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Números de la forma a + bj, donde a, b 2 R y j2 = j, con j 6= 0 y j 6= 1 (números irreales)

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(1)Números de la forma a + bj, donde a, b ∈ R y j 2 = j, con j 6= 0 y j 6= 1 (Números Irreales). Julián Camilo Cano Ramos. Universidad Pedagógica Nacional Facultad de Ciencia y Tecnología Departamento de Matemáticas Bogotá D.C. Agosto de 2015.

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(3) Números de la forma a + bj, donde a, b ∈ R y j 2 = j, con j 6= 0 y j 6= 1 (Números Irreales). Julián Camilo Cano Ramos C.C. 1013634000 COD. 2008140017. Trabajo de Grado en Matemáticas Modalidad asociada al estudio de un tema específico. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de: Licenciado en Matemáticas. Director: Profesor Alberto Donado. Universidad Pedagógica Nacional Facultad de Ciencia y Tecnología Departamento de Matemáticas Bogotá D.C. Agosto de 2015.

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(5) NOTA DE ACEPTACIÓN. _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ _________________________. _________________________ Asesor Gil Alberto Donado N.. _________________________ Jurado 1 Juan Carlos Ávila M.. _________________________ Jurado 2 Yeison Alexander Sánchez R.. Bogotá D.C. Agosto de 2015.

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(7) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página i de vii. 1. Información General Tipo de documento. Trabajo de Grado. (Tipo Monografía).. Acceso al documento. Universidad Pedagógica Nacional. Biblioteca Central.. Título del documento. Números de la forma a + bj, donde a, b ∈ R y j 2 = j, con j 6= 0 y j 6= 1. (Números Irreales).. Autor. Cano Ramos, Julián Camilo.. Director. Alberto Donado.. Publicación. Bogotá D.C. Universidad Pedagógica Nacional. 2015.. Unidad patrocinante. U.P.N.. Palabras claves. i.

(8) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página ii de vii. 2. Descripción En el conjunto R de los números reales, se cumple la siguiente propiedad: Sea x ∈ R tal que x2 = x, entonces x = 0 ó x = 1; es decir, que si el cuadrado de un número real es igual a sí mismo entonces necesariamente dicho número real o bien es 0 o bien es 1. Si se supone la existencia de un elemento j tal que cumpla la propiedad j 2 = j con j 6= 0 y j 6= 1, evidentemente j no es un número real, por lo que es posible extender los números reales, o sea que se puede introducir un nuevo conjunto numérico que contenga a los números reales y al número no real j, de manera tal que sus elementos sean de la forma a + bj, con a, b ∈ R. A este nuevo conjunto se le llamará “El conjunto de los números Irreales”, y se le denotará como J. El presente documento se realizó con el interés de proponer y explorar un sistema numérico cuyos elementos se han denominado “números irreales”, donde se analizaron las posibles estructuras matemáticas en las que se puede enmarcar y concebir esta nueva extensión cuadrática de los números reales. Por lo tanto, se formuló en la medida de lo posible una teoría análoga a la de los números complejos, los números duales y los números dobles; indagando así sobre las propiedades y características básicas que los números irreales poseen, con el fin de generar definiciones, teoremas y conjeturas válidas en este nuevo conjunto, para finalmente concluir hechos matemáticos propios del sistema numérico de los números irreales. En resumen, el conjunto de los números irreales constituye un nuevo ejemplo de una extensión cuadrática de los números reales, cuyo estudio y análisis se ha descrito en un tono breve y conciso, pero a la vez se expone y presenta de forma detallada, organizada y estructurada. Asimismo, éste sistema numérico se construye y caracteriza utilizando conceptos y hechos matemáticos de carácter básico y elemental, pero con la rigurosidad y formalidad matemática pertinente.. ii.

(9) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página iii de vii. 3. Fuentes Bibliográficas [1] Bonsal, F. & Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. [2] Dieudonné, J. (1966). Fundamentos de Análisis Moderno. Zaragoza: Reverté. [3] Fraleigh, J. (2003). A First Course in Abstract Algebra. Wilmington: Addison-Wesley. [4] Hoffman, K. & Kunze, R. (1973). Álgebra Lineal. Madrid: Prentice-Hall International. [5] Hrbeacek, K. & Jech, T. (1999). Introduction to Set Theory. New York: Marcel Dekker. [6] Kelley, J. (1955). General Topology. New York: Springer-Verlag. [7] Lentin, A. & Rivaud, J. (1971). Álgebra Moderna. Madrid: Aguilar. [8] Lezama, O. (2015). Cuadernos de Álgebra, No 2: Anillos. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. [9] Luque, C. J. & et al. (2006). Estructuras Análogas a los Números Reales. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. [10] Luque, C. J. & et al. (2007). El Anillo de los Números Duales. En: Memorias XVII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. págs. 159-194. [11] Munkres, J. R. (2002). Topología. Madrid: Pearson. [12] Muñoz, J. M. (2002). Introducción a la Teoría de Conjuntos. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. [13] Murphy, G. J. (1990). C ? -algebras and Operator Theory. San Diego: Academic Press. [14] Nakos, G. & Joyner, D. (1999). Álgebra Lineal con Aplicaciones. México: Thomson. [15] Olmo, M. A. (2010). Variable Compleja. Valladolid: Universidad de Valladolid. [16] Roman, S. (2008). Lattices and Ordered Sets. New York: Springer. [17] Rubiano, G. (2010). Topología General. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. [18] Schröder, B. (2003). Ordered Sets: An Introduction. New York: Springer. [19] Spivak, M. (1992). Cálculo Infinitesimal. Barcelona: Reverté. [20] Warner, S. (1993). Topological Rings. Amsterdam: North-Holland. [21] Yaglom, I. M. (1979). A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis. New York: Springer-Verlag. [22] Sitio Consultado en Internet: http://mathworld.wolfram.com/ [23] Sitio Consultado en Internet: http://www.encyclopediaofmath.org/ [24] Sitio Consultado en Internet: https://www.wikipedia.org/. iii.

(10) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página iv de vii. 4. Contenidos Índice general Introducción Objetivos 1. Estructura Algebraica de los Números Irreales 2. Representación Cartesiana de los Números Irreales 3. Representación Matricial de los Números Irreales 4. Características Algebraicas del Anillo de los Números Irreales 5. Estructura Ordenada de los Números Irreales 6. Definición del Conjugado en los Números Irreales 7. Estructura Topológica de los Números Irreales Bibliografía Conclusiones Observaciones. iv.

(11) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página v de vii. 5. Metodología Para la realización del presente documento se tuvieron en cuenta, en términos generales, las siguientes etapas y actividades metodológicas: En primer lugar, se realizó una revisión bibliográfica y un análisis de textos especializados en temas afines al estudio propuesto de los números irreales, con el fin de generar la indagación, construcción y consolidación de un marco teórico que fuese la principal referencia en la elaboración del documento. De esta manera, se especificaron tanto los objetivos como los contenidos del trabajo, y en consecuencia el marco teórico permitió constituir el punto de partida para adentrarse al estudio de los números irreales. En segundo lugar, se determinaron y construyeron poco a poco las definiciones que caracterizan a los números irreales, asimismo se concluyeron resultados y se demostraron las propiedades que paulatinamente aparecían de forma natural en el estudio que se realizó. No obstante, hubo una serie de preguntas y respuestas, de conjeturas y problemas que requirieron de un análisis bibliográfico más detallado y específico para poder finalmente encontrar las respectivas soluciones, lo cual hizo posible que se caracterizaran los números irreales en múltiples contextos y formas, en cuanto a conceptos matemáticos se refiere. Por lo tanto, en términos generales, ésta etapa consistió en una breve pero profunda indagación y exploración del conjunto de los números irreales. En tercer y último lugar, se recopiló y organizó la información que arrojó el estudio de los números irreales, donde se procedió a registrar y sistematizar dicha información en el presente documento escrito. Por consiguiente, ésta ardua etapa consistió en escribir y exponer los resultados, problemas y productos que emergieron en el estudio y análisis de los números irreales.. v.

