Teorema de la función inversa para aplicaciones multivaluadas

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(2) UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS SECCIÓN DE POSGRADO Y SEGUNDA ESPECIALIZACIÓN PROFESIONAL. Alumno: Código de estudiante: Título de la tesis:. Félix Ricardo Villanueva Santos 19876202I Teorema de la Función Inversa para Aplicaciones Multivaluadas. RESUMEN. En este trabajo extendemos el Teorema de la Función Inversa para funciones entre espacios de Banach al caso de aplicaciones Multivaluadas. En el inicio se define el concepto de aplicación multivaluada y se muestran algunos ejemplos. Luego, se estudia el concepto de semicontinuidad superior de aplicaciones multivaluadas. Para definir la derivada de una aplicación multivaluada se necesita los conceptos de cono contingente y cono tangente. Estos conceptos se definen y se caracterizan los elementos de estos conjuntos. Además se muestran algunas relaciones entre estos conjuntos en casos particulares. El estudio de estos conos se hace para definir la derivada de una aplicación multivaluada en la forma más semejante a la derivada de funciones. Luego, se enuncia y demuestra el Teorema de la Función Inversa para aplicaciones multivaluadas que es el tema central de este trabajo. Finalmente vemos la relación entre el Teorema de la Función Inversa para aplicaciones multivaluadas y el Teorema de la Aplicación Abierta uniforme y otras versiones más del teorema central.. Bach. Félix Ricardo Villanueva Santos Tesista. Dr. Pedro Canales García Asesor.

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(5) Capítulo 1. Conceptos y resultados preliminares En este capítulo estableceremos algunos conceptos y resultados sobre espacios métricos, de Banach y espacios de Hilbert. que usaremos en los capítulos posteriores.. 1.1Espacios métricos Definición 1.1.1 Sea X un conjunto no vacío. Una métrica (o distancia) en X es una función d : X  X  IR que satisface las siguientes condiciones:. M 1 :  x, y  X : d x; y  0 M 2 :  x, y  X : d x; y  0  x  y M 3 :  x, y  X : d x; y  d  y; x  M 4 :  x, y, z  X : d x; z   d x; y   d  y ; z  En este caso, el par  X ; d  suele llamarse un espacio métrico. Definición 1.1.2 Sean  X ; d  un espacio métrico y xn  una sucesión en X . a). Se dice que xn  es una sucesión convergente en X si existe x0  X tal que para cada   0 existe un número natural N tal que. n  IN : d xn ; x0    El punto x0 se llama el límite de la sucesión xn  y se escribe lim xn  x0 . x x0. b) Se dice que xn  es una sucesión de Cauchy en X si para cada   0 existe un número natural N tal que m , n  N : d xm ; xn    Proposición 1.1.1 Toda sucesión convergente es de Cauchy. Lo recíproco no es cierto. Esto genera el concepto de espacio métrico completo. Definición 1.1.3 Un espacio métrico es llamado completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.. 1.

(6) Definición1.1.4 Sea A un subconjunto no vacío de un espacio métrico X . El diámetro de A se denota por diam A y se define como. diam A  supd x; y  / x  A; y  A  Definición 1.1.5. Sean x0  X y A un subconjunto no vacío de X . La distancia de. x0 a A se denota por d x0 ; A y se define como d x0 ; A  inf.  d x0 ; a / a  A . Definición 1.1.6 Sean x0  X y r  0 . La bola abierta de centro x0 y radio r se denota por Bx0 ; r  y se define como. Bx0 ; r    x  X / d x ; x0   r  Definición 1.1.7 Sea A un subconjunto de X . i) Si A   , diremos que A es abierto. ii) Si A   , diremos que A es abierto si para cada a  A existe r  0 tal que Ba ; r   A . Proposición 1.1.2 La familia  formada por el conjunto  y todos los conjuntos abiertos forman una topología para X .. 1.2 Espacios de Banach Definición 1.2.1 Sea X es un espacio vectorial sobre R . Una norma en X es una : X  IR que satisface las siguientes condiciones: función. N1 :  x  X : x  0 N2 : x  0  x  0 N 3 :  x  X ,   IR :  x  . x. N 4 :  x, y  X : x  y  x  y. . En este caso, el par X ;.  se llama un espacio vectorial normado.. La función d : X  X  IR definida por d x ; y   x  y. es una métrica en X .. Cuando X es un espacio métrico completo con la métrica inducida por la norma dice que X es una espacio de Banach.. 2. se.

(7) La bola cerrada unitaria de centro x0 y radio r la denotaremos por Bx0 ; r  y está dada por Bx0 ; r   x  X / x  x0  r. . . Luego, la bola cerrada de centro x0 y radio r es el conjunto. . x0  r B0,1  x  X / x  x0  r. . La bola abierta de centro x0 y radio r es el conjunto. . Bx0 ; r   x  X / x  x0  r. . Una vecindad de un punto x0 es un conjunto U que contiene a x0 tal que existe r  0 tal que Bx0 ; r   U .. Definición 1.2.2 Sea X un espacio vectorial normado. El espacio dual de X se denota por X * y se define como el conjunto formado por todas las funcionales lineales y continuas p : X  IR . El conjunto X * es un espacio vectorial normado, donde la norma está dada por. p  sup. . p; x / x  X , x  1. . Ahora vamos a definir los conceptos de semicontinuidad inferior y superior para una función real definida sobre un espacio vectorial normado. Proposición 1.2.1 Sean X un espacio vectorial normado f : X  IR una función y x0  X Las afirmaciones siguientes son equivalentes:. . . a)    0 ,  r  0 /  x  B x0 ; r : f x   f x0   . b)  a ;  con f x   a ;   r  0 /  x Bx0 ; r  : f x   a ;  Definición 1.2.3 Sean X un espacio vectorial normado f : X  IR una función y x0  X i) Se dice que f es semicontinua inferiormente en x0 si se cumple una de las condiciones (a) o (b) de la Proposición 1.2.1. ii) Se dice que f es semicontinua inferiormente en X si f es semicontinua inferiormente en cada x  X .. 3.

(8) Proposición 1.2.2 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) f es semicontinua inferiormente en X . b)    IR :  x  X / f x    es abierto.. Proposición 1.2.3 Sean X un espacio vectorial normado f : X  IR una función y x0  X Las afirmaciones siguientes son equivalentes:. . . a)   0 ,  r  0 /  x  B x0 ; r : f x   f x0   b)  f es semicontinua inferiormente en x0 .. Definición 1.2.4 Sean X un espacio vectorial normado f : X  IR una función y x0  X i) Se dice que f es semicontinua superiormente en x0 si se cumple una de las condiciones (a) o (b) de la Proposición 1.2.3. ii) Se dice que f es semicontinua superiormente en X si f es semicontinua superiormente en cada x  X .. Proposición 1.2.4 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) f es semicontinua superiormente en X . b)    IR :  x  X / f x    es cerrado.. Definición 1.2.5 Sean X un espacio vectorial normado f : X  IR una función y x0  X i) Se dice que f es continua en x0 si f es continua inferior y superiormente en x0 . ii) Se dice que f es continua en X si f es continua en cada x  X .. Definición 1.2.6 Sea X un espacio vectorial normado. La topología débil en X se denota por d y se define como la menor topología para la cual todas las funcionales de. X * son continuas. La convergencia de sucesiones en d se caracteriza así:. xn  converge débilmente a. x0 sí, y solo si para cada p  X * lim p , xn  p , x0 . xx0. 4.

