Como multiplicar por 5
Pares
Veamos algunos ejemplos introductorios Cuanto es 4 por 5?
20
Claro. Por que la mitad de 4 es 2 y anotamos un cero al final Cuanto es 12 por 5?
60
También es verdad, por que la mitad de 12 es 6 y anotamos un cero al final Expliquemos en palabras más simples
Multiplicar un número PAR por 5 es equivalente a multiplicar por 10 y calcular la mitad ó, dicho en otras palabras, anotar la mitad del número y un cero al final.
Traspasando estas palabras a lenguaje algebraico 10 5 10 2 2 x x⋅ = ⋅x = ⋅ Apliquemos Cuánto es… ? 26 5 48 5 64 5 82 5 442 5 126 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Conclusión
Para multiplicar por 5 un número PAR bastara anotar la mitad del número y un cero al final
Nota: en el caso del último ejemplo la mitad de 126 se puede considerar como la mitad de 120 y de 6, es decir 60 y 3
¿Y los Números impares?
Veamos algunos ejemplos
7 5⋅
35
13 5⋅
65 Analicemos lo obtenido
Los múltiplos terminan en 5 y la cifra anterior corresponde a la mitad del número disminuido en 1
Probemos
27 5
⋅
27 menos uno quedara en 26, cuya mitad es 13, y si anotamos un 5 al final tendremos 135
83 5
⋅
83 menos uno quedara en 82, cuya mitad es 41, y si anotamos un 5 al final tendremos 415 Desarrollemos la idea basados en lo que entendemos
Sabemos que
Impar
=
par 1
+
Entonces,
(
)
Impar
⋅
5
=
par 1 5
+ ⋅ =
par
⋅ + ⋅
5 1 5
En palabras simples, bastara restar uno al número y operar con el par usando el método anterior
Apliquemos
Desarrolle los siguientes casos
47 5 83 5 29 5
⋅
⋅
⋅
En realidad la solución es bastante sencilla; Descomponga de acuerdo a partes pares. Por ejemplo
(
)
(
)
97 5
⋅ =
80 17 5
+
⋅ =
80 16 5 1 5
+
⋅ + ⋅ =
485
(
)
(
)
59 5
⋅ =
40 19 5
+
⋅ =
40 18 5 1 5
+
⋅ + ⋅ =
295
Solo para optimizar el proceso, recuerde anotar un 5 al final y pruebe.
Algunos ejercicios resultado 65437 5 327185 74834 5 374170 63976 5 319880 81598 5 407990 25987 5 129935 27529 5 137645
Como multiplicar por 11?
Verifiquemos inicialmente el proceso tradicional
Que hizo aquí?
Claramente el cuatro se mantiene. (Cifra de las unidades)
Luego, el 7 se obtiene al sumar el 4 y el 3. (Cifra de las decenas)
El 5 se obtiene al sumar el 3 y el 2. (Cifra de las centenas)
Y el 2 se obtiene al sumar el 2 y un cero. (Cifra de las unidades de mil)
Ahora generalicemos
Primero anotaremos un cero a al izquierda del ponderado y luego mantendremos la unidad
0234*11
4
Luego adicionemos unidad y decena 4 +3
0234*11
4
7
Ahora adicionaremos decena y centena 3 +2
0234*11
4
7
5
Y finalmente, adicionaremos centena y millar 2 + 0
2
0234*11
4
7
5
Este método será particularmente interesante cuando tengamos que dividir por 11 Apliquemos inmediatamente la técnica
234 11
234
234
2574
658756 11 7246316 378659 11 4165249 76465907 11 841124977 5474849 11 60223339 586585659 11 6452442249 247274 11 2720014 7653610865 11 84189719515 6514095151 11 71655046661 51575104501 11 567326149511 76053761365 11 836591375015 76916061600653 11 846076677607183
Un detalle interesante. La diferencia entre las sumas de las cifras de posición par y las sumas de las cifras de posición impar de un múltiplo de 11 siempre será o un cero ó un múltiplo de 11
Ejemplo
25362 ⋅11 278982
Esto es particularmente útil para determinar si la multiplicación está bien realizada.
278982
18
18
Técnica 1x
Esta técnica es particularmente valida cuando tengamos que multiplicar por números que estén entre 11 y 19. Se basa en multiplicar la unidad por cada cifra y sumar la cifra derecha, con la reserva según corresponda.
Veamos con ejemplos específicos. Para multiplicar por 12.
2 por 6 es 12. Anotamos el 2 y anotamos una reserva
2 por 4 son 8. Sumados con 6 son 14. y con la reserva son 15. Anotamos el 5 y anotamos la reserva
2 por 3 son 6. Sumado con 4 es 10, y con la reserva son 11. Anotamos el 1 y notamos la reserva
2 por 2 son 4. Sumado con3 son 7, y con la reserva son 8. Anotamos el 8 y no hay reserva
02346
8152
12
en el ultimo paso, consideramos 2 por 0, que es cero. Sumado con 2 es 2 y, como no había reserva, terminamos anotando.
02346
2
12
02346
28152
12
02346
152
12
02346
52
12
02346 12
Siguiendo la misma operatoria, se puede multiplicar por 13, 15, 1x…
Ejercicios. Desarrolle las siguientes multiplicaciones usando la técnica mostrada. Las soluciones se agregan para que compare sus resultados.
Resultado 2456645 12 29479740 6788663 14 95041282 7886543 13 102525059 6789543 12 81474516 7638546 15 114578190 5734234 17 97481978 546732 16 8747712 254257 13 3305341 6547640865 18 117857535570 8586587059 12 103039044708 850784546 16 13612552736 857474379 12 10289692548 764425143121 14 10701952003694 659659749439 16 10554555991024
012345*23
83935
Técnica de los dos dedos
$
Este procedimiento simplifica la multiplicación de de cualquier numero por números de dos cifras. Se basa en multiplicar y sumar ordenadamente.
Ejemplo 2345 23⋅
Inicialmente se deberá anotar un cero a la derecha del multiplicando 02345 23⋅
Luego multiplicamos 3 por 5 y anotamos
Ahora multiplicaremos 4 por 3 y 5 por 2 y sumamos, es decir 12 mas 10, lo que da 22. Adicionando la reserva obtenemos 23. Lo cual anotamos de la siguiente forma
Nuevamente procedemos a multiplicar, esta vez 3 por 3 y 4 por 2, y adicionamos. Es decir 9 mas 8, 17, mas la reserva, 19
Repitiendo este proceso se multiplicaran 2 por tres y 3 por dos, para adicionar la reserva, obteniendo 13, lo cual se anotara de la siguiente forma
Procedemos a repetir el mismo proceso con 1 por 3 y 2 por 2, que adicionado con la reserva suma 8
Y ahora podemos adicionar el último
producto, que es 0 por 3 y 1 por 2, que es 2
012345*23
283935
012345*23
5
012345*23
3935
012345*23
935
012345*23
35
Ejercicios. Desarrolle las siguientes multiplicaciones usando la técnica mostrada. Las soluciones se agregan para que compare sus resultados.
Resultado 2456645 32 78612640 6788663 24 162927912 7886543 43 339121349 6789543 24 162949032 7638546 23 175686558 5734234 35 200698190 546732 53 28976796 254257 52 13221364 6547640865 45 294643838925 8586587059 54 463675701186 850784546 65 55300995490 857474379 62 53163411498 764425143121 63 48158784016623 659659749439 64 42218223964096
Técnica M
Usada principalmente para multiplicar números de dos cifras por números de dos cifras. Se basa en productos y adiciones continuas.
Veamos con un ejemplo gráfico
a b
c d
Primero multiplicamos las decenas y las anotamos ordenadamente
a b
c d
a c
Luego multiplicamos cruzado, decena por unidad, en este caso a por d, y lo anotamos corriéndonos un espacio
a b
c d
a c
a d
Nuevamente multiplicamos cruzado, es decir la otra decena por la otra unidad, y volvemos a anotar lo obtenido. Dado que el producto tiene las mismas condiciones anteriores se mantendrá el orden de posición
a b
c d
a c
a d
c b
Y ahora procedemos a desarrollar la última ponderación, al multiplicar las unidades. Dado el nuevo nivel de trabajo, procedemos a desplazarnos nuevamente.
a b
c d
a c
a d
c b
b d
Veamos algunos ejemplos numéricos
56
35
15
25
30
18
1960
67
43
24
18
21
28
2881
Ejercicios. Aplica la técnica para los siguientes productos
37 1702 65 5590 46 86 76 3648 78 4992 48 64 95 4465 87 8352 47 96 98 3626 45 3510 37 78 59 2832 64 6208 48 97 95 7980 65 4095 84 63
Una de las aplicaciones básicas, de los productos, es el cálculo de áreas. Veamos entonces algunos problemas tipo y apliquemos en forma directa lo estudiado
Dado un rectángulo cualquiera, de tal que la medida de su base sea A y la medida de su altura sea B, la superficie de dicho rectángulo se obtendrá multiplicando la base por la altura
En este caso particular, al superficie del objeto estará dada por el producto de 2,7 y 4,5
Procedamos según M
Sin embargo aparece una duda. ¿Qué pasa con los decimales?
La respuesta salta a la vista. Bastara con contar las cifras decimales y considerarlas en la respuesta. Luego la superficie del objeto es 12,15 cm2.
Dado un triangulo cualquiera, de tal que la medida de su base sea A y la medida de su altura sea B, la superficie de dicho triangulo se obtendrá multiplicando la base por la altura y considerando su mitad
Precediendo según M se tendrá
33
51
15
03
15
03
1683
¿y la mitad?Piensa en el par inferior, determina la mitad y anota un cinco al final 16,82→8, 41→8, 415 2 ,7 c m 4,5 cm 3,3 cm 5, 1 c m
27
45
08
10
28
35
1215
¿Listo para ejercitar?
Determina la superficie de las siguientes figuras
6,1 cm 3,8 cm 2 ,9 c m 6, 5 c m
65
61
36
06
30
05
3965
38
29
06
27
16
72
1102
Sea criterioso con los decimales
4,1 cm 9,2 cm 5 ,7 c m 4,0 cm
Este problema presenta, al menos, dos alternativas de desarrollo
