Tema 10
Programación lineal
GUÍA DIDÁCTICA
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Orientaciones didácticas
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Solucionario
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Recursos Didácticos
Soluciones de las actividades
Página 183
1. a) y ≥ 4 + 2x
-2
4
y = 2x + 4
b) y ≤ 3
x 2 6−
2
3 y = (-2x + 6) / 3
c) y < −x − 7
-7
-7 y = -x - 7
d) y < x / 2
1 1
y = x / 2
Página 185
2. a)
+ − ≤
− ≥
6 x y
x 2 y
2 2
6
6 y = -x + 6
y = -x + 2
b)
≤ − ≤ ≥ ≥
y x
x 6 y
1 y
0 x
6
6 1
(1, 1)
(3, 3)
y = 1 y = -x + 6
y = x
c)
− ≥
≤ − ≥ ≥
3 x 2 12 y
y 4 x
2 y
1 x
2 4
-4
4 6
(2, 6) (2, 8/3)
(24/5, 4/5)
x = 1
y = (12 - 2x) / 3 y = -4 + x
Página 188
3. a) La región es la siguiente:
5
5 y = x
y = -x + 5 1 (1, 1)
(5/2, 5/2)
(4, 1)
b) Evaluamos la función en los vértices de la región halla en el apartado anterior:
f(1, 1) = 3 + 4 = 7 f(4, 1) = 12 + 4 = 16
f(5 / 2, 5 / 2) = 15 / 2 + 20 / 2 = 35 / 2 La función se minimiza en el punto (1, 1).
c) Como los valores de la función en los vértices son diferentes, la función alcanza el máximo en un único punto, (5 / 2, 5 / 2)
Página 191
4. a) La región factible es la siguiente:
-4 5
2 5 y = -x + 5
y = (x + 4) / 2
(2, 3)
b) Evaluamos la función en los vértices de la región: (2, 3) → 8 + 15 = 23
(0, 2) → 10 (0, 5) → 25
El máximo se obtiene en (0, 5).
5. La región es la siguiente:
4
4 y = -x + 4
y = (-x + 4) / 2 2
a) f1 (0, 2) = −2 f1 (0, 4) = −4 f1 (4, 0) = 8 Gráficamente:
Como el coeficiente de y es −1, el máximo se alcanza en (4, 0) y el mínimo en (0, 4)
4 4
y = -x + 4
y = (-x + 4) / 2 2
2x + 4
2x - 8
b) f2 (0, 2) = 2 f2 (0, 4) = 4 f2 (4, 0) = 4 Gráficamente:
Como el coeficiente de y es 1, el máximo se alcanza en el lado de la región determinado por los vértices (4, 0) y (0, 4) y el mínimo se alcanza en (0, 2).
c) f3 (0, 2) = 4 f3 (0, 4) = 8 f3 (4, 0) = 4 Gráficamente:
Como el coeficiente de y es 2, el máximo se al-canza en el vértice (0, 4) y el mínimo se alal-canza en el lado de la región determinado por (0, 2) y (4, 0).
4 4
y = -x + 4
y = (-x + 4) / 2 2
y = -x/2 + 4
Página 192
6. Como los errores no bajan nota, en cualquier caso deberá responder a todas las preguntas que la duración del examen le permita.
Sean x las preguntas de 5 puntos que debe responder e
y las de 10 puntos.
≤ ≤
≤ ≤
≤ +
8 y 0
10 x 0
100 y 10 x 4
→
≤ ≤
≤ ≤
− ≤
8 y 0
10 x 0
5 x 2 50 y
La región factible es la siguiente:
8
10 10
25 y = (-2x + 50) / 5 (10, 6)
(5, 8)
La función puntuación que hay que optimizar tiene la siguiente expresión: P(x, y) = 5x + 10y
Numéricamente: P(0, 8) = 80 P(5, 8) = 105 P(10, 6) = 110 P(10, 0) = 50
El máximo se obtiene en (10, 6).
