1. Sean el campo posición r(x, y, z) = (x, y, z) y el campo eléctrico E r

1. Sean el campo posición r(x, y, z) = (x, y, z) y el campo eléctrico E r

r

= ε Q

producido por una carga Q localizada en el origen, con ε constante.

a. Demuestre que (3 puntos)

3

( )  1 

∇ • + ∇ × + ∇     = −

  E r E r

r r

.

b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E? (1 punto)

2. Calcule el área de la cerca de la figura, que tiene por base la curva en coordenadas polares de ecuación r = + 1 cos( ) θ ^{, 0} ≤ θ ≤ π ² y limita superiormente por la superficie de ecuación z = x

+ y

. (4 puntos)

3. Un alambre homogéneo tiene la forma de una curva C parametrizada por r(t) = (cos(t) + t.sen(t), sen(t) − t.cos(t)) ^{, 0} ≤ ≤ π ^{t 2} . Halle para el alambre:

a. Las coordenadas de su centro de masa. (3 puntos) b. Su momento de inercia polar. (1 punto)

4. Sean

••••

C una curva suave en el plano xy parametrizada por la función vectorial r(t) , donde t ∈   a,b   , con r '(t) = 1 .

••••

F un campo vectorial definido y continuo en C tal que F r ( (t)) = r '(t) .

••••

G tal que G r ( (t)) = r ''(t) , r (x, y, z) = (x, y, z) y T(x,y) con T = 1 .

a. Pruebe que

C

d b a

• = −

∫ ^{F r} . (1 punto) b. ¿Qué calcula la integral

C

• d

∫ ^{T r} ? (1 punto) c. Calcule

C

• d

∫ ^{G r} . (1 punto) d. ¿Existe algún campo vectorial H con rot( ) H = r ? Justifique. (1 punto)

5. Sea el campo de velocidades de un fluido

= + + + − − +

F(x, y, z) (ye^xycos(z) y z^{2 2} cos(x) cos(y), xe^xycos(z) 2xyz² sen(x)sen(y), e sen(z)^xy 2xy z)²

. a. Pruebe que F es conservativo. (2 puntos) b. Calcule el flujo a lo largo de una curva C que una los puntos

A(0, , 0)

y

π π

2 4

B( , 0, ) . (2 puntos)

PREGUNTA 1. (4 puntos)

Sean el campo posición r(x, y, z)=(x, y, z) y el campo eléctrico

= ε r E

r³ Q

producido por una carga Q localizada en el origen, donde ε es una constante.

a. Demuestre que

3

( )  1 

∇ • + ∇ × + ∇ = −

  E r E r

r r

.

SOLUCIÓN. (3 puntos)

3 3

2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2

2 2 2 3 /2 2 2 2

( ) (div( )) div Q Q

x y z

Q , , , ,

x y z (x y z ) (x y z ) (x y z )

x y

Q x (x y z ) y (x y z )

   

   

∇ • = = ε  = ε ∇ • 

   

∂ ∂ ∂   

  

= ε ∂ ∂ ∂  • − + + − + + − + + 

 

∂   ∂

= ε −∂  + + −∂ + +

r r

E r E r r r

r r

r

3 /2 2 2 2 3 /2

2 2 2 1/2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

2 2 2

z

z (x y z )

(x y z ) (2x y z ) (x y z ) ( x 2y z ) (x y z ) ( x y 2z )

Q

(x y z ) (x y z ) (x y z )

(x y z )

Q

   ∂  

  −  

   ∂  + + 

 

 + + − − + + − + − + + − − + 

 

= ε  + + + + + + + + 

+ +

= ε

r

r

1/2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2

2 2 2 3 2 2 2 3

(2x y z x 2y z x y 2z ) (x y z ) .0

Q

(x y z ) (x y z )

 − − − + − − − +   + + 

  = ε   =

 + +   + + 

   

r r 0

3 3 3

Q Q (z) (y) (x) (z) (y) (x)

rot( ) rot Q rot( ) , ,

y z z x x y

 

 

ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

∇ × = = ε = =  ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ =

 

E E r r 0

r r r

−

− − −

− − −

 

 

 

∇ = ∇ + + = ∇ + +

∂ + + ∂ + + ∂ + + 

= ∂ ∂ ∂ 

 + + + + + + 

= − − − 

 

r

2 2 2 1/2

2 2 2

2 2 2 1/2 2 2 2 1/2 2 2 2 1/2

2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2

1 1

((x y z ) )

x y z

((x y z ) ) ((x y z ) ) ((x y z ) )

, ,

x y z

2x(x y z ) 2y(x y z ) 2z(x y z )

, ,

2 2 2

 

= − + + − + + − + + = −

r

2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2 2 2 2 3 /2 r3

x y z

, ,

(x y z ) (x y z ) (x y z )

b. ¿Qué características posee el campo eléctrico E?

SOLUCIÓN. (1 punto) El campo eléctrico E es irrotacional y solenoidal.

PREGUNTA 2. (4 puntos)

Encuentre el área de la cerca indicada en la figura 1, que tiene por base la curva en coordenadas polares de ecuación r = +1 cos( ) , donde θ 0≤ θ ≤ π2 y se encuentra limitada superiormente por la superficie de ecuación z= x² +y² .

Figura 1. Representación gráfica de la región de la pregunta 2

SOLUCIÓN.

Paso 1. Parametrización de la curva C.

r( )θ =((1+cos( )) cos( ),(1θ θ +cos( ))sen( ))θ θ , 0≤ θ ≤ π2

Paso 2. Cálculo de la norma del vector derivada. (1 punto) r'

2 2 2 2

2 3

2

( ) (1 cos( )) ( sen( )) 1 2 cos( ) cos ( ) sen ( ) 2 2 cos( ) 2 1 sen ( ) cos( ) cos ( ) 2 1 cos( ) 2 cos( )^θ

θ = + θ + − θ = + θ + θ + θ = + θ

= + θ θ + θ = + θ =

Paso 3. Dependencia de la superficie del parámetro de integración. (1 punto)

= ²+ ² = + θ ^{2 2} θ + + θ ^{2 2} θ = + θ = ² θ₂

z x y (1 cos( )) cos ( ) (1 cos( )) sen ( ) 1 cos( ) 2 cos ( )

Paso 4. Cálculo del área de la cerca. (2 puntos)

2 2

2 3 3

2 2 2 2

C 0 0

3 32

1 1

2 3 2 0 3 3

A f(x, y)ds 4 cos ( ) cos( ) d 4 cos ( )d cos ( )d

16 (sen( ) sen ( )) 16.(1 ) .

π π π

θ θ θ θ

π

θ θ π

 

 

= = θ =  θ − θ

 

= − = − =

∫ ∫ ∫ ∫

PREGUNTA 3. (4 puntos)

Un alambre homogéneo tiene la forma de una curva C cuya ecuación vectorial viene dada por

= + −

r(t) (cos(t) t.sen(t), sen(t) t.cos(t)) con 0≤ ≤ πt 2 . Encuentre para el alambre:

a. Las coordenadas de su centro de masa.

SOLUCIÓN.

Paso 1. Cálculo del vector derivada y de su norma.

= ⇒ =

r'(t) (t.cos(t), t.sen(t)) r'(t) t

Paso 2. Cálculo de la masa del alambre. (1 punto)

π π π

=

∫

∫

∫

m f(x, y)ds k (t) dt k tdt k 2k

2

Paso 3. Cálculo de los momentos. (2 puntos) r'

2 2

y

C 0 0

M x.f(x, y)ds k x(t) (t) dt k (cos(t) t.sen(t))tdt

π π

=

∫

∫

∫

2 2

2 2 2

0

0 0

2 2 2 2

0

k (t.cos(t) t .sen(t)dt kt .cos(t) 3k t.cos(t)dt k( t .cos(t) 3t.sen(t) 3 cos(t)) k( 4 3 3) 4k

π π

π

π

= + = − +

= − + − = − π − + = − π

∫ ∫

r'

2 2

x

C 0 0

2 2

2 2 2

0

0 0

2 2

0

M y.f(x, y)ds k y(t) (t) dt k (sen(t) t.cos(t))tdt

k (t.sen(t) t .cos(t)dt kt .sen(t) k t.sen(t)dt

k(t .sen(t) t.cos(t) sen(t)) 6k

π π

π π

π

π

= = = −

= − = −

= + − = − π

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Paso 4. Cálculo del centro de masa del alambre.