(9) Proposición 1.2.5 Sean X e Y espacios vectoriales normados. a). El conjunto L (X;Y) formado por todas las aplicaciones lineales y acotadas L: X  Y es un espacio vectorial.. b) La función. : L (X;Y)  IR definida por.  Lx  L  sup / x X , x  0   x  es una norma en L (X;Y). c) Si Y es de Banach, entonces L (X;Y) también es de Banach con la norma L .. Definición 1.2.7. Sean X e Y espacios vectoriales normados sobre IR , U un subconjunto abierto no vacío de X , f : U  X  Y una función y x0  U . Se dice que f es diferenciable en x0 si existe una aplicación lineal T : X  Y que satisface la siguiente condición:.    0    0 /  x U con x  x0   :. f x   f x0   T x  x0    x  x0. Se dice que f es diferenciable en U si f es diferenciable en cada x  U . Si f es diferenciable en x0 , entonces la aplicación lineal T : X  Y es única y no necesariamente es acotada. La aplicación lineal T : X  Y es llamada la derivada de f en x0 y se denota por f x0  . Teorema 1.2.6 Sea f : U  X  Y una función diferenciable en x0  U . Luego, f x0  es acotada sí, y solo si f es continua en x0 . Corolario 1.2.7 Suponga que X es de dimensión finita. Si f es diferenciable en x0 , entonces f es continua en x0 . Definición 1.2.8 Sea f : U  X  Y una función continua y diferenciable en U . La derivada de f es la aplicación f  : U  L (X;Y) que asocia a cada x  U la derivada f x  . Definición 1.2.9 Sea f : U  X  Y una función continua y diferenciable en U . Se dice que f es de clase C 1 U  (continuamente diferenciable en U ) si f  : U  L (X;Y) es continua en U .. 5.

(10) 1.3 Teorema de la Función Inversa en espacios de Banach Teorema 1.3.1 Suponga que: E y F son espacios de Banach.   U  E es un conjunto abierto. f :U  E  F es una función de clase C 1 1 a  U , f (a)  L (E;F) tiene inversa  f (a)  L (F;E). Luego, existe una vecindad V  U de a y W  F tales que: 1. f (V ) es una vecindad de f (a) . 2. La función fV  f. V. :V  W tiene inversa de clase C 1 : f V1 :W  V. 3. La derivada de f V1 está dada por.    . . 1  y W : f V1   f  ´ fV1 ( y) Demostración. En lo que sigue la aplicación lineal f (a) será denotada por A .. Sean k ,   0;1 cualesquiera. Afirmación 1. Existe un número positivo  tal que para cada x  B(a;  ) se cumplen: 1.. I  A 1 f ( x)  k. 2.. A 1  f ( x)  f (a)  A( x  a). . xa. En efecto, definamos la función H :U  L( E; E ) de la manera siguiente:. x  U : H ( x)  I  A1 f ( x) Como f es de clase C 1 es claro que f  : U  L (E;F) es continua, lo cual que implica que H también es continua. De la continuidad de H en a se tiene que existe un número positivo  tal que para cada x  B(a;  ) se cumple que H ( x)  H (a)  k . De la definición de H y observando que H (a)  0 se tiene. que. x  B(a;  ) : I  A 1 f ( x)  k Así queda probada la Afirmación 1. Ahora tomemos r . (1   )  A 1. y definamos los conjuntos W y V de la manera siguiente:. W  B( f (a); r ). V  f 1 W  B(a;  ) 6.

(11) Sea fV  f. V. : V W la restricción de f a V .. Afirmación 2. Para cada y W la función g : B(a;  )  B(a;  ) definida por.  x B(a;  ) : g ( x)  x  A1  y  f ( x)  es una contracción. En efecto, primero veamos que para cada x  Ba ;   : g ( x)  Ba ;   . Como. g ( x)  a  x  A1  y  f ( x)  a  A1 f (a)  x  a   A1 f ( x)  A1 y  A1 f (a)  A1  f (a)  Ax  a   f ( x)   A1  y  f (a) . tomando norma en los extremos y usando el lema 1 se tiene que. A1  f (a)  Ax  a   f ( x)   A 1  y  f (a) . g ( x)  a .   x  a  A1. y  f (a)   x  a  A1 r     1     . Esto muestra que la función g va de Ba ;   a Ba ;   . De la definición de g es claro que para cada x  Ba ;   : g ( x)  I  A1 f ( x) , de lo cual usando el Lema 1 se sigue que.  x  Ba ;   : g ( x)  I  A 1 f ( x)  k 1 Así, g es k  Lipschitz sobre la bola Ba ;   con 0  k  1 . Por lo tanto, g es una contracción. Así queda probada la Afirmación 2. Afirmación 3. Para cada y W la sucesión x n  definida por  x0  a  1  xn 1  g xn   x n  A  y  f ( x n ) . converge a la solución única de la ecuación xn  a  (cte ) k n .. 7.  f ( x)  y   x  Ba ;  . y además.

(12) La Afirmación 3 se demuestra aplicando el Principio de contracción de Banach a la contracción g sobre la bola Ba ;   . Afirmación 4. La función f V es biyectiva. En efecto, primero veamos que f V es sobreyectiva. Sea y  W cualquiera. Por la Afirmación 2 se tiene que la función g : B(a;  )  B(a;  ) definida por.  x B(a;  ) : g ( x)  x  A1  y  f ( x)  es una contracción y por lo tanto tiene un único punto fijo el cual lo denotaremos por x̂ . Esto significa que g xˆ   xˆ lo cual, usando la definición de g implica que y  f xˆ  .Esto muestra que f es sobreyectiva.. Ahora veamos que f V es inyectiva. Sean x1 y x 2 en Ba;   tales que f x1   f x2   z . Considere la función g : B(a;  )  B(a;  ) definida por  x B(a;  ) : g ( x)  x  A1 z  f ( x) . Como g x1   x1  A1 z  f ( x1   x1 y g x2   x2  A1 z  f ( x2   x2 se tiene que x1 y x 2 son puntos fijos de g . Debido a la unicidad del punto fijo se tiene que x1  x2 . Esto muestra que f V es inyectiva. Así queda probada la Afirmación 4. Afirmación 5. La función f V1 es continua. En efecto, sean y1 y y 2 elementos cualesquiera de Ba ;   .Como f V es biyectiva. existen x1 y x 2 en Ba ;   de manera única tales que f x1   y1 y f x2   y 2 lo cual es equivalente a f V1  y1   x1 y f V1  y 2   x2 .Definamos las funciones g1 : B(a;  )  B(a;  ) y g 2 : B(a;  )  B(a;  ) de la manera siguiente:. g1 ( x)  x  A1  y1  f ( x) . g 2 ( x)  x  A1  y 2  f ( x) . De estas definiciones es claro que g1 x1   x1 y g 2 x2   x2 . Ahora, en lo que sigue estimaremos. f V1  y1   f V1  y 2  . En efecto, a partir de. fV1  y1   fV1  y 2   x1  x2  g1 x1   g 2 x2   g1 x1   g 2 x1   se sigue que. fV1  y1   fV1  y 2  . g1 x1   g 2 x1  . De las definiciones de g 1 y g 2 se tiene que. 8. g 2 x1   g 2 x2  ......(*). g 2 x1   g 2 x2 .