(12) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página vi de vii. 6. Conclusiones • El conjunto J de los números irreales tiene estructura es anillo conmutativo con identidad. • El conjunto J de los números irreales contiene propiamente a los números reales. • Los números irreales se pueden representar mediante expresiones algebraicas. • Los números irreales se pueden considerar como una extensión cuadrática de los números reales. • Los números irreales se pueden representar geométricamente como un punto en el plano cartesiano. • El conjunto J de los números irreales tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión dos. • La operaciones básicas entre números irreales se pueden realizar geométricamente. • El conjunto J de los números irreales tiene estructura de álgebra lineal real conmutativa con identidad. • Los números irreales se pueden representar mediante una matriz cuadrada. • Los números irreales son un anillo de ideales principales, cuyos generados son los elementos idempotentes. • En los números irreales no existe un conjunto de números positivos. • El conjunto J de los números irreales tiene estructura de anillo parcialmente ordenado. • El conjunto J de los números irreales posee dos ordenes isomorfos entre si y compatibles con las operaciones básicas. • En los números irreales existe una función involutiva que dota al conjunto de estructura de ? -álgebra. • El conjugado definido en los números irreales no induce una seminorma. • El conjunto J de los números irreales posee dos topologías homeomorfas entre si y compatibles con la estructura ordenada y algebraica. • Las topologías definidas sobre J son seudometrizables, más aún, cada seudométrica es inducida por una seminorma. • En los números irreales los intervalos abiertos coinciden con las bolas abiertas. • El conjunto J de los números irreales tiene estructura de anillo topológico, de espacio vectorial topológico y de álgebra topológica.. vi.

(13) FORMATO RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN (RAE) Código: FOR020GIB. Versión: 01. Fecha de Aprobación: 10-10-2012. Página vii de vii. Elaborado por:. Julián Camilo Cano Ramos. Revisado por:. Alberto Donado. Fecha de elaboración del RAE:. Firma de autorización del autor:. 31 de Agosto de 2015. Julián. Camilo. vii. Cano. R..

(14) viii.

(15) Índice general Índice general. ix. Introducción. x. Objetivos. xiii. 1. Estructura Algebraica de los Números Irreales. 1. 2. Representación Cartesiana de los Números Irreales. 14. 3. Representación Matricial de los Números Irreales. 25. 4. Características Algebraicas del Anillo de los Números Irreales. 32. 5. Estructura Ordenada de los Números Irreales. 51. 6. Definición del Conjugado en los Números Irreales. 74. 7. Estructura Topológica de los Números Irreales. 86. Bibliografía. 144. Conclusiones. I. Observaciones. III. ix.

(16) Introducción El presente documento es un breve y sencillo trabajo de estudio sobre un tema específico y conciso de matemáticas, el cual se desarrolló con el objetivo de elaborar una tesis y/o trabajo de grado para optar al título de “Licenciado en Matemáticas” en la Universidad Pedagógica Nacional. En este trabajo de grado se propone y expone un nuevo sistema numérico el cual se ha denominado “Conjunto de Números Irreales” y es simbolizado por J, donde se presenta un estudio introductorio y un análisis breve de las primeras características y propiedades de dicho conjunto. El conjunto de los números irreales está conformado por todos aquellos elementos de la forma a + bj, donde a y b son números reales y j es un elemento ‘exótico’ y no real tal que su cuadrado es igual a sí mismo. En términos generales, el actual documento expone el estudio que se realizó sobre el conjunto de los números irreales al concebir dicho sistema numérico desde tres puntos de vista matemáticos, donde por supuesto se analizó la relación y el engranaje existente entre estas tres perspectivas. Los contextos y estructuras matemáticas en las que se enmarcó y concretó el breve estudio de los números irreales son las siguientes: † Los números irreales como estructura algebraica. † Los números irreales como estructura ordenada. † Los números irreales como estructura topológica.. En el primer capítulo se presentará la estructura algebraica de los números irreales. Se realizará una construcción y definición formal de los números irreales a partir del conjunto de los números reales; también se definirán sobre éste conjunto las operaciones básicas de suma y multiplicación y se demostrarán las principales propiedades que satisfacen, con lo cual se mostrará que los números irreales poseen estructura de anillo conmutativo con identidad. Posteriormente se verá que los números reales son un subconjunto propio de los números. x.

(17) irreales, hecho por el cual es posible representar a los números irreales como expresiones algebraicas. Finalmente se comentará que los números irreales pueden concebirse como una extensión cuadrática de los números reales. En el segundo capítulo se presentará la representación cartesiana de los números irreales. Se realizará una representación geométrica de estos elementos y de sus operaciones; para ello se demostrará que el conjunto de los números irreales poseen estructura de espacio vectorial real de dimensión dos. Además, se mostrarán argumentos puramente geométricos para realizar dibujando las operaciones de suma y multiplicación de números irreales. Finalmente se dirá que el conjunto de los números irreales tiene estructura de álgebra lineal real conmutativa con identidad. En el tercer capítulo se presentará la representación matricial de los números irreales. Se demostrará que la función que envía un número irreal al producto de dicho número por un elemento fijo es una transformación lineal, luego se construirá la matriz asociada la transformación lineal y se demostrará que los números irreales son isomorfos a un conjunto de matrices de tamaño dos por dos. Finalmente se verá que todo número irreal se puede representar como una matriz. En el cuarto capítulo se presentarán las características algebraicas del anillo de los números irreales. Se identificarán las unidades del anillo, los divisores de cero, los elementos nilpotentes y los elementos idempotentes. Luego se describirá el conjunto de todos los ideales del anillo, se demostrará que los números irreales es un anillo de ideales principales y se determinarán los ideales primos y maximales. Posteriormente se realizarán los anillos cocientes y se finalizará con algunas operaciones entre ideales. En el quinto capítulo se presentará la estructura ordenada de los números irreales. Se justificará la inexistencia de un conjunto de números positivos en los números irreales; también se expondrán dos relaciones de orden parcial construidas a partir de un conjunto de elementos con propiedades similares y más débiles que las de un conjunto de números positivos, se verificarán las principales características de las relaciones de orden y se demostrarán las propiedades de monotonía de la suma y multiplicación respecto a los dos ordenes parciales. Finalmente se definirá un isomorfismo entre los dos posets considerados sobre los números irreales. En el sexto capítulo, se presentará la definición del conjugado en los números irreales. Se realizará una construcción para determinar una función que asigne a cada número irreal su respectivo conjugado, luego se demostrarán las propiedades más relevantes del conjugado y se mostrará que es imposible construir en los números irreales una seminorma inducida por el conjugado. También se observará que el conjugado dota al álgebra real de los números. xi.

(18) irreales de estructura de ? -álgebra. En el séptimo capítulo se presentará la estructura topológica de los números irreales. Se construirán dos topologías sobre los números irreales a partir de las relaciones de orden parcial, y se verá que dichas topologías son seudometrizables y tales que dotan de estructura de anillo topológico a los números irreales. También se analizarán algunas conexiones entre las estructuras topológicas de los números irreales y los números reales. Luego se definirá un homeomorfismo y una isometría entre las dos topologías consideradas sobre los números irreales. Finalmente se expondrán las características topológicas de los números irreales, donde se identificarán tanto propiedades como subconjuntos de los números irreales que resultan ser relevantes e imprescindibles desde el punto de vista topológico. En la parte final del documento, se listarán los libros y fuentes bibliográficas que se consultaron para la elaboración del documento, y se presentarán algunas observaciones adicionales del trabajo realizado así como las conclusiones de la tesis.. xii.

(19) Objetivos Objetivo General Elaborar un documento escrito donde se recopilen y evidencien los estudios realizados respecto a la introducción del conjunto de los números irreales, teniendo en cuenta estudios previos de los números reales y sus propiedades, así como de las construcciones de algunas extensiones cuadráticas de los números reales, además de utilizar elementos y conceptos propios de ciertas temáticas enmarcadas en las matemáticas universitarias, tales como la geometría elemental, la teoría de conjuntos, la teoría de anillos, el álgebra lineal, la teoría de posets, la topología general y el análisis matemático. Objetivos Específicos. • Identificar los conceptos y objetos matemáticos inherentes en los resultados obtenidos de las propiedades y características de los números irreales. • Caracterizar algebraicamente los números irreales, al dotarlos de operaciones básicas que describan y conformen una estructura algebraica sobre el sistema numérico. • Realizar y analizar varias representaciones de los números irreales, tales como simbólica, algebraica, geométrica y matricial. • Construir e identificar relaciones de orden definidas en los números irreales tales que sean compatibles con las operaciones básicas. • Determinar y definir topologías y seudométricas sobre los números irreales, de manera tal que sean compatibles con su estructura algebraica y con su estructura ordenada. • Concebir a los números irreales como una estructura algebraica, ordenada y topológica. • Identificar los elementos, subconjuntos, operaciones y relaciones relevantes de los números irreales en cada uno de los contextos matemáticos que se trabajan.. xiii.

(20) xiv.

