8. Series numéricas
Análisis de Variable Real
2014–2015
Resumen
Aquí veremos el concepto de serie, que no es más que el de suma infinita. Veremos que algunas de ellas se pueden sumar y otras no. Aprenderemos a sumar algunas de ellas, y, en muchos casos, aprenderemos métodos para dilucidar si una serie se puede sumar o no.
Índice
1. Definición y propiedades básicas 1
1.1. Introducción . . . 1
1.2. Series y sumas parciales . . . 1
1.3. Propiedades básicas de las series . . . 4
1.4. Series telescópicas . . . 4
1.5. Criterios del Resto y de Cauchy . . . 5
2. Series de términos no negativos 7 2.1. Criterios de acotación y comparación. . . 7
2.2. Criterios de la Raíz y del Cociente . . . 9
2.3. Criterios para series de términos no negativos y decrecientes . . . 16
3. Criterios para series con términos sin signo fijo 25 3.1. Criterio de Comparación general . . . 25
3.2. La series alternadas y el Criterio de Leibniz . . . 25
3.3. Series absolutamente convergentes . . . 27
3.4. Criterios generales de la Raíz y del Cociente . . . 28
3.5. Criterios de Abel y Dirichlet . . . 30
4. Conmutatividad de las series 33 4.1. Reordenaciones . . . 33
1. Definición y propiedades básicas
1.1. Introducción
Concepto de serie
Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos. Estas sumas se usan implícitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad7{3“2,333. . .significa
7 3 “2` 3 10 ` 3 100 ` 3 1000` ¨ ¨ ¨ ,
suma con infinitos sumandos de la forma 3{10n, n P N. En general,
considera-remos una sucesión cualquierapanqy su suma∞8n“1an. ¿Qué sentido habrá que
darle a esta suma? La respuesta se impone de modo natural:∞8n“1antiene que ser
límmÑ8∞mn“1an.
Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de su-mandospanquna nueva sucesión de sumaspsmqdada porsm “a1`a2`¨ ¨ ¨`am, mP N, y determinar el límite (si existe) de esta última sucesión.
Esquemáticamen-te,
lugar 1 2 3 4 . . . n . . .
término a1 a2 a3 a4 . . . an . . .
suma a1 a1`a2 a1`a2`a3 a1`a2`a3`a4 . . . a1` ¨ ¨ ¨ `an . . .
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto de partida: tomando como dato la suce-sión de sumandospanq, nos planteamos determinar propiedades de la sucesión de
sumaspsnqbasándonos en propiedades de los términosan.
1.2. Series y sumas parciales
¿Qué es una serie? Definición 8.1.
(I) Unaserie∞8n“1anes un par ordenado de sucesionesppanq,psnqq
relaciona-das por la condición de que para cadanPNes sn“a1` ¨ ¨ ¨ `an.
(II) El términon-ésimo de la primera sucesión,an, recibe el nombre detérmino n-ésimode la serie.
(III) El término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre desuma
Series convergentes y divergentes Definición 8.2.
(I) Se dice que la serie∞8n“1anesconvergentesi la sucesiónpsnqde sus sumas
parciales es convergente, es decir, si existe y es finito el límite lím n sn “límn n ÿ k“1 ak.
(II) Decimos que la serie∞8n“1anesdivergentea8si la sucesión de sus sumas
parciales es divergente a8o a´8, respectivamente.
(III) Decimos que la serie∞8n“1anesoscilantesi la sucesión de sus sumas
par-ciales es oscilante.
(IV) Si una serie ∞8n“1an es convergente o divergente, se llama sumade dicha
serie al límite de la sucesión de sus sumas parciales. Dicha suma se repre-senta también∞8n“1an.
A veces es cómodo considerar series de la forma ∞8n“man, donde m es un
número entero: las sumas parciales estarán entonces definidas solo a partir dem
y seránsm “am,sm`1 “am`am`1, . . . ,sn“am` ¨ ¨ ¨ `am´1`am, . . .
Se utiliza también la notación∞8n“manen vez deam`am`1` ¨ ¨ ¨ `an`. . .
y, cuando no da lugar a confusión, se abrevia como∞an.
Ejemplos.
(Serie geométrica) ÿ8
n“0 arn.
La suma parcial de esta serie es de la forma
sm “a`ar`ar2` ¨ ¨ ¨ `arn´1`arn “ap1`r`r2` ¨ ¨ ¨ `rm´1`rmq “ # a¨1´rm`1 1´r , sir ‰1, pm`1qa, sir “1.
Excluyendo el caso trivial en quea“0, se obtiene:
(a) si|r|†1, la serie∞8n“0arnes convergente y su suma esa{p1´rq.
(b) Sir•1, la serie es divergente a8sia°0o a´8sia†0.
(d) Sir†´1la serie oscila entre´8e8.
(Serie armónica) ÿ8
n“1
1
n.
Sus sumas parciales se suelen denotar comohm, y tenemos hm “ m ÿ n“1 1 n • m ÿ n“1 ªn`1 n dx x “ ªm`1 1 dx x “logpm`1q.
Luego la serie armónica diverge a8a pesar de que límnp1{nq “0.
La convergencia no depende de los primeros términos
Un hecho importante es que el comportamiento de una serie no se ve afectado por el valor de los primeros términos de la misma.
Proposición 8.3. Considérense una serie∞8n“1any un naturalm°1. Entonces
las series∞8n“1an y∞8n“man tienen siempre el mismo carácter. Más
específica-mente:
(I) ∞8n“1anconverge si, y solo si, lo hace∞8n“man. Si convergen, entonces 8 ÿ n“1 an “ mÿ´1 n“1 an` 8 ÿ n“m an.
(II) ∞8n“1andiverge a8si, y solo si, lo hace∞8n“man.
(III) ∞8n“1andiverge a´8si, y solo si, lo hace∞8n“man.
(IV) ∞8n“1anes oscilante si, y solo si, lo es∞8n“man.
Demostración. Basta observar que para cadap°mes p ÿ n“1 an “ mÿ´1 n“1 an` p ÿ n“m an,
y que ∞m´1n“1 an es una cantidad fija (independiente de p), y aplicar la
1.3. Propiedades básicas de las series
Linealidad de la suma de series
Proposición 8.4. Sean∞8n“1any∞8n“1bndos series convergentes. Cualesquiera
que sean↵, P R, la serie∞8n“1p↵an` bnqes convergente y se tiene 8 ÿ n“1 p↵an` bnq “↵ 8 ÿ n“1 an` 8 ÿ n“1 bn.
Demostración. Basta tener en cuenta que
p ÿ n“1 p↵an` bnq “ ↵ p ÿ n“1 an` p ÿ n“1 bn
para todo naturalp.
Corolario 8.5. Si∞8n“1anconverge y∞8n“1bnno converge, entonces no converge
∞8
n“1pan`bnq.
Demostración. Si la serie∞8n“1pan`bnqconvergiera, entonces la serie 8 ÿ n“1 bn“ 8 ÿ n“1 ` pan`bnq ` p´1qan ˘
también convergería, según la Proposición8.4.
Ejemplo. ∞8n“1p1 n`
1
2nqno converge.
En efecto,∞8n“1 1
n no converge, mientras que
∞8
n“121n sí.
1.4. Series telescópicas
Series telescópicas
Proposición 8.6. Seanpanqypbnqdos sucesiones de números reales tales que pa-ra todonPNse cumplean“bn´bn`1. Entonces la serie∞8n“1an(denominada
serie telescópica) es convergente si, y solo si, la sucesiónpbnqconverge, en cuyo caso tenemos 8 ÿ n“1 an “b1´lím n bn.
Demostración. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie∞8n“1an son sp “ p ÿ n“1 an “ pb1 ´b2q ` pb2´b3q ` ¨ ¨ ¨ ` pbp´1´bpq ` pbp´bp`1q “b1´bp`1. Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 npn`1q.
La suma parcialp-ésima es simplemente sp “ p ÿ n“1 1 npn`1q “ p ÿ n“1 ´1 n ´ 1 n`1 ¯ “1´ 1 p`1,
con lo que límpsp “1. Es decir, la serie∞8n“1anconverge y su suma es1. 8 ÿ n“1 log´1` 1 n ¯ .
La suma parcial de ordenpes p ÿ n“1 an“ p ÿ n“1 log´1` 1 n ¯ “ p ÿ n“1 ` logpn`1q ´logn˘ “logpp`1q ´log 1 “logpp`1q,
que tiende a8. Es decir, la serie∞8n“1logp1`1{nqdiverge a8.
1.5. Criterios del Resto y de Cauchy
El Criterio del Resto
Proposición 8.7(Criterio del Resto). Si la serie∞8n“1anconverge, debe
cumplir-se quelímnan “0.
Demostración. Sipspqes la sucesión de las sumas parciales, es decirsp “∞pn“1an,
entonces, si la serie converge, existe y es finito el límitel “límpsp. Teniendo en
cuenta queap “sp´sp´1, parap•2, deducimos que
lím
Ejemplos. 8 ÿ n“1 ´ n n`1 ¯n . Como lím n ´ n n`1 ¯n “lím n 1 ` 1` 1 n ˘n “ 1 e ‰0,
el Criterio del Resto8.7 nos permite asegurar de esta manera que la serie estudiada no converge.