(13) g1 x1   x1  A1  y1  f ( x1 ). g 2 x1   x1  A1  y 2  f ( x1 ). de donde se sigue que. g1 x1   g 2 x1   A 1  y1  y 2   A1. y1  y 2 .........(**). Por otro lado, de la Afirmación 2 se tiene que g 2 es una contracción y entonces g 2 ( x1 )  g 2 ( x2 )  k x1  x2 ............(***). Reemplazando (**) y (***) en (*) se tiene que. fV1  y1   fV1  y 2   A1. y1  y 2  k x1  x2  A1. y1  y 2  k fV1  y1   fV1  y 2 . de donde se sigue que.  A 1   y  y2 f  y1   f  y 2     1 k  1   es continua. Así queda probada la Afirmación 5. 1 V. Esto muestra que f V1. 1 V. Afirmación 6. Para cada x  V  f 1 (W )  B(a;  ) la aplicación lineal f (x) tiene inversa. En efecto,sea x  V  f 1 (W )  B(a;  ) cualquiera. De la parte (a) de la Afirmación 1. . . se tiene que I  A 1 f ( x)  k 1 . Luego, la aplicación I  I  A1 f ( x)  A1 f ( x) es invertible y. A. 1. f ( x).    I  A 1. . 1. f ( x). . j.  S ( x). j 0. La última igualdad implica que 1   A f ( x) S ( x)  I  1  S ( x) A f ( x)  I. de donde se obtiene que  f ( x)  S ( x) A1 . Así queda probada la Afirmación 6. 1. Afirmación 7. f V1 es de clase C 1 . En efecto, sean y, y0  B( f (a); r ) cualesquiera y tomemos x  fV1 ( y) , x0  fV1 ( y0 ) . Como f es diferenciable según Fréchet en x 0 se tiene que f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 ) ( x  x0 )   ( x) x  x0. donde lim  ( x)  0 ( en F, cuando x tiende a x0 en E). x  x0. 9.

(14) La última igualdad se puede escribir como. .  . y  y0  f ( x0 ) fV1 ( y)  fV1 ( y0 )   fV1 ( y). . . fV1 ( y)  fV1 ( y0 ). . Notemos que lim  f V1 ( y)  0 y que la Afirmación 5 garantiza la continuidad de y  y0. . . f V1 . Por lo tanto, si hacemos  ( y)   f V1 ( y) tenemos que. . . y  y0  f ( x0 ) fV1 ( y)  fV1 ( y0 )   ( y) y  y0. donde lim  ( y)  0 . De la última igualdad se sigue que y  y0. fV1 ( y)  fV1 ( y0 )   f ( x0 ) 1 ( y  y0 )   f ( x0 ) 1  ( y) y  y0. Esta última igualdad significa que f V1 es diferenciable según Fréchet en y 0 y su derivada está dada por. f El término.  f  f. 1 V. ( y0 ). . 1 V. 1. .  .  ( y0 )   f ( x0 )   f  f V1 ( y0 ). . 1. depende continuamente de y 0 , pues f V1 es continua y f. es de clase C 1 en V . Así queda probada la Afirmación 7.. 10.

(15) Capítulo 2. Aplicaciones multivaluadas Sean X e Y dos espacios vectoriales normados. Si f : X  Y es una función ( se suele decir que f es una función punto a punto) sabemos que a cada x X le corresponde un único elemento f x  Y . En este capítulo extendemos el concepto de función punto a punto a aplicaciones multivaluadas que asocian a cada x X un único subconjunto de Y . Para este nuevo tipo de aplicaciones definiremos los conceptos de dominio, rango, gráfica, semicontinuidad superior e inferior.. 2.1 Aplicaciones multivaluadas Definición 2.1.1 Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicación multivaluada (aplicación punto-conjunto o correspondencia) F de X a Y es una aplicación que asocia a cada x  X un único subconjunto de Y denotado por F x  . El conjunto F x  se llama la imagen de x bajo F . Definición 2.1.2 Sea F una correspondencia de X en Y . a) Se dice que F es propia si existe al menos un elemento x  X tal que F x    ; es decir, si F no es la aplicación constante  . b) Si F una correspondencia propia de X en Y , el dominio de F se denota por DomF  y se define como DomF   x  X / F x    c) El gráfico de F es el subconjunto de X  Y denotado por Graf F  definido como. Graf F   x; y  X  Y / yF x   Proposición 2.1.1 Cada subconjunto no vacío G de X  Y es el gráfico de alguna aplicación multivaluada de X en Y . Demostración. Sea G cualquier subconjunto no vacío de X  Y . Si para cada x  X definimos F x   y  F / x; y  G , es claro que F es una correspondencia de X en Y cuyo gráfico es el conjunto G .. 11.

(16) Definición 2.1.3 Sea F una correspondencia de X en Y .La imagen o rango de F se denota por ImF  y se define como. ImF   F x  x X. Definición 2.1.4 Sea F una correspondencia de X en Y . La correspondencia inversa de F se denota por F 1 y se define como  yY : F 1  y    x X / y  F x  . O equivalentemente.  yY : F 1  y    x X / x; y  Graf F  . Proposición 2.1.2 Sea F una correspondencia de X en Y . Luego se cumple:.      . a) Dom F 1  ImF  b) Im F 1  DomF  c) Graf F 1   y; x Y  X / x; y  Graf F   Demostración. La prueba es un buen ejercicio sobre igualdad de conjuntos.. Definición 2.1.5 Sea F una correspondencia de X en Y . Se dice que F es estricta si DomF   X ; es decir, si para cada x  X , F x   .. Definición 2.1.6 Sean X e Y dos conjuntos cualesquiera, K un subconjunto no vacío de X y F : K Y una correspondencia estricta de K en Y . Definimos la correspondencia FK : X Y de la siguiente manera. F x  , si x  K FK x      , si x  K Es claro que DomFK  K . Observación. Si F : X. Y es una correspondencia y K es un subconjunto no vacío. de X , la restricción de F a K es denotada por F K . Definición 2.1.7 Sean F : X Y una correspondencia y ( P ) una propiedad de conjuntos (por ejemplo, conjunto cerrado, convexo, monótono, maximal monótono, etc.). Se dice que F satisface la propiedad ( P ) si el gráfico de F tiene esa propiedad.. 12.