Gráficamente: debemos considerar rectas paralelas a la recta y = −x / 2 y obtenemos lo siguiente:
8
10 10
25
y = (-2x + 50) / 5 y = -x/2 + 11
Como el coeficiente de y en P es 10, el máximo se obtiene en (10, 6).
Por lo tanto, Ana debe responder todas las preguntas de 5 puntos y 6 de las preguntas de 8 puntos. Por razones de tiempo deberá dejar de responder 2 de las preguntas de 8 puntos.
Página 196
P1. Se hallan los semiplanos que son solución de cada una de las inecuaciones. La intersección de las dos soluciones es la solución del sistema:
− ≤
− ≤
4 x 24 y
3 x 15 y
y =(15 - x) / 3 y =(24 - x) / 4 6
5
15 24
(-12, 9)
P2. Actividad personal.
P3. Variables instrumentales → son las variables que
intervienen en los problemas de programación lineal.
Restricciones→ son las inecuaciones que se
consi-deran en los problemas de programación lineal.
Función objetivo → es la función que hay que
opti-mizar.
P4. Dadas una función objetivo y unas restricciones en unas variables instrumentales, el problema de pro-gramación lineal consiste en optimizar la función
objetivo en las condiciones que imponen las
restric-ciones.
Actividad personal.
P5. Las soluciones óptimas, en caso de que existan se encuentran en los vértices de la región factible. En el caso de que la solución exista y sea múltiple, coincide con uno de los lados de la región factible.
P6. Numéricamente:
1. Se representa la función factible.
2. Se obtienen las coordenadas de sus vértices. 3.Se calcula el valor de la función objetivo en todos
los vértices de la región factible. Si los valores obtenidos son únicos, la solución es única, si dos valores coinciden, los óptimos son todos los puntos del lado de la región determinado por los dos vértices en los que la función objetivo coincide.
Gráficamente:
Sea f(x, y) = c1x + c2 + d y la función objetivo: 1. Se representa la región factible.
2. Se trazan las paralelas a la recta c1x + c2y = 0 que pasen por los vértices de la región factible. Si ninguna de las rectas trazadas contiene uno de los lados de la región factible:
Si c2 > 0, el máximo, en caso de que exista, se obtiene en el vértice por el que pasa la recta de ordenada en el origen máxima y el mínimo, en caso de que exista, en el vértice por el que pasa la recta de ordenada en el origen mínima.
Si alguna de las rectas contiene alguno de los lados, los puntos de dicho lado son máximos o mínimos según los criterios anteriores, es decir, si un lado contiene a un máximo, todos los puntos del lado son máximos y si un lado contiene un mínimo, todos los puntos del lado son mínimos.
P7. La región factible es no acotada (superiormente). Actividad personal: por ejemplo, sirve el ejemplo 2 de la página 185.
Para practicar
7. La región de soluciones en cada caso es:
a)
b)
c)
d)
8. a) En primer lugar, simplificamos:
(
−)
→ ⋅− + ≤ − +
− y 3 x 1 2 y 1
2 1 x
(
−)
≤ + → ⋅+ + − −
→ x y 2 y 1 1 3
2 1 x
→ ≤ − + + − −
→ y 2y 2 4
2 2x 1 x
→ ≤ + − − → ≤ + − −
→ 3y 6 x 1 6y 12
2 1 x
13 6y x+ ≤ −
→ .
Por tanto, la región de soluciones es:
b) En primer lugar, simplificamos:
(
−) (
≤ −)
+ + →− 2y 5
2 2 x 3 5 y 3 2x
(
−) ( )
− − − ≤ → −→ y 5 2y 5
2 2 x 3 3 2x
→ ≤ + − + −
→ 3y 5 5
6 18 9 4x x
→ ≤ − + − → ≤ − + −
→ 3y 0 5x 18 18y 0
6 18 5x
18 18y 5x 18 18y
5x− ≤− → + ≥
−
→ .
