Ecuaciones Diferénciales (Primer parcial)

(1)

Ecuaciones Diferénciales

(Primer parcial)

1. Ecuaciones por Separación de variables M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Es aquellas donde se despeja fácil mente (y) y se reordena de manera que sus variables que dan se paradas y agrupadas

- N (x,y) dy = M(x,y) dx “Integrando“

Y = F(x) + C

2. Ecuaciones Homogéneas M n

(x,y) dx + N n (x,y) dy =0 y = vx

n = 0, 1, 2, 3,4,……. tienen el mismo grado, el cambio de variable y = vx Permite convertir en Separación de variables

3. Ecuaciones de M, N Lineales no Homogéneas (a1x + b1y + C1)dx + (a2x + b2y+ C2)dy = 0

CV. t = a1x b1y

CV.

a1x + b1y + C1 = 0 x = h x = r + h

a2x + b2y + C2 = 0 y = k y = s + k

4. Ecuaciones de diferencial Exacto M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Derivadas tienen que ser (=) debe cumplirse la condición

C f

U(x,y)= (x,y)+φ(y)=

5. Ecuaciones por factor de integración M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0 Caso 1

∫

∴ → = ∂ ∂ − ∂ ∂ dx f x x e FI f N x N y M ) ( _ _ ) ( Caso 2

∫

∴ → − = ∂ ∂ − ∂ ∂ dy g y y e FI g M x N y M ) ( _ _ ) ( Caso 3 y x y x N M FI N M + ∴ → ≠ + 0_ _ 1

Caso 4 yf(x,y) dx +x g (x,y) dy = 0 ; f(x,y) = g(x,y)

y x xy xy g M N f xy FI − = − ∴ 1 ) ( 1

6. Ecuaciones de Primer Orden, primer grado

) ( ) (x

Q

x

yP

x

y

₊

₌

∂

∫

−

• 











+

• =

∫

x P dx P dx x x

e

C

dx

e

Q

y

₍ ₎ () () 7. Ecuaciones de Bernouilli ) ( ) ( x n x

y

Q

yP

x

y

₊

₌

∂

n = el valor que se remplaza

n n

Z

y

Z

=

−

→

=

1− 1 1

__

, 1 ,

1

1 Z

Z

n

y

n n −

−

=

8. Ecuaciones de isobáticas

F(x,y)dy-g(x,y)dx = 0 y = zn

X = zn 9. Ecuaciones especiales ) ( 1 , n x y n

f

x

y

=

− ) ( 1 , n y x n

f

y

x

=

− 10. Ecuaciones de Rica ti

Y

1

_{= a}

1(x)

y

2

+ a

2(x)

y + a

0(x)

= 0

Y

(x)

= dato pero se puede hallar

z

y

x

1

) (

+

=

Se determina mediante la formula Z1_{+ (}

_a

2(x)

+ 2

*

a

1(x)*

Y

(x)

)

*

Z = - a

1(x)

11. Teoria

El orden.- de una ecuación diferencial se refiere a las veces que se deriva la función (primera derivada, según derivada, tercera derivada,… ………etc.).

El grado.- se refiere a la potencia a que esta elevada una derivada. Ejemplo:

0 )

(

)

(

y

11 3

+

y

1 5

+

y

=

Ecuación diferencial de segundo orden y tercer grado

Teorema del valor inicial

) ( ) (x

Q

x

yP

x

y

=

+

∂

La ecuación diferencial tiene la solución

∫

−

• 











_•

₊

=

∫

x P dx P dx x x

e

C

dx

e

Q

y

( ) () ()

Tiene infinitas soluciones en un intervalo___L____ uno por cada valor de _____C_____ geométrica mente en vista de esos resultados si admite soluciones Y = Y(x) tal que Y(xo)=Y(o)

Se reconoce como el valor inicial.