(21) Capítulo 1. Estructura Algebraica de los Números Irreales En el conjunto R de los números reales, se cumple la siguiente propiedad: Sea x ∈ R tal que x2 = x, entonces x = 0 ó x = 1; es decir, que si el cuadrado de un número real es igual a sí mismo entonces necesariamente dicho número real o bien es 0 o bien es 1. Si se supone la existencia de un elemento j tal que cumpla la propiedad j 2 = j con j 6= 0 y j 6= 1, evidentemente j no es un número real, por lo que es posible extender los números reales, o sea que se puede introducir un nuevo conjunto numérico que contenga a los números reales y al número no real j, de manera tal que sus elementos sean de la forma a + bj, con a, b ∈ R. A este nuevo conjunto se le llamará “El conjunto de los números Irreales”, y se le denotará como J. Para empezar, supondremos la existencia de un conjunto no vacío J cuyos elementos llamaremos números irreales. Definición 1.1. Un número irreal es una pareja ordenada de números reales, es decir que si w ∈ J entonces w = (a, b), con a, b ∈ R. Se dice que la primera componente del par ordenado es la parte real del número w, y que la segunda componente es la parte irreal del número w. Además, definimos la unidad irreal como el número irreal j = (0, 1).. Igualdad de Números Irreales Dado que un número irreal es una pareja ordenada de números reales, entonces dos números irreales son iguales si y sólo si son iguales componente a componente, y esto se debe a que la igualdad de pares ordenados está definida por la igualdad de sus correspondientes componentes. Entonces:. 1.

(22) Definición 1.2. Definimos la igualdad de números irreales así: Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d), entonces w = z si y sólo si a = c y b = d.. Además, como la igualdad entre parejas ordenadas es una relación de equivalencia, entonces podemos afirmar que la igualdad de números irreales también es una relación de equivalencia, por lo tanto se tiene lo siguiente: I. Propiedad reflexiva de la igualdad en J: Para todo w ∈ J, es cierto que w = w. II. Propiedad simétrica de la igualdad en J: Para todo w, z ∈ J, si w = z entonces z = w. III. Propiedad transitiva de la igualdad en J: Para todo w, z, x ∈ J, si w = z y z = x entonces w = x.. Operaciones entre Números Irreales Sobre el conjunto J de los números irreales definiremos dos operaciones binarias fundamentales a las que llamaremos suma y multiplicación, con las cuales dotaremos al conjunto J de una estructura algebraica. El objetivo de definir operaciones binarias en los números irreales, es construir números de la forma a + bj donde a y b son números reales y j es un elemento tal que j 2 = j con 0 6= j 6= 1. Intuitivamente, si consideramos dos elementos a + bj y c + dj que cumplan las características enunciadas, y los sumamos y multiplicamos de manera usual y osada, entonces tendríamos lo siguiente: (a + bj) + (c + dj) = a + c + bj + dj = (a + c) + (b + d) j (a + bj) · (c + dj) = ac + adj + bcj + dbj 2 = ac + adj + bcj + dbj = (ac) + (ad + bc + bd) j. Aunque el proceso algebraico elaborado anteriormente es inválido, porque la suma y multiplicación allí descritas no corresponden a una definición formal y no tienen el mismo significado que la adición y el producto en los números reales, dicho resultado sí nos proporciona una idea de cómo pdemos definir estas operaciones sobre el conjunto J. Definición 1.3. Adición de números irreales: Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d). Se define la operación suma ⊕ en J como sigue: w ⊕ z = (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d). 2.

(23) La suma de números irreales es una operación binaria sobre el conjunto J, ya que dicha operación en el conjunto es una función que asigna a cada pareja ordenada de números irreales un único número irreal. Por lo tanto: ⊕:. J × J −→ J (w, z) 7−→ w ⊕ z. Luego, si w, z ∈ J entonces w ⊕ z ∈ J. Ahora veamos las propiedades que satisface la suma de números irreales.. Proposición 1.1. Propiedad asociativa de la suma en J: Para todo w, z, x ∈ J, se cumple que (w ⊕ z) ⊕ x = w ⊕ (z ⊕ x).. Demostración.. Sean w, z, x ∈ J tales que w = (a, b), z = (c, d) y x = (e, f ). (w ⊕ z) ⊕ x = [(a, b) ⊕ (c, d)] ⊕ (e, f ) = (a + c, b + d) ⊕ (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + (c + e) , b + (d + f )) = (a, b) ⊕ (c + e, d + f ) = (a, b) ⊕ [(c, d) ⊕ (e, f )] = w ⊕ (z ⊕ x) Luego, la suma ⊕ en J es asociativa.. Proposición 1.2. Propiedad del elemento neutro de la suma en J: Existe 0 ∈ J tal que para todo w ∈ J, se cumple que w ⊕ 0 = 0 ⊕ w = w, donde 0 = (0, 0).. Demostración.. Sea w ∈ J tal que w = (a, b).. 3.

(24) w ⊕ 0 = (a, b) ⊕ (0, 0). 0 ⊕ w = (0, 0) ⊕ (a, b). = (a + 0, b + 0). = (0 + a, 0 + b). = (a, b). = (a, b). =w. =w. Luego, la suma ⊕ en J es modulativa y tiene como elemento neutro a 0.. Proposición 1.3. Propiedad del elemento inverso de la suma en J: Para todo w ∈ J, existe −w ∈ J tal que se cumple que w ⊕ (−w) = (−w) ⊕ w = 0, donde −w = (−a, −b) si w = (a, b).. Demostración.. Sea w ∈ J tal que w = (a, b). w ⊕ (−w) = (a, b) ⊕ (−a, −b). (−w) ⊕ w = (−a, −b) ⊕ (a, b). = (a + (−a) , b + (−b)). = ((−a) + a, (−b) + b). = (0, 0). = (0, 0). =0. =0. Luego, la suma ⊕ en J es invertiva y tiene como elemento inverso del número w = (a, b) al número −w = (−a, −b).. Proposición 1.4. Propiedad conmutativa de la suma en J: Para todo w, z ∈ J, se cumple que w ⊕ z = z ⊕ w.. Demostración.. Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d). w ⊕ z = (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b) =z⊕w Luego, la suma ⊕ en J es conmutativa.. 4.

(25) En síntesis, como la suma ⊕ es cerrada en el conjunto J, además como cumple las propiedades asociativa, modulativa, invertiva y conmutativa, entonces se concluye que la estructura algebraica (J, ⊕) es un Grupo Abeliano.. Definición 1.4. Producto de números irreales: Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d). Se define la operación multiplicación en J como sigue: w. z = (a, b). (c, d) = (ac, ad + bc + bd). La multiplicación de números irreales es una operación binaria sobre el conjunto J, ya que dicha operación en el conjunto es una función que asigna a cada pareja ordenada de números irreales un único número irreal. Por lo tanto: : Luego, si w, z ∈ J entonces w. J × J −→ J (w, z) 7−→ w z. z ∈ J.. Ahora veamos las propiedades que satisface la multiplicación de números irreales.. Proposición 1.5. Propiedad asociativa de la multiplicación en J: Para todo w, z, x ∈ J, se cumple que (w z) x = w (z x).. Demostración.. Sean w, z, x ∈ J tales que w = (a, b), z = (c, d) y x = (e, f ). (w. z). x = [(a, b). (c, d)]. (e, f ). = (ac, ad + bc + bd). (e, f ). = ((ac) e, (ac) f + (ad + bc + bd) e + (ad + bc + bd) f ) = ((ac) e, (ac) f + (ad) e + (bc) e + (bd) e + (ad) f + (bc) f + (bd) f ) = (a (ce) , a (cf ) + a (de) + b (ce) + b (de) + a (df ) + b (cf ) + b (df )) = (a (ce) , a (cf ) + a (de) + a (df ) + b (ce) + b (cf ) + b (de) + b (df )) = (a (ce) , a (cf + de + df ) + b (ce) + b (cf + de + df )) = (a, b). (ce, cf + de + df ). = (a, b). [(c, d). =w. (z. (e, f )]. x). Luego, la multiplicación. en J es asociativa.. 5.

