Quan aquest límit existeix i és finit diem que f(x) és derivable en x = a.

Texto completo

(1)

APLICACIONS DE LES DERIVADES

Joan J. de Val

1. Definició de derivada d'una funció en un punt

Recordem que la derivada de la funció en un punt d'abscissa es defineix com el següent límit:

Quan aquest límit existeix i és finit diem que f(x) és derivable en x = a.

2. Funció derivada

En els punts en els quals f(x) és derivable, es defineix la funció derivada de f(x) com el següent límit:

3. Derivades successives d'una funció

Si la funció és derivable, la funció rep el nom de derivada primera de . Si la funció és derivable, la seva derivada s'indica - o també - i rep el nom de derivada segona de .

Successivament es poden anar definint les derivades tercera, ; quarta, , etc..., que reben el nom de derivades successives de la funció .

4. Interpretació geomètrica de la derivada

El valor de la derivada d'una funció f(x) en x = a , f '(a), és igual al pendent de la recta tangent a la funció en el punt ( a, f(a) ):

El pendent, m, d'una recta és la tangent trigonomètrica de l'angle que forma la recta amb l'eix X.

4.1 Dues rectes són paral·leles si, i només si, tenen el mateix pendent.

4.2 Dues rectes són perpendiculars si, i només si, els seus pendents, m i m', compleixen: f(x) x =a f(x) f '(x) f(x) f '(x) f ''(x) f (x)2) f(x) 3) f (x) f (x)4) f(x)

(2)

Càlcul de les rectes tangent i normal a una funció:

Per calcular l'equació de la recta tangent a una funció f(x) en x = x0:

a) Busquem l'ordenada

y

0 del punt de tangència, substituint

x

0 en l'expressió analítica de la funció:

y

0

= f(x

0

)

b) Calculem el pendent de la recta tangent, aplicant la interpretació geomètrica de la derivada:

c) Substituïm aquests valors en l'equació de la recta que passa per un punt (x0,y0) i té de

pendent m:

(1)

La recta que, passant pel mateix punt de tangència (x0,y0), és perpendicular a la recta

tangent rep el nom de recta normal.

Per calcular la seva equació s'utilitza l'expressió (1), tenint en compte:

L’equació de la recta normal serà, doncs:

EXEMPLES:

1- Calculeu el pendent de la recta tangent a la funció d'equació f(x)= 5x2 −2x+3 en el punt d'abscissa x = −3.

Solució:

Per la interpretació geomètrica de la derivada, el pendent (m) de la recta tangent a la funció en un punt és igual al valor de la derivada de la funció en aquest punt:

Calculem la derivada de la funció: f '(x)=10 x−2 tan gent

(3)

Substituïm-hi

2- En quin punt de la corba f(x) 2 x 2 x 1

− =

+ la recta tangent forma un angle de 45°

amb l'horitzontal? Solució:

Sabem que el pendent d'una recta és igual a la tangent de l'angle que forma aquesta amb l'eix X.

Per altra banda, per la interpretació geomètrica de la derivada:

Calculem la derivada:

Vegem per a quins valors de x la derivada val 1:

Resolguem l'equació:

( )

2 1 2 2 4 1 x 2 1 2 3 2 4 x 1 x 3 2 − ± − ⋅ ⋅ = ⋅ − − ± = = = = −

La condició de l'enunciat es verifica en els punts d'abscisses 1 i -3. Per saber les ordena-des corresponents, substituïm aquests valors en l'equació de la funció:

Per a ; per a

Per tant, la tangent a la corba forma un angle de 45° amb l'eix X en els punts de coordenades (1, 0) i (-3, 4).

3- En quins punts la recta normal a la funció forma un angle de 60° amb l'eix X?

Solució:

El pendent de la recta normal a la funció és: tan gent m = f '( 3)− =10 ( 3)⋅ − − = −2 32 0 tan gent m = tg 45 =1 tan gent 0 0 m = f '(x )⇒ f '(x )=1

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 (x 1) (2x 2) 1 2x 2 2x 2 f '(x) x 1 x 1 4 x 1 = ⋅ + − − ⋅ + − + = + + = +

(

)

2 2 2 x+1

=

4; x +2x+ =1 4; x +2x− =3 0

(

)

2 4 1 x 1 = +

( )

⋅ − = − → = − = = − + − − = − 2 2 x 3 y f( 3) 3 1 3 8 4 2 ⋅ − = → = = = + 2 1 2 x 1 y f(1) 0 1 1 2 f(x)=3x −5x+1 x per −3 0 normal m =tg 60 =1' 73

(4)

Com que les rectes tangent i normal a una corba en un punt donat són perpendiculars, tenim que el pendent de la recta tangent és:

tan gent normal m 1 1 m 0 ' 58 1,73 = − = − = −

Per la interpretació geomètrica de la derivada tenim: i, per tant,

Calculem la derivada:

Busquem per quins valors de x la derivada val :

x 4, 42

6 x 5 0,58, 6 x 0,58 5, 6 x 4, 42, 0 ' 74

6 =

− = − = − + = =

Calculem l'ordenada corresponent:

(

)

2

f(0 ' 74)= ⋅3 0 ' 74 − ⋅5 0 ' 74 1+ = −1' 06

La solució és el punt de coordenades .