0 2 1 2 1 ₌       b b a a 0 2 1 2 1 ₌       b b a a x N y Mxy xy ∂ ∂ = ∂ ∂ (,) (,) ) ( ) , ( ) , (xy

M

xy

dx

y

U

=

∫

+

φ

) ( ) , ( ) , (xy

f

xy y

U

=

+

φ

) , ( ) ( ) , ( ) , ( y x y y x y x N y M y y U = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂

∫

φ ) ( ) ( ) , ( ) (y

=

f

xy

∂

y

__________

_____

_

y

=

f

y

∂

φ

(2)

Ecuaciones Diferénciales

(Segundo parcial)

Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

0

3 , 2 , , 1

y

+

a

y

+

a

y

=

a

Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes

) ( 3 , 2 , , 1

y

a

y

a

y

f

x

a

+

=

Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables

) ( 0 1 1 1

...

x n n n n n n

x

y

a

x

y

a

y

f

a

+

₊ + +

+

=

W

≠

0 linealmente Independiente

W = 0 linealmente Dependiente

0

) ( 0 , ) ( 1 , ,

=

+

a

y

a

y

_x _x

[

]

dx a y y x

ce

W

=

−

∫

1() 2 1,

Formula de Abel

0 )

(

) ( 0 , ) ( 1 , , 2 1 1 2 ) ( 1

=

+













=

∫

−

y

a

y

a

y

dx

y

e

y

x x dx a _x

Verificar = 0 la ecuación diferencial

y luego utilizar la formula de Abel Y = C1Y1 + C2Y2

Respuesta de Raíces reales pero diferentes

....

...

3 2 1 3 2 1 x r x r x r

e

C

e

C

e

C

y

=

+

Respuesta de Raíces reales pero iguales

..

...

2 3 2 1 rx rx rx

e

x

C

xe

C

e

C

y

=

+

Respuesta de Raíces complejas

)

(

)

cos(

1 2 1 1 1 1

x

b

sen

e

C

x

b

e

C

y

=

a

+

a

i

b

a

r

i

b

a

r

1

=

1

+

1



→

2

=

1

−

1

Método Continuo

) ( 0 1

...

_x n n

f

y

a

ay

y

+

−

+

=

∫

−

_•

−

_•

−

=

r x n x x r r x r r r p

e

f

e

dx

y

n

)

(

) ( ) ( ) (₁ ₂ ₃ ₂ 1

n =

orden de derivación

Método de coeficientes indeterminados

) ( 3 , 2 , , x

f

y

a

y

a

y

+

=

x x p x x p x x p x x x p x x p x p x

Be

Axe

y

xe

f

ax

B

ax

Asen

y

ax

sen

f

Ae

y

e

f

Ae

y

e

f

D

Cx

Bx

Ax

y

x

f

C

Bx

Ax

y

x

f

>

+

=

+

=

+

=

−

+

=

+

=

_________

)

cos(

)

(

______

)

(

_________

4 __________

___

1

5 _________

) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 3 2 3 ) ( 2 2 ) (

Método de variación de parámetros

) ( 0 2 2 1 1

...

x n n n n n n

y

a

y

a

y

a

y

f

a

+

₋ −

+

₋ −

+

=

Y

T

=

Y

H

+ Y

P

Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes no homogéneos método de variación de parámetros

0

0 ) ( ) ( 2 , ) ( 1 , ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 0

=

→

−−

−

=

∫

x

dt

f

y

x _t x t t t t x x t t p

La ecuación de Euler

) ( 0 2 2 2 1 1 1 ... x n n n n n n n n nx y a x y a x y axy f a + ₋ − − + ₋ − − + + = Con el cambio de variable t

e

x

=

)

(

₂ 2 2 , , ,

dt

dy

dt

y

d

e

y

dt

dy

e

y

t t

−

=

− −

La ecuación de lagendre

) ( 0 1 1 1( ) ... ( ) ) ( x n n n n n n ax b y a ax b y a ax b y f a + + ₋ + − − + + + = Con el cambio de variable t

e

b

ax

+

)

=

(

)

(

₂ 2 2 2 , , ,

dt

dy

dt

y

d

e

a

y

dt

dy

ae

y

t t

−

=

− −

Reducción de orden

*)