(17) Definición 2.1.8 Sea F : X Y una correspondencia. Se dice que F es cerrada, convexa, compacta y así sucesivamente, si para cada x  X , el conjunto F x  es cerrado, convexo, acotado, compacto y así sucesivamente. Definición 2.1.9 Sean F : X Y , G: X Y dos correspondencias. Definamos la unión, intersección, diferencia y suma de F y G como a) F  G x   F x   Gx . b) F  G x   F x   Gx . c) F / G x   F x  / Gx . d) F  G x   F x   Gx . (Y es un espacio vectorial). 2.2 Ejemplos de aplicaciones multivaluadas Ejemplo 2.2.1 El primer ejemplo natural donde aparecen las aplicaciones multivaluadas es la inversa de una función f : X  Y :. f 1  y    x  X / f x  y  El dominio de esta correspondencia es Im X  y es estricta cuando f es sobreyectiva y es una función punto a punto cuando f es inyectiva. Ejemplo 2.2.2 Sea V : X  IR    una función. Definamos V1 : X la siguiente manera V x   0 ;   , si V x    V1 x    , si V x     . IR    de. El dominio de V1 es el conjunto DomV1   x X / V x     y el gráfico de V1 es el epígrafo de V Graf V1   x; y  / y V1 x   x; y  / y  V x   0 ;    .  x ;V x     /   0   x; y  / y  V x   Epi V . Ejemplo 2.2.3 Sea f ;u : X  Y una familia de funciones donde u recorre un Y mediante conjunto U de parámetros. Definamos la correspondencia F : X.  x X : F( x )   f x;u  / u U  Este tipo de correspondencia aparece en la Teoría de Control. Ejemplo 2.2.4 Sean H un espacio de Hilbert y V : H IR    una función semicontinua inferiormente. Definamos V : H H  la correspondencia definida por.    x V : V x    xH  / max  x; y  V  y    x; x  V x  y X   13.

(18) Luego, a) V x  es llamado el subdiferencial de V en x . b) V x  es un subconjunto convexo y cerrado de H  . V x  puede ser vacío. d) V x  generaliza el concepto de gradiente, en el sentido de que si V tiene gradiente V x  , entonces V x    f x  . e) Otro hecho importante es que la inversa de V es también el subdiferencial de una función convexa semicontinua inferiormente V * ,llamada la conjugada, definida sobre el dual H  de H mediante. V  x  Sup  x; y  V  y   yH. 2.3 Conceptos de continuidad de correspondencias En esta sección asumiremos que X e Y son espacios vectoriales normados y que F:X Y es una correspondencia estricta. Definición 2.3.1 Se dice que F es semicontinua superiormente en x0  X si para cualquier conjunto abierto V que contenga a F x0  , existe una vecindad U de x0 tal que F U   V . Diremos que F es semicontinua superiormente si lo es en cada x0  X . Proposición 2.3.1 Sean F : X Y , G:Y superiormente, entonces GF también lo es.. Z .Si F y G son semicontinuas. Demostración. Sea x0  X cualquiera. Sea W cualquier conjunto abierto que contiene a GF x0  . Es decir,. G y   W. yF  x 0 . Definamos V   yY / G y   W . Veamos que F x0   V . En efecto: Sea y  F x0  . Luego, a partir de. G y   se sigue que G y   W ; es decir, yV .. G y   W. yF  x0 . Veamos que V es abierto. En efecto, sea y0  V cualquiera. Como G y0   W es claro que W es una vecindad de G y0  . Como G es semicontinua superiormente, entonces existe un subconjunto abierto A que contiene a y0 tal que G A  W . Esto quiere decir que para cada y  A se cumple que G y   W ; es decir, A  V . Esto muestra que V es abierto. 14.

(19) Como F x0   V y V es abierto se sigue que V es una vecindad de F x0  y como F es semicontinua superiormente en x0 , entonces existe una vecindad U de x0 tal que F U   V . Luego, de GF U    GV   W se sigue que GF (U )  W . Así, queda probado que GF es semicontinua superiormente en x0 . Como x0 fue tomado arbitrariamente, GF es semicontinua superiormente. Proposición 2.3.2 Sea F : X Y , una correspondencia semicontinua superiormente tal que para cada x  X , F x  es cerrado. Luego, el gráfico de F es cerrado. Demostración. Recordemos que. Graf F    x; y  / y  F x   Sea xn ; yn  una sucesión cualquiera en Graf F  que converge a x; y  X  Y . Sea V cualquier conjunto abierto que contiene a F x  .Como F es semicontinua superiormente en x , existe una vecindad U de x tal que F U   V . Como xn  x y x U , entonces existe un número natural N tal que para cada n  N , xn U . Como yn  F xn   F U   V se sigue que para cada n  N , yn V . Esto implica que yV y por lo tanto, y  F x  . Como F x  es cerrado se tiene que y  F x  , de lo cual se sigue que x; y   Graf F  . Así, Graf F  es cerrado. Proposición 2.3.3 Sean F : X    . Y , G: X. Y dos correspondencias tales que. Para cada x  X : F x  Gx    . F es semicontinua superiormente en x0 . F x 0  es compacto. El Graf G  es cerrado.. Luego, la correspondencia F  G : X. Y definida por.  x X : F  G x   F x Gx  es semicontinua superiormente en x0 . Demostración. Sea V  V F ( x0 )  Gx0  una vecindad abierta de F x0   Gx0  . Debemos hallar una vecindad U x0  de x0 tal que.  x  U : F  x  G  x   U 15.

(20) Supongamos que F x0   V : Como F es semicontinua superiormente en x0 , entonces existe una vecindad U x0  de x0 tal que.  x U x0  : F x   U. lo cual implica que.  xU x0  : F x  Gx   U Supongamos que F x0   V : Definamos el conjunto K como K  F x0  \ V el cual es compacto pues F x0  lo es. Veamos que para cada y K , x0 ; y   Graf G  . En efecto, Sea y K cualquiera, entonces y Gx0  .Procedamos por contradicción. Si y perteneciera a Gx0  , entonces y estaría en F x0   Gx0  se tendría que y estaría en V , lo cual es una contradicción pues y  K . Como y Gx0  , es claro que x0 ; y  Graf G  . Sea y  K cualquiera. Como x0 ; y   Graf G  , entonces x0 ; y   Graf G C el cual es abierto. Luego, existen vecindades abiertas V y x0  y V  y  tales que. . . Graf G  V y x0 V  y    ……..(*) Veamos que para cada x V y x0  , Gx V  y   . En efecto, procedamos por contradicción. Supongamos que existe x V y x0  tal que Gx V  y    . Sea zGx V  y  . Luego se tendría que x; z Graf g  y x; z V y x0 V  y  , lo cual sería una contradicción con (*).. Como K . V  y  y K es compacto, existe y1,......., yN  K tal que K  V y j .. yK. j 1. Es claro que la unión M . V y j  es una vecindad de K y por lo tanto, M V es j 1. una vecindad de F x0  . Como F es semicontinua superiormente en x0 , entonces existe una vecindad tal que  x U 0 x0  : F x   M  V …….(**)  N    Sea U x0   U 0 x0   V y j x0  el cual es claramente una vecindad de x0 .  j 1 . . 16. U 0 x0 .