Por tanto, la región de soluciones es:
9. La región factible de los siguientes sistemas de ine-cuaciones es:
b) Notemos que el sistema de inecuaciones dado es equivalente al siguiente sistema:
> +
≤ +
2 y x
2 2y x
c)
10. a)
− ≤
− ≥
≤ +
x 5 13 y
x 1 y
y 1 x
y = x + 1
y = -x + 1 y = 13 - 5x
13
1
-1 1 13/5
(3, -2) (2, 3)
b)
≤ ≤ ≤ ≤
x y
4 y 2
5 x
y = x
5 2
4 (4, 4)
(2, 2)
(5, 2) (5, 4)
c)
≤ − ≥
− ≤
y 5 x
x 5 y
2 x 8 y
5
5
y = -x + 5 y = x / 5
y = (8 - x) / 2 4
8 (25/6, 5/6)
(2, 3)
(40/7, 8/7)
11. La región factible del sistema de inecuaciones es:
12.
≤ − ≤
+ ≤ ≥ ≥
4 x
x 6 y
2 x 6 y
0 y
0 x
y = (6 + x) / 2 y = 6 - x
6
3
6 (2, 4)
(4, 2) (4, 5)
4
Evaluamos la función en los vértices: (0, 0) → 0 + 0 + 1 = 1
(0, 3) → 6 + 1 = 7 (2, 4) → 4 + 8 + 1 = 13 (4, 2) → 8 + 4 + 1 = 13 (4, 0) → 8 + 1 = 9
El máximo, 13, se alcanza en el lado de la región factible determinado por los vértices (2, 4) y (4, 2).
13.
− ≤ ≤ ≥
≤ ≤
x 14 y
y x
4 y
6 x 0
14
4
14 (4, 4) (10, 4)
(7, 7)
6 (6, 4) (6, 6)
(6, 8)
y = x
y = 14 - x
Evaluamos la función en los vértices: f(0, 4) = 8
f(0, 14) = 28
f(6, 8) = 18 + 16 = 34 f(6, 6) = 18 + 12 = 30 f(4, 4) = 12 + 8 = 20
El mínimo es alcanza en (0, 4) y el máximo en (6, 8).
14. a)
≤ −
− ≤
≥ ≥ ≥
y 2
x 12
x 13 y
y 18
0 x 10
10 13 12 6
13
18 (10, 18)
(10, 3)
(10, 1) y = 13 - x
y = (12 - x) / 2
Los vértices son: (0, 6)
(0, 13) (10, 3) (10, 1)
b) z = x + y + 74
Evaluamos la función en los vértices: (0, 6) → 6 + 74 = 80
(0, 13) → 13 + 74 = 87 (10, 3) → 13 + 74 = 87 (10, 1) → 11 + 74 = 85
Alcanza el mínimo en (0, 6) y el máximo en el lado de la región determinado por los vértices (0, 13) y (10, 3).
Para aplicar
15. x: lámparas del modelo A; y: lámparas del modelo B
a)
≥ ≥
≤ +
≤ +
0 y
0 x
100 y 2 x
80 y x 2
→
≥ ≥
− ≤
− ≤
0 y
0 x
2 x 100 y
x 2 80 y
40 100
50 80
(20, 40) y = 80 - 2x
y = (100 - x) / 2
b) B(x, y) = 75x + 80y B(0, 50) = 4.000
B(20, 40) = 1.500 + 3.200 = 4.700 B(40, 0) = 3.000
Se deben producir 20 lámparas del tipo A y 40 del tipo B.
c) El beneficio máximo es de 4.700 euros.
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16. a) x: unidades de A; y: unidades de B
≥ +
≥ +
200 y 5 x 5 , 12
80 y 4 x 2
→
− ≥
− ≥
x 5 , 2 40 y
2 x 40 y
40
20
40 16
y = (40 - x) / 2 y = 40 - 2.5x
(10, 15)
La expresión de la función coste es: C(x, y) = 4x + 6y
La evaluamos en los tres vértices de la región factible:
C(0, 40) = 240
C (10, 15) = 40 + 90 =130 C(40, 0) = 160
b) Los costes mínimos serán de 130 euros.