_________(

) ( ) ( 2 1 ) ( 1 11 ) ( 0 x

y

a

x

y

a

x

y

f

x

a

+

=

Sise conoce Y1 de la homogénea el CV: uY

1

se

deriva dos veces y se remplaza en (*) se obtiene

) ( 1 ) ( 11 x x

u

Q

P

u

+

=

Operador anulador es

Yp

Un operador

x

D

∂

=

D

K=ctte

n

D

(x)

n-1

(D-a)

ax

e

2 2

B

D

+

Sen(Bx) 0 Cos(Bx)

n

B

D

)

(

−

(x)

n-1

_e

Bx n

B

D

)

(

2

+

2

x

n-1

Sen(Bx) 0 x

n-1

Cos(Bx)

2 2

)

(

D

−

A

+

B

e

Ax

Sen(Bx) 0

e

Ax

Cos(Bx)

n

B

A

D

−

2

+

2

X

n-1 Ax

e

Sen(Bx) 0

x

n-1 Ax

e

Cos(Bx)

Transformada de la Place

(3)

Definición si f

(t)

es una función continúa por tramos y

existe a, b f

(t)

<ae

bt

entonces existe : la

{ }

₌

_∫

∞ − 0 ) ( ) ( ) ( t st s t

F

e

f

L

Donde

L

{ }

f

(t)

es la

transformada de f

(t)

{ }

( ) , , ) ( , ) ( 2 ) ( 3 ) ( , , , ) ( , ) ( ) ( 2 ) ( , , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( o o o s t o o s t o s t s t

y

Sy

y

S

y

S

y

L

y

Sy

y

S

y

L

y

Sy

y

L

y

L

−

=

−

=

−

=

Paso Unitario función Dirác

{ }

as a t as a t

e

L

s

e

u

L

− − − −

=

) ( ) (

δ

Formula:

{

}

{ }

{

}

{ }

[

{ }

]

periodica

funcion

para

x

f

L

ds

d

f

t

L

e

L

e

u

e

L

f

L

e

u

f

L

o n n t n n n t n t s t t t s t t

_

___

1

1 )

1 (

₍₎ ) ( 2 3 ) 3 ( ) 3 ( 2 ) ( 3 ) 3 ( ) 3 (

∑

∞ = − − − − − −

=

−

=

La transformada de un paso unitario distinto:

{

}

{

[

]

}

{

−

+

⋅

−

+

}

=

+

−

=

− − − − − ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2

4 )

2 (

4 )

2 (

2 )

2 (

t t t t t

u

t

u

t

L

u

t

L

u

t

L

Teorema del valor inicial

)

*

(

( ) ) 0 ( s s

S

y

Lim

y

∞ →

=

Función Periódica

{ }

Funcion

Periodica

e

dt

f

e

f

L

_sT T o t st t

....

__

1

) ( ) ( ₋ −

−

=

∫

Ecuación para funciones de la forma





















≥

<

≤

<

≤

=

3 ___

___

0

3

2 _

__

2

0 _

__

, , ) ( , ) ( ) (

t

h

t

g

f

t t t

0

2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( ) (

+

=

+

=

∫

− − − − − o t st o t st s o st o t st o t st s

dt

h

e

dt

g

e

F

dt

e

dt

h

e

dt

g

e

F

Ecuación para funciones mediante paso unitario





















≥

<

≤

<

≤

=

3 __

___

3

2 _

__

2

0 _

__

, ) ( , ) ( , ) ( ) (

t

k

t

h

t

g

f

t t t t

)

(

)

(

)

(

) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( − − − − −

⋅

+

−

⋅

+

−

⋅

t t t t t t t t

u

k

u

h

u

g

Convoluciòn

{ }

t

{ }

t e t t o

f

x

g

d

L

f

L

g

L

₍ ₎ ₍ ₎

=

₍₎

*









−

∫

{ } { }

{ }

() 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( t t a t t t t u t u

g

L

t

L

da

g

a

L

g

L

f

L

du

g

f

L

⋅

=

















⋅

=

















∫

− −

La función f

(t)

es mediante la forma de la grafica

Ecuaciones Diferénciales

(Tercer parcial)

Series

∑

∞ = − ∞ = − ∞ =

−

=

o n n n o n n n o n n n

x

C

n

y

x

nC

y

x

C

y

2 , , 1 ,

)

