Exámenes de Matemáticas II

Ex ´amenes de Matem ´aticas II

C ´edric M. Campos, Razvan G. Iagar, Marta Latorre Balado, David Puertas Centeno, Michael Stich, Elio V. Toranzo

´Area de Matem ´atica Aplicada, ESCET

16 de enero de 2023

Ejercicio 1. (a) (1 punto) Decidir si existe el siguiente l´ımite o no y en caso afirmativo calcular su valor:

(𝑥, 𝑦)→(l´ım₀,₀)

1

−

_cos

(𝑥 𝑦) 𝑥

2

𝑦

2

+ 𝑥

²

𝑦

4

.

(b) (1 punto) Hallar de forma razonada los valores del coeficiente

𝑘

en el numerador para que el siguiente l´ımite exista y calcular dicho l´ımite:

(𝑥, 𝑦)→(l´ım₀,₀)

𝑥

⁴

+

₃

𝑥

²

+ 𝑘 𝑦

²

𝑥

2

+ 𝑦

²

.

Ejercicio 2. (a) (1,5 puntos) Hallar todos los puntos cr´ıticos de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

₄

𝑥 𝑦

²

− 𝑥

²

𝑦

²

− 𝑥 𝑦

³

,

y analizar aquellos puntos cr´ıticos que tengan componente

𝑦

diferente de 0 para precisar cu ´ales son m ´aximos y m´ınimos locales.

(b) (1,5 puntos) Hallar los m ´aximos y m´ınimos absolutos de la misma funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦)

definida en el apartado (a) sobre el tri ´angulo cerrado (con frontera incluida) con v ´ertices los puntos de coordenadas

(

₀

,

₀

)

_,

(

₀

,

₆

)

_y

(

₆

,

₀

)

_.

Ejercicio 3. (2,5 puntos) Hallar el volumen de la regi ´on s ´olida limitada superiormente por el para- boloide 4

𝑧 = 𝑥

²

+ 𝑦

², inferiormente por el plano

𝑧 =

0 y situada dentro del cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

₈

𝑥

_.

Ejercicio 4. (2,5 puntos) Hallar el volumen de la regi ´on s ´olida situada encima de la superficie

−𝑥

²

− 𝑦

²

+ 𝑧

²

=

₁ y debajo del plano

𝑧 =

3, en coordenadas positivas

𝑥 ≥

_0,

𝑦 ≥

_0.

Ing. Electr ´onica Industrial y Autom ´atica Parcial 2 (Ordinaria), 2021/05/26 Ejercicio 1. (a) (1,25 puntos) Se considera el campo vectorial

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑒

^{𝑥 𝑦}

, 𝑥 𝑧𝑒

^{𝑥 𝑦}

− 𝑧, 𝑒

^{𝑥 𝑦}

− 𝑦
.

Calcular la integral de l´ınea

∫

𝐶

𝐹 ·

_d

𝑠

_{, donde}

𝐶

es cualquier trayectoria entre los puntos

𝑃 = (

₁

,

₁

,

₀

)

_y

𝑄 = (

₂

,

₂

,

₂

)

_.

(b) (1,25 puntos) Sea

𝐶

1 la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y

𝐶

2 la circunferencia de radio 2 centrada en el origen. Sea

𝐹 = (𝐹

₁

, 𝐹

2

)

un campo vectorial que cumple la siguiente relaci ´on dentro de la corona comprendida entre las circunferencias

𝐶

1y

𝐶

2:

𝜕𝐹

2

𝜕𝑥

− 𝜕𝐹

1

𝜕 𝑦

= 𝑥

²

+ 𝑦

²

.

Calcular la integral de l´ınea

∫

𝐶2

𝐹 · 𝑑𝑠

usando la informaci ´on anterior y sabiendo adem ´as que

∫

𝐶1

𝐹 · 𝑑𝑠 =

_10.

Ejercicio 2. (a) (1,25 puntos) Se considera la superficie

𝑆

que es la parte de la semi-esfera superior

𝑥

²

+ 𝑦

²

+ 𝑧

²

=

_1,

𝑧 >

0 con la propiedad de que

1

4

≤ 𝑥

²

+ 𝑦

²

≤

³ 4 Establecer una parametrizaci ´on de la superficie

𝑆

_.

(b) (1,25 puntos) Usando el apartado (a), calcular la integral de superficie sobre

𝑆

del campo vec- torial

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧).

Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (a) (1,5 puntos)

𝑦

^′

= −

^𝑥2𝑦2

𝑥3𝑦+ 𝑦+₃.

(b) (1,5 puntos)

𝑥

²

𝑦

^′

=

₃

(𝑥

²

+ 𝑦

²

)

_arctan𝑥^𝑦

+ 𝑥 𝑦

_.

Ejercicio 4. (2 puntos) Resolver la siguiente ecuaci ´on diferencial:

𝑦

^′′

+

₄

𝑦

^′

+

₄

𝑦 = 𝑒

^−2𝑥_ln

𝑥 𝑥

.

Encontrar despu ´es la soluci ´on (si existe) que adem ´as cumpla las condiciones (de frontera)

𝑦 (

₁

) =

_0,

𝑦 (𝑒) =

_0.

Ejercicio 1. (a) (1,5 puntos) Decidir si existe el siguiente l´ımite o no y en caso afirmativo calcular su valor:

(𝑥, 𝑦)→(l´ım₀,₀)tan

(𝑥

²

+ 𝑦

²

)

_arctan



1

𝑥

2

+ 𝑦

²

 .

(b) (1,5 puntos) La misma pregunta que en el apartado (a) para el l´ımite

(𝑥, 𝑦)→(l´ım₀,₀)

𝑥

²

+ 𝑦

²

√︁

1

+ 𝑥

²

+

₂

𝑦

2

−

₁

.

Ejercicio 2. (a) (2 puntos) Hallar todos los puntos cr´ıticos de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥

²

+ 𝑦

²

+

¹

𝑥

2

𝑦

2

,

y precisar cu ´ales son m ´aximos y m´ınimos locales. beginImportante: resolver en detalle el sis- tema de ecuaciones obtenido.

(b) (2 puntos) Hallar los extremos globales (absolutos) de la funci ´on

𝑔 (𝑥, 𝑦) =

₂

𝑥 𝑦 − 𝑥 − 𝑦,

sobre el dominio acotado (incluyendo su frontera)

{ 𝑦 ≤

₄

, 𝑦 ≥ 𝑥

²

}

_.

Ejercicio 3. (3 puntos) Sea

𝑊

la regi ´on s ´olida comprendida entre el cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

1, el cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

4 y los planos

𝑧 =

_{0 y}

𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +

5. Calcular la integral triple

∭

𝑊

𝑥 𝑑𝑉 .