My Mx 4k2 2k 3

m m 2k2 2k2

Centro de masa (x, y) ( , ) ( ^π , ^π) ( 2, _π)

π π

= = = − = − −

b. Su momento de inercia polar.

SOLUCIÓN. (1 punto) r'

2 2

2 2 2 2 2

0

C 0 0

2 2

2 4 2 4

3 2 2

0 0

I (x y ).f(x, y)ds k ((x(t)) (y(t)) ) (t) dt k (1 t )tdt

t t 4 16

k (t t )dt k k k (2 4 )

2 4 2 4

π π

π π

= + = + = +

   π π 

= + =  +  =  + = π + π

   

∫ ∫ ∫

∫

PREGUNTA 4. (4 puntos)

Sean C una curva suave en el plano xy parametrizada por la función vectorial r(t) , donde t∈a,b^{, con} r'(t) =1, F un campo vectorial definido y continuo en C tal que F r( (t))₌r'(t) y los campos vectoriales G tal que G r( (t))=r''(t), r(x, y, z)=(x, y, z) y T(x,y) con T =1.

a. Pruebe que

C

d b a

• = −

∫

SOLUCIÓN. (1 punto)

b b b b

C1 a a a a

d ( (t)) (t)dt (t) (t)dt (t) dt dt b a

• = • = • = = = −

∫

∫

∫

∫

∫

b. ¿Qué calcula la integral

C

•d

∫

SOLUCIÓN. (1 punto)

C C C

d ds ds

• = =

∫

∫

∫

La integral anterior calcula la longitud de arco de la curva C.

c. Calcule

C

•d

∫

^.

SOLUCIÓN. (1 punto)

C C C

d ( (t)) '(t)dt ''(t) '(t)dt 0

• = • = • =

∫

∫

∫

Como r'(t) =cons tan te, entonces los vectores r'(t) y r''(t) son ortogonales.

d. ¿Existe algún campo vectorial H tal que rot( )H =r?

SOLUCIÓN. (1 punto) (x) (y) (z)

div( ) 3 0

x y z

∂ ∂ ∂

= + + = ≠

∂ ∂ ∂

r .

Como div( )r ≠0, entonces r no puede ser el rotacional de ningún campo vectorial.

PREGUNTA 5. (4 puntos)

Sea el campo de velocidades de un fluido

= + + + − − +

F(x, y, z) (ye^xycos(z) y z^{2 2} cos(x) cos(y), xe^xycos(z) 2xyz² sen(x)sen(y), e sen(z)^xy 2xy z)² . a. Pruebe que F es conservativo.

SOLUCIÓN. (2 puntos)

= ^xy + ^{2 2} +

P(x, y, z) ye cos(z) y z cos(x) cos(y) , Q(x, y, z)= xe^xycos(z)+2xyz² −sen(x)sen(y) ,

= − ^xy + ²

R(x, y, z) e sen(z) 2xy z Se tiene:

∂ = − + = ∂

∂ ∂

R xy Q

xe sen(z) 4xyz

y z ^,

∂ = − + = ∂

∂ ∂

xy 2

P R

ye sen(z) 2y z

z x ,

∂ = + + − = ∂

∂ ∂

xy xy 2

Q P

e cos(z) xye cos(z) 2yz cos(x)sen(y)

x y.

Por lo tanto F es conservativo.

b. Calcule el flujo a lo largo de la curva C que une los puntos ^π

A(0, , 0) y 2 B( , 0, ) . ^π₂ ^π₄

SOLUCIÓN. (2 puntos)

=

∫

f(x, y, z) (ye cos(z) y z cos(x) cos(y))dx e cos(z) xy z sen(x) cos(y) g(y, z)

+ − = + − +

xy 2 xy 2

xe cos(z) 2xyz sen(x)sen(y) xe cos(z) 2xyz sen(x)sen(y) g (y, z)y

= ^⇒ =

g (y, z)y 0 g(y, z) h(z)

−e sen(z)^xy +2xy z² = −e sen(z)^xy +2xy z² +h '(z)^⇒h(z)=C

Por lo tanto f(x, y, z)=e^xycos(z)+xy z^{2 2} +sen(x) cos(y)+C. ² Flujo=f(B)−f(A)= 2 ^.