Alg-Unid 1 Trigonometr¡a.pdf

ALGEBRA

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

Profesora: Isabel Arratia Z.

Instituto de Ciencias Básicas

La palabra trigonometría proviene del

griego:

trigom

que significa triángulo y

metra

que significa medida. De ahí que la

trigonometría estudia las relaciones entre los

ángulos y los lados de un triángulo, es decir,

medidas de los triángulos.

Originalmente, la trigonometría desarrolló la resolución

numérica (algebraica) de los triángulos. Se definen las

funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un

triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los

lados del triángulo; el dominio de definición de estas

funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el

ángulo [0°, 180°].

Ángulos y sistemas de medición

Las unidades habitualmente usadas para medir los ángulos son los grados sexagesimales y los radianes.

Un grado es la medida del ángulo AOB que se genera cuando la rotación, en el sentido de las manecillas del reloj, es

de la vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 segundos.

3601

Un radián es la medida del ángulo AOB que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

rad

2

360

°

=

π

1° = rad 1 rad = _o

  

 

π 180 180

π

Consecuencia de la igualdad son las siguientes

Fórmulas de conversión:

Ejercicio

:

a) Convierta a grados los ángulos dados en radianes

b) Convierta a radianes los ángulos dados en grados

4

7

,

6

11

π

=

β

π

=

α

°

=

ϑ

°

=

Las funciones circulares o trigonométricas

Se llama círculo unitario (o círculo trigonométrico o círculo goniométrico) a aquel cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio es la unidad. En este círculo denotemos por C a la circunferencia unitaria.

Para cada número real t, existe un único punto P(x, y) que es la intersección de la circunferencia unitaria C con el lado terminal del ángulo de t radianes. En estas condiciones se definen las coordenadas de P como,

x = cos t, y = sen t

Una consecuencia inmediata de la definición anterior es el

Teorema de Pitágoras

:

π

sen 0 = 0, cos 0 = 1 sen = 0, cos = -1

¿Cuál es el valor de seno y coseno para ? 2 3 2 y π π

π

1 t cos t

sen2 + 2 =

Ejercicio

: Usando el Teorema de Pitágoras y con la ayuda de las siguientes figuras, complete los valores de la tabla:

Modo RAD cos t

sin t

360° 270°

180° 90°

60° 45°

30° 0°

Modo DEG

t =30° t =45°

t =60°

Las funciones seno y coseno

Hemos visto que para cada número real t, existen únicos valores (x, y) = (cos t, sen t) en la circunferencia unitaria C. Este hecho nos permite definir las funciones seno y coseno, ambas con dominio el conjunto de los números reales. Además, como

, ellas tienen recorrido [-1, 1].

ℜ

1 t cos 1

y 1

t sen

1 ≤ ≤ ≤ ≤

−

Gráfico de la función seno

Observe que,

sen t = 0 ,

con k número entero

El gráfico lo puede obtener con su calculadora:

Gráfico de la función coseno

Observe que,

cos t = 0 ,

con k número entero

π

+

=

⇔

t

π₂

k

La periodicidad: Las funciones seno y coseno son periódicas de período

2

π

, esto significa que para k número entero,

t

cos

)

k

2

t

(

cos

t

sen

)

k

2

t

(

sen

=

π

+

La paridad

:

La función seno es una función

impar, esto significa que sen(-t) = -sen t.

La función coseno es una función par, esto significa que

cos(-t) = cos t.

¿Y si los ángulos difieren sólo en el

signo?

-t t

P(x, y)

Tangente: Cotangente:

Secante: Cosecante:

¿Hay más funciones trigonométricas?

x cos

x sen x

tan =

Las funciones trigonométricas son seis. Hasta ahora hemos mencionado sólo dos; las otras se definen a partir de seno y coseno, a saber,

x sen

x cos x

cot =

x cos

1 x

sec =

x sen

1 x

csc =

Ejercicio

: Si es un ángulo agudo y , determine los valores de las restantes funciones trigonométricas de .

