Mecánica (Cinemática y Dinámica).

Física

2ºBT0

“Daría la mitad de lo que sé a cambio

de la mitad de lo que ignoro”

Estructura de la unidad

Cinemática Cinemática

• _Variables

cinemáticas

• _Posición • _Velocidad • Aceleración

• _{Tipos de}

movimiento

• _{M. Rectilíneo} • _{M. Parabólico} • M. Circular

• Variables cinemáticas

• Posición

• _Velocidad • _Aceleración • Tipos de

movimiento

• M. Rectilíneo

• _{M. Parabólico} • _{M. Circular}

Dinámica Dinámica

• _{Leyes de Newton} • Cantidad de

movimiento

• _{Dinámica de rotación} • Momento angular

• Leyes de Newton

• _{Cantidad de}

movimiento

• Dinámica de rotación

• _{Momento angular}

Energética Energética

• _Trabajo

• _{Energía Mecánica}

• _{Conservación de Energía} • _Trabajo

• Energía Mecánica

• _{Conservación de Energía}

Cinemática: Sistema de referencia

Sistema de referencia: Conjunto de puntos respecto al que se mide el

movimiento de un cuerpo.

Sistema de referencia: Conjunto de puntos respecto al que se mide el

movimiento de un cuerpo.

Relatividad: El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo son

relativos al SR.

Relatividad: El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo son

relativos al SR.

Vector de posición: Vector que une el origen con el punto en

el que se encuentra el móvil en cada instante.

Vector de posición: Vector que une el origen con el punto en

el que se encuentra el móvil en cada instante.

Trayectoria: Conjunto de puntos por los que

pasa un móvil.

Trayectoria: Conjunto de puntos por los que

pasa un móvil.

Cinemática: Trayectoria y posición

Unidad SI

m

Unidad SI

m

4

)

(

t

r



0

)

,

,

(

x

y

z



Vector Desplazamiento: Vector que une un punto de la trayectoria con otro.

Aplicando la regla del paralelogramo se puede

ver:

Vector Desplazamiento: Vector que une un punto de la trayectoria con otro.

Aplicando la regla del paralelogramo se puede

ver:

Distancia recorrida: Distancia recorrida sobre la trayectoria por

el móvil.

Distancia recorrida: Distancia recorrida sobre la trayectoria por

el móvil.

Cinemática: Desplazamiento y distancia

Unidad SI

m

Unidad SI

m

0

)

(

t

r

r

r







_f









s

s

t

r





Velocidad media: Cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo

transcurrido

Velocidad media: Cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo

transcurrido

Velocidad instantánea: Derivada del vector de posición con respecto al

tiempo. Siempre es tangente a la trayectoria

en cada punto.

Velocidad instantánea: Derivada del vector de posición con respecto al

tiempo. Siempre es tangente a la trayectoria

en cada punto.

Cinemática: Velocidad

ms

-1

ms

-1

0

0

)

(

t

t

r

r

t

t

r

v

_m

f





















dt

t

r

d

t

v



(

)





(

)

m

v



v



Aceleración media: Cociente entre el

incremento de velocidad y el intervalo de tiempo

transcurrido

Aceleración media: Cociente entre el

incremento de velocidad y el intervalo de tiempo

transcurrido

Aceleración instantánea: Derivada del vector velocidad con respecto al

tiempo. También es la segunda derivada temporal del vector de

posición

Aceleración instantánea: Derivada del vector velocidad con respecto al

tiempo. También es la segunda derivada temporal del vector de

posición

Cinemática: Aceleración

ms

-2

ms

-2

0

0

)

(

t

t

v

v

t

t

v

a

_m

f





















2

2

)

(

)

(

)

(

dt

t

r

d

dt

t

v

d

t

Aceleración normal: Componente perpendicular

a la velocidad. Mide el cambio de la dirección de

y por tanto de la trayectoria

Aceleración normal: Componente perpendicular

a la velocidad. Mide el cambio de la dirección de

y por tanto de la trayectoria

Cinemática: Componentes intrínsecas de la

aceleración

Unidad SI

ms

-2

Unidad SI

ms

-2

Aceleración tangencial: Componente tangente a la velocidad. Mide el cambio del

módulo de , es decir, la rapidez

Aceleración tangencial: Componente tangente a la velocidad. Mide el cambio del

módulo de , es decir, la rapidez 8

2

ˆ

n

n

v

a

u

r





t

t

u

dt

v

d

a







_ˆ

t

n

a

a

a











2

2

t

n

a

a

a











v



MRU: Movimiento sin aceleración. El vector se mantiene constante (dirección,

módulo y sentido)

MRU: Movimiento sin aceleración. El vector se mantiene constante (dirección,

módulo y sentido)

Cinemática: Movimiento Rectilíneo Uniforme

(MRU)

0

0











d

v

a

dt

dt

v

d

a









dt

v

r

d

dt

r

d

v















cte

v

v







₀



0 0 0 0

0

0

(

)

r

t

r

t

r

dr



t

v dt



r

dr v dt



t

  

r r

v t t





















 



 



Cinemática: Movimiento Rectilíneo Uniforme

(MRU)

Ecuación vectorial del movimiento (MRU): nos da la posición del móvil

para cada instante

Ecuación vectorial del movimiento (MRU): nos da la posición del móvil

para cada instante

10

)

(

₀

0

v

t

t

r

Ecuación escalar del movimiento Rectilíneo y Uniforme

Hemos visto que la ec. Vectorial del MRU es:

Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional, por ejemplo el eje X, podemos entonces simplificar el vector unitario:

Nos queda entonces la ec. escalar:

Posición final del móvil en el instante t

Posición inicial del móvil en el instante t₀

velocidad del móvil

Frecuentemente el instante inicial t₀ = 0 y la ecuación se reduce:

0 0

x x



  

v (t t )

0

x x



 

v t

)

(

₀

0

v

t

t

r

r













0 0

MRUV: El vector se mantiene constante (dirección, módulo y

sentido)

MRUV: El vector se mantiene constante (dirección, módulo y

sentido)

Cinemática: Movimiento Rectilíneo

Uniformemente Variado (MRUV)

12















t

t

t

t

v

v

d

v

a

dt

v

v

0

a

dt















)

(

₀

0

a

t

t

v

v



























t





t

t

t

r

r

d

r

v

dt

r

r

0

[

v

0

a

(

t

t

0

)]

dt

















2

0

0

0

0

(

)

2

1

)

(

t

t

a

t

t

v

r

r



















Ecuaciones escalares del movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

La ecuación vectorial de la velocidad es:

Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional

Ya tenemos nuestra ecuación escalar:

Velocidad final del móvil en el instante t

Velocidad inicial del móvil

en el instante t₀ aceleración del móvil

Frecuentemente el instante inicial t₀ = 0 y la ecuación se reduce:

Ecuación de la velocidad

0 0

v v



  

a (t t )

0

v v



 

a t

0

(

)

v v

 

 

a t t





0 0

14

Ecuaciones escalares del M. Rectilíneo Uniformemente Variado (Cont.)

• Dividiendo por el vector unitario tenemos la ec. Escalar de la posición del MRUV:

•Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional, por ejemplo el eje X:

• Frecuentemente el instante inicial t₀ = 0 y la ecuación se reduce:

Ecuación de la posición:

La ecuación vectorial de la posición es:

2

0 0 0 0

1

x x v (t t ) a (t t ) 2

       

2 0 0

1

x

x

v t

a t

2





   

2 0 0

0

0

(

)

2

1

)

(

t

t

a

t

t

v

r

r



















2

0 0 0 0

1

x i x i v i (t t ) a i (t t ) 2

       

Resumen Ecuaciones escalares del MRUV (Cont.)

Ecuación de la posición

Ecuación de la velocidad

Ecuación de la velocidad en función de la posición

Se obtiene eliminando el tiempo entre las dos primeras ecuaciones

2 0 0

1

x

x

v

t

a t

2





   

0

v v



 

a t

2 2

0 0

Cinemática: Movimiento Rectilíneo

Uniformemente Variado (MRUV)

Resumen Ecuaciones escalares del MRUV: Movimiento Libre Vertical

Como en las proximidades de la superficie terrestre se puede considerar la aceleración constante (aceleración de la gravedad):

Las ecuaciones serán:

Para la caída libre:

2 0 0

1

y

y

v

t

g t

2





   

0

v v



 

g t

2 2

0 0

v



v

   

2 g (y y )

2

: a =

9,8 m s

Donde

g

 

0

Cinemática: Composición de movimientos

18

2

1

v

v

Cinemática: Tiro parabólico



v



v

sen





v

g

a

0

0

0

cos

,

)

,

0

(











2

0 0 0

( )

cos

,

1

2

t

r



_



v





t

y



v sen



 

t

gt



_





Cinemática: Tiro parabólico

Altura máxima

Altura máxima

Alcance Alcance

Cinemática: Tiro parabólico

En general

(típico

problema de tiro con

obstáculo)

En general

(típico

problema de tiro con

obstáculo)

Aplico la condición

HACED LOS EJERCICIOS SIGUIENTES

HACED LOS EJERCICIOS SIGUIENTES

Y algunos de estos (los de cinemática, MRU, MRUV y M. Compuestos. Pincha aquí

Cinemática: Movimiento Circular

Posición angular (φ): Posición medida en radianes

(rad). Desplazamiento angular:

Δφ= φ - φ_o

Posición angular (φ): Posición medida en radianes

(rad). Desplazamiento angular:

Δφ= φ - φ_o

Velocidad angular (ω): Derivada de la posición angular respecto al tiempo.

Se mide en rad/s.

Velocidad angular (ω): Derivada de la posición angular respecto al tiempo.

Se mide en rad/s.

Aceleración angular (α): Derivada de la velocidad angular respecto al tiempo.

Se mide en rad/s2_.

Aceleración angular (α): Derivada de la velocidad angular respecto al tiempo.

Se mide en rad/s2_.

Radián (rad): Ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud sea igual al radio

de la circunferencia. 1 rad=360º/2π=57,3º

Radián (rad): Ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud sea igual al radio

de la circunferencia. 1 rad=360º/2π=57,3º

24

dt

d







dt

d



Cinemática: Movimiento Circular

La relación entre las variables lineales y angulares la da el radio

La relación entre las variables lineales y angulares la da el radio

r

s







r

v





·







r

dt

d

r

dt

r

d

dt

dv

Cinemática: Movimiento Circular Uniforme

Ecuación del MCU Ecuación del MCU

MCU: Movimiento circular sin aceleración angular (ω=cte). El vector se mantiene constante

en módulo, pero cambia de dirección.

MCU: Movimiento circular sin aceleración angular (ω=cte). El vector se mantiene constante

en módulo, pero cambia de dirección.