(26) Proposición 1.6. Propiedad del elemento neutro de la multiplicación en J: Existe 1 ∈ J tal que para todo w ∈ J, se cumple que w 1 = 1 w = w, donde 1 = (1, 0).. Demostración.. Sea w ∈ J tal que w = (a, b). w. 1 = (a, b). (1, 0). 1. w = (1, 0). (a, b). = (a (1) , a (0) + b (1) + b (0)). = ((1) a, (1) b + (0) a + (0) b). = (a, b). = (a, b). =w. =w. Luego, la multiplicación. en J es modulativa y tiene como elemento neutro a 1.. Proposición 1.7. Propiedad del elemento inverso de la multiplicación en J: Para cada −1 ∈ J tal que se cumple que w ∈ J tal que w = (a, b) con a 6= 0 y a + b 6= 0,  existe w b si w = (a, b) con a 6= 0 y a + b 6= 0. w w−1 = w−1 w = 1, donde w−1 = a1 , − a(a+b). Demostración.. Sea w = (a, b) con a 6= 0 y a + b 6= 0. w. 1 b ,− a a (a + b)          1 b 1 b = a ,a − +b +b − a a (a + b) a a (a + b). w−1 = (a, b). . . !. =. b (a + b) b2 b 1, − + − a + b a (a + b) a (a + b). =. b b b2 b2 1, − + + − a + b a + b a (a + b) a (a + b). !. = (1, 0) =1 w−1. 1 b ,− (a, b) a a (a + b)          1 1 b b = a, b+ − a+ − b a a a (a + b) a (a + b) . . w=. 6.

(27) !. =. b b2 b (a + b) − − 1, a (a + b) a + b a (a + b). =. b b2 b b2 1, + − − a + b a (a + b) a + b a (a + b). !. = (1, 0) =1 Luego, la multiplicación en J tiene como elemento inverso del número w = (a, b) al número  1 b −1 w = a , − a(a+b) siempre que a 6= 0 y a + b 6= 0.. Nótese que la multiplicación de números irreales no satisface la propiedad invertiva, porque no todo elemento de J − {0} admite un elemento inverso, sólo existe un elemento inverso para los números irreales tales que su primera componente sea diferente de cero y tales que la suma de sus componentes sea diferente de cero. Proposición 1.8. Propiedad conmutativa de la multiplicación en J: Para todo w, z ∈ J, se cumple que w z = z w.. Demostración.. Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d). w. z = (a, b). (c, d). = (ac, ad + bc + bd) = (ca, da + cb + db) = (ca, cb + da + db) = (c, d) =z. (a, b). w. Luego, la multiplicación. en J es conmutativa.. En síntesis, como la multiplicación es cerrada en el conjunto J, además como cumple las propiedades asociativa, modulativa y conmutativa, entonces se concluye que la estructura algebraica (J, ) es un Semigrupo Conmutativo con Identidad. Proposición 1.9. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma en J: Para todo w, z, x ∈ J, se cumple que w (z ⊕ x) = (w z) ⊕ (w x).. 7.

(28) Demostración.. Sean w, z, x ∈ J tales que w = (a, b), z = (c, d) y x = (e, f ). w. (z ⊕ x) = (a, b). [(c, d) ⊕ (e, f )]. = (a, b). (c + e, d + f ). = (a (c + e) , a (d + f ) + b (c + e) + b (d + f )) = (ac + ae, ad + af + bc + be + bd + bf ) = (ac + ae, ad + bc + bd + af + be + bf ) = (ac, ad + bc + bd) ⊕ (ae, af + be + bf ) = [(a, b) = (w. (c, d)] ⊕ [(a, b). z) ⊕ (w. Luego, la multiplicación. (e, f )]. x). distribuye respecto a la suma ⊕ en J.. Proposición 1.10. Propiedad cancelativa de la suma en J: Para todo w, z, x ∈ J, si w ⊕ x = z ⊕ x entonces w = z, y si x ⊕ w = x ⊕ z entonces w = z.. Demostración.. Como (J, ⊕) es un grupo, esto implica directamente que las leyes de cancelación a izquierda y a derecha se satisfacen en el conjunto J. Luego, la suma ⊕ en J es cancelativa.. Proposición 1.11. Propiedad cancelativa de la multiplicación en J: Para todo w, z ∈ J y para cada x ∈ J tal que x = (e, f ) con e 6= 0 y e + f 6= 0, si w x = z x entonces w = z, y si x w = x z entonces w = z.. Demostración.. Sean w, z, x ∈ J tales que w = (a, b), z = (c, d) y x = (e, f ) con e 6= 0 y e + f 6= 0. Por la conmutatividad de la multiplicación en J, la igualdad w x = z x es equivalente a la igualdad x w = x z. Luego, sin pérdida de generalidad supongamos que w x = z x, entonces (a, b) (e, f ) = (c, d) (e, f ), con lo cual se posee la igualdad (ae, af + be + bf ) = (ce, cf + de + df ). Por lo tanto: ae = ce y af + be + bf = cf + de + df .. 8.

(29) • ae = ce a=c • af + be + bf = cf + de + df af + be + bf = af + de + df be + bf = de + df b (e + f ) = d (e + f ) b=d Entonces, como a = c y b = d se concluye que (a, b) = (c, d), o sea que w = z.. Nótese que la multiplicación de números irreales no satisface la propiedad cancelativa, porque no todo elemento de J − {0} admite cancelación a izquierda y a derecha, sólo se pueden cancelar los números irreales que admiten un elemento inverso multiplicativo.. Proposición 1.12. La suma y la multiplicación en J son operaciones bien definidas; es decir, para todo w, z, x, y ∈ J se tiene que: I. si w = z y x = y entonces w ⊕ x = z ⊕ y II. si w = z y x = y entonces w. x=z. y. Demostración.. Sean w, z, x, y ∈ J tales que w = (a, b), z = (c, d), x = (e, f ) y y = (g, h). Supongamos que w = z y x = y, entonces (a, b) = (c, d) y (e, f ) = (g, h), lo que significa que a = c, b = d, e = g y f = h. Por lo tanto: I. Tenemos que a + e = c + g y que b + f = d + h, entonces (a + e, b + f ) = (c + g, d + h), concluyendo así que (a, b) ⊕ (e, f ) = (c, d) ⊕ (g, h), luego w ⊕ x = z ⊕ y. II. Tenemos que ae = cg y que af + be + bf = ch + dg + dh, entonces (ae, af + be + bf ) = (cg, ch + dg + dh), concluyendo así que (a, b) (e, f ) = (c, d) (g, h), luego w x = z y. Luego, La suma ⊕ y la multiplicación. en J son operaciones bien definidas.. En síntesis, como la estructura (J, ⊕) del conjunto de los números irreales con la suma es un grupo abeliano y la estructura (J, ) del conjunto de los números irreales con la multiplicación es un semigrupo conmutativo con identidad, y además la multiplicación distribuye respecto a la suma en J, entonces se concluye que la estructura algebraica (J, ⊕, ) del conjunto. 9.

(30) de los números irreales con la suma y la multiplicación es un Anillo Conmutativo con Identidad. Con esta construcción queda establecido y definido el conjunto de los números irreales, donde denotamos como J al conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales (es decir que J y R2 son equipotentes), de manera tal que sobre dicho conjunto definimos las operaciones suma ⊕ y multiplicación descritas en la definición 1.3 y en la definición 1.4 respectivamente. Con las dos operaciones anteriores el conjunto J resulta ser un anillo conmutativo con identidad, dotando así a los números irreales de una estructura algebraica. Números Irreales como Expresiones Algebraicas Recordemos que en este momento nuestro objetivo es construir un conjunto numérico que contenga a los números reales, y cuyos elementos sean de la forma a + bj con a, b ∈ R y donde j 2 = j y 0 6= j 6= 1. Ahora bien, hemos construido el conjunto J de los números irreales cuyos elementos son parejas ordenadas de números reales, así que para demostrar que los números reales están contenidos en los números irreales, debemos encontrar un subconjunto A de J tal que entre A y R exista un isomorfismo, y a través de dicho resultado poder asignar a cada número irreal (a, b) la expresión algebraica a + bj. Intuitivamente, y abusando de la notación, si consideramos un elemento a + bj que cumpla las características enunciadas, haciendo b = 0 tendríamos lo siguiente: a + bj = a + (0) j = a. a∈R. Con esto podemos intuir que en el conjunto J, los números reales están identificados por aquellas parejas ordenadas cuya segunda componente es igual cero; de esta manera tenemos una idea de cómo debemos definir el subconjunto A de J que sea isomorfo a R.. Proposición 1.13. Sea A el conjunto definido por A = {w ∈ J : w = (x, 0)} ⊂ J. La estructura (A, ⊕, ) es un subanillo conmutativo con identidad del anillo conmutativo con identidad (J, ⊕, ).. Demostración.. Sea A = {w ∈ J : w = (x, 0)}, donde A ⊂ J; o sea que A es el conjunto de los números irreales con segunda componente igual a cero. En primer lugar, como A ⊂ J y como (J, ⊕) y (J, ) son estructuras asociativas y conmutativas, entonces las estructuras (A, ⊕) y (A, ) son asociativas y conmutativas;. 10.

