• No se han encontrado resultados

UNIDAD III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, No-Lineales y Valores Característicos

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "UNIDAD III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, No-Lineales y Valores Característicos"

Copied!
64
0
0

Texto completo

(1)

UNIDAD III

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales, No-Lineales y Valores

Característicos

(2)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Forma General

a – Coeficientes (Constantes)

b – Términos Independientes (Constantes) n – Número de Ecuaciones

Los sistemas de dos y tres ecuaciones se pueden

resolver manualmente en la mayoría de los casos, los sistemas de cuatro o más ecuaciones requieren el uso de métodos numéricos.

n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

(3)

Notación Matricial

 

 

3 33 32

31

2 23 22

21

1 13 12

11

2 1

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

b a

a a

b a

a a

b a

a a

A

x x

x X

b b

b B

a a

a

a a

a

a a

a A

n T

n T

nn n

n

n n

Matriz de Coeficientes

Vector de Términos Independientes Vector de Variables Incógnitas

Matriz Aumentada de A con B

Los métodos de esta unidad están dedicados a la búsqueda de una solución X al sistema de ecuaciones A·X=B, de manera que X=A-1 ·B.

(4)

Regla de Cramer

• Para sistemas pequeños de dos ecuaciones se puede usar un método gráfico, o resolverse manualmente por sustitución de incógnitas, también se puede usar la

Regla de Cramer.

• La Regla de Cramer establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como una fracción de dos determinantes.

• El denominador D es el determinante de la matriz de coeficientes.

• El numerador se obtiene a partir de D al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes de los términos independientes.

D a a

b

a a

b

a a

b

x 3 32 33

23 22

2

13 12

1

1

D a b a

a b a

a b a

x 31 3 33

23 2

21

13 1

11

2

D

b a

a

b a

a

b a

a

x 31 32 3

2 22 21

1 12 11

3

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a D

(5)

Ejemplo: Regla de Cramer

Utilice la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

44 . 0 5

. 0 3

. 0 1

. 0

67 . 0 9

. 1 5

. 0

01 . 0 52

. 0 3

. 0

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

0022 .

0 5

. 0 3

. 0 1

. 0

9 . 1 1

5 . 0

1 52

. 0 3 . 0

D

9 . 0022 14

. 0

5 . 0 3

. 0 44

. 0

9 . 1 1

67 . 0

1 52

. 0 01 . 0

1

x

5 . 0022 29

. 0

5 . 0 44 . 0 1

. 0

9 . 1 67

. 0 5

. 0

1 01

. 0 3

. 0

2

x 19.8

0022 .

0

44 . 0 3

. 0 1

. 0

67 . 0 1

5 . 0

01 . 0 52

. 0 3 . 0

3

x

Para n>3 la Regla de Cramer resulta ineficiente, ya que el cálculo del determinante cada vez es más complicado.

(6)

Eliminación de Incógnitas

• La eliminación de incógnitas mediante la combinación ecuaciones se ilustra con el siguiente ejemplo:

• La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuaciones por constantes de tal forma que se elimine una de las

incógnitas cuando se combinan dos de las ecuaciones.

• El resultado es una sola ecuación en la que se puede despejar la incógnita restante.

• Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable.

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

b x

a x

a

b x

a x

a

(7)

Eliminación de Incógnitas

• Iniciamos multiplicando la primera ecuación por a21 y la segunda por a11

• Se restan estas dos ecuaciones para eliminar x1

• Se despeja x2

• Se sustituye x2 en la primera ecuación y se despeja x1

11 2 2

11 22 1

11 21

21 1 2

21 12 1

21 11

a b x

a a x

a a

a b x

a a x

a a

11 2 21

1 2

11 22 2

21

12a x a a x b a b a

a

11 22 21

12

11 2 21

1

2 a a a a

a b a

x b

11 22 21

12

22 1 12

2

1 a a a a

a b a

x b

(8)

Eliminación de Incógnitas

• Las expresiones para x1 y x2 obtenidas se relacionan directamente con la regla de Cramer, que establece

21 12 22

11

2 12 22

1

22 21

12 11

22 2

12 1

1 a a a a

b a a

b a

a

a a

a b

a b

x

21 12 22

11

21 1 2

11

22 21

12 11

2 21

1 11

2 a a a a

a b b

a a

a

a a

b a

b a

x

(9)

Eliminación Gaussiana

• Se utilizan dos pasos:

1. Eliminación de incógnitas hacia adelante 2. Sustitución hacia atrás

• En forma de algoritmo para resolver grandes sistemas de ecuaciones.

