Diseño y construcción de un equipo para la medición del scattering de luz producido por partículas dielécticas micrométricas en suspensión coloidal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE CIENCIAS

SECCIÓN DE POSGRADO Y SEGUNDA ESPECIALIZACIÓN PROFESIONAL

“

DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN EQUIPO PARA LA

MEDICIÓN DEL SCATTERING DE LUZ PRODUCIDO

POR PARTÍCULAS DIELÉCTRICAS MICROMÉTRICAS

EN SUSPENSIÓN COLOIDAL

”

TESIS

PARA OPTAR EL GRADO ACADEMICO DE MAESTRO EN

CIENCIAS CON MENCION EN FÍSICA

ELABORADO POR

ABNER VELAZCO TORREJÓN

Asesor

Dr. ABEL GUTARRA ESPINOZA

LIMA – PERÚ

AGRADECIMIENTOS

Agradezco la ayuda y el apoyo brindado por mi asesor de tesis el Dr. Abel Gutarra, con quien fue muy grato trabajar. Quisiera reconocer su labor y excepcional desempeño como científico. También le agradezco profundamente la confianza dejada en mí para poder realizar aportes, experimentar y dejarme realizar un trabajo de ensayo y error, mediante el cual aprendí mucho y también disfruté, sobre todo cuando las cosas salieron bien luego de muchos ensayos erróneos.

También quisiera agradecer a los Doctores Walter Estrada y Juan Rodriguez, por darme la oportunidad de realizar trabajos de investigación en el Laboratorio de Películas Delgadas de la Facultad de Ciencias de la UNI y por apoyar siempre la investigación permitiéndome utilizar equipamiento del laboratorio en mi trabajo de tesis. Le agradezco también al Magíster Germán Comina, jefe del laboratorio de Ingeniería Física, por haberme permitido realizar investigación en ese laboratorio y con quien siempre disfruté discutir temas de investigación.

Agradezco a mis amigos Edward Carpio, Henry Huanca y Luis Sanchez del Laboratorio de Películas Delgadas quienes siempre mostraron mucho interés por la ciencia y la investigación y quienes dieron su apoyo en problema que se presentó y estuvieron prestos para ayudar a resolverlos. Además de los señores José Farfán y Víctor Quinde del taller mecánico por su constante ayuda en la fabricación de piezas para el equipo.

RESUMEN

Se diseñó y construyó un equipo para la medición del scattering de luz angular de partículas dieléctricas micrométricas en suspensión coloidal. Como fuente de luz se utilizó un láser He-Ne de 632,8 nm y un láser de estado sólido de 532,0 nm y se estudió el efecto de la longitud de onda en la distribución angular de scattering.

Se utilizaron partículas comerciales monodispersas de poliestireno de 0,49 y 1,03 µm de diámetro nominal para obtener curvas de scattering experimentales, estas fueron comparadas con curvas de scattering teóricas para estimar el tamaño de partícula.

Los resultados obtenidos muestran buena repetibilidad y confiabilidad del equipo para la estimación de tamaño de partícula.

ÍNDICE

RESUMEN

1. INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes 1

1.2 Objetivos 2

2. FUNDAMENTO TEÓRICO 2

2.1 Scattering por una partícula 3

2.2 Scattering por un grupo de partículas 4

2.3 Fundamentos de la teoría de scattering de Mie 5

2.3.1 Matriz de scattering 9

2.4 Scattering, absorción y extinción 10

2.5 Solución del problema de scattering para una partícula esférica dieléctrica 15

2.6 Elementos de la matriz de scattering 27

2.7 Partículas pequeñas comparadas con la longitud de onda, aproximación de

Rayleigh 31

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 34

3.1 Implementación del sistema óptico 34

3.1.1 Fuente de luz láser 35

3.1.2 Divisor de haz 36

3.1.3 Aperturas 36

3.1.4 Fotodiodos 36

3.1.4.1 Características eléctricas 37

3.1.4.2 Características ópticas 40

3.1.4.3 Modos de operación de un fotodiodo 41 3.1.4.4 Circuito de amplificación – amplificador operacional 44

3.1.4.4.1 Características eléctricas del amplificador

Operacional 45

3.1.5 Mesa goniométrica 50

3.3 Alineación del sistema óptico 52

3.4 Preparación de la muestra 56

3.5 Adquisición y procesamiento de datos 57

3.5.1 Uso del Lock in 57

3.5.1.1 Chopper 57

3.5.1.2 Entradas y salidas del Lock-in 58

3.5.1.3 Operación del Lock-in en modo flat 58

3.5.2 Software para adquisición de datos 59

3.5.3 Procesamiento de datos 59

3.5.3.1 Corrección para las intensidades entre el haz

de referencia y el haz que incide sobre la muestra 59

3.5.3.2 Señal relativa de scattering 61

3.5.3.3 Potencia relativa de scattering 61 3.5.3.4 Intensidad relativa de scattering 63 3.5.3.4.1 Área irradiada por el haz de luz que incide sobre la

muestra 63

3.5.3.4.2 Área del fotodetector irradiada por el scattering 64 3.5.3.4.3 Volumen de scattering 66 3.5.4 Software para obtener curvas teóricas de scattering según la teoría de

Mie 67

4. RESULTADOS EXPERIMENTALES 67

4.1 Curvas de scattering angular 67

4.1.1 Efecto de λ y el tamaño de partícula en las curvas de scattering 69 4.1.1.1 Curvas de scattering para λ = 632,8 nm 69

4.1.1.2Curvas de scattering para λ = 532,0 nm 73 4.1.2 Efecto de la concentración en las curvas de scattering 79

4.2 Medición del tamaño de partículas por TEM 80

5. DISCUSIONES 83

5.1 Límites de medición en las señales de scattering 83

5.2 Efectos y errores en el scattering producidos por la celda 85

5.2.1.2 Refracciones en una celda cilíndrica 89

5.2.2 Correcciones en el volumen de scattering 92

5.3 Error del ángulo de scattering debido a un mal centrado de la celda 96 5.3.1 Centrado de la celda en la mesa goniométrica 98 5.4 Criterios de comparación entre curvas de scattering experimentales y

teóricas 99

6. CONCLUSIONES 103

7. TRABAJOS FUTUROS 104

8. REFERENCIAS 104

1. INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes

Materiales de dimensiones nanométricas y micrométricas pueden ser obtenidos como partículas en una suspensión coloidal. Existen muchos métodos para obtener el tamaño de partícula, algunos de ellos se basan en la microscopía óptica y/o electrónica, la sedimentación, el scattering de luz, etc [1]. El scattering de luz es un método muy utilizado y no invasivo para obtener el tamaño de partícula.

