Los Ángulos trigonométricos

Geovany Sanabria Brenes

Resumen

Generalmente el estudio de las funciones trigonométricas en la enseñanza secun- daria implica un "gran" cambio en el concepto de ángulo. La introducción de ángulos con medidas negativas o mayores a 360^◦, llevan al docente a establecer una serie de creaciones didácticas sin un fundamento matemático, como por ejemplo, ver el ángulo como el movimiento de uno de sus lados en la dirección de las agujas del reloj o en dirección contraria y hablar del número de "vueltas" que da un ángulo. Este trabajo le da vida a estas creaciones en el mundo de las matemáticas, no con el fin de justificar la enseñanza tradicional de la trigonométrica en secundaria, por el contrario, se pretende que el docente a partir de estos apuntes establezca propuestas didácticas más acordes con la matemática y abandone esas practicas míticas. Seguidamente se expone una serie de definiciones y procedimientos necesarios para el desarrollo del tema.

Palabras claves: trigonométrica, ángulo,rigurosidad

Contenidos

1 Definiciones 2

2 Medida de un ángulo trigonométrico 7

2.1 Medida de un ángulo geométrico . . . 7 2.2 Definición de medida angular para ángulos trigonométricos . . . 8 3 Propiedades de la medida de un ángulo trigonométrico 14

1 Definiciones

Definición 1. (Círculo trigonométrico)

Dado un sistema rectangular de coordenadas, el círculo trigonométrico asociado a ese sistema es el círculo de radio 1 cuyo centro es el origen del sistema.

(-1,0)

(0,-1)

(1,0) (0,1)

Así, la distancia entre un punto (x, y) de la circunferencia del círculo trigonométrico y el centro (0, 0) es 1, es decir; p

x²+ y² = 1. Se tiene entonces que todo punto (x, y) de la circunferencia del círculo trigonométrico cumple:

x²+ y² = 1

Recíporcamente, todo punto (x, y) que satisface esta igualdad, está sobre la circunferencia del círculo trigonométrico.

Ejemplo 1. Dado un sistema de coordenadas, determinemos los puntos del círculo trigonométrico cuya coordenada x es

√3 2 .

Si P es un punto de la circunferencia trigonométrica de coordenadas Ã√3

2 , y

! , se cumple que:

Ã√3 2

!2

+ y² = 1,

de donde se obtiene que y = 1

2 ó y = −1

2. Así, existen dos puntos de la cir- cunferencia trigonométrica cuya coordenada x es

√3

2 , los puntos P Ã√3

2 ,1 2

! y

Q Ã√3

2 , −1 2

! .

Q P

(-1,0)

(0,-1)

(1,0) (0,1)

Definición 2. (Rotación Angular)

Una rotación angular (a, b) con a²+b² = 1, es una función que toma un rayo−−→AB y lo trasforma en otro−→AC, donde C se encuentra bajo el siguiente procedimiento:

1. Se traza el sistema rectangular de coordenadas con centro en A de manera que el −−→AB concuerde con el eje X positivo.

2. Se traza el círculo trigonométrico asociado al sistema construido.

3. El punto C corresponde al punto de la circunferencia trigonométrica de coordenadas (a, b).

Nota. La rotación (a, b) se puede interpretar como la aplicación que lleva el punto (1, 0) , en el sistema construido, al punto (a, b) . Puede tormarse la escala de forma que AB = 1, note que, dicha rotación toma el punto B (1, 0) y lo lleva al punto C (a, b) .

Ejemplo 2. Apliquemos la rotación angular Ã√2

2 , −

√2 2

!

al rayo:

A

B

Tracemos el sistema rectangular de coordenadas con centro en A de manera que:

el −−→AB concuerde con el eje X positivo, y el círculo trigonométrico asociado:

C

(

)

Y X

(0,-1) (-1,0)

(0,1)

A

B (1,0)

Por lo tanto, el resultado de aplicar la rotación angular Ã√2

2 ,−√ 2 2

! al−−→

AB es:

A C

B

Note que: la escala que se utiliza para construir el sistema de coordenadas no afecta a la rotación.