4- Calculeu les equacions de les rectes tangent i normal a la corba d'equació f(x) x 21 x

+ =

en el punt d'abscissa x = 1. Solució:

Donat el pendent (m) d'una recta i les coordenades (x y )0, 0 d'un punt de la mateixa, la se-güent fórmula ens permet trobar la seva equació:

y - y = m(x - x )0 0

Busquem, doncs, les coordenades del punt de tangència i el pendent. 1) Recta tangent Punt de tangència: y0 f(x )0 f(1) 1 12 2 2 1 1 + = = = = = És el punt (1,2). Pendent:

Per la interpretació geomètrica de la derivada:

Per tant, l'equació de la recta tangent en el punt d'abcissa x = 1 és:

y - y = m(x - x )0 0 ⇒y - 2 = -3 (x - );⋅ 1 y - 2 = -3x + 3); y=-3x+5 tan gent 0 m = f '(x ) f '(x )0 = −0 ' 58 tan gent m = f '(1)

( )

2

( )

2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 1 x (x 1) 2x x 2x 2x f '(x) x x x

2x

x(x 2) x 2

x

x

x

= ⋅ − + ⋅ − =

= −

=

− +

= −

+ tan gent 3 1 2 m f '(1) 3 1 + = =

= − f '(x)=6 x−5 0 ' 58 − (0 ' 74, 1' 06)−

(5)

2) Recta normal

Per calcular l'equació de la recta normal, utilitzem la mateixa fórmula y - y = m(x - x )0 0 , Com que la recta normal passa pel mateix punt de tangència (1,2), només haurem de cal-cular el seu pendent:

normal tan gent 1 m 1 1 m 3 3 = − = − = −

L’equació de la recta normal és, doncs,

y - y = 0 mnormal⋅(x - x )0 2 1 1 3 y - = (x - ) 2 1 1 3 3 y - = x -

5. Creixement i decreixement d'una funció

5.1 Diem que una funció es creixent en un punt x = a quan existeix un entorn (a - h, a + h) en el qual es compleix:

f (a - h) < f (a) < f (a + h)

5.2 Diem que una funció és decreixent en un punt x = a quan existeix un entorn (a - h, a+h) en el qual es compleix:

f (a - h) > f (a) > f (a + h)

(6)

Si f

'

(a) 0 llavors f(x) és creixent en x = a.

Si f

'

(a) 0 llavors f(x) és decreixent en x = a.

5.4 Una funció és creixent en un interval quan ho és en tots els punts de l'interval. 5.5 Una funció és decreixent en un interval quan ho és en tots els punts de l'interval.

6. Extrems d'una funció: màxims relatius i mínims relatius

6.1 Una funció té un màxim relatiu en un punt quan existeix un entorn de a tal que és major o igual que e! valor de la funció en tots els punts d'aquest entorn. És a dir:

f(a) f(x) per a tot x pertanyent a l'entorn.

6.2 Una funció té un mínim relatiu en un punt x = b quan existeix un entorn de b tal que és menor o igual que el valor de la funció en tots els punts d'aquest entorn. És a dir:

f(b) f(x) per a tot x pertanyent a l'entorn.

Els màxims i mínims relatius d'una funció reben el nom d'extrems relatius de la funció.

- El punt A és un màxim relatiu de la funció. - El punt B és un mínim relatiu de la funció.

6.3 Si la funció és derivable en x = a i en aquest punt té un extrem relatiu, llavors .

6.4 Si f (x) i f ' (x) són derivables en x = a es compleix:

Si f

'

(a) = 0 i f "(a) > 0, llavors f(x) té un mínim relatiu en x = a.

Si f

'

(a) = 0 i f "(a) < 0, llavors f(x) té un màxim relatiu en x = a.

6.5 Càlcul dels extrems d'una funció . El procediment és el següent:

a) Es calcula la derivada primera de la funció: . b) S'iguala la derivada primera a 0: .

c) Es resol l'equació plantejada. Les solucions x1 ,x2,···,xn es diuen punts crítics i

són els possibles extrems.

Per determinar, d'entre aquests, els màxims i mínims relatius, hi ha dos criteris:

f(x) f(x) f(x) x =a f(a) f(x) f(b) f(x) f '(a)=0 f(x) f '(x) f '(x)=0

>

<

≥ ≤

(7)

EXEMPLES:

5 -Esbrineu si la funció f(x) 2x

x 3

=

+ és creixent o decreixent en els següents punts:

i . Digueu què presenta la funció en el punt x = 3. Solució:

Quan la derivada primera d'una funció és positiva en un punt, la funció és creixent en aquest punt. Si la derivada primera és negativa en un punt, llavors la funció és decreixent en aquest punt.

Per saber, doncs, si una funció és creixent o decreixent en un punt, calcularem la seva derivada primera:

(

)

2

(

)

2

(

2

)

2 2 2 2 2 2 2 1 (x x f '(x) x x 3 x x 3 3) x 2x 3 2x 3 3 = ⋅ = = − + + − ⋅ + − + + x = −1 x =2

1r. Criteri del signe de la derivada primera

Els punts crítics divideixen la recta real en un conjunt d'intervals:

S'estudia el signe de f(x) en cadascun dels intervals determinats, per saber si la funció és creixent o decreixent en ells.