(21) Veamos que  xU x0 : Gx  M   , F x   M  V . En efecto, sea x U x0  cualquiera. De la definición de U x0  es claro que x U 0 x0  y por (**) se sigue que F x   M  V . N. V y x0  . Es. Usando nuevamente la definición de U x0  se tiene que x. j. j 1. decir, para cada j  1,....., N  : x V y j x0  lo cual junto con (**) se sigue que.  . Gx  V y j  . Esto implica que.  N    Gx    V y j     j 1 .  . de lo cual se sigue que Gx   M   .. Finalmente, para cada x U x0  se tiene que. F x  Gx   M V  Gx   M  Gx   V  Gx    V  V Por lo tanto, F  G es semicontinua superiormente en x0 . Corolario 2.3.4 Sean X e Y espacios de Hausdorff con Y compacto.Si G: X es una correspondencia cerrada, entonces G es superiormente continua. Demostración. Sea F : X. Y,. Y , la correspondencia definida por  x  X : F x   Y .. Se puede probar que F y G satisfacen las hipótesis de la Proposición 2.3.3, de lo cual se sigue que F  G es semicontinua superiormente. Como F  G  G se concluye que G es semicontinua superiormente. Observación. El corolario 2.3.4 da una herramienta muy útil para probar que una correspondencia es semicontinua superiormente. Sin embargo, la condición de la compacidad de Y es esencial como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.3.1 Sea F : IR. IR 2 ( IR 2 no es compacto) la correspondencia definida por. .  t IR : F t   x; y  IR 2 / y  t x. . Para cada t IR , F t  es la recta que pasa por el origen de coordenadas de pendiente t . Veamos que Graf F  es cerrado.. 17.

(22) En efecto: Sea t n ; ( xn ; yn )  una sucesión en el Graf F  que converge a t , ( x; y)  . Luego, t n  t , xn  x e yn  y .Como xn ; yn  F t n  , entonces yn  t n xn . Así, x; y  F t  lo cual implica que t ; ( x; y) Graf F  . Veamos que F no es semicontinua superiormente en 0 . Es claro que F 0  x; y  / y  0. x   x; y  / y  0   Eje X . y. F t  y  x y. 0. Sea V  x; y  /    y   . Es claro que V es una vecindad de F 0 . Ahora, para cualquier t IR , el conjunto F t  no está contenido en V , lo cual muestra que F no es semicontinua superiormente en 0 .. Proposición 2.3.5 Sean X e Y espacios de Hausdorff con X compacto. Si F:X Y , es una correspondencia semicontinua superiormente tal que para cada x  X , el conjunto F x  es compacto, entonces F  X  es compacto. Demostración. Sea U /  I  cualquier cubrimiento abierto de F  X  . Luego, para cada x  X , U /  I  es un cubrimiento abierto de F x  . Como F x  es compacto, entonces existe un número natural N x  tal que. F x  .  U.  U. k. k 1. N x . Como. N x . K. es una vecindad de F x  y F es semicontinua superiormente en x ,. k 1. entonces existe una vecindad U x  de x tal que F  U ( x)  . N x .  U. k. .. k 1. A partir de que X .  U ( x) y del hecho de que X es compacto, se sigue que existe. x X.  x1,...., xm  tal que. m. X .  U x j . Luego, de j 1. 18.

(23) m  N x j    m  m    F X   F  U (x j )   F U (x j )  U k     j 1  j 1 j 1  k 1   .  . . .  . se sigue que U k / 1  k  N x j , 1  j  m queda probado que F  X  es compacto..   .  es un cubrimiento finito de. Supongamos que X e Y son espacios vectoriales normados y que F : X correspondencia estricta.. F  X  . Así. Y es una. Definición 2.3.2 Se dice que F es semicontinua inferiormente en x0  X si para cualquier y  F x0  y cualquier vecindad V de y , existe una vecindad U de x0 tal que  x  U : F x   V   . Diremos que F es semicontinua inferiormente si lo es en cada x0  X .. 19.

(24) Capítulo 3. Conos contingente y tangente Sean X e Y dos espacios de Banach. En este capítulo definimos tres conjuntos que se encuentran contenidos en X y que forman el soporte geométrico del estudio de la derivada de una aplicación multivaluada de X en Y , el cono contingente, el límite inferior de una aplicación multivaluada y cono tangente. Estableceremos algunas propiedades de estos conjuntos y alguna relaciones entre ellos.. 3.1 Cono contingente En esta parte asumiremos que K es un subconjunto no vacío de un espacio de Banach X. Notación:. B   x X / x  1.  B   x B / x   . BK x0 ;   K  x0  B    xK / x  x0    K x  x0 significa que x se aproxima a x0 en K. Definición 3.1.1 Sea x  X . El cono contingente a K en x se denota por TK x  y se define como 1  TK x  :   h K  x    B   0 r 0 h  0; r .  . Proposición 3.1.1 Las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) v TK x  b)   0 ,  r  0 ,  u  v   B  ,  h  0 ; r  / x  h u   K Demostración.. (a )  b . Supongamos que v TK x  ; es decir, v. 1   h K  x    B h  0; r .    0 r 0. 20.

(25) 1. Esto implica que para cada   0 y cada r  0 , v . .    h K  x    B. . Luego,. h 0 ; r. existe h  0 ; r  tal que v . 1 K  x    B , de lo cual se sigue que existen a  K y h 1 b   B de manera que v  a  x   b . Si hacemos c   b , entonces tenemos que h 1 1 c   B y v  a  x   c , lo cual muestra que v  c  a  x  . Si tomamos u  v  c , h h es claro que u v   B y h u  hv  c   a  x ; es decir, x  h u  a K . Así, queda probado (b) .. (b)  a  . Sean   0 y r  0 cualesquiera. Por hipótesis, existen uv   B  y h 0 , r  tales que x  h u  K . Si hacemos z  x  h u , entonces tenemos que z K y u . zx 1  K  x  h h. Luego, de v  u  v  u  . 1 z  x   v  u  h. v u  . y. se sigue que v. lo cual muestra que v . 1 K  x    B h. 1. .    h K  x    B . Como . y r fueron tomados en forma. h 0;r. arbitraria se tiene que. v es decir, v TK x  ..    h K  x   B 1.   0 r  0 h  0; r . Proposición 3.1.2 Las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) v TK x  b) Existen sucesiones hn   0 ;  y un   X tales que i) lim u n  v n . ii) lim hn  0 n . iii)  n N : x  hn un   K. 21.