(Serie armónica) ÿ8
n“1
1
n.
Hay que ser muy cuidadosos con la aplicación del Criterio del Resto 8.7. Esta serie no converge, como ya hemos visto anteriormente.Sin embargo,
obsérvese que el término general de la serie verifica la condición del Criterio del Resto8.7, ya que límnp1{nq “ 0. Esto evidencia que dicho criterio es
una condiciónnecesaria, pero no suficiente.
El Criterio de Cauchy
Como ocurría con las sucesiones, o con las integrales impropias, a veces po-demos comprobar si una serie converge o no, sin necesidad de hallar su suma. Veremos numerosos criterios que nos permiten decidir esto. El que vamos a ver a continuación es especialmente importante, pues está en la base de muchos de los demás.
Teorema 8.8(Criterio de Cauchy para series). Una serie∞8n“1anes convergente
si, y solo si, para todo " ° 0 existe un n0 P N tal que, cualesquiera que sean m, nP Nconm •n •n0, se cumple
m ÿ k“n
ak †".
Demostración. La serie es convergente si, y solo si, lo es la sucesiónpsnqde sus
sumas parciales, lo que equivale a quepsnqsea una sucesión de Cauchy, y esto a
su vez no es otra cosa que la afirmación de que para cada" ° 0exista unn0 tal
que para cualesquieram, nPNconm •n •n0sea|sm´sn´1|†"; pero
sm´sn´1 “ m ÿ k“1 ak´ nÿ´1 k“1 ak “ m ÿ k“n ak.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n.
Veremos una vez más que la serie armónica no converge, comprobando esta vez que no se cumple la condición de Cauchy8.8. Para ello, sea"“1{2.
Ve-remos que, dado unn0 P Narbitrario, siempre podemos encontrarm, nPN
tales quem • n •n0 y∞mk“np1{kq• ". En efecto, seann “2n0´1`1y m“2n0. Entonces,m•n•n 0y m ÿ k“n 1 k •pm´n`1q 1 m “ p2 n0 ´2n0´1´1`1q 1 2n0 “ 1 2 “". 8 ÿ n“0 1 n!.
Esta serie converge ya que verifica la condición del Criterio de Cauchy8.8. (En realidad, ya sabemos por el Tema 5 que converge ae.) En efecto, para
un" °0arbitrario, fijemos unn0 •4tal que1{n0 †". Obsérvese entonces
que2k § k!sik • 4, así que, sim, n P Nson tales que m • n • n 0, se obtendrá m ÿ k“n 1 k! § m ÿ k“n 1 2k “ 1 2n ´ 1`1 2 ` 1 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2m´n ¯ “ 1 2n ¨ 1´ 1 2m´n`1 1´1 2 † 1 2n´1 § 1 n § 1 n0 † ".
2. Series de términos no negativos
2.1. Criterios de acotación y comparación
El Criterio de Acotación
El estudio del carácter de una serie se simplifica cuando esta es de términos no negativos.
Proposición 8.9(Criterio de Acotación). Sea ∞8n“1an una serie tal que an • 0
para cadanP N. Entonces∞8n“1anconverge si, y solo si, la sucesiónpsnqde sus
sumas parciales está acotada superiormente. En caso contrario, la serie diverge a8.
Demostración. Puesto que para cada n P N es sn`1 ´sn “ an`1 • 0, la
su-cesiónpsnqes creciente. Luego, o bien está acotada superiormente y converge, o
bien no está acotada superiormente y diverge a8.
Ejemplo. 8 ÿ n“0 1 n!.
Observemos que paran •1, siempre esn!•2n´1. Por tanto, cualquiera que
seapPN, p ÿ n“0 1 n! §1` p ÿ n“1 1 2n´1 “1`´1` 1 2` 1 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2p´1 ¯ “1`1´ 1 2p 1´ 12 †3. El Criterio de Comparación
Teorema 8.10(Criterio de Comparación, de Gauss). Sean∞8n“1any∞8n“1bndos
series tales que0§an §bnparan •n0. Si∞8n“1bnconverge, también converge
∞8
n“1an. En consecuencia, si∞8n“1andiverge, también lo hace∞8n“1bn.
Demostración. Sabemos que ∞8n“1an tiene el mismo carácter que ∞8n“n0an, y
que∞8n“1bn tiene el mismo carácter que∞n“n8 0bn. Denotando porpsnq la
suce-sión de sumas parciales de∞8n“n0any porptnqla de∞8n“n0bn, se sigue que para
cadan •n0essn §tn, luego siptnqestá acotada superiormente, también lo está psnq. Basta aplicar ahora el Criterio de Acotación8.9.
El Criterio de Comparación Asintótica
Teorema 8.11 (Criterio de Comparación Asintótica). Sean ∞8n“1an y ∞8n“1bn
series de términos no negativos. Supongamos que existelímn abnn “lPR.
(I) Sil † 8 y la serie ∞8n“1bn converge, entonces la serie∞8n“1an también
converge.
(II) Si 0 † l y la serie ∞n“18 bn diverge, entonces la serie ∞8n“1an también
diverge.
(III) Si0 † l † 8 entonces las dos series∞8n“1an y∞8n“1bn tienen el mismo
Demostración. Observemos en primer lugar que para que exista límnan{bndebe
serbn ‰0a partir de un determinado término, así que supondremos que esbn°0
para todonPN. Pasemos ahora a probar cada uno de los apartados.
(I) Sea r ° l. Entonces existe algúnn0 P N tal quean{bn † r para todo n•n0, es decir,0†an†rbnpara todon •n0. Si la serie
∞8
n“1bnconverge,
en-tonces también la serie∞8n“1rbnconverge y, por el Criterio de Comparación8.10,
la serie∞8n“1anconverge.
(II) Basta intercambiar en(I)los papeles depanqypbnqy tener en cuenta que
una serie de términos no negativos solo puede converger o diverger.
(III) Basta aplicar los apartados(I)y(II).
Un caso particular importante a la hora de aplicar el Criterio de Comparación Asintótica8.11 es cuando panq ypbnqson sucesiones equivalentes. Observemos
que en este caso se tiene límnan{bn “ 1, por lo que podemos aplicar el
aparta-do(III), y así las series∞8n“1any∞8n“1bntendrán el mismo carácter.
Ejemplo. 8 ÿ n“1 log´1` 1 n ¯ .
Basta observar que la sucesiónlogp1`1{nqes equivalente a la sucesión1{n,
por lo que nuestra serie tendrá el mismo carácter que la serie armónica∞8n“11{n,
es decir, diverge.
Hecho de otra forma, lím n log´1`n1¯ 1 n “lím n log ´ 1` 1 n ¯n “loge“1.
Por tanto, llegamos también así a la conclusión de que esta serie tiene el mismo carácter que la armónica y, por tanto, diverge.
2.2. Criterios de la Raíz y del Cociente
Criterios de la Raíz y del Cociente
La comparación con las series geométricas proporciona dos criterios muy úti-les en la práctica: el Criterio de la Raíz8.12y el Criterio del Cociente8.13. Des-pués veremos, en los teoremas8.24y8.25, versiones más generales para series de términos cualesquiera, así que dejamos la demostración para entonces.
Teorema 8.12(Criterio de la Raíz, de Cauchy). Sea∞8n“1anuna serie de
térmi-nos no negativos.
(I) Silím supn?nan†1, la serie
∞8
(II) Silím supn ?nan°1, la serie∞8n“1anes divergente.
Teorema 8.13(Criterio del Cociente, de D’Alembert). Sea∞8n“1anuna serie de
términos positivos.
(I) Silím supnan`1{an†1, la serie∞8n“1anes convergente.
(II) Silím infnan`1{an°1, la serie∞8n“1anes divergente.
Observaciones.
Fijémonos en que en el Criterio de la Raíz8.12solamente aparece implicado el límite superior, mientras que en el del Cociente8.13hay que considerar límite superior e inferior. De todas formas, en la mayor parte de los casos prácticos, aparece un límite, así que en general no es necesario hacer esta distinción.
Si los límites que aparecen en los dos criterios anteriores valen1, estos no
dan información.
Siempre que el Criterio del Cociente8.13da información, también da infor-mación el Criterio de la Raíz8.12. A veces, este último da más información que el primero. Esto se debe a que, como hemos visto en el Tema 5, los límites superior e inferior de ?na
n están situados entre los límites superior
e inferior dean`1{an, así que cuando, por ejemplo, lím supnan`1{an †1,
también se cumple que lím supn ?nan †1.
Sin embargo, en muchos casos prácticos, ambos dan exactamente la misma información. En efecto, la mayoría de las veces no nos hará falta conside-rar límites superior e inferior, ya que existe límite. Obsérvese que, cuando existe límnan`1{an, también existe límn?nan, y además ambos coinciden.
Así que ambos criterios dan en este caso la misma información.
En el Criterio del Cociente 8.13, la condición utilizada para la divergen-cia de que lím infnpan`1{anq ° 1 puede ser sustituida por la más débil an`1{an • 1, si n • n0. En efecto, en este caso la sucesión panq será
creciente a partir del términon0-ésimo, lo cual hará imposible que la serie
verifique el Criterio del Resto8.7.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n.