26

)

(

₀

0



t



t



















r

a

a

n

t

2

0



v



2π

T

ω



f

1

T

Cinemática: Movimiento Circular

Uniformemente Variado

Ecuación del MCUV Ecuación del MCUV MCUV: Movimiento circular con aceleración angular constante (α=cte).

MCUV: Movimiento circular con aceleración angular constante (α=cte).

2

0

0

0

0

(

)

2

1

)

(

t



t



t



t

























r

a

cte

r

a

n

t

2

Cinemática: Movimiento Circular

Uniformemente Variado

Ecuación de la velocidad angular Ecuación de la velocidad angular MCUV: Movimiento

circular con aceleración angular constante (α=cte).

MCUV: Movimiento circular con aceleración angular constante (α=cte).

28













r

a

cte

r

a

n

t

2

(Cont) MCUV

También podemos expresar la ecuación de la velocidad angular en función de la posición angular, sin más que eliminar el tiempo de las dos ecuaciones anteriores. (de forma análoga a como hicimos en el MRUV):

Haced algunos de estos (los de cinemática, MCU y MCUV. Pincha aquí

2

2

0

0

30

Resumen Ecuaciones escalares del MCUV (Cont.)

Ecuación de la posición angular con el tiempo

Ecuación de la velocidad angular con el tiempo

Ecuación de la velocidad en función de la posición

Se obtiene eliminando el tiempo entre las dos primeras ecuaciones

2 0 0

1

φ

φ

ω

t

α t

2





   

0

ω ω



 

α t

2 2

0 0

Ejercicio: Una rueda de 40 cm de radio gira a 42 rpm. Calcula: a) la velocidad angular en rad/s; b) la aceleración normal de un punto de la periferia; c) el número de vueltas que da la rueda en 4 min.

Datos: R = 40 cm = 0,40 m; ω = 42 vueltas por minutos = 42 rpm; t = 4 minutos = 240 s;

a) Como una vuelta completa son 2π rad, el ángulo descrito en 1 minuto será de 42 · 2π rad

y la velocidad angular expresada en rad/s será, teniendo en cuenta que para t₀ = 0 , φ₀ = 0:

b) La aceleración normal de un punto de la periferia es: (la velocidad lineal v es igual a la velocidad angular ω multiplicada por el radio de giro)

También:

0 0

φ φ

42 2π 0

rad

ω

1,4 π

t t

60 0

s

















ω 42rpm



2

2 2

n 2

v

m

a

ω R (1,4 π) 0,40 7,7

R

s





 





rad

4,4

s



42 vueltas

min uto



42 2π rad

60 s





1,4 π

rad

s

32

c) La ecuación del movimiento circular uniforme nos permite calcular el ángulo descrito en

4 min(240 s):

Como una vuelta completa son 2π rad:

0

φ φ



   

ω t 0 1,4π 240 336π rad





336 π rad

1 vuelta

2 π rad

b) ¿v y a_n del tornillo?

7) Las ruedas de un automóvil tienen un radio de 50 cm y van girando con un período de 0,25 segundos.

a. ¿Cuál es la velocidad angular de dichas ruedas en rad/s y r.p.m.?

b. ¿Cuál es la velocidad lineal y la aceleración normal de un tornillo que se encuentra a 20 cm de la periferia?

c. ¿Qué ángulo, en grados, describe la rueda en 20 segundos? ¿Cuántas vueltas da en ese tiempo?

d. ¿Qué espacio recorre el móvil en esos 20 segundos?

Datos: T = 0,25 s ; r = 50 cm = 0,5 m; Tornillo 20 cm periferia: r’ = 50 – 20 = 30 cm = 0,3 m

a) ¿ en rad/s y rpm ?

2π

ω

T



2π

8π rad / s

0,25





ω 8π rad / s



8π rad

s



₂₄₀

vueltas

_{240 rpm}

min





1 vuelta

2π rad



60 s

1 min



v

 

R

  

8 0,3 2,4 m s





2 n

08/09/2020 Departamento de Física y Química 34

c) ¿ y número de vueltas en 20 s ?

d) ¿s en 20 s ?

0

φ φ



 

ω t

_{ }

_{0 8π 20}

_



160 π rad

160 π rad

1 vuelta

2 π rad





80 vueltas

360º

160 π rad

2π rad







28800º

s

R

Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera

uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min.

Calcula:

a)

la aceleración angular del disco;

b)

la velocidad lineal de un

punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento;

c)

las

componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del

disco;

d)

el nº de vueltas que da en 1 minuto.

•

_a)

_

5 rad/s – 0



= —— = —————— =

0,083 rad/s



t 60 s

•

_b)

_

_{(t = 25 s)}

₌

_

0

+



· t = 0,083 rad/s

· 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s)

=



· R = 2,1 rad/s · 0,15 m =

0,31 m/s

•

_c)

_a

t

=



· R = 0,083 rad/s

· 0,15 m =

0,012 m/s

a

= v

/R =



· R =



· t

· R = (0,083 rad/s

)

· 0,15 m

t

a

=

1,03 · 10

· t

m/s

_(a

n

depende de “t”)

•

_d)

_

_{(t = 1 min) =}

_

0

+



·t + ½



· t

=

= ½ · 0,083 rad/s

· (60 s)

= 150 rad

08/09/2020 Departamento de Física y Química 36

1 vuelta

150 rad

2π rad







23,9 vueltas

Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera

uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la

velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura

la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2

y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como el valor del módulo

de la aceleración total en esos instantes.

