UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÒN
ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE
Alma Mater del Magisterio Nacional
FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA
LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Y COMPLEMENTARIOS
MONOGRAFÌA
Presentada por:
Helga Odette
SENMACHE CUCHO
PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN ESPECIALIDAD: A.P. EDUCACIÓN PRIMARIA
A.S. EDUCACIÓN BÁSICA ALTERNATIVA
MIEMBROS DEL JURADO
R. N°0266-2017-D-FPYCF
Dr. Alfonso Gedulfo CORNEJO ZUÑIGA PRESIDENTE
Mg. Reynelda YUPANQUI SICCHA SECRETARIA
INDICE
CAPÍTULO I ... 9
GENERALIDADES ... 9
1.1. Breve historia de la geometría... 9
1.1.1. La geometría en Egipto ... 10
1.1.2. La geometría en Babilonia ... 11
1.1.3. La geometría en Grecia ... 11
1.2. Términos básicos en geometría ... 13
1.2.1. Definición de punto ... 14
1.2.2. Definición de línea y recta ... 15
1.2.3. Definición superficie y plano ... 16
1.3. Otros Términos ... 18
1.3.1. Segmento de recta ... 18
1.3.2. Rayo o semireccta ... 19
CAPÍTULO II ... 20
CARACTERÍSTICAS ... 20
2.1. Definición de ángulo ... 20
2.2. Medición de los ángulos ... 23
2.2.1. Sistema centesimal ... 23
2.2.2. Sistema circular ... 23
2.3. Clasificación de los Ángulos ... 24
2.3.1. Clasificación de ángulos por su medida ... 25
2.3.2. Clasificación de ángulos por sus lados... 27
2.3.3. Clasificación de ángulos por la suma de sus lados ... 28
CAPÍTULO III ... 30
MATERIAL DIDÁCTICO ... 30
3.1. Definición de Material Didáctico ... 30
3.2. Importancia del uso del material didáctico ... 32
3.3. Finalidad del material didáctico ... 35
3.4. Recomendaciones para el uso del Material Didáctico ... 36
3.5. Materiales didácticos para la enseñanza de la geometría ... 38
3.5.1. La papiroflexia ... 42
3.5.2. Las escuadras ... 46
3.5.3. El tangram ... 48
3.5.4. El geoplano... 54
3.5.5. Los bloques lógicos ... 59
3.5.6. El libro de los espejos ... 62
3.5.7. Mecano ... 65
3.5.8. Cuerpos geométricos ... 67
3.5.9. El pentacubos ... 69
CAPÍTULO IV ... 70
4.1. Ángulos complementarios ... 70
4.2. Ángulos suplementarios ... 72
APLICACIÓN ... 74
DIDÁCTICA ... 74
APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS ... 82
SÍNTESIS ... 83
INTRODUCCION
El objetivo de esta presente monografía es principalmente trazar un camino ameno y dinámico entre el aprendiz de la geometría y la materia en sí, teniendo en cuenta que el rol del educador es buscar los medios y materiales necesarios que faciliten el satisfactorio aprendizaje de los estudiantes, que en la actualidad ya no se basa sola y únicamente en la recepción y memorización de información, más que eso, el aprendizaje de las matemáticas ahora tiene un enfoque basado en la resolución de problemas y busca que el estudiante tome los conocimientos matemáticos y los aplique en su entorno cotidiano para solucionar
situaciones problemáticas; la enseñanza que el actual modelo “Las rutas de Aprendizaje” nos presenta, es una enseñanza que procura que el estudiante desarrolle en el aula todas las capacidades posibles como son las de Matematizar, Representar, Comunicar, Elaborar estrategias, Utilizar expresiones simbólicas, Argumentar, para luego aplicarlas en su contexto. Para esto le ofrecemos en este contenido cuatro capítulos que organizan los conocimientos que necesitamos para la eficiente enseñanza y aprendizaje de esta ciencia.
En el primer capítulo presentamos una breve reseña de la Geometría en la que podremos notar la estrecha relación que existe entre la Geometría y la actividad humana desde tiempos pre – históricos en los que aún no se formalizaba la ciencia; la forma en la que ellos fueron evolucionando las nociones que adquirían a través de sus quehaceres prácticos, y la necesidad que los llevaba a ellos a adquirir ciertos conocimientos que ayudaban a resolver sus situaciones, asimismo, encontraremos en esta sección la definición de términos básicos que se requieren para la comprensión de la Geometría.
especificando como se forma, que tipos existen de ángulos, como se clasifican, como se miden y que herramienta se utiliza para calcular su medida.
En el tercer capítulo veremos a la esencia de este trabajo monográfico, es decir las propuestas de material didáctico que podemos emplear e incluir en la praxis pedagógica, puntualizando la importancia que tienen, la finalidad que cumplen y la relación que establece con el aprendizaje del niño, asimismo se presentaran algunas pautas que se deben seguir para que toda la parte teórica de la geometría (figuras, tamaños, posiciones, cantidades,
longitudes) se vuelva más bien práctica, y permita que el niño aplique las “Matemáticas para la vida”, a través de la manipulación de material concreto que es un requisito indispensable para la construcción de un aprendizaje significativo.
CAPÍTULO I
GENERALIDADES
1.1. Breve historia de la geometría
La geometría viene de dos vocablos griegos “geo” que significa tierra y “metrón” que significa medida, y que al unirlos forman la palabra geometría que significa “medida de la tierra”, esta ciencia, rama de las matemáticas es una de las más antiguas en nuestra historia y aunque los usos de las formas geométricas se evidencian desde la pre-historia, época en la que el hombre nómade realizaba sus trazos y pictogramas para plasmar sus actividades cotidianas y más adelante en el hombre sedentario quien vio la necesidad de dividir y trazar sus territorios para establecerse y organizarse en un determinado lugar, es en el antiguo Egipto en donde los historiadores ubican a la geometría empírica.
1.1.1. La geometría en Egipto
Se desarrolló hace 3000 años A.C. aproximadamente y en respuesta a una necesidad que ellos tenían constantemente para medir, reconstruir y calcular el área de sus parcelas, aquellas que anualmente eran afectadas por la crecida del Rio Nilo y que como consecuencia borraban sus límites; esta fue la principal razón por la que los egipcios aprendieron la geometría empírica, es decir la geometría experimental, basada en sus propias prácticas y aceptadas sin
demostración. (National Geographic España, s.f.)
El conocimiento que obtuvieron los egipcios a través de sus prácticas fueron una serie de conocimientos que les permitieron resolver problemas relacionados con la longitud, área y volumen de las cosas y una gran evidencia de ello son la construcción de sus pirámides en las que tuvieron que realizar innumerables cálculos y que hoy son considerados como una de las maravillas del mundo.
1.1.2. La geometría en Babilonia
Tras la aparición de “La Rueda de Ur”, primera evidencia histórica sobre la invención de la Rueda, invento que se atribuyó a la civilización de Babilonia, se pudo comprender la forma en que los Babilónicos hacían uso de la geometría al haber utilizado la forma circular y haber medido la longitud de su circunferencia, dado a que el año se dividía en 360 días, ellos establecieron que la circunferencia debía dividirse en 360 partes, obteniendo así el grado sexagesimal. (Wikipedia, Historia de la Geometria, s.f.)
Otra de las formas en que ellos hacían uso de la geometría fue para sus estudios astronómicos, con el propósito de medir la posición espacio – temporal de Júpiter en el espacio. (Comercio, 2016)
1.1.3. La geometría en Grecia
Si bien es cierto que fue en el Antiguo Egipto en donde se concibió un alto conocimiento de la geometría, son los Grecos quienes nos presentaron la Geometría como una ciencia demostrativa, es decir, que pudiese ser comprobado y sustentado con un razonamiento lógico y para esto fue necesario que vivieran en Egipto y adquirieran los altos conocimientos que ellos tenían, de ahí que muchos personajes Grecos como Tales de Mileto, Pitágoras y
Euclides hayan hecho grandes aportes a esta ciencia, ofreciéndonos así la geometría deductiva.