(26) Demostración.. (a)  b . Sean v TK x  y n  IN cualesquiera. Como. 1  0 , usando la Proposición n. 1 1   3.1.1 se sigue que existen u n   v  B  y hn  0 ;  tales que x  hn un   K y así n n   1 se cumple iii). A partir de que para cada n IN , hn  0 ;  , es claro que lim hn  0 lo n  n cual muestra que se cumple ii). También, como para cada nIN : un  v  1n B  se sigue que 1  n  IN : u n  v  n lo cual implica que lim u n  v . Así, se cumple i). n . (b)  a  . Supongamos que existen sucesiones hn   0 ;  y un   X tales que se cumplen i) , ii) y iii). Sean   0 y r  0 cualesquiera. Como lim hn  0 , existe un n . número natural N1 tal que.  n  N1 : 0  hn  r Además, como lim u n  v , existe un número natural N 2 tal que n .  n  N 2 : un  v  . o equivalentemente.  n  N 2 : un  v   B . Si tomamos N  max N1 ; N 2 , entonces tenemos que. 0  hN  r. y.  un  v   . Así, tenemos que existen u N  v   B  y hN  0 ; r  tales que Proposición 3.1.1 se sigue que v TK x  .. x  hN u N   K . De la. Proposición 3.1.3. Las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) v TK x   d x  hv  b) lim inf  K 0 h 0 h  . Demostración.. (a)  b . Supongamos que v TK x  . Sea   0 cualquiera. Usando la Proposición 3.1.1 se tiene que existen u  v   B  y h  0 ,   (tomando r   ) tales que. x  h u  K . Sea   0. cualquiera. Como para cualquier h 0,   se cumple que. d x  h v, K   d x  h v ; x  h u   h u  v  h  22.

(27) es claro que. d K x  hv  d x  hv ; K     h h. h  0 ;  : lo cual implica. inf. h 0 ;  . d K x  hv   h. Si en la última desigualdad tomamos límite cuando  0  tenemos d K x  h v  0 h  0;   h.    0 : lim inf  0.  d x  hv  lo cual es equivalente a lim inf  K   0. h 0 h    d x  hv  (b)  a  . Supongamos que lim inf  K   0. h 0 h    d x  hv  Sea   0 cualquiera.. Como lim inf  K   0 , se tiene que h 0 h  . d x  h v   lim  inf K  ………………………………(1) r  0 h 0 ; r  h  . De (1) se sigue que existe R  0 tal que.  r  0, R : inf. h 0 , r . d K x  h v    ……………..….(2) h.  r  0  h 0 ; r  :. De (2) se tiene que. d K x  h v   h. O equivalentemente:.  r  0  h 0 ; r  :. d K x  h v    h ……………..(3). Utilizando la definición de d K , de (3) se sigue que.  r  0  h  0 ; r ,  a  K : d K  x  h v    h ax . h Es claro que x  h u  a  K . Además, a partir de. Hagamos u . 23.

(28) uv . a  x  hv d x  h v ; a  ax v     h h h. se tiene que u  v   B  . Así, tenemos que.    0 ,  r  0,  h  0 ; r  ,  u  v   B  / x  h u   K De la Proposición 3.1.1 se sigue que v TK x  . Proposición 3.1.4 TK x  es un cono cerrado. Demostración. Primero probaremos que TK x  es un cono. ¿Si v TK x  y t  0 , entonces tv   TK x  ?. v TK x  y.   0 y r  0 cualesquiera. De la h  0 ; t r  tales que Proposición 3.1.1 se sigue que existen u  v  t B  y Sean. x  h u   K . Como u  v  t B  h  t  0 ; r . Además,. t  0 cualesquiera. Sean. h  0 ; t r  se tiene que. es claro que t u   tv   B  y como. x   ht  t u   x  h u   K . Así, hemos probado que. x  h u   K ``. ``    0 ,  r  0 ,  h  ht   0 ; r  ,  u  t u   t v   B  tal que Usando la Proposición 3.1.1 se sigue que tv   TK x  . Ahora veamos que TK x  es un conjunto cerrado. Sea Usaremos la Proposición 3.1.3 para probar que v TK x  . Como v  TK x  , entonces existe una sucesión. v  TK x  cualquiera.. vn   TK x tal que. lim vn  v .. n. Sea   0 cualquiera. Luego, existe un número natural N tal que v N  v   . Sean a  K , r  0 y h  0 ; r  cualesquiera. A partir de. d K x  h v   d x  h v ; K   d x  h v ; a  . x  h v N  a   h v  v N . x hv a.  x  h vN  a  h v  vN. y tomando ínfimo sobre los a  K se tiene que. d K x  h v   d K x  h v N   h  lo cual implica que 24.

(29)  h  0 ; r ,. d K x  h v  d K x  h v N     ………(4) h h. Si en (4) tomamos ínfimo sobre los h  0 ; r  tenemos que.  d K x  h v N   d x  h v   inf  K  inf    ………(5)  h 0 ; r   h 0 ; r  h h     Si en (5) hacemos que r 0  se obtiene.  d x  h v   lim inf  K inf   lim h h  0  h  0 .  d K x  h v N      …..(6) h  .  d x  h v N  Como v N  TK x  , de la Proposición 3.1.3 se tiene que lim inf  K   0 , lo h 0 h   cual junto con (6) y considerando que   0 fue tomado arbitrariamente se tiene que  d x  h v  lim inf  K 0 h 0 h   Usando nuevamente la Proposición 3.1.3 se concluye que v  TK x  . Proposición 3.1.5 Si x  int K  , entonces TK x   X . Demostración. Como x  int K  , entonces existe R  0 tal que x  R B  K . Probaremos que X  TK x  . Sea v  X cualquiera. Sean   0 y r  0 cualesquiera. Si hacemos u  v es claro que. u   v  B .. Tomemos. h  0;r . con. h v  R.. Luego,. si. z  x  h u  x  h v , se tiene que z  x  h v  R , lo cual implica que z  x  RB. y así z  K . Por lo tanto, hemos probado que ``    0,  r  0,  u   v   B ,  h  0 ; r  : z  x  h u `` Usando la Proposición 3.1.1 se tiene que v TK x  y así concluimos que X  TK x  . . Observaciones. .  x  X : TX x   X .. . Se conviene escribir T x  :   .. 25.

(30) 3.2 Límite inferior de una aplicación multivaluada Definición 3.2.1. Sean U un espacio métrico, u 0  U . F :U X una correspondencia de U en X . El límite inferior de F cuando u tiende a u 0 se denota por lim inf Fu  y se define u  u0. como lim inf Fu  :  u  u0.     Fu    B    0 r  0 u B u 0 ; r. Proposición 3.2.1 Si para cada u  U , el conjunto Fu  es cerrado, entonces. lim inf Fu   Fu 0  …………(7) u  u0. Demostración. Sean v  lim inf Fu  y   0 cualesquiera. u  u0. Como v .    Fu    B r 0. se tiene que existe un número positivo r tal que. u B u 0 ; r. v.   Fu    B.  Fu 0    B. u B u 0 ; r. Así, tenemos que.    0 , v  Fu 0    B. es decir, v  Fu 0  y como este conjunto es cerrado se concluye que v Fu 0  . Con esto queda demostrado (7).. Proposición 3.2.2. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) F es semicontinua inferiormente en u 0 . b) Fu 0   lim inf Fu  . u  u0. Demostración.. (a )  b . Supongamos que F es semicontinua inferiormente en u 0 .Sean v  Fu 0  y   0 cualesquiera. Si consideramos Bv ;   es claro que v Fu 0   Bv ;   . Como F es semicontinua inferiormente en u 0 , existe un número positivo r tal que o.  z  Bu 0 ; r  : Fz   Bv ;    es decir, 26.

(31)  z  Bu 0 ; r  : v Fz    B……….(8) De (8) se sigue que v .  Fz   B , lo cual implica que. z  B u 0 ; r . v.    Fz   B. r  0 z B u 0 ; r. Así, hemos probado que   0:v .    Fz   B r  0 z B u 0 ; r. v. lo cual significa que.     Fz   B. 0. r  0 z B u 0 ; r. es decir, v  lim inf Fu  . u  u0. (b)  a  . Supongamos que Fu 0   lim inf Fu  . u  u0. Sea V X cualquier conjunto abierto con V  Fu 0   . Como Fu 0   lim inf Fu  se tiene que V  lim inf Fu    . Sea v tal que v  V y v  lim inf Fu  . u u0. u  u0. u  u0. Como vV y V es un conjunto abierto, entonces existe un número positivo r1 tal que Bv ; r1   V . Como v  lim inf Fu  , tomando   r1  0 , existe r  0 tal que u  u0. v.  Fx   r B. Luego,. x  B u 0 ; r . 1.  x  Bu 0 ; r  : v  Fx   r1 B.  z  Fx  / v  z  r1. z Fx  y z  Bv ; r1   V. z  Fx   V Fx   V   Usando la definición se tiene que F es semicontinua en u 0 . Observación. Si para cada x  DomF  , F x  es cerrado se tiene que.  F es semicontin ua        lim inf F u   F u 0   ………..(9)  u  u0   inf eriormente en u 0 . 27.

(32) Proposición 3.2.3. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) v  lim inf F u  u  u0. b)    0 ,  r  0 :. sup d v ; F u   . u  B u 0 ; r . Demostración.. (a)  b Supongamos que v  lim inf F u  ; es decir, v  u  u0.  . F u    B..   0 r  0 u  B u 0 ; r . Sea   0 cualquiera. Luego, es claro que v .  . F u    B lo cual implica que. r  0 u  B u 0 ; r . existe un número positivo r tal que v . F u    B . La última inclusión significa. . u  B u 0 ; r . que.  u  Bu0 ; r  : v  F u    B  u  Bu0 ; r  : d v ; F u    ……………(10). Si en (10) tomamos supremo sobre todos los u  Bu 0 ;   se obtiene. sup d v ; F u    .. u  B u 0 ; r . (b)  a  . Sea   0 cualquiera. Por hipótesis, existe un número positivo r tal que sup d v ; F u   . u  B u 0 ; r . lo cual implica que. Así, tenemos.  u  Bu0 ; r  : d v ; F u     u  Bu0 ; r  : v  F u    B. La última afirmación significa que. v . . F u    B. u  B u 0 ; r . v .  . F u    B .. r  0 u  B u 0 ; r . Como la última inclusión se cumple para cualquier   0 se tiene que. v  es decir, v  lim inf F u  ..  .   0 r  0 u  B u 0 ; r . u  u0. 28. F u    B. y esto implica que.

(33) 3.3 Cono tangente Definición 3.3.1. Sea x0  X . El cono tangente a K en x 0 se denota por C K x0  y se define como C K x0  :  lim inf x  x0 h 0 . 1 h. K  x    . . 1h K  x    B.   0 r 0 x  BK  x0 ;    0 h  0 ;  . Proposición 3.3.1 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) v  C K x0  b)    0 ,  r  0 ,    0 : x BK x0 ; r  ,  h 0 ;   u v   B  : x  h u  K Demostración.. (a)  b Supongamos que v  C K x0  . Luego, v.       K  x    B……….(11)  1 h.  0 r  0 x  BK x0 ;  0 h  0 ;  . Sea   0 cualquiera. De (11) se sigue que existen números positivos r y  tales que.     K  x    B. v. x  BK x0 ; h 0 ;  . 1 h. lo cual implica que.  x BK x0 ; r ,  h  0 ,   : v 1h K  x    B ……….(12) De (12) se tiene que existen z K y w   B tales que v  1h z  w  x o también. v   w  1h z  x  . Si hacemos u  v   w se tiene que u v   B  y como. u  1h z  x  se muestra que z  x  h u  K . Así, hemos probado que. ´´  ε  0 ,  r  0 ,  δ  0 :  x  BK x 0 ; r  ,  h  0 ; δ  u v  ε B : x  h u   K ´´. (b)  a  Sea   0 cualquiera. Por hipótesis existen r  0 y δ  0 tales que.  x  BK x 0 ; r  ,  h  0 ; δ  u v  ε B : x  h u   K Si z  x  h u , entonces z  K y u . v  u  v  u  . 1 h. 1 h. z  x   h1 K  x . Como. z  x   v  u   h1 K  x   ε B 29.

(34) se tiene que.  x  BK x 0 ; r  ,  h  0 ; δ : v   h1 K  x   ε B . lo cual implica que.   K  x   ε B.. v. x  BK x 0 ; δ h 0 ; δ. Así tenemos que v.  r 0 δ 0. 1 h.   K  x   ε B. x  BK x 0 ; δ h 0 ; δ. 1 h. y como   0 fue tomado arbitrariamente se tiene que v. es decir, v  C K x0  ..       K  x    B   0 r  0 x  BK x0 ;  0 h  0 ;  . 1 h. Proposición 3.3.2 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) v  C K x0 . b)  x n   K , x n  x 0 ,  h n   0 ;  con h n  0 ,  u n   X , con u n   v ,.  NIN /  n  N : x n  h n u n   K .. Demostración.. (a)  b Supongamos que v  C K x0  . Sea   0 cualquiera. De la Proposición 3.3.1 se sigue que existen números positivos r y  tales que  x BK x 0 ; r ,  h  0 ; δ  u v  ε B : x  h u   K ………...(13) Sean x n   K y h n   0,  sucesiones cualesquiera tales que x n  x 0 y h n  0 . Luego, existen números naturales N 1 y N 2 tales que.  n  N1 : x n  x 0  r B.  n  N 2 :0  h n  δ Si N  max N1 ; N 2 , entonces.  n  N : x n  B K x 0 ; r  , h n  0 ; δ ………………(14) De (13) y (14) se sigue que.  n  N :  u n  v  ε B : x n  h n u n   K y 30. un  v.