Ing. Electr ´onica Industrial y Autom ´atica Parcial 2 (Extraordinaria), 2021/08/07 Ejercicio 1. (a) (2 puntos) Calcular la siguiente integral de l´ınea:

∫

𝐶

𝑦𝑒

^𝑥

𝑑𝑥 + 𝑥𝑒

^𝑦

𝑑 𝑦,

donde

𝐶

es el contorno del tri ´angulo de v ´ertices

(−

₁

,

₀

)

_,

(

₀

,

₃

)

_,

(

₀

,

₂

)

recorrido en el orden indicado por los v ´ertices.

(b) (2 puntos) Se considera el campo vectorial

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝑦,

₂

𝑧,

₃

𝑦 )

. Se pide calcular la integral

de l´ınea

∫

𝐶

𝐹 · 𝑑𝑠,

donde

𝐶

es la curva de intersecci ´on entre el cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

9 y el plano

𝑥 + 𝑧 =

_5.

Ejercicio 2. (2 puntos) Calcular la integral de superficie

∬

𝑆

𝐹 · 𝑑𝑆,

_donde

𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 

𝑥

³

+ 𝑦

³

, 𝑦

³

+ 𝑧

³

, 𝑧

³

+ 𝑥

³



y

𝑆

es esfera de centro

(

₀

,

₀

,

₀

)

_{y radio 2.}

Ejercicio 3. (a) (2 puntos) Resolver la ecuaci ´on diferencial

𝑦

^′

=

²

𝑥 𝑦 − 𝑦

_ln

𝑦 𝑥 + 𝑦

(b) (2 puntos) Resolver la ecuaci ´on diferencial lineal de segundo orden

𝑦

^′′

+

₉

𝑦 =

_{3 cos}

(

₃

𝑥 ) −

_{2 sin}

(

₃

𝑥 )

y despu ´es encontrar las soluciones que tambi ´en cumplan (al mismo tiempo) las condiciones de frontera

𝑦 (

₀

) =

₀

, 𝑦



2

𝜋

3



=

²

𝜋

9

.

Ejercicio 1. (a) (0,75 puntos) Decidir si existe el l´ımite o no (y en caso afirmativo calcular su valor)

(𝑥, 𝑦)→(l´ım₂,₁)

𝑥 − 𝑦 −

₁

√

𝑥 − 𝑦 −

₁ (b) (1 punto) Se considera la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

(

2 ln(₁+𝑥²+ 𝑦²)+𝑥³𝑦

2(𝑥2+ 𝑦2)

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

),

1

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

Estudiar la continuidad de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦)

en el punto

(

₀

,

₀

)

_.

(c) (0,75 puntos) Calcular la derivada parcial ^{𝜕 𝑓}𝜕𝑥

(

₀

,

₀

)

_{, donde}

𝑓 (𝑥, 𝑦)

es la misma funci ´on que en el apartado (b).

Ejercicio 2. (a) (1,25 puntos) Hallar los m ´aximos y m´ınimos absolutos de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

−𝑥

²

−

₃

𝑦

²

+

₄

𝑦 +

1 sobre el disco de radio 1

𝐷 = {(𝑥, 𝑦)

_:

𝑥

²

+ 𝑦

²

≤

₁

}

_.

(b) (1,25 puntos) Encontrar todos los puntos de coordenadas

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

en el espacio tales que per- tenezcan a la superficie

𝑥 𝑦 𝑧 =

8 y que realicen la distancia m´ınima respecto al origen

(

₀

,

₀

,

₀

)

_. Ejercicio 3. (2,5 puntos) Calcular el volumen de la regi ´on s ´olida

𝑊

limitada inferiormente por el paraboloide

𝑧 = 𝑥

²

+ 𝑦

²y superiormente por la esfera

𝑥

²

+ 𝑦

²

+ 𝑧

²

=

_6.

Ejercicio 4. (2,5 puntos) Calcular la integral triple

∭

𝑊

2

𝑥 𝑑𝑉,

donde

𝑊

es el s ´olido limitado por el cilindro parab ´olico

𝑧 = 𝑦

²y los planos

𝑧 =

_4,

𝑥 =

_{0 y}

𝑥 + 𝑧 =

_6.

Ing. Electr ´onica Industrial y Autom ´atica Parcial 2, 2022/05/16 Ejercicio 1. (a) (1,25 puntos) Se considera el campo vectorial

F

(𝑥, 𝑦) = 

4

𝑥

³

𝑦

²

−

₂

𝑥 𝑦

³

,

₂

𝑥

⁴

𝑦 −

₃

𝑥

²

𝑦

²

+

₄

𝑦

³

 .

Calcular la integral de l´ınea

∫

𝐶F

·

_d

𝑠

_{, donde}

𝐶

es la curva c

(𝑡) = (𝑡 +

_sin

(𝜋𝑡),

₂

𝑡 +

_cos

(𝜋𝑡))

_{, con} 0

≤ 𝑡 ≤

_1.

(b) (1,25 puntos) Calcular la integral de l´ınea

∫

𝐶2

𝑥 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥

²

+ 𝑥)𝑑𝑦

_{, donde}

𝐶

es el tri ´angulo de v ´ertices

(−

₁

,

₀

)

_,

(

₁

,

₀

)

_y

(

₀

,

₁

)

recorrido en el sentido indicado por el orden de estos v ´ertices.

Ejercicio 2. (a) (1,25 puntos) Calcular la integral de l´ınea del campo vectorial F

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦

²

, 𝑦 + 𝑧

²

, 𝑧 + 𝑥

²

),

sobre la curva

𝐶

que es el contorno del tri ´angulo de v ´ertices

(

₁

,

₀

,

₀

)

_,

(

₀

,

₁

,

₀

)

_y

(

₀

,

₀

,

₁

)

_. (b) (1,25 puntos) Una superficie

𝑆

admite una parametrizaci ´on

𝑆 (𝑢, 𝑣)

_{con 0}

≤ 𝑢 ≤

_{2, 0}

≤ 𝑣 ≤

_{4 y}

tal que se cumplan las siguientes igualdades:

𝜕𝑆

𝜕𝑢

(𝑢, 𝑣) = (

₂

,

₀

,

₁

), 𝜕𝑆

𝜕𝑣

(𝑢, 𝑣) = (

₄

,

₀

,

₃

).

Con esta informaci ´on, calcular el ´area de la superficie

𝑆

_. Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (a) (1,25 puntos)^{𝑑 𝑦}𝑑𝑥

=

^{𝑥2+2𝑥 𝑦− 𝑦}

𝑥2 . (b) (1,25 puntos)

𝑥

²

𝑦

^′

= 𝑦

²

+

₂

𝑥 𝑦

_.

Ejercicio 4. (2,5 puntos) Resolver la siguiente ecuaci ´on diferencial

𝑦

^′′

−

₃

𝑦

^′

+

₂

𝑦 = 𝑒

^2𝑥

+

_{4 sin}

𝑥.