Tales de Mileto
Fue un sabio, filósofo fundador de la escuela “jónica”, con conocimientos en ciencias, especialmente la Geometría; resolvió dudas como la altura de las pirámides y la igualdad de ángulos en la base del triángulo isósceles además de conocer que cualquier diámetro en un círculo lo dividiría en partes iguales.
Tales de Mileto, fue quien inicia la geometría demostrativa hace aproximadamente 6 siglos a.c. llegando a ser considerada como la primera geometría formal.
Pitágoras
Fue un filósofo y matemático griego, discípulo de Tales de Mileto, considerado como el primer matemático puro que contribuyo con el avance de la Geometría. Sus principales aportes en Geometría fueron la definición del punto como unidad y posición y la clasificación de ángulos en 3 categorías: rectos, agudos y obtusos. (Wikipedia, Pitagoras, s.f.)
Euclides
Fue un matemático griego del siglo III a.c. considerado como “Padre de la Geometría” quien recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos hasta su época en una obra científica a la que llamó “Los elementos” famosa por tener en su contenido conceptos básicos primarios no demostrables de punto, recta, plano y espacio que son su punto de partida para sus definiciones, axiomas y postulados. (Wikipedia, Euclides, s.f.)
Lobatchevsky quién en el siglo XIX rechaza el 5to postulado de Euclides que afirma que “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y solo una paralela a ella”, esta geometría y las otras que rechazan el postulado antes mencionado llegan a adoptar el nombre de Geometría no Euclidiana.
1.2. Términos básicos en geometría
La Geometría es una ciencia bastante amplia que actualmente ha adquirido diferentes asignaciones según la base en que se va desarrollando el estudio, entre ellas podemos nombrar a la Geometría Analítica, Geometría Descriptiva, Geometría espacial, Geometría Euclidiana, Geometría no Euclidiana, Geometría Plana; siendo ésta última en la que vamos a enfocar todo nuestro trabajo de investigación y que Barneett, (1970) la define de la siguiente manera: “Geometría plana es parte de la geometría que estudia las figuras planas, es decir, las que pueden dibujarse sobre una superficie plana” (p.1), tomando esta definición
comprendemos que dentro de la Geometría plana se estudian los círculos, triángulos, cuadrados, pentágonos, líneas, rectas, ángulos, y todas aquellas figuras que pueden trazarse sobre una superficie plana, el caso de los poliedros como el cono, la esfera, el cilindro, la pirámide y otras figuras tridimensionales parecidas se estudian dentro de la Geometría del espacio.
1.2.1. Definición de punto
Definir el punto ha implicado analizar y emplear las palabras adecuadas que realmente expresen lo que éste significa a fin de acertar en su debida comprensión. Según, (Salvador, 2003), el punto “es un ente matemático por lo tanto no tiene una función exacta, lo que se tiene es una noción intuitiva de él” (p.9); aquí el autor nos da a entender que tenemos una noción intuitiva pero no exacta del punto, y esta es una idea que (Baldor, 2004) ejemplifica a continuación de la siguiente manera “ya hemos dicho que el punto no se define. La idea de punto esta sugerida por la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado. Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión” (p.9).
Como vemos, ambos autores afirman que se puede tener una noción o idea de punto, pero no una definición exacta, pese a ello algunos autores han llegado a conceptualizar el punto de una forma más clara como es en el siguiente caso.
El punto solo tiene posición. No posee ni longitud, ni anchura, ni espesor. Se representa por medio de un (.). No obstante es necesario tener presente que el punto gráfico
representa el punto geométrico pero no es el punto geométrico, en la misma forma que en un mapa un . puede representar a una localidad sin ser la localidad misma. A diferencia del punto geométrico, el punto gráfico tiene tamaño. (Barneett, 1970, pág. 1)
Dado esto, podemos llegar a la conclusión de que el punto geométrico no posee ninguna dimensión, solo ubicación y está representado por un punto gráfico.
1.2.2. Definición de línea y recta
Los términos línea y recta podrían parecer iguales, pero en realidad poseen diferencias que, aunque son mínimas distinguen a una de la otra.
Según (Barneett, 1970), “la línea posee longitud, pero carece de anchura y de espesor. Se puede representar por medio del trazo que deja la tiza en el tablero o mediante una cinta de caucho” (p.1); esto quiere decir que se considera como línea un trazo largo que no tiene volumen alguno; además de esto (Baldor, 2004, pág. 10) nos especifica que éstas líneas pueden ser rectas, curvas o combinaciones de estas. Y define a las líneas rectas como semejantes a un rayo luminoso o el borde de una regla; como vemos cuando utilizamos el término “línea” hacemos referencia a un trazo largo y sin espesor que puede tomar una dirección recta o curva, pero cuando hablamos de “recta” nos estamos refiriendo exactamente a la línea recta. (Véase figura 5 y 6)
En las figuras 5 y 6 se muestran líneas, de diferentes tipos, todas son consideradas líneas; sin embargo, si hablamos de recta o rectas, debemos entender que se habla también de líneas, pero específicamente las que se prolongan en una misma dirección como lo son las de la figura 5.
1.2.3. Definición superficie y plano
Son dos términos muy usados en la geometría y que también poseen mínimas diferencias, por esto, veremos a continuación que definiciones se le asignan a cada una de ellas para determinar las semejanzas y diferencias existentes.
Según (Salvador, 2003) “superficie, es un conjunto de puntos que se extiende en el
espacio, el cual presenta dos dimensiones. La superficie geométrica es considerada ilimitada, de espesor despreciable y perfectamente lisa” (p.9), con esta definición entendemos que una superficie se extiende en dos direcciones que son de anchura y longitud, además afirma que la superficie geométrica no tiene un límite, es decir es infinita.
Según (Baldor, 2004) “superficie son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea (...) tienen dos dimensiones: largo y ancho”. (p.11), como vemos el autor también afirma que tiene dos dimensiones, pero además puntualiza que son las superficies las que separan a los cuerpos geométricos del espacio, y cuando habla de cuerpos se refiere a toda figura geométrica. Véase figura 7.
Según (Barneett, 1970): “la superficie posee longitud y anchura, pero carece de espesor. Se puede representar mediante un tablero, una de las caras de una caja o la parte exterior de una esfera.” (p.2), como hemos visto, la superficie se representa en su mayoría de casos con objetos lisos y planos a excepción de este último autor quien menciona la superficie de la
Figura 7. Para hallar la superficie total que tiene el cubo deberán sumarse el área de sus 6 lados.
esfera. Esto nos lleva a una idea clara de que la superficie, viene la parte externa que ocupa un cuerpo geométrico por ejemplo: la superficie de una pelota seria todo el espacio que ocupa el caucho o goma con que se ha elaborado sin tener en cuenta el espacio que tiene vacío adentro; en el caso de una caja de fósforo la superficie vendría a ser todas los lados de la caja sin contar con el espacio vacío de adentro, y en el caso de una figura plana la superficie seria cualquiera de sus caras, ya que ambas poseen la misma medida.
Sobre lo que viene a definirse como plano (Baldor, 2004), nos dice que: “una superficie como una pared, el piso, etc. Nos sugiere una idea de lo que en geometría se llama plano.” (p.12), lo que nos lleva a comprender que la superficie que adquiere el nombre de plano viene a ser una superficie recta, como la pared, el piso, lo que nos lleva a deducir que la superficie de una esfera no podría llamarse plano, por la forma que posee; de ahí que consideremos como correcta esta definición:
Una superficie plana o, simplemente, un plano, es una superficie tal que si una recta tiene en común con ella dos de sus puntos, los tiene comunes todos, es decir, la recta descansara completamente sobre el plano. Un plano se puede representar por medio de la superficie de un espejo llano o una pared lisa, o por la tapa de un pupitre. (Barneett, 1970, pág. 2)
Como vemos, el término “plano” siempre será una superficie como lo indica su nombre “plana”, (véase figura 8) y aclarado esto notamos que la superficie y el plano tienen tanta diferencia como una línea y una recta, y son detalles muy puntuales los que diferencian estos términos. Ahora bien, son estos tres términos los que debemos comprender con precisión para poder entender los temas continuos.
