EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y BIYECTIVA EN 2 l CON INVERSA DISCONTINUA EN TODO PUNTO

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Tecnociencia, Vol. 15, N°1 93 EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN NO LINEAL, CONTINUA Y BIYECTIVA EN l2 CON INVERSA DISCONTINUA EN TODO PUNTO

Jorge E. Hernández U.1, Temístocles Zeballos M.2

1

Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Veraguas, Departamento de Matemática. email: edithleco@gmail.com

2_{Universidad de Panamá, Centro Regional Universitario de Azuero, Departamento de}

Matemática. email: temizeballos@gmail.com

RESUMEN

En el presente trabajo se utiliza la función de Mazur para probar la existencia de una función no lineal biyectiva y continua de 2

l sobre un subconjunto de 2

l cuya inversa es discontinua en todo punto. También se presenta un ejemplo, relativamente sencillo, en el caso lineal.

PALABRAS CLAVES

Espacio de Hilbert l2, biyección continua con inversa discontinua.

ABSTRACT

In this paper the Mazur function is used to prove the existence of a nonlinear bijective and continuous function from _l2_{on a subset of} _l2_{whose inverse is}

discontinuous at every point. Also a rather simple example is shown in the linear case.

KEYWORDS

(2)

94 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.

INTRODUCCIÓN

Los espacios de Hilbert son de vital importancia en el análisis moderno, en este trabajo vamos a limitar nuestra atención al espacio de Hilbert l2 (Stein & Shakarchi, 2005) y al espacio de Banach l1 (Rynne & Youngson, 2008). Como l1l2, podemos aplicar a l1 la topología de l2. Consideramos la función GF1:l2  l1 l2 y mostramos que G es una biyección continua no lineal; sin embargo F es discontinua en todo punto de l1.

1. EJEMPLO EN EL CASO LINEAL

A continuación presentamos un ejemplo de una función lineal continua y biyectiva cuya inversa es discontinua en todo punto.

Ejemplo: Sea f l: 2 l2 la función definida por

 



1



1 1 n n n n f x x n            . Como

 

















 







 



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n _n n _n f x y f x y x y n x y n n f x f y                      _  _       _ _ _ _       y

 







 



 





1 1 1 1 1 1 1 n _n n _n n n n n n n f x f x x n x n f x                               

(3)

Tecnociencia, Vol. 15, N°1 95

se tiene que f es una función lineal. Note que

 

2

 

2 1 1 1 : : n n _n n f l x x l Y n          _ _  _      

Notación: Para cada x



x x1, 2,



l2 y Nℕ denotemos

 

_

_

   

_

_

1 2 1 2 , , , , 0, 0, 0, , 0, , , N N N N N N x x x x x x x x _ x _    

Probemos que Y es denso en l2. En efecto, sea x

 

xn _n ₁ l2

    y definamos  

_

_

1, 2, , , 0, 0, n n x  x x x

Como zn 



x₁, 2 ,x₂ ,nx_n, 0, 0,



l2 y f z

 

n x n , se tiene que

 n

x Y para todo nℕ. Por otro lado,

  2 2 2 1 0 n i n i n x x x      



 .

Por lo tanto, la sucesión

 

 

1 n n x   converge a x en 2 l y Y l2; es decir, Y es denso en l2.

Para cada x



x x₁, ₂,



l2 se tiene que

 





1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 , , . n n n n n f x x x x x x        _{ } _     _ _   



(4)

96 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T. Esto implica que f es un operador lineal acotado (Maccluer, 2009) y

1

f  . Así pues, f es continua en 2

l .

Es claro que f l: 2 Y es biyectiva y su inversa está definida por













1 2 1 1 2 3 1 2 3 : , , , , 2 ,3 , f Y l f y y y y y y    

Consideremos la sucesión ortonormal



e e₁, ₂,



de 2

l , entonces como

 









ésima posición ésima posición

0, 0, , 0, , 0, 0, 0, , 0,1, 0, n n n n f ne f n e       

se tiene que e_nY para todo nℕ. Además

 

1 n n f e ne y 1

 

2 n f e n de donde

 

1 1 1 2 2 1 sup sup n x n f f x f e      .

Por lo tanto, f1 es un operador lineal no acotado (Amann & Escher, 2009). Esto implica que f1 es discontinua en todo punto yY .

Observación: Recordemos que 1

l es denso en 2

l bajo la topología inducida por la norma  ₂.

(5)

2. EJEMPLO EN EL CASO NO LINEAL

Teorema 1: Sea GF1:l2  l1 l2. La inversa de la función de Mazur (1929). Para todo x



x x1, 2,



l2 y  0 existen Nℕ y

0

  tal que si y



y y₁, ₂,



l2 y xy ₂  , entonces:



_i 1 i x  y y_i 1, para todo i N 1.



 



 





 



 

_

_{ }

_

  2 4 2 2 2 2 2 2 . . . N N N N ii x iii y iv G x G y       

Demostración: Como x



x x1, 2,



l2, existe un número natural N

tal que 1 2 i x  para i N 1 y   ₄ 2 N x . Tomemos

 

1 2 4 min ,

  . Sea y



y y₁, ₂,



l2 tal que

2 xy  , entonces









1 2 2 2 2 1 i i i i i i i x y x y x y x y         _  _    



 ;

por lo tanto, para todo i N 1 se tiene que

1 1 1 2 2 2 1 i i i i y  y  x x      . Además,    

_

_

_

_

1 1 2 2 2 2 4 2 2 1 1 N N i i i i i N i x y x y x y x y             _  _ _  _     



 





(6)

98 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T. de donde         4 2 2 2 N N N N x  y  x y  y     4 4 4 2 2 2 N N y   x      . Finalmente, como x_i 1, y_i 1 para i N 1, se tiene que

 





 

_

_{ }

_

 

_{ }

 













         

 

2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 ₁ 4 2 2 4 1 4 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 16 4 16 2 sgn sgn 2 sgn sgn 2 2 2 2 3 3 . N N i i i i i N i i i i i i i N i i i i i N i i i i N i i i i N i N i N N N N N N G x G y x x y y x x y x y y x x y y x x y x x y x x y x y                              _  _                     



Por lo tanto,

 





 

_

_{ }

_

  2 2 2 N N G x  G y  .

Teorema 2: Sean GF1:l2 l1 l2 la inversa de la función de Mazur, x



x x1, 2,



l2,  0 y Nℕ. Entonces existe un  0

tal que si xy ₂  , entonces



 



 



 



  2

2 2 2

N N

(7)

Tecnociencia, Vol. 15, N°1 99 Demostración: Note que la función

ƒ: ℝ → ℝ

ƒ (t ) = sgn ( t ) t²

es continua en ℝ. Luego, para cada i1, 2, ,N existe un _i 0 tal que:

 



₂ ₂



2 2 2 sgn sgn i i i i N x   t  x x  t t   . Tomemos  min



 ₁, ₂, ,_N



.

Sea y



y y₁, ₂,



l2 tal que xy ₂  . Entonces x_iy_i 

para todo i1, 2, ,N. Por lo tanto,

 





 

_

_{ }

_

 

_

_{ }

_

 

2 2 2 ₂ 2 2 2 ₁ 2 2 sgn sgn . N N N i i i i i N G x G y x x y y N        



Teorema 3: Sea GF1:l2  l1 l2 la inversa de la función de Mazur. Entonces G es continua en l2.

Demostración: Sean x



x x₁, ₂,



l2 y  0. Por el Teorema 1, existe un número Nℕ y ₁ 0 tal que

 





 

_

_{ }

_

  2 2 2 1 2 2 2 , N N . yl xy   G x  G y  Luego, por el Teorema 2, existe un ₂ tal que

 





 

_

_{ }

_

  2 2 2 2 2 2 2 , N N . yl xy   G x  G y   Sea  min



 ₁, ₂



. Luego, si 2

2

, ;

(8)

100 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T.

 



 



 

_

_{ }

_

 

_

_{ }

_

 

_

_{ }

_

 

 





 

_

_{ }

_

 

_

_{ }

_

 

_

_{ }

_

  2 2 2 2 2 . N N N N N N N N G x G y G x G x G y G y G x G y G x G y   _            

Por consiguiente, G es continua en x, para todo xl2.

Teorema 4: Sea F l: 1 l2 l2 la función de Mazur (1929). Entonces F es discontinua en x, para todo xl1.

Demostración: Sea x



x x₁, ₂,



l1 y  0. Probemos que existe un punto yl1 tal que xy ₂  y

 

1

2 2

F x F y  . En efecto, sea nℕ con 1

n  . Note que la función gn: ℝ → ℝ gn ( t )₌ - es continua en ℝ. Luego,

 

1 0 lim n n 0 _n t g t g  .

Por lo tanto, existe un  0 tal que

 

1 2 n

g t  siempre que t . Como x



x x1, 2,



l1, se tiene que

1 i i x    



; lo que implica que existe un Nℕ tal que x_i , siempre que iN.

Definamos la sucesión y



y y₁, ₂,



por  

sgn

, si 1

, en los otros casos

i x i n i i x N i N n y x          

(9)

Como x



x x₁, ₂,



l1 y y



y y₁, ₂,



sólo difieren en una cantidad finita de términos, se tiene que yl1.

Note que sgn



tsgn_n t



sgn

 

t para todo tℝ. Por lo tanto,

 

sgn xi sgn yi para todo iℕ. Además,    2

_{ }

2 2 2 sgn ₁ ₁ ₂ 2 1 i N n x n n n i N x y n       



   de donde 2 xy  . Finalmente,

   



 





 



 





 









 





 

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 sgn 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 4 1 4 sgn ,sgn , sgn ,sgn , sgn sgn , ya que i i i i i i N n x i i n i N N n i i n i N N n i n i i N N n n i i N N n i n i N n F x F y x x x x y y y y x x y y x x x x x x g x x n                           _   _             



de donde,

 

1 2 2 . F x F y 

De todo lo anterior se deduce que F es discontinua en x, para todo

1

(10)

102 Hernández U., J. E. y Zeballos M., T. Como consecuencia de los resultados anteriores, se tiene el siguiente corolario.

Corolario 1: Sea GF1:l2  l1 l2. Entonces G es una biyección continua y G1F es discontinua en todo punto xl1.

REFERENCIAS

Amann, H. & J. Escher. 2009. Analysis III. First Edition. Birkhäuser Verlag AG, Basel.

Maccluer, B.D. 2009. Elementary Functional Analysis. First Edition. Springer-Verlag, New York.

Mazur, S. 1929. Une Remarque sur L’homèomorphie des Champs Fonctionnels, Studia Math., 1, 83-85.

Rynne, B.P. & M.A. Youngson. 2008. Linear Functional Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, London.

Stein, E.M. & R. Shakarchi. 2005. Real Analysis. Measure Theory, Integration, & Hilbert Spaces. First Edition. Princeton University Press, New Jersey.