α

257

sen

α

=

Gráfico de la función tangente

y = f(x) = tan x

Dom f =

=

Rec f =

}

Z

k

/

k

{

₂

+

π

∈

−

ℜ

π

}

0

x

cos

/

x

{

∈

ℜ

≠

ℜ

Z

k

con

,

k

x

0

x

tan

=

⇔

=

π

∈

x

tan

x

tan

x cossen x )

x cos(

) x (

sen

₌

₌

₋

=

₋− −

Ejercicio

: Use una calculadora o computadora para graficar las funciones cotangente, secante y cosecante. Determine el dominio y el recorrido de cada una de ellas y si se trata de funciones periódicas, funciones pares o impares.

Ejercicio

: Determine el dominio de la función y = senx + tan x y los valores de x tales que y = 0 (ceros de la función). Con su calculadora o computadora grafique esta función y compare los resultados obtenidos de manera gráfica y de modo algebraico.

Ejercicio

: ¿Por qué se obtiene un mensaje de error en la calculadora cuando se trata de evaluar ?

° °

Propiedades adicionales

Ángulos complementarios: Dos ángulos se dicen complementarios si suman (90°).

t = π₂−α

t = α

2π

La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

α =

α −

α =

α −

π π

sen )

cos(

cos )

( sen

2 2

Ángulos suplementarios: Dos ángulos se dicen suplementarios si suman (180°).

t = π−α

t = α

π

La figura nos muestra que los dos triángulos rectángulos tienen iguales medidas. De ahí que,

α −

= α − π

α =

α − π

cos )

cos(

sen )

( sen

Gráficos de ondas sinusoidales

Se llaman ondas o curvas sinusoidales a aquellas que resultan de trasladar, defasar, ampliar o reducir las curvas seno y coseno. Estas curvas tienen una expresión general,

y = A + B sen(Cx + E) o y = A + B cos(Cx + E)

Para graficar las curvas antes mencionadas, basta hacer el gráfico de una parte que se extienda por una longitud horizontal igual al período, es decir, graficar un ciclo de la curva.

Como Cx + E = C(x + ), analizaremos las curvas

y = f(x) = A + B sen C(x + D) o y = f(x) = A + B cos C(x + D)

y de ellas, aquellas con C>0, puesto que si C<0 usamos la paridad de coseno y el hecho que seno es impar.

(1) La curva y tiene período puesto que, C

2π

(

)

(

)

(

C(x D)

)

f(x) Bsen

A

2 ) D x ( C Bsen A

) D x

( C Bsen A

) x

( f

C 2 C

2

= +

+ =

π + +

+ =

+ +

+ =

+ π π

y = sen(x)

y = sen(4x),

(período )

2

(2) El gráfico de y = f(x) es |B| veces más grande (o pequeño) verticalmente que el de la función seno o coseno, es decir, la onda tiene un alto vertical total de 2|B|. Por esta razón se llama a |B| la amplitud de la onda.

y = sen(x)

y = 3sen(x),

(3) El gráfico de la curva está desfasado D unidades a la izquierda si D>0 y D unidades a la derecha si D<0. Por esta razón, el número real D se llama cambio de fase.

y = sen(x+Pi/2),

(defasado izq.)

y = sen(x)

2

π

(4) El gráfico de la curva y = f(x) está trasladado verticalmente A unidades.

y = 1 + sen(x)

Ejercicio

: Grafique, indicando período, amplitud y desface de las curvas y = 2sen(x + Pi) e y = 1 + cos(x – Pi).

Ejemplo:

Gráfico de y = 1 + sen(x + ) ₂π 21

Período =

Amplitud =

Desfase izq.

π

2

2 1

2

Problema

:

En un circuito de corriente alterna la

intensidad A medida en amperes debe satisfacer , donde t es el tiempo medido en

segundos. ¿Cuántos ciclos hay en un segundo? ¿Cuál es la máxima intensidad en la corriente?

Con su calculadora grafique dos ciclos de A.

t 120 sen

20

A = π

Problema

:

Las funciones de la forma , en donde a, b, w, t₀ son constantes reales, se usan con frecuencia para simular la variación en la temperatura. Suponga que para

proporciona la temperatura en grados Celsius de F a t horas después de la medianoche de cierto día. ¿Cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.? ¿A qué hora la temperatura es 23°C? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima y a qué hora se alcanzan?

Con su calculadora grafique F.

) t t ( w sen b

a

y = + − _o

) 8 t ( sen 7

23 F(t)

, 24 t

0

12 −

+ =

≤

α

β

El arco de P(cos , sen ) a Q(cos , sen ) es igual al arco de A(1, 0) a B(cos , sen ); luego . Entonces,

) (

sen )

1 ) (cos(

) sen sen

( )

cos

(cosα − β 2 + α − β 2 = α −β − 2 + 2 α −β

Funciones de dos ángulos

Fórmulas de sustracción

: Pretendemos deducir expresiones para seno y coseno de

α

−

β

, para ello consideremos las figuras

P Q

A B

α

−

β

β

β

α

α

)

) cos( 2 2 sen 2sen -cos cos 2

2− α β α β = − α − β

Elevando al cuadrado, desarrollando los binomios al cuadrado y usando el teorema de Pitágoras obtenemos,

Y de aquí,

_cos(

_α

₋

_β

₎

₌

_cos

_α

_cos

_β

₊

_sen

_α

_sen

_β

Usando el hecho que sen t = cos

₍

_t

₎

, tenemos que 2 π

−

β α + β α = + β α + + β α = + β − α = − β − α = β − α π π π π cos sen sen cos ) sen( sen ) cos( cos )) ( cos( ) cos( ) ( sen 2 2 2 2 α β − β α = β −

α ) sen cos sen cos (

sen

Ejercicio

: Demuestre que

Fórmulas de adición

Escribiendo y usando las fórmulas de sustracción podemos determinar las fórmulas de adición:

)

(

−

β

−

α

=

β

+

α

β α − β + α = β + α β α β α = β + α α β + β α = β + α tan tan 1 tan tan ) tan( sen sen -cos cos ) cos( cos sen cos sen ) ( sen

Fórmulas de ángulo doble

Como ; usamos las fórmulas de adición para obtener:

2

α

=

α

+

α

Fórmulas de ángulo medio

Deduciremos una fórmula para seno de . Se procede de manera análoga para coseno de . 2

α

α

=

β

⇔

=

β

α

2

2 2 cos 1 2 sen 2 ) 2 cos( 1 sen 2sen -1 ) cos(2 sen -cos ) 2 cos( 2 2 2 2 2 α − = α ⇒ β − = β ⇒ β = β ⇒ β β = β

Por lo tanto,

2 α α + α − ± = α α + ± = α α − ± = α cos 1 cos 1 2 tan , 2 cos 1 2 cos , 2 cos 1 2 sen

Ejemplo

: Determinemos el valor exacto de:

)

tan(

c)

)

sen(

b)

)

cos(

)

a

13₃π ₁₂7π ₁₂π

3

2

1

3

1

3

1

1

1

....

)

tan(

)

tan(

c)

cos

sen

cos

sen

)

(

sen

)

sen(

b)

)

cos(

)

4

cos(

)

cos(

)

a

3 1 3 1 6 4 12 4 2 6 21 2 2 2 2 2 3 3 4 4 3 4 3 12 7 21 3 3 3 13

−

=

+

−

=

⋅

+

−

=

=

−

=

=

+

=

+

=

+

=

=

=

+

π

=

π π π + π π π π π π π π π π

Ejercicio

: En ciertas condiciones, la ecuación del movimiento de una cuerda en vibración estirada entre dos puntos sobre el eje X es

donde t es el tiempo y A, w, k son constantes. Demuestre que y puede ser representada de la forma

equivalente .

) kx wt

( sen A

) kx wt

( sen A

y = − − +

senkx wt

cos A

2 y = −

Ejercicio

: Considere un rayo de luz que pasa de un medio (como el aire) a otro (como el cristal). Sea el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción. Según la ley de Snell, hay una constante c que depende de los dos medios como

. Suponga que para que la luz pase del aire al cristal, c = 1,326 para determinar de modo que .

α

ϑ

c

cos

sen

₌

ϑ α

ϑ

α

y

α

=

2

ϑ

α

Identidades trigonométricas

1 t cos t

sen2 + 2 =

Ya mencionamos una identidad fundamental, el Teorema de

Pitágoras, . De aquí,

Y realizando sencillas operaciones se obtienen las t

sen 1

t cos

t cos 1

t sen

2 2

2 2

− =

− =

Una identidad trigonométrica es una igualdad que involucra funciones trigonométricas y que se verifica para cualquier valor de las variables en el dominio de esas funciones.

x csc x

cot 1

x sec x

tan 1

2 2

2 2

= +

= +

La expresión

Frecuentemente es aconsejable transformar o reducir una expresión trigonométrica dada, originando de este modo otra

identidad trigonométrica. Por ejemplo, de las fórmulas de ángulo medio se obtienen las identidades

2 2 cos 1

cos ,

2 2 cos 1

sen2α = − α 2α = + α

2 2

_(cos

_cos

₎

)

sen

sen

(

α

+

β

+

α

+

β

se reduce a

))

cos(

1

(

2

)

cos

cos

sen

sen

1

(

2

+

α

β

+

α

β

=

+

α

−

β

dando origen a la identidad,

))

cos(

1

(

2

)

cos

(cos

)

sen

sen

Una calculadora gráfica o una computadora es muy útil para verificar gráficamente una identidad. Las gráficas siguientes verifican en la identidad

(1 – cos x)(1 + sec x) cot x = sen x

]

0

,

π

/

2

[

¿Cómo demostrar una identidad trigonométrica?

No hay un método general para demostrar que una igualdad es una identidad trigonométrica. Mostraremos algunos ejemplos.

Demostremos la identidad:

θ + θ = θ θ cot tan 1 cos sen θ θ = θ θ θ + θ = θ θ + θ θ = θ + θ cos sen cos sen cos sen 1 sen cos cos sen 1 cot tan 1 2 2

En las demostraciones está implícito el supuesto que la identidad es válida sólo para aquellos valores de para los cuales las funciones que aparecen estén definidas.

Demostremos la identidad: α α α = α α +

α sen cot cos csc sec

sen 2 α = α α = α + α = α α + α sen 1 ) (csc sen ) cot 1 ( sen cot sen sen 2 2 2

Por otra parte,

α =       α       α α = α α α sen 1 cos 1 sen 1 cos sec csc cos

Por lo tanto se trata de una identidad trigonométrica.

)] ( sen ) ( sen [ sen cos )] ( sen ) ( sen [ cos sen )] cos( ) [cos( s co cos )] cos( ) [cos( sen sen 21 21 21 2 1 β − α − β + α = β α β − α + β + α = β α β + α + β − α = β α β + α − β − α = β α

Ejercicio

: Demuestre las siguientes identidades conocidas como Fórmulas de productos.

Si encontramos un valor en el dominio de la funciones para el cual la igualdad es falsa, habremos probado que esta no es una identidad trigonométrica. En ese caso estamos frente a una

Ejercicio

: Demuestre las siguientes identidades conocidas como Fórmulas de sumas.

) ( sen ) ( sen 2 cos cos ) cos( ) cos( 2 cos cos ) ( sen ) cos( 2 sen sen ) cos( ) ( sen 2 sen sen 2 2 2 2 2 2 2 2 β − α β + α β − α β + α β − α β + α β − α β + α − = β − α = β + α = β − α = β + α

Ejercicio

: Demuestre las siguientes identidades trigonométricas.

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas; la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No existe un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, mostraremos algunos procedimientos a través de ejemplos.

Ejemplo 1

: Determinemos las soluciones en de la ecuación .

] 2

[0, π

21

sen

α

=

Según lo aprendido, los valores del ángulo los podemos determinar utilizando el círculo unitario:

6 5 6

π π

_∨

_α

₌

ℜ

Pero ¿cómo proceder si la ecuación es: = 0,669 ?

Con la experiencia en la resolución de ecuaciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas surge la idea de obtener el valor de x usando la función “inversa de seno”, aquella función que la calculadora denota y que se llama arcoseno.sen −1

La función arcoseno

La función seno con dominio no posee inversa; sin embargo, si consideramos su restricción obtenemos una biyección y por lo tanto una función que posee inversa. Esa inversa es arcoseno:

1] [-1, ] , [ : sen 2 2 -π π _→

]

,

[

1]

[-1,

:

sen

2 2

-1 π π

−

_→

x sen ) x (

sen −1 = α ⇔ α =

α

sen

Es decir, arcoseno de x es el número (ángulo medido en radianes) cuyo seno es x.

2 2

- _y

entre

π π

Y debemos deducir la solución . Más aún, por la periodicidad de seno, podemos afirmar que esta ecuación tiene múltiples soluciones en ; estas se expresan así,

ℜ

∈

π

+

=

α

∨

π

+

=

α

π

2

k

π

2

k

,

con

k

6 5 6

Una solución de la ecuación la obtenemos con la calculadora:

669

.

0

sen

α

=

30 7 1

₍

₀

_,

₆₆₉

₎

₄₂

sen

−

≈

°

=

π

=

α

Pero también es una solución que debe ser deducida por nosotros.

Del mismo modo para la calculadora entregará sólo

30 23

138

°

=

π

=

α

21

sen

α

=

.

30

°

=

₆π

=

α

6 5π

=

α

Las funciones arcocoseno y arcotangente

Las funciones

son biyectivas; sus inversas se llaman arcocoseno y arcotangente respectivamente y se describen a continuación.

]

[

→ ℜ → π π π _, : tan 1] [-1, ] [0, : cos 2 2

]

−

[

= β ⇔ = β → ℜ α = ⇔ α = π → π π − − tan x ) x ( tan ; , : tan cos x ) x ( cos ; ] , [0 1] [-1, : cos 1 -2 2 1 -1 1

]

2

,

0

[

π

Ejercicio

: Encuentre todas las soluciones i) en ii) en

de a) b) c)

ℜ

2 3 x

cos = _{tan x = 1} 2

7 x

sec = −

Ejemplo 2

: Resolvamos en la ecuación

[0,

2

π

]

sen 2x = sen x

3 5 3

,

y

0,

x

=

π

π

π

Usando la identidad del ángulo doble, la ecuación se transforma en

2 sen x cos x = sen x

sen x (2 cos x - 1) = 0

Y de aquí, sen x = 0 o cos x = ; luego las soluciones son: ₂1

Hay que considerar que cuando el lado terminal de un ángulo realiza cierto giro, se genera otro ángulo cuyo seno también es cero o cuyo coseno también es . En consecuencia, existen múltiples soluciones, en el conjunto de los números reales, para la ecuación planteada que se expresan,

, con k número entero. 21

ℜ

π

+

±

=

π

=

k

o

x

π

2

k

x

Ejemplo 3

: Resolvamos en y luego en la ecuación

cosec x + cotan x = 1

]

2

[0,

π

_ℜ

La ecuación es equivalente a 1+cosx = sen x.

Elevando al cuadrado queda, , de donde

cos x ( cos x + 1) = 0

Y de aquí, cos x = 0 o cos x = -1 ; luego las soluciones serían:

1 senx

x cos x

sen 1

= +

0 x

cos 2 x cos

2 2 + =

2 3 2

,

y

x

=

π

π

π

Sin embargo, hay que descartar a puesto que este número no está ni en el dominio de cosec ni en el de cotan. Además, las operaciones algebraicas muchas veces conducen a seudo-soluciones; en este caso no satisface la ecuación. Por lo tanto, la única solución en es y las soluciones en el conjunto de los números reales son

π

2 3π

]

2

[0,

π

₂π

Z.

k

,

k

2

x

2

+

π

∈

Ejemplo 4

: Resolvamos en ,

[0,

2

π

]

Factorizando tenemos o bien,

Y de aquí, cos t = 0 o y las soluciones son

t cos t

cos sent

2 2 = − ₂3

3 5 6

5 3

2 2

3

2

,

,

,

y

x

=

π π π π π

Es común proceder a simplificar la ecuación por cost; esto es posible siempre que se verifiquen como posibles soluciones los valores de t para los cuales cost = 0. En caso contrario, habríamos perdido las soluciones

y

.

2 3

2 π

π

0 )

t cos sent

2 ( t

cos + ₂3 =

0 )

t 2 sen (

t cos

2

3 ₌

+

2 3

t 2

sen = −

Problema

: Un generador de corriente alterna

produce corriente dada por la ecuación ,

donde t es el tiempo en segundos y E está dada en amperes. Encuentre el menor valor de t, con cuatro cifras decimales, de modo que se produzcan 25 amperes.

t

120

sen

30

E

=

π

RAD

Ejercicio

: Resuelva i) en

ii) en las siguientes ecuaciones,

a)

b)

c)

d)

]

2

[0,

π

ℜ

0

senx

3

x

cos

2

2

+

=

ecx

cos

5

anx

cot

x

tan

3

+

=

anx

cot

x

tan

x

sec

2

=

+

0

x

2

cos

3

x

4

sen

−

=

Ejercicio

: Calcule el valor de

Ejercicio

: Encuentre que satisfagan,

) arccos sen(arcsen

A

5 4 21 +

=

Problema

: Demuestre que para a, b números reales,

-1 ab

con , ab 1

b -a arctan b

arctan

-a

arctan ≠

+ =

β

α

y

1

)

tan(

2

3

)

sen(

=

β

−

α

Resolución de triángulos

Si el triángulo es rectángulo, es posible resolverlo siempre que se conozcan dos de sus cinco elementos: a, b, c, , excepto que esos dos sean los dos ángulos agudos.

Muchas de las aplicaciones de la trigonometría requieren “resolver” un triángulo. Esto significa determinar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos del triángulo.

Triángulos rectángulos

A

B

C

α

β

Γ

b

c _a

El triángulo ABC y el triángulo APQ, dentro del círculo unitario, son semejantes; luego sus lados son proporcionales, es decir, P Q C B A

α

,

,

AQ PQ AC BC AP AQ AB AC AP PQ AB

BC

₌

₌

₌

,

,

cossen ba 1 cos c b 1 sen c a α α α α

₌

₌

=

O equivalente

Y de aquí la definición,

Ejemplo

: Resolvamos el triángulo rectángulo ABC si c = 27cm y .

Como Por otra parte,

luego a 20,683. Finalmente, y b 17,355

°

=

α

50

.

40

,

90

°

β

=

°

=

β

+

α

sen

50

°

=

₂₇a

,

50

cos

27b

=

°

Problema

: Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el árbol formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. Calcule la anchura del río.

Ancho x = 100tan30° 57,735 m.

≈

≈

Ángulos de elevación y de depresión

El ángulo entre la línea con la que un observador mira un objeto y la horizontal tiene un nombre especial.

Si el observador está mirando hacia abajo, el ángulo visto desde la horizontal hacia la línea de visión se denomina ángulo de depresión.

Si el observador está mirando hacia arriba, el ángulo desde la horizontal hacia la línea de visión se denomina

Problema

: Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

Problema

: La siguiente

figura muestra la

demarcación de estacionamientos en un

Problema

: Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 metros del nivel del mar. Descubre a una persona que necesita su ayuda con un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona.

Si en el problema anterior el ángulo de depresión varía según la siguiente tabla, con la ayuda de su calculadora, determine cómo va variando la distancia.

dist

42° 40°

39° 37°

31° 27°

Resolución de un triángulo cualquiera

γ

β

α

,

,

Consideremos el triángulo ABC con ángulos y con lados opuestos a, b y c. Si se conoce la longitud de un lado y otros dos elementos del triángulo, entonces es posible resolverlo. Esto se realiza a través de la Ley del seno y de la Ley del coseno.

Teorema del seno

: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir,

c sen b

sen a

sen α

₌

β

₌

γ _A

C

b

c

a

B

β

α

γ

Demostración del teorema del seno: Consideramos la altura h que se indica en la figura; entonces

sen

a

sen

b

sen

y

sen

b sen a sen a h b h β α

₌

⇒

β

=

α

⇒

=

β

=

α

Procediendo con las otras alturas se obtienen las otras relaciones.

Ejercicio

: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado AB mide 72 cms., y .

α

=

₂₈

°

β

=

₁₇

°

°

=

°

−

°

−

°

=

γ

180

28

17

135

770

,

29

b

y

803

,

47

a

=

72_sensen₁₃₅28_°°

≈

=

72_sensen₁₃₅17_°°

≈

Problema

: Los árboles más grandes del mundo crecen en el Parque Nacional de Redwood en California, EE.UU. Estos árboles (sequoia semprevirens) son más grandes que el largo de un campo de fútbol. Calcule la altura de uno de esos árboles, a partir de la información que se entrega en la figura.

'

10

37

°

44

°

−

−

−

−

−

−

100

Teorema del coseno

: En el triángulo ABC se tiene que:

γ − + = β − + = α − + = cos ab 2 b a c cos ac 2 c a b cos bc 2 c b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C b c a B

β

α

γ

h

Demostración del teorema del seno: Consideramos la altura

h = CD; entonces . De aquí,

D 2 2 2 2 2

2 _{h (DB) y b h (AD)}

a = + = +

) cos b ( c 2 c b ) AD ( AD c 2 c ) AD ( b (DB) ) AD ( b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α − + = + − + − = + − =

Problema

: Dos coches, con velocidades respectivas de 60km/h y 90km/h, toman dos carreteras que se bifurcan con un ángulo de 70º ¿Cuál será la distancia entre ellos a los 10 minutos de viaje?

Ejercicio

: Resuelva el triángulo ABC si se sabe que el lado AB mide 12 cms., AC mide 9 cms., y BC mide 7 cms.

En 10 minutos, el primer móvil habrá recorrido un sexto de 60, es decir, 10Km. El segundo móvil habrá recorrido un sexto de 90, es decir, 15Km.

El teorema del coseno nos permite calcular x,

Km.

14,912 x

70 cos 300

225 100

x2

≈

° −

Problema:

Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a los puntos A y B que distan 1,5 m. La deformación de la goma es proporcional al peso que soporta. Del centro C de la goma se cuelga un peso y el centro pasa a ocupar la posición D. Si se aplica el doble del peso el centro, éste pasa a ocupar la posición E. Si se sabe que el ángulo a = 19º, determine el ángulo b.

Problema

: Tres personas están en tres puntos distintos de la orilla de un lago, la primera dista de la segunda 1 km, la segunda de la tercera 1,5 km y ésta de la primera 2km ¿Qué ángulos forman entre sí dichas personas? ¿Qué superficie tiene el lago, si ésta es los 5/3 de la superficie del triángulo que se forma con las 3 personas?

C

B A

1