Espacios vectoriales con producto interior Producto interior: Norma de vectores en espacios con producto interior. Vectores ortogonales. Bases ortonormales. Ortonormalización de bases. Aplicaciones a la geometría

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Enrique Guzmán y Valle Alma máter del magisterio nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática.

MONOGRAFÍA

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

Producto Interior: Norma de Vectores en Espacios con Producto Interior. Vectores ortogonales. Bases Ortonormales. Ortonormalización de Bases. Aplicaciones a la geometría.

Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 1149-2018-D-FAC

Presentada por:

JUAN LEONCIO CHÁVEZ SOBRADO

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática e Informática

(2)
(3)
(4)

Contenido

Portada i

Designación del Jurado ii

Dedicatoria iii

Contenido iv

Introducción vi

CAPÍTULO I: CONCEPTOS PRELIMINARES 8

1.1 Ley de composición interna 8

1.2 Ley de composición externa 10

1.3 Cuerpos 11

1.4 Espacio vectorial 14

1.5 Sub espacios vectoriales 18

1.6 Combinación Lineal 19

1.7 Espacio generado 22

1.8 Dependencia e independencia lineal 23

1.8.1 Dependencia Lineal 24

1.8.2 Independencia lineal 25

1.9 Bases y dimensión de un espacio vectorial 26

CAPÍTULO II: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 29

2.1 Producto interno 29

2.1.1 Propiedades de los productos internos 33

2.2 Espacio euclidiano 35

(5)

2.3.1 Distancia entre vectores 36 2.3.2 Módulo del producto entre un escalar y un vector 38

2.3.3 Vector unitario 40

2.4 Vectores ortogonales 41

2.4.1 Generalización del Teorema de Pitágoras 42

2.4.2 Complemento ortogonal 43

2.4.3 Vectores ortonormales 43

2.4.4 La desigualdad de Cauchy – Schwarz 45

2.4.5 La desigualdad triangular 47

2.4.6 Ángulo entre vectores 48

2.5 Bases ortogonales y ortonormales 52

2.5.1 Base ortogonal 52

2.5.2 Base ortonormal 53

2.5.3 Ortonormalización de una base (Proceso de Gram-Schmidt) 54

CAPÍTULO III: SÍNTESIS 58

CAPÍTULO IV: APLICACIÓN DIDÁCTICA 65

CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS 67

(6)

INTRODUCCION

En el presente trabajo monográfico se realiza el estudio de los espacios vectoriales con producto interno, cuya importancia radica en el hecho de que establece un vínculo entre aspectos geométricos y algebraicos, que ayudan a lograr una mejor comprensión de los conceptos que se abordan.

En la parte preliminar se inicia precisando y diferenciando los conceptos de ley de composición interna y de composición externa, luego se presentan los axiomas que definen la estructura de cuerpo que es fundamental para el estudio de los espacios vectoriales; asimismo se abordan los sub espacios vectoriales, las combinaciones lineales, los espacios generados, terminando con el estudio de la dependencia e independencia lineal y la determinación de la base y dimensión de los espacios vectoriales.

En base a estos conceptos, en la parte central de la presente monografía, se abordan los conceptos de producto interno y sus propiedades, se define el espacio euclidiano, luego se presentan los conceptos de norma de un vector, vector unitario, distancia entre vectores, la desigualdad de Schwartz, la desigualdad triangular, el cálculo de la medida de ángulos entre vectores usando los conceptos de producto interno y norma de un vector; así como los conceptos de ortogonalidad, y ortonormalidad de vectores.

(7)

Considerando que la importancia de los espacios vectoriales con producto interno radica en sus diversos vínculos con diferentes tópicos de la matemática y con otras disciplinas científicas, proponemos que de manera elemental se introduzcan estos conceptos en la enseñanza de la matemática en la educación secundaria, para que su estudio en la educación superior se profundice y amplíe aún más.

Por lo que, esperamos que el presente trabajo monográfico sirva como un estudio introductorio de autoaprendizaje tanto para los estudiantes como para los docentes de matemática.

(8)

CAPÍTULO I: CONCEPTOS PRELIMINARES

1.1Ley de composición interna

Definición.-

Sea A un conjunto no vacío, llamamos ley de composición interna (LCI) definida

sobre A, a toda operación que hace corresponder a cada par de elementos de A otro

elemento de A.

Es decir:

 es una LCI en A, si ( ) ( )

Nota: ( ) se lee: “la imagen del par (a, b)”, y a  b se lee: “a compuesto con b”.

Ejemplos:

1. En el conjunto de los números naturales, la adición es una ley de composición interna; puesto que, la suma de dos números naturales es otro número natural.

Es decir:

, pues a todo par de números naturales (a;b)ab

Así, (3;4)347 Î

(9;3)9312 Î

(9)

otro número real; lo que significa que la adición es una ley de composición interna en los conjuntos numéricos , y .

2. La multiplicación de números enteros es una ley de composición pues el producto de cualquier par de números enteros es siempre un número entero.

: x → , pues (a;b)ab para todo par de números enteros a y b. Así,

(5;4)(5)420Î (6;7)(6)(7)42Î

Lo mismo sucede si multiplicamos números naturales, números racionales o números reales; por lo que la multiplicación es una ley de composición interna en

, y .

3. Sean el conjunto y el conjunto de partes de E, ( ); entonces la intersección de conjuntos es una ley de composición interna; pues la intersección de dos subconjuntos de

E, es otro subconjunto de E.

Es decir:

( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Contraejemplos:

1. La sustracción no es una ley de composición interna en ; pues la diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural.

Así:

(10)

(7;7)770Î

(3;10)3107

Como se observa, solo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo la diferencia de dos números naturales es otro número natural; pero, si el minuendo es menor que el sustraendo la diferencia no es un número natural (es un número entero).

2. En el conjunto de los números irracionales, la multiplicación no es una ley de composición interna; ya que el producto de dos números irracionales no siempre es un número irracional.