(31) además, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma en J es heredada por el conjunto A, dado que A es subconjunto de J. En segundo lugar, veamos que el conjunto A es cerrado bajo la suma ⊕ definida en J, que el elemento neutro de la suma en J pertenece al conjunto A, y que para todo w ∈ A es cierto que −w ∈ A. • Sean w, z ∈ A tales que w = (a, 0) y z = (b, 0). w ⊕ z = (a, 0) ⊕ (b, 0) = (a + b, 0) Luego w ⊕ z ∈ A. • 0 ∈ A ya que 0 = (0, 0). • Sea w ∈ A tal que w = (a, 0). −w ∈ A porque −w = (−a, 0). En tercer lugar, veamos que el conjunto A es cerrado bajo la multiplicación y que el elemento neutro de la multiplicación en J pertenece al conjunto A.. definida en J,. • Sean w, z ∈ A tales que w = (a, 0) y z = (b, 0). w z = (a, b) (c, d) = (ab, a (0) + (0) b + (0) (0)) = (ab, 0) Luego w z ∈ A. • 1 ∈ A ya que 1 = (1, 0). Por lo tanto, se demuestra que la estructura (A, ⊕, ) es un subanillo conmutativo con identidad del anillo conmutativo con identidad (J, ⊕, ).. Proposición 1.14. Sea A el conjunto definido por A = {w ∈ J : w = (x, 0)} ⊂ J. El anillo conmutativo con identidad (A, ⊕, ) es isomorfo al anillo conmutativo con identidad (R, +, ·).. Demostración.. Sea A = {w ∈ J : w = (x, 0)}, donde A ⊂ J y A está dotado de la suma y la multiplicación heredadas de J. Asimismo, sea R el conjunto de los números reales dotados de la suma y la multiplicación usual. Sea f : A → R una aplicación de A en R, tal que para todo w ∈ A con w = (x, 0), se define f (w) = x. Demostremos que f es una función de A en R.. 11.

(32) • Por la definición de f , se tiene directamente que para todo w ∈ A, existe x ∈ R tal que f (w) = x, donde w = (x, 0). • Para cada w ∈ A tal que w = (x, 0), si f (w) = m y f (w) = n con m, n ∈ R, entonces por la definición de f se tiene que m = x y n = x, luego m = n. Entonces f es una función de A en R. f:. A −→ R (x, 0) 7−→ x. Demostremos que f es una función biyectiva. • Supongamos que f (w) = f (z), donde w, z ∈ A tales que w = (x, 0) y z = (y, 0); por la definición de f se tiene que f (w) = x y que f (z) = y, o sea que x = y, entonces (x, 0) = (y, 0), concluyendo que w = z. Por lo tanto f es una función inyectiva. • Supongamos que x ∈ R, luego siempre existe w ∈ A donde w = (x, 0) tal que, por definición de f , es cierto que f (w) = x. Por lo tanto f es una función sobreyectiva. Entonces f es una función biyectiva de A en R. Demostremos que la función f es un homomorfismo del anillo conmutativo con identidad (A, ⊕, ) en el anillo conmutativo con identidad (R, +, ·). Es evidente que f (1) = f ((1, 0)) = 1. Ahora, sean w, z ∈ A tales que w = (x, 0) y z = (y, 0). f (w ⊕ z) = f ((x, 0) ⊕ (y, 0)). f (w. z) = f ((x, 0). (y, 0)). = f ((x + y, 0)). = f ((x · y, 0)). =x+y. =x·y. = f ((x, 0)) + f ((y, 0)). = f ((x, 0)) · f ((y, 0)). = f (w) + f (z). = f (w) · f (z). Luego f es un homomorfismo de (A, ⊕, ) en (R, +, ·); además como f es biyectiva, entonces f es un isomorfismo de (A, ⊕, ) en (R, +, ·) Por lo tanto, se demuestra que el anillo conmutativo con identidad (A, ⊕, ) es isomorfo al anillo conmutativo con identidad (R, +, ·). A'R. 12.

(33) Al demostrar que A ' R, se asegura que todo número real es también un número irreal, es decir que podemos considerar al conjunto R de los números reales como un subconjunto propio del conjunto J de los números irreales. Esto significa que los números irreales de la forma (x, 0) se comportan respecto a la suma y a la multiplicación en J de la misma manera que los números reales se comportan respecto a la suma y a la multiplicación usual en R, por lo tanto (desde un punto de vista algebraico) cada número irreal de la forma (a, 0) es en esencia el número real a. A continuación observemos lo siguiente: consideremos un número irreal w = (a, b), entonces w = (a, b) = (a, 0) ⊕ (0, b) = (a, 0) ⊕ [(b, 0). (0, 1)]. Los números irreales (a, 0) y (b, 0) representan los números reales a y b respectivamente, y el número irreal (0, 1) es la unidad irreal denotada por j, donde j es tal que j 2 = (0, 1)2 = (0, 1). (0, 1) = ((0) (0) , (0) (1) + (1) (0) + (1) (1)) = (0, 1) = j. Luego, si por convención decidimos utilizar los símbolos + y · para identificar la suma y la multiplicación tanto de los números reales como de los números irreales, siendo cuidadosos con el uso de las operaciones en los contextos donde se presenten, a causa de la diferencia en los significados que dichas operaciones tienen en cada uno de los conjuntos R y J, y si además permitimos que en la escritura sea valida la igualdad (x, 0) = x para todo x ∈ R, entonces cada número irreal lo podemos escribir como una expresión algebraica.. Definición 1.5. Sea w ∈ J tal que w = (a, b), con a, b ∈ R. El número irreal w = (a, b) es equivalente a la expresión algebraica w = a + bj, donde j = (0, 1) es la unidad irreal de J, y los números reales a y b son respectivamente la parte real e irreal del número w, que denotaremos como Re (w) = a y Irr (w) = b.. Al conjunto J de los números irreales, lo podemos considerar como una extensión cuadrática de los números reales, o sea que n. o. J = R [j] = a + bj : a, b ∈ R ∧ j 2 = j ; 0 6= j 6= 1. Luego, el conjunto J de los números irreales es una estructura análoga a estructuras tales como la del conjunto C de los números complejos, la del conjunto D de los números duales y la del conjunto M de los números dobles.. 13.

(34) Capítulo 2. Representación Cartesiana de los Números Irreales En primer lugar, definimos al conjunto J como el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales junto con dos operaciones binarias (suma y multiplicación en J), donde cada número irreal está identificado con una y sólo una pareja ordenada de componentes reales; y en segundo lugar, vimos que a cada número irreal lo podemos escribir como una expresión algebraica. Luego, como el conjunto J y el conjunto R2 son equipotentes, dado que la función I : R2 → J definida por I ((a, b)) = a + bj es un aplicación biyectiva que justifica la equipotencia entre J y R2 , entonces existe una correspondencia biunívoca entre los números irreales y los puntos del plano. Por lo tanto, a cada número irreal le corresponde un único punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un único número irreal, de esta manera podemos deducir una representación geométrica del conjunto J ubicando en cada punto del plano cartesiano el número irreal correspondiente. Si w ∈ J es tal que w = (a, b) = a + bj, en el eje x ubicaremos la parte real del número w (es decir el número real a) y en el eje y ubicaremos la parte irreal del número w (es decir el número real b), y así el número irreal w = a + bj está determinado por el punto de coordenadas cartesianas (a, b) en el plano. Al plano cartesiano determinado por el conjunto de los números irreales lo llamaremos plano irreal; al eje x del plano irreal lo llamaremos eje real y al eje y del plano irreal lo llamaremos eje irreal; finalmente a esta representación geométrica de los números irreales la llamaremos representación cartesiana de los números irreales.. 14.