v 5 m/s



(t = 5 s) = — = ——— =

1 rad/s

R 5 m



–



1 rad/s – 0



= ——— = ————— =

0,2 rad/s

t 5 s



_{(t = 2 s) =}

_

₊

_

_{·t = 0,2 rad/s}

· 2 s =

0,4

rad/s

v (t = 2 s) =



· R = 0,4 rad/s · 5 m =

2 m/s

v

(2 m/s)

a

(t = 2 s) = — = ———— =

0,8 m/s

R 5 m

a

(t = 2 s) =



·R = 0,2 rad/s

· 5 m =

1 m/s

a (t = 2 s) = [(0,8 m/s

)

+ (1 m/s

)

]

=

1,28 m/s

v

(5 m/s)

a

(t = 8 s) = — = ———— =

5 m/s

R

5 m

a

(t = 8 s) =



·R = 0 rad/s

· 5 m =

0 m/s

a (t = 8 s) = [(5 m/s

)

+ (0 m/s

)

]

=

5 m/s

Ejercicio: La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente

desde 900 hasta 800 r.p.m. en 5 s. Calcular: a) la aceleración angular del

volante; b) el número de revoluciones efectuadas por el volante en los 5 s;

c) cuántos segundos más son necesarios para que el volante se detenga.

Datos:

a) ¿



?

b) ¿Nº vueltas en 5 s? Calculamos primero el ángulo recorrido en esos 5 s:

0 Nº vueltas 0 0

ω ω

Δω

α

Δt

t t









0

2π

ω

900 rpm 900

30π rad/s

60









2π

80π

ω 800 rpm 800

rad/s

60

3









Δt 5 s



80π

30π

3

5





10π

3

5





2π

_rad/s

3

 

2

0 0

1

φ φ

ω t

αt

2







1

2π

30π 5

(

) 5

2

3



   



425π

_rad

3



425π

1 vuelta

rad

3

2π rad





425

vueltas 70,83 vueltas

6

08/09/2020 Departamento de Física y Química 40

c) ¿t? hasta que se detenga.

Veamos. Ahora:

ω 0 rad/s



0

2π

80π

ω

800 rpm 800

rad/s

60

3









Δt ¿t ? s



0

ω ω



 

α t

0

α

ω ω

t





80π

3

2π

3

0

t





Ejercicio: La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm desciende

uniformemente hasta 300 rpm mientras el motor gira 50 revoluciones

(vueltas). Calcular la aceleración angular y el tiempo necesario para realizar

las 50 vueltas.

Datos:

¿



?:

0

0 El ángulo girado será:

¿t?:

0

2π

ω

900 rpm 900

30π rad/s

60









2π

ω 300 rpm 300

10π rad/s

60









Δφ φ φ

 



50 vueltas

2 2

0 0

ω



ω



2α(φ φ )



2 2 0

ω

ω

α

2φ





(10π)

(30π)

α

2 100π







2π rad

φ 50 vueltas

100π rad

1 vuelta







4π rad/s

 

0

ω ω



 

α t

α

ω ω

t





4π

10π 30π





08/09/2020 Departamento de Física y Química 42

Ejercicio: A las 12 de la mañana las agujas de un reloj coinciden

exactamente una sobre otra. ¿A qué hora exacta (hora minutos y segundos)

volverán a hacerlo? Sol: 13 h 5 min 27,28 s

Horario Minutero

Horario: MCU de periodo es: T_h = 12 h. Por tanto, su velocidad angular:

Minutero: MCU de periodo es: T_m = 1 h. Por tanto, su velocidad angular:

h





h

h

2π

2π

π

ω

rad/s

T

12 3600

21600









2π

2π

π

ω

rad/s

T

3600 1800

Horario: MCU.

Ecuación de movimiento:

Minutero: MCU.

Ecuación de movimiento:

0 ₀

Tomamos el origen de ángulos para ambas manecillas el momento inicial, es decir, a las 12 h, y el sentido positivo de movimiento el del avance de ambas manecillas,

La condición que se debe cumplir cuando ambas manecillas se vuelvan a encontrar es que:

h 0 h

φ



φ



ω t



φ



φ



ω



t

h

π

φ

t

21600



m

π

φ

t

1800



m h

08/09/2020 Departamento de Física y Química 44

Aplicando la condición:

π

π

t

t 2π

1800



21600



m h

φ



φ



2π

1

1

t

t

2

1800



21600



11

t

2

21600



43200

t

s

11



43200 s

1 h

12

t

h

11

3600 s

11







 Cuerpos elásticos son aquellos que al cesar la fuerza, recuperan su forma inicial  Cuerpos plásticos son aquellos que al cesar la fuerza no la recuperan, sino que

mantienen su última forma.

 Al aplicar sucesivas fuerzas sobre un muelle de 20 cm de longitud, se obtienen los correspondientes alargamientos que recogemos en la tabla:

F (N)

l l ₀ (m)

0,5

0,1 1

0,2 1,5

0,3

La DINÁMICA es la parte de la mecánica que estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos, estas causas que producen movimiento son las FUERZAS.