(Això es fa escollint un valor qualsevol de x de cada interval, substituint-lo en f ’(x), fent operacions i mirant el signe del resultat.)

►Un punt crític serà un màxim relatiu quan, en:

L'interval anterior, f

'

(x) > 0 (f(x) creixent).

L'interval posterior, f

'

(x) < 0 (f(x) decreixent).

►Un punt crític serà un mínim relatiu quan, en:

L'interval anterior, f

'

(x) < 0 (f (x) decreixent).

L'interval posterior, f

'

(x) > 0 (f (x) creixent).

Un punt crític no és un extrem si el signe de la derivada primera no canvia en passar de l'interval anterior al posterior.

2n. Criteri de la derivada segona

Es calcula la derivada segona de la funció: f "(x). Es substitueix cada punt crític x0 en f "(x0):

Si f "( x

0

) > 0 , llavors x

0

és un mínim relatiu.

Si f "(x

0

) < 0 , llavors x

0

és un màxim relatiu.

Si f "(x

0

) = 0 , llavors no es pot afirmar res i s’ha d’aplicar el criteri del

(8)

Substituïm-hi ara l'abscissa de cada punt, per estudiar-ne el signe:

La funció és creixent en x = -1 , per ser la derivada primera positiva en aquest punt.

La funció és decreixent en x = 2 , per ser la derivada primera negativa en aquest punt.

Per a x = 3, s’anul·la la derivada primera. Aquest és un punt crític de la funció i no podem dir, aleshores, si la funció és creixent o decreixent en aquest punt. S’ha de fer un estudi més complet, a l’esquerra i a la dreta d’aquest valor. Com que

1

<

3

<

2

,

calculem:

: la funció és creixent.

: la funció és decreixent.

Per tant, en x = 3 la funció presenta un màxim relatiu.

També arribarem a aquesta conclusió amb la derivada segona que, una vegada calculada pel lector –en els pròxims exercicis es faran càlculs de derivades segones-, donarà:

;

6 -Estudieu els intervals de creixement i decreixement, i trobeu els extrems, de la funció

f(x)=2x2

+

4x−3

Solució:

Podem estudiar els intervals de creixement i decreixement d'una funció aplicant el criteri del signe de la derivada primera.

Així, doncs, haurem d'esbrinar per a quins valors de x la derivada primera és positiva i per a quins valors de x la derivada primera és negativa.

Això ho farem de la següent manera:

1) Buscarem els punts on la derivada primera pot canviar de signe.

(

2

)

2 2 f '( 1) 3 ( 1) x 1 ( 1) 3 3 1 2 1 16 16 8

0

− = − − = − − + − = →

=

= >

(

)

2 2 2 f '(2) 3 2 x 2 2 3 3 4 1 49 49

0

= − = + − = − <

=

(

)

2 2 2 f '( ) 3 ( 3 ) x 3 3 ( 3 ) 3 3 3 0 36 36

0

= − = + − = →

=

=

(

2

)

2 2 f '(1) 3 1 1 3

0

− = +

>

(

2

)

2 2 f '(2) 3 2 2 3

0

− = +

<

(

2

)

(

2

)

(

2

)

3 3 3 3 f ''( ) 2( 3 18 3 2 3 3 18 3 12 3 ( 3 3 ( 3 3 ( 3 3 3

)

0

)

)

)

= ⋅ +

=

+

=

+

<

(

2

)

3 3 f ''(x) 2x 18x x 3 = +

(9)

En el cas d'una funció polinòmica, com aquesta, això pot passar en els punts on la deri-vada primera és 0. Així doncs, calcularem la derideri-vada primera, la igualarem a O i resol-drem l'equació plantejada:

f '(x)=4x +4 f '(x)= 4x+ =4 0

La derivada primera és 0 quan . Direm que és un punt crític de la funció i, per tant, un possible extrem.

2) Estudiarem el signe de la derivada primera en els intervals que els punts crítics deter- minen sobre la recta real.

Com que en aquest cas només hi ha un punt crític, tindrem dos intervals a considerar:

Estudiem el signe de la derivada primera en cada interval. Interval(−∞ −, 1):

Un dels valors que pertanyen a aquest interval és, per exemple, (podem escollír qualsevol valor de l'interval). Substituïm-lo en la derivada primera:

Com que la derivada primera és negativa en x = -2 , la funció es decreixent en aquest

punt. Com a conseqüència, la funció serà decreixent en tots els punts de l'interval .

Interval :

Un dels punts d'aquest interval és, per exemple, . Substituïm-lo en la derivada primera:

En ser la derivada primera positiva en el punt x = 0 , la funció es creixent en aquest punt i, per tant, en tots els punts de l'interval .

Aquests resultats els podem representar així:

Com que en el punt la derivada primera canvia de signe, en aquest punt la funció hi té un extrem. Per ser la funció decreixent en l'interval anterior a aquest punt i creixent en el posterior, es tracta dnun mínim relatiu.

Així, doncs, és un mínim relatiu de la funció.