• El método esta ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones.

n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

(10)

1.- Eliminación de Incógnitas Hacia Adelante

• La primera fase consiste en reducir el sistema de ecuaciones a un sistema triangular superior.

• El paso inicial será reducir la primera incógnita desde la segunda hasta la n-ésima ecuación, para esto se multiplica la primera ecuación por a21/ a11 para

obtener

• Ahora esta ecuación se resta a la segunda ecuación del sistema

1 11

21 1

11 21 2

12 11

21 1

21 b

a x a

a a x a

a a x a

a n n

1 11 21 2

1 11 21 2

2 12

11 21

22 b

a b a

x a a

a a x

a a

a a n n  n







(11)

1.- Eliminación de Incógnitas Hacia Adelante

• Esta última ecuación se escribe como

• El apóstrofe significa que el coeficiente original fue modificado.

• El procedimiento se repite con las ecuaciones restantes para construir el sistema

' '

' 2 2 2

22 x a x b

a n n

' '

' '

' '

' '

' '

' '

3 3 2

2

3 2

3 33 2

32

2 2

3 23 2

22

1 1

3 13 2

12 1

11

n n

nn n

n

n n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

(12)

1.- Eliminación de Incógnitas Hacia Adelante

• En todos los pasos anteriores, a la primera ecuación que no se modifica se le llama “ecuación pivote” y al coeficiente a11 se le llama “elemento pivote”.

• El procedimiento se repite para eliminar la segunda incógnita de la tercera hasta la n-ésima ecuación, para realizar esto se multiplica la segunda ecuación por a32’/ a22’ y se resta de la tercera ecuación.

• Se realiza la eliminación en forma similar a las ecuaciones restantes para obtener el siguiente

sistema donde el superíndice bi-prima significa que el coeficiente original se ha modificado dos veces.

(13)

1.- Eliminación de Incógnitas Hacia Adelante

• El procedimiento continúa utilizando las ecuaciones pivote restantes.

• La última manipulación en esta secuencia es el uso de la (n-1)-ésima ecuación para eliminar el término xn-1 de la n-ésima ecuación.

'' ''

''

'' ''

''

' '

' '

3 3

3 2

3 33

2 2

3 23 2

22

1 1

3 13 2

12 1

11

n n

nn n

n n

n n

n n

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

(14)

1.- Eliminación de Incógnitas Hacia Adelante

• Así el sistema se habrá transformado en un sistema triangular superior

• El determinante del sistema se puede calcular

multiplicando los elementos de la diagonal principal del sistema triangular superior.

p es el número de veces en que los renglones se pivotean

) 1 ( )

1 (

3 2

3 33

2 2

3 23 2

22

1 1

3 13 2

12 1

11

'' ''

''

' '

' '

n n n

n nn

n n

n n

n n

b x

a

b x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

n p

ann

a a

a

D 11 22' 33'' ( 1) (1)

(15)

Pseudocódigo para la

Eliminación Hacia Adelante

• El ciclo externo (k) mueve el renglón pivote hacia debajo de la matriz.

• El siguiente ciclo (i) mueve hacia abajo el renglón

pivote a cada renglón

subsecuente donde se lleva a cabo la eliminación.

• El ciclo mas interno (j) avanza a través de las

columnas para eliminar o transformar los elementos del renglón determinado.

1. for k=1 hasta n-1 2. for i=k+1 hasta n

3. factor=a(i,k)/a(k,k) 4. for j=1 hasta n

5. a(i,j)=a(i,j)-factor*a(k,j) 6. termina for j

7. b(i)=b(i)-factor*b(k) 8. termina for i

9. termina for k

(16)

2.- Sustitución Hacia Atrás

• De la última ecuación de la matriz diagonal superior se calcula xn

• Este resultado se puede sustituir hacia atrás en la (n-1)-ésima ecuación y despejar xn-1.

• El procedimiento para evaluar las variables restantes se resume en la siguiente fórmula

) 1 (

) 1 (

n

nn n n

n a

x b

) 1 (

1

) 1 ( )

1 (

i

ii n

i i

j i

ij i

i

i a

x a

b x

(17)

Pseudocódigo para la Sustitución Hacia Atrás

1. x(n)=b(n)/a(n,n) 2. for i=n-1 hasta 1 3. suma=0

4. for j=i+1 hasta n

5. suma=suma+a(i,j)*x(j) 6. termina for j

7. x(i)=(b(i)-suma)/a(i,i) 8. termina for i

(18)

Ejemplo: Eliminación Gaussiana

• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación

Gaussiana.

• Efectuar los cálculos con seis cifras significativas.

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

(19)

Dificultades del los Métodos de Eliminación

• División entre cero.- Cuando el primer elemento (x1) de la primera ecuación del sistema no esta presente (a11 =0), entonces en la normalización del primer renglón habrá una división entre cero.

• Errores de redondeo.- Se produce por el uso limitado de cifras significativas. Para cuantificar los posibles errores se deben sustituir los valores calculados en las ecuaciones del sistema para

verificar los resultados.

• Sistemas mal condicionados.- Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes

cambios en la solución.

(20)

Dificultades del los Métodos de Eliminación

• Sistemas Singulares.- Cuando dos de las ecuaciones son idénticas, el sistema no tiene solución ya que n cambia a n-1 y tenemos mas incógnitas que

ecuaciones. Estos casos no son tan obvios en sistemas muy grandes.

• El determinante de un sistema singular es cero.

(21)

Sistemas Mal Condicionados

• Un sistema mal condicionado es el siguiente

donde las pendientes son tan cercanas que no es posible determinar la solución.

(22)

Sistemas Mal Condicionados

• Un sistema mal condicionado es aquel en el que el determinante es cercano a cero.

• Es difícil determinar que tan cercano a cero debe ser el determinante para decidir si un sistema es mal condicionado.

• Esto se complica porque el determinante puede cambiar al multiplicar una o más de las

ecuaciones por factor de escalamiento, por lo tanto, el determinante es un factor relativo

influenciado por la magnitud de los coeficientes.

(23)

Sistemas Singulares

• En el primer caso como las líneas no se cruzan no existe solución.

• En el segundo caso las líneas son iguales por lo que existe un número infinito de soluciones

(24)

Técnicas para Mejorar las Soluciones de los Métodos de Eliminación

• Uso de más cifras significativas.

• Pivoteo parcial.- Se determina el elemento más grande disponible en la columna por

debajo del elemento pivote. Se intercambian los renglones para que el elemento más

grande sea el pivote.

• Escalamiento.- Se escalan las ecuaciones en forma tal que el elemento máximo en

cualquier renglón igual a 1.

(25)

Pseudocódigo para Implementar el Pivoteo Parcial

1. p=k

2. mayor=|a(k,k)|

3. for i=k+1 hasta n 4. temp=|a(i,k)|

5. if temp>mayor 6. mayor=temp 7. p=i

8. termina if 9. termina for i

10.if p≠k

11. for j=k hasta n 12. temp=a(p,j) 13. a(p,j)=a(k,j) 14. a(k,j)=temp 15. termina for j 16. temp=b(p) 17. b(p)=b(k) 18. b(k)=temp 19.termina if

En este pseudocódigo los renglones se intercambian, esto es tardado, una implementación eficiente solo lleva un control por separado de cual es elemento pivote sin cambiar los renglones.

(26)

Algoritmo del Método de Eliminación Gaussiana

1. n=no. de renglones de a 2. for i=1 hasta n

3. s(i)=|a(i,1)|

4. for j=2 hasta n 5. if |a(i,j)|>s(i) 6. s(i)=|a(i,j)|

7. termina if 8. termina for j 9. termina for i

10.a,b,er= Eliminacion(a,b,s,n,tol) 11.if er==0

12. x=Sustitucion(a,b,n) 13.termina if

Los parámetros de entrada para el Método de

Eliminación Gaussiana son:

a – Matriz de Coeficientes b – Vector de Términos Independientes

tol – Valor de tolerancia mínimo para los

elementos pivote

(27)

Rutina de Eliminación Modificada

1. error=0

2. for k=1 hasta n-1

3. a,b,s=Pivoteo(a,b,s,n,k) 4. if |a(k,k)/s(k)|<tol

5. error=1

6. sale de la rutina 7. termina if

8. for i=k+1 hasta n

9. factor=a(i,k)/a(k,k) 10. for j=1 hasta n

11. a(i,j)=a(i,j)-factor*a(k,j) 12. termina for j

13. b(i)=b(i)-factor*b(k) 14. termina for i

15. termina for k

Esta rutina recibe como entradas: a (matriz de

coeficientes), b (vector de términos independientes), s (vector de escalamiento), n (número de ecuaciones) y tol (valor de tolerancia) y regresa como resultado la matriz a y el vector b modificados.

(28)

Rutina de Pivoteo Parcial Modificada

1. p=k

2. mayor=|a(k,k)/s(k)|

3. for i=k+1 hasta n 4. temp=|a(i,k)/s(i)|

5. if temp>mayor 6. mayor=temp 7. p=i

8. termina if 9. termina for i

10.if p≠k

11. for j=k hasta n 12. temp=a(p,j) 13. a(p,j)=a(k,j) 14. a(k,j)=temp 15. termina for j 16. temp=b(p) 17. b(p)=b(k) 18. b(k)=temp 19. temp=s(p) 20. s(p)=s(k) 21. s(k)=temp 22.termina if

Esta rutina recibe como entradas: la matriz a, el vector b, el vector s, n y k; y regresa la matriz a y los vectores b y s modificados.

(29)

Rutina para la Sustitución Hacia Atrás

1. x(n)=b(n)/a(n,n) 2. for i=n-1 hasta 1 3. suma=0

4. for j=i+1 hasta n

5. suma=suma+a(i,j)*x(j) 6. termina for j

7. x(i)=(b(i)-suma)/a(i,i) 8. termina for i

Esta rutina recibe como entradas: la matriz a

modificada en forma de matriz triangular superior, el vector b modificado y n (número de ecuaciones); y regresa el resultado final en el vector x (solución del

sistema de ecuaciones)

(30)

Método de Gauss-Jordan

• La principal diferencia con la Eliminación Gaussiana consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las ecuaciones, no solo de las subsecuentes.

• Todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote.

• El paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular superior.

• En consecuencia, ya no es necesaria la sustitución hacia atrás.

) ( 3

) ( 2

) ( 1

3 2

1

) ( 3

) ( 2

) ( 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

| 1 0

0

| 0 1

0

| 0 0

1

|

|

|

n n n

n n n

b b b

x x

x

b b b

b a

a a

b a

a a

b a

a a

(31)

Ejemplo: Método de Gauss-Jordan

• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan.

• Efectuar los cálculos con seis cifras significativas.

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

(32)

Algoritmo del

Método de Gauss-Jordan

• Del algoritmo de eliminación gaussiana se

elimina la rutina de sustitución hacia atrás y se modifica la rutina de eliminación para generar la matriz identidad.

• Se sigue utilizando la rutina de pivoteo y las pruebas al elemento pivote para verificar que sea mayor al valor de tolerancia.

(33)

Rutina de Eliminación Modificada para el Método de Gauss-Jordan

1. for k=1 hasta n 2. if k<n

3. a,b,s=Pivoteo(a,b,s,n,k) 4. termina if

5. if |a(k,k)/s(k)|<tol 6. error=1

7. sale de la rutina 8. termina if

9. factor=a(k,k) 10. for i=1 hasta n

11. a(k,i)=a(k,i)/factor 12. termina for i

13. b(k)=b(k)/factor

14. for i=1 hasta n 15. if i ≠ k

16. factor=a(i,k)/a(k,k) 17. for j=1 hasta n

18. a(i,j)=a(i,j)-factor*a(k,j) 19. termina for j

20. b(i)=b(i)-factor*b(k) 21. termina if

22. termina for i 23. termina for k 24. x=b

(34)

Método de Gauss-Seidel

• Este es un método iterativo a diferencia de los de eliminación.

• Suponga que se tiene el sistema de n ecuaciones A·x=b.

• Si n=3 y ningún elemento de la diagonal principal es cero, entonces se resuelve la primera ecuación para x1, la segunda ecuación para x2, y la tercera para x3, para obtener

11

3 13 2

12 1

1 a

x a x

a

x b

22

3 23 1

21 2

2 a

x a x

a

x b

33

2 32 1

31 3

3 a

x a x

a

x b

(35)

Método de Gauss-Seidel

• Se inicia el proceso de solución seleccionando

valores iniciales para x1, x2, y x3, generalmente se inicia con ceros.

• Se sustituyen en la ecuación de x1, de manera que x1=b1/a11.

• Después se sustituyen el valor obtenido de x1 y x3=0 en la ecuación de x2.

• Luego se sustituyen los valores calculados de x1 y x2 en la ecuación de x3 para así tener los tres

nuevos valores de las variables.

(36)

Método de Gauss-Seidel

• Después se regresa a la primera ecuación y se repite todo el procedimiento hasta que la

solución converja a los valores verdaderos.

• La convergencia se verifica mediante el error aproximado

para todas las i (variables), donde j y j-1 son la iteración actual y previa, respectivamente.

j s i

j i j

i i

a x

x

x

% 100

1 ,

(37)

Ejemplo: Método de Gauss-Seidel

• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Seidel.

• Efectuar los cálculos con siete cifras significativas.

4 . 71 10

2 . 0 3

. 0

3 . 19 3

. 0 7

1 . 0

85 . 7 2

. 0 1

. 0 3

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

(38)

Criterio de Convergencia para el Método de Gauss-Seidel

• Para asegurar la convergencia se debe cumplir la siguiente regla

• El método puede funcionar, aún cuando no se satisfaga la regla.

• A los sistemas que cumplen la regla se les conoce como “diagonalmente dominantes”.

• Muchos problemas comunes satisfacen esta regla.

n

i j j

j i i

i a

a

1

, ,

(39)

Mejoramiento de la Convergencia Usando Relajación

• La relajación representa una ligera modificación al Método de Gauss-Seidel que permite mejorar la convergencia.

• Después de que se calcula cada nuevo valor de xi, ese valor se modifica mediante un promedio

ponderado de los resultados de las iteraciones anterior y actual, por medio de

donde λ es un factor ponderado que tiene valor entre 0 y 2.

anterior i

nuevo i

nuevo

i x x

x (1)

(40)

Mejoramiento de la Convergencia Usando Relajación

• Si λ=1 no se modifica el valor de xi.

• Si λ<1 se obtiene un promedio ponderado entre el valor anterior y el actual, a esto se le llama

“subrelajación”, y se utiliza para buscar la

convergencia de un sistema no-convergente.

• Si λ>1 se le da una ponderación extra al valor actual, a esto se le llama “sobrerelajación”, y se usa para acelerar la convergencia de un sistema convergente.

(41)

Algoritmo del Método de Gauss-Seidel con Relajación

Este algoritmo no garantiza la convergencia si las ecuaciones no se introducen en una forma diagonalmente dominante.