En el pasado, globalmente, existe mucha literatura donde se reporta la construcción de equipos para la medición del scattering de luz, así como la obtención del tamaño de partícula por este método [2, 3, 4]. R. M. Drake y J. E. Gordon [5] reportaron la construcción de un equipo de scattering de luz angular y usaron aproximaciones de la teoría de Mie [6] para obtener curvas de scattering teóricas. Otros artículos como el de J. J. Hermans y S. Levinson [7] discutieron con más detalle factores geométricos importantes en el diseño del equipo.

Localmente, el trabajo realizado por Joakim Karlsson S. [8] describe la construcción de un equipo para la medida del scattering de luz en un ángulo fijo, la obtención del peso molecular de polímeros y el tamaño de partículas en suspensión.

1.2 Objetivos

1. Construir y evaluar un sistema para la medición del scattering angular de luz.

2. Estimar el tamaño de las partículas usando el modelo teórico de Mie.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

El scattering de ondas electromagnéticas producido por un sistema, está relacionado con su heterogeneidad, que puede tener dimensión molecular o de un agregado de moléculas. Independiente del tipo de heterogeneidad, el fundamento físico del proceso de scattering es el mismo para todos los sistemas. Cuando una onda electromagnética incide sobre un obstáculo, el cual puede ser un solo electrón, un átomo, molécula o una partícula (de dimensiones similares a la longitud de onda de la onda electromagnética), las cargas eléctricas en el obstáculo son aceleradas y realizan un movimiento oscilatorio debido al campo eléctrico de la onda incidente. Estas cargas aceleradas emiten energía electromagnética en todas direcciones, a este proceso se le conoce como radiación por scattering. Estas cargas excitadas pueden también transformar parte de la energía electromagnética incidente en otro tipo de energía, un proceso llamado absorción, el scattering y la absorción no son procesos independientes.

El scattering que se estudió en este trabajo es debido a la interacción de un haz de luz con partículas (agregados de átomos o moléculas) dieléctricas, no-absorbentes, las cuales se encuentran en un medio homogéneo. Este estudio fue restringido al scattering elástico, donde la frecuencia de la radiación de scattering es la misma que la de la onda incidente. También se restringió el trabajo al scattering de tipo estático, donde la señal de scattering es promediada en un intervalo de tiempo, a diferencia del scattering dinámico, donde se consideran las fluctuaciones en la señal debido al movimiento Browniano de las partículas.

de obtener los campos electromagnéticos fuera de la partícula con la ayuda de ciertas condiciones de frontera.

2.1 Scattering por una sola partícula

Figura 1. El campo total de scattering en el punto P es el resultado de todos los frentes de onda de scattering que provienen de los dipolos en las regiones en que está dividida la partícula.

2.2 Scattering por un grupo de partículas

El scattering de luz en un sistema que se desee analizar, es por lo general debido a un gran número de partículas, no a una sola partícula. Si se satisfacen ciertas condiciones, los fundamentos del scattering debido una partícula son los mismos para un sistema formado por muchas partículas.

En un sistema de muchas partículas, cada partícula es excitada por el campo externo y por el campo resultante de scattering producido por todas las demás partículas. El análisis del scattering de este sistema es simplificado si se asume un scattering único, donde el número de partículas por unidad de volumen es lo suficientemente pequeño de modo que la distancia promedio entre ellas sea mucho mayor que la longitud de onda. De este modo, el campo de scattering radiado por una partícula no afecta a las demás, no hay scattering múltiple, y el campo total de scattering en una dirección dada es la suma del campo de scattering de cada partícula. Experimentalmente es posible alcanzar esta condición si se preparan suspensiones coloidales muy diluidas.

También se asume un scattering individual, donde la separación entre las partículas es al azar, lo que genera un scattering incoherente. En una dirección dada, la diferencia de fase entre los campos de scattering de cada partícula no es constante y no hay

P

Frentes de onda de scattering

Partícula Onda Plana

interferencia promedio entre estos campos. En este caso, la intensidad total de scattering del conjunto de partículas es la suma de la intensidad de scattering de cada partícula.

2.3 Fundamentos de la teoría de scattering de Mie

Dada una partícula de cierto tamaño, forma y propiedades ópticas, sobre la cual incide una onda plana linealmente polarizada, se desea hallar los campos electromagnéticos en todos los puntos dentro de la partícula y también en todos los puntos del medio homogéneo que la rodea.

Los campos electromagnéticos dentro de la partícula están dados por (E1,H1) y los

campos en el medio que rodea la partícula son (E2,H2), los cuales son la

superposición de los campos incidentes (Ei,Hi) y de scattering (ES,HS), Figura 2.

E2  Ei ES,

(1) H2 Hi HS,

donde

E

i



E

0

e

i



k.rt



,

(2)

H

i



H

0

e

ik.rt,

y k es el vector de onda del medio que rodea la partícula. El vector de onda de una onda homogénea puede ser complejo de la forma k (kik)eˆ, donde eˆ es un vector unitario en la dirección de propagación. El módulo del vector de onda está dado por,

c N k

i k

k    ,

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y N es el índice de refracción complejo que está dado por,

donde  es la permitividad y  la permeabilidad del medio.