Per trobar l'ordenada y del mínim relatiu substituïm la seva abscissa en la funció:

2

f( 1)− = −2( 1)

+

4( 1)− − = − − = −3 2 4 3 5

El punt és el mínim relatiu de la funció.

f '( 2) 4( 2) 4 0 x= −2

− = − +

<

f '(0) 4 0 4 0 x=0

= ⋅ + > 4 4x 4, x 1 4 − = − = = − 1 ( ,− +∞) x= −1 x= −1 x= −2 1 x = − x = −1 1 x = − 1 x = − ( 1, 5)− − 1 ( ,− +∞) (−∞ −, 1) x=0

(10)

També arribem a la mateixa conclusió amb la derivada segona:

7. Curvatura d'una funció: concavitat i convexitat

7.4 Diem que una funció és còncava en un punt x = a (punt A en la figura) quan existeix un entorn de a, en el qual la tangent a la funció en aquest punt és per sota de la funció.

7.5 Diem que una funció és convexa en un punt x = b (punt B en la figura) quan existeix un entorn de b, en el qual la tangent a la funció en aquest punt és per damunt de la funció.

7.1 Si f(x) és derivable en x = a es compleix:

Si f "(a) > 0 , llavors la funció f(x) és còncava en x = a.

Si f "(a) < 0 , llavors la funció f(x) és convexa en x = a.

7.6 Una funció és còncava en un interval quan ho és en tots els punts de l'interval. 7.5 Una funció és convexa en un interval quan ho és en tots els punts de l'interval.

8. Punts d'inflexió

8.1 Una funció té un punt d'inflexió en x = a si en aquest punt la funció passa de ser còn-cava a ser convexa o viceversa. En un punt d'inflexió, la tangent travessa la funció.

En el punt A la funció és còncava. En el punt B la funció és convexa. Un punt d'inflexió de la funció és l’indicat a la figura.

8.2 Si existeixen i es compleix:

► S

i f" (a) = 0 i f "'(a) 0 , la funció té un punt d'inflexió en x = a.

f ''( 1)− = >4 0

f(x)

f(x)

f ''(a) f '''(a)

(11)

8.3 Càlcul dels punts d'inflexió d'una funció. El procediment és el següent:

a) Es calcula la derivada segona de la funció: . b) S'iguala la derivada segona a 0: .

c) Es resol l'equació plantejada. Les solucions x1,x2,...,xn són els possibles punts

d'inflexió.

Per saber quines d'aquestes solucions són punts d'inflexió hi ha dos criteris:

1r. Criteri del signe de la derivada segona

Les solucions anteriors divideixen l'eix OX en un conjunt d'intervals:

S'estudia el signe de en cadascun dels intervals determinats, per saber si la funció és còncava o convexa en ells.

Aleshores, xi serà punt d'inflexió quan f "(x) canviï de signe en passar de l'interval anterior

al posterior, o sigui, quan la funció canviï de curvatura en xi.

2n. Criteri de la derivada tercera

Es calcula la derivada tercera de la funció: . Se substitueix cada solució xi en :

Si f "'(x

i

) 0, llavors x

i

és un punt d’inflexió.

EXEMPLES:

7- Esbrineu si la funció f(x) 2x

x 3

=

+ és còncava o convexa en els següents punts: , i x =0

Solució:

Quan la derivada segona d'una funció és positiva en un punt, la funció és còncava en aquest punt. Si la derivada segona és negativa en un punt, llavors la funció és convexa en aquest punt. Calculem, doncs, la derivada segona:

Traiem factor comú i simplifiquem:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (x 3) x 2x x 3 2x 3 x f '(x) (x 3) (x 3) (x 3) ⋅ + − ⋅ + − − = +

=

+

=

+

(

)

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2x (x 3) (3 x 2 x 3) 2x 2x (x 3) (3 x 2 x 3) 2x f ''(x) (x 3)

)

(

)

(

(x

3)

− ⋅ + − − + ⋅ − ⋅ + − − + ⋅ = +

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

+

2

(x

+

3)

2 2 2 2 4 2 3 2 2 x 3) [ 2x (x 3) (3 x 2 2x] 2x (x 3) (3 x 2 2x f ''(x) (x 3) (x 3)

(

+ ⋅ − ⋅ + − −

)

− ⋅ + − −

)

= + +

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

f ''(x) f '''(x) f ''(x) f '''(x) f '''(x) x = 2 x =4

(12)

Substituïm-hi ara l'abscissa de cada punt per estudiar-ne el signe:

La funció és còncava en el punt x = 4 , per ser la derivada segona positiva en aquest punt.

La funció és convexa en el punt x = 2 , per ser la derivada segona negativa en aquest punt.

Com que la derivada segona és 0 en x = 0 , aquest és un possible punt d'inflexió de la funció i no podem dir si aquesta és còncava o convexa en aquest punt; s'ha de fer un estudi més complet, amb la derivada tercera:

Com que , la funció té un punt d'inflexió en x = 0

.

9. Estudi i representació gràfica d'una funció

Per completar l'estudi d'una funció, es consideren els següents punts:

►1) Domini de la funció

El domini d'una funció f (x), D(f), és el conjunt de valors reals de la variable x per als quals la funció està definida, és a dir, per als quals el valor de la funció és real:

►2) Simetries

Simetria respecte a l'eix Y

Diem que una funció f (x) és simètrica respecte l'eix Y (o és una funció parella) quan es compleix:

f( x)− =f(x) per a qualsevol valor x del domini. (1) Simetria respecte a l'origen de coordenades (0,0)

Diem que una funció f(x) és simètrica respecte l'origen de coordenades (o és una funció imparella) quan es compleix:

f( x)− = −f(x) per a qualsevol valor x del domini. (2)

Per saber si una funció f (x) presenta una d'aquestes simetries, se substitueix, en l'ex pressió analítica de la funció, x per -x, i s'observa si es compleix una de les igualtats (1) o (2).