17. x: euros invertidos en el depósito A. y: euros invertidos en el depósito B.
≥ ≥ ≤ ≤ + 300 y 900 x x y 1.500 y x
a) Dibujamos la región factible:
Observamos que la restricción y≤x no es relevante.
b) Beneficios anuales → B
( )
x,y =0,09x+0,05y. Como sabemos que la solución óptima se alcanza en uno de los vértices de la región factible, evaluamos la función B( )
x,y en los vértices para ver dónde se alcanza el máximo:B(900, 600) = 81 + 30 = 111. B(1.200, 300) = 108 + 15 = 123.
Claramente, el máximo se alcanza en
(
1.200,300 .)
Por lo tanto, debe invertir 1.200 € en el depósito A y 300 € en el depósito B para que los beneficios anuales sean máximos.c) Como B(1.200, 300) = 108 + 15 = 123, los beneficios anuales máximos son 123 €.
18. x: número de platos; y: número de jarrones
a) ≥ ≥ + ⋅ ≤ + ⋅ ≤ + 0 y 0 x 40 60 16 y 10 x 25 60 25 y 30 x 25 → ≥ ≥ − ≤ − ≤ 0 y 0 x 2 x 5 200 y 6 x 5 300 y 60 50 100 40
y = (300 - 5x) / 6 y = (200 - 5x) / 2
(30, 25)
b) B(x, y) = 20x + 15y B(0, 50) = 750 B(40, 0) = 800
B(30, 25) = 600 + 375 = 975
Hay que fabricar 30 platos y 25 jarrones.
c) 975 euros
19. x: tabletas del tipo A y: tabletas del tipo B
a) ≤ ≤ ≤ + ⋅ ≤ + y 0 x 0 000 . 400 y 100 x 100 000 600 y 200 x 300 → ≤ ≤ − ≤ − ≤ y 0 x 0 x 000 . 4 y 2 x 3 000 . 6 y 4000 3000 2000 4000
y = (6000 - 3x)/2 y = 4000 - x (-2000, 2000)
La función ingresos es: I(x, y) = 2x + 1,5y I(0, 3.000) = 4.500 I(2.000, 0) = 4.000
Se deben fabricar 3.000 tabletas del tipo B.
b) Se gastan 3.000 ⋅ 200 = 600.000 g = 600 kg de chocolate y 3.000 ⋅ 100 = 300.000 g = 300 kg de almendras.
Por lo tanto, sobran 100 kg de almendras pero el chocolate se agota.
20. x: lotes del tipo A y: lotes del tipo B
a) ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ + x 0 7 y 0 32 y x 4 37 y 4 x 3 → ≤ ≤ ≤ − ≤ − ≤ x 0 7 y 0 x 4 32 y 4 x 3 37 y
y = (37 - 3x) / 4
8 7
32
37/4
37/3 y = 32 - 4x (7, 4)
(3, 7) y = 32 − 4x
B(x, y) = 25x + 30y B(0, 7) = 210
B(3, 7) = 75 + 210 = 285 B(7, 4) = 175 + 120 = 295 B(8, 0) = 200
Se deben vender 7 lotes del tipo A y 4 del tipo B.
b) 295 euros
21. x: ordenadores del modelo A y: ordenadores del modelo B
a) ≥ + ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 000 . 30 y 800 x 000 . 1 y 2 x 40 y 0 30 x 0 → − ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ 4 x 5 150 y y 2 / x 40 y 0 30 x 0
La función ingresos es: I(x, y) = 1.000x + 800y
40
30
y = x/2
y = (150 - 5x) / 4 (30, 15)
(21,42; 10,71)
37,5
I(30, 0) = 30.000
I(21,42; 10,71) = 21.420 + 8.568 = 29.988 ≈ ≈ 30.000
I(30, 15) = 30.000 + 12.000 = 42.000
Deberán vender 30 unidades del modelo A y 15 unidades del B.