(35) w = a + bj b. a. Asimismo, se podría pensar en la posibilidad de representar a cada número irreal, no sólo como un punto en el plano cartesiano, sino también como un segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto que le corresponde en su representación cartesiana. Para generar dicha representación geométrica, es sensato que el conjunto J de los números irreales posea estructura de espacio vectorial; entonces procederemos a exponer la construcción y determinación de dicha estructura en J. Para dotar a los números irreales de estructura de espacio vectorial, debemos contemplar al conjunto J como aquel conjunto de objetos a los que llamaremos vectores, además tomaremos como cuerpo de escalares al conjunto R, la suma vectorial la asociaremos con la suma de números irreales, y el producto escalar lo definiremos como sigue:. Definición 2.1. Sea w ∈ J tal que w = (a, b) y sea λ ∈ R. Se define la operación producto escalar · en J como sigue: λ · w = λ · (a, b) = (λ, 0). (a, b) = (λa, λb). El producto escalar así definido es una operación que asigna a cada número real λ y cada número irreal w un único número irreal denotado por λ · w. ·:. R×J −→ J (λ, (a, b)) 7−→ (λa, λb). Luego, si w ∈ J y λ ∈ R entonces λ · w ∈ J.. Proposición 2.1. La estructura (J, ⊕, ·) es un Espacio Vectorial Real.. Demostración.. 15.

(36) En primer lugar, la suma vectorial ⊕ en J está asociada a la suma de números irreales, y como la estructura (J, ⊕) es un grupo abeliano, entonces la suma vectorial satisface las siguientes condiciones: • w ⊕ z ∈ J, para todo w, z ∈ J • (w ⊕ z) ⊕ x = w ⊕ (z ⊕ x), para todo w, z, x ∈ J • Existe un único elemento 0 ∈ J tal que w ⊕ 0 = 0 ⊕ w = w, para todo w ∈ J • Para todo w ∈ J existe un único −w ∈ J tal que w ⊕ (−w) = (−w) ⊕ w = 0. • w ⊕ z = z ⊕ w, para todo w, z ∈ J. En segundo lugar, sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d) y sean λ, µ ∈ R. Entonces: • λ · (w ⊕ z) = λ · ((a, b) ⊕ (c, d)). • λ · w = λ · (a, b). = λ · (a + c, b + d). = (λa, λb) ∈ J. = (λ (a + c) , λ (b + d)) • 1 · w = 1 · (a, b). = (λa + λc, λb + λd). = (1a, 1b). = (λa, λb) ⊕ (λc, λd). = (a, b). = (λ · (a, b)) ⊕ (λ · (c, d)). =w. = (λ · w) ⊕ (λ · z). • (λµ) · w = (λµ) · (a, b). • (λ + µ) · w = (λ + µ) · (a, b). = ((λµ) a, (λµ) b). = ((λ + µ) a, (λ + µ) b). = (λ (µa) , λ (µb)). = (λa + µa, λb + µb). = λ · (µa, µb). = (λa, λb) ⊕ (µa, µb). = λ · (µ · (a, b)). = (λ · (a, b)) ⊕ (µ · (a, b)). = λ · (µ · w). = (λ · w) ⊕ (µ · w). Por lo tanto, se demuestra que la estructura (J, ⊕, ·) es un espacio vectorial real.. A continuación, demostremos en breve que el producto escalar · y la multiplicación son operaciones compatibles.. en J. Proposición 2.2. Para todo w, z ∈ J y λ ∈ R, se cumple que λ · (w w (λ · z).. z =. 16. z) = (λ · w).

(37) Demostración.. Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d) y sea λ ∈ R. Entonces: λ · (w. z) = λ · ((a, b). λ · (w. (c, d)). z) = λ · ((a, b). (c, d)). = λ · (ac, ad + bc + bd). = λ · (ac, ad + bc + bd). = (λ (ac) , λ (ad + bc + bd)). = (λ (ac) , λ (ad + bc + bd)). = ((λa) c, (λa) d + (λb) c + (λb) d). = (a (λc) , a (λd) + b (λc) + b (λd)). = (λa, λb). = (a, b). (λc, λd). = (a, b). (λ · (c, d)). (c, d). = (λ · (a, b)) = (λ · w). (c, d). z. =w. Por lo tanto, se demuestra que λ · (w. z) = (λ · w). z=w. (λ · z). (λ · z).. Ahora, veamos que existe un isomorfismo del espacio vectorial real R2 en el espacio vectorial real J, donde el espacio vectorial J esta provisto de la suma vectorial definida por la suma de números irreales y el producto escalar descrito en la definición 2.1, y donde el espacio vectorial R2 está provisto de la suma vectorial usual y el producto escalar usual. Proposición 2.3. Los espacios vectoriales J y R2 son isomorfos.. Demostración.. Sabemos que los conjuntos J y R2 son equipotentes, ya que existe una función biyectiva I de R2 en J, que asigna a cada vector ~u = ha, bi de R2 el número irreal (o el vector en J) w = (a, b). I:. R2 −→ J ha, bi 7−→ (a, b). Demostremos que la función I es una transformación lineal del espacio vectorial real R2 en el espacio vectorial real J. Sea λ ∈ R, y sean ~u, ~v vectores de R2 tales que ~u = ha, bi y ~v = hc, di, luego existen w, z ∈ J tales que I (~u) = w y I (~v ) = z, o sea que w = (a, b) y z = (c, d). Entonces:. 17.

(38) • I (~u + ~v ) = I (ha, bi + hc, di). • I (λ~u) = I (λ ha, bi). = I (ha + c, b + di). = I (hλa, λbi). = (a + c, b + d). = (λa, λb). = (a, b) ⊕ (c, d). = λ · (a, b). = I (ha, bi) ⊕ I (hc, di). = λ · I (ha, bi). = I (~u) ⊕ I (~v ). = λ · I (~u). Por lo tanto, la función I es una transformación lineal entre los espacios vectoriales reales J y R2 , y como I es una aplicación biyectiva, entonces se demuestra que la función I es un isomorfismo entre los espacios vectoriales J y R2 ; esto es, J ' R2 .. El hecho de que los espacios vectoriales reales J y R2 sean isomorfos, implica directamente los siguientes resultados:. Proposición 2.4. El espacio vectorial real J es de dimensión dos.. Demostración.. Dado que J ' R2 , entonces dim (J) = dim R2 , y como R2 es de dimensión dos, entonces J también es de dimensión dos, por lo tanto dim (J) =2. . Proposición 2.5. El conjunto B = {1, j} ⊂ J es una base para el espacio vectorial real J.. Demostración.. Sabemos que el conjunto B = {h1, 0i , h0, 1i} ⊂ R2 es una base para el espacio vectorial R2 , y como el isomorfismo I de R2 en J definido por I (ha, bi) = (a, b) es tal que I (h1, 0i) = (1, 0) = 1 y I (h0, 1i) = (0, 1) = j, entonces al ser J ' R2 , se deduce que el conjunto I (B) = B = {1, j} ⊂ J es una base para el espacio vectorial real J. Por lo tanto: I. El conjunto B = {1, j} en J es linealmente independiente. II. El conjunto B = {1, j} genera al espacio vectorial real J, es decir que Gen (B) = J.. 18.

(39) Hemos demostrado en esencia que cada número irreal es también un vector, el cual pertenece a un espacio vectorial real bidimensional isomorfo a R2 . Por lo tanto, dada la correspondencia biunívoca entre los vectores de R2 y los elementos de J, podemos representar en el plano cartesiano a cada número irreal como un vector posición determinado por el punto que se identifica con dicho número irreal. Si w = (a, b) = a + bj, este número irreal está determinado geométricamente por el vector ha, bi del espacio vectorial real R2 . A esta representación geométrica de los números irreales la llamaremos representación vectorial de los números irreales.. w = a + bj b. a. Ahora bien, a través de la representación tanto cartesiana como vectorial de los números irreales, procederemos a generar una representación geométrica de las operaciones que hasta el momento se han definido sobre el conjunto de los números irreales, entonces en el plano irreal realizaremos el producto escalar, la suma y la multiplicación en J mediante procesos geométricos, es decir que realizaremos las operaciones mencionadas de números irreales dibujando. En primer lugar, veamos cómo realizar geométricamente el producto escalar en J. Sea w ∈ J tal que w = (a, b) y sea k ∈ R; sabemos que el producto escalar de k por w es k · w = (ka, kb), luego geométricamente el vector hka, kbi representa al número irreal k · w. Realizaremos a continuación un análisis más detallado de esta operación en J. El número irreal w = (a, b) está representado geométricamente por el vector ha, bi; entonces: si k > 1, obtenemos el vector que representa al número irreal k · w = (ka, kb) realizando una dilatación del vector ha, bi con factor de dilatación k; si 0 < k < 1, obtenemos el vector que representa al número irreal k · w = (ka, kb) realizando una contracción del vector ha, bi con factor de contracción k; y si k < 0, obtenemos el vector que representa al número irreal k · w = (ka, kb) realizando una rotación de 180o del vector que representa al número |k| · w.. 19.