Se considera que el medio que rodea la partícula es no-absorbente de índice de refracción real, de modo que el vector de onda en el medio que rodea la partícula está dado por k keˆ, con k real.

Figura 2. Una onda plana incidente sobre una partícula, los campos (Ei,Hi) generan

los campos (E1,H1) dentro de la partícula y los campos de scattering (ES,HS) en el

medio que rodea la partícula.

Si no existen fuentes de cargas ni de corrientes libres en el espacio, entonces las ecuaciones de Maxwell que las ondas planas deben satisfacer son,

.E0, (3)

.H 0, (4)

EiH, (5)

H iE. (6)

El rotacional de (5) y (6) es,





E



iH 2E, 



H



iE 2H,

(E1,H1)

Campo incidente (Ei,Hi)

Campo de scattering (ES,HS)

S i E

E

E2  

S i H

H

si se usa la identidad vectorial 



A

 

A





 

A , se obtiene

2Ek2E0,

(7) 2Hk2H 0,

las cuales se conocen como ecuaciones de onda vectoriales, donde k2 2 y que E y H deben satisfacer.

Los campos electromagnéticos satisfacen las ecuaciones de Maxwell en puntos donde  y  son continuos. Cuando los campos atraviesan la frontera entre la partícula y el medio que la rodea existen cambios en estas propiedades generando puntos de discontinuidad. En estos puntos los campos están sujetos a las condiciones de frontera,



E2

   

r E1r



nˆ0,

(8)



H2

   

r H1 r



nˆ0,

donde r está en la superficie de la partícula y nˆ es un vector unitario normal a la superficie de esta y en la dirección hacia afuera. Las condiciones de frontera (8) muestran que a pesar de la discontinuidad, las componentes tangenciales de estos campos son continuas.

Se considera una partícula arbitraria iluminada por una onda plana (Figura 3), centrada sobre el sistema de coordenadas Cartesiano (x, y, z), la dirección de propagación de la onda incidente es a lo largo del eje z. La base de vectores ortonormales xˆ , yˆ, zˆ están en la dirección positiva de los ejes x, y, z respectivamente. La dirección de scattering está dada por el vector unitario rˆ, los vectores rˆ y zˆ definen un plano llamado el plano de scattering, este plano es determinado por el ángulo azimutal . Por conveniencia se escribe el campo eléctrico incidente Ei, el cual está sobre el plano xy, en términos de la

base de los vectores ortonormales eˆ_i y eˆ_i, los cuales están también sobre el plano xy y son paralelo y perpendicular al plano de scattering respectivamente.

e

E

e

E

donde

eˆ_i cos xˆsen yˆ, eˆi sen xˆcos yˆ.

También se tiene que,

eˆ_i ˆ, eˆ_i  senrˆcosˆ,

donde rˆ, ˆ y ˆ es la base de los vectores ortonormales del sistema de coordenadas esférico.

Figura 3. Scattering debido a un haz de luz incidente sobre una partícula arbitraria. La dirección de propagación del haz de luz incidente es a lo largo del eje z, la dirección de scattering está dada por el radio vector, los vectores rˆ y zˆ definen el plano de scattering.

x

y

z

xˆ

yˆ zˆ

i

eˆ

i

eˆ_

 

rˆ

S

eˆ

, ˆ 

ˆ

S

eˆ_

Plano de scattering Partícula

Si los componentes x y y del campo incidente son dados por Exi y Eyi, entonces las

componentes del campo eléctrico en las direcciones de eˆ y _i eˆ_i son escritas como,

E_i cos E_xi sen E_yi, (10)

E_i sen E_xi cos E_yi. (11)

A distancias muy lejanas del origen (kr 1), en la región de campo lejano, el campo eléctrico de scattering ES en la dirección de algún vector A es perpendicular a la

dirección de scattering rˆ y tiene la forma asintótica [9],

A ikr e E

ikr S



 . (12)

Por lo tanto en la región de campo lejano el campo de scattering puede ser escrito como,

ES  E_Seˆ_S E_Seˆ_S, (13)

donde

eˆ_S ˆ, eˆ_S ˆ, eˆS eˆS rˆ,

los vectores eˆ y _S eˆ_S son paralelo y perpendicular al plano de scattering, respectivamente.

2.3.1 Matriz de scattering

_                       i i z r ik S S E E F F F F ikr e E E 1 4 3 2 ) (

, (14)

donde los elementos F_j ( j 1,2,3,4) de la matriz de scattering dependen en general del ángulo polar  , o ángulo de scattering, y del ángulo azimutal , y contienen toda la información de la partícula, tamaño, forma, así como también índices de refracción de la partícula y del medio que la rodea.

2.4 Scattering, absorción y extinción

Una vez determinados los campos electromagnéticos dentro de la partícula y el campo de scattering, es posible determinar el flujo de energía, vector de Poynting, en cualquier punto. El promedio temporal del vector de Poynting S en un punto en el medio que rodea a la partícula está dado por la suma de tres términos,

S 



E H



Si SS Sext * 2 2 Re 2 1

, (15)

donde H*2 es el conjugado complejo de H2. Si se utiliza (1) para escribir los campos 2

E y H2 dados en (15), se obtiene,

Re



*



2

1

i i

i E H

S   , (16)

Re



*



2

1

S S

S E H

S   , (17)

Re



* *



2 1 i S S i

ext E H E H

S     , (18)

donde Sies el vector de Poynting asociado a la onda incidente y es independiente de la

posición si el medio es no-absorbente, SS es el vector de Poynting del campo de

scattering y Sextpuede ser interpretado como el término debido a la interacción entre el

Ahora se supone un montaje experimental como el mostrado en la Figura 4, donde una o más partículas son colocadas en el camino de un haz de luz colimado cuya potencia es medida por un detector D. La potencia del haz de luz que llega al detector luego de atravesar las partículas es I , la intensidad medida en ausencia de cualquier partícula en el camino del haz es I₀, donde I₀ I. La presencia de las partículas genera una extinción del haz incidente, si el medio que rodea a las partículas es no-absorbente, la diferencia I0 Ies debido a la absorción y al scattering de las partículas. Esta extinción depende del material de las partículas, tamaño, forma, orientación, medio que las rodea y cantidad de estas como también de la polarización y frecuencia del haz incidente.