b) 42.000 euros
22. x: aparatos del tipo A construidos y: aparatos del tipo B construidos
≤ ≤ ≤ + ≤ + 0 y 0 x 100 y 2 x 100 y x 3 → ≤ ≤ − ≤ − ≤ 0 y 0 x 2 x 100 y x 3 100 y
y = 100 - 3x
y =(100 - x) / 2
100/3 100
50 (20, 40)
Función ingreso → I(x, y) = 100x + 150 y
I(20, 40) = 2.000 + 6.000 = 8.000 I(0, 50) = 7.500
I(100 / 3, 0) = 10.000 / 3
Debe vender 20 aparatos del tipo A y 40 del tipo B.
23. x: toneladas de A que carga el camión y: toneladas de B que carga el camión
≤ ≥ ≥ ≤ + x 0 2 / x y 4 x 9 y x → ≤ ≥ ≥ − ≤ x 0 2 / x y 4 x x 9 y 9 9 y = 9 - x
4
y = x/2 (4, 5)
(4, 2)
(6, 3)
Función ganancia:
G(x, y) = 1.000 (0,09x + 0,06y) G(6, 3) = 1.000 ⋅ (0,54 + 0,18) = 720
G(4, 2) = 1.000 (0,36 + 0,12) = 1.000 ⋅ 0,48 = 480 G(4, 5) = 1.000 (0,36 + 0,30) = 1.000 ⋅ 0,66 = 660 Deber cargar 6 t de la mercancía A y 3 t de la mercancía B.
24.a) x: cajas del tipo I y: cajas del tipo II
≤ ≤ ⋅ ≤ + ⋅ ≤ + y 0 x 0 000 . 1 15 y 300 x 100 000 . 1 24 y 200 x 200 → ≤ ≤ − ≤ − ≤ y 0 x 0 3 x 150 y x 120 y 120 50 120 150
y = 120 - x
y = (150 - x)/3 (105, 15)
Ingresos →I(x, y) = 4x + 6y I(120, 0) = 480
I(105, 15) = 420 + 90 = 510 I(0, 50) = 300
Tendrá que preparar 105 cajas del tipo I y 15 del tipo II.
b) 510 euros
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25. x: empresas y: particulares a) ≤ + ≥ ≥ ≥ 90 y x x 2 y 20 y 20 x → − ≤ ≥ ≥ ≥ x 90 y x 2 y 20 y 20 x 90 90
y = 90 - x y = 2x
(30, 60)
20 (20, 40)
(20, 70)
Su cartera puede estar formada por: 20 empresas y 40 particulares 20 empresas y 41 particulares ...
20 empresas y 70 particulares 21 empresas y 42 particulares ...
21 empresas y 69 particulares 22 empresas y 44 particulares ...
22 empresas y 68 particulares 23 empresas y 46 particulares ...
23 empresas y 67 particulares 24 empresas y 48 particulares ...
24 empresas y 66 particulares 25 empresas y 50 particulares ...
25 empresas y 65 particulares 26 empresas y 52 particulares ...
26 empresas y 64 particulares 27 empresas y 54 particulares ...
27 empresas y 63 particulares 28 empresas y 56 particulares ...
28 empresas y 62 particulares 29 empresas y 58 particulares ...
29 empresas y 61 particulares 30 empresas y 60 particulares
b) Ingresos →I(x, y) = 286x + 179y I(30, 60) = 8.580 + 10.740 = 19.320 I(20, 70) = 5.720 + 12.530 = 18.250 I(20, 40) = 5.720 + 7.160 = 12.880
La combinación que le proporcionaría mayores ingresos es la de 30 empresas y 60 particulares. Los ingresos en este caso serían de 19.320 euros.