1 (

Sistemas dinámicos

Métodos de resolución de sistemas dinámicos Método de operadores

Para funciones simples para trigonometrícas

K

x

At

x

Ae

x

B

At

x

p p Bt p p

=

+

=

2 t t p p

Ae

Be

x

t

Bsen

t

A

x

−

=

+

=

2

2 cos

Método de Determinantes

{ }

) ( 2 2 ) ( 1 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 1 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 1 2 1

)

1 (

)

1 (

)

1 (

)

1 (

)

1 (

)

1 (

_

min

det

_

)

1 (

)

1 (

t t t t t t

f

D

f

D

y

D

f

D

f

x

D

queda

resultado

el

antes

er

por

f

y

D

x

D

f

y

D

x

D

−

=

−

=

−

=

−

+

−

=

+

(4)

FÓRMULAS DE ELECTRICIDAD

Y ELECTRÓNICA

CALCULU ii

(Primer parcial)

s

l

R

=

ρ

⋅

R

t

= R

0

· (1 +

α

· ∆

t)

R

V

I

=

)

(

)

(

10

84 ,

8 )

(

2 8

cm

d

cm

S

K

F

C

µ

=

⋅

−

⋅

v

c

= V· (1 – e

- t/R·C

)

T

c

= 5·R·C

v

d

= V· e

- t/R·C

T

d

= 5·R·C

µ

)

(

)

(

·

10

257 ,

1 )

(

2 2 8 -

⋅

=

cm

l

cm

S

N

H

L

V

Q

C

=

t

Q

I

=

2

1 I

L

W

_L

=

⋅

2

1 V

C

W

_C

=

⋅

R

T(paralelo) =

1

1 _...

1

3 2 1

+

R

T(serie)

= R

1

+ R

2

+ R

3

+ ...

C

T(paralelo)

= C

1

+ C

2

+ C

3

+ ...

C

T(serie) =

1

1 ...

1

3 2 1

+

C

P = v · I

(R

1



R

2

)

=

2 1 2 1

R

+

⋅

(C

1

y C

2

en serie)

=

2 1 2 1

C

+

⋅

C

X

_C

⋅

=

ω

1 X

L

=

ω

· L

ω

= 2

π

·f

Circuito R-L-C serie

2 2

₍

₎

C L

X

R

Z

=

+

−

Circuito R-L-C paralelo

2 2

1

1 







−

+













=

C L

X

R

Z

(5)

Vectores Norma de un vector:

_u

n

u

=

₁2

+

2₂

+



+

2 Vector unitario:

u

Cosenos directores:

1 )

(

cos

)

(

cos

)

(

cos

;

)

cos(

,

)

cos(

,

)

cos(

2 2 2 3 2 1

=

+

=

γ

β

α

γ

β

α

u

Producto cruz o producto vectorial:

2 2 2 2

)

(

)

(

v

u

v

u

v

u

sen

v

u

v

u

⋅

−

=

×

=

×

θ

Área del paralelogramo generado por u y v:

A

=

u

×

v

Triple producto escalar:

3 2 1 3 2 1 3 2 1

)

(

w

v

u

w

v

u

⋅

×

=

Componente de v a lo largo de u:

)

cos(

)

cos(

θ

v

θ

u

v

u

v

u

v

comp

_u

=

⋅

=

Producto cruz o producto vectorial:

)

(

)

(

)

(

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1

u

v

u

k

u

v

u

j

u

v

u

i

v

u

k

j

i

v

u

−

+

−

=

×

Geometría analítica del espacio

Ecuación vectorial de la recta:

r

=

r

₀

+

tv

: donde v es el vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones simétricas de la recta:

0 ;

1 2 3 3 0 2 0 1 0

=

−

=

−

≠

−

v

con

v

z

v

y

v

x

Ecuación vectorial del plano:

n

⋅

(

r

−

r

₀

)

=

0

donde n es el vector normal al plano, r0

=(x

0

,y

0

,z

0

) y r =(x,y,z).