Figura 4. Montaje experimental donde la intensidad de un haz de luz colimado es medida por un detector D. En la ausencia de cualquier partícula en el camino del haz, el detector mide I₀. Con las partículas en el camino del haz, el detector mide I I₀, la diferencia en la intensidad es debido a la absorción y al scattering de las partículas, proceso de extinción.

En la Figura 5 se observa la extinción por una sola partícula, dentro de un medio no-absorbente, que es iluminado por una onda plana. Se construye una esfera de radio r alrededor de la partícula, la razón neta con la cual la energía electromagnética atraviesa la superficie A de la esfera es siempre positiva e igual a la potencia absorbida por la partícula, y está dada por,







A

a S rdA

W ˆ . (19) D Scattering

Figura 5. Extinción debido a una sola partícula.

Usando (15), Wa puede ser escrita como la suma de tres términos,

Wa Wi WS Wext,

donde,







A i i S rdA

W ˆ (20)







A S S S rdA

W ˆ (21)







A ext ext S rdA

W ˆ . (22)

Como el vector de Poynting del campo incidente es constante en el medio que rodea la partícula, W_i 0. Por lo tanto Wext es sólo la suma de la razón de la energía absorbida y

la energía de scattering,

W_ext W_a W_S (23)

Por conveniencia se toma el campo eléctrico incidente polarizado en el eje x, Ei E xˆ. Como el medio es no-absorbente, W_a es independiente del radio r de la esfera

z

y

x



r A

imaginaria. Por lo tanto se toma un r grande de modo que se esté trabajando en la región de campo lejano, de (14) tenemos que,

 

x z r ik

S EA

ikr e E



  y S r ES

k

H  ˆ

 , (24)

donde el subíndice xde Ax indica que la onda plana incidente está polarizada en el eje

x.

Con las ecuaciones (10) y (11) podemos escribir el vector de scattering Ax en función

de los elementos de la matriz de scattering,

Ax 



F2cos F3sen



eˆS 



F4cosF1sen



eˆS. (25)

Usando (18) para operar en (22), la expresión para Wext se escribe como,

0 2

Re





ˆ



0



4









A

x

_

k

I

W

_ext x _{, (26)}

donde I₀ es la intensidad incidente sin partículas. La razón entre W_ext e I₀ es una cantidad con dimensiones de área conocida como sección eficaz de extinción,

2



 

0



0

ˆ

Re

4











A

x

_

k

I

W

C

_ext ext x _{. (27)}

De (23) tenemos que la sección eficaz de extinción puede ser escrita como la suma de la sección eficaz de absorción Cabs y la sección eficaz de scattering Csct.

De las ecuaciones (21) y (24) se obtiene,



 





d k A d d sen k A C x x sct _      4 2 2 2

0 0 2 2

(29)

donde d es el diferencial de ángulo sólido.

La cantidad ₂

2

k Ax

es conocida como la sección eficaz diferencial de scattering y está representada por el símbolo dCsct /d; la interpretación de esta no es la derivada de una función de . Físicamente dC_sct/d representa la distribución angular de scattering, la cual puede ser medida utilizando un detector de área muy pequeña.

Como la intensidad es una cantidad proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico, de (24) es posible obtener la intensidad de scattering Isct,

 

_{2 2 0}

2 , I r k F

I_sct    ,

donde F

 

, es conocida como la función de amplitud de scattering y

0 2 2 2 I r I k A d

dC x _sct

sct  

 . (30)

Las expresiones para C_ext y C_sct fueron obtenidas asumiendo un haz de luz incidente polarizado en el eje x. Sin embargo, la forma de esta expresión es la misma para un haz de luz con polarización lineal en una dirección arbitraria. Si el campo incidente es

y E x E

Ei  _xˆ _yˆ, entonces las secciones eficaces de extinción y de scattering son,

C_ext



C_ext,x C_ext,y



2

1 _

 , C_sct



C_sct,x C_sct,y



2

1 _

donde los subíndices x y y indican la sección eficaz para luz polarizada en el eje x y luz polarizada en el eje y.

2.5 Solución del problema de scattering para una partícula esférica dieléctrica

Los campos electromagnéticos (E,H) en un medio lineal, isotrópico y homogéneo deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell (3), (4), (5) y (6), estos campos también deben satisfacer las ecuaciones de onda vectoriales dadas en (7),

2_E_k2_E0_, 2Hk2H 0,

Para encontrar soluciones a estas ecuaciones de onda, se construye una función vectorial M ,

M (C), (31)

donde ψ es una función escalar y Ces un vector constante arbitrario.

Usando algunas identidades vectoriales, se obtiene,

2Mk2M 



C



2 k2





.. (32)

Por lo tanto, Msatisface las ecuaciones de onda vectoriales si ψ es una solución de la ecuación de onda escalar,

2 k2 0. (33)

Se construye otra función vectorial,

k M

2Nk2N 0. (35)

Tomando el rotacional en la ecuación (34) y el hecho de que M satisface la ecuación de onda vectorial, obtenemos,

NkM. (36)

Por lo tanto, M y N tienen todas las propiedades de un campo electromagnético. Ahora el problema de hallar soluciones para las ecuaciones de campo se reduce a un problema más sencillo que es hallar las soluciones para la ecuación de onda escalar. Las funciones vectoriales M y Nson conocidas como los vectores armónicos.

Debido que el interés es hallar el scattering por una esfera, se eligen las coordenadas esféricas r, θ,  (Figura 6) para resolver la ecuación de onda escalar (33).

Si se toma al vector arbitrario C como el radio vector r, entonces M es una solución a la ecuación de onda vectorial en coordenadas esféricas. Entonces,

Figura 6. Sistema de coordenadas esféricas centrado en una esfera de radio a.