26. x: carrocerías de automóvil fabricadas y: carrocerías de camión fabricadas
≤ ≤ ≤ + ≤ + y 0 x 0 270 y 3 x 3 300 y 7 x 2 → ≤ ≤ − ≤ − ≤ y 0 x 0 x 90 y 7 x 2 300 y 90 90 150 40
y = 90 - x
y = (300 - 2x)/7 (66, 24)
Beneficios → B(x, y) = 12.000x + 36.000y B(0, 300 / 7) = 10.800.000 / 7
B(66, 24) = 792.000 + 864.000 = 1.656.000 B(90, 0) = 1.080.000
Se deben producir 66 automóviles y 24 camiones.
27. x: lotes del tipo A vendidos y: lotes del tipo B vendidos
≤ ≤ ≤ + ≤ + ≤ + y 0 x 0 600 y 4 x 2 400 y 2 x 3 170 y x → ≤ ≤ − ≤ − ≤ − ≤ y 0 x 0 2 x 300 y 2 x 3 400 y x 170 y 200 150 170 300 170 400/3 y = (400 - 3x)/2
y = 170 - x
y = (300 - x)/2
Los vértices de la región factible son: (0, 150), (40, 130), (60, 110), (170, 0) Beneficios → B(x, y) = 9x + 11y B(0, 150) =1.650
300/7
B(40, 130) = 360 + 1.430 = 1.790 B(60, 110) = 540 + 1.210 = 1.750 B(400 / 3, 0) = 1.200
Deben vender 40 lotes del tipo A y 130 del tipo B para obtener un beneficio máximo de 1.790 euros.
28. x: trajes; y: vestidos de mujer
≤ ≤ ≤ + ≤ + y 0 x 0 120 y 2 x 3 80 y 2 x → ≤ ≤ − ≤ − ≤ y 0 x 0 2 x 3 120 y 2 x 80 y 60 40 40 80
y = (80 - x)/2 y = (120 - 3x)/2
(20, 30)
Si P es el precio al que se venden los trajes y los vestidos de mujer:
B(x, y) = P(x + y) B(0, 40) = 40P B(20, 30) = 50P B(40, 0) = 40P
Deberá confeccionar 20 trajes y 30 vestidos de mujer.
29. x: oficinas centrales; y: sucursales
≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ + y 0 8 x 0 86 y x 6 260 y 4 x 10 → ≤ ≤ ≤ − ≤ − ≤ y 0 8 x 0 x 6 86 y 2 x 5 130 y 65 86 43/3 26 y = (130 - 5x)/2
y = 86 - 6x
(6, 50)
8 (8, 38)
Beneficio → B(x, y) = 3x + y B(0, 65) = 65
B(6, 50) = 18 + 50 = 68 B(8, 38) = 24 + 38 = 62 B(8, 0) = 24
Deberá abrir 6 oficinas centrales y 50 sucursales para obtener un beneficio máximo de 68 millones de euros.
30. x: microbuses; y: autobuses
≥ + ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ 200 y 50 x 25 6 y x 5 y 0 4 x 0 → − ≥ + − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2 x 8 y 6 x y 5 y 0 4 x 0 4 5 4 8
y = (8 - x)/2 (4, 2)
(4, 5)
y = -x + 6 (1, 5)
Coste → C(x, y) = 70x + 160y C(0, 4) = 640
C(0, 5) = 800
C(1, 5) = 70 + 800 = 870 C(4, 2) = 280 + 320 = 600
Deben alquilar 4 microbuses y 2 autobuses.
31. x: cajas de mermelada de naranja y: cajas de mermelada de ciruela
≤ ≤ ≤ + + ≤ y 0 x 0 400 . 2 y 2 x 3 800 x y 2 → ≤ ≤ − ≤ + ≤ y 0 x 0 2 x 3 400 . 2 y 2 800 x y 1200 400 800 (400, 600)
y = (x + 800)/2 y = (2400 - 3x)/2
Beneficio → B(x, y) = 40x + 50y B(0, 400) = 20.000
B(400, 600) = 16.000 + 30.000 = 46.000 B(800, 0) = 32.000
Debe producir 400 cajas de mermelada de naranja y 600 de ciruela.
El beneficio máximo es de 46.000 euros
32. x: unidades del producto A; y: unidades del producto B
20
8 18
12 20 32
y = 20 - x y = 32 - 4x
y = (36 - 2x)/3
(6, 8) (4, 16)
4 (12, 4) (16, 4)
Beneficio → B(x, y) = 25x + 20y B(6, 8) = 150 + 160 = 310 B(4, 16) = 100 + 320 = 420 B(16, 4) = 400 + 80 = 480 B(12, 4) = 300 + 80 = 380
El beneficio máximo de 480 euros se alcanza produciendo 16 unidades del producto A y 4 unidades del producto B.
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Para ampliar
33. Por ejemplo:
≤ ≤ ≥ + ≤ 1 x 0 y 1 x y x 1 1 (1, 1) (1, 2)
y = x y = x + 1
Representamos la función y = 3x / 2 + 1 que pasa por (0, 1):
1
1 (1, 1) (1, 2)
y = x y = x + 1 y = 3x/2
El mínimo se alcanza en (0, 1): f(0, 1) = −2
34. ≥ ≤ ≤ − ≤ − ≥ ≥ 0 y 6 x 0 2 x 12 y x 2 4 y y x
Actividad personal, por ejemplo:
4 6
2 6 12
y = x
y = 4 - 2x
y = (12 - x)/2
(4, 4)
(6, 3)
(4/3, 4/3)
a) f(x) = c1x + c2 y
Con −c1 / c2 ≠−2, 0, 1, −1 / 2
b) f(x) = c1x + c2 y
Con −c1 / c2 = −1 / 2, c2 > 0
c) f(x) = c1x + c2 y Con −c1 / c2 = 1, c2 < 0
Toda función tendrá máximo y mínimo porque la región es acotada.
35. x: unidades del producto A; y: unidades del producto B
≥ ≥ + ≤ + 000 . 2 y y 000 . 1 x 000 . 5 y x → ≥ ≥ + − ≤ 000 . 2 y y 000 . 1 x x 000 . 5 y 5000 2000 1000 5000 y = 5000 - x
y = x + 1000
(2000, 3000)
(1000, 2000) (3000, 2000)
El coste de producción viene dado por la expresión:
C(x, y) = x Cy
3 C
C +
+ = x Cy
3 C 4
+
C(1.000, 2.000) = 2.000C 3 C 000 . 4 + = 3 C 000 . 10
C(2.000, 3.000) =
3 C 000 . 17 C 000 . 3 3 C 000 . 8 = +
C(3.000, 2.000) = 2.000C 6.000C 3 C 000 . 12 = +
Para que el coste de producción sea mínimo se deben elaborar 1.000 unidades del producto A y 2.000 del producto B.
36. x: litros de colonia A; y: litros de colonia B
Dibujamos la región factible:
16000
6000
8000 18000
(6000, 4000)
y = (1800 - 0,1x)/0,3 y = (1600 - 0,2x)/0,1
a) Importe de venta → I
( )
x,y =0,5x+y.Como sabemos que la solución óptima se alcanza en uno de los vértices de la región factible, evaluamos la función I
( )
x,y en los vértices para ver dónde se alcanza el máximo:I(0, 6.000) = 6.000.
I(6.000, 4.000) = 3.000 + 4.000 = 7.000. I(8.000, 0) = 4.000.
Claramente, el máximo se alcanza en
(
6.000,4.00 . 0)
Por lo tanto, debe vender 6.000 L de la colonia del tipo A y 4.000 L de la del tipo B para que el importe de venta sea máximo.b) Como I(6.000, 4.000) = 3.000 + 4.000 = 7.000, el importe máximo es 7.000 euros.
Evaluación de estándares
1. a), b)
≥ ≥ ≤
− ≤
≥ +
0 y
0 x
15 x
3 x 2 36 y
y 3
9 x
y = (x + 9)/3 y = (36 - 2x)/3
12
-9
15 18 3
(9, 6)
(15, 2)
c) Analíticamente: f(0, 0) = 0 f(0, 3) = 30
f(9, 6) = 72 + 60 = 132 f(15, 2) = 120 + 20 = 140 f(15, 0) = 120
El máximo se obtiene en (15, 2) y el mínimo en (0, 0). Gráficamente:
Dibujamos las rectas paralelas a y = −8x / 10 que cortan un único vértice de la región factible o que contienen uno de sus lados:
y = (x + 9)/3 y = (36 - 2x)/3
12
-9
15 18 3
(9, 6)
(15, 2) y = -8x/10
y = -8x/10 + 14
Como c2 = 10 > 0, el mínimo de la función se alcanza en (0, 0) y el máximo en (15, 2).
2. a), b)
≤ ≥
− ≥
2 y
2 x y
2 x 1 3 y
2 3
2
y = 3 (1 - x/2) y = x/2
(4, 2)
(3/2, 3/4)
(2/3, 2)
c) f(2 / 3, 2) = 2 − 12 + 4 = −6 f(4, 2) = 12 − 12 + 4 = 4
f(3 / 2, 3 / 4) = 9 / 2 − 9 / 2 + 4 = 4
El máximo se obtiene en el lado determinado por (3 / 2, 3 / 4) y (4, 2) y el mínimo en (2 / 3, 2).
3. a) x: neveras; y: lavadoras
≥ ≥
+ ≥ ≥
≤ +
0 y
0 x
20 y x
30 y
180 y x
→
≥ ≥
≥ − ≥
− ≤
0 y
0 x
y 20 x
30 y
x 180 y
b) Se obtiene la región siguiente:
20 180
(50, 30)
-20
y = x - 20
30
(100, 80)
c) La función costes es la siguiente: C(x, y) = 4,5x + 3,75y
C(50, 30) = 225 + 112,5 = 337,5 C(100, 80) = 450 + 300 = 750 C(150, 30) = 675 + 112,5 = 787,5
Para minimizar los costes debe almacenar 50 neveras y 30 lavadoras.
4. x: kg del preparado A y: kg del preparado B
≤ + ≤ ≤
700 . 1 y x
000 . 1 y
000 . 1 x
→
− ≤ ≤ ≤
x 700 . 1 y
000 . 1 y
000 . 1 x
1000 1700
1000 1700
y = 1700 - x (1000, 700)
(700, 1000)
La función beneficios es la siguiente: B(x, y) = 40x + 20y
B(0, 1.000) = 20.000
B(700, 1.000) = 28.000 + 20.000 = 48.000 B(1.000, 700) = 40.000 + 14.000 = 54.000
B(1.000, 0) = 40.000
Para maximizar los ingresos del laboratorio hay que producir 1.000 kg del preparado A y 700 kg del B, obteniendo así, 54.000 euros.
5. x: número de hojas de producto y: número de catálogos
≥ ≤ ≤
≤ +
≤ +
0 x
400 y 0
100 . 1 y 2 x
800 y x
→
≥ ≤ ≤
− ≤
− ≤
0 x
400 y 0
2 x 100 . 1 y
x 800 y
400 550 800
800 1100 y = 800 - x
y = (1100 - x)/2
Los vértices de la región factible son los siguientes: (0, 0), (0, 400), (300, 400), (500, 300), (800, 0) La función ingresos es:
I(x, y) = 0,9x + 1,2y I(0, 400) = 480
I(300, 400) = 270 + 480 = 750 I(500, 300) = 450 + 360 = 810 I(800, 0) = 720