FUERZA es toda causa capaz de alterar el estado de reposo o de movimiento de los cuerpos o producir deformación. Se miden en NEWTONS ( N ). Es una magnitud vectorial

FUERZA es toda causa capaz de alterar el estado de reposo o de movimiento de los cuerpos o producir deformación. Se miden en NEWTONS ( N ). Es una magnitud vectorial

Esta es la base del DINAMÓMETRO que sirve para medir fuerzas y es un muelle con una escala graduada que se va estirando según la fuerza que se ejerce,

Ley de Hooke

Fuerza (N) Longitud (m) Deformación x = _l-_l0 (m)

0 _{l0 = 0,2} 0 0,5 0,3 0,1

1 0,4 0,2 1,5 0,5 0,3

x

Por su forma de actuar las fuerzas se clasifican en:

-FUERZAS DE CONTACTO: son aquellas que se ejercen sólo cuando el cuerpo que ejecuta la fuerza está en contacto con el que la recibe. Por ejemplo cuando empujamos un objeto o la fuerza de rozamiento.

-FUERZAS DE ACCIÓN A DISTANCIA: actúan sin estar en contacto con el cuerpo que las recibe. Por ejemplo la fuerza de atracción gravitatoria que origina el peso de los cuerpos y las atracciones y repulsiones entre cargas eléctricas y magnéticas.

Según el intervalo de tiempo en que actúan las fuerzas se clasifican en:

INSTANTÁNEAS: si actúan en un intervalo de tiempo tan corto que resultan muy difíciles de medir, son fuerzas que inician movimientos pero enseguida dejan de actuar, es el caso de

cuando lanzamos un cuerpo. No se tienen en cuenta al considerar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su movimiento ya que no actúan durante el mismo sino solamente al inicio.

Todas las interacciones conocidas en la naturaleza se pueden clasificar en cuatro grupos. Estos son:

La dinámica se fundamenta en tres principios que formulados básicamente por Galileo fueron completados y corregidos por Newton (1642-1727) en su célebre libro

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, probablemente el libro más famoso de la historia de la física.

Según SU NATURALEZA:

1) La interacción (fuerza) gravitatoria, que aparecen entre los objetos a causa de sus masas.

2) La interacción (fuerza) electromagnética, debidas a las cargas eléctricas, polos de un imán y/o corrientes eléctricas.

3) La interacción (fuerza) nuclear fuerte, responsable de la unión de los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo. Sólo tiene un alcance de distancia subnuclear.

4) La interacción (fuerza) nuclear débil, responsable de la aparición de las partículas radiactivas del núcleo de los átomos.

La fuerza es una magnitud vectorial

La fuerza es una magnitud vectorial

Composición de fuerzas concurrentes

 Las fuerzas son magnitudes físicas con carácter vectorial. Sus efectos dependen de su intensidad, dirección, sentido y punto de aplicación.

Sentido

Punto de aplicación Intensidad

Dirección

En general:



 

F

 F1



F1



F1



F2

 F2 

F2



F3

 _R

R

R



 

 



Coordenadas cartesianas: componentes de una fuerza

X Y

 Se puede expresar de 3 formas:

 A partir de consideraciones geométricas :

 La suma de dos fuerzas:

 Se puede escribir el vector como suma de otros dos dirigidos según los ejes X e Y

 El módulo de un vector : | | = F =



F_x = F cos  ; F_y = F sen 

 i  j 50 F  Fx  Fy  F F

F x y

     j F i F

F _x y

     ) , (_{F F}

F  x y

 F  F  F  F F_x2  _y2

j F i

F

F1 1x 1y

     j F i F

F2 2x 2y

     j ) F F ( i ) F F ( F

F1 2 1x 2x 1y 2y

Coordenadas cartesianas: componentes de una fuerza

X Y

 Podemos hallar la resultante de varias fuerzas descomponiendo previamente a estas en sus componentes cartesianas, y tan sólo tendremos que sumar (o restar) sus componentes. Por ejemplo, supongamos dos fuerzas:

Su módulo será: 1

F

1

F _y

1 1x 1y

F = F + F







2 2x 2y

F = F + F









 



1 2 1x 2x 1y 2y

R = F + F = F + F













F + F





1

F _x



2

F



x y

R = R + R







R = F + F







1y 2y

R = F + F







x

R

y

R

2

F _x

2

F _y

1 2

= F ·cos + F ·cos









1 2

= F ·sen + F ·sen









R



2 2

R = R = R + R







X Y

Su módulo será:

52

Ejercicio: hallar la fuerza resultante de dos fuerzas, F₁ = 10 N y F₂ = 15 N, que forman 60º y 30º respectivamente, con el eje X.

1

F 10

1

F _y

1 1x 1y

F = F + F







2 2x 2y

F = F + F









 



1 2 1x 2x 1y 2y

R = F + F = F + F













F + F





1

F_x

60º

2

F 15

30º

x y

R = R + R







R = F + F







1y 2y

R = F + F







x

R 17,99 y

R 16,16

2

F _x

2

F _y

1 2

= F ·cos60º + F ·cos30º





1 2

= F ·sen60º + F ·sen30º





R



2 2

R = R = R + R







= 17,99 ; 16,16

= 10 cos60 + 15 cos30 = 17,99 N

= 10 sen60 + 15 sen30 = 16,16 N

2 2

= 17,99



16,16



24,18 N

R



R

Suma (resultante) de fuerzas paralelas del mismo sentido.

x₁ x₂

 F₁

 F₂

  F₁+ F₂

La fuerza resultante, R, es una fuerza de:

• Intensidad (módulo) suma de los módulos de F₁ y F₂ .

• Dirección paralela a F₁ y F₂ . • Sentido el de las fuerzas.

• Punto de aplicación situado en el segmento que une los puntos de aplicación de F₁ y F₂ y lo divide en dos partes, x₁ y x₂, inversamente proporcionales a los módulos de F₁ y de F₂ .

Sea una barra de longitud d sobre la que ejercemos dos fuerzas paralelas

d

Composición (resultante) de fuerzas paralelas:

1 2 1 1 2 2

R = F + F

F x =F x





1 2

Suma de fuerzas paralelas de sentidos contrarios.

x₁

x₂

 F₁

 F₂

 

F₁ F₂

La fuerza resultante, R, es una fuerza de:

• Intensidad (módulo) diferencia de los módulos de F₁ y F₂ .

• Dirección paralela a F₁ y F₂ . • Sentido el de la fuerza mayor.

• Punto de aplicación situado en la prolongación del segmento que une los puntos de aplicación de F₁ y F₂ . Su distancia a éstas es inversamente proporcional a los módulos de F₁ y F₂ (fuera del segmento de unión y del lado de la fuerza mayor).

d

54

1 2 1 1 2 2

R = F F

F x = F x







2 1

Toda la mecánica clásica se basa en las tres leyes de Newton .

Sin embargo estas leyes sólo son válidas para cuerpos que se mueven a velocidades inferiores a la luz y vistos desde sistemas de referencia inerciales (es decir desde sistemas de referencia en reposo o con movimiento uniforme). Si realizamos las medidas desde un sistema de referencia que posee aceleración, las leyes de Newton aparentemente no se cumplen pero esto se corrige fácilmente y se puede evitar cambiando de sistema de referencia.

PRIMERA LEY O PRIMER PRINCIPIO: PRINCIPIO DE INERCIA.

Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero, el cuerpo permanece indefinidamente en su estado de reposo, si estaba en reposo, o de movimiento rectilíneo y uniforme si se estaba moviendo. (Ver este video.)

PRIMERA LEY O PRIMER PRINCIPIO: PRINCIPIO DE INERCIA.

Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero, el cuerpo permanece indefinidamente en su estado de reposo, si estaba en reposo, o de movimiento rectilíneo y uniforme si se estaba moviendo. (Ver este video.)

La primera parte del principio resulta evidente, si el cuerpo está parado y no actúan fuerzas sigue parado, la segunda parte es más difícil de comprobar porque sabemos que si lanzamos un cuerpo sobre una superficie acaba por pararse, pero si no existiera rozamiento el cuerpo no estaría sometido a ninguna fuerza (o mejor dicho a una resultante nula) y se movería indefinidamente con movimiento uniforme.

Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento se igualan entre sí y se anulan el cuerpo queda con movimiento uniforme, con velocidad constante, la que

La bola está en reposo La acción de la fuerza

produce un movimiento El efecto es un movimiento _{rectilíneo casi uniforme}

Los frenazos bruscos ponen de manifiesto las fuerzas de inercia

La nave espacial se mueve en el espacio exterior debido a su inercia

Este Principio se llama Principio de Inercia porque indica la resistencia de un cuerpo a ponerse en movimiento a partir del reposo o a cambiar su velocidad. SE LLAMA INERCIA A LA TENDENCIA QUE TIENEN LOS CUERPOS A CONSERVAR SU ESTADO DE MOVIMIENTO O REPOSO. (Ver este applets sobre el razonamiento de Galileo)

EQUILIBRIO DINÁMICO: se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando su aceleración con respecto al sistema de referencia es nula, esto sucede cuando la resultante de las fuerzas que actúan es cero.

REPOSO: se dice que un cuerpo está en reposo cuando su velocidad respecto

 La constante de proporcionalidad entre la fuerza que actúa y las aceleraciones que origina es la masa que mide la resistencia que cada cuerpo opone al movimiento. A mayor masa menor

aceleración si la fuerza es la misma, cuanto mayor es la masa de un cuerpo más cuesta moverlo.

 Aunque se apliquen varias fuerzas sobre un cuerpo, la aceleración producida es única

 Un cuerpo sometido a la acción de una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración es constante en módulo y tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada.

 Cuando un cuerpo se somete sucesivamente a varias fuerzas adquiere aceleraciones proporcionales a dichas fuerzas de su misma dirección y sentido:

SEGUNDA LEY O SEGUNDO PRINCIPIO: LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE TRASLACIÓN.

La resultante de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo de masa m, es igual al producto de dicha masa por la aceleración que adquiere.

Las fuerzas de acción y reacción no se anulan _{Las fuerzas nunca actúan solas}

 Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo siempre son debidas a la presencia de otros cuerpos más o menos próximos

A

B

 Las fuerzas se ejercen sobre cuerpos diferentes, por eso no se anulan

Unidades de fuerza: en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg · m /s2

En el Sistema Técnico la unidad es el KILOPONDIO (kp) es la fuerza con que la Tierra atrae a una masa de 1 kg (es decir el peso correspondiente a una masa de 1 kg)

P= m · g = 1 · 9,8 = 9,8 N luego 1 kp = 9,8N

Unidades de fuerza: en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg · m /s2

En el Sistema Técnico la unidad es el KILOPONDIO (kp) es la fuerza con que la Tierra atrae a una masa de 1 kg (es decir el peso correspondiente a una masa de 1 kg)

P= m · g = 1 · 9,8 = 9,8 N luego 1 kp = 9,8N

TERCERA LEY O TERCER PRINCIPIO: LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN.