( 2; 3) 2 3 6 Î ( 2; 8) 2 8 16 4

1.2Ley de composición externa

Definición.-

Dados dos conjuntos y no vacíos, llamamos ley de composición externa (LCE)

definida sobre , a toda operación:

Que cumple los siguientes axiomas:

E1. ( ) ( )

(11)

Ejemplos:

1. En el conjunto de los polinomios, la multiplicación por un número real es una ley

de composición externa.

Pues:

E1. ( ) ( ( )) ( ) ( )

E2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E3. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) E4. ( ) donde 1 es el neutro multiplicativo en .

2. En el conjunto de matrices, el producto por un escalar es una ley de composición

externa.

E1. ( ) ( )

E2. ( ) ( ) E3. ( ) E4. donde 1 es el neutro multiplicativo en .

1.3Cuerpos

Definición.-

Dado un conjunto provisto de dos leyes de composición interna y ,

(12)

A1. Asociativa: ( ) ( )

A2. Existe elemento neutro: ;

A3. Existe elemento simétrico: , ( ) ( ) ( ) A4. Conmutativa:

M1. Asociativa: ( ) ( )

M2. Existe elemento neutro: ,

M3. Existe elemento simétrico: ,

Es decir, la terna ( , +, ) es un cuerpo si: i. ( , +) es un grupo abeliano,

ii. ( , ) es un grupo.

iii. Además la multiplicación es distributiva respecto a la adición:

( )

( )

Si además, , (conmutatividad de ( , ) ); entonces, se dice que el cuerpo ( ) es conmutativo.

Ejemplos:

1. El conjunto de los números racionales provisto de las leyes de adición y multiplicación usuales, ( ) es un cuerpo conmutativo con unidad.

Puesto que:

(13)

A3: , ( ) ( ) ( ) A4:

M1: ( ) ( ) M2: ,

M3: ( * +), ( * +), D: ( )

( )

Como además la multiplicación de números reales es conmutativa, ( ) es un cuerpo conmutativo; pues:

2. El conjunto de los números reales provisto de las leyes de adición y multiplicación usuales, ( ) es un cuerpo conmutativo con unidad.

A1: ( ) ( )

A2: ;

A3: , ( ) ( ) ( ) A4:

M1: ( ) ( ) M2: ,

M3: ( * +), ( * +), D: ( )

(14)

Como además la multiplicación de números reales es conmutativa, ( ) es un cuerpo conmutativo; pues:

1.4Espacio vectorial

Definición.-

Sean un conjunto no vacío, un cuerpo, “+” ley de composición interna llamada “adición de vectores” y “.” ley de composición externa llamada “producto por escalar”. La cuaterna ( ) 1

es un espacio vectorial si se verifican los siguientes axiomas:

Adición de vectores

Ev1. La adición es una ley de composición interna en .

O sea:

Significa que la suma de dos elementos cualesquiera de es un único elemento de .

Ev2. La adición es asociativa en

( ) ( )

Ev3. Existe un elemento neutro para la adición en

El elemento neutro se denota con y se denomina vector nulo.

1

(15)

Ev4. Todo elemento de admite opuesto aditivo en ( ) ( )

Ev5. La adición es conmutativa en

Producto por un escalar

Ev6. El producto por un escalar es una ley de composición externa en con escalares u operadores en .

Es decir:

Dados entonces, , llamado producto escalar.

O sea:

Ev7. El producto satisface la asociatividad mixta

( ) ( )

Ev8. El producto es distributivo respecto de la suma en

( ) …2

Ev9. El producto es distributivo respecto de la suma en

2

(16)

( ) …3

Ev10. La unidad del cuerpo es neutro para el producto. … 4

Observación.-

Los axiomas Ev1, Ev2, Ev3, Ev4 y Ev5 caracterizan a ( ) como un grupo

abeliano; mientras que los axiomas Ev6, Ev7, Ev8, Ev9 y Ev10 corresponden a una ley de composición externa.

Definición.-

Dados llamamos diferencia de los vectores e a:

( ).

Ejemplos

1. El conjunto de las de números reales, con la adición y producto por un escalar definidos a continuación es un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales:

( )

( )

3

Las dos sumas se realizan en V. 4

(17)

Donde ( ) , ( ) y pues se verifican los axiomas propuestos.

2. En particular, para n = 2 y n = 3, se tienen los espacios vectoriales ( 2, +, .) y

( 3

, +, )

3. El conjunto de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales con las operaciones de adición y producto por escalares (números reales) es un espacio vectorial.

0 Y

(-3;2)

2

X 5

4 -3

(4;5)

(2;0)

Espacio vectorial (ℝ2, +, ℝ .)

𝑋

𝑍

(𝑥0 𝑦0 𝑧0 )

𝑌

(18)

4. Otros espacios vectoriales son el conjunto de los polinomios, el conjunto de partes de un conjunto, el de funciones reales, entre otros.

1.5Sub espacios vectoriales

Definición.-

Dados el espacio vectorial ( ) y el conjunto no vacío ; si es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo con las mismas leyes de composición definidas en , decimos que ( ) es un subespacio de ( ), o simplemente, que es un subespacio de .

Caracterización:

Dados el espacio vectorial ( ) y el conjunto no vacío , decimos que:

si y solo si: *

Ejemplos:

1. Dado el espacio vectorial ( 3, +, ) el conjunto

*( ) + es un subespacio de 3.

(19)

El conjunto *( ) + no es un subespacio de 2; puesto que

S no es cerrada para la adición, ya que:

( ) ( ) pero, ( ) ( ) ( )

1.6Combinación lineal

Definición:

Sea un espacio vectorial sobre , y vectores en .