(40) k·w; k >1 w = a + bj b. k·w; 0<k <1 a. k·w; k <1. En segundo lugar, veamos cómo realizar geométricamente la suma en J. Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d); sabemos que la suma de w y z es w ⊕ z = (a + c, b + d), luego geométricamente el vector ha + c, b + di representa al número irreal w ⊕ z. Realizaremos a continuación un análisis más detallado de esta operación en J. El número irreal w = (a, b) está representado geométricamente por el vector ha, bi y el número irreal z = (c, d) está representado geométricamente por el vector hc, di; entonces construimos el paralelogramo determinado por los vectores ha, bi y hc, di siendo estos vectores lados adyacentes del paralelogramo, después trazamos la diagonal desde el origen hasta el vértice opuesto, y así obtenemos el vector que representa al número irreal w ⊕ z = (a + c, b + d), el cual coincide con la diagonal ya trazada del paralelogramo. Esta construcción es la misma que se realiza en la ley del paralelogramo para la suma de vectores en R2 .. w⊕z z = c + dj d b w = a + bj. a. c. 20.

(41) Ahora veamos cómo construir geométricamente el vector que representa al inverso aditivo de un número irreal dado. Sea w ∈ J tal que w = (a, b), este número irreal está representado geométricamente por el vector ha, bi, y el número irreal −w = (−a, −b) que es el inverso aditivo de w, está representado geométricamente por el vector h−a, −bi. Para obtener el vector que representa al número irreal −w a partir del vector que representa al número irreal w, sólo se debe realizar una rotación de 180o del vector ha, bi; esto quiere decir en un contexto euclidiano, que los vectores que representan a dos números irreales que son inversos aditivos entre sí, tienen la misma dirección, igual magnitud, pero diferente sentido.. w = a + bj b a −w. En tercer y último lugar, veamos cómo realizar geométricamente la multiplicación en J. Sean w, z ∈ J tales que w = (a, b) y z = (c, d); sabemos que la multiplicación de w y z es w z = (ac, ad + bc + bd), luego geométricamente el vector hac, ad + bc + bdi representa al número irreal w z. Realicemos a continuación un análisis más detallado de esta operación en J. Observemos el siguiente hecho geométrico: en el plano cartesiano, las rectas de pendiente m = −1 son tales que la suma de las componentes de cada uno de sus puntos es siempre constante, es decir que si l es una recta de pendiente m = −1 que pasa por el punto de coordenadas (p, q), o sea que l es paralela a la recta de ecuación y = −x por el punto (p, q), entonces para cualquier punto (x, y) perteneciente a la recta l se tiene que x + y = p + q; con esto podemos asegurar en particular que el punto de corte de la recta l con el eje x es el punto de coordenadas (p + q, 0). Si consideramos el número irreal w z = (ac, ad + bc + bd), donde w = (a, b) y z = (c, d), entonces al sumar las componentes de w z obtenemos lo siguiente: ac + ad + bc + bd = (a + b) (c + d), con lo cual podemos concluir que la suma de las componentes del número irreal w z es igual al producto de la suma de las componentes de w por la suma de las componentes de z. Con lo expuesto en los dos párrafos anteriores, podemos justificar la construcción de un proceso geométrico con el cual obtendremos el vector que representa al número irreal. 21.

(42) determinado por la multiplicación de dos números irreales dados. La construcción geométrica es la siguiente: Sean w = (a, b) y z = (c, d) números irreales, entonces I. Trazamos los vectores ha, bi y hc, di que representan a los números irreales w y z respectivamente. También trazamos la recta de ecuación y = −x. II. Trazamos la recta l1 paralela a la recta y = −x por el punto (a, b) y determinamos el punto de corte A de l1 con el eje x. Asimismo, trazamos la recta l2 paralela a la recta y = −x por el punto (c, d) y determinamos el punto de corte B de l2 con el eje x. III. Ubicamos en el eje x el punto C determinado por el producto de las abscisas de (a, b) y (c, d), asimismo ubicamos en el eje x el punto D determinado por el producto de las abscisas de A (a + b, 0) y B (c + d, 0). IV. Trazamos la recta l3 paralela a la recta y = −x por el punto D ((a + b) (c + d) , 0). También trazamos la recta l4 perpendicular al eje x por el punto C (ac, 0). Luego determinamos el punto de intersección E de las rectas l3 y l4 . V. El punto E tiene coordenadas (ac, ad + bc + bd), entonces trazamos el vector desde el origen hasta el punto E, donde dicho vector representa geométricamente al número irreal w z.. w. b. z. w = a + bj z = c + dj. d c+d c. y = −x. (a + b)(c + d). a+b ac a. l4. l2. l1. l3. Ahora veamos cómo construir geométricamente el vector que representa al inverso multiplicativo de un número irreal dado. Sea w ∈ J tal que w = (a, b) con a 6= 0 y a + b 6= 0,. 22.

(43) este número irreal está representado geométricamente por el vector ha, bi, y el número irreal  1 b −1 w = a , − a(a+b) que es el inverso multiplicativo de w, está representado geométricamente por el vector. D. 1 b a , − a(a+b). E. . Entonces, al considerar el número irreal w−1 y al sumar sus . . b 1 componentes obtenemos lo siguiente: a1 + − a(a+b) = a+b , con lo cual podemos deducir que la suma de las componentes del inverso multiplicativo de w es igual al inverso multiplicativo de la suma las componentes de w.. Luego, para obtener el vector que representa al número irreal w−1 a partir del vector que representa al número irreal w, debemos realizar la siguiente construcción geométrica: Sea w = (a, b) con a 6= 0 y a + b 6= 0, entonces I. Trazamos el vector ha, bi que representa al número irreal w. Trazamos también la recta de ecuación y = −x. II. Trazamos la recta l1 paralela a la recta y = −x por el punto (a, b) y determinamos el punto de corte A de l1 con el eje x. III. Ubicamos en el eje x el punto B determinado por el inverso multiplicativo de la abscisa de (a, b), asimismo ubicamos en el eje x el punto C determinado por el inverso multiplicativo de la abscisa de A (a + b, 0). IV. Trazamos la recta l2 paralela a la recta y = −x por el punto C trazamos la recta l3 perpendicular al eje x por el punto B el punto de intersección D de las rectas l2 y l3 . . . . 1 a, 0. . . 1 a+b , 0. . También. . Luego determinamos. . b V. El punto D tiene coordenadas a1 , − a(a+b) , entonces trazamos el vector desde el origen hasta el punto D, donde dicho vector representa geométricamente al número irreal w−1 .. l1 l3. b. w = a + bj. l2. 1 a+b. 1 a a. a+b. w−1 y = −x. Nótese que los números irreales que no poseen inverso multiplicativo, están representados geométricamente por vectores ubicados o bien sobre la recta de ecuación x = 0 (eje y) o bien. 23.

(44) sobre la recta de ecuación y = −x; esto se debe a que los puntos de la recta x = 0 son tales que su primera componente es igual a cero, y los puntos de la recta y = −x son tales que la suma de sus componentes es igual a cero.. Hasta el momento, hemos demostrado que el conjunto J de los números irreales tiene tanto estructura de anillo conmutativo con identidad como estructura de espacio vectorial real, por lo tanto podemos finalizar concluyendo que el conjunto J de los números irreales es un Álgebra Lineal Real Conmutativa con Identidad.. 24.

(45) Capítulo 3. Representación Matricial de los Números Irreales Hemos visto cómo el conjunto J de los números irreales y sus operaciones hasta el momento definidas, poseen una representación geométrica la cual ha sido graficada en el plano cartesiano. Ahora nuestro objetivo será el de identificar y definir otro tipo de representación para los números irreales. Para ser más explícitos con el tipo de representación que queremos encontrar, nos propondremos como objetivo el definir una representación matricial de los números irreales, es decir que pretendemos hallar un conjunto de matrices reales que junto con la suma y la multiplicación matricial, sea posible determinar un isomorfismo entre dicho conjunto de matrices y los números irreales dotados de la suma y multiplicación en J, y así poder identificar y representar a cada número irreal con una matriz de entradas reales. Recordemos que el conjunto J de los números irreales es un espacio vectorial real, donde el conjunto B ⊂ J definido como B = {1, j} = {(1, 0) , (0, 1)} es una base para J, la cual llamaremos base canónica de J; además recordemos que si w ∈ J es tal que w = (a, b), entonces w es equivalente a la expresión algebraica w = a + bj, es decir que: w = (a, b) = a + bj = [(a, 0). (1, 0)] ⊕ [(b, 0). (0, 1)] = a · (1, 0) ⊕ b · (0, 1). Esto significa que al expresar el número irreal w = (a, b) como combinación lineal de los vectores (1, 0) y (0, 1) en J, las únicas constantes c1 , c2 ∈ R tales que w = c1 · (1, 0) ⊕ c2 · (0, 1) son las respectivas componentes de w, es decir que c1 = a y c2 = b. Téngase presente lo siguiente: el hecho de poder expresar a w como combinación lineal de (1, 0) y (0, 1), se justifica porque los vectores (1, 0) y (0, 1) en J generan al espacio vectorial real J, es decir que Gen ({(1, 0) , (0, 1)}) = J; y el hecho de que en la igualdad. 25.

