑏

𝑎 ; 𝑘 = 𝑐

𝑎 y por ultimo: 𝑙 = 𝑑 𝑎 A continuación se hace la sustitución 𝑥 = 𝑧 − 𝑗

𝑎; para eliminar el término 𝑥

2 de la ecuación:

(𝑧 − 𝑗 𝑎) 3 + 𝑗 (𝑧 − 𝑗 𝑎) 2 + 𝑘 (𝑧 − 𝑗

𝑎) + 𝑙 = 0

𝑧3− 3𝑧2(𝑗

3) + 3𝑧 ( 𝑗 3)

2

+ 𝑧2𝑗 − 2𝑧 𝑗 2 3 +

𝑗3

9 + 𝑘𝑧 − 𝑘 𝑗

3+ 𝑙 = 0 Que simplificando equivale a

𝑧3− 𝑧 𝑗 2 3 +

2𝑗3

27 + 𝑘𝑧 − 𝑘 𝑗

3+ 𝑙 = 0

Que también puede escribirse como 𝑧3+ 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0 (Ecuación cubica reducida) Donde:

𝑝 = − 𝑗 2

3 + 𝑘 𝑦 𝑞 = 2𝑗3

27 − 𝑘 𝑗

3 + 𝑙

Ahora sea 𝑧 = 𝑢 + 𝑣 en la ecuación reducida; (la llamaremos ecuación *)

(𝑢 + 𝑣)3 + (𝑢 + 𝑣)𝑝 + 𝑞 = 0 → 𝑢3+ 3𝑢2𝑣 + 3𝑢𝑣2 + 𝑣3+ (𝑢 + 𝑣)𝑝 + 𝑞 = 0 𝑢3+ 𝑣3+ (3𝑢𝑣 + 𝑝)(𝑢 + 𝑣) + 𝑞 = 0

La ecuación se hace cero si 𝑢3+ 𝑣3 = −𝑞 …. Ec. (1)

𝑢𝑣 = − 𝑝

3 que equivale a 𝑢

3𝑣3 = − 𝑝3 27

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Cuyas soluciones son:

𝑢 = (− 𝑞 2 + √

𝑞3 4 + 𝑝3 27) 1 3 𝑢 = (− 𝑞 2 − √

(75)

Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

𝑧 = (− 𝑞 2 + √

𝑞3 4 +

𝑝3 27)

1

3+ (− 𝑞 2 − √

𝑞3 4 + 𝑝3 27) 1 3

Cuyo valor nos sirve para encontrar 𝑥 dado que 𝑥 = 𝑧 − 𝑗 3

Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones (lo cual se garantiza gracias al teorema

fundamental del algebra) entre reales y complejas.

Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida

por 𝑧 − 𝑧1

Siendo

𝑧1 = (− 𝑞

2 + √ 𝑞3

4 + 𝑝3 27)

1

3+ (− 𝑞 2 − √

𝑞3 4 + 𝑝3 27) 1 3

La división es exacta ya que 𝑧1 es solucion de 𝑧3+ 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0 Dividiéndose tiene

𝑧3 + 𝑝𝑧 + 𝑞 𝑧 − 𝑧1 = 𝑧

2+ 𝑧

1𝑧 + (𝑧12 + 𝑝) → 𝑧3+ 𝑝𝑧 + 𝑞

= (𝑧 − 𝑧1)(𝑧2+ 𝑧

1𝑧 + (𝑧12+ 𝑝)) Por tanto, se tiene:

(𝑧 − 𝑧1)(𝑧2+ 𝑧1𝑧 + (𝑧12+ 𝑝)) = 0

Solo nos interesa el segundo factor 𝑧2+ 𝑧

1𝑧 + (𝑧12+ 𝑝), ya que del primero sabemos que si 𝑧 = 𝑧1, la ecuación se hace cero.

𝑧2+ 𝑧

(76)

𝑧2 = − 𝑧1 2 + √(

𝑧1 2)

2 + 𝑞

𝑧1

𝑧3 = − 𝑧1 2 − √(

𝑧1 2)

2 + 𝑞

𝑧1

En conclusión, las tres soluciones son

𝑧1 = (− 𝑞 2 + √

𝑞3 4 +

𝑝3 27)

1

3+ (− 𝑞 2 − √

𝑞3 4 + 𝑝3 27) 1 3

𝑧2 = − 𝑧1 2 + √(

𝑧1 2)

2 + 𝑞

𝑧1

𝑧3 = − 𝑧1 2 − √(

𝑧1 2)