En el applet : "Rotación de rayos", se visualiza un punto A que será el punto origen del rayo a rotar, el usuario debe realizar los siguientes pasos:

1. Con el Mouse debe indicar en la pantalla un punto B, para determinar el−−→

AB a rotar.

2. Puede aplicarle la rotación que desee al rayo AB y visualizarla.

Usualmente, se dice que una rotación puede tener dirección y número de "vueltas". Sin embargo; esto es ambiguo, pues por ejemplo, al dar una vuelta más, se obtiene matemáti- camente la misma rotación original. A continuación, se propone una definición más consis- tente.

Definición 3. (Ángulo trigonométrico)

Dado un sistema rectangular de coordenadas, un ángulo trigonométrico es una cuadrúpleta (a, b, d, n) , donde:

1. El rayo “eje X positivo” es llamado lado inicial del ángulo

2. La rotación (a, b) aplicada al lado inicial, determina el rayo llamado lado final del ángulo.

3. d indica la dirección del ángulo que puede ser positiva (d = +) si es con- traria a las manecillas del reloj o, en caso contrario negativa (d = −).

4. n es un número natural que indica el número de vueltas aplicadas al lado inicial en la dirección d, antes de aplicarle la rotación (a, b) .

Ejemplo 3 . Representemos los ángulos trigonométricos Ã1

2,

√3 2 , +, 4

! y (0, 1, −, 3):

1 2, 3

( )

Lado inicial Lado

terminal

Ángulo Ã1

2,

√3 2 , +, 4

!

(0,1) Lado terminal

Lado inicial

Ángulo (0, 1, −, 3)

Ejemplo 4. Tome el −−→AB

A

B

como el lado inicial del ángulo Ã−√

2 2 ,−√

2 2 , +, 2

!

. Representemos dicho án- gulo.

Primero, apliquemos la rotación angular Ã−√

2 2 ,−√

2 2

! al −−→

AB:

X Y

C - 2 2 ,- 2

(

)

(0,-1)

(-1,0) (0,1)

(1,0) A

B

Por lo tanto, el ángulo está representado, en el sistema generado por el −−→AB, por:

Lado terminal

Lado inicial

A

B C

Ángulo Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 2

!

Nota. En el ejemplo anterior se muestra que un ángulo trigonométrico (a, b, d, n) es único dado un sistema de coordenadas rectangular.

Definición 4. (Composición de Rotaciones) Dadas dos rotaciones (a, b) y (c, d) se define la rotación composición (a, b) ◦ (c, d) , como aquella función que toma un rayo−−→AB, le aplica la rotación (c, d) y luego, al rayo resultante le aplica la rotación (a, b) .

Se puede comprabar que la composición de rotaciones es conmutativa:

(a, b) ◦ (c, d) = (c, d) ◦ (a, b) . Ejemplo 5. Dadas dos rotaciones (a, b) y (c, d) , note que

(ac − bd)²+ (bc + da)² = a²c²+ a²d²+ b²c²+ b²d²

= ¡

a²+ b²¢ ¡

c²+ d²¢

= 1

Por lo tanto (ac − bd, bc + da) es una rotación, esta es llamada la rotación suma.

2 Medida de un ángulo trigonométrico

2.1 Medida de un ángulo geométrico

Recordemos que geométricamente, una medida angular, es una función m_g que cumple:

1. Asigna a cada ángulo un número real positivo, es decir; m_g∠BAC ≥ 0

2. Si la medida de los ángulos llanos es l, entonces para cualquier ángulo BAC se cumple que:

0 ≤ mg∠BAC ≤ l.

3. (Postulado de la Construcción de un Ángulo) Si el−−→AB pertenece a la frontera de un semiplano H y r ∈ [0, l] , entonces existe un punto C ∈ H, tal que:

mg∠BAC = r

4. (Postulado de la Suma de Ángulos). Dado un ∠BAC, si D pertenece al interior de este ángulo:

A

B C

D

entonces: mg∠BAC = m^g∠BAD + m^g∠DAC.