La ecuación de onda escalar en coordenadas esféricas es una ecuación diferencial parcial de tres variables, dada por,

1 1 1 ₂ 2 0

2 2

2 2

2   

                       _          k sen r sen sen r r r r

r (38)

Para resolver esta ecuación se usa el método de separación de variables, donde se busca una solución de la forma,





r,,

      

Rr   ,

que cuando es sustituida en la ecuación (38), se obtienen tres ecuaciones diferenciales ordinarias,

₂ 2 0

2     m d d

 , (39)

1



1



₂ 0

2                        sen m n n d d sen d d

sen , (40)

donde las constantes de separación m y n son determinadas por condiciones que ψ debe satisfacer.

Debido a que  representa el ángulo azimutal, se espera que  tenga una solución periódica y no una exponencial, este es el motivo por el cual se tomó m2en la ecuación (39) y nom2.

Las soluciones linealmente independientes de  son,

e cosm, (42) _o senm, (43)

donde e y o indican la solución par (even) e impar (odd) de  respectivamente.

Como se consideró a  como una función periódica, se requiere que esta función cumpla con,

(2)(), (44)

la función tiene un periodo de 2π. Para que esto se cumpla, m debe ser un entero o cero, sólo se consideran los valores positivos de m debido a que estos son suficientes para generar todas las soluciones linealmente independientes de la ecuación (39).

Las soluciones para la ecuación (40), son las funciones asociadas de Legendre )

(cos

m n

P de grado n y orden m, donde n = m, m + 1,…. [10]. Las soluciones )

(cos

m n

P son,





n_m m m m

n

dx x P d x

x

P ( ) 1 2 /2 ( ), (45)









! ! 1 2 2 ) ( ) ( _{' '} 1

1 _{n m}

m n n dx x P x

P_nm _nm _nn

   



  , (46)

n n'

 es la función delta de Kronecker, es uno si nn'y cero si nn'.

Ahora se define la variable  kr y también la función Z  R  y se reemplaza en la ecuación (41). Entonces se obtiene,

0 2 1 2 2                         Z n d dZ d d _   

 . (47)

Las soluciones linealmente independientes de (47) son las funciones de Bessel del primer y segundo tipo J y Y [10], de orden  n1/2. Entonces las soluciones de

la ecuación (41) serán las funciones esféricas de Bessel dadas por,

 

 



 

 _1/2

2 

 _n

n J

j , (48)

 

 



 

 _1/2

2 

 _n

n Y

y . (49)

Las combinaciones lineales de jn y yn también son soluciones de (41), dos de estas

combinaciones lineales nos dan las funciones esféricas de Bessel del tercer tipo (también conocidas como funciones de Hankel) [10],

h_n(1)

 

  j_n

 

 iy_n

 

 , (50)

Las soluciones de la ecuación de onda escalar están dadas por

m P zn

 

kr

m n

em n cos  (cos)

  , (52)

_{om n}sen m P_nm(cos)z_n

 

kr , (53)

donde z_n puede ser cualquiera de las funciones esféricas de Bessel.

Los vectores armónicos esféricos M y N pueden hallarse de las ecuaciones (37) y (34),



  



  

          ˆ cos cos ˆ cos _n m n n m n emn z d dP m z P m sen sen m

M    , (54)



  



  

          ˆ cos ˆ cos cos _n m n n m n omn z d dP m sen z P m sen m

M   , (55)

 



 











 





        

 cos 1 _ˆ

cos ˆ cos 1 cos _n m n m n n emn z d d d dP m r P n n m z

N   









 





    

 cos 1 _n ˆ

m n _z d d sen P m sen m

 , (56)

 



 











 





        

 cos 1 _ˆ

ˆ cos 1 _n m n m n n omn z d d d dP m sen r P n n m sen z

N   









 







  



 cos 1 ˆ

cos _n m n _z d d sen P m m

 . (57)

Cualquier solución de las ecuaciones de onda vectoriales dadas en (7) puede ser expandida en una serie infinita de los vectores armónicos esféricos (54) - (57).

Ei  E₀eikrcosxˆ, (58)

donde

xˆsencos rˆcoscosˆsen ˆ, (59)

cuando es escrito en coordenadas esféricas. Esta expansión se escribe como,









        m n om n om n em n em n om n om n em n em n m

i B M B M A N A N

E

0

, (60)

donde los coeficientes son hallados usando,









  _{ }         0 2 2 0 0 2 0 d d sen M d d sen M E B em n em n i

em n , (61)

con expresiones análogas para B_{om n}, A_{em n} y A_omn.

La ecuación (61) es obtenida con la ayuda de la ortogonalidad entre algunas de las funciones que representan los armónicos esféricos, como por ejemplo,

' ' 0

0 2

0



 



  Memn Momnsen d d (para todo m,m',n,n'), (62)

esta se obtiene debido a la ortogonalidad entre sen m y cosm para todo m y m'. La misma ortogonalidad se cumple para el conjunto de funciones



Nomn,Nemn



,



Momn,Nomn



y



Memn,Nemn



.

La ortogonalidad del conjunto de funciones



Memn,Nomn



y



Nemn,Momn



se deriva de

  



 ' 0

0 ' ' m n m n m n m n m n m

n d P P

d dP P d dP P

m _ 

     



, (63)

la cual se anula para todo n y 'n , lo cual se puede comprobar usando la ecuación (45). También se cumplen las siguientes relaciones de ortogonalidad,

' 0 0 2 0 ' 0 2

0



 





 



  Memn Memnsen d d   Momn Momnsen d d ,

(64) ' 0 0 2 0 ' 0 2

0



 





 



  Nemn Nemnsen d d   Nomn Nomnsen d d ,

cuando nn' y m0, que se obtienen luego de demostrar que,

0 0 2 ' 2 '        



      d sen sen P P m d dP d

dP nm

m n m n m n (65)

Al desarrollar la ecuación (61) y las expresiones análogas a esta para hallar los coeficientes B_{om n}, A_{em n} y A_omn, se obtiene que B_emn  A_omn 0 para todo m y n. También se obtiene que los coeficientes B_{om n} y A_emn se anulan para todos los valores de

m excepto para m1.