►3) Punts de tall (o d'intersecció) amb els eixos de coordenades. Punts de tall amb l'eix X

Es troben resolent l'equació: f(x)=0

{

}

D(f )

=

x

R / f(x)

R

3 2 3 2 4 18 4 x 4 f ''(4) (4 3)

0

⋅ ⋅ = = +

>

3 2 3

2 2

18 2

x

2

f ''(2)

(2

3)

<

0

=

=

+

2 2 3 2 2 2 2 6 2 4 3 2 3 (6x 18)(x 3) (x 3) (6x 18)(x 3) (x 3) (x 3) (2x 18x) 3 2x (2x 18x) 3 2x f '''(x) + + + + + − − − ⋅ − − − ⋅ ⋅ =

=

4 ( 18) 3 3 f '''(0) = − ⋅ ≠0

(13)

Les solucions són les abscisses dels punts buscats. Punts de tall amb l'eix Y

Es troba substituint, en la funció, x per 0. El valor obtingut així, f(0), és l'ordenada del punt buscat.

►4) Asímptotes

Una asímptota és una recta tal que la distància de la funció a aquesta recta es va fent tan petita com es vulgui (la distància tendeix a 0), quan x o f(x), o les dues, tendeixen a infinit.

N'hi ha de tres tipus:

Asímptota vertical

Una funció f(x) té una asímptota vertical d'equació x = a (sent a un nombre real) si la funció tendeix a infinit quan x tendeix a "a":

x = a és asímptota vertical si x a

lim f(x)

→ = ±∞

Asímptota horitzontal

Una funció f(x) té una asímptota horitzontal d'equació y = b (sent b un nombre real) si la funció tendeix a "b" quan x tendeix a infinit:

y = b és asímptota horitzontal si

xlim f(x)→±∞ =b (Si el resultat d'aquest límit és , no hi ha asímptota horitzontal.) Asímptota obliqua o inclinada

Una funció f (x) té una asímptota obliqua d'equació y = mx + n (essent m i n nombres reals) si es verifica:

Si m =0, el que s'obté és l'asímptota horitzontal. Si m = !∞, no hi ha asímptota obliqua.

►5) Signe.

A partir dels punts de tall amb l'eix X, se substitueixen valors intermedis entre ells a la funció. Segons els signe resultant sabrem si la funció és per damunt o per sota de l’eix X.

L'esquema per realitzar l'estudi d'una funció i la seva representació gràfica pot ser el se-güent:

1) Domini. 2) Simetries.

3) Punts de tall amb els eixos. 4) Asímptotes.

5) Signe.

6) Intervals de creixement i de decreixement. Extrems. 7) Intervals de concavitat i convexitat. Punts d'inflexió. 8) Representació gràfica.

(

)

x x f(x) lim , n lim f(x) m x m x → ∞ = → ∞ − = ∞

(14)

EXEMPLES:

8-Realitzeu l’estudi i la representació gràfica de la funció f(x)= x4 −8x2 −9 Solució:

1 - Domini

Qualsevol funció polinòmica està definida per a tots els nombres reals.

2- Simetries Tenim que:

Per altra banda:

Com que es compleix, la funció és simètrica respecte a l'eix Y, o sigui, és una funció parella.

3- Punts de tall amb els eixos Eix X: f(x)=0

x4 −8x2

9 =0

És una equació biquadràtica. Efectuem el canvi de variable: x2

=

t

2 8 9 0

t

t

+ = 2 t 9 ( 8) ( 8) 4 1 ( 9) 8 64 36 t 2 2 t 1 = − − ± − − ⋅ ⋅ − ± + = = = = −

Com quex2

=

t

llavors : Quan

Quan no té solució real.

Per tant, la funció talla l'eix X en els punts: (3, 0), (-3, 0).

Eix Y:

La funció talla l'eix Y en el punt (0,-9).

4- Asímptotes

D(f )

=

R

4 2 f(x)= x −8x −9 4 2 4 2 f( x)− = −( x) − −8( x) − =9 x −8x − =9 f(x) f( x)− =f(x) x

= ±

t

x t 9

x

3

t

x

3

= ⇒

= ±

=

=

= −

x t = − ⇒1

= ±

−1 2 4 x = ⇒0 f(0)=0 −8 0⋅ − = −9 9

(15)

Asímptota vertical:

No hi ha cap valor a real que compleixi:

Per tant, no hi ha asímptotes verticals. Asímptota horitzontal:

Calculem el límit:

La funció no té asímptota horitzontal. Asímptota obliqua:

La funció no té asímptota obliqua. 5- Signe

Els punts de tall amb l’eix X determinen els intervals: . També pot haver-hi un canvi de signe de la funció quan hi ha una asímptota vertical. Aquest no és el cas. Es tracta, doncs, de veure el signe de la funció a cadascun d’aquest intervals,

determinats pels punts de tall amb l’exi X. Per això, substituirem un valor interior de cada interval a la funció:

6- Intervals de creixement i decreixement. Extrems Calculem la derivada primera:

Estudiem el seu signe; per això, busquem aquells valors en què la derivada primera pot canviar de signe, igualant-la a 0 i resolent l'equació:

x = 0,x = 2 i són els punts crítics de la funció i possibles extrems. Estudiarem el signe de la derivada primera, doncs, en els següents intervals:

Per estudiar el signe de la derivada primera en cadascun dels intervals, hi substituirem un punt qualsevol de cada interval.

x a lim f(x) → = ∞ 4 2 x x x 8x 9) limf(x) lim( →∞ = →∞ − − = ∞ 2 4 x x f(x) x 8x 9 lim lim m x x → ∞ → ∞ − − = = = ∞ 3 f '(x)= 4x −16x 3 2 2 2 x 4 0, x 4, x 4x 16x 0, 4x(x 4) 0 4x 0, x 0 4 2 = = ± − = = = = − = = ± −

3 3 3 4( 3) 4( 1) 4 1 ( , 2) : x 3 f '( 3) 16( 3) 60 0 : decreixent ( 2, 0) : x 1 f '( 1) 16( 1) 12 0 : creixent (0, 2) : x 1 f '(1) 16 1 12 0 : decreixent − − ⋅ −∞ − = − ⇒ − = − = − < − = − ⇒ − = − = > = ⇒ = ⋅ = − < − − − (−∞ −, 3), ( 3,3), (3,− +∞) 4 2 4 2 4 2 4 ( , 3); f( 4) ( 4) 8( 4) 9 256 128 9 0 f(x) damunt l ' eix X. 0 ( 3,3); f(0) 0 8 0 9 9 0 f(x) sota l ' eix X. 4 (3, ); f(4) 4 8 4 9 256 128 9 0 f(x) damunt l ' eix X. − ∈ −∞ − − = − − − − = − − > ⇒ ∈ − = − ⋅ − = − < ⇒ ∈ +∞ = − ⋅ − = − − > ⇒ x = −2

(16)

Per tant:

(Com que la funció és simètrica respecte a l'eix Y, no hagués calgut fer cap càlcul per sa-ber que en l'interval (0, 2) la funció és decreixent, i en l'interval (2, ), creixent.)

Els punts x = -2, x = 0 i x = 2 són extrems de la funció, perquè en ells la derivada primera canvia de signe:

és un mínim relatiu, perquè en l'interval anterior a ell la funció és decreixent, i en el posterior, creixent.

x = 0 és un màxim relatiu, perquè en l'interval anterior a ell la funció és creixent, i en l'in-terval posterior, decreixent.

x = 2 és un mínim relatiu, perquè en l'interval anterior la funció és decreixent, i en el pos-terior, creixent.

Per trobar l'ordenada y corresponent a aquests extrems, substituïm les seves abscisses en la funció:

L’últim resultat ja el sabíem per la simetria de la funció.

Els punts són mínims relatius de la funció. El punt (0, -9) és màxim relatiu de la funció.

7- Intervals de concavitat i convexitat. Punts d'inflexió

Hem d'estudiar el signe de la derivada segona. Calculem-la:

Estudiem el signe d'aquesta derivada. Per fer-ho, buscarem els punts on aquest signe pot canviar, o sigui, els punts on la derivada segona val 0:

Els punts i són els possibles punts d'inflexió, perquè anul·len la

derivada segona.

Estudiarem, doncs, el signe de la derivada segona en els següents intervals: 4 2 4 2 4 2 25 25 f( 2) ( 2) 8( 2) 9 16 32 9 f(0) 0 8 0 9 9 f(2) 2 8 2 9 16 32 9

y

y

y

− − − = − − − = − − = = − ⋅ = − = − ⋅ = − − =

=

=

=

2 f ''(x) =12x −16 2 2 2 4 x 3 4 x 3 1'15 x , 1'15 16 4 12x 16 0, 12x 16, 12 3 = = − = = − − = = =

⎪⎪

=

⎪⎩

4 x 3 = − x 4 3 =

+∞

x = −2 ( 2, 25) i (2, 25)− − −

(17)

Per estudiar el signe de la derivada segona en cadascun dels intervals, hi substituirem un punt qualsevol de cada interval:

Com hem fet amb la derivada primera podem substituir, per exemple, els punts x = -2, x = 0 i x = 2: còncava; convexa; còncava.

Així, doncs:

Els punts d'abscissa i són punts d'inflexió, perquè en ells la funció

canvia de curvatura. També, en fer la derivada tercera, ,i substituir-hi aquestes abscisses, dóna diferente de 0.

