Lección: Introducción a la Química Cuántica

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Texto completo

(1)

Lección: Introducción a la

Química Cuántica

TEMA: ESTRUCTURA ATÓMICA

Introducción 1

© Adolfo Bastida Pascual Universidad de Murcia. España.

I. Probabilidad . . . 2

I.A. Espectro discreto . . . 2

I.B. Espectro continuo. . . 8

II. Mecánica Cuántica. . . 12

II.A. Concepto de estado. . . 12

II.B. Función de estado . . . 14

II.C. Operadores. . . 15

(2)

I.A. Espectro discreto:

Definición de probabilidad

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 2

Espectro discreto

Número fínito de posibles resultados de las medidas

Ej. Lanzamiento de una moneda: Espectro = 1,2

Ej. Lanzamiento de un dado: Espectro = 1,2,3,4,5,6

Probabilidad

P

N

Frecuencia de aparición de cada resultado

P

N

=

Número de medidas en que se obtiene

N

Número de medidas posibles Normalización

i

P

i

=

1

Ej. Lanzamiento de una moneda:

P

1

=

12

=

P

2

(3)

I.A. Espectro discreto:

Representación gráfica

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 3

(4)

I.A. Espectro discreto:

Representación gráfica

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 4

Ej. Lanzamiento de un dado real:

(5)

I.A. Espectro discreto: Valor

medio de una medida

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 5

Valor medio de una medida

f

N medidas

f

5

,

f

3

,

f

1

,

f

1

,

f

3

, . . .

media

=

1

N

(

f

5

+

f

3

+

f

1

+

f

1

+

f

3

+

. . .)

=

1

N

(

f

1

N

1

+

f

2

N

2

+

. . .)

=

f

1

N

1

N

+

f

2

N

2

N

+

. . .

f

=

i

f

i

P

i

(6)

I.A. Espectro discreto: Valor

medio de una medida

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 6

Ej. Lanzamiento de un dado:

N

=

1

·

1

6

+

2

·

1

6

+

3

·

1

6

+

4

·

1

6

+

5

·

1

6

+

6

·

1

6

=

21

6

=

3

.

5

N

=

1

·

1

6

+

2

·

1

6

+

3

·

1

6

+

4

·

1

6

+

5

·

1

6

+

6

·

1

6

=

1

.

8

q

N

6

=

N

3

.

5

6

=

1

.

8

(7)

I.A. Espectro discreto:

Desviación cuadrática media

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 7

Desviación cuadrática media

f

Medida de la separación

media de los valores de una muestra respecto a su valor medio

Medidas:

f

1

,

f

2

,

f

3

, . . .

Valor medio desviaciones =

f

f

=

f

f

=

0

(

f

)

2

=

f

f

2

=

f

2

2

f

f

+

f

2

=

f

2

2

f

f

+

f

2

f

=

q

f

2

f

2

(8)

I.B. Espectro continuo:

Densidad de probabilidad

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 8

Espectro continuo

Número infínito de posibles resultados de las medidas

τ

(

a

,

b

). Carece de sentido preguntar por la

probabilidad de un resultado concreto.

Densidad de probabilidad

ρ

τ

Describe como está repartida

la probabilidad entre los posibles resultados de la medida

ρ

τ

=

dP

d

τ

P

(

τ

(

τ

1

,

τ

2

))=

Z τ2 τ1

ρ

τ

d

τ

Normalización

Rτ

ρ

τ

d

τ

=

1

(9)

I.B. Espectro continuo:

Densidad de probabilidad

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 9

Ej. Lanzamiento de un anillo

ρ

x

=

dPdx

P

(

x

[

x

1

,

x

2

]) =

Z x2 x1

ρ

x

dx

Normalización

Z L 0

ρ

x

dx

=

1

ρx

=

cte.