(46) w = c1 · (1, 0) ⊕ c2 · (0, 1) se tenga la unicidad de las constantes c1 , c2 ∈ R, se justifica porque los vectores (1, 0) y (0, 1) en J son linealmente independientes. Con lo expuesto en lo anterior, podemos deducir el siguiente resultado y justificar su veracidad. Proposición 3.1. En el espacio vectorial real J de los números irreales, cualquier vector de J es igual a su correspondiente vector de coordenadas respecto a la base canónica de J. En otras palabras, si w es un vector de J y [w]B es el vector de coordenadas de w respecto a la base canónica B, entonces w = [w]B . Demostración. Sea w ∈ J tal que w = (a, b) y sea B = {1, j} = {(1, 0) , (0, 1)} la base canónica del espacio vectorial real J. Dado que B es una base de J, entonces al expresar a w como combinación lineal de los elementos de B, existen constantes únicas c1 , c2 ∈ R tales que w = c1 · (1, 0) ⊕ c2 · (0, 1), luego (a, b) = (c1 , c2 ) y en consecuencia a = c1 y b = c2 , o sea que w = (a, b) = a · (1, 0) ⊕ b · (0, 1) Por lo tanto, si [w]B es el vector de coordenadas de w respecto a la base B, entonces se tiene que [w]B = (a, b), concluyendo así que w = [w]B .. Con el objetivo de generar una representación matricial de los números irreales, comenzaremos viendo cómo la multiplicación de un número irreal cualquiera por un número irreal fijo pero arbitrario puede representarse mediante una matriz. Proposición 3.2. Sea α ∈ J un número irreal fijo pero arbitrario, entonces la función Tα : J → J definida en J como Tα (w) = α w para todo w ∈ J, es una transformación lineal del espacio vectorial real J en sí mismo.. Demostración. Sea α ∈ J un número irreal fijo pero arbitrario. Consideremos la función Tα : J → J definida como Tα (w) = α w. Supongamos que λ ∈ R y que w, z ∈ J, entonces:. 26.

(47) Tα (w ⊕ z) = α = (α. (w ⊕ z) w) ⊕ (α. Tα (λ · w) = α. (λ · w). = λ · (α. z). = Tα (w) ⊕ Tα (z). w). = λ · Tα (w). Por lo tanto, la función Tα es una transformación lineal del espacio vectorial real J en sí mismo.. Como hemos demostrado que la función Tα definida en el teorema anterior (proposición 3.2) es una transformación lineal, ahora hallaremos la matriz A asociada a Tα con respecto a B, donde B es la base canónica de J. Sea α = (p, q) un número irreal fijo pero arbitrario, entonces al evaluar la función Tα en los elementos de la base B, tenemos que: Tα (1) = α. Tα (j) = α. 1. = (p, q). j. = (p, q). (1, 0). = (p, q). (0, 1). = (0, p + q). La matriz A asociada a la transformación lineal Tα con respecto a la base B, es la matriz cuyas columnas son [Tα (1)]B y [Tα (j)]B , donde consideraremos como un vector columna a cada número irreal y a su correspondiente vector de coordenadas respecto a B. Dado que Tα (1) y Tα (j) son vectores de J, entonces en virtud de la proposición 3.1 podemos asegurar que Tα (1) = [Tα (1)]B y que Tα (j) = [Tα (j)]B , luego tenemos que [Tα (1)]B = (p, q) y que [Tα (j)]B = (0, p + q). Por lo tanto, la matriz A asociada a la transformación lineal Tα con respecto a la base B, es la siguiente matriz de tamaño 2 × 2 y entradas reales: A=. p 0 q p+q. !. Proposición 3.3. Sea α = (p, q) un número irreal fijo pero arbitrario, y sea Tα la transformación lineal del espacio vectorial real J en sí mismo definida como Tα (w) = α w para todo w ∈ J, entonces la matriz A asociada a Tα con respecto a la base canónica B de J es: ! p 0 A= q p+q Demostración.. Sea α = (p, q) un número irreal fijo pero arbitrario, y sea Tα la transformación lineal del espacio vectorial real J en sí mismo definida como Tα (w) = α w para todo w ∈ J.. 27.

(48) !. a11 a12 es la matriz asociada a la transformación lineal Tα con Supongamos que A = a21 a22 respecto a la base canónica B de J, entonces A es la única matriz que satisface la igualdad para todo w ∈ J. A [w]B = [Tα (w)]B. Por supuesto, estamos considerando como un vector columna a cada número irreal y a su correspondiente vector de coordenadas respecto a B. Sea w ∈ J tal que w = (a, b), entonces Tα (w) = α w = (pa, pb + qa + qb); además por la proposición 3.1 tenemos que w = [w]B y que Tα (w) = [Tα (w)]B . Por lo tanto: A [w]B = [Tα (w)]B Aw = Tα (w) a b. !. a11 a + a12 b a21 a + a22 b. !. a11 a12 a21 a22. !. !. =. pa pb + qa + qb. =. pa qa + (p + q) b. !. La igualdad de matrices implica que se satisfacen simultáneamente las siguientes ecuaciones:  a a + a b = pa 11 12 a a + a b = qa + (p + q) b 21 22. Luego, de las dos igualdades anteriores se infiere que a11 = p, a12 = 0, a21 = q y a22 = p + q; por lo tanto se concluye que la matriz A asociada a Tα con respecto a B es: A=. p 0 q p+q. !. Con lo expuesto hasta el momento, podemos intuir que dado un número irreal α = ! (p, q), p 0 este número está perfectamente representado por la matriz real Mα = . Para q p+q justificar esta afirmación, debemos demostrar que el anillo conmutativo con identidad J es isomorfo al conjunto de matrices reales {Mα }α∈J , cuya estructura algebraica está determinada por la suma y multiplicación usual de matrices. Sea α = (p, q) un número irreal cualquiera. Denotamos por MJ al conjunto de matrices reales de tamaño 2 × 2, definido por: (. MJ = {Mα }α∈J =. Mα =. 28. p 0 q p+q. !. ). : p, q ∈ R.

(49) Luego, al considerar la suma y la multiplicación usual de matrices reales sobre el conjunto MJ , concluimos lo siguiente: Proposición 3.4. Existe un monomorfismo (homomorfismo inyectivo) del anillo J de los números irreales en el anillo M2×2 (R) de las matrices reales de tamaño 2 × 2.. Demostración.. Sabemos que el conjunto Mn×n (K) de las matrices de tamaño n × n sobre un campo K junto con la suma y multiplicación usual de matrices forman un anillo, luego es válido afirmar que el conjunto M2×2 (R) de las matrices reales de tamaño 2 × 2 es un anillo. Sea h : J → M2×2 (R) una aplicación de J en M2×2 (R) definida por: h (α) =. p 0 q p+q. !. para cada α ∈ J, donde α = (p, q). Demostremos que h es una función de J en M2×2 (R). • Por la definición de h, se tiene directamente que para todo α ∈ ! J con α = (p, q), existe p 0 Mα ∈ M2×2 (R) tal que h (α) = Mα , donde Mα = . q p+q • Para todo α ∈ J tal que α = (p, q), si h (α) = M y h (α) =!N con M, N ∈ M2×2 (R), ! p 0 p 0 entonces por la definición de h se tiene que M = y que N = , q p+q q p+q luego M = N . Entonces h es una función de J en M2×2 (R). Demostremos que h es un homomorfismo del anillo J en el anillo! M2×2 (R): En primer lugar, 1 0 es evidente que h (1) = h ((1, 0)) = MI , donde MI = es la matriz identidad. En 0 1 segundo lugar, sean α, β ∈ J tales que α = (p, q) y β = (r, s). h (α ⊕ β) = h ((p, q) ⊕ (r, s)) = h ((p + r, q + s)) !. =. p+r 0 q + s (p + r) + (q + s). !. =. p+r 0 q + s (p + q) + (r + s). 29.

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