Decimos que u ϵ es una combinación lineal de , si existen

escalares en tales que:

(20)

Ejemplos:

1. En el espacio vectorial 2, el vector ( ) es combinación lineal de los vectores ( ) y ( ) pues existen los números reales y

, de tal manera que:

( ) ( ) ( )

2. El vector ( ) 3 es combinación lineal de los vectores v1 = (2, 1, 3) y v2 = (3, -2, 2); puesto que existen

α1 = 3 y α2 = -1, tales que:

3(2, 1, 3) - (3, -2, 2) = (3, 5, 7) (6, 3, 9) - (3, -2, 2) = (3, 5, 7)

0 Y

(21)

3. El vector y = (4, -1, 8) ϵ 3 no es combinación lineal de los vectores v1 = (1, 2, -1) y v2 = (6, 4, 2).

Solución:

En efecto, tomando los escalares α1 y α2 α1v1 + α2 v2 = y

α1(1, 2, -1) + α2 (6, 4, 2) = (4, -1, 8)

De donde:

α1 + 6α2 = 4 ... (1)

2α1 + 4α2 = -1 … (2) -α1 + 2α2 = 8 … (3)

A partir de (1) y (2): α2 = 9/8

Mientras que a partir de (2) y (3): α2 = 15/8

(22)

4. Dados los vectores u1 = (2, -1) y u2 = (1, 3); verificar si el vector x = (10, 2) es combinación lineal de u1 y u2.

Solución:

Para ver si x = (10, 2) es combinación lineal de u1 y u2, debemos encontrar dos escalares α1 y α2, tales que:

α1u1 + α2 u2 = x

Es decir: α1 (2, -1) + α2 (1, 3) = (10, 2) De donde: 2 α1 + α2 = 10

-α1 + 3α2 = 2 Luego: α1 = 4 y α2 = 2

Por lo tanto x = (10, 2) es una combinación lineal de u1 y u2.

1.7Espacio generado

Definición:

0 Y

X 5

4

(10;6)

(23)

Si es un espacio vectorial sobre , y * + es un

subconjunto de ; el subespacio generado pos S, que denotamos por [S] es el

conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de S.

Es decir, un elemento ϵ [S] es un vector de la forma:

donde los son elementos de S y los son escalares elementos de .

Ejemplos:

1. Dado S = {(1, -2, -1), (3, 4, 5)} subconjunto de 3 , [S] = {(x, y, z) ϵ 3 / 6x + 3y -5z = 0} es un plano.

2. Dado S = {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)} subconjunto de 3 ,

[S] = {(x, y, z) ϵ 3 / 3y -2z = 0} es una recta.

(24)

1.8.1 Dependencia Lineal

Definición:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial , son

linealmente dependientes si existen escalares no todos nulos, tales que:

Ejemplos:

1. Los vectores ( ) y ( ) del espacio vectorial 3,son linealmente dependientes.

Pues, 2u + v = 0

2. Los vectores ( ) y ( ) del espacio vectorial 2,son linealmente dependientes.

Puesto que: ( ) ( )

0

Y

(25)

1.8.2 Independencia lineal

Definición:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial , son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.

Es decir,

son linealmente independientes, si y solo si:

(

Ejemplos:

1. Los vectores u = (3, -2) y v = (-3, -1) del espacio vectorial 2,son linealmente independientes.

Puesto que: α1u+ α2v = 0

α1(3, -2) + α2(-3, -1) = (0, 0) 3α1 - 3α2 = 0 y -2α1 - α2 = 0

Resolviendo la ecuación se obtiene que la única solución es α1 = 0 y α2 = 0

0

Y

(26)

2. Los vectores (1, -1, 0, 2), (2, 1, 3, 4) y (0, -2, 1, 1) del espacio vectorial 4,son linealmente independientes.

Puesto que:

Si, α1 (1, -1, 0, 2) + α2 (2, 1, 3, 4) + α3 (0, -2, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Resolviendo el sistema de ecuaciones α1 + 2α2 = 0

- α1 + α2 – 2 α3 = 0 3α1 + α3 = 0 2 α1 + 4α2 + α3 = 0

Se obtiene que la única solución es α1 = α2 = α2 = 0

1.9Bases y dimensión de un espacio vectorial

Definición.-

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo .

Un conjunto * + de vectores de forman una base de , si:

i. * + es linealmente independiente.

ii. * + generan a .

Es decir,

B  V es una base de V  B es L.I. y [B] =

Ejemplos:

(27)

Puesto que:

i. B es L.I. pues:

α1 (1, 0) + α2 (0, 1) = (0, 0)  α1 = α2 = 0

ii. B es generador de 2 ; es decir: [B] = 2

Pues, tomando (a, b) un elemento arbitrario de 2: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1)

2. En general, dado el espacio vectorial n ,

B = {(1, 0, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, 0, 0, …, 0, 1)} es una base de n .

3. A = { (1, 0, 1), (0, 1, 1) } es una base del subespacio S de 3

S = {(x, y, z) ϵ 3/ z = x + y }

En efecto,

iii. A es L.I. pues:

0

Y

X

(28)

α1 (1, 0, 1) + α2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0)  α1 = α2 = 0

iv. [A] = S

Sea (a, b, c) Î S, entonces: c = a + b

(a, b, c) = (a, b, a + b) = (a, 0, a) + (0, b, b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1)

Esto significa que los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, 1) constituyen un sistema de generadores de S; es decir [A] = S.

4. Los vectores (-1, 3), (2, -6) no constituyen una base de 2, porque son linealmente dependientes.

Definición:

Sea * + un espacio vectorial, el número de vectores que constituyen una base de , se denomina dimensión de .

Nota:

𝑋

𝑍

( )

𝑌

(29)

1. Si * + diremos que la dimensión de es 0.

2. El espacio será de dimensión finita, cuando la base es finita, y es de dimensión infinita cuando la base es infinita.

Ejemplos:

1. De acuerdo a las bases establecidas anteriormente, se puede afirmar que la

dimensión del espacio vectorial 2 es 2, la dimensión de 3 es 3, y la dimensión de n

es n.