1. n=no. de ecuaciones 2. x(n)=0

3. for i=1 hasta n 4. temp=a(i,i) 5. if temp==0

6. return(error) 7. termina if

8. for j=1 hasta n

9. a(i,j)=a(i,j)/temp 10. termina for j

11. b(i)=b(i)/temp 12.termina for i

13. for i=1 hasta n 14. suma=b(i)

15. for j=1 hasta n 16. if i ≠ j

17. suma=suma-a(i,j)*x(j) 18. termina if

19. termina for j 20. x(i)=suma 21. termina for i

(42)

Algoritmo del Método de Gauss-Seidel con Relajación

22. iteracion=2

23. while (iteracion<=imax ) 24. flag=0

25. for i=1 hasta n 26. ant=x(i)

27. suma=b(i)

28. for j=1 hasta n 29. if i ≠ j

30. suma=suma-a(i,j)*x(j) 31. termina if

32. termina for j

33. x(i)=λ*suma+(1- λ)*ant

34. if flag=0 y x(i) ≠0

35. ea=|x(i)-ant/x(i)|*100 36. if ea>es

37. flag=1 38. termina if 39. termina if 40. termina for i

41. iteracion=iteracion+1 42. if flag ==0

43. sale del ciclo while 44. termina if

45. termina while

(43)

Método de Jacobi

• Es similar al Método de Gauss-Seidel pues se despeja una de las variables en cada ecuación.

• La diferencia está en que en el Método de Jacobi se calculan los valores de todas las incógnitas con lo valores anteriores.

• Solo hasta la siguiente iteración se usarán los nuevos valores.

(44)

Método de Newton-Raphson para Sistema No-Lineales

• La fórmula de Newton-Raphson para una sola ecuación:

• Para múltiples ecuaciones se obtiene en forma idéntica . Sin embargo, se debe usar una Serie de Taylor de múltiples variables para tomar en

cuenta que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz.

) ( '

) (

1

i i i

i f x

x x f

x

(45)

Método de Newton-Raphson para Sistema No-Lineales

• Usando una Serie de Taylor de primer orden para dos variables se obtiene:

• Las raíces que se buscan son x y y por lo que las ecuaciones se igualan a cero, es decir,

ui+1=0 y vi+1=0.

y y v

x y x v

x v

v

y y u

x y x u

x u

u

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

) (

) (

) (

) (

1 1

1

1 1

1

(46)

Método de Newton-Raphson para Sistema No-Lineales

• Se reordena el sistema y se obtiene:

• Todos los valores con subíndice i son

conocidos, obtenidos en la última iteración, las únicas incógnitas son xi+1 y yi+1 .

y y v

x x v

v y y

x v x v

y y u

x x u

u y y

x u x u

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i

i

1 1

1 1

(47)

Versión para dos ecuaciones del Método de Newton-Raphson

• Por lo tanto, se tiene un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que se puede resolver por factorización.

x v y

u y

v x

u

x u v

x v u

y y

x v y

u y

v x

u

y v u

y u v

x x

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

1

1 Al determinante de

estas ecuaciones se le llama “determinante jacobiano” del sistema.

Referencias

Documento similar

Por lo tanto, en base a su perfil de eficacia y seguridad, ofatumumab debe considerarse una alternativa de tratamiento para pacientes con EMRR o EMSP con enfermedad activa

The part I assessment is coordinated involving all MSCs and led by the RMS who prepares a draft assessment report, sends the request for information (RFI) with considerations,

o Si dispone en su establecimiento de alguna silla de ruedas Jazz S50 o 708D cuyo nº de serie figura en el anexo 1 de esta nota informativa, consulte la nota de aviso de la

Ciaurriz quien, durante su primer arlo de estancia en Loyola 40 , catalogó sus fondos siguiendo la división previa a la que nos hemos referido; y si esta labor fue de

Cuenta también con un programa de derechos humanos y D IH. A su vez tiene como propósito para el 2005 la realización de una Constituyente rural campesina, que posibilite el

Luego se abre la ventana gráfica f2 y sobre ella se grafica la función w de color negro, con el comando hold on se pega sobre este gráfico la otra función y de color rojo, con

Pliegue asimétrico mostrando una pizarrosidad de plano axial (martillo) en las pizarras del volcanismo ácido inicial del anticlinorio de Coto Vicario.. El martillo muestra la

b) El Tribunal Constitucional se encuadra dentro de una organiza- ción jurídico constitucional que asume la supremacía de los dere- chos fundamentales y que reconoce la separación