2 + 𝑞

𝑧1

Nuevamente recordando que 𝑥 = 𝑧 − 𝑗 3

5.3. ECUACIONES DE CUARTO GRADO

La ecuación de cuarto grado es de la forma 𝑥4+ 2𝑝𝑥3+ 𝑞𝑥2+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0 …. (1) Para obtener la solución a la ecuación (1) descomponemos en dos ecuaciones de segundo grado y esto se consigue de la siguiente manera:

Sumamos a cada miembro de la ecuación (1) (𝑎𝑥 + 𝑏)2

𝑥4+ 2𝑝𝑥3+ (𝑞 + 𝑎2 )𝑥2+ 2(𝑟 + 𝑎𝑏)𝑥 + 𝑠 + 𝑏2 = (𝑎𝑥 + 𝑏)2 …. (2)

(77)

Suponiendo que el primer miembro de la ecuación (2) sea igual a (𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑘)2 es decir: 𝑥4+ 2𝑝𝑥3+ (𝑝2+ 2𝑘 )𝑥2+ 2𝑝𝑘𝑥 + 𝑘2 = (𝑎𝑥 + 𝑏)2… (3)

Comparando las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

𝑝2+ 2𝑘 = 𝑞 + 𝑎2 𝑝𝑘 = 𝑟 + 𝑎𝑏

𝑘2 = 𝑠 + 𝑏2 Eliminando 𝑎 𝑦 𝑏 de estas ecuaciones se tiene:

𝑝2+ 2𝑘 = 𝑞 + 𝑎2 ⇒ 𝑎2 = 𝑝2+ 2𝑘 − 𝑞 𝑘2 = 𝑠 + 𝑏2 ⇒ 𝑏2 = 𝑘2− 𝑠

𝑝𝑘 = 𝑟 + 𝑎𝑏 ⇒ 𝑝𝑘 − 𝑟 = 𝑎𝑏, elevando al cuadrado se tiene:

(𝑝𝑘 − 𝑟)2 = 𝑎2𝑏2 = 𝑝2+ 2𝑘 − 𝑞 = 𝑘2− 𝑠

Efectuando operaciones y agrupando se tiene:

2𝑘3− 𝑞𝑘2 + 2(𝑝𝑟 − 𝑠)𝑘 − 𝑝2𝑠 + 𝑞𝑠 − 𝑟2 = 0

De esta ecuación siempre se halla un valor real para 𝑘 y con estos valores se hallan los valores de 𝑎 y 𝑏

Como (𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑘)2 = (𝑎𝑥 + 𝑏)2, de donde:

(𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑘)2− (𝑎𝑥 + 𝑏)2 = 0 , por diferencia de cuadrados:

[𝑥2+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏)][ 𝑥2+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏)] = 0 Luego los valores de 𝑥 se obtiene de dos ecuaciones cuadráticas.

𝑥2+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏) = 0 𝑥2+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏) = 0

(78)

Solución:

 Como la ecuación es de cuarto grado es de la forma:

𝑥4+ 2𝑝𝑥3+ 𝑞𝑥2+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0  Comparando con la ecuación dada se tiene:

𝑥4+ 2𝑥3− 7𝑥2− 8𝑥 + 12 = 𝑥4+ 2𝑝𝑥3+ 𝑞𝑥2+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0 Donde: 2 = 2𝑝 ⇒ 𝑝 = 1

−7 = 𝑞 ⇒ 𝑞 = −7 −8 = 2𝑟 ⇒ 𝑟 = −4 12 = 𝑠

 Además, se conoce que:

2𝑘3 − 𝑞𝑘2+ 2(𝑝𝑟 − 𝑠)𝑘 − 𝑝2𝑠 + 𝑞𝑠 − 𝑟2 = 0  Reemplazando los valores: 𝑝, 𝑞 , 𝑟 𝑦 𝑠 ; se tiene:

2𝑘3+ 7𝑘2− 32𝑘 + 12 − 84 − 16 = 0 = 2𝑘3+ 7𝑘2− 32𝑥 − 112 = 0 Luego por Ruffini se tiene el valor de 𝑘

2 7 -32 -112

8 60 112 𝑘 = 4

2 15 28 0

𝑎2 = 𝑝2+ 2𝑘 − 𝑞 ⇒ 𝑎 = 4 𝑏2 = 𝑘2− 𝑠 ⇒ 𝑏 = 2

(79)

𝑥2+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏) = 0 𝑥2+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏) = 0 Reemplazando; 𝑝 = 1 ; 𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2 𝑦 𝑘 = 4

𝑥2− 3𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 ; 𝑥2= 2 𝑥2+ 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥

(80)

APLICACIÓN DIDÁCTICA

SESIÓN DE APRENDIZAJE

TITULO: ““APLICACIÓN DE NUESTROS CONOCIMIENTOS SOBRE FUNCIONES””

I. DATOS INFORMATIVOS:

INSTITUCION EDUCATIVA : CENTRO EDUCATIVO “SAN ISIDRO” - HUACHIPA

AREA CURRICULAR : Matemática

COMPONENTE : Tipos de funciones

CAPACIDAD : Comprensión y aplicación de funciones

GRADO Y SECCION : 3° “A”

TIEMPO : 120 minutos

PROFESOR : Manuel Germán Arteaga Sedano

TEMA TRANSVERSAL : Aumento de autoestima y deseo de superación hacia una mejor

calidad de vida.

(81)

CONOCIMIENTOS

CAPACIDAD

(Aprendizaje Esperado)

VALOR/ACTITUDES

1).- PREVIOS

Teoría de funciones

Dominio y rango

Calculo del dominio y rango.

2).-NUEVOS

Función cuadrática

Analiza e indica que tipo de función es

en su material didáctico y responde a las

preguntas hechas en clase aumentando su

interés y autoestima para superarse en

temas posteriores.

 Responsabilidad

 Puntualidad.

 Entrega oportuna de los

trabajos.

 Laboriosidad

 Muestra interés y

perseverancia en la

elaboración de los trabajos

individuales y grupales.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

SITUACIONES DE APRENDIZAJE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS MÉTODO / TÉCNICA TIEMPO (Min.) RECURSOS ORGANIZACIÓN

Se sugiere una lectura silenciosa de 10’

para que los alumnos tengan una idea de lo

que se va a tratar la clase.

Se verificará la limpieza de espacio de

trabajo. Estudio Dirigido 10 Material didáctico RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

¿Qué entiendes por función?

¿Qué es el dominio y rango de una

función?

Lluvia de ideas

10

Pizarra y

plumones

CONFLICTO

COGNITIVO

Se pregunta ¿Qué entiendes por función

cuadrática?

Material

(82)

El tema se utilizara en temas posteriores. Discusión 10

PROCESAMIENTO

DE LA NUEVA

INFORMACIÓN

Para desarrollar el tema se mencionará la

definición tanto textual como simbólicamente

y con sus respectivos ejemplos de:

Funciones cuadráticas Método Experimental 15 Material didáctico TRANSFERENCIA

Haciendo uso del proceso anterior y

trabajando en su cuaderno el alumno podrá:

Relacionar el tema con los temas

anteriores sobre funciones.

Diferenciar los tipos de funciones que se

ha estudiado.

Estudio

dirigido 30

Pizarra, y

Cuaderno

EVALUACIÓN

(METACOGNICIÓN)

¿Qué hemos aprendido hoy?

Función cuadrática

¿Cómo lo hemos aprendido?

Relacionando el tema con las clases

anteriores y trabajando con su material

didáctico. Evaluación oral 15 Lista de Cotejo

(83)

CAPACIDAD DE ÁREA: Gestión de Procesos

INDICADORES TÉCNICAS INSTRUMENTOS

Analiza e indica que tipo de función es

mediante su regla de correspondencia y gráfica en

su material didáctico.

Observación Sistemática.

Evaluación Oral: Diálogo

Evaluación de Ejecución: Realiza

cálculos en su cuaderno.

Lista de Cotejo

ACTITUDES Y VALORES: Responsabilidad

Resuelve los problemas hechas en clase y a la

hora indicada, fomentando el trabajo grupal, para

su desarrollo integral.

Evaluación de actitudes Ficha de seguimiento

de actitudes

V. MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:

MEDIOS MATERIALES EDUCATIVOS

Visual

Material didáctico

Pizarra

VI. BIBLIOGRAFÍA:

PARA EL ALUMNO:

SANTILLANA. Matemática Para 3ro de Secundaria. 1ra edición. Lima – Perú.

LIBROS ACADÉMICOS

CUZCANO, Matemática- Álgebra.

SAN MARCOS, Matemática - Álgebra.

LUMBRERAS, Matemática- Álgebra.

(84)

PARA EL DOCENTE:

MISTERIO DE EDUCACIÓN. Diseño Curricular Nacional De Educación Básica Regular, Perú.

ACADEMIA ADUNI – César Vallejo. Álgebra Tomo II. Editorial Lumbreras. Lima – Perú

Escuela administrativa. (2015). Enseñanza de Funciones. Recuperado de:

www.itcr.ac.cr/escuelas/agropecuaria_administrativa/htm/cursos/noreales_funciones.../E02_NoReales_Funcion

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