Les seves ordenades són:

Els punt d’inflexió són: ( 1'15, 17 ' 89)− − i (1'15, 17 ' 89)− . 8- Representació gràfica

Les característiques de la funció calculades fins ara ens permeten fer la següent repre-sentació gràfica: f ''(0)< ⇒0 f ''(2)> ⇒0 f ''( 2)− > ⇒0 4 x 3 = − x 4 3 = f '''(x)= 24x 4 2 4 4 4 161 17 ' 89 3 3 3 9 f(− )=(− ) −8(− ) − =9 − = − 4 2 4 4 4 161 17 ' 89 3 3 3 9 f( )=( ) −8( ) − =9 − = −

(18)

9- Realitzeu l’estudi i la representació gràfica de la funció

Solució: 1- Domini

Aquesta funció racional estarà definida per a tots els valors reals de x, excepte per a aquells que anul·lin el denominador. Busquem aquests valors:

x− = ⇒ =1 0 x 1

El domini de la funció serà el conjunt dels nombres reals, excepte x = 1:

2- Simetries

Com que no es compleix f(-x) = f(x) ni f(-x) = -f(x) , la funció no és simètrica respecte a l'eix Y ni respecte a l'origen.

3- Punts de tall amb els eixos

Eix X:

És el punt (0, 0), que és l'origen de coordenades.

EixY:

Tornem a obtenir el mateix punt (0, 0).

4- Asímptotes Asímptota vertical:

Quan hem igualat 0 el denominador de la funció hem obtingut x = 1. La recta x = 1 és asímptota vertical de la funció perquè, segons si fem límit lateral per l’esquerra o per la dreta.

Asímptota horitzontal: Calculem el límit: 2 x x b lim f(x) lim 2x x 1 →±∞ →±∞ = = = ±∞ −

La funció no té asímptota horitzontal.

Asímptota obliqua. Calculem m i n per trobar l’equació de l’asímptota obliqua:

2 f(x) 2x x 1 = −

{ }

D(f )= −R 1 2 2 f( x) 2( x) 2x x 1 x 1

f(x)

− = − − −

=

− −

f(x)=0 2 2 2x x −1=0, 2x = ⋅0 (x− = ⇒ =1) 0 x 0 x =0 2 2 0 y f(0) 0 1 0 ⋅ = = − = x 1 lim f(x) → = ±∞

(19)

y = mx + n

Substituint els valors de m i n en l'equació de la recta y = mx + n, obtenim l'equació de l'asímptota obliqua:

y = 2x + 2

Per representar gràficament aquesta asímptota, fem una petita taula de valors: x = 0, y = 2; x = 1, y = 4

L'asímptota obliqua serà la recta que passi pels punts (0, 2) i (1, 4). 5- Signe

L’únic punt de tall amb l’eix X és x = 0. I l’asímptota vertical x = 1. Determinen els intervals:

(

−∞

,0), (0,1), (0,

+∞

)

. Per a x, tal que

2

2

2x

x 0 f(x) 0, ja que 2x 0 i x 1 0 : f(x) sota l ' eix X

x 1 .

< ⇒ = < > − <

Per a x, tal que

2

2

2x

0 x 1 f(x) 0, ja que 2x 0 i x 1 0 : f(x) sota l ' eix X

x 1 .

< < ⇒ = > − <

<

Per a x, tal que

2

2

2x

1 x f(x) 0, ja que 2x 0 i x 1 0 : f(x) damunt l ' eix X

x 1 .

< ⇒ = > − >

>

6- Intervals de creixement i decreixement. Extrems

Hem d'estudiar el signe de la derivada primera. Calculem-la:

2 2 2 2 2 2 2 4x(x 1) 2x 1 4x 4x 2x 2x 4x f '(x) (x 1) (x 1) (x 1) − − − − − = − − − ⋅ = =

Estudiem el seu signe; per això, busquem aquells valors en què la derivada primera pot canviar de signe, igualant-la a 0 i resolent l'equació:

2 2 2 2x 4x (x 1) x 0 0 2x 4x 0; 2x(x 2) 0 x 2 0; x 2 − − = = ⇒ − = − = − = =

Els valors x = 0 i x = 2 són les abscisses dels punts crítics de la funció i possibles extrems. Determinen els següents intervals:

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ = = − = = = − − x x x x 2 2 2 2 f(x)

lim lim lim lim

m x x 2x 2x 2x x 1 2 x(x 1) x x

(

)

x x x x x 2 2 2 2

n lim f(x) m x lim 2x 2 x lim2x 2 x(x 1) lim2x 2 x 2x lim 2x 2

x 1 x 1 x 1 x 1 → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ = − = − = − − = − + = = − − − −

(20)

Per estudiar el signe de la derivada primera en cadascun dels intervals, hi substituirem un punt qualsevol de cada interval:

(Tinguem en compte que en l'interval (0 , 2) hi ha un punt en què la funció no està defini-da: x = 1. Aquest valor, doncs, s'ha d'excloure de tots els càlculs.)

Per tant:

Els punts x = 0 i x = 2 són extrems de la funció, perquè en ells la derivada primera canvia de signe:

x = 0 és un màxim relatiu, perquè en l'interval anterior a ell la funció és creixent, i en l'in-terval posterior, decreixent.

x = 2 és un mínim relatiu, perquè en l'interval anterior la funció és decreixent, i en el pos-terior, creixent.

Les seves ordenades són:

El màxim és el punt (0, 0) i el mínim és el punt (2, 8). 7- Intervals de concavitat i convexitat. Punts d'inflexió

Hem d'estudiar el signe de la derivada segona. Calculem-la a partir de la derivada primera: Dóna: 2 2 2 2 4 3 2x 4x (4x 4)(x 1) 2x 4x)2(x 1) 1 4 f '(x) (x 1) f ''(x) (x 1) (x 1)

(

− − − − − ⋅ − − − = ⇒ =

=

Per saber el signe d'aquest quocient, haurem d'estudiar el signe del denominador. Per a x = 1 el denominador de la derivada segona podria canviar de signe (tot i que en aquest punt la funció no està definida).