Ecuaciones paramétricas del plano:

3 3 0 2 2 0 1 1 0

su

tv

z

su

tv

y

su

tv

x

+

=

+

=

+

=

Ecuaciones paramétricas de la recta:

3 0 2 0 1 0

tv

z

tv

y

tv

x

+

=

+

=

+

=

Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene

como vector normal a n =(a,b,c):

0 )

(

)

(

)

(

x

−

x

₀

+

b

y

−

y

₀

+

c

z

−

z

₀

=

a

.

Distancia de un punto Q a un plano:

2 2 2 0 0 0

)

(

c

b

a

d

cz

by

ax

n

PQ

comp

D

_n

+

−

+

=

→ →

Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por:

u u PQ D × = →

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

CALCULU ii

(Segundo parcial)

DERIVADAS PARCIALES Y SUS APLICACIONES

Derivadas parciales de orden superior:

xy x yx y yy y xx x f f y x f y y x f x y f f x y f x y x f y x f f y y f y y x f y f f x x f x y x f x = = ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =     ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ =     ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ) , ( ; ) , ( ) , ( ; ) , ( 2 2 2 2 2 2

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección

del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

))

,

(

),

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0 0 0 0 2 1 0 0 0 0

y

x

f

y

x

f

u

y

x

f

u

y

x

f

D

y x u

⋅

=

∇

• =

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del

vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

))

,

(

),

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0 0 0 0 2 1 0 0 0 0

y

x

f

y

x

f

u

y

x

f

u

y

x

f

D

y x u

⋅

=

∇

• =

La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el

punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

(

,

)

0 )

,

(

0 0 0

• −

0

−

0

−

0

=

∇

F

x

y

z

x

y

z

La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el

punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

t z y x F z z t z y x F y y t z y x F x x= 0+ x( 0, 0, 0) ; = 0+ y( 0, 0, 0) ; = 0+ z( 0, 0, 0)

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

dy

y

z

dx

x

z

dz

∂

+

∂

=

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)

Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

t

y

z

t

x

z

t

z

s

y

z

s

x

z

s

z

∂

+

∂

=

∂

+

∂

=

∂

;

Gradiente de z=f(x,y)

∇

f

(

x

,

y

)

=

(

f

_x

,

f

_y

)

. Gradiente de

w=f(x,y,z)

∇

f

(

x

,

y

,

z

)

=

(

f

_x

,

f

_y

,

f

_z

)

Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por:

)

,

(

)

,

(

x

y

z

F

x

F

y

F

z

F

=

∇

(6)

dy

y

x

f

dx

y

x

f

dz

z

≅

=

_x

(

₀

,

₀

)

+

_y

(

₀

,

₀

)

∆

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:

(

,

)

0 )

1 ),

,

(

),

,

(

f

x

0

y

0

f

y

x

0

y

0

−

• x

−

x

0

y

−

y

0

z

−

z

0

=

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

t

z

t

y

x

f

y

t

y

x

f

x

=

0

−

x

(

0

,

0

)

;

=

0

−

y

(

0

,

0

)

;

=

0

+

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

∂

+

∂

=

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces:

z

F

y

F

y

z

F

x

F

x

z

z y z x

∂

−

=

−

=

∂

−

=

−

=

∂

;

PUNTOS DE VISTA DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).

Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico

de z=f(x,y), entonces:

1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y

fxx(x0,y0)<0

2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y

fxx(x0,y0)>0

3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0

4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el Sistema:

0 ;

0 )

)

,

(

)

,

(

)

,

(

=

∂

=

∂

=

∂

−

+

=

λ

H

y

H

x

H

c

y

x

h

y

x

f

y

x

H

SEA

CALCULU ii

(Tercer parcial)

INTEGRALES TRIPLES Y SUS APLICACIONES

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

π θ π π θ θ θ θ 2 0 ; 0 0 , 0 ) ( tan 2 0 ) ( tan 0 , 0 ) ( tan ; ; ; ) ( ; ) cos( ) , , ( 1 1 1 2 2 2 ≤ ≤ ≥       < > + < + ≥ > = = + = = = − − − r y x si x y x si x y y x si x y r y x z z rsen y r x z r S CILINDRICA      < > + < + ≥ > = = + + = ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ = = = − − − − 0 , 0 ) ( tan 2 0 ) ( tan 0 , 0 ) ( tan ); / ( cos ; 0 ; 2 0 , 0 ); cos( ); ( ) ( ); cos( ) ( ) , , ( 1 1 1 1 2 2 2 y x si x y x si x y y x si x y z z y x z sen sen y sen x ESFERICAS π π θ ρ φ ρ π φ π θ ρ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ φ θ ρ