ρx

Z L 0

dx

=

1

ρx

=

1

L

P

(

x

[0

,

L/

2]) =

Z L/2 0

ρ

x

dx

=

1

L

Z L/2 0

dx

=

1

2

(10)

I.B. Espectro continuo:

Valor medio de una medida

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 10

Valor medio de una medida

f

f

=

Z

∀τ

f

τ

ρ

τ

d

τ

Ej. Lanzamiento de un anillo

x

=

Z L 0

x

ρ

x

dx

=

1

L

Z L 0

x dx

=

L

2

x

2

=

Z L 0

x

2

ρ

x

dx

=

1

L

Z L 0

x

2

dx

=

L

2

3

(11)

I.B. Espectro continuo:

Desviación cuadrática media

ESTRUCTURA ATÓMICA

I. Probabilidad 11

Desviación cuadrática media

f

f

=

q

f

2

f

2

Ej. Lanzamiento de un anillo

x

=

q

x

2

x

2

=

L

(12)

II.A. Concepto de estado:

Estado clásico

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 12

Mecánica Clásica

El estado del sistema está caracteriza-do por las posiciones y momentos de todas las partículas del sistema

(

~

r,~

p

)

~

p

=

m

d

~

r

dt

Si se conocen estas magnitudes a un tiempo dado

(

~

r

(

0

),~

p

(

0

))

se pueden conocer a cualquier tiempo posterior

(

~

r

(

t

),~

p

(

t

))

o anterior

(

~

r

(−

t

),~

p

(−

t

))

mediante la segunda ley de Newton

F

=

m

d

2

~

r

dt

2

(13)

II.A. Concepto de estado:

Estado cuántico

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 13

Mecánica Cuántica

El estado del sistema está caracterizado por una función que depende de las coordenadas de las partí-culas del sistema y del tiempo

ψ

(

~

r,

t

)

denominada función de

estado.

El módulo al cuadrado de la función de estado

|

ψ

(

~

r,

t

)

|

2 es la

densidad de probabilidad del sistema

dP

(

~

r

[

~

r

,~

r

+

d

~

r

]) =

|

ψ

(

~

r

,

t

)|

2

d

~

r

Módulo de un número complejo

(14)

II.B. Función de estado

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 14

Interpretación probabilística

P

(

x

[

x

1

,

x

2

]) =

Z x2 x1

|

ψ

(

x

,

t

)|

2

dx

La función de estado ha de comportarse bien: a) Normalizable

R~r

|

ψ

(

~

r

,

t

)|

2

d

~

r

=

1

b) Unievaluada

La densidad de probabilidad solo puede tomar un único valor en un punto del espacio

c) Contínua

No puede haber saltos en la densidad de pro-babilidad

(15)

II.C. Operadores

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 15

Cada magnitud física tiene asociado un operador que se obtie-ne a partir de la expresión clásica de la magnitud mediante el denominado principio de correspondencia

x

x

ˆ

p

x

p

ˆ

x

=

~

i d dx

Ej. Operador energía cinética

T

=

p

2

2

m

T

ˆ

=

ˆ

p

2

2

m

=

1

2

m

~

i

d

dx

2

=

~

2

2

m

d

2

dx

2

Ej. Operador Hamiltoniano

E

=

p

2

2

m

+

V

(

x

)

H

ˆ

=

T

ˆ

+

V

ˆ

(

x

) =

~

2

2

m

d

2

dx

2

+

ˆ

V

(

x

)

(16)

II.C. Operadores: Resultado

de una medida

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 16

Si se mide una magnitud

A

cuyo operador mecano-cuántico es

ˆ

A

los únicos resultados posibles de la medida

a

1

,

a

2

, . . .

son aquellos que satisfacen la denominada ecuación de autovalo-res

ˆ

A

ϕ

i

=

a

i

ϕ

i

i

=

1

,

2

, . . .

Los números

a

1

,

a

2

, . . .

se conocen como valores propios del operador

A

ˆ

y las funciones

ϕ

i son sus correspondientes

funcio-nes propias.

Si la función de estado de un sistema

ψ

(

~

r,

t

)

es igual a la función

propia

ϕ

i de un operador

A

ˆ

entonces el único resultado posible

(17)

II.D. El principio de

incertidumbre

ESTRUCTURA ATÓMICA

II. Mecánica Cuántica 17

Valor medio de una medida

A

ˆ

=

R~r

ψ

(

~

r

,

t

)

A

ˆ

ψ

(

~

r

,

t

)

d

~

r

Desviación cuadrática media

A

=

q

ˆ

A

2

A

ˆ

2

Principio de incertidumbre de Heisenberg

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