2. La dimensión del espacio vectorial S = {(x, y, z) ϵ 3/ z = x + y } , cuya base es A = { (1, 0, 1), (0, 1, 1) } es 2.

CAPÍTULO II: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

2.1 Producto interno

Definición:

Sea un espacio vectorial sobre , un producto interno en , es una aplicación

que satisface:

(30)

P2. < u, v + w > = < u, v> + < u, w > ; " u, v, w Î (linealidad) P3. < α u , v > = α < u, v > ; " α Î , " u Î

P4. < u , u > ≥ 0 (positividad)

< u, u > = 0  u = 0

Observaciones:

1. Un espacio vectorial con un producto interno se denomina espacio con producto interno.

2. Si es un espacio vectorial real, el producto interno de dos vectores es un número real.

Ejemplos:

1. Sea u = (u1, u2) y v = (v1, v2) dos vectores de 2.

Demuestre que < u, v > = 2u1v1 + 3u2v2 define un producto interno.

Solución:

Debemos verificar las cuatro propiedades. - La propiedad P1 se cumple, pues:

< u , v > = 2u1v1 + 3u2v2 = 2v1u1 + 3v2u2 = < v , u >

- Tomamos w = (w1, w2) para verificar P2 :

(31)

= < u ,v > + < u ,w > Lo que demuestra la propiedad P2.

- Si α es un escalar, entonces < α u ,v > = 2(α u1)v1 + 3(α u2)v2 = α (2u1v1 + 3u2v2)

= α < u ,v >

Por lo tanto, se verifica la propiedad P3.

- Finalmente, < u, u > = 2u1u1 + 3u2u2 = 2 3 22 0 2

1  u

u

Y queda claro que:

< u, u > = 22 2

1 3

2uu = 0 si y solo si u1 = u2 = 0

(Es decir, si y solo si u = 0).

Esto verifica la propiedad P4, lo cual completa la demostración de que < u, v >, tal como está definido, es un producto interno.

2. Sea el espacio vectorial

*( ) +

Determinar si la siguiente función define un producto interno. f(A, B) = tr(AB)

Solución:

- Simetría: tr(AB) = tr(BA)

(32)

- Linealidad: tr(αA + γB)C = α tr AC + γ tr BC Por las propiedades de la traza de una matriz

tr(αA + γB)C = tr(αAC) + tr(γ BC) = α tr AC + γ tr BC Por lo tanto, se cumple la propiedad.

- Positividad: tr(AA) ≥ 0 Donde                      

 2 2

d bc cd ac bd ab bc a d c b a d c b a AA

Por lo tanto a22bcd2 0

La suma de dos cuadrados es positiva, pero el producto bc puede ser positivo o negativo; en general esta condición no se cumple.

Por ejemplo, si se tiene la matriz

       1 2 2 1 A

Al aplicarla la función 

                       3 4 4 3 1 2 2 1 1 2 2 1 AA

(33)

3. Sea A una matriz simétrica, definida positiva, de orden n x n, y sea u y v vectores de n. Demuestre que < u, v > = uTAv define un producto interno.

Solución:

Verificamos que

- < u,v > = uTAv = u . Av = Av . u

= AT v . uv = (vTA)T . u = vTAu = < v,u >

- También,

< u, v + w > = uTA( v + w ) = uTAv + uTAw = < u,v > + < u,w >

- Además: < α v > = (α u)TAv = α (uTAv) = α < u,v >

- Finalmente, debido a que A es positiva, < u, u > = uTAu > 0 , para todo u ≠ 0.

Así que, < u,u > = uTAu = 0 si y solo si u = 0 Con lo que queda probada la última propiedad. 2.1.1 Propiedades de los productos internos

A partir de la definición de producto interno, se tienen las siguientes propiedades: P5. < 0, u > = < u, 0 > = 0 ; " u Î

P6. < u + v, w > = < u , v > + < v, w > ; " u, v, w Î P7. < u , α v > = α < u ,v >; " α Î ¸ " u Î

(34)

Vamos a demostrar la propiedad (P6).

Si hacemos referencia a la definición del producto interno, tenemos que < u + v, w > = < w, u + v > por (P1)

= < w, u > + < w, v > por (P2) = < u, w > + < v, w > por (P1)

Ejemplo:

Considerando el producto interno sobre C[0,1]. Si f(x) = x y g(x) = 3x – 2, encuentre

(a) f (b) d (f, g)

Solución:

(a) Encontramos que

< f, f > =

3

1 ) ( 1 0 1 0 3 1 0 2

2

f x dx

x dx x

De manera que f = f,f 1/ 3

(b) Debido a que d(f, g) = fgfg, fg y f(x) - g(x) = x - (3x – 2) = 2 - 2x = 2(1 – x)

Tenemos que   

 

 

1 0 1 0 2 2 ) 2 1 ( 4 )) ( ) ( (

,f g f x g x dx x x dx

g f

[ ]

0

(35)

2.2 Espacio euclidiano

Definición:

Se denomina espacio euclidiano a todo espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales con producto interior.

Ejemplo:

( 2

, +, ) provisto del producto interno < u , v> = u1v1 + 3u2v2 es un espacio euclidiano.

2.3 Norma o longitud de un vector

Definición:

Sea un espacio vectorial con producto interno < , > y v Î .

Se llama norma (longitud o módulo) de v y se denota por v al número real definido por:

 

v v

v ,

Ejemplos:

1. En 2, si v = (4, 3), entonces:

5 25 3

4 3

,

4  2 2  

 

v

0

Y

(36)

2. En 3, si x = (2, 4, 4), entonces:

6 36 4

4 2 4

, 4 ,

2   2 2  2  

 

x

2.3.1 Distancia entre vectores

Definición.-

Sea un espacio vectorial con producto interno, y .