CAMBIO DE VARIABLE

d d )d sen( )) cos( ), )sen( sen( ), )cos( sen( f( z)dxdydz y, f(x, : ESFERICAS dz drd r z) ), rsen( ), f(rcos( z)dxdydz y, f(x, : S CILINDRICA drd r )) rsen( ), f(rcos( y)dxdy f(x, POLARES 2 Q S R Q R Q

∫∫∫

∫∫

= = = =

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO)

DADA POR:

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

''

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

:

,

ˆ

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

)

(

t

r

t

r

t

T

UNITARIO

TANGENTE

VECTOR

t

N

a

t

T

a

t

r

t

a

N

ACELERACIO

VECTOR

t

r

dt

ds

t

v

RAPIDEZ

t

r

t

v

VELOCIDAD

VECTOR

ENTONCES

ESPACIO

EL

EN

CURVA

k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

r

PLANO

EL

EN

CURVA

j

t

y

i

t

x

t

r

N T

=

+

=

+

=

+

=

2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dt

s

d

t

v

t

a

t

v

t

T

t

a

N

ACELERACIO

LA

DE

S

COMPONENTE

t

N

t

T

t

B

BINORMAL

VECTOR

T

=

⋅

=

⋅

=

×

=

2 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(













=

×

=

−

=

⋅

=

dt

ds

K

t

v

t

a

t

v

a

t

a

t

N

t

a

N

ACELERACIO

LA

DE

S

COMPONENTE

T N

[

]

[

]

∫∫

=

∫∫

+

R R y x

x

y

f

x

y

dA

f

dS

SUPERFICIE

LA

DE

AREA

2 2

)

,

(

)

,

(

1

LONGITUD DE ARCO

[

] [

]

∫

=

∫

+ + =b a b a dt t z t y t x dt t r s '() '()2 '()2 '()2

(7)

INTEGRAL DE LÍNEA

[

] [

]

[

] [

]

∫

+ + = + + = + = + = C b a C b a dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f k t z j t y i t x t r POR DADA ESTA C SI dtj t y t x t y t x f ds y x f j t y i t x t r POR DADA ESTA C SI 2 2 2 2 2 ) ( ' ) ( ' ) ( ' )) ( ), ( ), ( ( ) , , ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' )) ( ), ( ( ) , ( ˆ ) ( ˆ ) ( ) (

SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

x

N

y

M

∂

=

∂

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( =     ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ −     ∂ ∂ − ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y M x N k z M x P j z N y P i P N M z y x k j i F rot

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:

∫

= ⋅ − ⋅ − ∇ = − C C CERRADA C CURVA TODA PARA dr F CAMINO DEL NTE INDEPENDIE ES dr F f ALGUNA PARA f F ES ESTO VO CONSERVATI ES F 0 . 3 . 2 . . 1

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.

k v z j v y i v x r k u z j u y i u x r DONDE dA r r dS SUPERFICE LA DE AREA v u S D v u ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ : ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = × = =

_∫∫

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES

))

(

),

(

))

(

),

(

x

b

y

b

f

x

a

y

a

f

dr

f

dr

F

C C

−

=

⋅

∇

=

⋅

∫

DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:

F

(

x

,

y

)

=

∇

f

(

x

,

y

)

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

y

N

x

M

y

x

divF

∂

+

∂

=

)

,

(

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

z

P

y

N

x

M

z

y

x

divF

∂

+

∂

+

∂

=

)

,

(

TEOREMA DE GREEN

∫∫

∫

∫∫

∫

∫∫

∫

= ⋅ ⋅ =     ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⋅     ∂ ∂ − ∂ ∂ = + R C R R C R C dA F div ds N F dA k F rot dA y M x N dr F dA y M x N Ndy Mdx ) ( ˆ ) (

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).

Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q

∫∫∫

∫∫

⋅

=

Q S

dV

F

div

dS

N

F

(

)

INTEGRALES DE SUPERFICIE

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

∫∫

× ⋅ = ⋅ = + − − ⋅ = ⋅ + + = + + = = R v u S S D R y x S S R y x y x vectorial Forma dA r r F dS N F escalar Forma dS v u z v u y v u x f dS z y x f a paramétric Forma arriva hacia normal vectorial forma dA k j y x g i y x g F dS N F escalar forma dA y x g y x g y x g y x f dS z y x f dA y x g y x g ds y x g z )) , ( ), , ( ), , ( ( ) , , ( _ _ _ _ ˆ ˆ ) , ( ˆ ) , ( _ ) , ( ) , ( 1 )) , ( , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( 1 ) , ( 2 2 2 2 TEOREMA DE STOKES.

Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.

∫∫

∫

⋅

=

⋅

S C

dS

N

F

rot

dr

F

(

))

ALGEBRA

(Segundo parcial) COMBINATORIA VARIACIONES Se indica

(8)

De n elementos tomados entre m, son todas las posibles formas de ordenar n elementos de los de m.

Importa el orden. Es decir, (a, b, c) es distinto de (c, b, a).

V

_mn

V

m n,

VARIACIONES CON REPETICION Se indica

Es lo mismo que la anterior, pero incluyendo también las formas en que se repiten los elementos. Es decir, existe (a, a, a), (a, b, b), etc. Sigue

importando el orden:

(a, a, c) es distinto de (a, c, a)

VR

m n

VR

_{m n}_,

V

m n '

PERMUTAC. CON REPETICION Se indica

Como lo anterior, pudiéndose repetir los

elementos

P

n

'

COMBINACIONES Se indica

Igual a las Variaciones, pero sin importar el

orden; es decir, (a, b, c) es la misma que (a, c, b).

C

m n

C

m n,

COMBINAC. CON REPETICION Se indica

Igual que las Variaciones con repetición, pero

pudiéndose repetir los elementos

CR

m

n

CR

_{m n}_,

C

_m'n

RELACIONES NOTABLES

La expresión

( )

_nm se llama “número combinatorio” y tiene como valor:

( )

n

₍

₎

m

n m n

=

−

!

Entre las Combinaciones y las Variaciones, la relación es:

C

n

V

m n m n

=

1 !

Se verifica:

C

m

C

n m m n

=

−

C

m

C

n m n m n

=

₋

+

₋− 1 1 1

CALCULU i

(Segundo parcial) derivadas

0 =

c

dx

d

1 −

=













n _n

x

c

n

c

x

dx

d

Fórmula Ejemplo

(

)

V

m

m n

V

m n m n

=

−

=

!

,

(

) (

)

=

m m

−

1 ....

m n

− +

1 ( )

V

₅3

V

_{5 3}

5 5 3

=

−

=

,

!

=

5 4 3 2 1

=

2 1

60 x x x x

x

=

m

n

V

₃'2

=

3

2

=

9

 De a, b, c de 2 en 2:

a,a b,a c,a

a,b b,b c,b a,c b,c c,c Fórmula Ejemplo

=

n

P

₄'

=

4

=

4 4 4 4

x x x

=

256 ( )

₍

₎

=

−

n m

m

n m n

!

C

₇4

7 4 3

=

!

=

! !

=

7 6 5 4 3 2 1

=

4 3 2 1 3 2 1

35 x x x x x x

x x x x

x

(

)

C

₅2

5

2

1 2 4

6 2 4

15

'

!

! !