Encontrar despu ´es la soluci ´on (si existe) que adem ´as cumpla las condiciones (de frontera)

𝑦 (

₀

) =

_0,

𝑦 (𝜋) =

_0.

Ejercicio 1. Determinar si los siguientes l´ımites existen y en caso afirmativo calcularlas:

(a) (1,25 puntos) l´ım

(𝑥, 𝑦)→(₀,₀)

√

𝑥+ 𝑦

𝑥2+ 𝑦²+₄−₂. (b) (1,25 puntos) l´ım

(𝑥, 𝑦)→(₁,₀)

(𝑥−₁)²_ln𝑥 (𝑥−₁)²+ 𝑦².

Ejercicio 2. (a) (1,25 puntos) Determinar todos los puntos cr´ıticos de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦) = (

₄

𝑦

²

− 𝑥

²

)𝑒

^{−𝑥2− 𝑦2}

que se hallan en el interior del c´ırculo

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

2, y calcular el valor de

𝑓 (𝑥, 𝑦)

en cada uno de ellos.

(b) (1,25 puntos) Estudiando la frontera y comparando con los valores obtenidos en el apartado (a), hallar los m ´aximos y m´ınimos absolutos de la funci ´on

𝑓 (𝑥, 𝑦)

sobre el disco

𝑥

²

+ 𝑦

²

≤

_2.

Ejercicio 3. (2,5 puntos) Calcular la integral triple

∭

𝑊

𝑧𝑒

^{𝑥2+ 𝑦2}

𝑑𝑉,

donde

𝑊

es el s ´olido interior al cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

4, exterior al cilindro

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

1 y limitado inferiormente y superiormente por los planos

𝑧 =

_{1 y}

𝑧 =

_3.

Ejercicio 4. (2,5 puntos) Sea

𝐷

la regi ´on plana que se encuentra en el interior del c´ırculo

𝑥

²

+( 𝑦−

₁

)

²

=

1 (de centro

(

₀

,

₁

)

y radio 1) y en el exterior del c´ırculo

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

1. Calcular

∬

𝐷

𝑥 𝑑𝐴

_.

Ing. Electr ´onica Industrial y Autom ´atica Parcial 2 (Extraordinaria), 2022/06/27 Ejercicio 1. (2,5 puntos) Sea

𝐶

la curva compuesta por un tramo de la par ´abola

𝑦 = 𝑥

²_{y un tramo} de la par ´abola

𝑦 =

₈

− 𝑥

², unidos por los puntos de corte de las dos par ´abolas. Calcular la integral

de l´ınea

∫

𝐶

(𝑥 𝑦 − 𝑒

^2𝑥

) 𝑑𝑥 + (

₂

𝑥

²

−

₄

𝑦

²

) 𝑑𝑦.

Ejercicio 2. Se considera la superficie

𝑆

formada por la porci ´on del paraboloide

𝑧 = 𝑥

²

+ 𝑦

²

−

_{1 entre} los planos

𝑧 =

_{0 y}

𝑧 =

1. Se pide:

(a) (1,25 puntos) Parametrizar la superficie, especificando los l´ımites de los par ´ametros.

(b) (1,25 puntos) Calcular la integral de superficie

∬

𝑆

𝑥 𝑑𝑆

_{, donde}

𝑆

es la superficie del apartado (a).

Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden (a) (1,25 puntos) 𝑥^𝑦

𝑑𝑥 + ( 𝑦

³

−

_ln

𝑥 ) 𝑑𝑦 =

_0.

(b) (1,25 puntos)

(𝑥 + 𝑦𝑒

^𝑦/𝑥

) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑒

^𝑦/𝑥

𝑑 𝑦 =

_0.

Ejercicio 4. (2,5 puntos) Resolver la siguiente ecuaci ´on diferencial de segundo orden

𝑦

^′′

−

₄

𝑦

^′

+

₄

𝑦 =

₆

𝑒

^2𝑥

+

_{2 sin}

𝑥 −

_cos

𝑥.

Ejercicio 1. Sea

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

dada por la siguiente expresi ´on:

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

 





 



𝑥

²_sin

(𝑥) + 𝑦

𝑥

2

+ 𝑦

²

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

_; 0

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

1. (12 puntos) Estudia la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de

𝑓

en el punto

(𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

)

. En caso de existir, escribe el gradiente de

𝑓

_en

(

₀

,

₀

)

_,

∇ 𝑓 (

₀

,

₀

)

_{y el} valor de la diferencial de

𝑓

_en

(

₀

,

₀

)

aplicada al vector

(

₂

, −

₄

)

_,d

𝑓 (

₀

,

₀

) (

₂

, −

₄

)

_.

2. (16 puntos) Repite el estudio anterior en todo punto

(𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

, justificando con detalle tu respuesta. En caso de existir, calcula

∇ 𝑓 (

₀

,

₁

)

_{y d}

𝑓 (

₀

,

₁

) (

₂

, −

₄

)

(en cuyo caso no es necesario simplificar

∇ 𝑓 (𝑥, 𝑦)

_).

3. (8 puntos) Sea

𝑔

_:

ℝ

²

→ ℝ

²_{de clase}

C

¹_{tal que}

𝑔 (

₀

,

₀

) = (

₀

,

₁

)

_{y Jac}

(𝑔) (

₀

,

₀

) =



3 2

−

_{1 0}

 .

Calcula, si existen,

∇( 𝑓 ◦ 𝑔) (

₀

,

₀

)

_{y Jac}

(𝑔

⁻¹

) (

₀

,

₁

).

Ejercicio 2. Dado el polinomio

𝑝 (𝑥, 𝑦) =

₃

𝑥

²

− 𝑥

³

+ 𝑥 𝑦

²

+ 𝑦

²definido sobre todo

ℝ

²_{, se pide:}

1. (12 puntos) Determina y clasifica, si posible, todos los puntos cr´ıticos de

𝑝

_.

2. (4 puntos) Suponiendo que hayas encontrado extremos locales, ¿podr´ıas asegurar o descartar que estos sean globales?

3. (12 puntos) Considera ahora el recinto

𝐷 = [−

₁

,

₁

] × [−

₃

,

₃

]

. Determina, justificando su exis- tencia, los extremos globales de

𝑝

_en

𝐷

_.

Ejercicio 3. Se considera el cono de ecuaci ´on

𝑧 =

₄

− √︁

𝑥

2

+ 𝑦

²_.

1. (6 puntos) Siendo

𝑅

el s ´olido encerrado por el cono en el semiespacio superior, estos es,

𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ

³_{: 0}

≤ 𝑧 ≤

₄

,

₀

≤ 𝑥

²

+ 𝑦

²

≤ (𝑧 −

₄

)

²

}

describe dicho conjunto en coordenadas cil´ındricas.

2. (10 puntos) Calcula el volumen de dicho s ´olido.

Ing. Energ´ıa Parcial 2 (Ordinaria), 2021/05/19 Ejercicio 1. La cardioide es la curva cerrada del plano dada en coordenadas polares,

(𝜌, 𝜃)

_{, por la} expresi ´on

𝜌 (𝜃) =

₁

+

_cos

𝜃

_{, con}

𝜃 ∈ [

₀

,

₂

𝜋 ]

_.

a) (2 puntos) Expresa la curva en coordenadas cartesianas, r

(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

e indica su orien- taci ´on.

Considera ahora el campo vectorial F

(𝑥, 𝑦) = 𝑒

^𝑥/2



(

₂

−

_cos

𝑦 )

i

+

_{2 sin}

𝑦

_j



.

b) (6 puntos) Comprueba que el campo es conservativo y calcula el potencial asociado.

Sea

𝐶

la mitad superior de la cardioide (con la orientaci ´on dada por la paremetrizaci ´on).

c) (6 puntos) Calcula

∫

𝐶F

·

dr sirvi ´endote del potencial.

d) (6 puntos) Calcula

∫

𝐶F

·

dr sin utilizar el potencial (ayuda: tiene truco).

Ejercicio 2. Sea

𝑆

el hemisferio norte de la esfera de radio 2 y centro 0 con orientaci ´on interior, y sea

𝐶

el paralelo ecuatorial con orientaci ´on compatible.

a) (4 puntos) Parametriza ambos objetos, indicando si la orientaci ´on dada por la parametrizaci ´on coincide con la establecida.

Considera ahora el campo vectorial F

(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)

i

+ (𝑧 − 𝑦)

j

+ (𝑥 − 𝑧)

_k.

b) (2 puntos) Calcula la divergencia y el rotacional de F, indicando su car ´acter conservativo.

c) (14 puntos) Calcula

∫

𝐶F

·

dr de dos formas diferentes usando ´unicamente los objetos indicados.

Ejercicio 3. Estudia la existencia y unicidad de soluci ´on del PVI

(

2

𝑦 + (

₁

− 𝑥) (

₁

+ 𝑥)

²

d

𝑥 − (

₁

− 𝑥

²

)

_d

𝑦 =

₀

𝑦 (

₄

) =

₅

as´ı como su posible determinaci ´on.

a) (4 puntos) Escribe la EDO en forma normal y determina la regi ´on del plano donde existe solu- ci ´on y donde ´esta es ´unica (ayuda: simplificar).

b) (12 puntos) Halla la soluci ´on general de la ecuaci ´on aplicando el m ´etodo de resoluci ´on de ecuaciones lineales de primer orden.

i) Escribe la EDO en forma est ´andar.

ii) Introduce un factor integrante e identifica la EDO asociada.

iii) Determina una soluci ´on para el factor integrante (ayuda: 𝑥2²−₁

=

_𝑥−¹

1

−

_𝑥+¹

1).

iv) Determina la soluci ´on general de la EDO original.

c) (4 puntos) Resuelve, si posible, el PVI indicando el mayor intervalo para el cual se tiene unicidad a lo largo de ´este.

Ejercicio 4. Se quiere determinar la familia biparam ´etrica de soluciones de la EDO

1

2

𝑦

^′′

−

₃

𝑦

^′

+

₇

𝑦 = (

₄

+

₃

𝑥 )𝑒

^−2𝑥

+

_{5 cos}

(

√

5

𝑥 )𝑒

^3𝑥

.

Sigue para ello el siguiente esquema.

a) (8 puntos) Obt ´en la soluci ´on general de la ecuaci ´on homog ´enea, esto es, ¹₂

𝑦

^′′

−

₃

𝑦

^′

+

₇

𝑦 =

_0.

b) (6 puntos) Obt ´en una soluci ´on particular de la ecuaci ´on no-homog ´enea considerando ´unica- mente el t ´ermino fuente

𝑔

1

(𝑥) = (

₄

+

₃

𝑥 )𝑒

^−2𝑥_. c) (4 puntos) Repite con

𝑔

2

(𝑥) =

_{5 cos}

( √

5

𝑥 )𝑒

^3𝑥, pero s ´olo indicando la forma de la soluci ´on particular.

d) (2 puntos) Determina la soluci ´on general de la EDO original.

Ing. Energ´ıa Parcial 1 (Extraordinaria), 2021/07/05 Ejercicio 1. Sea

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

dada por la siguiente expresi ´on:

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

 





 

 𝑥 𝑦

²

𝑥

2

+ 𝑦

²

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

_; 0

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

a) (12 puntos) Obt ´en una expresi ´on para ^{𝜕 𝑓}𝜕𝑥

(𝑥, 𝑦)

_{para todo}

(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

²_. Sol.: ^{𝜕 𝑓}𝜕𝑥

(𝑥, 𝑦) =

 





 



𝑦

²

( 𝑦

²

− 𝑥

²

)

(𝑥

²

+ 𝑦

²

)

²

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

_; 0

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

b) (16 puntos) Estudia la continuidad de^{𝜕 𝑓}𝜕𝑥 en

(

₀

,

₀

)

_. Sol.:

𝜕

_𝑥

𝑓 ∉ C

⁰

(

₀

,

₀

)

c) (** puntos) ¿Qu ´e deduces de ello respecto a la diferenciabilidad y continuidad de

𝑓

_en

(

₀

,

₀

)

_? Sol.: No podemos descartar nada.

d) (8 puntos) Sea

𝑔

_:

ℝ

²

→ ℝ

²_{de clase}

C

¹_{tal que}

𝑔 (

₄

,

₃

) = (

₂

,

₁

)

_{y Jac}

(𝑔) (

₄

,

₃

) = −

_{2 6}

0 1

 .

Calcula, si existen,

∇( 𝑓 ◦ 𝑔) (

₄

,

₃

)

_{y Jac}

(𝑔

⁻¹

) (

₂

,

₁

).

Ejercicio 2. Dado el polinomio

𝑝 (𝑥, 𝑦) = 𝑥

³

+

₂

𝑦

³

−

₆

𝑥 𝑦

definido sobre todo

ℝ

²_{, se pide:}

a) (12 puntos) Determina y clasifica, si posible, todos los puntos cr´ıticos de

𝑝

_. Sol.: Pto. silla,

(

₀

,

₀

)

; m´ınimo rel.,

( √

³

4

,

³

√

2

)

_.

b) (4 puntos) Suponiendo que hayas encontrado extremos locales (independientemente de que lo hayas hecho o no), ¿podr´ıas asegurar o descartar que estos sean globales?

c) (12 puntos) Considera ahora el recinto

𝐷

delimitado por el eje de abscisas, la bisectriz

𝑦 = 𝑥

_y la vertical

𝑥 =

2. Determina, justificando su existencia, los extremos globales de

𝑝

_en

𝐷

_. Sol.: M´ınimo abs.,

( √

³

4

,

³

√

2

)

; m ´aximo abs.

(

₂

,

₀

)

_.

Ejercicio 3. En los siguientes c ´alculos integrales, adem ´as de obtener el valor requerido, representa y/o describe el recinto de integraci ´on seg ´un sea conveniente.

a) (12 puntos)

∫

₂

√ 2 0

∫

√ 2 𝑦^1/3

√

4

− 𝑥

⁴_d

𝑥

_d

𝑦

Sol.:⁴

/

₃

b) (12 puntos) Calcula el ´area encerrada entre la circunferencia de centro 0 y radio

𝑟 =

_{2 y la} cardiode de ecuaci ´on polar

𝑟 =

₁

+

_cos

𝜃

_.

Sol.:^5𝜋

/

2

Ejercicio 1. Sea

𝐶

_el≪muelle^≫cuya parametrizaci ´on en coordenadas cil´ındricas,

(𝑟, 𝜃, 𝑧)

, viene dada por las ecuaciones

𝑟 =

_{1 y}

𝜃 =

₅^𝜋

2

𝑧

_{, con}

|𝑧| ≤

1, uniendo as´ı puntos diagonalmente opuestos del plano

𝑌 𝑍

_.

a) (5 puntos) Expresa la curva en coordenadas cartesianas, r

(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡))

, comprueba que une puntos como los mencionados, calcula el vector tangente al pasar por el plano

𝑋𝑌

_e indica su orientaci ´on (giro respecto al eje

𝑂𝑍

_).

b) (3 puntos) Calcula la longitud de la curva.

Considera ahora el campo vectorial F

(𝑥, 𝑦) = 𝑧

_i

+ (

₃

𝑦

²

−

_sin

( 𝑦 − 𝑧))

_j

+ (𝑥 +

_sin

( 𝑦 − 𝑧))

_k.

c) (7 puntos) Calcula la divergencia y el rotacional de F, indicando su car ´acter conservativo, y calcula su potencial de ser posible.

d) (7 puntos) Calcula

∫

𝐶F

·

dr de la forma m ´as simple posible (con los resultados obtenidos).

e) (** puntos) Calcula

∫

𝐶F

·

dr de forma alternativa.

Soluci ´on:

∇ ·

_F

=

₆

𝑦 −

_cos

( 𝑦 − 𝑧)

_,

𝑓 = 𝑥𝑧 + 𝑦

³

+

_cos

( 𝑦 − 𝑧)

_,

∫

𝐶F

·

_dr

=

₂ Ejercicio 2. Dado

𝑅

, el tronco de esfera de ecuaci ´on

𝑧 = √︁

25

− 𝑥

²

− 𝑦

²limitado por los planos

𝑧 =

₀ y

𝑧 =

_{4, sea}

𝑆

su superficie (con orientaci ´on exterior). Dicha superficie puede descomponerse en tapa,

𝑇

_{, base,}

𝐵

, y lateral,

𝐿

_.

a) (8 puntos) Parametriza gr ´aficamente

𝐿

, dando el dominio para

(𝑥, 𝑦)

, calcula el vector per- pendicular a la superficie (no es necesario normalizarlo) e indica si la orientaci ´on dada por la parametrizaci ´on coincide con la establecida.

b) (10 puntos) Calcula

∬

𝐿

𝑧

_k

·

dS directamente (ayuda: cambio a polares).

c) (10 puntos) Calcula

∬

𝑆

𝑧

_k

·

dS indirectamente (ayuda: cambio a cil´ındricas con 0

≤ 𝑟 ≤ √

25

− 𝑧

²_).

d) (** puntos) ¿Qu ´e se deduce de los resultados anteriores? ¿Era de esperar?

Soluci ´on: 128^𝜋

/

3, 236^𝜋

/

3,

∬

𝑇∪𝐵

𝑧

_k

·

_dS

=

₃₆

𝜋

Ejercicio 3. Estudia la existencia y unicidad de soluci ´on del PVI

(

3

𝑦𝑥

²_d

𝑥 − (𝑥

³

+

₂

𝑦

⁴

)

_d

𝑦 =

₀

𝑦 (

³

/

2

) =

³

/

2

as´ı como su posible determinaci ´on.

a) (6 puntos) Escribe la EDO en forma normal y determina la regi ´on del plano donde existe solu- ci ´on y donde ´esta es ´unica.

Soluci ´on:

𝑦

^′

=

^3𝑦𝑥2

𝑥3+₂𝑦4

⇝ 𝑥

³

+

₂

𝑦

⁴

≠

₀

b) (18 puntos) Halla la soluci ´on general de la ecuaci ´on aplicando el m ´etodo de resoluci ´on de ecuaciones diferenciales exactas.

i) Determina si la ecuaci ´on es exacta. Soluci ´on:

𝑀

_𝑦

=

₃

𝑥

²

≠ −

₃

𝑥

²

= 𝑁

𝑥

Ing. Energ´ıa Parcial 2 (Extraordinaria), 2021/07/05 determina el factor integrante.

Soluci ´on:

𝜇

_𝑦

= −

²_𝑦

𝜇

_,

𝜇 ( 𝑦) =

¹

𝑦2

iii) Determina la soluci ´on general de la EDO original.

c) (6 puntos) Resuelve, si posible, el PVI indicando el mayor intervalo para el cual se tiene unicidad a lo largo de ´este.

Soluci ´on:

𝑥

³

=

²

3

𝑦

⁴

+ 𝐶 𝑦

_,

𝐶 =

₀

⇝ 𝑦 =

⁴

√︃

3

2

𝑥

3

, 𝑥 >

₀

Ejercicio 1. (16 puntos) En caso de existir, calcula el valor de los siguientes l´ımites.

I. l´ım

(𝑥, 𝑦)→(₁,−₁)

(𝑥 + 𝑦)

³

(𝑥 −

₁

)

²

+ ( 𝑦 +

₁

)

^{2 II.(𝑥, 𝑦)→(l´ım}0,₀)

log



1+𝑥 1− 𝑦



−

_log



1−𝑥 1+ 𝑦

 𝑥

2

+ 𝑦

² Sol.: I.

∃𝐿 =

_{0; II.}

š𝐿

_.

Ejercicio 2. Sea

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

la funci ´on dada por la siguiente expresi ´on:

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

 





 



𝑥

³

− 𝑦

⁴

𝑥

4

+ 𝑦

²

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

_; 0

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

a) (10 puntos) Calcula la derivada direccional de

𝑓

_en

(

₀

,

₀

)

en una direcci ´on gen ´erica

(𝑎, 𝑏) ≠ (

₀

,

₀

)

_{, esto es,}

𝐷

_(𝑎,𝑏)

𝑓 (

₀

,

₀

)

. (Ayuda: no normalizar).

Sol.:

𝐷

_(𝑎,𝑏)

𝑓 (

₀

,

₀

) = (

𝑎³

/

^𝑏2

, 𝑏 ≠

_0;

š, 𝑏 =

₀

.

b) (10 puntos) Asevera o refuta la diferenciabilidad de

𝑓

de dos formas diferentes.

Sol.: I.

š𝐷

_(𝑎,0)

𝑓 (

₀

,

₀

)

_{; II.}

𝐷

_(𝑎,𝑏)

𝑓 (

₀

,

₀

)

_{no lineal; III.}

𝑓 ∉ C

⁰_.

Ejercicio 3. Sea

𝑔 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑒

^𝑦

, 𝜋 𝑦 +

_cos

𝑥 )

_y

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

_{tal que}

∇ 𝑓 (𝜋, −

₁

) = (

₂

, −

₃

𝜋 )

_. a) (4 puntos) Calcula Jac

(𝑔) (𝜋,

₀

)

_.

b) (4 puntos) Calcula

∇( 𝑓 ◦ 𝑔) (𝜋,

₀

)

_. c) (4 puntos) Calcula Jac

(𝑔

⁻¹

) (𝜋, −

₁

)

_.

Ejercicio 4. Dado el polinomio

𝑝 (𝑥, 𝑦) = 𝑥

³

+

₃

𝑥

²

𝑦 −

₃

𝑦

²definido sobre todo

ℝ

²_{, se pide:}

a) (12 puntos) Determina y clasifica, si posible, todos los puntos cr´ıticos de

𝑝

_. Sol.: Pto. silla,

(−

₁

,

¹

2

)

; no concluyente,

(

₀

,

₀

)

_.

b) (4 puntos) Suponiendo que hayas encontrado extremos locales, ¿podr´ıas asegurar o descartar que estos sean globales?

c) (12 puntos) Considera ahora el recinto

𝐷

delimitado por las rectas

𝑥 =

_1,

𝑦 =

_{1 e}

𝑦 =

₁

− 𝑥

_. Determina, justificando su existencia, los extremos globales de

𝑝

_en

𝐷

_.

Sol.: M´ın. global,

𝑝 (

₀

,

₁

) = −

3; m ´ax. global,

𝑝 (

₁

,

¹

2

) =

⁷

4.

Ejercicio 5. En las siguientes integrales, adem ´as de obtener el valor requerido, representa y/o des- cribe el recinto de integraci ´on seg ´un sea conveniente.

a) (12 puntos) Calcula

∫

₁

0

∫

₁

√

𝑥cos ^𝜋₄

𝑦

³

d

𝑦

_d

𝑥

_. Sol.: ²

√ 2 3𝜋

b) (12 puntos) Calcula el volumen encerrado por los cilindros de ecuaciones

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

_{4 y}

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

9 y los planos de ecuaciones

𝑧 =

_{0 y}

𝑧 = 𝑥 − 𝑦 +

_5.

Sol.: 25

𝜋

Ing. Energ´ıa Parcial 2 (Ordinaria), 2022/05/26 Ejercicio 1. Sea F el campo vectorial

F

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒

^𝑥−2𝑧

( 𝑦

i

+

_2j

−

₂

𝑦

_k

)

y sea

𝐸

la curva parametrizada por

r

(𝑡) =

₂^1+𝑡i

+ (

_cos^𝜋

2

𝑡 −

_{3 sin}^𝜋

2

𝑡 )

j

+ (

₁

+ 𝑡

²

)

k con

𝑡 ∈ [

₀

,

₁

]

_.

a) (5 puntos) Comprueba si el campo F es conservativo.

b) (10 puntos) Calcula

∫

𝐸F

·

_dr.

Por otro lado, sea

𝐶

la curva formada por los bordes laterales y superior del rect ´angulo de esquinas diagonalmente opuestas

(

₁

,

₀

)

_y

(

₃

,

₁

)

_.

c) (10 puntos) Sin parametrizar

𝐶

, pero asign ´andole orientaci ´on, calcula

∫

𝐶

𝑦

_d

𝑥 +

¹_{𝑥 d}

𝑦

_. Sol.: b)

𝑓 (

₄

, −

₃

,

₂

) − 𝑓 (

₂

,

₁

,

₁

) =

_{8; c)}⁸

/

3, con

𝐶 = (

₁

,

₀

) → (

₁

,

₁

) → (

₃

,

₁

) → (

₃

,

₀

)

_.

Ejercicio 2. Sea

𝑅

la regi ´on del semiespacio superior encerrada por el paraboloide el´ıptico de ecua- ci ´on

𝑧 =

₁

− (

^𝑥−1

2

)

²

− (

^𝑦

3

)

²_{y sea}

𝑆 = 𝜕𝑅

su frontera.

a) (5 puntos) Siendo

𝑆 = 𝑃 ∪ 𝐵

_{, donde}

𝑃

es la cubierta del paraboloide y

𝐵

la base, parametriza sendos objetos indicando claramente la orientaci ´on inducida.

b) (20 puntos) Calcula

∬

𝑆

𝑦

_j

·

dS de dos formas diferentes.

Sol.: 3

𝜋

con orientaci ´on^≪exterior^≫.

Ejercicio 3. Dada la siguiente EDO:

𝑦

^′′

−

₂

𝑦

^′

+ 𝑦 = 𝑒

^𝑥

.

a) (6 puntos) Clasif´ıcala de manera justificada.

b) (20 puntos) Resu ´elvela detalladamente.

Soluci ´on:

a) Se trata de una ecuaci ´on lineal de coeficientes constantes no homog ´enea.

b) Para resolverla seguimos el m ´etodo de variaci ´on de constantes una vez resuelta la ecuaci ´on lineal homog ´enea asociada. Para resolver esta, hallamos las raices de la ecuaci ´on caracter´ısti- ca

𝜆

²

−

₂

𝜆 + 𝜆 = (𝜆 −

₁

)

²

=

₀

,

es decir, la raiz es

𝜆 =

1 con mutiplicidad 2. Por tanto la soluci ´on de la ecuaci ´on lineal ho- mog ´enea asociada es

𝑦

_ℎ

(𝑥) = 𝐶

₁

𝑒

^𝑥

+ 𝐶

₂

𝑥𝑒

^𝑥

.

Para resolver la no homog ´enea, tenemos en cuenta que el conjunto fundamental de

𝑒

^𝑥_es

𝑒

^𝑥_, pero como ella y

𝑥𝑒

^𝑥est ´an incluidas en las soluciones de la homog ´enea, multiplicamos por

𝑥

² y la soluci ´on particular, y sus derivadas, tendr ´an la forma

𝑦

_𝑝

(𝑥) = 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

𝑦

^′

𝑝

(𝑥) =

₂

𝐴𝑥𝑒

^𝑥

+ 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

𝑦

^′′

𝑝

(𝑥) = 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

+

₄

𝐴𝑥𝑒

^𝑥

+

₂

𝐴𝑒

^𝑥

Sustituimos en la ecuaci ´on original

( 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

+

₄

𝐴𝑥𝑒

^𝑥

+

₂

𝐴𝑒

^𝑥

) −

₂

(

₂

𝐴𝑥𝑒

^𝑥

+ 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

) + ( 𝐴𝑥

²

𝑒

^𝑥

) = 𝑒

^𝑥

.

y despejando

𝐴 =

₁

/

2. Por tanto

𝑦 (𝑥) = 𝐶

₁

𝑒

^𝑥

+ 𝐶

₂

𝑥𝑒

^𝑥

+

¹ 2

𝑥

²

𝑒

^𝑥

Ing. Energ´ıa Parcial 2 (Ordinaria), 2022/05/26 Ejercicio 4. Responde a las siguientes preguntas marcando solamente una casilla para cada pregun- ta. Cada respuesta correcta suma 6 puntos, cada respuesta err ´onea resta 3 puntos, no responder no penaliza.

a) Dada la EDO

𝑦

⁶⁾

−

₉

𝑦

⁵⁾

+

₁₆

𝑦

⁴⁾

−

₁₈

𝑦

³⁾

+

₂₉

𝑦

^′′

−

₉

𝑦

^′

+

₁₄

𝑦 =

₀

,

la soluci ´on general viene dada por

■ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_3cos

(𝑥) + 𝐶

_4sin

(𝑥) + 𝐶

₅

𝑥

_cos

(𝑥) + 𝐶

₆

𝑥

_sin

(𝑥)

□ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑥𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₃

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

₄

𝑥𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_5cos

(𝑥) + 𝐶

₆

𝑥

_cos

(𝑥)

□ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

₃

𝑥𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_4cos

(𝑥) + 𝐶

₅

𝑥

_cos

(𝑥)

Soluci ´on: No hace falta hallar las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico. El n ´umero de soluciones ha de ser 6 (el grado de la EDO) y en las soluciones complejas senos y cosenos siempren van juntos.

b) La ecuaci ´on

𝑥

²

𝑦 − (

¹

3

𝑥

³

+

₂

𝑦

³

) 𝑦

^′

=

₀

□

Es exacta y homog ´enea.

□

Es exacta pero no es homog ´enea.

■

Ninguna de las dos anteriores.

Soluci ´on: Es homog ´enea (grado tres en ambos lados), pero no es exacta ya que las derivadas se diferencian en el signo.

c) ¿Qu ´e valor tiene que tener

𝑘

para que la siguiente ecuaci ´on sea exacta?

(

₃

𝑥 𝑦

²

+

₂₀

𝑥

²

𝑦

³

)

_d

𝑦 + ( 𝑦

³

+ 𝑘𝑥 𝑦

⁴

−

₂

𝑥 )

_d

𝑥 =

₀

□ 𝑘 =

8

■ 𝑘 =

10

□

Ninguna de las dos anteriores.

Soluci ´on: Las derivadas dan, con

𝑘 =

_{10, 3}

𝑦

²

+

₄₀

𝑥 𝑦

³. Hay que fijarse que

𝑑 𝑦

est ´a a la izquierda y

𝑑𝑥

a la derecha.

d) Dada la EDO

(

₃

𝑥

⁵

𝑦

⁸

− 𝑦

³

)

_d

𝑥 + (

₅

𝑥

⁶

𝑦

⁷

+ 𝑥

³

)

_d

𝑦 =

₀

,

un factor integrante es

□ 𝑥 𝑦

■ 𝑥

⁻³

𝑦

⁻³

□

Ninguna de las dos anteriores.

Soluci ´on: Derivar y comprobar.

Ejercicio 5. Responde a las siguientes preguntas marcando solamente una casilla para cada pregun- ta. Cada respuesta correcta suma 6 puntos, cada respuesta err ´onea resta 3 puntos, no responder no penaliza.

a) ¿Qu ´e valor tiene que tener

𝑘

para que la siguiente ecuaci ´on sea exacta?

(

₃

𝑥 𝑦

²

+

₂₀

𝑥

²

𝑦

³

)

_d

𝑦 + ( 𝑦

³

+ 𝑘𝑥 𝑦

⁴

−

₂

𝑥 )

_d

𝑥 =

₀

□ 𝑘 =

10

□ 𝑘 =

8

□

Ninguna de las dos anteriores.

b) Dada la EDO

(

₃

𝑥

⁵

𝑦

⁸

− 𝑦

³

)

_d

𝑥 + (

₅

𝑥

⁶

𝑦

⁷

+ 𝑥

³

)

_d

𝑦 =

₀

,

un factor integrante es

□ 𝑥

⁻³

𝑦

⁻³

□ 𝑥 𝑦

□

Ninguna de las dos anteriores.

c) La ecuaci ´on

𝑥

²

𝑦 − (

¹

3

𝑥

³

+

₂

𝑦

³

) 𝑦

^′

=

₀

□

Es exacta y homog ´enea.

□

Es exacta pero no es homog ´enea.

□

Ninguna de las dos anteriores.

d) Dada la EDO

𝑦

⁶⁾

−

₉

𝑦

⁵⁾

+

₁₆

𝑦

⁴⁾

−

₁₈

𝑦

³⁾

+

₂₉

𝑦

^′′

−

₉

𝑦

^′

+

₁₄

𝑦 =

₀

,

la soluci ´on general viene dada por

□ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

₃

𝑥𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_4cos

(𝑥) + 𝐶

₅

𝑥

_cos

(𝑥)

□ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑥𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₃

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

₄

𝑥𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_5cos

(𝑥) + 𝐶

₆

𝑥

_cos

(𝑥)

□ 𝑦(𝑥) = 𝐶

1

𝑒

^7𝑥

+ 𝐶

₂

𝑒

^2𝑥

+ 𝐶

_3cos

(𝑥) + 𝐶

_4sin

(𝑥) + 𝐶

₅

𝑥

_cos

(𝑥) + 𝐶

₆

𝑥

_sin

(𝑥)

Ing. Energ´ıa Parcial 1 (Extraordinaria), 2022/06/29 Ejercicio 1. (16 puntos) En caso de existir, calcula el valor de los siguientes l´ımites.

I. l´ım

(𝑥, 𝑦)→(₁,−₁)

1

− |𝑥 𝑦|

𝑥 − | 𝑦|

^II.(𝑥, 𝑦)→(^l´ım₀,₀)tan

(𝑥 + 𝑦)

_arctan



1

𝑥

2

+ 𝑦

²



Sol.: I.