Se llama distancia entre los vectores y , al módulo de su diferencia. Es decir:

( )

Ejemplo:

1. Dados los vectores en y u = (3, 2) y v = (7, 8), la distancia euclidea entre estos vectores es:

(37)

En general la distancia euclidea en 2, se define como:

d (x, y) = 2 2 2

2 1

1 ) ( )

(y x y x

x

y    

0

Y

( )

X

( 8)

0

𝑦 𝑥

𝑃(𝑦 𝑦 )

𝑦 𝑥

𝑃(𝑥 𝑥 )

(38)

2. De manera análoga dados dos vectores en 3, x = (x1, x2, x3) y x = (y1, y2, y3), la distancia entre x y y, se define como:

d (x, y) = 3 3 2

2 2 2 2 1

1 ) ( ) ( )

(y x y x y x

x

y      

Así, dados los vectores x = (-1, 3, 2) y y = (2, 0, -1), la distancia euclidea entre estos vectores es:

d (x, y) = (21)2(03)2(12)2  999  27 3 3

2.3.2 Módulo del producto entre un escalar y un vector

Definición.-

En todo espacio con producto interno, el módulo del producto entre un escalar y un vector, es igual al valor absoluto del escalar por el módulo del vector; es decir:

v

v

 

En efecto,

  

 v v v v v2  , 2 ,

 2 2

 

2

v

v

 

(39)

 

2 2

v

v

 

Y como las bases son no negativas, se tiene:

v

v

 

Teorema:

El producto de un vector no nulo por el recíproco de su módulo, es un vector de módulo 1.

Demostración

En efecto, sea v0. Considerando v v

se verifica:

1 1 1

1

v v v v v v v v Ejemplos

1. Si v = (1, 2),

5 2 12 2  

v

Luego, 

             5 5 2 , 5 5 5 2 , 5 1 5 ) 2 , 1 ( v v

es un vector de módulo 1. Puesto que:

   

1

(40)

2. Si v = (-1, 2,-2)

3 9 ) 2 ( 2 ) 1

( 2 2  2   

v

Luego,

    

3 2 , 3 2 , 3 1 v

v

es un vector de módulo 1.

2.3.3 Vector unitario

Definición.-

Dado un espacio vectorial con producto interno, el vector es unitario, si su módulo es 1; es decir:

es unitario, si y solo si

Ejemplos:

1. En el espacio vectorial 2, los vectores i = (1, 0), j = (0,1) son unitarios.

0

Y

X

(41)

2. En el espacio vectorial 3, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0), k = (0, 0, 1) son unitarios.

2.4 Vectores ortogonales

Definición:

Sea ( ) un espacio con producto interno, y, , decimos que u es

ortogonal a v, y se representa como uv, si su producto interno es 0. Es decir:

Ejemplo:

1. Los vectores (3, 2) y (-2, 3) son ortogonales, puesto que: < (3, 2), (-2, 3) > = 3(-2) + 2(3) = -6 + 6 = 0

𝑋

𝑍

( ) ( ) 𝑌

( )

0

Y

X

(42)

2. Dado el vector u = (2, -4), hallar un vector v ortogonal a u. Llamando v = (v1, v2) al vector que buscamos, se tiene:

<(2, -4), v)> = <(2, -4), (v1, v2)> 2v1 - 4v2 = 0

v1 = 2v2

Esto significa que (2, 1), (-2, -1), (4, 2) (-6, -3), …, son vectores ortogonales al vector u = (2, -4).

3. Dado el vector u = (1, -2, 3), hallar vectores ortogonales a u. Sea y = (y1, y2, y3) el vector ortogonal a u:

<(1, -2, 3), (y1, y2, y3) > y1 – 2y2 + 3y3 = 0

y1 = 2y2 – 3y3

De manera que entre otros, y = (2, 1, 0), y = (-3, 0, 1), = (-1, 4, 3). Significa que asignando valores a y2 y y3 podemos encontrar diversos vectores ortogonales al vector x = (1, -2, 3).

2.4.1 Generalización del Teorema de Pitágoras

Sea ( , < , > ) un espacio con producto interno; y, :

2 2 2

v u v

(43)

Demostración:

2 2 2 2

2

, 2

,u v u u v v u v

v u v

u         

2.4.2 Complemento ortogonal

Definición:

Si es un espacio vectorial con producto interno, y ; el complemento

ortogonal de es el conjunto:

* + * +

Ejemplos:

1. Dado el vector ( ) , el complemento ortogonal de es:

* + *( ) ( ) ( ) ( ) +

2. Sea el vector ( ) , entonces el complemento ortogonal de es:

* + *( ) ( ) ( ) ( ) +

2.4.3 Vectores ortonormales

Definición:

Sea un espacio vectorial con producto interno, y, ; los vectores y son ortonormales, si son ortogonales y si la longitud de cada uno es 1.

Es decir:

(44)

Ejemplos:

1. En el espacio 3, los vectores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), son ortonormales entre sí.

2. Verificar si los vectores u = (0, 1) y v = (1,0) del espacio 2, son ortonormales. En efecto,

i. <(0, 1), (-1, 0)> = 0

ii. u  (0,1)  0212 1

1 0 ) 1 ( ) 0 , 1

(   2 2  

v

Por (i) y (ii), los vectores u y v son ortonormales.

3. Dado el vector unitario   

  

2 3 , 2 1 u

en 2, encontrar vectores ortonormales a

Solución:

Sea x = (x1, x2), el vector que buscamos i. <u, x> 0 = <(0, 1), (-1, 0)> = 0

𝑋

𝑍

𝑖 ( ) 𝑌

J=( )

(45)

0 2 3 2 ) , ( , 2 3 , 2

1 1 2

2

1   

   

x x

x x 2 3 2 2 1 x

x

2

1 3x

x 

ii. Como x es unitario,

3 ,

( 3 ) 3 2 1

) ,

( 1 2   2 2   2 2 22  22 22  2

x x x x x x x x x

x

De done, 2

1

2 

x

y 2

3

1 

x         2 1 , 2 3 x

Por lo tanto,        2 1 , 2 3 x

y 

     2 3 , 2 1 u son ortonormales.

2.4.4 La desigualdad de Cauchy – Schwarz

Sean vectores de un espacio con producto interno.

Entonces,

u

,

v

u

.

v

La igualdad es válida si y solo si y son múltiplos escalares entre sí.