=

+ −

=

(9)

0 =

c

dx

d

dx

du

u

dx

d

2

1 =

x

dx

d

dx

du

nu

u

dx

d

n

₌

n−1

c

cx

dx

d

₌

dx

du

cnu

cu

dx

d

n

₌

n−1

dx

du

c

cu

dx

d

₌

_{( )}

dx

du

v

dx

dv

u

uv

dx

d

₌

₊

x

c

x

dx

d

₊

₌

₍

₎

dx

dv

dx

du

v

u

dx

d

₋

₌

₋

x

dx

d

2

1 =

(

u

v

)

_dx

du

_dx

dv

dx

d

+

=

+

dx

du

u

dx

d

=

dx

du

u

c

u

c

dx

d

2

−

=













c

x

dx

d

1 =













2 3

2 x

c

x

c

dx

d

₌

−













1 −

=

n n

nx

x

dx

d

dx du u c u c dx d 3 2 − =       1 −

=

n n

cnx

cx

dx

d

( )

x

u

dx

du

x

u

dx

d

2 +

=

1 −

=













n _n

x

n

x

dx

d

_











₋

=













x

u

dx

du

x

u

dx

d

1

x x

e

dx

d

=











 −

=













dx

du

u

x

u

x

dx

d

1

1 dx

du

e

dx

d

u

₌

u _      ₋ =     x nu dx du x x u dx d n 2 1

dx

du

c

u

dx

d

₌

1 











      − =         m m n m n x m n x dx d 1 +

−

=













n n

_x

cn

x

c

dx

d

dx

du

cv

dx

dv

cu

cuv

dx

d

+

=

x

c

x

dx

d

2

1 =









(

)

dx

du

m

u

n

u

dx

d

m n

₌

m n−m









( )

dx

du

u

ln

dx

d

₌

1 dx

du

u

m

n

u

dx

d

m (m n) m n −

=









( )

n

_x

x

ln

dx

d

n

₌

dx

dv

v

u

dx

du

v

u

dx

d

3

2

1 −

=

( )

x

dx

d

ln

1 ln

=

+

( )

dx

du

u

dx

dv

v

uv

ln

dx

d

₌

1 ₊

1 ( )

c

x

dx

d

ln

=

dx

dv

v

u

dx

du

v

u

dx

d

2

1 −

=













a

ln

x

n

cx

log

dx

d

n a

=

_dx dv v dx du u v u dx d 1 1 ln = −     

a

ln

x

n

x

log

dx

d

n a

=

( )

dx

du

c

ln

u

c

dx

d

u n

2 =









dx

dv

du

dy

dx

dy

₌

dx du u x u u x dx d 3 2 1 ₋ = 1 +

−

=









n n

_x

c

n

x

c

dx

d

( )

(

_ln

( )

_x

)

x

ln

dx

d

n

−

=

1

1 x

n

x

c

ln

dx

d

n



=

−







    ₋ =     dx dv v x x v v x dx d 2 1 1 2 v dx dv u dx du v v u dx d − =      

( )

dx x du u x u x dx d ln ln = +

( )

dx

du

c

ln

c

ln

u

dx

d

=

_{( )}

_











₋

=













x

n

dx

du

c

ln

x

c

x

c

dx

d

n u n u

c

ln

x

log

dx

d

c

1 =

dx

du

u

e

Log

dx

d

a a

=

( )

dx

du

c

ln

c

dx

d

u

₌

u

( )

dx

du

a

ln

u

Log

dx

d

a

1 =

      ₋ =     x n dx du u c ln x u log dx d n c 1 1

(

₋

)

[

−

(

+1

)

]

=













_n _m m n

x

m

n

x

dx

d

    ₋ =     dx du v x x u v x u dx d 2 1

dx

du

vw

dx

dv

uw

dx

dw

uv

uvw

dx

d

₌

₊

dx

dw

dx

dv

dx

du

w

v

u

dx

d

₊

₋

₌

₊

₋









₋

=









dx

dv

v

u

dx

du

u

v

u

dx

d

1

2

1 (

)











 +

+

=

+

dx

du

u

x

u

x

ln

dx

d

2

1

    ₋ =     x u n u x x u dx d n n ₂ 1 1

(

)

dx x du u u c x u c ln dx d 1 2 1 ₋ + =     +     ₋ =     dx du u x x u u x dx d 1 1 dx dv v u dx du u v v u dx d 2 2 1 ₋ =    

( )











 −

=









dx

du

c

ln

x

c

x

dx

d

u u

1

( )_     − + − =     m_m n m n _m x cn x c dx d

(

)

dx

du

v

u

v

u

dx

d

−

=

2

      ₋ =         dx dv v m dx du u n v u v u dx d m n m n