En este caso, ninguno de los dos criterios nos resuelve el problema. En efecto, si llamamosan“1{n, tenemos que
lím n an`1 an “límn 1{pn`1q 1{n “límn n n`1 “1,
así que el Criterio del Cociente 8.13 no da información. Por las observa-ciones que hemos hecho hace un momento, podemos adivinar que tampoco dará información el Criterio de la Raíz8.12, pero vamos a hacer los cálculos de todas maneras. Se tiene
lím n n ? an “lím n 1 n ? n “1,
con lo que el Criterio de la Raíz8.12no da información, como ya habíamos vaticinado.
Observemos que en este caso, en que el límite sale1en cualquiera de los
dos criterios, ya sabíamos anteriormente que la serie no converge.
8 ÿ n“1
1
n2.
Tampoco para esta serie nos da información ninguno de los dos criterios. En efecto, sian“1{n2, se tiene lím n an`1 an “límn 1{pn`1q2 1{n2 “límn ´ n n`1 ¯2 “1.
El lector podrá verificar fácilmente que el límite del Criterio de la Raíz8.12
también vale1.
En este caso, a diferencia de lo que ocurría en el ejemplo anterior, podemos comprobar fácilmente que la serie sí que converge. En efecto, si n • 2,
tenemos que 1 n2 † 1 pn´1qn “ 1 n´1 ´ 1 n.
Como la serie ∞8n“2`1{pn´1q ´1{n˘ converge (por ser telescópica), el
Criterio de Comparación??nos dice que∞8n“11{n2también converge. 8
ÿ n“0
1
n!.
Aunque hemos comentado que, en líneas generales, ambos criterios dan la misma información, frecuentemente hay que elegir uno u otro dependiendo
de cuál de ellos nos dé cálculos más sencillos. Para la serie que estudiamos en este momento, la existencia de un factorial en el denominador nos ha-ce pensar que la aplicación del Criterio del Cociente8.13es más sencilla, ya que se produce una conveniente simplificación. En efecto, si llamamos
an“1{n!, obtenemos lím n an`1 an “límn 1{pn`1q! 1{n! “ n! pn`1q! “ 1 n`1 “0†1.
En consecuencia, la serie converge (cosa que ya habíamos visto anterior-mente de unas cuantas maneras).
8 ÿ n“2
1
plognqn.
En este otro caso, la presencia de una potencian-ésima en el denominador
nos sugiere utilizar el Criterio de la Raíz8.12. Seaan “ plog1nqn. Entonces
lím n n ? an “lím n 1 logn “0†1,
y el Criterio de la Raíz8.12nos da la convergencia de la serie.
8 ÿ n“1 an, dondean“ # 1 2n, sin“k!, k PN, 1 3n, en caso contrario.
Este es un ejemplo en que el Criterio del Cociente8.13no da información, mientras que el Criterio de la Raíz8.12, sí.
Intentemos primero aplicar el Criterio del Cociente 8.13. Estudiemos los diferentes valores dean`1{ansegún quenon`1sean o no factoriales. Si n“1, tantoncomon`1son factoriales, así que
a2 a1 “ 1{22 1{2 “ 1 2.
Sin “k!para unk ‰1, observamos quen`1no es un factorial, así que
an`1 an “ 1{3n`1 1{2n “ 1 3¨ ´2 3 ¯n .
Sin“k!´1, dondek PNzt1,2u, entoncesnno es un factorial, peron`1
sí, de modo que an`1 an “ 1{2n`1 1{3n “ 1 2¨ ´3 2 ¯n .
En todos los demás casos, resulta que nin ni n`1son factoriales, y por tanto an`1 an “ 1{3n`1 1{3n “ 1 3. Resumiendo, an`1 an “ $ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ % 1{2, sin “1, 1 3 ¨ ´ 2 3 ¯n , sin “k!, kP Nzt1u, 1 2 ¨ ´ 3 2 ¯n , sin “k!´1, k PNzt1,2u,
1{3, todos los demás casos.
Observamos así que la sucesiónpan`1{anqtiene tres límites
subsecuencia-les, que son 0, 1{3 e 8. En consecuencia, lím infnan`1{an “ 0 † 1 y
lím supnan`1{an “ 8 °1, y ninguna de las dos cosas sirven para obtener
información del Criterio del Cociente8.13.
Veamos ahora qué pasa si aplicamos el Criterio de la Raíz 8.12. Es inme-diato que n ? an “ # 1 2, sin“k!, k PN, 1 3, en caso contrario.
Esto nos dice que los límites subsecuenciales de la sucesiónp?nanqson1{2
y1{3. Por tanto, lím supn ?nan “ 1{2 †1. El Criterio de la Raíz8.12 nos
dice de esta forma que la serie converge.
El Criterio de Raabe
El Criterio de Raabe 8.14, que estudiamos a continuación, es un interesante complemento para los dos anteriores. Normalmente conduce a cuentas más com-plicadas que las que produce el Criterio del Cociente8.13, pero funciona a veces cuando este no. Por eso, la estrategia general será intentar aplicar el Criterio del Cociente8.13 y,si esto no funciona, pasar al Criterio de Raabe8.14 a continua-ción.
Teorema 8.14(Criterio de Raabe). Sea∞8n“1anuna serie de términos positivos.
(I) Silím infnnp1´an`1{anq°1, la serie∞8n“1anes convergente.
(II) Si existen0 P Ntal quenp1´an`1{anq†1para todon •n0, en particular
Demostración.
(I). Sea l “ lím infnnp1´an`1{anq, y elijamos un r tal que 1 † r † l.
Como lím inf n n ´ 1´an`1 an ¯ °r,
existe unn0 PRtal que
n´1´ an`1 an ¯ °r sin •n0. de donde nan`1 †pn´rqan sin•n0.
De aquí obtenemos que
pn´1qan´nan`1 °pn´1qan´ pn´rqan
“ pr´1qan sin•n0. (1)
Comopr´1qan°0, esta última desigualdad implica que la sucesiónppn´1qanq
es decreciente a partir deln0-ésimo término. Como además resulta que es
positi-va, queda probado así que la sucesiónppn´1qanqes una sucesión convergente.
Esto implica que la serie telescópica∞8n“1ppn´1qan´nan`1qes convergente.
Teniendo en cuenta la desigualdad (1), el Criterio de Comparación8.10 asegura que∞8n“1anes convergente.
(II) Supongamos ahora que para un cierto n0 P N(que suponderemos
dife-rente de1) se tiene
n´1´an`1
an ¯
†1 para todon•n0.
Esta desigualdad puede ser reescrita como sigue:
nan`1 °pn´1qan para todon•n0.
Por tanto, la sucesiónppn´1qanqes una sucesión creciente a partir deln0-ésimo
término. En consecuencia, pn´1qan •pn0´1qan0 para todon •n0, o sea, an • p n0´1qan0 n´1 para todon •n0.
Empleando el Criterio de Comparación 8.10, y teniendo en cuenta que la serie
∞8
n“2p1{pn ´1qqes divergente (¡la serie armónica!), resulta que∞8n“1an es
Observaciones.
Hagamos notar, comparando con el papel que tienen los límites en los cri-terios del Cociente 8.13 y la Raíz 8.12, que en el Criterio de Raabe 8.14
este papel aparece completamente invertido. Queremos decir con esto que en el Criterio del Cociente8.13, por ejemplo, si el límite inferior es mayor que1, entonces la serie diverge; en el Criterio de Raabe8.14, en cambio, es
cuando el límite superior es menor que1cuando se obtiene la divergencia.
Siempre que el Criterio del Cociente8.13da información, también la da el de Raabe8.14. El recíproco es falso.
En efecto, supongamos que el Criterio del Cociente8.13nos informa de que la serie∞8n“1anconverge, es decir, tenemos que
lím sup n an`1 an “ ↵†1. Entonces lím inf n ´ 1´an`1 an ¯ “1´↵°0, de donde lím inf n n ´ 1´ an`1 an ¯ “ 8 ¨ p1´↵q “ 8°1.
Por tanto, el Criterio de Raabe 8.14 también nos avisa de la convergencia de la serie.
Si, por el contrario, el Criterio del Cociente8.13nos da que la serie diverge, es decir, se tiene lím inf n an`1 an “ ° 1, entonces será lím sup n ´ 1´an`1 an ¯ “1´ †0, de donde lím sup n n ´ 1´ an`1 an ¯ “ 8 ¨ p1´ q “ ´8†1,
así que también en este caso el Criterio de Raabe 8.14 coincide en que la serie diverge.
Sin embargo, cuando el Criterio del Cociente 8.13 da información, los lí-mites que aparecen en el Criterio de Raabe 8.14 dan siempre los valores extremos, es decir,8 y´8. Como veremos, estos límites en ocasiones re-sultan ser números reales y, si son ambos menores que1o ambos mayores
que1, en estos casos el Criterio de Raabe8.14da información, mientras que
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n2.
Sea an “ 1{n2. Ya hemos visto que el Criterio del Cociente 8.13 no
re-suelve la convergencia de esta serie. Vamos a aplicar ahora el Criterio de Raabe8.14. Tenemos n´1´ an`1 an ¯ “n´1´ n 2 pn`1q2 ¯ “ 2n2`n n2`2n`1 ›Ñn 2°1.
En consecuencia, esta serie converge.
8 ÿ n“1 1¨3¨5¨ ¨ ¨ p2n´1q 2nn! . Si escribimos an “ 1¨3¨5¨ ¨ ¨ p2n´1q 2nn! , entonces an`1 an “ 1¨3¨5¨ ¨ ¨ p2n´1qp2n`1q{p2n`1pn`1q!q 1¨3¨5¨ ¨ ¨ p2n´1q{p2nn!q “ 2n`1 2pn`1q “ 2n`1 2n`2 ›nÑ1,
así que el Criterio del Cociente8.13no resuelve nuestro problema. Con el Criterio de Raabe8.14, en cambio, obtenemos
n´1´an`1 an ¯ “n´1´ 2n`1 2n`2 ¯ “ n 2n`2 ›nÑ 1 2 †1.
De aquí se sigue que la serie diverge.
2.3. Criterios para series de términos no negativos y
decrecien-tes
El Criterio de Abel-Pringsheim
Cuando trabajamos con series de términos no negativos y decrecientes, se pue-de obtener una mejora pue-del Criterio pue-del Resto8.7.
Teorema 8.15(Criterio de Abel-Pringsheim). Seapanquna sucesión decreciente de términos no negativos. Si la serie∞8n“1anconverge, entonceslímnnan“0.
Demostración. Como la serie∞8n“1anconverge, verificará el Criterio de Cauchy 8.8 y por tanto, dado" ° 0, existe un n0 P Ntal que si n • m • n0 entonces
∞n
k“mak † "{2. En particular, para todon •n0, será∞nk“n0ak †"{2. Como la
sucesiónpanqes decreciente, obtenemos que
pn´n0`1qan§an0 `an0`1` ¨ ¨ ¨ `an´1`an “ n ÿ k“n0 ak † " 2.
Por otro lado, sin•2n0 será
n“2n´n§2n´2n0 †2pn´n0`1q.
Teniendo en cuenta que además2n0 •n0, se tendrá para todon •2n0que nan§2pn´n0`1qan†2¨
"
2 “".
Hemos probado de esta manera que límnnan“0.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n.
Obviamente, sian “1{n, obtenemos quenan “1Û0, así que el Criterio
de Abel-Pringsheim8.15 prueba de forma extremadamente sencilla que la serie armónica diverge.
8 ÿ n“2
1 logn.
Sian “1{logn, la sucesiónpanqes positiva y decreciente y ademásnan“ n{lognÑ 8, así que nuestra serie diverge.
8 ÿ n“2
1
nlogn.
Veremos con este ejemplo que el recíproco del Criterio de Abel-Prings-heim8.15no es cierto. Es decir, este criterio, como ocurría con el del Res-to8.7, es una condición necesaria, pero no suficiente.
Sian “ 1{pnlognqes el término general de esta serie, podemos observar
que la sucesiónpanq(que está definida solo a partir den “2) es
decrecien-te y positiva. Además, la sucesión nan “ 1{logn tiende obviamente a0.
En efecto, si desarrollamos las sumas parciales (de orden una potencia de2)
de esta última serie y agrupamos términos de forma conveniente, obtenemos
2k ÿ n“2 1 nlogn “ 1 2 log 2 ` ´ 1 3 log 3 ` 1 4 log 4 ¯ ` ¨ ¨ ¨ `´p 1 2k´1`1qlogp2k´1`1q `p 1 2k´1`2qlogp2k´1`2q` ¨ ¨ ¨ ` 1 2klog 2k ¯
• 2 log 21 `´4 log 41 `4 log 41 ¯` ¨ ¨ ¨ `´ 1 2klog 2k ` 1 2klog 2k ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2klog 2k ¯ “ 1 2 log 2 ` 2 4 log 4 ` ¨ ¨ ¨ ` 2k´1 2klog 2k “ 1 2 log 2 ` 1 2 log 4 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2 log 2k “ 1 2 log 2 ´ 1` 1 2` ¨ ¨ ¨ ` 1 k ¯ .
Como las sumas parciales de la serie armónica no están acotadas, esto obli-ga a que las de la serie∞8n“21{pnlognqtampoco lo estén, así que, por el
Criterio de Acotación8.9, esta serie diverge.
8 ÿ n“1 an, dondean“ # 1 n sines un cuadrado, 1 n2 en caso contrario.
Con este ejemplo mostraremos que la hipótesis de monotonía que aparece en el Criterio de Abel-Pringsheim8.15no es superflua.
Es evidente que nan “ # 1 sines un cuadrado, 1 n en caso contrario,
así que la sucesión pnanq no converge a 0, ya que tiene una subsucesión
(lapk2a
k2q) que claramente converge a1. Sin embargo,∞8n“1an converge,
descomponer-la en dos, obteniendo k ÿ n“1 an “ k ÿ n“1 nes un cuadrado an ` k ÿ n“1 nno es un cuadrado an “ k ÿ n“1 nes un cuadrado 1 n ` k ÿ n“1 nno es un cuadrado 1 n2 § k ÿ n“1 1 n2 ` k ÿ n“1 1 n2 “2 k ÿ n“1 1 n2.
Como la sucesión∞8n“1p1{n2qconverge, sus sumas parciales estarán
acota-das superiormente y, según la desigualdad que acabamos de probar, también estarán acotadas superiormente las sumas parciales de∞8n“1an. Esto
impli-ca, según el Criterio de Acotación8.9, que∞8n“1anconverge.
Así pues, la serie ∞8n“1an converge, pero la sucesión pnanq no converge
a 0. Esto parece contradecir el Criterio de Abel-Pringsheim 8.15, pero no
es así. Lo que ocurre es que la sucesiónpanqno es decreciente. Esto resulta
evidente si enumeramos sus primeros términos:
1,1 4, 1 9, 1 4, 1 25, 1 36, 1 49, 1 64, 1 9, . . . El Criterio de Condensación
El siguiente criterio muestra que para ver el comportamiento de una serie
∞8
n“0an de términos positivos y decrecientes no es necesario considerar todos
los términos, ya que dicho comportamiento se “condensa” en tan solo unos pocos, por ejemplo, los de la formapa2kq.
Teorema 8.16(Criterio de Condensación, de Cauchy). Sea∞8n“1anuna serie de
términos positivos tal que panq es una sucesión decreciente. Entonces ∞8n“1an
converge si, y solo si, lo hace la serie∞8k“02ka 2k.
Demostración. De acuerdo con el Criterio de Acotación 8.9, solo debemos pre-guntarnos cuándo las sumas parciales sp “ ∞pn“1an de la serie constituyen una
sucesión acotada. Por otra parte, dado que la sucesiónpspqes claramente
crecien-te, pueden darse solo dos casos.
Sipspqestá acotada, es evidente que todas sus subsucesiones serán también
acotadas.
Si pspq no está acotada, entonces diverge a 8, y todas sus subsucesiones
Esto quiere decir que todas las subsucesiones depspqcomparten la misma
conduc-ta en cuanto a acoconduc-tación: o son todas acoconduc-tadas, o son todas no acoconduc-tadas. Por conduc-tanto, para ver si la sucesión de sumas parcialespspqes acotada o no, bastará que
estu-diemos una de sus subsucesiones, por ejemplo,ps2pq. En consecuencia,
conside-raremos a partir de ahora tan solo las sumas parciales de la formas2p “∞2 p
k“0ak.
Definamos, por otra parte, las sumas parcialestp “∞pk“02ka2k. Desarrollando
la suma parcials2p y agrupando términos, y teniendo en cuenta que la sucesión
panqes decreciente, obtenemos s2p “ 2p ÿ n“1 an “a1`a2` pa3`a4q ` pa5`a6`a7 `a8q ` ¨ ¨ ¨ ` pa2p´1`1` ¨ ¨ ¨ `a2pq •a1`a2`2a4`4a8` ¨ ¨ ¨ `2p´1a2p “ a1 2 ` 1 2 p ÿ k“0 2ka2k • 1 2tp.
Por otro lado, podemos optar por agrupar los términos des2p de manera
dife-rente: s2p “ 2p ÿ n“1 an “a1` pa2`a3q ` pa4`a5`a6`a7q ` ¨ ¨ ¨ ` pa2p´1 ` ¨ ¨ ¨ `a2p´1q `a2p §a1`2a2`4a4` ¨ ¨ ¨ `2p´1a2p´1 `2pa2p “ p ÿ k“0 2ka2k “tp.
Hemos probado así que
1
2tp §s2p §tp.
En consecuencia, las sucesiones de sumas parciales ptpq y ps2pq son, o ambas
acotadas, o ambas no acotadas.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n.
Dado que la sucesiónp1{nq es positiva y decreciente, podemos aplicar el
Criterio de Condensación8.16, concluyendo que esta serie diverge, ya que también lo hace la serie∞8n“02kp1{2kq “ ∞8
n“01. 8 ÿ n“2 1 logn.
Según el Criterio de Condensación8.16, basta ver si converge o no la serie
8 ÿ n“1 2k 1 log 2k “ 1 log 2 8 ÿ n“1 2k k .