Cuando un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (acción) el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza igual y en sentido contrario (reacción). ( Ver este vídeo).

TERCERA LEY O TERCER PRINCIPIO: LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN.

Cuando un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (acción) el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza igual y en sentido contrario (reacción). (

Ver este vídeo).

58

F



F

F









F

Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos

y

las ejercen cuerpos distintos entre sí, no sólo

no se anulan

e impiden el

movimiento, sino que

gracias a ellas el movimiento es posible

.

Nota: la segunda ley de newton engloba a la primera.

Nota: la segunda ley de newton engloba a la primera.

Sabemos por la 2ª ley que

Si sobre un cuerpo no se ejercen fuerzas o la suma de las fuerzas aplicadas sobre él es nula, tendremos que:











o

60

a

m

F

Σ







0

F

Σ





m

a





0

0

a





v 0





Algunas fuerzas importantes

Algunas fuerzas importantes

 PESO:

Peso (magnitud vectorial): fuerza con que un astro atrae a los objetos que se encuentran en su superficie, es siempre vertical y hacia abajo. Su valor no es

constante, depende de la gravedad del astro.

La masa (cantidad de materia de un cuerpo) es una magnitud escalar de valor constante. Se mide mediante una balanza por comparación con otras masas patrón. La masa de un cuerpo es la misma en la Tierra que en Júpiter y no varía aunque cambie su temperatura o su estado de agregación.

p



 FUERZA NORMAL:

Fuerza de reacción que aparece en las superficies de contacto de dos cuerpos. Es siempre perpendicular a dichas superficies y es la que “aprieta” ambos cuerpos.

Y

X

N

P = m g

Y

X

N

P = m g





N

Lo que se llama fuerza normal es la reacción de una superficie al apoyo de un cuerpo o a cualquier otra fuerza que presione contra ella.

Para que exista normal debe haber alguna fuerza presionando la superficie, de lo contrario no hay reacción. Por la ley de acción y reacción la normal es igual a la fuerza de apoyo.

EQUILIBRIO DE

FUERZAS

EQUILIBRIO DE

FUERZAS



p



= 0



Condición de equilibrio: La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe ser nula.

-Condición de equilibrio entre dos fuerzas: que se

apliquen sobre un mismo cuerpo, en la misma dirección y en sentidos contrarios y sean iguales.

-Condición de equilibrio para tres fuerzas: que se

apliquen sobre un mismo cuerpo y una sea igual, de la misma dirección y sentido contrario a la resultante de las

N



g m

p 



 



p  _N  _N

0



EJERCICIO DEL ASCENSOR: Un hombre cuya masa es de 80 kg se pesa en un ascensor. ¿Cuánto indicará la balanza en los siguientes casos?

a) El ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s. b) El ascensor baja con velocidad constante de 2 m/s.

c) El ascensor empieza a subir aumentando su velocidad a razón de 2 m/s por segundo. d) El ascensor sube frenando con una aceleración de 2 m/s².

e) El ascensor empieza a bajar con una aceleración de 2 m/s². f) El ascensor baja frenando con una aceleración de 2 m/s². g) Se corta la soga del ascensor.

64

Recuerda: la fuerza de la balanza sobre el hombre (Normal) es igual y de sentido contrario a la que éste realiza sobre la balanza (3ª ley de Newton), que es lo que marcará la misma. Por tanto, calculando la Normal sobre el hombre tendremos lo indicado por la balanza.

N

g m

p 





EJERCICIO DEL ASCENSOR: Un hombre cuya masa es de 80 kg se pesa en un ascensor. ¿Cuánto indicará la balanza en los siguientes casos?

a) El ascensor sube con velocidad constante de 2 m/s. b) El ascensor baja con velocidad constante de 2 m/s.

c) El ascensor empieza a subir aumentando su velocidad a razón de 2 m/s por segundo.

Ya hemos dicho que la lectura de la balanza es el módulo de la fuerza normal N ejercida por la balanza sobre el hombre. Como el hombre está en reposo respecto al ascensor, tanto el uno como el otro poseen la misma aceleración. Sobre el hombre actúan dos fuerzas: la fuerza de la gravedad hacia abajo mg y la fuerza normal de la balanza N hacia arriba. La suma de ambas es la causa de la aceleración observada sobre el hombre. Elegimos como positivo el sentido de la aceleración.

En a) y b) no hay aceleración, luego ambos casos son análogos:

 F_iy = N  P = m a  N  P = 0  N = P = m g = 80·9,8 = 784 N

Fuerzas en la dirección del eje Y: (a = 0) a) y b)

En realidad la balanza mide en kilopondios:

 F_iy = N  P = m a  N  mg = ma  N = ma + mg  N = m(a + g) = 944 N

Fuerzas en la dirección del eje Y: (a = 2 m/s2₎

c)

En kilopondios:

N



g m

p 





1 kp

N 784 N

80 kp

9,8 N







1 kp

N 944 N

96,33 kp

9,8 N

EJERCICIO DEL ASCENSOR: Un hombre cuya masa es de 80 kg se pesa en un ascensor. ¿Cuánto indicará la balanza en los siguientes casos?

d) El ascensor sube frenando con una aceleración de 2 m/s². e) El ascensor empieza a bajar con una aceleración de 2 m/s². g) Se corta la soga del ascensor.