Como el campo incidente es finito en el origen, se debe tener cuidado al elegir las funciones o1n y e1n, esta condición se satisface si se utilizan las funciones esféricas

de Bessel del primer tipo jn

 

kr , las funciones esféricas de Bessel del segundo tipo

 

kr

y_n no cumplen esta condición en el origen, como se puede observar en la Figura 7. El superíndice (1) en los armónicos esféricos vectoriales indica el uso de las funciones

 

kr

(a)

(b)

Figura 7. Funciones de Bessel del primer tipo (a) y del segundo tipo (b).

 

x

J_n

De este modo la expansión para Ei tiene la forma,





   



    1 1 1 1 1 1 1 n n e n e n o n o

i B M A N

E . (66)

Luego de calcular los coeficientes B_o1n y A_e1n, con ayuda de expresiones similares a la ecuación (61), tenemos,







   



1 1 1 1 1 0 1 1 2 n e n o n n

i M iN

n n n i E E    



  (67)

El campo Hi es hallado tomando el rotacional de Ei,

_

_



   11



1 1 1 0 1 1 2 n o n e n n

i M iN

n n n i E k H     



 

 (68)

Ahora podemos expandir los campos electromagnéticos de scattering



ES,HS



y el

campo



E1,H1



dentro de la esfera con los armónicos esféricos vectoriales. En la región

límite entre la esfera y el medio que la rodea estos campos deben satisfacer las condiciones de frontera de las ecuaciones dadas en (8), estas pueden expresarse como,



Ei ES E1



rˆ



Hi HS H1



rˆ0. (69)

Como el campo dentro de la esfera también debe ser finito, se usan nuevamente las funciones j_n

 

k₁r para realizar la expansión de este campo, donde k₁ es el número de onda en la esfera. La expansión para los campos dentro de la esfera es,



   11



1

1 1

1 _n on _n en

n

n c M id N

E

E 









, (70)



   11



1

1 1

1 1

1 _n en _n o n

n

n d M ic N

E k

H  









donde E inE₀



2n1

 

/n n1



n y 1 es la permeabilidad de la esfera.

En la región fuera de la esfera las funciones j_n y y_n son finitas, por lo que el campo de scattering puede ser expandido usando estas funciones, es conveniente entonces usar las funciones esféricas de Bessel del tercer tipo h_n(1) y h_n(2). Las formas asintóticas de estas funciones están dada por,

 

   

ikr e i kr h ikr n n   1

, (72) kr n2

 

 

ikr e i kr h ikr n n   

2 _{. (73)}

Como la primera de estas ecuaciones corresponde a una onda esférica en la dirección alejándose del origen, el campo de scattering puede ser representado por esta función. Por lo que la expansión de los campos de scattering están dados por,



   31



3 1 1 n o n n e n n n

S E ia N b M

E 









, (74)



   31



3 1 1 n e n n o n n n

S E ib N a M

k

H 









 , (75)

donde el superíndice (3) en los armónicos esféricos vectoriales indica el uso de las funciones h_n 1 para realizar la expansión del campo de scattering.

Los coeficientes an, bn, cn y dn son hallados de las cuatro ecuaciones que se obtienen

de las condiciones de frontera (69), para r a,

mj_n

 

mxd_n h_n 1

 

x a_{n 1}j_n

 

x

1 



   , (78)



mxj_n

 

mx



d_n m



xh_n 1

 

x



a_n m



xj_n

 

x



, (79)

donde el parámetro de tamaño x y el índice de refracción relativo m están dados por,

 Na ka

x  2 , (80)

N N k k m 1  1

. (81)

1

N y N son los índices de refracción de la partícula y del medio respectivamente. Cuando la partícula es de tipo dieléctrica, como es nuestro caso, su índice de refracción

1

N es real.

De las ecuaciones (76) – (79) obtenemos los coeficientes para el campo dentro de la partícula,

 

 

_{ }





 

_{   }





 



 

_{ }



 _  

_{ }



_{ }



     mx mxj x h x xh mx j x xj x h x xh x j c n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1     , (82)

 

 

 





 

   





 



 

_{ }



 _  

_{ }

_

_{ }

_

     mx mxj x h x xh mx j m x xj x mh x xh x mj d n n n n n n n n n 1 1 1 2 1 1 1 1     ,

y también los coeficientes para el campo de scattering,

Para el caso de materiales sin propiedades magnéticas se considera que  ₁.

Con la expansión de los campos incidente y de scattering, es posible calcular directamente las secciones eficaces de scattering y de extinción para una partícula esférica si se opera en (21) y (22). Con la ayuda de (17) y (18) se obtiene,

W_ext 2 



E_iH_S E_iH_S E_SH_i E_SH_i



r2sen d d

0 0 * * * * Re 2 1

 

    , (84) W_S 2 



E_SH_S E_SH_S



r2sen d d

0 0 * * Re 2 1

 

  ,

estas expresiones se integran sobre una esfera imaginaria de radio r a. Luego de operar se obtiene,







2 2



1 2 0 1 2 2 n n n sct

sct n a b

k I W

C  



 



 

, (85)



 

_{n n}



n ext

ext n a b

k I W

C  



 

  Re 1 2 2 1 2 0 

. (86)

2.6 Elementos de la matriz de scattering

Ahora se definen las funciones,

  sen P_n n 1  ,   d dP_n n 1

 , (87)

para escribir los vectores armónicos esféricos M y N en la forma mas resumida,

Me1n sen _n(cos)z_n()ˆcos_n(cos)z_n

 

ˆ,

N n n sen zn

 

r

n n

e1 cos ( 1) (cos ) ˆ        



 









 



            

 (cos ) ˆ cos ˆ

cos

 



 _n n sen _n zn

z

,

No1n sen n(n 1)sen n(cos )zn_

 

rˆ

      



 









 



            

 (cos ) ˆ cos cos ˆ

    n n n n z z

sen . (88)

Reemplazando la forma asintótica de h_n(1), dada en (72), en la expansión del campo de scattering (74), tenemos que las amplitudes de sus componentes transversales son,



n n n n



n

ikr

i

S

a

b

n

n

n

ikr

e

E

E



















1

(

1

)

)

1

2

(

, (89)



n n n n



n

ikr

i

S

a

b

n

n

n

ikr

e

E

E

















   

1

(

1

)

)

1

2

(

, (90)

donde E_i y E_i son,

E_i cos E_xi, E_i sen E_xi,

y fueron obtenidas de (10) y (11) para el caso en que el campo eléctrico incidente está polarizado en el eje x.

Si



_{n n n n}



n b a n n n

F   

  



) 1 ( 1 2

1 , (91)



_{n n n n}



n b a n n n

F   

  



) 1 ( 1 2

tenemos que la relación entre las amplitudes de los campos incidente y de scattering es, _                       i i z r ik S S E E F F ikr e E E 1 2 ) ( 0 0

. (93)

De (93)se puede ver que para el caso particular en que el scattering es producido por un esfera, F₃ F₄ 0.

Los valores de la matriz de scattering pueden ser calculados para diferentes valores del parámetro de tamaño x, al reemplazar estos valores en (25) se obtiene la distribución angular de scattering dada en (30).

En la Figura 8 se muestran distribuciones angulares de scattering obtenidas para diferentes valores del parámetro de tamaño. Los parámetros de tamañox3,3, 6,6 y 13,2 (para una longitud de onda de 632,8 nm) corresponden a partículas esféricas dieléctricas de diámetros 0,5, 1 y 2 μm respectivamente. En la figura se observa que la intensidad de scattering es mayor para ángulos de scattering pequeños y esta intensidad aumenta conforme va aumentando el parámetro de tamaño. También se puede observar que la distribución de scattering posee una mayor cantidad de máximos y mínimos cuando el parámetro de tamaño aumenta.

Figura 8. Distribuciones angulares de scattering para luz incidente, de 632,8 nm de longitud de onda, sobre partículas esféricas dieléctricas. Las curvas se muestran para el caso de luz polarizada perpendicular y paralela con respecto al plano de scattering, también para luz no polarizada. Estas curvas corresponden a parámetros de tamaño de

Figura 9. Distribución de scattering para una partícula de 1 μm de diámetro cuando la luz incidente es de 632,8 y 532,0 nm de longitud de onda, el haz de luz tiene polarización perpendicular con respecto al plano de scattering. Cuando el parámetro de tamaño aumenta, los máximos y mínimos de la distribución tienen un corrimiento en el sentido en que disminuye el ángulo de scattering.

2.7 Partículas pequeñas comparadas con la longitud de onda, aproximación de Rayleigh

Se definen las funciones,

_n

 

  j_n

 

 y n

 

  hn 1

 

 . (94)

Si se considera que la partícula y el medio que la rodea tienen la misma permeabilidad y no tienen propiedades magnéticas, entonces los coeficientes a_n y b_n del campo de scattering se escriben como,

   

_{   }

_{   }

   

mx x x mx m mx x x mx m a n n n n n n n n

n _{   }

        , (95)

   

_{   }

_{   }

   

mx x m x mx mx x m x mx b n n n n n n n n

n _{   }

        .

Las funciones esféricas de Bessel se pueden expandir en series de potencia de la forma,

_

_

_

_

_

_                ... 5 2 3 2 ! 2 ) 2 / 1 ( ) 3 2 ( ! 1 2 / 1 1 1 2 ... 5 3 1 ) ( 2 2 2 n n n n j n n   

 , (96)

 





_

_

_



_



_

                   _ ... 2 3 2 1 ! 2 2 / 1 2 1 ! 1 2 / 1 1 1 2 ... 5 3

1 2 2 2

1 _{n n n}

n y n n   

 . (97)

Con estas series se escriben los primeros términos de las funciones _n

 

 y _n

 

 y de sus derivadas.

 

30 3 4 2 1       ,

 

15 2 3 2 3 1       ,

 

15 3 2     ,

 

5 2 2     ,

 

3 2 2 1    

  i i  ,

 

3 2 2 2 1   

  i  i  ,

₂

 

3₂

 

  i , ₂

 

6₃

 

Con estos pocos términos de las expansiones dadas en (98), se calculan los coeficientes del campo de scattering hasta el término de orden x6 . Los primeros cuatro coeficientes son,









₂



2 2 2 5 2 2 3 1 2 1 2 5 2 2 1 3 2         m m m ix m m ix a

 

7

2 2 2 6 2 1 9 4 x O m m x _          ,

₂

 

7

2 5 2 3 2 1

15 m O x

m ix a      ,



2

  

7

5

1 1

45 m O x

ix

b    ,

b2 O

 

x7 , (99)

cualquier otro coeficiente contiene términos de orden x7 o mayor. De las condiciones de Rayleigh se tiene que an bn, por lo tanto los términos que contienen los

coeficientes b_n en el cálculo de las secciones eficaces de scattering pueden ser omitidos. El único término de los coeficientes an que se considera es el término de orden

3

x , los términos de orden mayor son pequeños comparados con este,

2 1 3 2 2 2 3 1 _    m m ix

a . (100)

Los elementos de la matriz de scattering pueden calcularse de (91) y (92),

_{1 1} 2 3 a

F  , cos 2

3

1

2 a

F  (101)



2



₀

2

2 2 2 4

6 4

cos 1 2 1 8

I m

m r Na

I_sct 



 _

 

 , (102)

para un haz de luz no polarizado. La componente independiente del ángulo  es debido a un haz de luz con polarización perpendicular al plano de scattering, mientras que la componente cos2 es debido a un haz polarizado paralelo al plano de scattering.

3. DESARROLLO EXPERIMENTAL

3.1 Implementación del sistema óptico

se encuentra a 23,5 cm del centro de la mesa. La mesa goniométrica permite tomar medidas de scattering de luz a diferentes ángulos con una incertidumbre de ± 0,05°. Con el Lock-in se tomaron datos de la relación entre las señales de los fotodiodos F1 y F2 para cada posición angular, en cada posición la medición es realizada por un lapso de tiempo entre 15-25 s y el valor de la señal es el promedio de los datos que se toman en este intervalo de tiempo.

Figura 10. Esquema del montaje experimental para la medición de scattering de luz angular con dos longitudes de onda. El haz de luz láser incide sobre el divisor de haz (DH), el haz transmitido es medido por el fotodiodo F1 como señal de referencia y el haz reflejado en 90° incide sobre la celda que contiene la muestra. El scattering es medido por el fotodiodo F2, se usa un amplificador Lock-in para aumentar el valor de la relación señal ruido.

Para la adquisición de datos, el Lock-in se comunica por el puerto serial de una computadora y se utiliza un software proporcionado por el fabricante del Lock-in escrito en el lenguaje LabView (National Instruments), el cual permite grabar los datos como archivo de texto en cada posición angular.

3.1.1. Fuentes de luz láser

Se utilizaron dos láseres de diferentes longitudes de onda, un láser He-Ne (632,8 nm) Hughes Modelo 3221H-PC de 5 mW de potencia, linealmente polarizado, y un diodo

Láser λ = 532,0 nm

DH

PC Amplificador

Lock-in Espejo

removible

Chopper Láser

λ = 632,8 nm

Fotodiodo F1

Fotodiodo F2

θ

Celda

Apertura1

láser (532,0 nm) Crystalaser modelo GCL-025-M de 25 mW de potencia, también con polarización lineal.

Para evitar variaciones en la potencia de salida de los láseres, estos se dejaron encendidos 20 min antes de realizar las mediciones. Estas variaciones se presentan en los láseres hasta alcanzar una estabilidad térmica.

Ambos láseres fueron colocados de modo que la dirección de polarización sea perpendicular al plano de scattering.

3.1.2 Divisor de haz

Se utilizó un divisor de haz (DH), el cual refleja parte de un haz de luz que incide sobre una de sus caras y transmite la otra parte. La intensidad del haz de luz transmitido y reflejado no es necesariamente la misma. Si el haz de luz incidente es perpendicular a la cara del DH, el haz de luz reflejado es también perpendicular al haz de luz incidente.

3.1.3 Aperturas

Como se observa en la figura 1, se utilizaron dos aperturas circulares de 1,2 mm de diámetro cada una. Se utilizó la apertura 1 para reducir el área de la sección transversal del haz de luz láser que incide sobre la muestra, la apertura 2 fue utilizada para reducir el ángulo de visión del fotodiodo y reducir la resolución al medir la dirección del haz.

3.1.4 Fotodiodos

Debido a que las longitudes de onda que se emplearon en este trabajo se encuentran en la región del espectro visible de la radiación electromagnética, comprendida entre los 400 nm y los 700 nm de longitud de onda [9], fue necesario el uso de fotodetectores o sensores ópticos, los cuales son capaces de absorber energía de un fotón [9] ydar como respuesta una señal eléctrica medible proporcional a la energía absorbida. La energía de un fotón está dada por la ecuación,



hc hv

E   ,

unidades de electrón voltios (eV), un electrón voltio está definido como la energía adquirida por un electrón que atraviesa una diferencia de potencial de un voltio. Dado que la carga del electrón tiene como valor e = 1,60×10-19 C,

1eV = 1,60×10-19 J.

Los fotodetectores con mayor sensibilidad son fabricados de materiales semiconductores [11]. Los fotodetectores se basan en la emisión de electrones o par electrón-hueco por el efecto fotoeléctrico[12].

En este trabajo se utilizaron fotodiodos de Silicio para la medición de las señales de scattering.

3.1.4.1 Características eléctricas

Un fotodiodo puede ser representado como una fuente de corriente en paralelo con un diodo ideal, como se observa en la Figura 11. La fuente de corriente representa la fotocorriente If generada por la energía absorbida de los fotones, y el diodo representa

la unión PN. También se representan la capacitancia de la unión PN, CJ, la resistencia

Figura 11. Circuito equivalente para un fotodiodo. A través de una resistencia de carga, RC, se obtiene un voltaje de salida para una fotocorriente If del fotodiodo.

Cuando no incide ningún tipo de iluminación sobre el fotodiodo y este está polarizado en inversa, se genera un corriente llamada corriente en oscuro, dark current, ID. Cuando

el fotodiodo no está polarizado, modo fotovoltaico, esta corriente no está presente y el ruido que se genera en este modo de operación es sólo debido al ruido térmico.

Para el caso en que el fotodiodo no esté polarizado, la resistencia interna, Ri, de este

sólo depende del material del fotodiodo. Usualmente esta resistencia está en el orden de 1-100 MΩ [13] a temperatura ambiente, en un fotodiodo ideal esta resistencia se considera infinita. Esta resistencia es usada para determinar el ruido de la corriente en el fotodiodo en modo fotovoltaico. La resistencia debido a los contactos del fotodiodo y también a la resistencia de los semiconductores tipo P y tipo N, fuera de la zona de agotamiento, está descrita por la resistencia en serie RS.

La región de agotamiento de la unión PN actúa como un condensador de capacitancia CJ, llamada también capacitancia de la unión. Esta es generada debido a que en los

límites de esta unión se mantienen cargas negativas (región tipo P) y cargas positivas (región tipo N). La capacitancia influye en el ancho de banda de respuesta del fotodiodo como también en su velocidad de repuesta. En un fotodiodo con polarización inversa, el volumen de la región de agotamiento es mayor que sin polarización, esto reduce la capacitancia de la unión e incrementa la velocidad de respuesta del fotodiodo.

If

CJ Ri

RS

RC

If

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