Como la serie∞8n“1p2k{kqdiverge, llegamos a la conclusión de que también
lo hace∞8n“2p1{lognq.
Podemos observar en este ejemplo que este criterio es generalmente bastan-te útil cuando el término general de la serie contiene un logaritmo. La razón es que al pasar de una serie a la otra,lognse transforma enlog 2k“klog 2,
con lo que el logaritmo queda incorporado a una constante que no depen-de depen-de k, lo que puede simplificar notablemente la serie. Esto lo veremos
también en el siguiente ejemplo.
8 ÿ n“2
1
nlogn.
Esta serie tiene la misma conducta que la serie
8 ÿ k“1 2k 1 2klog 2k “ 1 log 2 8 ÿ k“1 1 k.
Como la serie armónica diverge, concluimos que la serie que estamos estu-diando también diverge.
El Criterio de la Integral
El criterio que vamos a estudiar ahora es especialmente interesante, pues evi-dencia una fuerte relación entre las series y las integrales impropias.
Teorema 8.17(Criterio de la Integral, de Cauchy). Seaf: r1,8q Ñ r0,8q una función decreciente. Entonces
(I) El límitelímnp∞nk“1fpkq ´
≥n
1 fqexiste y es finito.
(II) La integral impropia≥18f es convergente si, y solo si, la serie∞8n“1fpnq converge.
Demostración. (I). Sea dn “ n ÿ k“1 fpkq ´ ªn 1 f.
Para ver quepdnqes una sucesión convergente, veremos que es monótona y
aco-tada. Observemos en primer lugar que, por serf decreciente, se tiene fpn`1q§fpxq§fpnq sixP rn, n`1s, de donde fpn`1q§ ªn`1 n f §fpnq.
De aquí obtenemos por un lado que
dn`1´dn “ ˆnÿ`1 k“1 fpkq ´ ªn`1 1 f ˙ ´ ˆÿn k“1 fpkq ´ ªn 1 f ˙ “ ˆnÿ`1 k“1 fpkq ´ n ÿ k“1 fpkq ˙ ´ ˆªn`1 1 f ´ ªn 1 f ˙ “fpn`1q ´ ªn`1 n f §0.
Esto nos indica que la sucesiónpdnqes decreciente.
Por otro lado, podemos escribir
dn“ n ÿ k“1 fpkq ´ nÿ´1 k“1 ªk`1 k f “fpnq ` nÿ´1 k“1 ˆ fpkq ´ ªk`1 k f ˙ •0.
Así, resulta que la sucesión pdnq es siempre positiva y, por tanto, acotada
infe-riormente. Concluimos, según el Teorema de la Convergencia Monótona 4.9, que dicha sucesión tiene límite finito.
(II). Llamemos C “lím n ˆÿn k“1 fpkq ´ ªn 1 f ˙ .
Según el apartado(I), sabemos queCexiste y es finito. Podemos escribir k ÿ n“1 fpnq “ ˆÿk n“1 fpnq ´ ªk 1 f ˙ ` ªk 1 f.
Pasando al límite en ambos miembros, obtenemos que 8 ÿ n“1 fpnq “ C` ª8 1 f,
lo que nos permite concluir que la serie ∞8n“1fpnq y la integral impropia ≥81 f
son, o ambas finitas, o ambas infinitas.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 1 n.
El Criterio de la Integral8.17 resulta útil para tratar series porque nos per-mite pasar al estudio de una integral impropia. ¿Qué ventaja ofrece esto? Pues que en numerosas ocasiones la integral impropia se puede calcular explícitamente, mientras que no es tan fácil hacer lo mismo con una serie. En el caso que nos ocupa, el Criterio de la Integral 8.17 nos dice que, en lugar de la serie, podemos estudiar la integral impropia≥18p1{xqdx.
Calcu-lando la integral (cosa que en realidad ya hemos hecho antes), podemos ver que diverge, ya que ª
8 1 dx x “logx ˇ ˇ ˇ8 1 “ 8. En consecuencia,∞8n“1p1{nqdiverge. 8 ÿ n“2 1 nlogn.
Aplicando el Criterio de la Integral8.17, debemos estudiar la convergencia de la integral impropia≥82 `1{pxlogxq˘dx. Calculemos explícitamente esta
integral, realizando el cambio de variableu“logx,du“dx{x.
ª8 2 dx xlogx “ ª8 log 2 du u “logu ˇ ˇ ˇ8 log 2“ 8.
Se concluye de esta manera que la serie que estudiamos diverge.
ª8
0
e´x2dx.
El Criterio de la Integral8.17tiene la particularidad de que también se pue-de usar en el sentido contrario, para estudiar convergencia pue-de integrales im-propias, pasando de ellas al estudio de series. La ventaja en este caso es
que a las series se les pueden aplicar muchos criterios que no existen para integrales impropias.
En el ejemplo que estamos viendo, la integral impropia no se puede cal-cular explícitamente de forma sencilla; sin embargo, la convergencia de la serie correspondiente es muy fácil de establecer. Según el Criterio de la In-tegral8.17, deberemos estudiar la convergencia de la serie ∞8n“1e´n2. Si
aplicamos el Criterio de la Raíz8.12, obtenemos lím n n ? e´n2 “lím n e ´n “0†1,
así que la serie∞8n“1e´n2 converge, y también lo hace la integral impropia
≥8 0 e´x
2
dx. Algunas aplicaciones
(I) Laconstante de EuleroEuler-Mascheroni
“lím n ´ÿn k“1 1 k ´logn ¯ .
Aplicando el Criterio de la Integral8.17a la funciónfdada porfpxq “ 1{x,
y teniendo en cuenta que
ªn 1
dx
x “logn,
podemos ver que
n ÿ k“1 1 k ´logn “ n ÿ k“1 1 k ´ ªn 1 dx x
tiene un límite finito.
(II) Lafunción⇣ de Riemann, definida paras°1por
⇣psq “ 8 ÿ n“1 1 ns.
El Criterio de la Integral8.17 permite comprobar con facilidad que la serie
∞8
múltiples aplicaciones, especialmente en Teoría de Números (está muy rela-cionada con la distribución de los números primos), aunque también en otras áreas tales como la Física, la Teoría de Probabilidades y Estadística Aplica-da. Hay expresiones más o menos sencillas para⇣p2nq, n P N, que fueron
halladas por Euler. Se sabe, por ejemplo, que⇣p2q “⇡2{6,⇣p4q “⇡4{90. . .
Sin embargo, hasta fechas muy recientes (Apéry, 1978) no se había podido probar tan siquiera que⇣p3qes irracional.
3. Criterios para series con términos sin signo fijo
3.1. Criterio de Comparación general
El Criterio de Comparación, de nuevo
El Criterio de Comparación 8.10, que ya vimos para series de términos no negativos, puede ser generalizado a una versión del mismo válida para series con términos sin signo fijo.
Proposición 8.18(Criterio de Comparación, de Gauss). Sean∞8n“1an, ∞8n“1bn
y ∞8n“1cn tres series. Supongamos que, para todo n P N, an § bn § cn.
Si∞8n“1any∞8n“1cnconvergen, también lo hace∞8n“1bn.
Demostración. Como ∞8n“1an y ∞8n“1cn convergen, también lo hará
∞8
n“1pcn´anq. Como además se tiene0§bn´an§cn´an, el Criterio de
Com-paración (para series de términos no negativos) 8.10 nos da que ∞8n“1pbn ´anq
converge. Se concluye que la serie ∞8n“1bn “ ∞8n“1pan ` pbn ´anqq también
converge.
3.2. La series alternadas y el Criterio de Leibniz
El Criterio de Leibniz
Unaserie alternadaes aquella en que el signo de los términos va alternando entre positivo y negativo. O sea:
Definición 8.19. Decimos que una serie∞8n“1anesalternadasi para todon PN
esanan`1 †0.
Para este tipo de series, obtenemos un criterio de una sorprendente simplici-dad:
Teorema 8.20 (Criterio de Leibniz). Sea ∞8n“1an una serie alternada tal que p|an|qes decreciente y convergente a0. Entonces∞8n“1anconverge.
Demostración. Si sn denota la suma parcial n-ésima, tenemos que mostrar que
la sucesión psnq tiene límite finito. Para ello, consideraremos por separado las
subsucesionesps2nqyps2n´1q.
Supongamos, sin falta de generalidad, quea1 °0. Entonces, para todon PN,
se tienean“ p´1qn`1|an|. Teniendo en cuenta que|a2n`1|•|a2n`2|, obtenemos
que
s2n`2´s2n “a2n`1`a2n`2 “|a2n`1|´|a2n`2|•0.
Esto prueba que la sucesiónps2nqes creciente. Del mismo modo, s2n`1´s2n´1 “a2n`a2n`1 “ ´|a2n|`|a2n`1|§0,
así queps2n´1qes decreciente. Por otra parte,
s2n“s2n´1`a2n “s2n´1´|a2n|§s2n´1.
