GUÍA DE EJERCICIOS. Área Matemáticas INTEGRALES IMPROPIAS

GUÍA DE EJERCICIOS

Área Matemáticas

INTEGRALES IMPROPIAS

Resultados de aprendizaje

1. Reconocer integrales de primera y segunda especie

2. Aplicar procedimientos , que conduzcan a la solución de una integral impropia de primera o segunda especie

Contenidos

1. La integral indefinida de primera especie , su forma ,y definición 2. La integral indefinida de segunda especie , su forma y definición

Debo saber

Para calcular integrales definidas teníamos como restricción, que el dominio de integración, fuera finito de la forma

 

a

,

b

y que la función integrando tuviese rango finito sobre ese dominio.

En este caso, haremos cálculo de integrales, para funciones definidas en intervalos no acotados y para funciones no acotadas, sobre el dominio de integración

 Integrales Impropias de primera especie

Estas integrales corresponden a integrales, cuyo dominio no es acotado, es decir, son de la forma :



 a dx x f( ) ,



  b dx x f( ) ,



   dx x f( )

Si

f

:



a

,









es una función acotada y para todo bba f es integrable en

 

a

,

b

Entonces definiremos, la integral impropia



 a dx x f( ) como:





    a b a b f x dx dx x f( ) lim ( )

Si limite existe ,diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario diremos que es divergente

Si

f

:







,

b







es una función acotada y para todo a,ba, f es integrable en

 

a

,

b

Entonces definiremos, la integral impropia





    b b a a f x dx dx x f( ) lim ( )

Si limite existe , diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario, diremos que es divergente

Si f :, es una función acotada, entonces definiremos la integral impropia



   dx x f( ) como:

f x dx f x dx f x dx c escualquiernúmeroreal

c c







       ( ) ( ) ) (

 Integrales Impropias de segunda especie

Estas integrales corresponden a aquellas, donde la función a integrar, contienen alguna discontinuidad infinita en el intervalo de integración.

Si f es una función continua en el intervalo

 

a

,

b

y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces definiremos, la integral impropia



b a dx x f( ) como:



_



  b a c a b c f x dx dx x f( ) lim ( )

Si limite existe, diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario, diremos que es divergente

Si f es una función continua en el intervalo

 

a

,

b

y es discontinua en a, entonces definiremos, la

integral impropia



_



  b a b c a c dx x f dx x f( ) lim ( )

Si f es una función continua en el intervalo

 

a

,

b

y tiene una discontinuidad infinita en

c



 

a

,

b

entonces definiremos la integral impropia



b a dx x f( ) como:











b a c a b c dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( )

Si las integrales impropias





c a b c dx x f y dx x

f( ) ( ) son convergentes, entonces diremos que la

integral impropia



b

a

dx x

f( ) es convergente, en caso contrario diremos que es divergente.

Ejemplo 1 Determinar la convergencia o divergencia de la integral



  0 2 1 x dx

2 ) ( lim ) 0 ) ( ( lim )) 0 ( ) (arctan( lim 0 ) arctan( lim 1 lim 1 ₀ 2 0 2



                        





x b b arctg arctg b arctg b

x dx x dx b b b b b b

Por lo tanto, la integral impropia es convergente y



   o x dx 2 1 2



Ejemplo 2 Determinar la convergencia o divergencia de la integral



 

1

dx

ex

Solución .Según las definiciones anteriores, podemos escribir

e e e e e e a e dx e dx e a a a a x a a x a x                          







0 lim ) ( lim 1 ) ( lim lim 1 1 1

Así la integral impropia es convergente y



   1 e dx ex

Ejemplo 3 Determinar la convergencia o divergencia de la integral



    dx e x x2

Solución. De las definiciones anteriores, escribimos







           0 0 2 2 2 dx e x dx e x dx e

x x x x por lo tanto debemos calcular





     0 0 2 2 dx e x y dx e x x x En efecto xe dx xe dx xe x dx a a x a a x ) ( lim lim 2 2 2 0 0 0        







   (aplicando sustitución simple

xdx du x u 2  2 ), se concluye :

2

1

)

0

(

2

1

2

1

)

(

lim

2

1

2

1

)

(

2

1

lim

0

)

2

1

(

lim

2



0



2





 2







        a a a a x a

e

_a

e

e

e

De igual modo







                 _{         } 0 0 0 0 2 1 ) 1 lim ( 2 1 ) ( 2 1 lim 0 ) 2 1 ( lim lim lim 2 2 2 2 2 2 b b _b b b b x b x b x b x e e e b e dx xe dx e x dx e x

Por lo tanto la integral impropia es convergente y



    _{  } 1 2 1 2 1 2 dx e x x

Ejemplo 4 Determinar si la integral impropia



 1

0 1 x

dx

Solución Primero fijamos la atención en la función x x f   1 1 ) ( es discontinua en x1 y    _x x ₁ 1 lim 1 luego



2 1 2 1

 

lim 2 1 2



2 lim 0 ) 1 2 ( lim 1 lim 1 1 1 0 1 1 1 0                      _



_ _ _



x c c c x dx x dx c c c c c

Asi la integral impropia es convergente y 2 1 1 0  



dx_x

Ejemplo 5 Determinar si la integral impropia



1 0 3 x dx es convergente o divergente

Solución Notemos que la función

3 1 ) ( x x f  es discontinua en x0y _  ₀ 3 1 lim x x Luego 2 3 lim 2 3 2 3 2 3 2 3 lim 1 ) 2 3 ( lim lim 23 0 0 1 3 2 0 3 0 1 0 3 3 2                  _{   }    





c c c x x dx x dx c c c c c

Por lo tanto la integral impropia es convergente y

2 3 1 0 3 



dx_x

Ejemplo 6 Determine la convergencia de la integral impropia



 2 1 3 x dx

Primero notemos que la función

(

)

1

₃

x

x

f



, es discontinua en x0 y









_  _ ₀ 3 ₀ 3

1

lim

1

lim

x

y

x

x x , luego                                







x c x _c x dx x dx x dx c c c c c c 2 2 1 ( lim 1 ) 2 1 ( lim lim lim 2 0 2 1 1 2 2 0 3 0 3 0 3 =

8

3

8

1

2

1

)

2

1

2

1

(

lim

2

1

2

2

1

lim

)

1

(

2

1

)

2

1

(

lim

2 2 0 2 2 0 2 2 0









 

















_

_











_

_

_

           

c

c

c

c

c c c

Por lo tanto la integral impropia



 2 1 3 x dx converge