Estudiarem, doncs, els següents intervals

2 2 2 2 2 2 2 4 0 : creixent 4 2( 1) 4( 1) ( , 0) : x 1 f '( 1) ( 1 1) 2 1' 5 4 1' 5 4 ' 5 6 (0, 2) : x 1' 5 f '(1' 5) 0 : decreixent (1' 5 1) 0 ' 25 2 3 4 3 18 12 (2, ) : x 3 f '( 1) 0 : (3 1) 4 creixent + > − − − −∞ = − ⇒ − = − − ⋅ − ⋅ − = ⇒ = < − ⋅ − ⋅ − ∞ = ⇒ − = > −

=

=

=

2 2 f (0) 2 0 f (2) 2 2 0 1 2 1 8 0; 8 1 = ⋅ = ⋅ − = − = =

(21)

Per estudiar el signe de la derivada segona en cadascun dels intervals, hi substituirem un punt qualsevol de cada interval:

f '(0) 4 3 (0 1) 0 − < ⇒ = convexa; f '(2) 4 3 (2 1)

0

− =

> ⇒

còncava Així, doncs:

La funció canvia de curvatura en el punt x = 1 , però com que en x = 1 la funció no està definida, no hi ha punt d'inflexió.

8- Representació gràfica

Les característiques de la funció calculades fins ara ens permeten fer la següent repre-sentació gràfica:

(22)

10. Resolució de problemes d'optimització

1) S'escriu l'equació de la funció que s'ha de maximitzar o minimitzar. 2) S'ha d'expressar aquesta funció amb una sola variable.

Si quan es planteja en té més, s'han de trobar relacions entre les variables que permetin escriure la funció amb una única variable.

3) Quan la funció ja està escrita amb una sola variable, es deriva i s'iguala la derivada a 0. 4) Es resol l'equació plantejada (i s'han d'afegir els punts frontera del domini).

5) Per comprovar si les solucions obtingudes maximitzen o minimitzen la funció, es substitueixen en la derivada segona de la funció:

- Si aquesta resulta positiva, hi ha un mínim relatiu. - Si resulta negativa, hi ha un màxim relatiu.

EXEMPLES:

10- Descompon el nombre 900 com a suma de dos nombres el producte dels quals sigui màxim.

Siguin x i y les variables que representen els dos nombres que busquem.

1. La funció que hem d'optimitzar és el producte de dos nombres, i que podem expressar com a:

2. De l'enunciat en deduïm la relació que hi ha entre x i y, ja que:

Això ens permet d'escriure l'expressió del producte dels dos nombres en funció d'una única variable, x:

P(x, y)= ⋅ =x y x(900−x) =900x−x2 que podem expressar P(x) =900x−x2 3. Calculem els extrems relatius de la funció . Per a fer-ho, trobem la derivada:

4. Resolem l'equació:

5. Comprovem, aplicant el criteri de la segona derivada, que la solució x = 450 es corres-pon amb un màxim relatiu de la funció:

Per tant: x = 450 i y = 900 - 450 = 450

11- Determina el cilindre de major volum que es pot inscriure en una esfera de radi 9 cm.

1. La funció que s'ha d'optimar és la que ens dóna el volum d'un cilindre,

V

= π ⋅ ⋅

r

2

h

, en

x 900 900 2x 0, 2x 900, 450 2 = − = = = P(x) P '(x) =900−2x P(x, y)= ⋅x y x+ =y 900, y =900−x P '(x)=0 P ''(x)= −2, P ''(450)= − <2 0

(23)

què r és el radi de la circumferència de la base i h l'altura del cilindre, tal com observem a la figura adjunta. R és el radi de l’esfera: R = 9 cm.

2. Observem que:

2 2 2 2 2 2 2 2

h=2x, R =r +x , 9 =r + x ⇒r =81 x−

I, substituint en l'expressió del volum, tenim:

= π − 2 = π − π 3 V(x) (81 x )2x 162 x 2 x

1. Calculem els extrems relatius de la funció V(x). Per a fer-ho, trobem la derivada,

= π − π 2

V '(x) 162 6 x , i resolem l'equació :

La solució x = −3 3no té sentit en el context del problema, ja que l'altura no pot ser negativa. Comprovem, amb el criteri de la segona derivada, que la solució x =3 3 és un màxim relatiu de la funció:

= − π = − π = − π <

V ''(x) 12 x 12 3 3 36 3 0

Per tant, l'altura i el radi del cilindre són:

= ⋅ = = − 2 = − = =

h 2 3 3 6 3 cm, r 81 x 81 27 54 3 6 cm

Així, el cilindre de radi r =3 6 cm i altura h= 6 3 cm és el de major volum.

π − π = ⇒ π = π = π = = = π = − = −

⎧⎪

⎪⎩

2 2 2 162 6 x 0 162 6 x , x 162 27 x 27 3 3 6 x 27 3 3 V '(x)=0

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :