Fun¸c˜ oes de V´ arias Vari´ aveis
Defini¸c˜ ao
Definition 1 Seja A um conjunto do espa¸co n-dimensional com elementos n-uplas orde- nadas (x1, x2, x3, x4..., xn) ∈ A nos reais, ou seja A ⊆ ℜn. Portanto, se existir um ponto qualquer do conjunto A associado a um ´unico elemento k ∈ ℜ, temos a fun¸c˜ao f definida como
f : A ⊆ ℜn → ℜ uma aplica¸c˜ao. ISto ´e,
f : A ⊆ ℜn (1)
x 7−→ k = f(x) (2)
Definition 2 (Vers˜ao para duas vari´aveis) Seja D um conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ ℜ2 pertencentes aos reais. Existe uma fun¸c˜ao f(x,y) que associa cada par (x, y) ∈ D a um n´umero real f (x, y) ∈ ℜ, esta ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis tal que Df ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao de f: f (x, y) com (x, y) ∈ D
Dom´ınio e Imagem de uma fun¸c˜ ao
Vimos que o dom´ınio ´e um conjunto simplesmente conexo, tal que o conjunto Df est´a associado a um ´unico n´umero real e ´e dito ser a sua imagem o conjunto de todos os valores poss´ıveis associado de f. Uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis ´e uma fun¸c˜ao f : A → ℜ sendo o subconjunto A ⊂ R2 o dom´ınio da fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao f associa um ponto (x, y) ∈ A ⊂ ℜ2 a um ´unico valor de f (x, y) ∈ ℜ definindo a imagem da fun¸c˜ao por ImF = {f(x, y) ∈ ℜ/(x, y) ∈ Df}
Definition 3 Dom´ınio. O conjunto ´e definido por
Df = {x ∈ A ⊆ ℜn; k = f (x)}
Definition 4 Imagem. Define-se o conjunto por
Imf = {k ∈ ℜ; k = f(x)}
Exercise 5 Encontre o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao z = f (x, y) = p9 − x2− y2 definida nos reais.
I) z ∈ ℜ; (3)
II)9 − x2 − y2 >0 ⇒ x2 + y2 ≤ 9 (4)
Ou seja, regi˜ao fechada e bola fechada. O dom´ınio ser´a
Df : {(x, y) ∈ A ⊆ ℜn; x2+ y2 ≤ 32}
Como a imagem ´e o conjunto de todos os pontos onde esse dom´ınio ´e v´alido, cabe verificar que a imagem pode ser expressa por {z|z = p9 − x2− y2, (x, y) ∈ Df}, portanto, a imagem pode ser expressa como o intervalo
Im = {z ∈ R; 0 ≤ z ≤ 3} = [0, 3]
Exeplo de fun¸c˜oes
• Fun¸c˜ao linear f : ℜ2 −→ ℜ, para f(x, y) = αx + βy com α ∈ ℜ e β ∈ ℜ
• Fun¸c˜ao racional f(x, y) = p(x,y)q(x,y)
• Fun¸c˜ao homogˆenea de grau λ f(tx, ty) = tλf (x, y) Exercise 6 Encontre o dom´ınio da fun¸c˜ao f (x, y) = ln(x − y)
z = f (x, y); z ∈ ℜ; (5)
x − y > 0 ⇒ y < x Ou seja,
Df : {(x, y) ∈ w ⊆ ℜ2; y < x}
Exercise 7 Encontre o dom´ınio das fun¸c˜oes abaixo:
• f(x, y) = √ x−y
1−x2−y2 Verifique que
p1 − x2− y2 6= 0 ⇒ 1 − x2 − y2 > 0 ⇒ x2+ y2 < 1 (6) Df : {(x, y) ∈ A ⊆ ℜ2; x2+ y2 < 1}
• z =p|x| − |y| Verifique que
|x| − |y| ≥ 0 ⇒ |y| ≤ |x| ≡ f(x) ⇒ |y| ≤ f(x) =⇒ −f(x) ≤ y ≤ f(x) ⇒ −|x| ≤ y ≤ |x| (7) Df : {(x, y) ∈ A ⊆ ℜ2; −|x| ≤ y ≤ |x|}
Exercise 8 Encontre o dom´ınio e a imagem das seguintes fun¸c˜oes. Represente grafica- mente o dom´ınio das fun¸c˜oes
• g(x, y) = x2+ y2+ 3
• h(x, y) = 5 − x2 − y2
• s(x, y) = x2+ (y − 1)2
• z = x2+y1 2
• N(x, y) = e−(x2+y2)
• f(x, y) = x2xy+y2
Exercise 9 Verifique se a fun¸c˜ao ´e homogˆenea
• f(x, y) = xn· ex/y
f (tx, ty) = (tx)n· e(tx/ty) = tnxnex/y = tn· f(x, y) ⇒ homogˆenea de grau n
• f(x, y) = 2x2+ xy − 2
f (tx, ty) = 2(tx)2+ (tx)(ty) − 2 = 2t2x2+ t2xy − 2 ⇒ a fun¸c˜ao n˜ao ´e homogˆenea
Gr´ aficos de uma fun¸c˜ ao de n-vari´ aveis
Chamamos de superf´ıce ou gr´aficode f todo o conjunto dos pontos (x1, x2, x3, ..., xn, s = f (x1, x2, x3, ..., xn)) no espa¸co ℜn+1, em que (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ D ⊆ ℜn ´e um ponto no dom´ınio de f sendo s = f (x1, x2, x3, ..., xn) a sua imagem.
Exercise 10 Fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y) = x2+ y2
Figura 1 – Parabol´oide El´ıptico
Exercise 11 Fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y) = x2− y2
Exercise 12 Fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y) =p9 − x2− y2
Exercise 13 Fa¸ca o gr´afico da fun¸c˜ao z = f (x, y) = ln(x − y)
Curvas de N´ıvel
Definition 14 Seja a fun¸c˜ao f : ℜ2 → ℜ. S˜ao chamadas de Curva de N´ıvel o conjunto de pontos onde f (x, y) = c, sendo c uma constante.
Esse m´etodo ´e ´util para descrever o comportamento da fun¸c˜ao f (x, y) para valores no dom´ınio (x, y) permanecem inalterados. A figura seguinte mostra-nos as curvas de con- torno e as curvas de n´ıvel. A proje¸c˜ao das curvas de controno no plano x-y s˜ao denomi- nadas curvas de n´ıvel.
A extens˜ao para a curva de n´ıvel ser´a o Conjunto de N´ıvel em que define-se pelo conjunto de todos os pontos (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ Df em que f(x1, x2, x3, ..., xn) = k e k uma constante. Para o caso em que o gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y, z) = k ser´a uma superf´ıcie, a chamaremos de Superf´ıcie de N´ıvel.
Figura 2 – Gr´afico e curvas de contˆorno e de n´ıvel.
Exercise 15 Esbo¸ce algumas curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = 4x2+ y2
f (x, y) = c; (8)
4x2 + y2 = c (9)
x2 c/4 +y2
c = 1 (10)
As curvas de n´ıvel s˜ao represetna¸c˜oes no plano x-y dada pela fam´ılia de elipses com c > 0 nos semi eixos pc/4 e √c. Desenhe...
Exercise 16 Dada a equa¸c˜ao z = 6 − 3x − 2y fa¸ca o gr´afico e forne¸ca as curvas de n´ıvel.
Determine o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao. De fato,
Figura 3 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para f (x, y) = 6 − 3x − 2y
f (x, y) = 6 − 3x − 2y c = 6 − 3x − 2y A curva de n´ıvel ser´a dada por retas
y = −3
2x + 6 − c 2
Gerando a figura no Gnuplot:
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.5,2 set contour base
splot 6-3*x-2*y pause -1
a) Dom´ınio da fun¸c˜ao:
Df = {(x, y) ∈ ℜ}
b) Imagem da fun¸c˜ao:
Imf = {f(x, y) ∈ ℜ}
Exercise 17 Encontre as curvas de n´ıvel para a fun¸c˜ao f (x, y) = x2y+1. Determine o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao.
Figura 4 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para z = x2y+1
f (x, y) = y x2+ 1
c = y
x2+ 1 y = c · x2+ c
(11)
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.5,2 set contour base
splot y/(x**2+1) pause -1
a) Dom´ınio da fun¸c˜ao:
Df = {(x, y) ∈ ℜ}
b) Imagem da fun¸c˜ao:
Imf = {f(x, y) ∈ ℜ}
Exercise 18 Dada a equa¸c˜ao z = x2− y2 fa¸ca o gr´afico e forne¸ca as curvas de n´ıvel.
Figura 5 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para z = x2− y2
De fato,
f (x, y) = x2 − y2 c = x2 − y2 A curva de n´ıvel ser´a dada por hip´erboles
x2 (√
c)2 − y2 (√
c)2 = 1 desde que c > 0 Gerando a figura no Gnuplot:
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.5,2 set contour base
splot x**2-y**2 pause -1
Considera-se a curva de contorno o conjunto de pontos na qual um plano w = c intercepta uma superf´ıcie w = f (x, y), ou seja f (x, y) = c. A figura abaixo mostra-nos uma superf´ıcie z = f (x, y) = e−(x2+y2) com algumas curvas de contorno e curvas de n´ıvel.
Figura 6 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para z = f (x, y) = e−(x2+y2)
A curva de n´ıvel ser´a dada por circunferˆencias x2
(√
ln c−1)2 + y2 (√
ln c−1)2 = 1 desde que c < 1
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.05,2 set contour base
splot exp(-(x**2+y**2)) pause -1
Exercise 19 Encontre as curvas de n´ıvel para a fun¸c˜ao f (x, y) = p|x| − |y|. Fa¸ca o gr´afico e determine o dom´ınio e a imagem da fun¸c˜ao. Como
Figura 7 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para z = f (x, y) =p|x| − |y|
f (x, y) =p|x| − |y|
c = p|x| − |y|
c2 = |x| − |y|
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.05,2 set contour base
splot sqrt(abs(x)-abs(y)) pause -1
a) Vimos que o dom´ınio ´e
Df : {(x, y) ∈ A ⊆ ℜ2; −|x| ≤ y ≤ |x|}
b) Imagem da fun¸c˜ao:
Imf = {f(x, y) ∈ ℜ+}
Exercise 20 Encontre o dom´ınio para a fun¸c˜ao f (x, y) = sin(x)−sin(y)x−y e fa¸ca o gr´afico
Figura 8 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para z = f (x, y) = sin(x)−sin(y)x−y
O dom´ınio da fun¸c˜ao deve verificar
sin(x) − sin(y) 6= 0
⇒ x ± y 6= nπ ∀n ∈ Z Encontre as curvas de n´ıvel para essa fun¸c˜ao.
Gnuplot:
set xrange [-2:2]
set yrange [-2:2]
set pm3d set nokey
set isosamples 55,55
set cntrparam levels incremental -2,0.05,2 set contour base
splot (x-y)/(sin(x)-sin(y)) pause -1
Exercise 21 Comparando as figuras 9, relacione a superficie com a sua respectiva curva de n´ıvel.
Figura 9 – Rela¸c˜ao entre superf´ıcies e curvas de n´ıvel
M´ aximos e m´ınimos
M´ aximos e m´ınimos globais
Seja uma fun¸c˜ao f : A → ℜ com A ⊂ ℜ2 o dom´ınio Df. Se f (x, y) ≤ f(x0, y0) ∀(x, y) ∈ Df o par (x0, y0) ter´a f (x0, y0) ponto de m´aximo global, por outro lado, se f (x, y) ≥ f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ Df o par (x0, y0) ter´a f (x0, y0) ponto de m´ınimo global.
Observe os seguintes casos:
• Caso 1: Seja a fun¸c˜ao definida por f(x, y) = 1 − x2 − y2 com Df = {(x, y) ∈ ℜ}, ent˜ao a curva de n´ıvel ser´a definida por c´ırculos concˆentricos de raio √
1 − c,
x2 (√
1−c)2 +(√1−c)y2 2 = 1 desde que c < 1. O m´aximo global ´e quando (x0, y0) = (0, 0) porque f (x0, y0) = 1.
Figura 10 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para f (x, y) = 1 − x2− y2
• Caso 2: Dada a fun¸c˜ao f(x, y) = 1/(x2 + y2) tˆem como dom´ınio Df = {(x, y) ∈ ℜ|x 6= 0ey 6= 0} . No entˆorno do ponto (x, y) = (0, 0) a fun¸c˜ao cresce substancial- mente e esse ponto n˜ao pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao, ou seja, lim(x,y)→(0,0)f (x, y) = +∞ a fun¸c˜ao diverge e n˜ao existe um ponto de m´aximo.
Figura 11 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para f (x, y) = 1/(x2+ y2)
• Caso 3: Suponha a curva f(x, y) = 10 cos(xy)1+2y2 . Seu m´aximo ocorre quando cos(xy) = 1, ou seja, como y ∈ ℜ ent˜ao x = 0. Nesse caso, os pontos de m´aximo s˜ao todos os pontos dado por (x0, y0) = (0, y) e n˜ao existe um ´unico ponto m´aximo.
Figura 12 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para f (x, y) = 10 cos(xy)1+2y2
• Caso 4: A fun¸c˜ao f(x, y) = sin(x2+ y2)/(x2 + y2) n˜ao ´e definida no ponto (x, y) = (0, 0), mas nesse caso o limite existe lim(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim(x,y)→(0,0)sin(x2 + y2)/(x2+y2) = 1, segundo o limite fundamental, mas ponto n˜ao pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao Df = {(x, y) ∈ ℜ2|(x, y) 6= (0, 0)}.
Figura 13 – Gr´afico e curvas de n´ıvel para f (x, y) = sin(x2+ y2)/(x2+ y2)