1.3. Otros Términos
1.3.1. Segmento de recta
Según (Barneett, 1970), “se llama segmento de recta a la porción de recta comprendida entre dos de sus puntos”; (p.2) (véase figura 9).
A esta definición (Baldor, 2004) le añade: “si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B más estos dos puntos que se llaman extremos del segmento.” (p.12); los segmentos de recta como menciona el autor tienen dos extremos y a estos se le llamara de la siguiente manera: origen al primero que se nombre y extremo al otro. Es decir, si yo leo segmento A – B, el primer punto mencionado será el origen y el otro extremo. (véase figura 9)
Otra definición que nos da (Peterson, 2004), es la siguiente: “un segmento rectilíneo, o simplemente segmento es una porción de una línea recta entre dos puntos extremos. Recibe su nombre los puntos extremos, y sobre la letra que lo designa se coloca una barra” (p.90); Si en un segmento de recta, los puntos de origen y extremo reciben los nombre A y B
1.3.2. Rayo o semireccta
Según (Peterson, 2004), “un rayo o semirrecta es la porción de una línea que cae a un lado de un punto e incluye al punto”, (p.90) (véase figura 10)
Como podemos notar el rayo es muy similar a los rayos del sol, puesto que podemos tener la precisión de que se origina en el sol , pero no podemos saber con exactitud hasta donde termina; esto con respecto al término “rayo” nombre que se le asigna , pero el nombre de semirrecta está concebido desde otro punto de vista, como es el caso de (Baldor, 2004), quien afirma: “ si sobre una recta señalamos un punto A, se llama semirrecta al conjunto de puntos formados por el A y todos los que le siguen y le preceden. El punto A es el origen de la semirrecta.” (p.12). Este rayo o semirrecta se denota escribiendo primero el nombre del punto de origen y luego el otro punto que indica que la recta continua y sobre las dos letras se coloca el símbolo . (véase figura 11)
Como vemos ambos términos, rayo y semirrecta son exactamente lo mismo y se denota de la misma manera.
Figura 10. El rayo tiene un punto de origen, pero el otro punto no tiene un final. Se lee: rayo AB
CAPÍTULO II
CARACTERÍSTICAS
Teniendo como previo conocimiento los conceptos básicos utilizables en el estudio de la geometría y habiendo concebido con claridad cada significado vamos a dedicar este capítulo a un tema específico como lo es el de los ángulos, que nos ayudará a identificar y valorar la estrecha relación que tiene nuestra vida cotidiana con los temas que nos ofrece las
matemáticas a través de una de sus ramas como lo es la Geometría.
2.1. Definición de ángulo
Antes de llegar a una definición clara de lo que es un ángulo, vamos a analizar la forma en que ha sido conceptualizado por distintos autores a fin de comprender el punto de vista del cual ha sido percibido.
Según (Salvador, 2003)“Es aquella figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen común vértice del
Otra definición que podemos encontrar es la que formula (Peterson, 2004)“Un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Este origen común se llama vértice del ángulo y las dos semirrectas se llaman lados del ángulo.” (p.90); en esta definición el autor cambia el término “rayo” por “semirrecta” afirmando que ambas semirrectas deben poseer un mismo origen el cual llegará a ser el vértice del ángulo, esto se puede apreciar en la figura 13.
Como vemos en esta imagen ambas rectas que se cruzan entre si carecen de un punto de partida y de final, ahora bien, si tomamos como referencia el ángulo que tiene como medida 110º (figura 13) observaremos que tienen un origen en común, y como este origen es un
Figura 12. En esta imagen los rayos reciben el nombre de “lados” y el punto de origen “vértice”.
punto ubicado en la mitad de ambas rectas es razonable que el autor haya usado el termino de semirrectas para referirse a los lados del ángulo.
Ahora bien, tenemos un tercer concepto; (Barneett, 1970), nos define el ángulo de la siguiente manera: “Se denomina ángulo a una figura formada por dos rectas que se cortan en un punto. Las rectas se llaman lados del ángulo y el punto es su vértice.”(p.4); este concepto con relación al otro vuelve a diferenciarse porque el autor reemplaza el término “semirrecta” por el término “recta”, resaltando el hecho de que en determinado punto se cortan, y esto es totalmente coincidente con lo que mencionaron los autores anteriores puesto que, una recta al cortarse en determinado punto, ya es llamada semirrecta porque nos estamos refiriendo a ella desde el punto en el que ha sido cortada, y también puede adquirir el nombre de rayo, ya que al ser cortada se le ha establecido un punto de origen para las dos semirrectas o dos rayos que formarán el ángulo.
Como vemos, podemos conceptualizar el término “ángulo” según la perspectiva del que lo veamos, sin que el uso de diferentes términos transgiverse o varié el hecho o idea que
2.2. Medición de los ángulos
Todos los ángulos no tienen la misma medida ya que la dirección de los rayos que van a formar un ángulo pueden tomar muchas direcciones diferentes aun teniendo el mismo punto de origen, para calcular la medida de un ángulo se conocen 3 sistemas que mencionaremos a continuación.
2.2.1. Sistema centesimal
Este sistema es el que tiene más proximidad al sistema decimal, se usa generalmente en los cálculos afines a la topografía, arquitectura y construcción. (Baldor, 2004) nos dice que este sistema consiste en dividir una circunferencia en 400 partes iguales, llamadas “grados centesimales”, cada grado equivale a 100 minutos centesimales y cada minuto a 100
segundos centesimales, para esto existe una herramienta física que es el trasportador circular que viene numerado de 0 a 400° centesimales que nos ayuda a trazar ángulos según la medida deseada.
2.2.2. Sistema circular
En este sistema se usa como unidad de medida el Radian, y considera la longitud de una circunferencia equivalente a 2 π radianes, es decir, si dividimos una circunferencia por la mitad, cada mitad tendrá como valor π radián que equivale a 180 ° sexagesimales. (Peterson, 2004, pág. 328)
2.2.3. Sistema sexagesimal
(Baldor, 2004) nos explica en que consiste de la siguiente manera: “Se considera a la
circunferencia dividida en 360 partes iguales [...] Cada división de la circunferencia se llama también grado. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.” (p.23); de esta manera entendemos que los ángulos según este sistema pueden medirse de 1 a 360°, usando para ello un instrumento muy conocido y fácil de utilizar llamado transportador, que es una regla con base recta y de forma circular en la parte superior que contiene una numeración indicando los grados y un punto central en el cual debe siempre ubicarse siempre el vértice del ángulo. Véase figura 4.
2.3. Clasificación de los Ángulos
Existen diferentes tipos de ángulo, pero considero la más ordenada y completa la que presenta (Salvador, 2003) quien las clasifica tomando en cuenta tres criterios: Clasificación por su medida: ángulos convexos, cóncavos; por la posición de sus lados: ángulos
adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice, y por la suma de sus lados: ángulos suplementarios y complementarios.
2.3.1. Clasificación de ángulos por su medida
Ángulos convexos (0° ˂ α ˂180°). Son todos aquellos que miden más de 0° y menos de 180° como los que presentamos a continuación:
2.3.1.1. Angulo agudo: Es el que tiene por medida un número menor a 90°, y siempre que sus ángulos sean menores a 90º y mayores a 0º son considerados ángulos agudos. Véase figuras 16, 17 Y 18.
2.3.1.2. Angulo recto: Tiene como medida 90°.
Figura 16. Figura 17. Figura 18.
2.3.1.3. Ángulo obtuso: Tiene como medida más de 90° pero menos de 180°.
2.3.1.4. Ángulo cóncavo (180° ˂ α ˂360°). Son aquello cuya medida es mayor a 180°y menor a 360°.
2.3.1.5. Ángulo llano (α =180°). Es el que tiene por medida exactamente 180°. Figura 20.
Figura 21.
2.3.1.6. Ángulo nulo (α = 0°). Es el que tiene por medida 0°
2.3.1.7. Ángulo completo (α = 360°). Es el que tiene por medida 360°
2.3.2. Clasificación de ángulos por sus lados
2.3.2.1. Ángulos adyacentes. Son aquellos que tienen además del vértice, un lado en común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
3 0
Figura 23
Figura 24.
2.3.2.2. Ángulos consecutivos. Son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común.
2.3.2.3. Ángulos opuestos por el vértice. Son aquellos que tienen el vértice en común y los lados de uno vienen a ser la prolongación de los lados de otro.
2.3.3. Clasificación de ángulos por la suma de sus lados
2.3.3.1. Ángulos complementarios. Son aquellos que al sumar sus medidas dan como resultado 90°.
Figura 26
Figura 27
2.3.3.2. Ángulos suplementarios. Son aquellos que al sumar sus medidas dan como resultado 180°.
CAPÍTULO III
MATERIAL DIDÁCTICO
Como hemos podido apreciar en el capítulo anterior, la geometría aunque parezca complicada a simple vista, puede resultar fácil e interesante si es que se presenta de una forma adecuada y dinámica a la persona que quiera iniciarse en el estudio de ésta ciencia, razón por la cual vamos a dedicar éste capítulo a la presentación de algunos materiales didácticos que pueden ser empleados en la enseñanza de la geometría, pero para esto vamos a analizar previamente qué son los materiales didácticos, qué importancia tiene el uso de los materiales didácticos en el aprendizaje de las Matemáticas y cuál es el orden de pasos a seguir que sugiere las Rutas de Aprendizaje, finalmente presentaremos propuestas de material didáctico que puedan usarse para la enseñanza y aprendizaje de la geometría.
3.1. Definición de Material Didáctico
manera “El material didáctico es, en la enseñanza el nexo entre las palabras y la realidad (...) el material didáctico debe sustituir a la realidad, representándola de la mejor forma posible, de modo que facilite su objetivación por parte del alumno”(p.283) ; este concepto nos precisa que además de ser un elemento material, debe de aproximarnos a la realidad en lo posible que esto sea, por ejemplo, si en un aula queremos desarrollar el tema de aparato digestivo de un animal, es muy probable que el docente opte por experimentar con sus estudiantes la
anatomía interna de un pollo para que ellos a través de este contacto se motiven y adquieran el aprendizaje deseado, pero si nuestro tema es el aparato digestivo del ser humano, las posibilidades de acercarnos a lo real no es un hecho factible, he ahí la necesidad de conseguir un material que nos ayude a acercarnos a la realidad para ayudar al estudiante a tener
conceptos más reales del tema, para este caso podría ser el uso de una maqueta.
(Manrique Orozco & Gallego Henao, 2012) los materiales didácticos son “Recursos con que cuenta el docente para cumplir con significación2 en el proceso de aprendizaje, en el que domina una metodología lúdica adecuada para usar intencionalmente esos recursos o material didáctico” (p.101-108), con esta expresión nos advierte que los materiales didácticos deben usarse con una debida intencionalidad, es decir que al elegir un material didáctico a emplear en una determinada área, debemos cuestionarnos sobre la utilidad y eficiencia para el tema que vamos a desarrollar, por ejemplo, si en el 1er grado de nivel primario se quisiera
desarrollar el tema de perímetro de una figura y tuviéramos como materiales a elegir el ábaco y los bloques lógicos, tendríamos que tener presente que el ábaco les permitirá a los niños sumar las medidas de cada lado de la figura pero no experimentar el perímetro en sí, es decir estaríamos enfocándonos más en lo que es la suma de las cantidades que en el
lo que es un perímetro en la vida real, es decir estaríamos eligiendo un material didáctico de acuerdo a nuestra intencionalidad.
3.2. Importancia del uso del material didáctico
El uso de materiales didácticos está ligado al aprendizaje en medida del uso que se le da y la forma en que se utiliza, según (Muñoz, 2012)“La importancia del material didáctico radica en la influencia que el estímulo a los órganos sensoriales ejerce en quien aprende” (p.10); de modo que, el material didáctico, al ser un material perceptible estimula los sentidos de quien lo percibe preparando al cerebro para captar toda la información que recibirá a través de dicho material que ha despertado su interés.
Estas situaciones intencionalmente preparadas, les permite desarrollar su inteligencia porque observan, manipulan, experimentan, establecen relaciones y sacan conclusiones además de protagonizar y disfrutar su aprendizaje entendiendo rápidamente el sentido del trabajo en el aula. (MINEDU, Manual de Uso, produccion y conservacion de Materiales Didacticos, 1997)
Es importante que reconozcamos la cualidad lúdica que se sujeta al material didáctico en general, y esto permite que cualquier tema acompañado de un buen material resulte atractivo ante los estudiantes, teniendo en conocimiento que al hablar de un buen material no estamos haciendo referencia a un material costoso o sofisticado, sino a un material que responda acertadamente a la intencionalidad con que lo aplicamos. Sobre esto Montesori, citado por (Manrique Orozco & Gallego Henao, 2012), nos dice:
del niño y que, poco a poco, le conduce a conquistar; con exuberante y poderosa energía, las más duras enseñanzas fundamentales de la cultura: leer, escribir y contar. (p.101-108)
Con esta expresión, Montesori resalta la importancia y el efecto que tiene un material didáctico sobre el aprendizaje de un niño; probablemente algunos opinen que se puede adquirir un aprendizaje tan solo con el uso de memoria o a través de la observación, pero está claro que el tipo de aprendizaje que se busca en el estudiante es el duradero, el aprendizaje a largo plazo, llamado por David Ausubel Aprendizaje significativo, quien manifiesta que el estudiante relaciona los aprendizajes nuevos que va adquiriendo con las estructuras
cognitivas previas, de modo que la base de su aprendizaje va a ser el conocimiento previo que maneja sobre determinado tema. Para ejemplificar esta teoría podríamos decir que, si a un niño de 6 años le queremos preguntar sobre la forma que tienen los helados, tendríamos que progresivamente haberle enseñado que existen objetos a nuestro alrededor, que cada objeto posee una forma diferente, que cada forma tiene un debido nombre y que a las formas también se les llama figuras, que existen figuras planas y poliedros y que dentro de los poliedros están los conos que corresponde a la forma de un helado. De no ser así, el estudiante no podría respondernos, y en efecto no podría asimilar un nuevo conocimiento sobre algo de lo que no tiene una base. Con respecto a esta teoría (Muñoz, 2012) nos menciona:
“el proceso de enseñanza-aprendizaje es el que se presenta para su estudio y mejor comprensión mediante tres principios reguladores de tal proceso, a saber:
De lo fácil a lo difícil. De lo simple a lo complejo
De lo concreto a lo abstracto” (p.42)
en todas las áreas debemos seguir este mismo mecanismo, aún en aquellas en las que consideramos que no es necesario trabajarlas con un material concreto.
En cuanto a la geometría, el aprendizaje significativo se va a lograr a través de la
manipulación de materiales que pueden ser elaborados, o tomados del mismo contexto pues alrededor tenemos infinidad de objetos de los cuales nos podríamos ayudar para hacer concreta nuestra enseñanza. Con respecto a esto, (Samper de Caicedo, Camargo Uribe, & Leguizamon de Bernal, 2003) nos aclara:
Uno de los dominios de la geometría es que se halla en estrecha conexión con el mundo real; a diferencia de lo que sucede con muchos tópicos y ramas de la matemática, esta se encuentra ligada a objetos físicos, al espacio físico y a la percepción de estos, en una multitud de formas distintas. (p.21)
Este mundo real que mencionan los autores, nos ofrece formas y nociones reales que el niño informalmente ya conoce desde la infancia como, por ejemplo, la forma de las hojas de los árboles, la forma que tiene su pelota, la forma del asiento que está en el comedor, la forma de un pastel, caminos largos y cortos, el espacio en el que puede entrar para esconderse, etc.; y esto forma parte de los esquemas cognitivos que el niño ha adquirido por su propia práctica y que van a ser enriquecidos a medida que vaya experimentado y conociendo más sobre el tema, especialmente en la escuela, que es en donde se busca formalizar la matemática que el niño ya descubrió a través de sus propios medios, sobre esto (Samper de Caicedo, Camargo Uribe, & Leguizamon de Bernal, 2003) nos dice:
Vemos entonces, que los materiales didácticos van a favorecer gigantescamente el aprendizaje de los niños, porque ejerce una función motivadora en el estudiante quien estará predispuesto a comprometer todos sus sentidos para recepcionar la información que pueda brindársele, de modo que la importancia que recae en los materiales didácticos en sumamente grande.
3.3. Finalidad del material didáctico
Los materiales didácticos como ya hemos visto facilitan el proceso de enseñanza-
aprendizaje, sobre esto (Manrique Orozco & Gallego Henao, 2012) expone “El niño, al tener contacto con materiales reales, llamativos, palpables y variados, lo lleva a vivenciar lo que quiere aprender, dinamizando su proceso de interiorizar contenidos y a la vez sentir el goce y disfrute por lo que se aprende” por lo tanto, al usarlo tenemos el pleno conocimiento de que el material cumplirá ciertas finalidades y funciones con respecto a la praxis pedagógica, ya que nosotros elegimos un material a trabajar , con un propósito previamente establecido, pero de forma general, estas son algunas de las finalidades que cumplen los materiales didácticos descritas en “Material Didáctico”(p.284):
- Aproximar al alumno a la realidad de lo que se quiere enseñar. - Motivar la clase.
- Facilitar la percepción y la comprensión de los hechos y conceptos.
- Contribuir a la fijación del aprendizaje a través de la impresión más viva y sugestiva que puede provocar el material.
- Despertar y retener la atención.
- Ayudar a la formación de imágenes concretas, dado que cada uno puede percibir la información oral o escrita según su capacidad de discriminación, su discernimiento y sus experiencias anteriores.
- Favorecer el aprendizaje y su retención.
3.4. Recomendaciones para el uso del Material Didáctico
Como primera medida antes de hacer uso o elección de algún material didáctico para aplicarlo en el aula, debemos respondernos a dos preguntas básicas: a) ¿Qué objetos del aprendizaje se pretenden lograr en la situación educativa donde se utilizarán estos materiales? b) ¿Qué etapa del proceso de instrucción se desea reforzar con la incorporación de este material?, una vez resuelta estas preguntas deberíamos considerar algunos otros aspectos como la población a la que va dirigido el material para adecuarlos a su edad o grado, los recursos disponibles, en caso de necesitarse fluido eléctrico, materiales de la Institución, equipo de sonido, etc., el contexto, para tener la adecuada iluminación, aseo, ventilación y por último el tiempo disponible tanto para la elaboración del material didáctico como para la presentación del mismo. (Ogalde Careaga & Bardavid Nissin, 1992, pág. 100)
En la actualidad son muchos los docentes que a fin de dar una enseñanza eficaz han intentado con una actitud innovadora practicar innumerables actividades con sus niños empleando el material necesario a fin de llegar a alcanzar un objetivo, pero hay ocasiones en las que podríamos no actuar acertadamente en el uso de los mismos, por lo que, Coriat, Cañizares y Alsina (en Castro, 2007) citado por (Valenzuela Molina, Junio 2012), nos presentan una lista de errores comunes que tenemos los docentes en cuanto al uso del material entre los que destacamos los siguientes:
- Utilización del material por el docente y no por el alumno. - Poca cantidad de materiales.
- La no adecuación del concepto presentado por el material. - Creer que el material ya asegura la adquisición de un concepto. - Falta de recursos para obtener materiales.
Toda vez que el maestro planifique el uso de un material para su clase, debe de cerciorarse de la efectividad y adecuación del mismo en relación al tema; y manipular previamente el material para corroborar el modo en el que va a usarlo para evitar indisciplinas y
distracciones en el aula, por ello, a continuación, presentaremos algunas sugerencias para usar el material de la mejor forma posible. (Material Didactico,284).
- Nunca debe quedar todo el material expuesto a las miradas del alumno desde el comienzo de la clase, ya que puede convertirse en algo que se mira con indiferencia. - Debe exhibirse, con más notoriedad, el material referente a la unidad que está siendo
estudiada.
- El material destinado a una clase debe estar a mano, a fin de que no haya pérdida de tiempo cuando se lo mande a buscar, o lo que es peor cuando sea el mismo profesor quien lo busque.
- El material para una clase debe ser presentado oportunamente, poco a poco y no todo de una vez, a fin de no desviar la atención de los alumnos.
3.5. Materiales didácticos para la enseñanza de la geometría
Antes de profundizar en este tema, es necesario aclarar que actualmente la enseñanza de la Matemática en general, se ha visto modificada como consecuencia de los resultados tan inferiores que hemos obtenido en las ultimas evaluaciones hechas por el PISA, en donde ocupamos el puesto 62 de 70 países evaluados (El Comercio, 2016) y que ha puesto al país en la necesidad de reconsiderar y reflexionar sobre la metodología que se ha estado aplicando en las Instituciones Educativas para desarrollar los contenidos de las distintas áreas
evaluadas, entre ellas la matemática.
Es en estas circunstancias en las que surge un nuevo enfoque que va ser eje en la enseñanza de las Matemáticas y por ende de la Geometría. Para enseñar la geometría, debemos tener en cuenta que nuestras herramientas principales son “Las rutas de
Aprendizaje”, estas herramientas nos muestran el enfoque, la metodología, el proceso y los objetivos que se deben alcanzar para conseguir una educación de calidad que desarrolle las potencialidades de los niños, niñas y adolescentes que en un futuro aportarán al desarrollo social del país.
El enfoque en el que ahora se enseñan todas las ramas de la Matemática, es “la resolución de problemas”, según (MINEDU, Rutas del Aprendizaje) “la resolución de problemas es indispensable a nuestra existencia como seres sociales.” (p.9), es decir que como en el contexto en el que vivimos vamos a tener la necesidad de resolver problemas durante toda nuestra existencia es necesario que en el aula desarrollemos la capacidad de resolverlos.
Lo que las Rutas de Aprendizaje propone para la enseñanza de la matemática es que no se practique más la matemática sin visión, la matemática que solo aparenta ser útil sobre un cuaderno, sino, la matemática significativa, la que se puede aplicar para resolver diferentes circunstancias y problemas que encontramos en nuestro contexto, un tipo de “Matemáticas para la vida” y para esto (MINEDU, Rutas del Aprendizaje), nos afirma: “requerimos ambientes educativos que brinden confianza y tranquilidad, así como respeto mutuo,
tolerancia y libertad, donde se puedan generar dinámicas de aprendizajes significativos y de reflexión crítica.” (p.6)
Como vemos, el rol del docente en la enseñanza de la matemática debe de ser como generador de situaciones problemáticas en el aula y como guía para que puedan resolverse, propiciando en todo momento la reflexión y el análisis de los estudiantes, para esto,
(MINEDU, Rutas del Aprendizaje), nos sugiere trabajar con material concreto y nos asegura que: “los materiales manipulativos o concretos, especialmente en los primeros ciclos, son un apoyo importante para el aprendizaje de la matemática.” (p.17), y sabemos que la matemática siempre ha desempeñado un rol fundamental en el desarrollo de los conocimientos científicos y tecnológicos.
Lo que Las Rutas de Aprendizaje nos presenta en una metodología basada en desarrollar las siguientes capacidades en el niño: Matematizar, Representar, Comunicar, Elaborar estrategias, Utilizar expresiones simbólicas y argumentar; todas estas capacidades deberán trabajarse en cada sesión de aprendizaje en el área de las Matemáticas, estas capacidades se trabajarán a lo largo del año escolar para alcanzar las competencias a desarrollar en el estudiante. (MINEDU, Rutas del Aprendizaje, pág. 21)
Por ejemplo, si nosotros aplicamos una sesión de Aprendizaje para el 6to grado de
segunda de la Matriz de competencias y Capacidades, asimismo tendríamos que desarrollar las 6 capacidades mencionadas. (véase la figura 30).
Los objetivos que tiene el enfoque basado en la resolución de problemas, son los siguientes:
- Se involucre en un problema (tarea o actividad matemática) para resolverlo con iniciativa y entusiasmo.
- Comunique y explique el proceso de resolución del problema.
- Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el proceso de resolución del problema, partiendo de un conocimiento integrado, flexible y utilizable.
- Busque información y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje significativo. - Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situación problemática
presentada.
- Reconozca sus fallas en el proceso de construcción de sus conocimientos matemáticos y resolución del problema.
- Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de manera conjunta para lograr una meta común. (MINEDU, Rutas del Aprendizaje, pág. 12)
Asimismo, la resolución de situaciones problemáticas sobre geometría permite desarrollar progresivamente la capacidad para:
- Describir objetos, sus atributos medibles y su posición en el espacio utilizando un lenguaje
geométrico
- Comparar y clasificar formas y magnitudes
- Graficar el desplazamiento de un objeto en sistemas de referencia - Componer y descomponer formas
- Estimar medidas, utilizar instrumentos de medición
- Usar diversas estrategias de solución de problemas. (MINEDU, Rutas del Aprendizaje, pág. 30).
Una vez claro el modelo que nos propone las Rutas de Aprendizaje, podemos
3.5.1. La papiroflexia
Se deriva del origami, un arte japonés que proviene de “ori” = plegar y “kami” = papel cuyo origen se ubica en China en los primeros siglos de la era cristiana cuando se inventó el papel que luego llegó a Japón aproximadamente en el siglo VI d.c. en donde alcanzó su máximo esplendor.
Es muy común que la mayoría de los niños hayan intentado en algún momento de su infancia construir un avión de papel con la sola intención de divertirnos, sin percatarnos de que inconscientemente hemos ido adquiriendo conceptos básicos de la geometría como: punto, recta, ángulo, vértice, intersección de dos rectas y eje de simetría. (Mayhua Castro, 2012)
Esta actividad a parte de ayudarnos a comprender conceptos matemáticos nos ayuda a desarrollar los siguientes aspectos:
- Psicomotricidad fina - Habilidad manual - Creatividad - Memoria - Relajación - Paciencia
- Fomenta el aprendizaje
Los materiales que se necesitan para realizar esta actividad son: papel bond o de colores, tijera y pegamento (opcional). Teniendo estos materiales podemos ir formando figuras de animales, flores u objetos que le agradan a los niños, para esto nos ayudamos de un manual instructivo muy fácil de conseguir y procedemos de acuerdo a lo que queremos formar, éste instructivo explica paso a paso las acciones que se deben de seguir para conseguir el producto final, tal y como lo muestra la siguiente imagen. (Véase figura 32)
Algunas actividades para desarrollar en clase
1. Forman una figura sencilla, (véase figura 32) y se les pide: - Hallar la cantidad de triángulos que se han formado. - La medida de los ángulos que tiene cada vértice formado.
- Medir el perímetro de cada figura con ayuda de una regla. - Hallar la suma de los perímetros de las orejas.
- Hallar el doble del perímetro de la cara del gato. - Hallar el triple del perímetro de una oreja del gato. - Hallar la mitad del perímetro del triángulo más pequeño. - Identificar qué tipos de triangulo encontramos en la figura. - Mencionar que tipo de ángulos han encontrado.
- Mencionar que otro polígono se ha formado en la figura. - Mencionar cuantos vértices se han formado en la figura. - Señalar un triángulo agudo con color verde.
- Señalar un triángulo obtuso con color rojo. - Marcar un ángulo recto con color anaranjado.
- Desdoblar la figura y mencionar cuantos triángulos encuentran.
3.5.2. Las escuadras
Son reglas de forma triangular que pueden ser de madera, metal o plástico, y pueden ser de variados tamaños y por lo general vienen acompañados de un trasportador y una regla común; sirven como herramienta para el uso de los escolares, aunque también son utilizados en otros ámbitos como la carpintería, el dibujo, diseño, albañilería y arquitectura.
Este material nos servirá para trazar rectas, dibujar polígonos (triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc.), trazar ángulos, medir ángulos, medir los lados de las figuras que trazamos, y otras actividades más.
- Diseña un dibujo libre haciendo uso de líneas rectas. - Menciona cuantos cuadrados tiene tu dibujo.
- Menciona cuantos triángulos tiene tu dibujo.
- Pinta de rojo las figuras que tengan de 0 a 10 cm de perímetro.
- Pinta de azul las figuras que tienen más de 10 cm, pero menos de 20 cm de perímetro. - Pinta de amarillo las figuras que tienen de más de 30 cm de perímetro.
- Dibuja en una hoja una línea recta. - Dibuja en una hoja una línea quebrada.
- Dibuja los siguientes ángulos: de 30°, 50°, 70°, 25°, 20°, 60°, 40°, 65° y une los que son complementarios.
Las actividades mencionadas son solo algunas de las muchas que se pueden realizar con las escuadras, se pueden usar hojas de colores para dar la idea de plano, y trabajar cuadrados, rectas poligonales, hallar áreas de cuadrado, triangulo, etc., además que el grado de dificultad que uno le asigne a los materiales deberá estar de acuerdo al grado y tema que se trabaja.
3.5.3. El tangram
Es un rompecabezas que consta de 7 piezas, 5 triángulos, 1 cuadrado y un paralelogramo, también se le llama “tabla de la sabiduría” o “tabla de los 7 elementos” porque desarrolla la imaginación y las habilidades mentales. El uso de este material didáctico ayuda a que se formen conceptos abstractos a través de su manipulación.
Puede ser elaborado con madera, triplay, plástico, cartón, cartón prensado, microporoso, cartulina plastificada, papel, etc. de acuerdo a la conveniencia del usuario y nos va a servir como un material para trabajar una variedad de temas como lo son: ángulos, perímetros, áreas, figuras planas, polígonos, fracciones entre otros.
Este material, además de servirnos para los conceptos matemáticos, también nos ayuda a desarrollar otras actividades como es la comunicación, la sociabilidad, el ingenio.
Elaboración
- Elegir el material y cortar un cuadrado con las medidas de la figura 36. - Trazar una línea en diagonal uniendo ángulos opuestos y cortar.
- Tomar uno de los triángulos obtenidos y cortar por la mitad, saldrán dos triángulos de igual tamaño que quedaran tal y como están.
- De la otra mitad saldrán las otras 5 piezas, para esto mediremos 30 cm en ambos lados del ángulo recto y trazaremos una línea en diagonal formando un el cual cortaremos obteniendo nuestra tercera pieza. (figura 36)
- De la figura que nos queda, sacaremos cuatro piezas, para lo cual debemos marcar un punto en la mitad de los lados más largos y unir con un trazo para luego cortar.
- De una de las mitades sacaremos el cuadrado y el triángulo guiándonos de las medidas indicadas (figura 36), y de la otra sacaremos el paralelogramo y un triángulo más, obteniendo así nuestras siete piezas.
- Elige una figura de la imagen y reprodúcela con el uso de tu tangram. - Forma una figura y pídele a tu amigo que adivine que es.
- Forma una figura y pídele a tu amigo que lo reproduzca. - Forma un cuadrado usando dos figuras de tu tangram.
- Forma un cuadrado usando las siete figuras de tu tangram. - Mide el perímetro que tiene la figura que has formado. - Calcula el área del cuadrado que has formado.
- Si el triángulo pequeño es = 1, ¿Qué valor tendrá el triángulo grande?
- Forma una figura, colócale un nombre y cuenta una historia sobre él. (véase figura 39 y 40)
Esta última actividad se puede trabajar a nivel de aula, con la participación de cada niño para elaborar una figura diferente, o a nivel de grupo, los estudiantes podrían elaborar en un papelote un cuento breve usando imágenes formadas por el geoplano, esta actividad motiva el razonamiento del niño porque requiere de mucha imaginación y creatividad.