En consecuencia, ps2nq está acotada superiormente por s1 “ a1 y ps2n´1q está
acotada inferiormente pors2 “ a1 `a2. En resumen, ambas subsucesiones son
convergentes puesto que son monótonas y acotadas. Además comos2n“s2n´1` a2n ya2n Ñ0, las dos deberán tener el mismo límite, así quepsnqconverge, que
es lo que deseábamos probar.
Ejemplos.
(Serie armónica alternada) ÿ8
n“1
p´1qn`1
n .
Obviamente, esta serie es alternada. Como además1{n Ñ0, el Criterio de
Leibniz8.20dice que la serie converge.
8 ÿ n“2
p´1qnlogn
n .
Es obvio que la serie es alternada y quelogn{n Ñ 0. Bastaría ver que la
sucesiónplogn{nq es decreciente, lo que es falso, pero sí es cierto que es
decreciente a partir den“3. En efecto, la función
fpxq “ logx x ,
definida enp0,8q, tiene por derivada
f1pxq “ 1´logx x2
y, por tanto, será estrictamente decreciente en re,8q. Esto implica que si n•3se tiene logn n ° logpn`1q n`1 .
En consecuencia, aplicando el Criterio de Leibniz 8.20, la serie estudiada resulta ser convergente.
3.3. Series absolutamente convergentes
Series absolutamente convergentes
Otra estrategia para manejar series con términos sin signo fijo consiste en es-tudiar la serie de los valores absolutos de los términos.
Definición 8.21. Una serie∞8n“1an se dice que esabsolutamente convergentesi
la serie∞8n“1|an|es convergente.
Proposición 8.22. Si ∞8n“1an y ∞8n“1bn son absolutamente convergentes
y↵, P R, entonces∞n“18 p↵an` bnqtambién es absolutamente convergente.
Demostración. Este hecho se deduce de la desigualdad
|↵an` bn|§|↵||an|`| ||bn|
y el Criterio de Comparación8.10.
La clave que da utilidad a la convergencia absoluta es lo que sigue a continua-ción.
Proposición 8.23. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Dicho de otro modo, si∞8n“1|an|converge, también converge∞8n“1any, en ese caso,
8 ÿ n“1 an § 8 ÿ n“1 |an|.
Demostración. Supongamos que∞8n“1|an|converge. Como´|an| § an § |an|,
el Criterio de Comparación8.10nos dice que∞8n“1antambién converge.
Por otra parte, para cadakPNse tiene k ÿ n“1 an § k ÿ n“1 |an|
por la Desigualdad Triangular 1.29. Pasando al límite (una vez que ya sabemos que las dos series convergen),
8 ÿ n“1 an § 8 ÿ n“1 |an|.
Ejemplos. 8 ÿ n“1 ensenn n! .
Esta serie no tiene signo fijo. Veamos qué ocurre si en vez de estudiar es-ta serie direces-tamente, examinamos la serie de los valores absolutos de sus términos. Como esta última es de términos no negativos, podemos aplicarle muchos más criterios. Tenemos que ensenn n! § en n!.
Aplicando el Criterio del Cociente8.13,
en`1{pn`1q!
2n{n! “ e
n`1 ›Ñ0†1,
así que ∞8n“1en{n! converge, y, por el Criterio de Comparación 8.10, la
serie que estamos estudiando converge absolutamente.
8 ÿ n“1
p´1qn`1
n .
Ya hemos visto que esta serie, la armónica alternada, es convergente. Sin embargo, la estrategia del ejemplo anterior no se puede utilizar en este caso, pues esta serie no es absolutamente convergente. En efecto,
8 ÿ n“1 p´1qn`1 n “ 8 ÿ n“1 1 n, que diverge.
Volveremos a la convergencia absoluta un poco más adelante.
3.4. Criterios generales de la Raíz y del Cociente
El Criterio de la Raíz de nuevo
A continuación volvemos a los Criterios de la Raíz ?? y del Cociente 8.13, en unas versiones más generales que las que dimos anteriormente. Como se re-cordará, cuando vimos estos resultados nos saltamos las demostraciones. En esta ocasión sí que probamos estos resultados.
(I) Silím supn n a
|an|†1, la serie∞8n“1anconverge absolutamente.
(II) Silím supn n a |an|°1, la serie∞8n“1anno converge. Demostración. (I) Sea L “ lím supn n a
|an| † 1, y consideremos c tal que L † c † 1.
Entonces existirá algúnn0 PNtal que n a
|an|†cpara todon •n0. Por lo tanto,
0§|an|†cn, n•n0.
Como 0 † c † 1, la serie geométrica ∞8n“0cn converge y, por el Criterio de
Comparación8.10, también lo hace la serie∞8n“1|an|. (II) En este caso, tendremos que an |a
n|•1para infinitos naturalesn, y para
estos mismos naturales se tendrá que|an|•1. Se deduce que el límite depanqno
puede ser0y, en consecuencia, la serie∞8n“1anno converge.
Observación. Para la divergencia, la condición de que lím supn n a
|an| ° 1 se
puede sustituir por la más débil de que existan infinitos naturales n tales que
n
a
|an|•1(como se evidencia en la demostración). El Criterio del Cociente de nuevo
Teorema 8.25(Criterio del Cociente, de D’Alembert). Sea∞8n“1anuna serie de
términos no nulos.
(I) Silím supn|an`1|{|an|†1, la serie∞8n“1anconverge absolutamente.
(II) Silím infn|an`1|{|an|°1, la serie∞8n“1anno converge.
Demostración.
(I) Supongamos queL“lím supn|an`1|{|an|†1y seactal queL†c†1.
Entonces existirá algúnn0 P N tal que|an`1|{|an| † cpara todon • n0. Por lo
tanto, |an`1| § c|an| si n • n0. Consideremos la sucesión de sumas parciales sk “∞kn“1|an|. Sik •n0 se tendrá
|sk`2´sk`1|“|ak`2|§c|ak`1|“c|sk`1´sk|.
Es decir, la sucesión pskqk•n0 es contractiva y por tanto converge. Esto implica
que la serie∞8n“1|an|es convergente.
(II) Existirá un n0 P Ntal que si n •n0 entonces|an`1|{|an|•1, es decir,
|an`1|•|an|. En consecuencia, la sucesiónp|an|qn•n0 es creciente y por tanto no
puede converger a 0. Esto implica claramente que la serie ∞8n“1an
no converge.
Observación. La condición para la divergencia de que lím infn|an`1|{|an| ° 1
puede ser sustituida por la condición de que existan0 PNtal que|an`1|{|an|•1
3.5. Criterios de Abel y Dirichlet
Una consecuencia de la Fórmula de Sumación
Recordemos la Fórmula de Sumación de Abel, que ya utilizamos anteriormen-te con el fin de probar uno de los anteriormen-teoremas del valor medio inanteriormen-tegral.
Lema(Fórmula de Sumación, de Abel). Sean panqy pbnqdos sucesiones, y lla-memos, para todonP N,An“∞nk“1ak. Entonces
n ÿ k“1 akbk “Anbn`1` n ÿ k“1 Akpbk´bk`1q.
Este resultado tiene la siguiente consecuencia, que utilizaremos para probar los dos criterios siguientes.
Lema 8.26. Seanpanquna sucesión y seapbnquna sucesión monótona y acotada. Supongamos que la sucesión de sumas parcialesAn“∞nk“1akes acotada y que
la sucesiónpAnbn`1qconverge. Entonces también convergerá la serie∞8n“1anbn.
Demostración. Teniendo en cuenta que la sucesión pbnq es monótona y
conver-gente, se tendrá que la serie (telescópica)
8 ÿ n“1 |bn´bn`1|“ ˘ 8 ÿ n“1 pbn´bn`1q
es convergente. Además, si definimosK “suptAn|n PNu, se tendrá
|Anpbn´bn`1q|§K|bn´bn`1|,
así que, por el Criterio de Comparación 8.10, la serie ∞8n“1Anpbn ´ bn`1q es
(absolutamente) convergente. Como estamos suponiendo quepAnbn`1q también
converge, por la Fórmula de Sumación de Abel podemos obtener en conclusión que∞8n“1anbnes convergente.
Los Criterios de Abel y Dirichlet
Teorema 8.27(Criterio de Abel). Si ∞8n“1an es una serie convergente ypbnqes
una sucesión monótona y acotada, la serie∞8n“1anbnes convergente.
Demostración. La sucesión pbnq es, por hipótesis, monótona y acotada. Como
∞8
n“1anconverge, la sucesión de sumas parcialesAn “∞nk“1akes acotada. Para
verificar las hipótesis del Lema8.26, bastará comprobar quepAnbn`1qconverge,
Teorema 8.28(Criterio de Dirichlet). Si∞8n“1an es una serie cuya sucesión de
sumas parciales es acotada ypbnqes una sucesión monótona y convergente a0,
la serie∞8n“1anbnes convergente.
Demostración. También aquí la sucesiónpbnqes, por hipótesis, monótona y
aco-tada. También por hipótesis, la sucesión de sumas parciales An “ ∞nk“1ak es
acotada. Además, como pbnq converge a 0, se tendrá que la sucesión pAnbn`1q
converge (a 0). El Lema 8.26 nos asegura finalmente que∞8n“1anbn es
conver-gente.
Observación. El Criterio de Leibniz 8.20 es un caso particular del Criterio de Dirichlet8.28.
Sea ∞8n“1an una serie alternada. Si p|an|q es decreciente y convergente a 0
(recuérdese que estas son las hipótesis del Criterio de Leibniz 8.20), podemos definir las dos sucesiones xn “ an{|an|e yn “ |an|. Para cada n P N, xn solo
puede tomar los valores 1 o ´1. Como para todo n P N es anan`1 † 0,
de-berá también ser xnxn`1 † 0. En consecuencia, o xn “ p´1qn para todo n, o xn “ p´1qn`1 para todon. En cualquiera de los dos casos, la sucesión de sumas
parcialesXn“∞nk“1xkes acotada. Comopynqes decreciente y convergente a0,
el Criterio de Dirichlet nos dice que la serie∞8n“1an“
∞8 n“1xnynes convergen-te. Ejemplos. 8 ÿ n“1 senn n .
Es evidente que la sucesiónp1{nqes decreciente y convergente a0, así que,
para poder aplicar el Criterio de Dirichlet 8.28 y ver que nuestra serie es convergente, solo tenemos que probar que la serie∞8n“1senn tiene sumas
parciales acotadas. Para ello, daremos una fórmula general para las sumas parciales.
Sik PN, tenemos que
senpk`1q “ senkcos 1`cosksen 1,
senpk´1q “ senkcos 1´cosksen 1.
Sumando ambas expresiones, obtenemos que
2 senkcos 1 “senpk´1q `senpk`1q.
y, por tanto,
2p1´cos 1qsenk “2 senk´2 senkcos 1
“2 senk´senpk´1q ´senpk`1q
Se sigue que
2p1´cos 1qpsen 1`sen 2`sen 3` ¨ ¨ ¨ `senpn´1q `sennq “2p1´cos 1qsen 1`2p1´cos 1qsen 2`2p1´cos 1qsen 3
` ¨ ¨ ¨ `2p1´cos 1qsenpn´1q `2p1´cos 1qsenn “`psen 1´sen 0q ´ psen 2´sen 1q˘
``psen 2´sen 1q ´ psen 3´sen 2q˘
``psen 3´sen 2q ´ psen 4´sen 3q˘
` ¨ ¨ ¨ ``psenpn´1q ´senpn´2qq ´ psenn´senpn´1qq˘
``psenn´senpn´1qq ´ psenpn`1q ´sennq˘ “sen 1`senn´senpn`1q.
Un razonamiento análogo al que hicimos antes nos dice que
senn“sen`pn`21q ´ 12˘“senpn` 12qcos12 ´cospn` 12qsen12,
senpn`1q “ sen`pn`12q ` 12˘“senpn` 12qcos12 `cospn` 12qsen12
y, restando,
senn´senpn`1q “ ´2 cospn` 1 2qsen
1 2.
En consecuencia,
sen 1`sen 2` ¨ ¨ ¨ `senn “ sen 1`senn´senpn`1q
2p1´cos 1q “ 2 cos 1 2sen 1 2 ´2 cospn` 1 2qsen 1 2 2p1´cos2 1 2 `sen2 12q “ pcos 1 2 ´cospn` 1 2qqsen 1 2 2 sen2 1 2 “ cos 1 2 ´cospn` 1 2q 2 sen1 2 .
Finalmente,
|sen 1`sen 2` ¨ ¨ ¨ `senn|“ |cos 1 2 ´cospn` 1 2q| 2 sen1 2 § 1`cos 1 2 2 sen12 “ 1`cos 2 1 4 ´sen 2 1 4 4 cos14sen14 “ 2 cos2 14 4 cos14sen 14 “ 1 2cotan 1 4 »1,96†2. 8 ÿ n“1 ´ 1` 1 n ¯n senn n .
Sabemos que la sucesión p1`1{nqn es monótona y acotada y, según
aca-bamos de ver, la serie∞8n“1senn{nes convergente, así que, por el Criterio
de Abel8.27, la serie estudiada es convergente.
4. Conmutatividad de las series
4.1. Reordenaciones
¿Cambia la suma si reordenamos la serie?
¿Qué sucede cuando en una serie se cambia el orden de los sumandos? En general, las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. 8 ÿ n“1 p´1qn`1 n .
Seapsnqla sucesión de sumas parciales de esta serie. Vamos a ver a qué
con-vergen los términos pares de esta sucesión. Como s2n`1 “ s2n `1{p2n ` 1q,
está claro que la subsucesión de los términos impares tendrá también el mismo límite, con lo que habremos hallado el límite de toda la sucesiónpsnq, es decir, la
Euler-Mascheroni. (Recuérdese que “límnp1`1{2` ¨ ¨ ¨ `1{n´lognq.) s2n “ 2n ÿ k“1 p´1qk`1 k “1´ 1 2` 1 3´ 1 4` ¨ ¨ ¨ ` 1 2n´3´ 1 2n´2` 1 2n´1 ´ 1 2n “´1`1 3 ` ¨ ¨ ¨ 1 2n´3` 1 2n´1 ¯ ´´1 2 ` 1 4 ` 1 2n´2 ` 1 2n ¯ “´1`1 2 ` 1 3 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ 1 2n´3` 1 2n´2` 1 2n´1` 1 2n ¯ ´2´1 2` 1 4` 1 2n´2` 1 2n ¯ “´1`1 2 ` 1 3 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ 1 2n´3` 1 2n´2` 1 2n´1` 1 2n ¯ ´´1`1 2 ` 1 n´1 ` 1 n ¯ “´1`1 2 ` 1 3 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ 1 2n´3` 1 2n´2` 1 2n´1` 1 2n ´logp2nq ¯ ´´1`1 2 ` 1 n´1 ` 1 n ´logn ¯ ` plogp2nq ´lognq›Ñ n ´ `log 2 “log 2.
Concluimos así que
8 ÿ n“1
p´1qn
n “log 2.
Ahora vamos a cambiar de orden los sumandos de esta serie. Para ello, reco-locaremos sus términos de forma que dos términos positivos se alternen siempre con un término negativo. Es decir, consideraremos la serie
8 ÿ n“1 an“1` 1 3´ 1 2` 1 5` 1 7´ 1 4` ¨ ¨ ¨
Para ver cuánto suma esta serie, comoan Ñ 0, consideraciones similares a las
hechas antes muestran que basta calcular el límite de las sumas parciales cuyo máximo índice es múltiplo de3; es decir, vamos a calcular el límite límn
∞3n k“1ak.
Tenemos 3n ÿ k“1 ak“ ´ 1` 1 3´ 1 2 ¯ `´1 5 ` 1 7 ´ 1 4 ¯ ` ¨ ¨ ¨ `´ 1 4n´3` 1 4n´1´ 1 2n ¯ “´1` 1 3` 1 5` ¨ ¨ ¨ ` 1 4n´3 ` 1 4n´1 ¯ ´´1 2 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2n ¯ “´1` 1 2` 1 3` ¨ ¨ ¨ ` 1 4n´2 ` 1 4n´1` 1 4n ¯ ´´1 2 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 4n´2` 1 4n ¯ ´´1 2 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2n ¯ “´1` 1 2` 1 3` ¨ ¨ ¨ ` 1 4n´2 ` 1 4n´1` 1 4n ¯ ´ 12´1`1 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2n´1 ` 1 2n ¯ ´12´1` 1 2` ¨ ¨ ¨ ` 1 n ¯ “´1` 1 2` 1 3` ¨ ¨ ¨ ` 1 4n´2 ` 1 4n´1` 1 4n ´logp4nq ¯ ´ 1 2 ´ 1`1 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 2n´1 ` 1 2n ´logp2nq ¯ ´ 1 2 ´ 1`1 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 n ´logn ¯ `´logp4nq ´ 1 2logp2nq ´ 1 2logn ¯ ›Ñ n ´ 1 2 ´ 1 2 ` p2 log 2´ 1 2log 2q “ 3 2log 2. Por tanto, 8 ÿ n“1 an“ 3 2log 2.
Vemos así con este ejemplo que, cuando hay involucrados infinitos sumandos, el orden de los sumandossí que cambiala suma.
¿Qué es una reordenación?
A continuación vamos a caracterizar qué tiene que cumplir una serie para que sí podamos aplicar la propiedad conmutativa. Para ello necesitaremos una defini-ción precisa de qué significa “cambiar de orden una serie.”
Definición 8.29. Dada una serie ∞8n“1an, decimos que otra serie ∞8n“1bn es
una reordenación de ∞8n“1an si existe una biyección r: N Ñ N, tal quebn “ arpnqpara cadan PN.
Informalmente, una serie es una reordenación de otra si tiene exactamente los mismos términos, pero en otro orden.
Ejemplo. Si∞8n“1an“1`12 ` 13 `14 ` ¨ ¨ ¨, reordenaciones suyas son ∞8 n“1bn“ 12 `1` 14 `13 ` ¨ ¨ ¨, ∞8 n“1cn“ 13 ` 1 2 `1` 1 6 ` 1 5 ` 1 4 ` ¨ ¨ ¨ En cambio,∞8n“1dn“1` 13 `15 `16 ` ¨ ¨ ¨no es reordenación de∞8n“1an.
Hagamos la observación, muy fácil de comprobar, de que “ser reordenación de” es una relación de equivalencia.
Convergencia incondicional
Que una serie tenga la propiedad conmutativa significará que tenga suma y que cualquier reordenación suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las series convergentes con la propiedad conmutativa.
Definición 8.30.
(I) Una serie se denominaincondicionalmente convergentesi todos sus
reorde-naciones son convergentes y tienen la misma suma.
(II) Decimos que una serie escondicionalmente convergentesi es convergente,
pero no es incondicionalmente convergente.
4.2. Teoremas de reordenación
Un par de lemas
En los teoremas que vamos a ver a continuación, probaremos que la propiedad conmutativa para las series está estrechamente relacionada con la convergencia absoluta. Concretamente, se verá que una serie es incondicionalmente convergen-te si, y solo si, es absolutamenconvergen-te convergenconvergen-te. El Teorema de Reordenación de Dirichlet8.33, que probaremos en muy breve, establece una de las implicaciones. Para abordarlo, veamos antes un par de resultados auxiliares.
Lema 8.31. Sea∞8n“1anuna serie. Sean
a`n “máxtan,0u, a´n “ ´míntan,0u.
Entonces
(I) Si∞8n“1an converge absolutamente, entonces∞8n“1a`n y
∞8
n“1a´n
conver-gen.
(II) Si∞8n“1anconverge, pero no absolutamente, entonces∞8n“1a`n y
∞8
n“1a´n
Demostración. Es obvio quea`n, a´n •0. Se comprueba además fácilmente que
an“a`n ´a´n, |an|“a`n `a´n,
de lo que se sigue que
a`n “ |an|`an 2 , a ´ n “ |an|´an 2 .
De aquí se obtienen fácilmente las dos afirmaciones del enunciado.
Lema 8.32. Dada una serie∞8n“1ande términos no negativos y una de sus
reor-denaciones∞8n“1bn, se tiene:
(I) Si∞8n“1anes convergente con sumas, también∞8n“1bntiene sumas.
(II) Si∞8n“1andiverge a8, también∞8n“1bndiverge a8.
Demostración. (I) Sear: NÑNtal quebn “arpnqpara cadan PN. Para todo nP N, definamos
Mpnq “máxtrp1q, rp2q, . . . , rpnq u.
Denotando contnla suma parcialn-ésima de∞8n“1bn, será entonces tn“b1`b2` ¨ ¨ ¨ `bn
“arp1q`arp2q` ¨ ¨ ¨ `arpnq
§a1`a2` ¨ ¨ ¨ `aMpnq §s,
lo que prueba que∞8n“1bnes convergente con suma menor o igual ques. Como a
su vez∞8n“1anes una reordenación de∞8n“1bn, por el mismo motivo su sumas
será menor o igual que la suma de∞8n“1bn, lo que implica la igualdad entre ambas
sumas.
(II) En caso contrario,∞8n“1bnsería convergente, y entonces∞8n“1an,
reor-denación suya, también convergería.
El Teorema de Reordenación de Dirichlet
Teorema 8.33(de Reordenación, de Dirichlet). Toda serie absolutamente conver-gente es incondicionalmente converconver-gente.
Demostración. Supongamos que la serie∞8n“1anconverge absolutamente, y sea
∞8
Por el Lema 8.31, ∞8n“1a`n y
∞8
n“1a´n son ambas convergentes. Utilizando
el Lema 8.32, se obtiene que ∞8n“1bn` y ∞8n“1b´n son también convergentes, y
además 8 ÿ n“1 a`n “ 8 ÿ n“1 b`n y 8 ÿ n“1 a´n “ 8 ÿ n“1 b´n.
Se concluye de esta manera que
8 ÿ n“1 an “ 8 ÿ n“1 a`n ´ 8 ÿ n“1 a´n “ 8 ÿ n“1 b`n ´ 8 ÿ n“1 b´n “ 8 ÿ n“1 bn.
El Teorema de Reordenación de Riemann
El Teorema de Reordenación de Riemann8.34 establece la implicación recí-proca a la que aparece en el Teorema de Dirichlet 8.33; es decir, prueba que si una serie converge pero no lo hace absolutamente, entonces la serie no cumple la propiedad conmutativa, y además deja de cumplirla de la peor forma posible: la suma reordenada puede dar como resultado cualquier valor o, incluso, no existir.
Teorema 8.34 (de Reordenación, de Riemann). Sean ↵, P R, ↵ § , y sea
∞8
n“1anuna serie convergente, pero no absolutamente. Entonces, dicha serie
tie-ne una reordenación∞8n“1bn, tal que
lím inf n n ÿ k“1 bk “↵, lím sup n n ÿ k“1 bk “ .
Demostración. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que an ‰ 0para todo nPN:
Seanppnqypqnqlas subsucesiones depanqformadas por sus términos positivos
y negativos respectivamente, en el orden en que aparecen en la serie. Por el Lema
8.31, sabemos que ∞8n“1a`n y∞8n“1a´n son divergentes (a 8). Esto implica que
∞8
n“1pny∞8n“1qntambién son divergentes (la primera a8y la segunda a´8):
no hay más que observar que las sucesionesppnqypqnqse diferencian de laspa`nq
yp´a´nqsolamente en algunos términos nulos intercalados.
Por otro lado, como ∞8n“1an converge, está claro queppnq ypqnqconvergen
ambas a0.
Construiremos dos sucesiones crecientes de números naturales, pmnq ypknq,
tales que la serie
p1 `p2¨ ¨ ¨ `pm1 `q1`q2` ¨ ¨ ¨ `qk1 `pm1`1`pm1`2¨ ¨ ¨ `pm2
que claramente es una reordenación de∞8n“1an(salvo términos nulos), satisfaga
lo que se dice en el enunciado.
Para ello, elijamos dos sucesionesp↵nqyp nqque converjan a↵y ,
respec-tivamente, y además↵n† n.
Seanm1,k1 los menores naturales para los que p1`p2` ¨ ¨ ¨ `pm1 ° 1,
p1`p2` ¨ ¨ ¨ `pn`q1`q2 ` ¨ ¨ ¨ `qk1 †↵1.
Seanm2,k2los menores naturales para los cuales
p1`p2` ¨ ¨ ¨ `pm1 `q1`q2` ¨ ¨ ¨ `qk1 `pm1`1`pm1`2` ¨ ¨ ¨ `pm2 ° 2,
p1`p2` ¨ ¨ ¨ `pm1 `q1`q2` ¨ ¨ ¨ `qk1 `pm1`1`pm1`2` ¨ ¨ ¨ `pm2
`qk1`1`qk1`2` ¨ ¨ ¨ `qk2 †↵2.
Repetimos luego este proceso sucesivas veces, lo que es posible porque ∞pn y
∞
qndivergen.
Sisnytnrepresentan las sumas parciales de la serie que acabamos de construir
cuyos últimos términos sonpmn yqkn respectivamente, será
|sn´↵n|§pmn, |tn´ n|§´qkn.
Comopn Ñ0yqnÑ0, vemos quesnÑ↵ytn Ñ .
Finalmente, está claro que ningún número menor que↵o mayor que puede
ser límite subsecuencial de las sumas parciales de la reordenación por nosotros construida.
Teniendo en cuenta el Teorema de Reordenación de Riemann 8.34, el lector será sin duda capaz de responder las siguientes preguntas acerca de la serie ar-mónica alternada: ¿Se puede reordenar de forma que la suma de la reordenación valga⇡?¿Y de forma que valgae?¿Y de forma que diverja a 8?¿Y de forma que
oscile entre´1y1?¿Y para que oscile entre´8e8?
(Respuestas:¡Sí, sí, sí, sí y sí!)
En realidad, la situación que se da en el Teorema 8.34 es mucho más grave de lo que el enunciado predice. Si consideramos la reordenación construida en la demostración, se puede probar que los límites subsecuenciales de la sucesión de sus sumas parciales son todo el intervalor↵, s. En particular, escogiendo↵“
´8, “ 8, obtenemos una serie tal que los límites subsecuenciales de sus sumas parciales son toda la recta ampliada.
Los dos teoremas de reordenación se pueden combinar ahora para establecer la equivalencia que ya veníamos anunciando.
Corolario 8.35. Una serie es incondicionalmente convergente si, y solo si, es absolutamente convergente.
Referencias
[1] R. G. Bartle y D. R. Sherbert, Introducción al Análisis Matemático de una variable, Limusa, México, 1990.
[2] A. J. Durán, Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo. Alianza, Madrid, 1996.
[3] I. Grattan-Guinness, Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630–1910: Una introducción histórica. Alianza Editorial, Madrid, 1984.
[4] M. Guzmán, El rincón de la pizarra: Ensayos de visualización en análisis matemático, Pirámide, Madrid, 1996.
[5] K. A. Ross, Elementary analysis: The theory of calculus, Springer, Berlín, 1980.
[6] M. Spivak, Cálculo infinitesimal, Reverté, 1994.
[7] T. M. Apostol, Análisis Matemático(2a. ed.). Reverté, Barcelona, 1991. [8] V. A. Zorich, Mathematical Analysis I, Springer-Verlag, Berlín, 2003.
