Cinemática. Ejemplos

(1)

MOVIMIENTO CIRCULAR

Cinemática

Dinámica

Ejemplos

(2)

CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Línea de referencia Línea de referencia

(3)

Δ

θ

t

Δ

≡

θ

ϖ

d

θ

Δ

lim

dt

t

ω

=

Δ

→

Δ

≡

0

(4)

(5)

RELACION ENTRE EL ANGULO EL ARCO Y EL RADIO

S

R

S

=

θ

R

RADIANES RADIANES

?

=

π

(6)

Velocidad angular

Una mariquita está sentada al borde exterior de

un disco rotante, y un bicho se sienta a la mitad

del camino entre ella y el eje de rotación El

del camino entre ella y el eje de rotación. El

disco hace una revolución completa una vez

cada segundo. La velocidad angular del bicho

d

l

id d

l

d l

comparada con la velocidad angular de la

mariquita es:

• 1. La mitad

• 2. Igual.

• 3. El doble.

(7)

Velocidad angular

Considere el objeto girando uniformemente mostrado en el dibujo. ¿Si la velocidad angular del objeto es un j ¿ g j vector (apunta en una cierta dirección en el espacio) Qué dirección particular debemos asociar con esta velocidad angular?

velocidad angular?

• 1. ±x • 2. ±y • 3. ±z

(8)

(9)

Cinemática del MCU

• Movimiento con W= constante

d

θ

w

dt

d

θ

₌

0

θ

=

0

θ

=

wt

+

t

=

0

• Es una línea recta

C

wt

+

=

θ

• Propiedades numéricas diferentes a w:

1 w

• Calcular Período de la tierra de spin y orbital w=?

wT

=

π

2 ν

_π

2

1 w

T

=

(10)

LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD TANGENCIAL vr S Δ TANGENCIAL t Δ θ Δ = ω vr S Δ R Δθ _R R S = θ t R S Δ Δ = ω R v = ω

(11)

w

rw

V

=

(12)

rw

v

=

Demostrar

rw

v

_t

=

w

Δ

t

w

Δ

≡

α

dt

dw

t

w

t

Δ

=

Δ

→

Δ

≡

0 lim

α

dt

t

→

Δ

0 α

r

a

_t

=

α

(13)

Demostrar:

wy

v

=

Que la dirección de la aceleración es centrípeta

wx

v

wy

v

y x

=

−

=

es centrípeta y

x

w

a

=

−

2

_v

2

y

w

a

x

w

a

y x 2

−

=

r

v

w

v

rw

a

_r

=

2

=

t

=

_t

(14)

Cinemática del Movimiento Circular Acelerado

• Movimiento con = constante

d

α

=

dt

dw

d

θ

0

w

=

0

w

t

w

=

α

+

t

=

0

w

t

dt

d

θ

₌

_α

₊

0 0 2

2

1 _α

_θ

θ

=

t

+

w

t

+

)

(

2

₀ 2 0 2

−

=

α

θ

−

θ

w

(15)

(16)

Aceleración y velocidad en el plano

Cuerpo

Lanzado Movimiento _circular verticalmente

hacia arriba

Movimiento de un proyectil

(17)

(18)

Aceleración

Una mariquita está sentada al borde exterior de un disco rotante que está reduciendo su velocidad. Al momento mostrado en la figura, la componente radial de la

aceleración de la mariquita es: • 1. En la dirección de +x. • 2. En la dirección de -x. 3 E l di ió d • 3. En la dirección de +y. • 4. En la dirección de -y. • 5.5. En la dirección de +z.En la dirección de z. • 6. En la dirección de -z. • 7. Cero.

(19)

Aceleración

Una mariquita está sentada al borde exterior de un disco rotante que está reduciendo su velocidad. Al momento mostrado en la figura, la componente tangencial de la aceleración de la mariquita es:

• 1. En la dirección de +x. • 2. En la dirección de -x. 3 E l di ió d • 3. En la dirección de +y. • 4. En la dirección de -y. • 5.5. En la dirección de +z.En la dirección de z. • 6. En la dirección de -z. • 7. Cero.

(20)

Movimiento circular aceleración

Si el objeto aumenta su velocidad a lo largo de la trayectoria circular mostrada abajo, su aceleración apunta:

4

1. Hacia el centro de la trayectoria circular.

2. En una dirección tangencial a la trayectoria. g y 3. Hacia afuera.

4. Hacia adentro

(21)

Aceleración en la rotación

Un objeto sigue la trayectoria circular mostrada abajo en sentido contrario a las agujas del reloj. En la medida que este se mueve, el vector de aceleración apunta continuamente al punto fijo S. El objeto p p j j :

1. Aumenta la velocidad en P, Q, y R. 2. Reduce la velocidad en P, Q, y R.

3. Aumenta la velocidad en P y reduce la velocidad en R. 3. Aumenta la velocidad en P y reduce la velocidad en R. 4. Reduce la velocidad en P y aumenta la velocidad en R. 5. Aumenta la velocidad en Q.

6 Reduce la velocidad en Q 6. Reduce la velocidad en Q.

(22)

Ejercicios

• Calcular: Velocidad tangencial de la tierra

Calcular: Velocidad tangencial de la tierra

en el ecuador y a una latitud de 30 grados

• Calcular f w v

de un satélite terrestre de

• Calcular f, w, v

_t

, de un satélite terrestre de

90 minutos de período y a una altura de

200 km

(23)

(24)

2

mrw

ma

(25)

(26)

Fuerzas en un giro

Usted es el copiloto en un carro de carreras que se acerca a una curva después de una larga recta. Cuando el carro gira a la

izquierda siguiendo una trayectoria de arco circular con q g y

velocidad constante, usted se siente apretado contra la puerta del automóvil. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta (asuma que el automóvil no se resbala en la pista)?

1. Una fuerza centrípeta lo empuja a usted contra la puerta.

2. No hay ninguna fuerza que lo empuje a usted contra la puerta. 3. La fuerza de fricción del piso lo empuja usted contra la puerta. 4. No hay ninguna fuerza centrípeta que actúa sobre usted.

5. Usted no puede analizar esta situación en términos de las

f tú b t d t d tá l d

fuerzas que actúan sobre usted porque usted está acelerando. 6. Dos de las anteriores.

(27)

(28)

Fuerzas en una curva

Un camión, con un balón en el piso libre de

rodar sobre el mismo, hace un giro a la

derecha. ¿Cuál de las siguientes fuerzas

causan que el balón ruede al lado izquierdo

sobre el piso del camión?

1. La fuerza de fricción

2. La fuerza centrífuga

3. La normal del piso del camión

4. La fuerza de la gravedad

(29)

(30)

Fuerza centrípeta

Una usuaria del parque de diversiones está montada en el cilindro rotante, allí ella se encuentra pegada a la pared del cilindro por su espalda Cual de los la pared del cilindro por su espalda. Cual de los diagramas abajo representa mejor las fuerzas que actúan sobre ella?

(31)

Velocidad angular

En el cilindro rotante en el parque de diversiones, el cilindro debe rotar con cierta velocidad angular

mínima para que el usuario de masa m₁ se pegue a la mínima para que el usuario de masa m₁se pegue a la pared. ¿Esta velocidad angular mínima cambia para un usuario de masa m₂>m₁?

1. Sí 2 No 2. No

(32)

(33)

Fuerzas en una rotación vertical

Una piedra atada a una cuerda se gira en un

plano vertical. Sean T1, T2, T3, y T4 las

tensiones en las posiciones 1, 2, 3, y 4

respectivamente para que la piedra tenga una

velocidad v en todas las posiciones

velocidad v

₀

en todas las posiciones.

1. T3> T2> T1 = T4

1. T3 T2 T1 T4

2. T1 = T2 = T3 = T4

3. T1> T2 = T4> T3

(34)

2 mrw

mg

T

+

g

=

(35)

Fuerza centrípeta y tensión

Una pelota atada a una cuerda se gira en un

círculo vertical con rapidez constante. ¿En

qué punto en el círculo es más grande la

tensión?

1. En la cima

2. En el fondo

3. La tensión es la misma en todas partes

4. La información es insuficiente para contestar

p

esta pregunta

(36)

2 mrw

mg

N

+

=

(37)

Fuerza y aceleración centrípeta

¿Cuál(es) de los siguientes tipos de fuerza

pueden producir una aceleración centrípeta?

1 La fuerza normal

1. La fuerza normal

2. La fuerza de fricción

3 La fuerza de tensión

3. La fuerza de tensión

4. La fuerza gravitatoria

5 Todas las anteriores

5. Todas las anteriores

(38)

Fuerza centrípeta, Fricción

Considere un pequeño cubo sobre una plataforma de un tocadiscos rotando. Como se muestra en la figura, el diagrama de cuerpo libre para el cubo se muestra a la diagrama de cuerpo libre para el cubo se muestra a la derecha. El cubo gira:

1. Debido a su inercia.

2. Debido de su inercia rotatoria. 3. Debido a la fricción.

4. Debido a alguna otra razón. 5 No gira ¡Vuela hacia el centro! 5. No gira, ¡Vuela hacia el centro!

(39)

2

r

mv

f

2

=

r

(40)

0 sin

cos

−

f

−

mg

=

N

θ

r

mv

f

N

2

cos

sin

θ

+

θ

=

r

θ

t

2

mv

f

Peralte ideal

_v

2

θ

tan

cos

r

mg

f

₌

₋

rg

v

tan

θ

=

(41)

Fuerza centrípeta

Un cuerpo de inercia M se está moviendo circularmente con velocidad uniforme sobre una mesa sin fricción como se muestra en la figura El mesa sin fricción como se muestra en la figura. El cuerpo esta atado por una cuerda a otro de igual inercia que esta suspendido en reposo debajo de la mesa. La mitad de la cuerda está sobre la mesa y lay otra mitad por debajo. ¿Cuál es la aceleración centrípeta del cuerpo rotando?

1. Menor que g 2. Igual a g 2. Igual a g 3. Mayor que g 4. Cero 5 Falta información 5. Falta información

(42)

Fuerza centrípeta

Un cuerpo de inercia M se está moviendo circularmente con velocidad uniforme sobre una mesa sin fricción como se muestra en la figura. El cuerpo esta atado por

d t d i l i i t did

una cuerda a otro de igual inercia que esta suspendido en reposo debajo de la mesa. Ahora, el cuerpo colgante se jala hacia abajo de tal forma que la porción colgante de la cuerda es más larga que la porción sobre la mesa de la cuerda es más larga que la porción sobre la mesa (sin cambiar la longitud total de la cuerda), el cuerpo colgante permanece en reposo. ¿Cual es ahora la aceleración centrípeta del cuerpo rotante?p p

1 Menor que g 1. Menor que g 2. Igual a g 3. Mayor que g 4 C 4. Cero 5. Falta información

(43)

mv

2

r

mv

T

sin

θ

=

v

2

tan

θ

=

rg

(44)

(45)

Fuerza centrípeta, MCU

Dos monedas idénticas se colocan una encima de la otra sobre la plataforma de un tocadiscos. La plataforma gira a velocidad angular constante y las monedas rotan sin resbalarse. ¿Cuáles de las

i i t fi i i t ? siguientes afirmaciones son ciertas?

1. La fuerza neta que actúa sobre la moneda del fondo tiene la misma magnitud y dirección que la fuerza neta que actúa sobre la moneda magnitud y dirección que la fuerza neta que actúa sobre la moneda de encima.

2. La fuerza neta en cada moneda depende del coeficiente de fricción estática.

3 L f d f i ió táti j id l l t f i t i 3. La fuerza de fricción estática ejercida por la plataforma giratoria

sobre la moneda del fondo es mayor que la fuerza de fricción estática ejercida por la moneda del fondo sobre la moneda de encima.

4. La fuerza normal ejercida por la plataforma giratoria sobre la moneda del fondo es mayor que la fuerza normal ejercida por la moneda del fondo sobre la moneda de encima

5. El torque neto sobre cualquier moneda es cero. 5. El torque neto sobre cualquier moneda es cero.

(46)

Gravitación Movimiento circular uniforme

Suponga que la tierra no tiene atmósfera y que

una bola es disparada desde la cima del Monte

p

Everest en una dirección tangente al piso. Si la

velocidad inicial fuera suficientemente grande

como para que la bola viaje en una trayectoria

circular alrededor de la tierra, la aceleración de

la bola debería ser:

• Mucho menor que g (debido a que la bola no

cae al piso).

p

)

• Aproximadamente igual a

g

.

(47)

(48)

Problema de dos cuerpos

2 2 2 2 1 1 2 1

:

dinámica

Condición

:

geométrica

Condición

w

r

m

w

r

m

R

r

=

+

2 2 1 1 2

m

2 1 2 1

m

r

+

=

2 1 1 2

m

r

+

=

• Centro de masa

(49)

Sistema de referencia

Considere

a

dos

personas

en

los

lados

opuestos de un carrusel girando. Uno de ellos

l

h

i

l

E

i

lanza una pelota hacia el otro. En que sistema

de referencia el recorrido de la pelota es una

línea recta, visto desde arriba?: ¿(a) En el

,

¿( )

sistema de referencia del carrusel o (b) En el de

Tierra?

• 1

Solo (a)

• 1. Solo (a)

• 2. (a) y (b) aunque los recorridos parecen

curvarse

• 3.

Solo (b)

• 4. ninguno; porque la pelota es lanzada en

movimiento circular y su trayectoria es curva

movimiento circular y su trayectoria es curva.

(50)

Velocidad angular

g

Una mariquita está sentada al borde exterior de

un disco rotante que está reduciendo su

l

id d El

l

id d

velocidad. El vector que expresa su velocidad

angular es:

• 1. En la dirección de +x.

• 2. En la dirección de -x.

• 3. En la dirección de +y.

• 4. En la dirección de -y.

5 E l di

ió d

• 5. En la dirección de +z.

• 6. En la dirección de -z.

• 7

Cero

• 7. Cero.

(51)

Fuerza aceleración

Considere las tres situaciones siguientes: (ignore la fricción)

i) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma ) p p masa y están separados una distancia d.

ii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma masa y están conectados por una varilla muy liviana de longitud d.g

iii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma masa y están conectados por un resorte muy liviano de longitud de equilibrio d.

Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en cada caso. La aceleración del centro de masa del sistema de los dos carros es:

M d l i

• Mas grande en el caso i. • Mas grande en el caso ii. • Mas grande en el caso iii. • Igual en los dos casos

• Igual en los dos casos. • Igual en los tres casos.

(52)

Resortes

Considere un cuerpo suspendido de un resorte

extendido Si se suelta el cuerpo viajará hacia

extendido. Si se suelta, el cuerpo viajará hacia

arriba hasta cierto punto y luego se detiene,

invierte su dirección y comienza a bajar. Cual de

las siguientes afirmaciones es correcta?

• Cuando la fuerza neta (F

(

_net_net

) sobre el cuerpo

)

p

apunta hacia arriba el cuerpo se mueve hacia

arriba y cuando apunta hacia abajo el cuerpo se

mueve hacia abajo.

• Cuando F

_net

apunta hacia arriba, el cuerpo se

mueve hacia abajo, y cuando F

_net

apunta hacia

abajo el cuerpo apunta hacia arriba

abajo el cuerpo apunta hacia arriba.

• Ninguna de las anteriores.

(53)

Fuerza aceleración

Considere las tres situaciones siguientes: (ignore la fricción)

i) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma ) p p masa y están separados una distancia d.

ii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma masa y están conectados por una varilla muy liviana de longitud d.g

iii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la misma masa y están conectados por un resorte muy liviano de longitud de equilibrio d.

Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en cada caso. La aceleración en el carro de la izquierda es:

• Mas grande en el caso i. • Mas grande en el caso ii. • Mas grande en el caso iii. • Igual en los dos casos.

Ig al en los tres casos • Igual en los tres casos.

(54)

Fuerzas en una curva

Un automóvil se encontró fuera de la vía. Cuando la policía vino a investigar, ellos notaron que los

objetos en la parte de atrás del automóvil estaban amontonados contra la pared del lado del pasajero. ¿Qué pueden concluir ellos sobre lo que le pasó al ¿Qué pueden concluir ellos sobre lo que le pasó al automóvil?

1. Visto desde arriba, el auto giró en el sentido de las agujas del reloj cuando se salió de la vía.

2 Visto desde arriba el auto giró en el sentido 2. Visto desde arriba, el auto giró en el sentido