Dos medidas angulares importantes, son la medida en grados y la medida en radianes, que se denotarán con m_g. La medida en grados asigna a cada ángulo un número real entre 0^◦ y 180^◦, es decir;

0^◦ ≤ mg∠BAC ≤ 180^◦. En el caso de la medida de un ángulo en radianes, se tiene que

0 ≤ m^g∠BAC ≤ π

El siguiente teorema recuerda la conversión entre grados y radianes.

Teorema 1. Dado un ángulo cualquiera BAC (en el sentido geométrico), cuya medida en grados es m_g∠BAC = a^◦, sólo hay una manera de definir su medida en radianes, y esta es:

x rad = a · π 180 rad

Ejemplo 6. Si un ángulo mide 150^◦ entonces su medida en radianes es x rad, donde:

x = 150π 180 = 5π

6 . Ejemplo 7. Si un ángulo mide 7π

9 rad entonces su medida en grados es a^◦, donde:

a = 7π 9 ·180

π = 140.

En adelante, se hablará de m_g para referirse a la medida de un ángulo, entendiendo ángulo de acuerdo con su concepción geométrica.

2.2 Definición de medida angular para ángulos trigonométricos Definición 5. (Medida de un ángulo trigonométrico)

Considere un sistema rectangular de coordenadas de centro A, con B un punto en el eje X positivo y D un punto en el eje X negativo. Sea A el conjunto de ángulos trigonométricos sobre dicho sistema, y sea mg una medida angular geométrica cualquiera. Entonces una medida para los elementos de A es una función m:

m : A −→ R que cumple:

1. (Propiedad sumativa) Para todo ángulo trigonométrico (a, b, d, n) se cumple:

m (a, b, d, n) = m (a, b, d, 0) + m (1, 0, d, n)

2. Para todo ángulo trigonométrico de la forma (a, b, d, 0) se tiene que:

(a) Si b ≥ 0, entonces m (a, b, +, 0) = mg∠BAC y m (a, b, −, 0) = m^g∠BAC−

2mg∠BAD. (note que el ∠BAD es llano).

(a , b) C

A B

D

Ángulo (a, b, +, 0)

(a , b) C

A B

D

Ángulo (a, b, −, 0)

(b) Si b < 0, entonces m (a, b, +, 0) = 2m_g∠BAD−mg∠BAC y m (a, b, −, 0) =

−m^g∠BAC.

(a , b) C

A

B D

Ángulo (a, b, +, 0)

(a , b) C

A D B

Ángulo (a, b, −, 0) 3. Para todo ángulo trigonométrico de la forma (1, 0, d, n) se tiene que:

(a) Si d = +, entonces m (1, 0, +, n) = 2n · m^g∠BAD (b) Si d = −, entonces m (1, 0, −, n) = −2n · mg∠BAD

Note que: esto concuerda con la intuición de ver una vuelta como la suma de las medidas de 2 ángulos llanos.

4. m es una función biyectiva de A − {(1, 0, −, 0) , (1, 0, +, 0)} en R − {0} . Es decir; el ángulo trigonométrico de medida 0 es el único que tiene dos formas de escribirse (1, 0, −, 0) y (1, 0, +, 0) .

Ejemplo 8. Utilice el transportador para obtener la medida en grados de los ángulos representados por:

A C

B

D E

F

G

El primer ángulo es de la forma (a, b, +, 2) , y el segundo de la forma (c, d, −, 3) . La medida del primer ángulo es:

m (a, b, +, 2) = m (a, b, +, 0) + m (1, 0, +, 2) (propiedad sumativa)

= m_g∠BAC + m (1, 0, +, 2) (propiedad 3, b > 0)

= 150^◦+ m (1, 0, +, 2) (utilizando el transportador)

= 150^◦+ 4 · 180^◦ (propiedad 4)

= 870^◦

El el caso del segundo ángulo se tiene que la medida es:

m (c, d, −, 3) = m (c, d, −, 0) + m (1, 0, −, 3) (propiedad sumativa)

