• No se han encontrado resultados

Guia 1: Elements b`asics de Ta Probabilitats

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "Guia 1: Elements b`asics de Ta Probabilitats"

Copied!
37
0
0

Texto completo

(1)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats

Guia 1:

Elements b` asics de T

a

Probabilitats

Albert Satorra i Gloria Garc´ıa

Probabilitat – UPF, Tardor 2010

(2)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats

Continguts

1.1. Cap al concepte de probabilitat

1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia 1.4. Teorema de la probabilitat total

1.5. Teorema de Bayes

(3)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats

Qu` e ´ es l’Estad´ıstica?

”The mathematics of the collection, organization, and interpretation of numerical data, especially the analysis of population characteristics by inference from sampling.”1 Tres assignatures a ECO/ADE,

- An`alisi de Dades: estudiem i descrivim mostres. Detectar estructures d’inter`es i triar un model adient per a la poblaci´o - Probabilitat: estudiem la poblaci´o, els diferents models

probabil´ıstics i el comportament aleatori de les mostres que n’extreim

- Estad´ıstica: realitzarem infer`encies sobre una poblaci´o a partir de la informaci´o continguda en una mostra

1American Heritage Dictionary; www.amstat.org

(4)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

1.1. Cap al concepte de probabilitat

Unexperiment aleatori´es un fen`omen en que hi ha incertesa sobre el seu desenlla¸c.

Els resultats possibles d’un experiment aleatori s’anomenen resultats b`asicsi es denoten per ωi.

El conjunt de tots els ωi s’anomenaespai mostrali es denotaΩ.

UnesdevenimentA ´es un subconjunt de Ω.

Realitzat l’experiment aleatori, poden determinar si l’esdeveniment A hapassat o no.

(5)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

Exemple 1

Resultat cara superior tirada d’un dau; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A := ’Resultat parell’. A passa si s’observa 2, 4, 6 Exemple 2

Valor ratio Euro - Dolar respecte del seu valor en el moment del tancament del dia immediatament anterior; Ω = {↑, =, ↓}

B := ’Valor ratio no puja’. B = {=, ↓}

Exemple 3

Resultat nombre cares − nombre creus en tirar tres vegades una moneda; Ω = {−3, −1, 1, 3}

C := ’Ha sortit m´es cares que creus’. C = {1, 3}

Interessats simult`aniament en un o m´es esdeveniments?

(6)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

Algebra de Boole dels experiments, A `

Siguin A, B dos esdeveniments,

A ∩ B: ´es aquell esdeveniment que passa quan passa A i tamb´e passa B.

A ∪ B: ´es aquell esdeveniment que passa quan passa A o B.

A: ´es aquell esdeveniment que passa quan no passa A.

Definim ∅ com aquell esdeveniment que no passa mai; ´es l’esdeveniment impossible.

A i B s´onutuament excloentso disjunts si A ∩ B = ∅

L’esdevenimentsegur´es aquell que passa sempre; ´es el complementari de l’esdeveniment impossible i el denotarem com a Ω tanmateix.

Aquesta fam´ılia de de conjunts (esdeveniments) t´e estructura de σ – `algebra, ´es a dir ´es tancada per unions numerables i pel pas a la intersecci´o.

(7)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

A i B s´onexhaustius si A ∪ B = Ω

Ex1. A := ’Resultat parell’; B := ’Com a m´ınim un 4’

A ∪ B = {2, 4, 5, 6} , B = {1, 2, 3}, A ∩ B = {2}, B ∪ B = Ω E1, . . . Ek esdeveniments

E1∩ · · · ∩ Ek: conjunt de tots els resultats b`asics en Ω que pertanyen a tots Ei

E1∪ · · · ∪ Ek: conjunt de tots els resultats b`asics en Ω que pertanyen almenys a un dels Ei

E1, . . . Ek s´onm´utuament excloents si Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j E1, . . . Ek s´oncol.lectivament exhaustiussi E1∪ · · · ∪ Ek = Ω

(8)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

Probabilitat: mesura de versemblan¸ca

El concepte de probabilitat pret´en aportar una mesura num`erica de la plausibilitat d’ocurr`encia d’un cert esdeveniment

Postulats,

P1. Per a qualsevol esdeveniment A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 P2. P(Ω) = 1, P(∅) = 1

P3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B), si A i B s´on disjunts.

Observem com aquestes propietats son mirall d’aquelles de la freq¨u`encia relativa d’un cert esdeveniment A,

fr (A) = ]A/]repeticions experiment doncs 0 ≤ fr (A) ≤ 1...

Per`o anem una mica m´es enll`a perque la mesura de probabilitat no ha de dependre del nombre de repeticions de l’experiment

(9)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

Una propietat rellevant de la probabilitat

Si A, B s´on dos esdeveniments qualsevol,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Prova. Podem expressar A ∪ B = A t (B ∩ A). Per tant, P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A)

Tenim, B = (B ∩ A) t (B ∩ A) i doncs P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A).

Aleshores,

P(B ∩ A) = P(B) − P(B ∩ A) Finalment

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

En el cas que A ∪ B = ∅, ´es a dir A i B s´on m´utuament excloents, tenim:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(10)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

Exemple 4

Siguin A i B dos esdeveniments satisfent P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

La probabilitat que es donin simult`aniament ´es 16 i la probabilitat que no succeeixin ni l’un ni l’altre ´es 13. P(A) i P(B)?

Coneixem

P(A) · P(B) = 1

6, P(Ac∩ Bc) = 1 3 Observem que Ac∩ Bc = (A ∪ B)c. Queda,

P(A) · P(B) = 1

6, P(A) + P(B) = 5 6 Resolem,

P(A) = 1

2 P(B) = 1

3, o b´e P(B) = 1

2 P(A) = 1 3

(11)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

I com calculem / obtenim aquestes probabilitats?

- Freq¨uentista. La probabilitat de l’esdeveniment A, P(A), ´es el l´ımit de la freq¨u`encia relativa de l’esdeveniment A.

Concretament si n(A) ´es el nombre de vegades que s’observa A en n repeticions independents de l’experiment:

n(A) n

−−−→ P(A)n→∞

(Llei Feble dels Grans Nombres)

Exemple. En tirar una moneda n vegades, n(Cares)

n

−−−→n→∞ 1 2

(12)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.1. Cap al concepte de probabilitat

- Subjectiva. En experiments que no s´on repetibles, assignem mesures d’incertesa.

Exemple. La probabilitat que el Bar¸ca guanyi la lliga 2010-2011 ´es del 80%.

- Objectiva. En certs casos, condicions de simetria i propietats matem`atiques condueixen al valor de la probabilitat d’un esdeveniment...

Exemple. La probabilitat de veure parell en tirar un dau ´es 12.

(13)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

1.2. Regla de Laplace

Recordem que,Ex1. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {2, 4, 6};

P(A) = 1

2 (= 1 6+1

6 +1 6)

Aquest ´es un cas particular de laRegla de Laplace: si Ω est`a format per n(Ω) resultats b`asics igualment probables i l’esdeveniment A est`a format per n(A) d’aquests,

P(A) = n(A) n(Ω)

Prova. Tot resultat b`asic t´e probabilitat n(Ω)1 . Com A est`a format per n(A) d’aquests resultats b`asics aleshores P(A) =n(Ω)n(A)

(14)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Exemple 5

En tirar una moneda a l’aire, la probabilitat de cara ´es igual a 1/2 i la de creu tamb´e.

Ex3. Ω = {−3, −1, 1, 3}. D = {−1, 1, 3};

Qu`e opines sobre P(D) : 14+14 +14?

Nota. Pensa que en aquest cas, tenim que els esdeveniments b`asics {(C , C , C ),

(C , C , X ), (C , X , C ), (X , C , C ), (C , X , X ), (X , C , X ), (X , X , C ), (X , X , X )}

on igualment probables amb probabilitat 1/8 cadascun d’ells...

(15)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

T` ecniques de recompte

Necessitarem obtenir el nombre de resultats b`asics d’un experiment aleatori...

Exemple 6

Una persona t´e tres pantalons diferentes P1, P2, P3,

4 samarretes S1, S2, S3, S4 i dos parells de sabates Sb1, Sb2. Quina

´es la probabilitat que tri´o per vestir-se P1/S1/Sb1? Sigui A :=’La persona tria per vestir-se P1/S1/Sb1 P(A) = n(A)n(Ω) = n(Ω)1

on n(Ω) ´es el nombre de maneres diferents per vestir Calcular n(Ω)?

(16)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Regla multiplicativa

Hem de realitzar k tries

La primera tria t´e n1 possibilitats La segona t´e n2 possibilitats2 ... / ...

La kma t´e nk possibilitats3

Aleshores, el nombre total de possibilitats ´es n1· n2· . . . nk

Ex6. Hi ha 3 · 4 · 2 maneres diferents de vestir-se

2independentment del triat a la primera

3independentment del triat a les anteriors

(17)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Exemple 7

Omplir una travessa de futbol de 14 partits? 314 possibilitats.

Aplicarem la regla multiplicativa tamb´e per a resoldre dos tipos de problemes: donat un conjunt den elements, quants grups de k elements podem formar si,

- Importa l’ordre - No importa l’ordre

(18)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Agrupacions ordenades

Segons la regla multiplicativa, el nombre de posibles ordenacions quan k objectes han de ser triats d’un total de n i disposats en aquest ordre ´es

n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − k + 1) = n!

(n − k)! = factorial(n) factorial(n-k) on recordem que n! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1

(19)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Exemple 8

’Paraules’ de 4 lletres amb ’ARBOL’ ? (BOLA 6= LOBA) 5 · 4 · 3 · 2 = 120 = factorial(5)

Exemple 9

7 diferents carreres universit`aries; sol.licitud nom´es permet triar 3 per ordre de prefer`encia?

7 · 6 · 5 = 210 = factorial(7) factorial(4)

(20)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Cas particular: n = k. Novament, segons la regla multiplicativa, El nombre posibles ordenacions de n elements ´es

n! = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 = factorial(n) Exemple 10

De quantes maneres diferents poden seure 4 persones en una filera de 4 seients? 4! = 24 = factorial(4) possibilitats

(21)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

Agrupacions sense import` ancia de l’ordre

El nombre de posibles tries a fer quan k objectes han de ser seleccionats d’un total de n ´es

n k



= n!

k!(n − k)! = choose(n,k)

Exemple 11

Comissi´o de 8 persones a partir de 10 habitants del poble A i 15 del poble B: choose(28,8) = 1081575 possibles comissions.

I si cada poble representat per 4 persones?

choose(10,4) · choose(15,4) = 286650

(22)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.2. Regla de Laplace. T`ecniques de Recompte.

I si el poble A pot tenir com a m`axim 2 representants?

choose(10,0) · choose(15,8)+

+choose(10,1) · choose(15,7)+

+choose(10,2) · choose(15,6) =

= 6435 + 64350 + 225225 = 296010

(23)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

1.3. Probabilitat condicionada i independ` encia

Exemple 12

Inversor interessat en les accions de la companyia X.

Premsa econ`omica: entrevista al director de X que afirma que s’est`a perfilant els detalls de la compra del seu m`axim

competidor(=B)

Quina mesura haur`a de considerar-se com a ´ındex de la plausibilitat de que les accions pugin?

P(’Les accions de X pugen’) o b´e P(’Les accions de X pugen’|B)

(24)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

Laprobabilitat condicional de l’esdeveniment A conegut/donat l’esdeveniment B , P(A|B), es defineix com,

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) , sempre que P(B) > 0 Regla del producteP(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Exemple 13

El 80% dels clients d’un Frankfurt fan servir ketchup (K ), el 75%

fan servir mostassa(M) i el 65% fan servir tots dos (K ∩ M).

Probabilitat que un consumidor de ketchup faci servir mostassa?

P(M|K ) = P(M ∩ K )

P(K ) = 0, 65

0, 80 = 0, 8125

(25)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

Ex.12C :=Color favorit director ´es el verd. P(A|C ) = P(A) !!!

A i B s´onindependents si P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0) Equivalentment, si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Exemple 14

Tirem dos daus: d1 i d2. S := d1+ d2 y D:=d1− d2 P({S = 2}) = 1

36 , P({D = −4}) = 2 36 P({S = 2} ∩ {D = −4}) = 0 {S = 2} i {D = −4} no s´on independents

(26)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

Exemple 15

S’estima que el 48% de les llicenciatures s´on obtingudes per dones i que el 17,5% de totes les llicenciatures s´on en Empresarials. El 4,7% de totes les llicenciatures corresponen a les dones que es graduen en Empresarials. S´on els esdeveniments ”El Llicenciat ´es una dona” i ”El llicenciat ho ´es en Empresarials” independents?

A:= ”El licenciat ´es una dona”; P(A) = 0, 48

B:= ”El llicenciat ho ´es en Empresarials”; P(B) = 0, 175 A ∩ B:= ”Llicenciat en Empresarials i dona”; P(A ∩ B) = 0, 047 Possibilitat 1: P(A) · P(B) 6= P(A ∩ B) (0, 48 · 0, 175 6= 0, 047) Possibilitat 2: P(A|B) = P(A∩B)P(B) 6= P(A) 

0,047

0,175 6= 0, 48

(27)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

Regla del producte. P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Probabilitat composta. Si E1, E2, . . . , Ek s´on esdeveniments tals quel P(E1∩ E2∩ . . . Ek−1) > 0 aleshores,

P(E1∩ E2∩ . . . Ek) = P(E1) · P(E2|E1) · P(E3|E2∩E1) · · ·

· · · P(Ek−1|E1∩E2∩...Ek−2) · P(Ek|E1∩E2∩...Ek−1)

(28)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

Exemple 16

Una caixa cont´e 8 boles vermelles, 3 blanques i 9 blaves. Fem tres extraccions sense reempla¸cament de la caixa. Determina la probabilitat de que

1. Totes tres siguin vermelles

2. Es trien en l’ordre vermell, blanc i blau 3. Es tria una de cada color

(29)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.3. Probabilitat condicionada i independ`encia

1. Sigui Vi l’esdeveniment “La ima extracci´o ´es vermella”.

P(V1∩V2∩V3) = P(V1)·P(V2|V1)·P(V3|V1∩V2) = 8 20· 7

19· 6 18 2. Sigui Wi l’esdeveniment “La ima extracci´o ´es blanc” i Bi

l’esdeveniment “La ima extracci´o ´es blava”

P(V1∩ W2∩ B3) = P(V1) · P(W2|V1) · P(B3|V1∩W2) =

= 8 20 · 3

19 · 9 18 = 3

95

3. L’ordenaci´o dels colors correspon a P3 = 3! = 6 i tots els resultats b`asics favorables tenen la mateixa probabilitat que P(V1∩ W2∩ B3). Per aix`o la probabilitat demanada ´es

6 · 3 95 = 18

95

(30)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.4. Teorema de la probabilitat total

1.4. Teorema de la probabilitat total

Siguin4 E1, . . . Ek m´utuament excloents, col.lectivament exhaustius amb P(Ej) > 0.

Sigui A esdeveniment qualsevol. Podem escriure A = (A ∩ E1) t · · · t (A ∩ Ek) Aix´ı,

P(A) = P(A ∩ E1) + · · · + P(A ∩ Ek) d’on es t´e elTeorema de la probabilitat total

P(A) = P(A|E1) · P(E1) + · · · + P(A|Ek) · P(Ek)

4Es tracta d’unapartici´ode Ω

(31)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.4. Teorema de la probabilitat total

Exemple 17

Dels articles produ¨ıts di`ariament per una f`abrica, el 40% prov´e de la l´ınia de producci´o I i el 60% prov´e de la l´ınia II .

El percentatge de defectuosos de la l´ınia I ´es el 8%, mentre que el percentatge de defectuosos de la l´ınia II ´es el 10%.

Es pren un article a l’atzar de la producci´o di`aria; calculeu la probabilitat que no sigui defectu´os.

D =“L’article ´es defectu´os” , D =“L’article no ´es defectu´os”

L1=“L’article ´es de la l´ınia 1” , L2=“L’article ´es de la l´ınia 2”.

P(D) = P(D|L1) · P(L1) + P(D|L2) · P(L2) =

= 0.2 · 0.4 + 0.90 · 0.6 = 0.908

(32)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

1.5. Teorema de Bayes

Exemple 18

S’ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particular d’artritis en individus de m´es de 50 anys d’edat.

Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.

S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada:

diagn`ostic correcte en el 85% dels casos.

El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixa edat: falsos positius del 4%.

Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment ha donat positiu?

P(A|B): probabilitat a priori; P(B|A): probabilitat a posteriori

(33)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

A i B esdeveniments tals que P(A) > 0 i P(B) > 0. Aleshores, P(B|A) = P(A|B) · P(B)

P(A) Prova-ho!

Teorema de Bayes - Expressi´o alternativa

Siguin E1, . . . Ek partici´o de Ω i A tal que P(A) > 0. Aleshores, P(Ei|A) = P(A|Ei) · P(Ei)

P(A|E1) · P(E1) + · · · + P(A|Ek) · P(Ek) Prova-ho tamb´e!

(34)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

Exemple 18. S’ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particular d’artritis en individus de m´es de 50 anys d’edat.

Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.

S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada:

diagn`ostic correcte en el 85% dels casos.

El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixa edat: falsos positius del 4%.

Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment ha donat positiu?

(35)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

Siguin

A :’L’individu pateix artritis’; +:Test positiu’ ; −:’Test negatiu’

Pel teorema de Bayes,

P(A|+) = P(A ∩ +)

P(+) = P(+|A) · P(A) P(+)

El numerador ´es P(+|A) · P(A) = 0, 85 · 0, 1 = 0, 0850. El denominador, segons el teorema de les probabilitats totals, ´es P(+) = P(+|A)·P(A)+P(+|Ac)·P(Ac) = 0.0850+0.0360 = 0.1210 Llavors,

P(A|+) = 0.0850

0.1210 = 0.7025

(36)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

Problema de la setmana

Una ag`encia de qualificaci´o examina les accions d’un gran nombre d’empreses. Quan es va investigar el comportament d’aquestes accions l’any passat, es va descobrir que el 25% van experimentar un creixement del seu valor clarament superior a la mitjana, el 25% clarament inferior i el 50% restant es van mantenir al voltant de la mitjana.

El 40% de les accions que van cr´eixer clarament per sobre de la mitjana van ser classificades com “bones adquisicions” per l’ag`encia, al igual que el 20% de les que van cr´eixer al voltant de la mitjana i el 10% de les que van tenir un creixement clarament inferior a la mitjana.

a) Quina ´es la probabilitat que una acci´o triada a l’atzar hagi estat classificada com una ”bona adquisici´o” per part de l’ag`encia?

b) I de que una acci´o triada a l’atzar d’entre les classificades com una

”bona adquisici´o” hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del mercat?

(37)

Guia 1: Elements b`asics de TaProbabilitats 1.5. Teorema de Bayes

Siguin,

S =“L’acci´o creix superior a la mitjana”

M =“L’acci´o creix al voltant de la mitjana”

I =“L’acci´o creix inferior a la mitjana”

B =“L’acci´o qualificada bona adquisici´o”

a) Pel teorema de la probabilitat total,

P(B) = P(B|S ) · P(S ) + P(B|M) · P(M) + P(B|I ) · P(I ) =

= 0.40 · 0.25 + 0.2 · 0.5 + 0.10 · 0.25 = 0.2250 b)

P(S |B) = P(S ∩ B)

P(B) = P(B|S ) · P(S )

P(B) = 0.4 · 0.25

0.2250 = 0.4444

Referencias

Documento similar

Realitzades les accions descrites anteriorment, la direcció del centre accedeix al tràmit a través de la següent ruta: PROCEDIMENTS > Inclusió Educativa > Reducció de

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del

Algunos ejemplos fueron el caso de los Temas Transversales relacionados con la Educación Ambiental que comenzaron a aparecer en la cultura escolar con la LOGSE

Las personas solicitantes deberán incluir en la solicitud a un investigador tutor, que deberá formar parte de un grupo de investigación. Se entiende por investigador tutor la

De esta manera, ocupar, resistir y subvertir puede oponerse al afrojuvenicidio, que impregna, sobre todo, los barrios más vulnerables, co-construir afrojuvenicidio, la apuesta

Cuando trabaje en una tabla, haga clic donde desee agregar una fila o columna y, a continuación, haga clic en el signo más.La lectura es más fácil, también, en la nueva vista

La razón de Margen Financiero a Activo Total presentada por la SOFIPO es razonable para el sector y se ha mantenido estable, sin embargo, se señala que hay otros grandes jugadores

.La tesis doctoral deberá constar, como mínimo, de una introducción al tema de estudio y un resumen del estado de la cuestión, los objetivos que se pretenden conseguir, la