3.5.4. El geoplano
Es un recurso didáctico muy interesante, pues nos sirve para introducir los conceptos geométricos de forma manipulativa, fue creado por el matemático egipcio Caleb Gattegno sobre 1960, quien buscaba un método para enseñar la geometría de una forma más didáctica. Pueden ser
: geoplano cuadrangular, triangular y circular. Este material consiste en un tablero cuadrado, generalmente de madera u otro material resistente en el cual se realiza una
cuadrícula de la medida que necesite quien va a hacer uso de él, en cada una de las esquinas de cada cuadrado se clavan o insertan clavos, tachuelas o el material que le sea
proporcionado, de tal manera que éstos sobresalen de la superficie de la madera unos 2 cm. El tamaño del tablero es variable y está determinado por un número de cuadrículas; éstas pueden variar desde 9 (3 por 3=9) hasta 121 (11 por 11=121). El trozo de madera utilizado no puede ser una plancha fina, ya que tiene que ser lo suficientemente grueso -2 cm. aproximadamente- como para poder insertar los clavos de modo que queden firmes y que no se ladeen. Sobre esta base se colocan gomas elásticas (ligas) de colores que se sujetan en los clavos formando las figuras geométricas que se deseen.
Geoplano circular
Es fácil y sencillo de elaborar, el material que mas se emplea es la madera, puedes elaborar uno siguiendo las siguientes indicaciones:
1. Traza una circunferencia grande en una hoja de papel. 2. Recorta el círculo que te quedó en el trazo anterior.
3. Dobla en cuatro partes iguales y marca con un color las líneas que resultan de los dobleces. Son cuatro ángulos de 90°
. Coloca el círculo en una base de madera o unicel y coloca una tachuela o alfiler, en el centro y en cada uno de los extremos de las líneas que tocan un punto de la circunferencia. Marca el círculo con un plumón, y después retira el círculo de papel. Este será tu geoplano circular.
Algunas actividades para trabajar con el geoplano cuadrado: - Forma un cuadrado de 4 cm. De lado.
- Halla el perímetro del cuadrado formado. - Forma con las ligas un rectángulo de 6 x 4 cm. - Forma un ángulo recto en el geoplano.
- Forma un ángulo agudo en el geoplano. - Forma un ángulo obtuso.
- Forma un ángulo nulo.
- Dibuja una figura en el lado derecho del geoplano y reprodúcelo en el lado izquierdo. - Forma una recta de 10 cm en el geoplano.
- Forma dos rectas paralelas.
- Realiza una figura libre y pídele a tu compañero que lo copie en su geoplano. - Realiza un dibujo libre en tu geoplano.
- Pídele al estudiante que realice seriaciones usando dos colores, luego tres, luego cinco. - Traza un eje de simetría en el plano y forma una figura, pídele al niño que lo
reproduzca respetando las distancias.
- Pídele al niño que haga una figura representando una mitad con ligas de un color y la otra mitad con ligas de otro color.
- Pídele al estudiante que elabore figuras sencillas y que muestres su eje de simetría. - Muéstrale al niño figuras graficadas en el geoplano y pregúntale que fracción
representa.
Figura 43. Figura 44.
Figura 45. Figura 46.
Actividades para trabajar con el geoplano circular: - Traza un ángulo agudo.
- Traza un ángulo obtuso - Traza un ángulo de 60° - Traza un ángulo de 90| - Traza un ángulo llano - Traza un ángulo cóncavo
- Suma un ángulo de 30° más uno de 60° - Suma un ángulo de 70 ° más uno de 45°
- Encontrar el complemento de un ángulo de 30° - Encontrar el suplemento de un ángulo de 135°
- Representa polígonos en tu geoplano circular, menciona cuales pudiste formar. - Comprobar que la suma de ángulos en cualquier triángulo equilátero es 180º . - Calcular ángulos interiores de polígonos regulares 165º (de 24 lados), 150º
(dodecágono), 135º (octógono), 120º (hexágono), 90º(cuadrado), 60º (triángulo equilátero)
- Explorar número de diagonales en cada polígono regular.
- Construir polígonos estrellados regulares: Octógono estrellado y dodecágono estrellado.
3.5.5. Los bloques lógicos
Material que consta de 48 piezas sólidas, generalmente de madera o plástico, y de fácil manipulación. A partir de la actividad con los bloques lógicos, el niño llegará a nombrar y reconocer cada bloque, reconocer cada una de sus variables y valores, clasificarlos
atendiendo a un solo criterio que puede ser la forma o el tamaño para pasar después a
considerar varios criterios a la vez y comparar los bloques estableciendo las semejanzas y las diferencias.
Cada pieza se define por cuatro variables: color, forma, tamaño y grosor. A su vez, a cada una de las piezas tienen diferentes características:
- El color: rojo, azul y amarillo.
- La forma: cuadrado, círculo, triángulo y rectángulo. - Tamaño: grande y pequeño.
- Grosor: grueso y delgado.
Cada bloque se diferencia de los demás al menos en una de las características, en dos, en tres o en las cuatro. A partir de la actividad con los bloques lógicos, el niño llegará a:
Actividades para trabajar con los bloques lógicos
- Elabora con tus fichas un dibujo libre, una mascota, una casa, un tren, etc. - Dibuja sobre un papel la silueta de la figura que haz formado.
- Construye un camino usando solo triángulos.
- Construye un camino usando solo cuadrados pequeños - Construye un camino usando figuras pequeñas y delgadas - Elige una ficha y describe su forma, tamaño, color y grosor. - Forma un grupo con tus fichas.
- Forma cuatro grupos de ficha, explica el criterio con que los formaste. - Oculta una ficha y pregúntale cual es la ficha que falta.
- Forma un camino, luego nombra el color y el grosor de las figuras que colocaste según el orden.
- Se elige una pieza, por ejemplo, el triángulo pequeño, delgado y amarillo, se le pide al niño continuar el camino con una figura que tenga una característica en común con la figura anterior, por ejemplo, un triángulo grande, grueso y azul, ambos tienen una sola característica en común: la forma. Se puede pedir que consideren dos características, según la edad con la que trabajamos.
- Presenta una seriación y pídele al niño que te diga que criterio tomaste y que pieza continua.
- Se le puede poner código a cada color para trabajar un camino, por ejemplo, formamos un dado con símbolos que indiquen: cambia de forma, cambia de grosor, cambia de color, cambia de tamaño, cambia de grosor y tamaño, cambia de color y forma, luego se inicia el camino con una ficha cualquiera y se tira el dado para ver el símbolo que le toca y la indicación que corresponde, será muy divertido.
- Hacemos un camino de 5 piezas y le pedimos a un niño que observe, luego le pedimos que se voltee y quitamos una pieza, el niño deberá adivinar la pieza que falta.
- Se pegan las piezas en la pizarra y se le pide al niño que haga un conjunto de círculos. (el criterio puede variar)
- Muéstrale una serpiente al niño dividida en espacios, en cada espacio colocaras una ficha, tiene que tener una seriación de modo que, al quitar la ficha el niño pueda darse cuenta del patrón y adivinar la ficha faltante.
- Pídele al niño que elabore una figura usando cuadrados, luego pídele que halle el perímetro.
- Elabora carteles de los colores, formas, tamaños y grosores, tachados y sin tachar para que a los estudiantes los hagas reaccionar con el cartel que le muestras, para esto, repártele una ficha a cada estudiante y les mostraras uno de tus carteles, por ejemplo, si muestras el cartel que indica grande, se pararan todos los estudiantes que tengan fichas grandes, si muestras un cartel que dice o es amarillo, todos los que tienen figuras que no son de color amarillo deberán pararse.
3.5.6. El libro de los espejos
Un libro de espejos está formado por dos hojas de espejos unidos por uno de sus lados. Esta unión permite abrirlo y cerrarlo a nuestro criterio y así poder visualizar todos los
polígonos. Las dimensiones de cada hoja son de 95x95 mm aproximadamente y el material es POLIESTIRENO, por lo que no se rompe cuando se golpea.
Se pueden utilizar espejos corrientes, o mejor aún, de un material comercializado de las mismas características, pero que no es de cristal, “para mirar” en lugar de “para mirarse”. Un libro de espejos puede construirse con facilidad uniendo dos láminas (de, por ejemplo, 8 × 12 cm) con una cinta adhesiva por el borde, de manera que las superficies reflectantes queden hacia el interior del libro, y procurando que este abra y cierre con facilidad.
La utilización tanto de una lámina de espejo como del libro de espejos se puede hacer para:
• Favorecer la visualización de: – Ejes de simetría.
– Generalización de polígonos (regulares, irregulares y estrellados).
– Ángulos interiores de un polígono y deducción de la suma de los mismos. • Analizar las propiedades de las figuras.
Es un material extraordinariamente motivador que genera actitudes positivas e interés en los alumnos.
Actividades a realizar con el libro de espejos:
- Usando tu libro de espejos intenta observar dos rectas paralelas. - Intenta formar un ángulo agudo.
- Intenta formar un ángulo recto. - Forma un ángulo obtuso - Forma un ángulo llano.
- Con ayuda de tu libro de espejos completa la imagen que se te da. - Con ayuda de tu libro de espejos cambia la forma de una figura.
- Dibuja un triángulo y coloca tu libro de espejos cerca del triángulo de forma que aparezcan dos triángulos.
- Usando el mismo triangulo, mueve las hojas del libro de espejo de modo que encuentres otra figura.
- Realiza diferentes líneas y con ayuda de tu libro de espejos forma un cuadrado. - Traza una línea recta, y pon tu libro de espejo sobre ella, achica el ángulo del libro y
agrándalo para ver que figuras puedes formar.
Figura 55.
3.5.7. Mecano
Un mecano es un material constituido por “tiras” (formas rectangulares) elaboradas con cartón, madera, aluminio o cualquier material resistente. Para elaborar este material se necesita lo siguiente: Regla, escuadras, lápiz, tiras de cartón grueso u otro material resistente, exacto, tornillos pequeños con sus respectivas tuercas, hojas de papel sin rayas, hilo elástico, perforadora o taladro de acuerdo con el material a usar, rectángulo de cartón grueso de 20 x 30 cm.; como primer paso construye las tiras según se indica. Los orificios sombreados están centrados; los otros, espaciados a igual distancias. Los números debajo de cada tira las identifican:
Las cantidades de estas piezas serán:
Figura 58.
Actividades para trabajar con el mecano
- Intenta construir un triángulo usando los tornillos y las tiras 1, 2 y 4.
- Compara cada uno de los lados, con la suma de los otros dos. Escribe el resultado en cada caso.
- Intenta construir un triángulo usando los tornillos y las tiras 1, 2 y 3. - Construye ahora un triángulo que tenga dos lados iguales.
- Construye un triángulo que tenga todos sus lados iguales.
- Escoge cuatro tiras de diferentes longitudes. Construye un cuadrilátero. - Escoge cuatro tiras de igual longitud y construye un cuadrado.
- Escoge cuatro tiras iguales de dos en dos. Construye un cuadrilátero. Menciona el cuadrilátero que formaste.
- Escoge cuatro tiras de diferentes longitudes de modo que permitan construir un cuadrilátero.
- Utiliza tres tiras de diferentes longitudes para construir un triángulo. - Reproduce el modelo que propondremos en la pizarra.
Figura 60.
Figura 61.
3.5.8. Cuerpos geométricos
Son materiales que pueden elaborarse empleando cartulina, madera o plástico, su función principal es de trabajar figuras tridimensionales o solidos geométricos, este material es muy útil y fácil de elaborar ya que existen muchas fuentes de información de donde podemos adquirir un modelo imprimible para realizarlos en papel o cartulina; en el caso de optar por los materiales de plástico o de madera, se deberá requerir el producto en una tienda.
Este material tendrá en su contenido figuras como el cono, el cilindro, la esfera, prismas, pirámides, etc. Y tendrá como objetivo introducir conceptos de volumen, superficie, aristas, vértices, etc.
Actividades a realizar usando los cuerpos o solidos geométricos - Elige una pieza, nómbrala
- Elige dos piezas, menciona en que se parecen. - Elige dos piezas, menciona en que se diferencian.
- Arma una torre usando varias piezas, luego nómbralas en orden.
- Forma conjuntos con los cuerpos que tienes, explica que criterio seguiste. - Elige una figura y menciona la cantidad de sus vértices.
- Elige una pieza y menciona la cantidad de sus aristas. - Elige una pieza y señala su base
- Elige una pieza y mide los ángulos de su base. - Elige una pieza y mide el perímetro de su base.
- Forma dibujos libres delineando la silueta delas figuras. - Arma figuras usando las piezas que necesites.
- Arma un camino y luego esconde una ficha sin que lo note tu compañero, luego pregúntale que pieza falta.
3.5.9. El pentacubos
Son piezas en forma de cubo elaboradas en madera, por lo general el material se adquiere ya hecho, pero el color y acabado dependerá del toque artístico que nosotros querramos darle. En ocasiones suele venir ya pintado. El objetivo de este material es de desarrollar nuestra noción espacial, asi como ayudarnos razonar.
Actividades para realizar con uso del cubo
- Forma la letra inicial de tu nombre y menciona cuantos cubos usaste. - Forma una figura libre y calcula su perímetro.
- Forma una figura libre y calcula su área. - Elige una figura del modelo y reprodúcela.
- Diseña varias formas con el uso de los pentacubos de forma que muestres una seriación.
- Utiliza los pentacubos para formar figuras libres, menciona cuales formaste. - Diseña una figura que tenga 12 cm2 de área.
Estos bolquecitos pueden variar de forma y de nombre, pero siempre representara un recurso para hacer entretenida la matemática.
CAPÍTULO IV
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y COMPLEMENTARIOS
4.1. Ángulos complementarios
Se les llaman ángulos complementarios a dos ángulos que al unirse forman un ángulo recto, es decir que al sumarlos den como resultado 90°, ( véase figura 66).
En esta imagen vemos que la medida de los ángulos son 65° y 25° y la suma de ambos es 90º, pero la medida puede variar, y seguirán siendo complementarios siempre que al sumarlos de como resultado 90º. (véase figura 67 y 68).
En estos casos como la figura 54, 55 y 56, los ángulos comparten uno de sus lados que es el que está en medio dividiendo el ángulo de 90º pero no siempre se presenta de esta manera, también es posible que dos ángulos separados cuyos valores formen un ángulo recto, es decir, sumen 90º sean complementarios. (véase figura 69)
Figura 67.
4.2. Ángulos suplementarios
Se les llama así, a dos ángulos que al sumarlos den como resultado 180º, es decir, que al juntarlos formen dos ángulos rectos teniendo en cuenta que la medida de los ángulos puede variar, pero serán suplementarios siempre que al sumarlos de 180º como en la imagen siguiente:
En la figura 58 y 59, los ángulos son complementarios y adyacentes, ya uno de sus lados se origina de la misma recta, pero tal como el caso de los suplementarios, podría variar de medias (véase figura 71) y además podrían ser suplementarios presentándose por ángulos separados. (véase figura 72)
Figura 69.
APLICACIÓN
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I. DATOS INFORMATIVOS
INSTITUCIÓN EDUCATIVA : Mi Casita Feliz - Solea PROFESORA : Prof. Helga Senmache Cucho. ÁREA : Matemática.
CURSO : Matemática.
GRADO : 5º
BIMESTRE : I Bimestre
FECHA : Martes, 18 de Abril del 2017.
DURACION : 45 minutos.
TEMA : “Ángulos complementarios y suplementarios”.
II. SELECCIÓN DE CAPACIDADES, INDICADORES, TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN
COMPETENCIAS CAPACIDADES INDICADORES INSTRUMENTO
DE EVALUACIÓN
COMUNICA Y
REPRESENTA IDEAS
MATEMATICAS
Comunica y Representa ideas matemáticas.
Razona y argumenta generando ideas matemáticas.
Representa usando el geoplano circular medidas de ángulos complementarios y
suplementarios y lo gráfica en su cuaderno.
Explica la diferencia entre los ángulos complementarios y suplementarios.
Técnica:
Observación sistemática
Instrumento:
