Conjuntos suma pequeños en p-grupos finitos

(1)

Revista Integración Escuela de Matemáticas

Universidad Industrial de Santander Vol. 28, No. 1, 2010, pág. 79–83

Conjuntos suma pequeños en

p-grupos finitos

Wilson Fernando Mutis

a,∗

_,

_{Fernando Andrés Benavides}

a

_,

John Hermes Castillo

a

a_{Universidad de Nariño, Departamento de Matemáticas y Estadistica, A.A. 1175-1176,} San Juan de Pasto, Nariño, Colombia.

Resumen. En este artículo presentamos una fórmula explícita para la función

µG(r, s) = m´ın|A·B|, dondeAyB son subconjuntos de unp-grupo finito

Gcon|A|=r,|B|=sy1≤r, s≤ |G|.

Palabras claves: Conjunto suma,p-grupo, teoría aditiva de números.

MSC2000: 11B34, 20D60.

Small Sumsets in Finite

p

-groups

Abstract. In this paper we present an explicit formula for the function

µG(r, s) = min|A·B|, whereAandBare subsets of a finitep-groupGwith |A|=r,|B|=sand1≤r, s≤ |G|.

Keywords: Sumset,p-group, additive number theory.

1. Introducción

Sea(G,·)un grupo finito. El conjunto suma (o conjunto producto) de dos subconjuntos no vacíosAyBdeG, denotado conA·B, esta dado por

A·B={a·b : a∈Ayb∈B}.

Un problema de interés en Teoría Aditiva de Números, denominado el problema de los conjuntos suma pequeños, es determinar una fórmula explícita que permita calcular el mínimo de los cardinales|A·B|, dondeAy B son subconjuntos de grupoGtales que |A|=ry|B|=s, es decir, se desea hallar una fórmula que permita calcular los valores de la función

µG : [1,|G|]×[1,|G|]−→N definida por

µG(r, s) = m´ın{|A·B| : A, B⊆G, |A|=ry|B|=s}.

∗_{Autor para correspondencia:}_E-mail_:

[email protected].

Recibido: 12 de mayo de 2010, Aceptado: 17 de noviembre de 2010.

[2] Chen S., On the Size of Finite Sidon Sequences,Proc. Amer. Math. Soc, 121 (1994), 353–356.

[3] Erdös P. and Turán P., On a Problem of Sidon in Additive Number Theory and On Some Related Problems, Journal of the London Mathematical Society, 16 (1941), 212–215.

[4] Green B., The number of squares and Bh[g] sets, Acta Arithmética, 100 (2001),

365–390.

[5] Graham S. W.,BhSequences,Analytic Number Theory, 1 (Allerton Park, IL, 1995),

431–449, Progress in Mathematics 138, Birkhäuser, Boston MA, 1996. [6] Jia X., OnB2kSequences,Journal of Number Theory, 48 (1994), 183–196.

[7] Lindström B., A Remark on B4 Sequences, Journal of Combinatorial Theory, 7

(1969), 276–277.

[8] Singer J., A Theorem in Finite Projective Geometry and Some Applications to Number Theory, Transactions of the American Mathematical Society, 43 (1938), 377–385.

[9] Terras A., “Fourier Analysis on Finite Groups and Aplications,” Cambridge Univer-sity Press, second edition, San Francisco, 1999.

(2)

Este problema en general no es fácil, pero Eliahou y Kervaire en [4] probaron que si G

es un grupo abeliano finito, se satisface la igualdad

µG(r, s) =κG(r, s) = m´ın h∈H(G) _r h +s h −1h, (1)

dondeH(G)denota en conjunto de órdenes de subgrupos deG. En el caso de queGes un grupo finito no abeliano, se desconoce una fórmula explícita para µG(r, s), pero existen grupos no abelianos para los cuales la igualdad (1) se cumple. Por ejemplo, Kemperman en [6] demuestra queµG(r, s) =κG(r, s)cuandoGes un grupo libre de torsion; Eliahou y Kervaire en [5] probaron que esta ecuación también se tiene para grupos diédricos de orden2pn_con_p_{primo, y Benavides, Castillo y Mutis en [1] obtienen la misma expresión} para grupos hamiltonianos de la forma Q ×(Z_/₂Z₎k_×_G_{, donde}_G_{es cíclico de orden} impar. Sin embargo, la igualdad (1) no se puede generalizar para todo grupo finito no abeliano, pues en el producto semidirectoG=C13×C3, dondeCidenota el grupo cíclico de ordeni, se tiene la desigualdadκG(6,6)< µG(6,6)(ver [2]).

El objetivo de este artículo es ampliar la clase de grupos finitos no abelianos para los cuales se cumple µG(r, s) =κG(r, s). En particular, se demuestra que esta igualdad se satisface en todop-grupo finito.

2. La función

µ

G

en

p

-grupos finitos

En esta sección se demuestra que la fórmula obtenida para la funciónµG, cuandoGes un grupo abeliano finito, también se cumple para el caso en queGes unp-grupo finito. En verdad, se demuestra el siguiente teorema:

Teorema 2.1. Seapun número primo y seaGunp-grupo finito. Sir, sson dos enteros tales que1≤r, s≤ |G|, entoncesµG(r, s) =κG(r, s).

Demostración. Dado que G es un p-grupo finito, existe un entero positivo n tal que |G|=pn_{. Así, el conjunto}_H₍_G₎_{de órdenes de subgrupos normales de} _G_{está dado por} H(G) ={1, p, p2_{, . . . , p}n_}_{. Sea}_px_{∈ H}₍_G₎_{tal que}

κG(r, s) = r px + s px −1 px.

Como todop-grupo finito es soluble, entonces por Lema2,2de [5] se tiene

µG(r, s)≤ _r px + _s px −1 px₌_κ G(r, s).

La desigualdadµG(r, s)≥κG(r, s)se probará por inducción sobre el orden delp- grupo

G. Paran= 1se tiene|G|=p, luegoG∼=Z_p_{, donde}Z_p_{denota el grupo de congruencias}

módulop; asíGes cíclico, y por lo tantoµG(r, s) =κG(r, s).

Supóngase que el teorema es válido parap-grupos de ordenpn_{, con}_{n >}₁_{. Sean}_G_un

p- grupo de ordenpn+1 _y_T _{un subgrupo normal de} _G_{de orden}_pn_{. Entonces}_T _{es de} índicepy existec∈G\Ttal queGse puede expresar como la unión depclases laterales derechas disjuntas, así:

G=T ∪T c ∪T c2 _{∪ · · · ∪}_{T c}p−1_. ₍₂₎ Seanr, senteros positivos conr, s≤pn+1_{, y sean}_{A, B} _{dos subconjuntos de}_G_{tales que}

AyB realizanµG(r, s). Por la igualdad (2),T contiene subconjuntosA0, A1, . . . , Ap−1 de cardinalesr0, r1, . . . , rp−1, respectivamente, y subconjuntosB0, B1, . . . , Bp−1 de car-dinaless0, s1, . . . , sp−1, respectivamente, tales que

A=A0 ∪A1c ∪A2c2 ∪ · · · ∪Ap−1cp−1= p−1 i=0 Aici, (3) B=B0 ∪B1c ∪B2c2 ∪ · · · ∪Bp−1cp−1= p−1 j=0 Bjcj. (4) Para cada0≤l≤p−1, definamos

Fl={(i, j) : 0≤i, j≤p−1yi+j∼=lmódp} y Hl= (i,j)∈Fl (Aici)(Bjcj). Entonces, |AB|= p−1 i=0 Aici  p−1 j=0 Bjcj   = p−1 l=0 |Hl|,

y dado queµG(r, s) =|AB|, se tiene

µG(r, s)≥ p−1 l=0 m´ax{|AiBj| : (i, j)∈Fl} ≥ p−1 l=0 m´ax{µT(ri, sj) : (i, j)∈Fl}. La hipótesis inductiva aplicada alp-grupoT implica que

µG(r, s)≥ p−1 l=0 m´ax{κT(ri, sj) : (i, j)∈Fl}. (5)

(3)

Este problema en general no es fácil, pero Eliahou y Kervaire en [4] probaron que siG

es un grupo abeliano finito, se satisface la igualdad

µG(r, s) =κG(r, s) = m´ın h∈H(G) _r h +s h −1h, (1)

dondeH(G)denota en conjunto de órdenes de subgrupos deG. En el caso de queGes un grupo finito no abeliano, se desconoce una fórmula explícita paraµG(r, s), pero existen grupos no abelianos para los cuales la igualdad (1) se cumple. Por ejemplo, Kemperman en [6] demuestra queµG(r, s) =κG(r, s)cuandoGes un grupo libre de torsion; Eliahou y Kervaire en [5] probaron que esta ecuación también se tiene para grupos diédricos de orden2pn_con_p_{primo, y Benavides, Castillo y Mutis en [1] obtienen la misma expresión} para grupos hamiltonianos de la formaQ ×(Z_/₂Z₎k_×_G_{, donde}_G_{es cíclico de orden} impar. Sin embargo, la igualdad (1) no se puede generalizar para todo grupo finito no abeliano, pues en el producto semidirectoG=C13×C3, dondeCidenota el grupo cíclico de ordeni, se tiene la desigualdadκG(6,6)< µG(6,6)(ver [2]).

El objetivo de este artículo es ampliar la clase de grupos finitos no abelianos para los cuales se cumpleµG(r, s) =κG(r, s). En particular, se demuestra que esta igualdad se satisface en todop-grupo finito.

2. La función

µ

G

en

p

-grupos finitos

En esta sección se demuestra que la fórmula obtenida para la funciónµG, cuandoGes un grupo abeliano finito, también se cumple para el caso en queGes unp-grupo finito. En verdad, se demuestra el siguiente teorema:

Teorema 2.1. Seapun número primo y sea Gunp-grupo finito. Sir, sson dos enteros tales que1≤r, s≤ |G|, entoncesµG(r, s) =κG(r, s).

Demostración. Dado que G es un p-grupo finito, existe un entero positivo n tal que |G|=pn_{. Así, el conjunto}_H₍_G₎_{de órdenes de subgrupos normales de}_G_{está dado por} H(G) ={1, p, p2_{, . . . , p}n_}_{. Sea}_px_{∈ H}₍_G₎_{tal que}

κG(r, s) = r px + s px −1 px.

Como todop-grupo finito es soluble, entonces por Lema2,2de [5] se tiene

µG(r, s)≤ _r px + _s px −1 px₌_κ G(r, s).

La desigualdadµG(r, s)≥κG(r, s)se probará por inducción sobre el orden delp- grupo

G. Paran= 1se tiene|G|=p, luegoG∼=Z_p_{, donde}Z_p_{denota el grupo de congruencias}

módulop; asíGes cíclico, y por lo tantoµG(r, s) =κG(r, s).

Supóngase que el teorema es válido parap-grupos de ordenpn_{, con}_{n >}₁_{. Sean}_G_un

p- grupo de ordenpn+1_y _T _{un subgrupo normal de}_G_{de orden}_pn_{. Entonces}_T _{es de} índicepy existec∈G\T tal queGse puede expresar como la unión depclases laterales derechas disjuntas, así:

G=T ∪T c ∪T c2 _{∪ · · · ∪}_{T c}p−1_. ₍₂₎ Seanr, senteros positivos conr, s≤pn+1_{, y sean}_{A, B}_{dos subconjuntos de}_G_{tales que}

AyBrealizanµG(r, s). Por la igualdad (2),T contiene subconjuntosA0, A1, . . . , Ap−1 de cardinalesr0, r1, . . . , rp−1, respectivamente, y subconjuntosB0, B1, . . . , Bp−1 de car-dinaless0, s1, . . . , sp−1, respectivamente, tales que

A=A0 ∪A1c ∪A2c2 ∪ · · · ∪Ap−1cp−1= p−1 i=0 Aici, (3) B=B0 ∪B1c ∪B2c2 ∪ · · · ∪Bp−1cp−1= p−1 j=0 Bjcj. (4) Para cada0≤l≤p−1, definamos

Fl={(i, j) : 0≤i, j≤p−1yi+j∼=lmódp} y Hl= (i,j)∈Fl (Aici)(Bjcj). Entonces, |AB|= p−1 i=0 Aici  p−1 j=0 Bjcj   = p−1 l=0 |Hl|, y dado queµG(r, s) =|AB|, se tiene

µG(r, s)≥ p−1 l=0 m´ax{|AiBj| : (i, j)∈Fl} ≥ p−1 l=0 m´ax{µT(ri, sj) : (i, j)∈Fl}. La hipótesis inductiva aplicada alp-grupoT implica que

µG(r, s)≥ p−1 l=0 m´ax{κT(ri, sj) : (i, j)∈Fl}. (5)

(4)

Ahora bien, el conjuntoN₀_{de los enteros no negativos tiene estructura de espacio vectorial}

sobre el campo finitoF_p_{, donde la suma de vectores es la suma}p- ádica. SeanVel subespa-cio deN₀_{generado por el conjunto}_{₁_{, p, p}2_{, . . . , p}n−1_}_{, es decir,}_V₌_{₀_,₁_,₂_{, . . . , p}n₋₁_}_, eItel segmento inicial de longitudtdeV. Por el Teorema 2.1 y la Proposición 3.1 de [3] se sigue que

µV(u, v) =|Iu⊕pIv| siempre que1≤u, v≤ |V|.

Además de la definición de segmento inicial y de la Proposición 3.1 de [3], se obtiene

Iu⊕pIv =IµV(u,v) siempre que1≤u, v≤ |V|,

Iu∪Iv=Im´ax{u,v} para todo par de enteros no negativosuyv. (6) SeaM el grupo abeliano de ordenpn+1_{definido por}_M₌_{V ×}_Z

p. Entonces el conjunto H(M)de los órdenes de subgrupos deM coincide con el conjuntoH(G)de los órdenes de subgrupos deG, así que

µM(r, s) =κM(r, s) =κG(r, s). (7) Ahora bien, viendo al grupoV como un subgrupo deM y tomandob= (0,1)∈M, se sigue que

M=V ∪(V+b)∪ · · · ∪(V+ (p−1)b).

Para0≤i, j≤ p−1, sean Iri eIsj los segmentos iniciales de V de longitudes riysj,

respectivamente, y considérense los conjuntos

E=Ir0∪(Ir1+b)∪(Ir2+ 2b)∪ · · · ∪(Iip−1+ (p−1)b) = p−1 i=0 (Iri+ib), D=Is0∪(Is1+b)∪(Is2+ 2b)∪ · · · ∪(Isp−1+ (p−1)b) = p−1 j=0 (Isj+jb);

entonces|E|=ry|D|=s. Para0≤l≤p−1, sea

Wl=

(i,j)∈Fl

(Iri⊕pIsj).

Realizando algunos cálculos, se puede observar que

E+D=W0 ∪(W1+b) ∪(W2+ 2b) ∪ · · · ∪(Wp−1+ (p−1)b). Aplicando la igualdad (7) se sigue que

p−1

l=0

|Wl|=|E+D| ≥µM(r, s) =κM(r, s) =κG(r, s). (8)

Utilizando las igualdades (6) se tiene p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 (i,j)∈Fl IµV(ri,sj) = p−1 l=0 m´axµV(ri, sj) : (i, j)∈Fl, peroV es un grupo abeliano; entonces,

p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 m´axκV(ri, sj) : (i, j)∈Fl;

además,V y T sonp-grupos del mismo orden, así queκV(ri, sj) =κT(ri, sj)para toda (i, j)∈Fly toda0≤l≤p−1; entonces, p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 m´axκT(ri, sj) : (i, j)∈Fl . (9)

De la igualdad (9) y las desigualdades (5) y (8) se concluye finalmente que

µG(r, s)≥ p−1 l=0 |Wl| ≥κG(r, s).

3. Agradecimientos

Este artículo es fruto de un trabajo de investigación que los autores realizaron gracias a la financiación de la Vicerrectoría de Investigaciones, Posgrados y Relaciones Interna-cionales de la Universidad de Nariño.

Referencias

[1] Benavides F., Castillo J., y Mutis W., Conjuntos suma pequeños en grupos hamil-tonianos, Preprint, 2009.

[2] Eliahou S., and Kervaire M., Bounds on the minimal sumsets size function in groups,

J. Number Theory, 4 (2007), 503–511.

[3] Eliahou S., and Kervaire M., Sumsets in vector spaces over finite fields,J. Number Theory, 71 (1998), 12–39. MR1631038 (99d:11020)

[4] Eliahou S., and Kervaire M., Minimal sumsets in infinite abelian groups,J. Algebra, 287 (2005), 449–457. MR2134154 (2006c:11018)

[5] Eliahou S., and Kervaire M., Sumsets in dihedral groups,European J. Combin., 27 (2006), 617–628. MR2215221 (2007a:11027)

[6] Kemperman J.H.B., On complexes in a semigroup,Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 59 = Indag. Math., 18 (1956), 247–254. MR0079005 (18,14a)

(5)

Ahora bien, el conjuntoN₀_{de los enteros no negativos tiene estructura de espacio vectorial}

sobre el campo finitoF_p_{, donde la suma de vectores es la suma}p- ádica. SeanVel subespa-cio deN₀_{generado por el conjunto}_{₁_{, p, p}2_{, . . . , p}n−1_}_{, es decir,}_V₌_{₀_,₁_,₂_{, . . . , p}n₋₁_}_, eItel segmento inicial de longitudtdeV. Por el Teorema 2.1 y la Proposición 3.1 de [3] se sigue que

µV(u, v) =|Iu⊕pIv| siempre que1≤u, v≤ |V|.

Además de la definición de segmento inicial y de la Proposición 3.1 de [3], se obtiene

Iu⊕pIv=IµV(u,v) siempre que1≤u, v≤ |V|,

Iu∪Iv=Im´ax{u,v} para todo par de enteros no negativosuyv. (6) SeaM el grupo abeliano de ordenpn+1_{definido por}_M ₌_{V ×}_Z

p. Entonces el conjunto H(M)de los órdenes de subgrupos deM coincide con el conjuntoH(G) de los órdenes de subgrupos deG, así que

µM(r, s) =κM(r, s) =κG(r, s). (7) Ahora bien, viendo al grupoV como un subgrupo deM y tomandob= (0,1)∈M, se sigue que

M=V ∪(V+b)∪ · · · ∪(V+ (p−1)b).

Para0≤i, j ≤p−1, seanIri eIsj los segmentos iniciales deV de longitudesri ysj,

respectivamente, y considérense los conjuntos

E=Ir0∪(Ir1+b)∪(Ir2+ 2b)∪ · · · ∪(Iip−1+ (p−1)b) = p−1 i=0 (Iri+ib), D=Is0∪(Is1+b)∪(Is2+ 2b)∪ · · · ∪(Isp−1+ (p−1)b) = p−1 j=0 (Isj+jb);

entonces|E|=ry|D|=s. Para0≤l≤p−1, sea

Wl=

(i,j)∈Fl

(Iri⊕pIsj).

Realizando algunos cálculos, se puede observar que

E+D=W0 ∪(W1+b) ∪(W2+ 2b) ∪ · · · ∪(Wp−1+ (p−1)b). Aplicando la igualdad (7) se sigue que

p−1

l=0

|Wl|=|E+D| ≥µM(r, s) =κM(r, s) =κG(r, s). (8)

Utilizando las igualdades (6) se tiene p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 (i,j)∈Fl IµV(ri,sj) = p−1 l=0 m´axµV(ri, sj) : (i, j)∈Fl, peroV es un grupo abeliano; entonces,

p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 m´axκV(ri, sj) : (i, j)∈Fl;

además,V y T sonp-grupos del mismo orden, así queκV(ri, sj) =κT(ri, sj)para toda (i, j)∈Fl y toda0≤l≤p−1; entonces, p−1 l=0 |Wl|= p−1 l=0 m´axκT(ri, sj) : (i, j)∈Fl . (9)

De la igualdad (9) y las desigualdades (5) y (8) se concluye finalmente que

µG(r, s)≥ p−1 l=0 |Wl| ≥κG(r, s).

3. Agradecimientos

Este artículo es fruto de un trabajo de investigación que los autores realizaron gracias a la financiación de la Vicerrectoría de Investigaciones, Posgrados y Relaciones Interna-cionales de la Universidad de Nariño.

Referencias

[1] Benavides F., Castillo J., y Mutis W., Conjuntos suma pequeños en grupos hamil-tonianos, Preprint, 2009.

[2] Eliahou S., and Kervaire M., Bounds on the minimal sumsets size function in groups,

J. Number Theory, 4 (2007), 503–511.

[3] Eliahou S., and Kervaire M., Sumsets in vector spaces over finite fields,J. Number Theory, 71 (1998), 12–39. MR1631038 (99d:11020)

[4] Eliahou S., and Kervaire M., Minimal sumsets in infinite abelian groups,J. Algebra, 287 (2005), 449–457. MR2134154 (2006c:11018)

[5] Eliahou S., and Kervaire M., Sumsets in dihedral groups,European J. Combin., 27 (2006), 617–628. MR2215221 (2007a:11027)

[6] Kemperman J.H.B., On complexes in a semigroup,Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 59 = Indag. Math., 18 (1956), 247–254. MR0079005 (18,14a)