= m_g∠EDF − 2 · 180^◦+ m (1, 0, −, 3) (propiedad 3, d > 0)

= 60^◦− 2 · 180^◦+ m (1, 0, −, 3) (utilizando el transportador)

= −300^◦+ −6 · 180^◦ (propiedad 4)

= −1380^◦

El lector puede observar que la medida de un ángulo trigonométrico concuerda con la intuición de asociar una vuelta con 2π rad o 360^◦. En el ejemplo anterior, se justificaron todos los pasos, en el siguiente, se enfatiza la intuición y se suprimen las justificaciones.

Ejemplo 9 . Determine la medida de los siguientes ángulos representados gráficamente:

En la primera representación, se observa que el ángulo tiene dirección negativa y utilizando un transportador se obtiene que la medida del ángulo geométrico es de 150^◦, por lo tanto, la medida del ángulo representado es de: −360^◦−180^◦−30^◦ =

−570^◦. En el caso de la segunda representación, el ángulo geométrico mide 60^◦, así, el ángulo representado mide: 360^◦+ (360 − 60)^◦ = 660^◦.

Ejemplo 10. Utilice triángulos especiales para hallar los ángulos trigonométri- cos de medidas:

2025^◦ y −34 3 π rad.

Se propone como ejercicio probar que la dirección del ángulo concuerda con el signo de su medida. El primer ángulo es de la forma (a, b, +, n), debido a que;

cada vuelta equivale a 360^◦, para determinar el número de vueltas busquemos el mayor múltiplo de 360 que no sobrepasa a 2025, utilizando el algoritmo de la división :

2025 = 5 · 360 + 225

Así, n = 5 y el ángulo tiene la siguiente representación:

C (a , b)

A B

D

Donde D es pie de la perpendicular al eje X trazada desde C. Como mg∠DAC = 45^◦ y AC = 1 (radio del círculo trigonométrico) entonces DC = DA = 1

√2 =

√2

2 , por lo tanto,

a = −DA = −

√2

2 y b = −DC = −

√2 2 y el primer ángulo es

Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 5

!

. Por otro lado, el segundo ángulo tiene dirección negativa y es de la forma (c, d, −, m) , m es el mayor múltiplo de 2π ("medida" de una vuelta) que no sobrepasa a 34

3 π, como:

34

3 π = 5 · 2π + 4π 3 , entonces m = 5 y su representación es:

F (c , d)

D G E

donde G es pie de la perpendicular al eje X trazada desde F. Se tiene que:

m_g∠GDF = π

3 rad = 60^◦ y como DF = 1 (¿Por qué?) entonces se tiene un

triángulo especial 30^◦− 60^◦ (4F GD) con hipotenusa de medida 1. Por lo tanto;

GD = 1

2 y F G =

√3

2 , además:

c = −GD = −1

2, d = GF =

√3 2 Así, el segundo ángulo es:

Ã

−1 2,

√3 2 , −, 5

! .

Note que: dado un ángulo trigonométrico (a, b, d, n) , su lado terminal determina un único punto del círculo trigonométrico, el punto (a, b) .

Ejemplo 11 . Halle el punto del círculo trigonométrico determinado por el ángulo trigonométrico de medida 120^◦.

Aquí se procederá de manera distinta al ejemplo anterior, utilizando las fun- ciones trigonométricas estudiadas previamente. El ángulo está representado por:

120°

A P(x,y)

c 1

d 60°

Q A P(x,y)

De la representación del ángulo se extrae el triángulo rectángulo 4AP Q, seguida- mente utilizando algunas de las razones trigonométricas estudiadas, se obtiene que:

sen 60^◦ = c

1 ⇒ c = sen 60^◦ =

√3 2 , cos 60^◦ = d

1 ⇒ d = cos 60^◦ = 1 2.

Ahora, note que: x es negativo, mientras que y es positivo, por lo tanto; x =

−d = −1

2, y = c =

√3

2 . Así el punto del círculo trigonométrico determinado por el ángulo de medida 120^◦ es P

Ã

−1 2,

√3 2

! .

Ejemplo 12 . Los ángulos trigonométricos de medida: 120^◦, −240^◦ y 480^◦ determinan el mismo punto en el círculo trigonométrico.

El siguiente teorema, señala que la fórmula de conversión entre grados y radianes se preserva.

Teorema 2. (Conversión entre grados y radianes)

Dado un ángulo trigonométrico (a, b, d, n), si su medida en grados es g^◦ y en radianes es x rad, entonces se tiene que:

g 180 = x

π. Prueba

Sea A el centro del sistema de coordenadas, B un punto en el eje X positivo, C un punto en el lado terminal del ángulo y D un punto en el eje X negativo. Veamos el caso en que: b ≥ 0 y n = 0.

C

D A B

Note que: si la medida en grados del ∠BAC es m^g∠BAC = h^◦, entonces su medida en radianes es hπ

180 rad, por lo tanto, si d = +, se tiene que:

g^◦= m (a, b, +, 0) = m_g∠BAC = h^◦, de donde g = h, entonces:

x rad = m (a, b, +, 0) = m_g∠BAC = hπ

180 rad = gπ 180 rad.

Así, se concluye que: g 180 = x

π si d = +. Por otro lado si d = −, entonces:

g^◦= m (a, b, −, 0) = m^g∠BAC − 2m^g∠BAC = (h − 360)^◦,

por lo tanto, g = h − 360, así x rad = m (a, b, −, 0) = m^g∠BAC − 2mg∠BAC de donde:

x rad = hπ

180− 2π rad = (h − 360) π

180 rad = gπ 180 rad..

Los otros casos quedan como ejercicio para el lector. ¥

Ejemplo 13. La medida en radianes de un ángulo cuya medida en grados es

−1836^◦, está dado por x rad, donde:

x = −1836 · π

180 = −51 5 π.

Observaciones. En las siguientes secciones, el lector debe tomar en cuenta que:

a) En adelante, se utilizarán solamente ángulos trigonométricos, por ello serán nombrados, en caso de no haber ambigüedad, simplemente como ángulos.

b) Los resultados y propiedades serán enunciados utilizando la medida de ángulos en ra- dianes, el lector se encargará de deducir la equivalencia de estos usando grados. Esto con el fin de no hacer "pesada" esta presentación.

3 Propiedades de la medida de un ángulo trigonométrico

Seguidamente, se presentan una serie de resultados referentes a la medida de un ángulo trigonométrico. Las demostraciones de algunas de dichas propiedades son sencillas, pero re- quieren el establecimiento de una serie de casos, dada la definición de ángulo trigonométrico.

Como el objetivo de esta sección es alimentar la intuición del lector sobre el ángulo trigonométrico y su medida, muchas de las demostraciones serán sustituidas por una justificación gráfica.

Definición 6. (Dirección opuesta)

Si d es la dirección de un ángulo, se define −d como la dirección opuesta a d, es decir;

−d =

½ − si d = + + si d = − .

Ejemplo 14. Determine la medida en radianes de los ángulos Ã1

2,

√3 2 , +, 0

! , Ã1

2,

√3 2 , −, 0

! y

Ã1 2, −

√3 2 , +, 0

! . Dibujemos cada uno de estos ángulos:

1 2, 3

( )

A

C

à B 1 2,

√3 2 , +, 0

! ^{A B}

C

Ã1 2,

√3 2 , −, 0

!

1 2, 3

(

)

C

A

D B

Ã1 2, −

√3 2 , +, 0

!

Utilizando el transportador se tiene que: m³

1 2,

√3 2 , +, 0´

= π

3 rad. El primer y segundo ángulo comparten el mismo lado terminal y tienen dirrección opuesta,

por lo tanto; difieren en una vuelta es decir:

m Ã1

2,

√3 2 , −, 0

!

= m Ã1

2,

√3 2 , +, 0

!

+ m (1, 0, −, 1)

= π

3 − 2π = −5π 3 rad.

En el caso del tercer ángulo, note que: C y D son simétricos con respecto a←→AB entonces ∠CAB ∼=∠DAB, por lo tanto; la suma de las medidas de los ángulos primero y tercero es una vuelta, o sea:

m Ã1

2, −

√3 2 , +, 0

!

= m (1, 0, +, 1) − m Ã1

2,

√3 2 , +, 0

!

= 2π −π 3 = 5π

3 rad.

El ejemplo anterior establece dos resultados que se enunciarán en el teorema siguiente.

Para facilitar la comprensión y simplificar la notación, se utilizará en los enunciados de los resultados de este apartado sólo la medida en radianes, el lector puede enunciar los resultados equivalentes a estos, en grados. Así, se establecerá la siguiente notación para la medida de una vuelta en radianes:

m (1, 0, d, 1) = 2πd =

½ 2π si d = +

−2π si d = − .

Teorema 3. Dado un ángulo (a, b, d, 0) de medida de θ, se tiene que:

1. (a, b, −d, 0) es un ángulo y además:

m (a, b, −d, 0) = θ − 2πd.

2. (a, −b, d, 0) es un ángulo y además:

m (a, −b, d, 0) = 2πd − θ.

Justificación. Note que:

a²+ (−b)² = a²+ b²= 1,

pues (a, b, d, 0) es un ángulo. Además, debido a la definición de −d, se tiene que: (a, b, −d, 0) , (a, −b, d, 0) , (−a, b, d, 0) son ángulos. A continuación, se halla la medida de cada uno de estos ángulos.

1. Los ángulos (a, b, −d, 0) y (a, b, d, 0) determina el mismo punto sobre la circunferencia trigonométrica, tienen dirección opuesta y realizan

0 vueltas. Una posible representación de estos ángulos en un mismo sistema es la siguiente:

(a,b)

a, b, -d, 0

( )

a, b, d, 0

( )

Note que: la medida de una vuelta en la dirección −d, y θ tienen signos opuestos. Por lo tanto; la medida de (a, b, −d, 0) es la suma de la medida de una vuelta en la dirección −d y θ.

2. Dado un sistema de coordenadas, los puntos (a, b) y (a, −b) son simétri- cos con respecto al eje X.

Q a,-b( ) P a,b( )

a, b, d, 0

( )

a, -b, d, 0

( )

O R

Entonces ∠POR ∼=∠QOR, por lo tanto:

m (a, −b, d, 0) = −m (a, b, −d, 0) y aplicando la parte 1 del teorema 3 se obtiene que:

m (a, −b, d, 0) = − [θ + −2πd] = −θ + 2πd. ¥

Ejemplo 15 . Como m Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 0

!

= 225^◦, aplicando el teorema anterior se tiene que:

m Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , −, 0

!

= (225 + −360)^◦ = −135^◦,

m Ã

−

√2 2 ,

√2 2 , +, 0

!

= (360 − 225)^◦ = 135^◦.

Ejemplo 16. Determine la medida en grados del ángulo Ã

−

√2 2 ,

√2 2 , −, 0

! .

Del ejemplo anterior se tiene que: m Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 0

!

= 225^◦, considere las siguientes representaciones de ángulos:

C

(

)

A D

³

−^√₂²,^√₂², −, 0´

E

(

)

C

A D

³

−^√₂²,^√₂², −, 0´

Note que: de acuerdo con los postulados de medida de ángulos se tiene que:

m Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 0

!

= 180^◦+ m∠DAC y

m Ã

−

√2 2 ,

√2 2 , −, 0

!

= −180^◦− m∠DAE.

Como los puntos ³

−

√2 2 , −

√2 2

´ y ³

−

√2 2 ,

√2 2

´

son simétricos con respecto al eje X entonces ∠DAC ∼=∠DAE, por lo tanto:

m Ã

−

√2 2 ,

√2 2 , −, 0

!

= −m Ã

−

√2 2 , −

√2 2 , +, 0

!

= −225^◦.

Los resultados anteriores nos permiten demostrar el siguiente teorema.

Teorema 4 . Dado un ángulo (a, b, d, 0) de medida de θ, se tiene que:

(a, −b, −d, 0) es un ángulo y además:

m (a, −b, −d, 0) = −θ.

Q a,-b( ) P a,b( )

a, b, d, 0

( )

a, -b, -d, 0

( )

O R

Prueba. Utilizando los resultados 1 y 2 del teorema anterior se tiene que:

m (a, −b, −d, 0) = m (a, −b, d, 0) + m (1, 0, −d, 1)

= m (1, 0, d, 1) − m (a, b, d, 0) + m (1, 0, −d, 1) Como m (1, 0, d, 1) = −m (1, 0, −d, 1) (¿por qué?) entonces:

m (a, −b, −d, 0) = −m (a, b, d, 0) . ¥ Ejemplo 17. Sea (a, b) una rotación. Si m (a, −b, +, 5) = 47π

4 rad, determine la medida del ángulo (a, b, −, 6) .

Se tiene por la propiedad sumativa que:

m (a, −b, +, 0) + m (1, 0, +, 5) = 47π 4 , entonces m (a, −b, +, 0) = 47π

4 − 5 · 2π = 7π

4 . Por lo tanto:

m (a, b, −, 6) = m (a, b, −, 0) + m (1, 0, −, 6) (propiedad sumativa)

= m (a, b, −, 0) − 12π

= m (a, −b, +, 0) − 12π (teorema 4)

= 7π

4 − 12π = −41π 4 .

Ejemplo 18. Dado el ángulo A (a, b, d, 0) de medida θ, encuentre un ángulo de medida π

2 − θ en términos de a, b y d.

Una manera de proceder para resolver el ejercicio es realizar casos sobre el valor de d y el cuandrante donde se halle el lado terminal del ángulo A. En total son ocho casos, sequidamente se realizarán algunos, los demás quedan como ejerccio.

Caso I. Si d = + y el lado terminal del ángulo A esta en el primer cuadrante.

Intutivamente, como el ángulo de medida θ tiene dirección positiva, el án- gulo de medida π

2 − θ es el resultante de formar un ángulo recto B con dirección positiva y luego formar un ángulo de medida −θ con lado inicial igual al lado terminal de B.

(a, b)

θ A

C

B

π/2-θ -θ

C

A B

D E

Note que: ∠CAB ∼=∠EAD, entonces: ∠EAC ∼=∠DAB, por lo tanto; C y D son simétricos con respecto a la identidad. Así las coordenadas de D son (b, a) y el ángulo de medida π

2− θ es (b, a, d, 0) . Verifiquemos formalmente que: m(b, a, d, 0) = π

2 − θ. Dado que C (a, b) y D (b, a) son simétricos con respecto a la identidad entonces: ∠EAD ∼=∠CAB (justifique), aplicando los postulados de la medida de ángulos se tiene que:

m (a, b, +, 0) = m∠CAB, m (b, a, +, 0) = m∠BAD = π

2 − m∠EAD y como ∠EAD ∼=∠CAB, entonces m (b, a, +, 0) =π

2 − m (a, b, +, 0) .

Otros casos. Intutivamente el lector puede obtener las siguientes representaciónes del ángulo de medida θ − π

2.

Recta Identidad

Q b,a( ) P a,b( )

π/2 -θ

θ O

R

d = + y (a, b) en el II cuadrante

Recta Identidad

Q b,a( ) P a,b( )

π/2 -θ θ

O R

d = − y (a, b) en el I cuadrante En la primera representación el ángulo de medida π

2 − θ es (b, a, −d, 0) y en la segunda representación es (b, a, −d, 1) .

El ejemplo anterior sugiere el siguiente resultado.

Teorema 5. Dado un ángulo (a, b, d, 0) de medida de θ, existe un ángulo de medida π

2 − θ, de la forma (b, a, e, v), con e ∈ {+, −} y v ∈ {0, 1} .

Justificación. Completando el ejemplo anterior se obtiene que el ángulo definido por:





(b, a, d, 0) si d = + y (a, b) está en el I cuadrante.

(b, a, −d, 1) si d = − y (a, b) está en el I cuadrante.

(b, a, −d, 0) en otro caso.

mide π

2 − θ. ¥

Ejemplo 19. Dados dos ángulos Ã√2

2 , −

√2 2 , +, 0

! y

Ã

−

√2 +√ 6

4 ,

√6 −√ 2 4 , +, 0

!

de medidas α = 315^◦ y β = 165^◦ respectivamente, halle un ángulo de medida α + β.

Dibujemos el ángulo de medida α seguido del ángulo de medida β tomando el lado terminal del primero como el lado inicial del segundo.

Q

P ²

2 , 2

(

)

α

β

O G

Note que: m∠QOG = 30^◦, por lo tanto, las coordenadas del punto Q son Ã

−1 2,

√3 2

!

. Así, el ángulo de medida α + β es Ã

−1 2,

√3 2 , +, 1

! .

Teorema 6 . Dados dos ángulos (a, b, d, 0) y (c, e, d, 0) de medidas α y β respectivamente, se tiene que:

α + β = m (ac − be, ae + bc, d, n) , donde n es cero o uno.

Justificación. Como; (ac − be)² + (ae + bc)² = ¡

a²+ b²¢ ¡

c²+ e²¢

= 1, se tiene que (ac − be, ae + bc, d, n) es un ángulo. Consideremos dos casos.

Caso I. Si α + β es mayor a la medida de una vuelta, es decir; |α + β| < 2π.

Dibujemos los ángulos (ac − be, ae + bc, d, n) y (a, b, d, 0) en un mismo sis- tema:

Q ac-be, ae+bc ( )

P a,b( )

α+θ α

O

Sea θ la medida del ángulo trigonométrico de lado inicial −−→OP y lado ter- minal −−→OQ. Entonces se tiene que:

m (ac − be, ae + bc, d, 0) = m (a, b, d, 0) + θ.

Se debe cumplir: θ = m (c, e, d, 0) . Considere un nuevo sistema de coorde- nadas de manera que −−→OP coincida con su eje X positivo. En este nuevo sistema las coordenadas de P son (1, 0) , es decir; a toma el valor de 1 y b el valor de 0, así, las coordenadas del punto Q son: (1 · c − 0 · e, 1 · e + 0 · c) = (c, e) .

Q c,e( )

P 1,0( ) c, e, d, 0

( )

O

Por lo tanto; θ = m (c, e, d, 0) . Así se tiene que si |α + β| < 2π, entonces:

m (ac − be, ae + bc, d, 0) = m (a, b, d, 0) + m (c, e, d, 0) . Caso II. Si |α + β| ≥ 2π.

Similar al caso anterior se obtiene que:

m (ac − be, ae + bc, d, 1) = m (a, b, d, 0) + m (c, e, d, 0) . Se deja como ejercicio, la justificación de este caso.

Ejemplo 20. Determine el valor de x = m Ã1

2,

√3 2 , +, 2

! +m

Ã

−

√3 2 , −1

2, −, 3

! . Se tiene que:

x = m Ã1

2,

√3 2 , +, 0

! + m

Ã

−

√3 2 , −1

2, −, 0

!

− 2π (propiedad sumativa)

= m Ã1

2,

√3 2 , +, 0

! + m

Ã

−

√3 2 , −1

2, +, 0

!

− 4π (teorema 3)

= m (0, −1, +, n) − 4π (teorema 6)

Donde n es cero o uno, como el punto Ã1

2,

√3 2

!

se encuentra en el primer cuadrante y el punto (0, −1) en el eje Y negativo entonces: m (0, −1, +, n) >

m Ã1

2,

√3 2 , +, 0

!

> 0, por lo tanto; n = 0, así se concluye que:

x = m (0, −1, +, 0) − 4π = 3π

2 − 4π = −5π 2 .

Utilice el applet : "Ángulo trigonométrico", para determinar el ángulo trigonométrico a partir de su medida.

Bibliografía

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