š𝐿

_{; II.}

∃𝐿 =

_0.

Ejercicio 2. Sea

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

la funci ´on dada por la siguiente expresi ´on:

𝑓 (𝑥, 𝑦) =

 

 



 





√︁

𝑥

6

+ 𝑦

⁶

𝑥

2

+ 𝑦

²

, (𝑥, 𝑦) ≠ (

₀

,

₀

)

_; 0

, (𝑥, 𝑦) = (

₀

,

₀

).

a) (10 puntos) Obt ´en una expresi ´on para ^{𝜕 𝑓}𝜕𝑥. ¿Es continua?

b) (10 puntos) Sin m ´as c ´alculos, asevera o refuta la diferenciabilidad y continuidad de

𝑓

_. Sol.:

š

^{𝜕 𝑓}_𝜕𝑥

(

₀

,

₀

) ⇒ š

_D

𝑓 (

₀

,

₀

) ⇒

_¿

𝑓 ∈ C

⁰

(

₀

,

₀

)

_?;

𝑓 ∈ C

¹

ℝ

²

\ {(

₀

,

₀

)}

.

Ejercicio 3. Sea

𝑔 (𝑥, 𝑦) = 

𝑥

_log

𝑦,

_tan^𝑥

𝑦



y

𝑓

_:

ℝ

²

→ ℝ

_{tal que}

∇ 𝑓 (

₀

,

₀

) = (

₃

,

₁

)

_. a) (4 puntos) Calcula D

𝑔 (𝜋,

₁

) (𝑎, 𝑏)

para cualquier vector

(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ

²_. b) (4 puntos) Calcula^{𝜕( 𝑓 ◦𝑔)}𝜕 𝑦

(𝜋,

₁

)

_.

c) (4 puntos) Calcula Jac

(𝑔

⁻¹

) (

₀

,

₀

)

_. Sol.: a)

(𝜋𝑏, 𝑎 − 𝜋𝑏)

_{; b) 2}

𝜋

_{; c)}



1 1

1

𝜋 0



.

Ejercicio 4. Dado el polinomio

𝑝 (𝑥, 𝑦) =

₄

𝑥

²

− 𝑘𝑥 𝑦 + 𝑦

²definido sobre todo

ℝ

²_{y donde}

𝑘 ∈ ℝ

_es un par ´ametro fijado, se pide:

a) (8 puntos) Determina los puntos cr´ıticos de

𝑝

seg ´un los valores de

𝑘

_. b) (8 puntos) Clasifica los puntos cr´ıticos de

𝑝

_para

𝑘 =

₁

,

₄

,

_6.

c) (12 puntos) Considera la regi ´on

𝐷

delimitada por la elipse de ecuaci ´on 4

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

4. Determina, justificando su existencia, los extremos globales de

𝑝

_en

𝐷

_cuando

𝑘 =

_1.

Sol.: a)

𝑘 ≠ ±

₄

,

_cr´ıt

(𝑝) = {(

₀

,

₀

)}

_;

𝑘 = ±

₄

,

_cr´ıt

(𝑝) = {(𝑥, ±

₂

𝑥 )}

_{; b)}

𝑘 =

₁

,

4, m´ınimo(s) local;

𝑘 =

6, punto de silla; c) m´ınimo global,

𝑝 (

₀

,

₀

) =

_0; m ´aximo global,

𝑝 (±

^√2

/

2

, ∓ √

2

) =

_4.

Ejercicio 5. En las siguientes integrales, adem ´as de obtener el valor requerido, representa y/o des- cribe el recinto de integraci ´on seg ´un sea conveniente.

a) (12 puntos) Calcula

∫

₁

0

∫

₁

√3

𝑦6²

√

1

− 𝑥

⁴_d

𝑥

_d

𝑦

_.

b) (12 puntos) Calcula el volumen encerrado por los cilindros de ecuaciones

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

_{4 y}

𝑥

²

+ 𝑦

²

=

9 y los planos de ecuaciones

𝑧 =

_{0 y}

𝑧 = 𝑥 − 𝑦 +

_5.

Sol.: a) 1; b) 25

𝜋

_.

Ejercicio 1. Considera la rosa polar de 4 p ´etalos, esto es, la curva determinada en coordenadas polares,

(𝑟, 𝜃)

, por la ecuaci ´on

𝑟 =

_sin

(

₂

𝜃 )

_{y sea}

𝐶

el p ´etalo que dibuja en el primer cuadrante para

𝜃 ∈ [

₀

,

^𝜋

/

2

]

_.

a) (4 puntos) Expresa la curva en coordenadas cartesianas, r

(𝜃) = (𝑥(𝜃), 𝑦(𝜃))

, comprueba si la curva es cerrada e indica la orientaci ´on por medio del vector tangente para

𝜃 =

^𝜋

/

_4.

b) (4 puntos) Comprueba si el campo F

(𝑥, 𝑦) = 𝑦

_i

+

₉

𝑥

j es conservativo.

c) (12 puntos) Calcula el trabajo

∫

𝐶

𝑦

_d

𝑥 +

₉

𝑥

_d

𝑦

_.

d) (5 puntos) ¿Concuerdan los resultados obtenidos? Justifica tu respuesta.

Sol.:

𝜋

Ejercicio 2. Sea

𝑅

la regi ´on del semiespacio superior encerrada por el paraboloide el´ıptico de ecua- ci ´on

𝑧 =

₁

− (

^𝑥−1

2

)

²

− (

^𝑦

3

)

²_{y sea}

𝑆 = 𝜕𝑅

su frontera.

a) (5 puntos) Siendo

𝑆 = 𝑃 ∪ 𝐵

_{, donde}

𝑃

es la cubierta del paraboloide y

𝐵

la base, parametriza sendos objetos indicando claramente la orientaci ´on inducida.

b) (20 puntos) Calcula

∬

𝑆

𝑦

_j

·

dS de dos formas diferentes.

Sol.: 3

𝜋

con orientaci ´on^≪exterior^≫.

Ejercicio 3. Dada la ecuaci ´on

𝑦

^′′

+

₉

𝑦 =

_{16 sin 3}

𝑥 +

_{12 cos 3}

𝑥

_{, se pide:}

a) (4 puntos) Clasif´ıcala justificadamente.

b) (18 puntos) Resu ´elvela indicando detalladamente los pasos.

Ejercicio 4. Dada la ecuaci ´on

(𝑥

²

+

₄

𝑦

²

) − 𝑥 𝑦

^d𝑦

d𝑥

=

0, se pide:

a) (4 puntos) Clasif´ıcala justificadamente.

b) (18 puntos) Resu ´elvela indicando detalladamente los pasos.

c) (6 puntos) Resuelve el problema de valor inicial para

𝑦 (

₁

) =

_1.