66

En d) y e) la aceleración es un vector de sentido hacia abajo; lo tomamos positivo, luego el Peso, del mismo sentido que la aceleración, será ahora positivo, y la Normal, de sentido contrario a la aceleración, será ahora negativa (en ambos apartados):

 F_iy = P  N = m a  mg  N = ma  N = mg – ma  N = m(g – a) = 624 N

Fuerzas en la dirección del eje Y: (a = 2 m/s2 _{hacia abajo)}

d) y e)

En kilopondios:

Fuerzas en la dirección del eje Y: (a = g = 9,8 m/s2₎

g)

En kilopondios:

En g) la aceleración que adquiere todo el sistema, tanto el ascensor como todo lo que va dentro es la de la gravedad, caída libre.

 F_iy = P  N = m a  mg  N = ma  N = mg – ma  N = m(g – g) = 0 N

1 kp

N 624 N

63,67 kp

9,8 N







Y

X

 F_iy = N  P = m a_y  N  P = 0  N = P = m g F

N

P = m g

 F_ix = F = m a_x

El cuerpo adquiere un MRUA de aceleración

F: fuerza aplicada

horizontal _{ Fuerzas en la dirección del eje X:}

Fuerzas en la dirección del eje Y: (a_y = 0)



v

Y

X F

N

P = m g

F_x F_y

v



F : ahora oblicua F_Fx = F cos 

y = F sen   F

ix = m ax  Fx = m ax

 F_iy = m a_y  N + F_y  P = m a_y

Fuerzas en la dirección del eje X



Fuerzas en la dirección del eje Y



Veamos ejemplos de cómo se deben plantear los problemas de dinámica aplicando las leyes de Newton. Supongamos un cuerpo m sobre un plano horizontal. Aplicamos una fuerza:

m F a_x 

x x

F F cos α

m m

68

Ejercicio: Sobre un automóvil de 1.000 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s actúa una fuerza constante de 3.000 N en el sentido del movimiento. Calcular: a) el valor de la fuerza

normal; b) la aceleración del móvil; c) ¿Cuál es la velocidad del móvil 4 s después?;

d) ¿Qué distancia recorre el móvil en ese tiempo?_Y

X F

N

P = m g

v ; a

a) Aplicamos la 2ª ley de Newton a cada eje:

Eje Y:

0

b) Eje X:

c) Velocidad a los 4 s:

d) Distancia a los 4 s:

0

y

y

m

a

ΣF



0

P

N





N



P



m



g

x

x

m

a

ΣF



_F



_m

_a

m

F

a



kg

1000

N

3000

a



kg

N

3



_{a 3 m/s}

_

0

v v + a t



v 20 + 3 4 = 32 m/s





2

0 0

1

x x + v t + at

2



_{x 20 4 +}

1

_{3 4 = 104 m}

2





 

Ejercicio: Repetir el problema anterior para el caso de que la fuerza se aplique en el sentido opuesto.

Y

X F

N

P = m g

v

a

Eje Y:

0

b) Eje X:

c) Velocidad a los 4 s:

d) Distancia a los 4 s:

0

y

y

m

a

ΣF



x

x

m

a

ΣF



 

_{F m a}

-F

a

m



a

-3000 N

1000 kg



3

N

kg

 

_a

_{ }

_{3 m/s}

0

v v + a t



v 20 3 4 = 8 m/s



 

2

0 0

1

x x + v t + at

2



_{x 20 4 +}

1

_{( 3) 4 = 56 m}

2





  

0

P

70

Ejercicio: Sobre un automóvil de 1.000 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s actúa una fuerza constante de 3.000 N,

formando un ángulo de 30º con el sentido del movimiento. Calcular: a) el valor de la fuerza normal; b) la aceleración del móvil; c) ¿Cuál es la velocidad del móvil 4 s después?; d) ¿Qué distancia recorre el móvil en ese tiempo?

a) Aplicamos la 2ª ley de Newton a cada eje:

Eje Y:

0

b) Eje X:

y

y

m

a

ΣF



y

N F



 

P 0

_{N P F}

 

x

x

m

a

ΣF



F



m a

Fcosα

a

m



a

3000 cos30º

1000





2,6

N

kg



a 2,6 m/s



N mg Fsenα







1000 9,8 3000 sen30º







N 8300 N



b) Velocidad a los 4 s:

c) Distancia a los 4 s:

0 0

v v + a t



v 20 + 2,6 4 = 30,4 m/s





2

0 0

1

x x + v t + at

2



_{x 20 4 +}

1

_{2, 6 4 = 100,8 m}

2

Y

X

N

P_x

P = m g



P_y



v



0

La fuerza inicial impulsora no se contabiliza

 F = m a _ix x   P = m ax x



 mg sen  = m a_x  a = _x  g sen 

 F = m a _{iy y}  N  P = 0_y

P_x = mg sen  P_y = mg cos 

Fuerzas en la dirección del eje X



Fuerzas en la dirección del eje Y



Estudiemos ejemplos de planos inclinados sin rozamiento:

Aceleración de frenado Primero veamos un cuerpo que sube por un plano inclinado:

N = Py = mg cos 

Y

X

N

P_x



P_y

P = m g



v_{o = 0}

P_x = mg sen  P_y = mg cos 

 F = m a _{ix x}  P = m a_{x x}

mg sen  = m a_x a = g sen _x 

 F = m a _{iy y}  N - P = 0_y

v

Fuerzas en la dirección del eje X



Fuerzas en la dirección del eje Y



Ahora el cuerpo desciende por el plano inclinado:

Acelera en el descenso