Demostración:

(46)

| |

Si , entonces sea el subespacio de generado por . Como; u u u v u v proyW , , ) ( 

y perpWv = v – proyW(v) son ortogonales. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras, y obtenemos:

2 2 2 ) ( ) ( )) ( ( )

(v v proy v proy v perp v proy

vW   WWW … (2)

2 2 ) ( )

(v perp v

proyWW

De aquí se desprende que

2 2

)

(

v

v

proy

W

. Ahora, 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , ) ( u v u u u v u u u u u v u u u u v u u u u v u v

proyW   

      

De manera que

2 2 2 , v u v u

o, de manera equivalente,

2 2 2

.

,v u v

u

Tomando raíces cuadradas, obtenemos:

. .

,v u v

u

Evidentemente, esta última expresión es una desigualdad si y solo si

2 2

)

(v v

proyW

(47)

O, de manera equivalente,

v = proyW(v) = u u u v u , , Por tanto,

v2 = x2 -

x x v v v x v    (1)

2 0 , , 1 1 1 2 1

Para hallar v3, calculamos primero

3 2 3 , 1 1 1 1 3 2 3

1  

     

x dx x x v , 0 4 , 1 1 1 1 4 3 3

2  

     

x dx x x v

, 3

2

, 1

1 2 2

2 v

xdx

v Entonces 3 1 3 2 0 ) 1 ( 2 3 2 , , ,

, 2 2

2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3

3    vx   xx

v v x v v v v x v x v

De aquí se sigue que {v1, v2, v3} es una base ortogonal para P2 sobre el intervalo

[-1,1]. Los polinomios 1, x, x2 - 3 1

son los tres polinomios de Legendre.

Si dividimos cada uno de estos polinomios por su longitud relativa al mismo producto interno, obtendremos polinomios de Legendre normalizados.

2.4.5 La desigualdad triangular

Sean u y v vectores de un espacio con producto interno. Entonces

uvuv

(48)

Comenzaremos con la igualdad, así, tenemos que

2 2

2

,

2u v v

u v

u   

2 2

,

2 u v v

u  

2 2

.

2u v v

u  

por Cauchy - Schwarz

2

v u

Al tomar raíces cuadradas se obtiene el resultado.

2.4.6 Ángulo entre vectores

Sean u y v dos vectores no nulos de un espacio con producto interno. De la desigualdad de Schwarz

v

u

v

u

,

.

Se deduce que

v

u

v

u

v

u

.

,

.

Dividiendo por el producto de los módulos de u y v, que es positivo, se tiene:

1

,

1

v

u

v

u

Definición.-

El ángulo entre los vectores no nulos u y v de un espacio vectorial provisto de

(49)

i. 0

ii. u v

v

u

 ,

cos

De (ii) se deduce:

cos

.

,

v

u

v

u



Ejemplos:

1. Dados los vectores u = (3, 4) y v = (5, 2) en 2 , determinar el ángulo que forman dichos vectores.

i. Los vectores u y v están en el primer cuadrante, por lo que el ángulo 0

ii.     ) 2 , 5 ( ) 4 , 3 ( ) 2 , 5 ( ), 4 , 3 ( cos

2.5 Conjunto de vectores ortogonales

(50)

Un conjunto de vectores * + en un espacio con producto interno es ortogonal, si y solo si dos vectores cualesquiera y distintos son ortogonales.

Es decir,

* + es un conjunto ortogonal  (i ≠ j< vi, vj > = 0 ),

para i = 1, 2, …, n

Ejemplos:

1. La base estándar * + de n es un conjunto ortogonal, como cualquier subconjunto del mismo.

En particular los conjuntos {(1, 0), (0,1)} en 2 y {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1)} en 3 son conjuntos ortogonales.

2. Demostrar que * + es un conjunto ortogonal en si: v1 = (2, 1, -1), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (1, -1, 1)

Solución:

Debemos verificar que cada par de vectores de este conjunto son ortogonales.

v1 . v2 = <(2, 1, -1), (0, 1, 1)> = 2(0) + 1(1) + (-1) (1) = 0, luego v1 v2

v2 . v3 = <(0, 1, 1), (1, -1, 1)> = 0(1) + 1(-1) + (1) (1) = 0, luego v2 v3

(51)

Teorema 1:

Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos, es linealmente independiente.

Demostración:

Sea * + un conjunto ortogonal de vectores tal que ,

Y sea la combinación lineal

0

1

r

j j jv

Para cada , consideramos 1 , 0, 0

 

i

r

j

i j

jv v v

Entonces 1 , 0

r

j

i j

j v v

Como i ≠ j  xj,xi 0

La sumatoria se reuce a un único término que se obtiene cuando j = i; es

decir: i xi,xi 0

(52)

Como xi0, resulta que: xi,xi 0

Por lo que: i 0 ,

Luego, el conjunto * + es linealmente independiente.

Ejemplo:

Los vectores v1 = (2, 1, -1), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (1, -1, 1) tal como se verificó antes son ortogonales, por lo tanto son linealmente independientes.

2.5 Bases ortogonales y ortonormales

2.5.1 Base ortogonal

Definición.-

Sea ( ) un espacio vectorial con producto interno.

Una base * + de dicho espacio vectorial se llama ortogonal si está formado por vectores ortogonales.

* + es ortogonal vi,vj 0, para i ≠ j.

Ejemplo:

(53)

debido a que tres vectores cualesquiera linealmente independientes en forman una base de , se sigue que * + es una base ortogonal de .

2.5.2 Base ortonormal

Definición.-

Sea ( ) un espacio vectorial con producto interno.

Una base * + de , se llama ortonormal si está formada por vectores unitarios ortogonales entre sí.

Ejemplos:

1. En con el producto interno usual, la base canónica * + 5 es una base

ortonormal.

2. En con el mismo producto interior, la base formada por los vectores

   

   

2 1 , 2

3

1

v

y 

 

  

2 3 , 2 1

2

v

es ortonormal, pues.

1

2

1  v

v

, además v1 v2.

5

(54)

3. Si * + es una base ortogonal de , entonces,         n n v v v v v v

B , ,...,

2 2

1 1

es una base ortonormal de .

2.5.3 Ortonormalización de una base (Proceso de Gram-Schmidt)

Si es un espacio vectorial con producto interno, son vectores

linealmente independientes en , es posible hallar vectores que son

ortogonales dos a dos, y que constituyen también una base del subespacio generado por .

Demostración

Por inducción: 1. Hagamos u1 = v1

2. Supongamos que ya fueron encontrados los vectores y

además deben satisfacer la condición de ser ortogonales dos a dos.

Pongamos up = vp -

2 , k k k p k p u u u v  

Si h < p,

         p k k h k k p h p h p u u u u v u v u

u , , , , 2

0 ,

,  

vp uh vp uh

(55)

, 0 , 

uk uh "kh

Como por inducción u1, u2, …, up-1 generan el mismo subespacio que

, y es linealmente independiente con , resulta

que up ≠ 0

Entonces resulta evidente que el subespacio generado por .

Corolario:

Si es un espacio vectorial de dimensión finita, siempre es posible encontrar en , una base ortonormal.

Observación:

Sea es un espacio vectorial y * + una base ortonormal de . Se

cumple que, si v =

n

k k kv

x

1 entonces, xk = < v, vk >

Ejemplo:

En 4 , sean v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 2, 0), v3 = (0, 0, 3, 4). Hallar una base ortonormal para el subespacio [v1, v2, v3].

1ro. Debemos verificar que son linealmente independientes.

α (1, 1, 0, 0) + β (0, 1, 2, 0) + γ (0, 0, 3, 4) = (0, 0, 0, 0)

α = 0,

(56)

Luego, son L.I.

2do. Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt.

u1 = v1 = (1, 1, 0, 0)

u2 = v2 -

2 1 1 1 2, u u u v  

 

22

) 0 , 0 , 1 , 1 ( ) 1 ( ) 0 , 2 , 1 , 0 (        

 ,2,0 2 1 , 2 1 2 u

u3 = v3 -

2 2 2 2 3 2 1 1 1

3, ,

u u u v u u u

v   

 2 9 0 , 2 , 2 1 , 2 1 6 ) 4 , 3 , 0 , 0 ( 4 4 1 4 1 0 , 2 , 2 1 , 2 1 6 0 ) 4 , 3 , 0 , 0 ( 2                                ,4

3 1 , 3 2 , 3 2 3 u

Los vectores u1, u2 y u3 son ortogonales.

3ro. Dividimos cada uno de ellos por su norma para conseguir vectores ortonormales.

     

 ,0,0

2 2 , 2 2 2 ) 0 , 0 , 1 , 1 ( 1 1 u u              

 ,0

(57)

Por lo tanto el conjunto                             17 17 4 , 51 17 , 51 17 2 , 51 17 2 , 0 , 3 2 2 , 6 2 , 6 2 , 0 , 0 , 2 2 , 2 2

(58)

CAPÍTULO III: SÍNTESIS

Espacio vectorial

Definición.-

Sean un conjunto no vacío, un cuerpo, “+” ley de composición interna llamada “adición de vectores” y “.” ley de composición externa llamada “producto por escalar”. La cuaterna ( ) es un espacio vectorial si se verifican los

siguientes axiomas:

Ev1. La adición es una ley de composición interna en .

O sea:

Ev2. La adición es asociativa en

( ) ( )

Ev3. Existe un elemento neutro para la adición en

Ev4. Todo elemento de admite un opuesto aditivo en ( ) ( )

Ev5. La adición es conmutativa en

(59)

Es decir:

Ev7. El producto satisface la asociatividad mixta

( ) ( )

Ev8. El producto es distributivo respecto de la suma en

( )

Ev9. El producto es distributivo respecto de la suma en

( )

Ev10. La unidad del cuerpo es neutro para el producto.

Producto interno

Definición:

Sea un espacio vectorial sobre , un producto interno en , es una aplicación

que satisface:

P1. < u, v > = < v, u > ; " u, v Î (simetría) P2. < u, v + w > = < u, v> + < u, w > ; " u, v, w Î (linealidad)

P3. < α u , v > = α < u, v > ; " α Î , " u Î

P4. < u , u > ≥ 0 (positividad)

(60)

Propiedades de los productos internos

De la definición de producto interno, se desprenden las siguientes propiedades: P5. < 0, u > = < u, 0 > = 0 ; " u Î

P6. < u + v, w > = < u , v > + < v, w > ; " u, v, w Î P7. < u , α v > = α < u ,v >; " α Î ¸ " u Î

Espacio euclidiano

Definición:

Se denomina espacio euclidiano a todo espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales con producto interior.

Norma o longitud de un vector

Definición:

Sea un espacio vectorial con producto interno < , > y v Î .

Se llama norma (longitud o módulo) de v y se denota por v al número real definido por:

 

v v

v ,

Distancia entre vectores

Definición.-

Sea un espacio vectorial con producto interno, y .

(61)

Es decir:

( )

Módulo del producto entre un escalar y un vector

Definición.-

En todo espacio con producto interno, el módulo del producto entre un escalar y un vector, es igual al valor absoluto del escalar por el módulo del vector; es decir:

v

v

 

Teorema:

El producto de un vector no nulo por el recíproco de su módulo, es un vector de módulo 1.

Vector unitario

Definición.-

Dado un espacio vectorial con producto interno, el vector es unitario, si su módulo es 1; es decir:

es unitario, si y solo si

Vectores ortogonales

Definición:

Sea ( ) un espacio con producto interno, y, , decimos que u es

(62)

Generalización del Teorema de Pitágoras

Sea ( , < , > ) un espacio con producto interno; y, :

2 2 2

v u v

u   , si u y v son ortogonales.

Complemento ortogonal

Definición:

Si es un espacio vectorial con producto interno, y ; el complemento ortogonal de es el conjunto:

* + * +

Vectores ortonormales

Definición:

Sea un espacio vectorial con producto interno, y, ; los vectores y son ortonormales, si son ortogonales y si la longitud de cada uno es 1.

Es decir:

*

La desigualdad de Cauchy – Schwarz

Sean vectores de un espacio con producto interno.

Entonces,

u

,

v

u

.

v

(63)

La desigualdad triangular

Sean y vectores de un espacio con producto interno. Entonces, se cumple que:

uvuv

Ángulo entre vectores

Definición.-

El ángulo entre los vectores no nulos y de un espacio vectorial provisto de

producto interno, es el número real

que satisface:

i. 0

ii. u v

v

u

 ,

cos

De (ii) se deduce:

cos

.

,

v

u

v

u



Conjunto de vectores ortogonales

Definición:

Un conjunto de vectores * + en un espacio con producto interno es ortogonal, si y solo si dos vectores cualesquiera y distintos son ortogonales.

Es decir,

* + es un conjunto ortogonal  (i ≠ j< vi, vj > = 0 ),

(64)

Teorema 1:

Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos, es linealmente independiente.

Base ortogonal

Definición.-

Sea ( ) un espacio vectorial con producto interno.

Una base * + de dicho espacio vectorial se llama ortogonal si está formado por vectores ortogonales.

* + es ortogonal vi,vj 0, para i ≠ j.

Base ortonormal

Definición.-

Sea ( ) un espacio vectorial con producto interno.

(65)

CAPÍTULO IV: APLICACIÓN DIDÁCTICA

Los espacios vectoriales con producto interno constituyen una alternativa para afianzar el estudio de la geometría y sus propiedades fundamentales, tanto en el nivel de educación básica como en el nivel de educación superior. Por ejemplo se podría mejorar la comprensión de la longitud de un vector, la distancia entre dos puntos, el teorema de Pitágoras, los conceptos de ortogonalidad y ortonormalidad de un conjunto de vectores en un espacio con producto interno, desde una perspectiva algebraica y analítica, tal como es la propuesta de la enseñanza de la matemática.

A pesar que explícitamente los espacios vectoriales con producto interno, no forman parte el Currículo de Educación Secundaria, es importante que los contenidos relacionados, como la distancia entre dos puntos, la longitud de un vector, el teorema de Pitágoras, las matrices, entre otros, se desarrollen con una visión interdisciplinar, estableciendo conexiones entre el enfoque algebraico, geométrico, físico, y con situaciones de contexto real; lo que ayuda de manera significativa en una mejor comprensión de estos contenidos que por desarrollarse de manera abstracta y ajena al contexto de los estudiantes representa una gran dificultad inclusive para los estudiantes de nivel superior.

(66)

del área desde los niveles básicos; toda vez que el reto en el actual currículo es desarrollar la matemática bajo el enfoque de la resolución de problemas. Ya no se trata pues, simplemente de transmitir información conceptual, o procedimientos de cálculo, sino que el docente debe ser capaz de relacionar cada contenido matemático con situaciones de contexto y a partir de ahí formular los problemas que movilicen o generen la necesidad de aprendizaje de los diferentes conceptos o procedimientos matemáticos, que a su vez permitan el desarrollo de las diferentes capacidades y competencias en los estudiantes.

(67)

CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS

A partir de la realización del presente estudio monográfico, la revisión de la bibliografía especializada, así como de algunos estudios de investigación sobre el tema, podemos concluir que:

1. La comprensión de los conceptos de espacios vectoriales con producto interno, son de suma importancia en la enseñanza de la matemática desde los niveles educativos elementales, por su aplicabilidad en la comprensión de conceptos y propiedades geométricas, en la física, las diversas ingenierías, así como en muchas situaciones de contexto real. Sin embargo, el nivel de abstracción con el que se abordan en la formación de los futuros docentes de matemática, dificulta su comprensión.

2. Por lo que sería conveniente que se reconsidere su estudio, partiendo de su vinculación con situaciones de contexto real, su representación gráfica, y las situaciones de aplicación en las diferentes carreras profesionales, como en las ingenierías.

3. Es conveniente enfatizar en los estudiantes (futuros docentes) la importancia de una correcta conceptualización y una cabal comprensión de las propiedades afianzando su ejemplificación, antes de pasar a la repetición de procesos y algoritmos de manera mecánica.

(68)

descoordinación o desarticulación entre los objetos que definen las operaciones de adición de vectores y multiplicación por escalar.

5. Coincidiendo con lo que propone Ramírez (2015), consideramos importante implementar actividades pedagógicas basadas en aplicaciones prácticas relacionadas a las carreras de ingeniería y otras, las que favorecen el proceso de enseñanza y aprendizaje de los espacios vectorial.

6. Asimismo resulta muy útil el uso de software educativo y otros recursos tecnológicos para facilitar los cálculos y ayudar el análisis.

7. Reiteramos asimismo la ventaja que ofrece una enseñanza contextualizada, que permite modelar a través de los conceptos matemáticos, como en este caso, a través de los espacios vectoriales situaciones diferentes situaciones de contexto real.

(69)

las que no se pueden representar geométricamente, y que tampoco tiene sentido en el campo de la física.

9. En términos generales, el estudio de los espacios vectoriales permite articular el punto de vista geométrico y el enfoque algebraico; de esta forma la visualización geométrica le da soporte a la conceptualización y abstracción algebraica.

(70)

BIBLIOGRAFÍA

Hoffman,K.(1989).Álgebra lineal. México: Prentice Hall Internacional.

Lang, S. (1973). Álgebra lineal. México: Fondo Interamericano.

Lay, D. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson educación.

Lima, E. (1977). Álgebra lineal. Río de Janeiro: Instituto de matemática pura y aplicada.

Lipschutz, S. (1998). Álgebra lineal. México: McGraw Hill.

Madrid, H., cribeiro, J., y Sánchez, M. (2016). Espacios vectoriales desde la realidad a la abstracción”. México: ReCalc. Recuperado de:

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