(35) (b)  a  Procedamos por contradicción. Supongamos que v  C K x 0  . Usando la Proposición 3.3.1 se tiene que existe un número positivo ε tal que  r  0 ,  δ  0 ,  x r  BK x 0 ; r  ,  h δ  0 ; δ ,  u  v  ε B: x r  h δ u   K …….(15) Sea. n IN cualquiera. Tomando r . x n  B K x 0 ; n1  y h n  0 ; n1  tales que. 1 n. y. δ. 1 n. . De (15) se sigue que existen.  u  v  ε B : x n  h n u   K ……………………..(16) Es decir, tenemos sucesiones x n   K y h n   0,  con x n  x 0 y h n  0 tales que se cumple (16) lo cual contradice (b). Por lo tanto, v  C K x0  . Proposición 3.3.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) v  C K x0 .  d x  h v  b) lim  K 0 x x 0 h   h  0. Demostración.. (a)  b Supongamos que v  C K x0  . Sea   0 cualquiera. De la Proposición 4.3.1 se sigue que existen números positivos r y  tales que  x BK x 0 ; r ,  h  0 ; δ  u v  ε B : x  h u   K ………….….....(17) Si z  x  h u , entonces z  K y a partir de. d K x  h v  dx  hv ; z   dx  hv ; x  hu   hv  hu  h v  u  h ε se sigue que.  ε  0 ,  r  0,  δ  0 :  x  B K x 0 ; r ,  h  0 ; δ:. d K x  hv  ε h. lo cual muestra (b)..  d x  h v  (b)  a  Supongamos que lim  K   0. x x 0 h    h 0 Sea   0 cualquiera. Por hipótesis existen r  0 y δ  0 tales que.  x  B K x 0 ; r ,  h  0 ; δ: lo cual es equivalente a decir que 31. d K x  hv   ε h.

(36)  x  BK x 0 ; r ,  h  0 ; δ : d K x  hv  ε h Como d K x  hv  ε h , existe z K tal que dx  hv ; z   ε h , lo cual implica que v. zx h. ε. zx tenemos que v  u  ε ; es decir, u v  ε B y h z  x  hu  K . De la Proposición 3.3.1 se sigue que v  C K x0  .. Si tomamos u . Proposición 3.3.4 Si x 0  int K  , entonces C K x 0   X Demostración. Como x0  int K  , existe R  0 tal que x0  RB  K . Es claro que C K x0   X . X  C K x 0  . Sea v  X cualquiera. Para demostrar que Probaremos que v  C K x0  usaremos la Proposición 3.3.1. Si v  0 es claro que v X así asumiremos que v  0 . Sea   0 cualquiera. Tomemos r  R2 y δ  para cada h  0 ; 2 Rv. R 2 v. . Luego, si para cada x  BK x0 ; R2  y.  tomamos u  v se tiene que u  v  ε B .. Si z  x  h u , entonces a partir de z  x0  x  hu  x0  x  x0  h u . R 2. .  v R 2 v. R. se sigue que z  x0  R ; es decir, z  Bx0 ; R   K y así z  K . De la Proposición 3.3.1 se sigue que v  C K x0  . Observaciones.  Para cada x  X : C X  X .  Se define C   . Proposición 3.3.5 El cono tangente C K x0  es cerrado y convexo. Demostración. Veamos que C K x0  es un cono. En efecto, Sean v  C K x0  y t  0 cualesquiera. Probaremos que t v  C K x0  , para lo cual usaremos la Proposición 3.3.1.. 32.

(37) Sea   0 cualquiera. Como vC K x0  , de la Proposición 3.3.1 se sigue que existen r  0 y   0 tales que. . .  x BK x0 ; r , h  0 ;  ,  u  v  t B : x  h u   K lo cual implica que.   x BK x0 ; r , s  0 ;   s t  0 ;  , t u  tv   B   x  s t u   K t Así, tenemos que.  x BK x0 ; r , s  0 ; t  ,  t u  tv   B : x  s t u    K De la proposición 3.3.1 se sigue que t v  C K x0  . Veamos ahora que C K x0  es cerrado. En efecto, Sea v C K x0  cualquiera. Luego, existe una sucesión vn   C K x0  que converge a v . Sea   0 cualquiera. Luego, existe un número natural N tal que. . v N  v  ………(1) 2. Como v N C K x0  , de la proposición 4.3.3 se sigue que. d K x  h v N  0 x  x0 h K  lim. h 0. lo cual implica que existen números positivos r y  tales que.  x  BK  x0 ; r ,  h 0 ;   :. d K x  h v N    …….(2) h 2. Sea a  K cualquiera. A partir de d K x  h v   d x  h v ; K   d x  h v ; a   x  h v  a  x  h v N  h v  a  h v N . x  h v N  a   h v  v N .  x  h vN  a  h vN  v. se sigue que  a  K : d K x  h v   x  h v N  a  h v N  v. Si en la última desigualdad tomamos ínfimo sobre los a K se obtiene 33.

(38) d K x  h v   d K x  h v N   h v N  v. lo cual, junto con (1) y (2), implica que. d x  h v N  d K x  h v      K      h h 2 2 2 Así, tenemos que   0,  r  0 ,   0 /  xBK x0 ; r ,  h 0 ;  :. lo cual significa que. lim. x  x0 K h 0 . d K x  hv   h. d K x  h v   0 .De la Proposición 3.3.3 se concluye que h. vCK x0  y así CK x0  es cerrado. Veamos que CK x0  es convexo. En efecto, como CK x0  es un cono es suficiente probar que si v1 , v2  CK x0  , entonces v1  v2  CK x0  . Sean v1 , v2  CK x0  cualesquiera. Para probar que Proposición 3.3.2.. v1  v2  CK x0 . usaremos la. Sean xn   K , hn   0 ;   sucesiones cualesquiera tales que xn  x0 y hn  0 . Como v1  C K x0 , existe una sucesión u n   X con u n  v1 tal que.  n IN : y n  xn  hn u n   K La sucesión  y n  está contenida en K y converge a x 0 . Como v2 C K x0  , usando nuevamente la Proposición 3.3.2, se tiene que existe una sucesión wn   X con. wn  v2 y existe un número natural N 1 tal que  n  N1 : y n  hn wn  xn  hn u n  wn   K Como u n  wn   X es una sucesión que converge a v1  v2 tenemos que.  xn   K con xn  x0 ,  hn   0 ;   con hn  0 ,  u n  wn   X tal que. un  wn  v1  v2. y existe un número natural N 1 tal que.  n  N1 : xn  hn u n  wn   K De la Proposición 3.3.2 se sigue que v1  v2  C K x0  . 34.

(39) 3.4 Relaciones entre los conos contingente y tangente.   1 K  x0  Proposición 3.4.1 C K x0   TK x0   CL  h    h0  Demostración.. . Es claro que C K x0   T x0    1 K  x0  Veamos que TK x0   CL  h    h0 . . En efecto, para cualesquiera   0 y   0 es claro que. . h 0 ;  . 1   h K  x0    B  .   h K  x0    B 1. h0. lo cual implica que.  .   0 h 0 ;  . 1   h K  x0    B  .   h K  x0    B 1. h0. Como la última inclusión se cumple para cualquier   0 se tiene que.  .   0   0 h 0 ;  . 1   h K  x0    B  .   1  K  x0    B   h   0   h0.  . es decir,.   1 K  x0  TK x0   CL  h    h0 . . Proposición 3.4.2 Si K es un subconjunto convexo, los tres conos coinciden:.   1 K  x0  C K x0   TK x0   CL  h    h0 . .   1 K  x0   C K x0  . Demostración. Probaremos que CL  h    h0 . . 35.

(40)   1 K  x0  cualquiera. Para probar que v  C K x0  usaremos la Sea v  CL  h    h0  Proposición 3.3.1.   1 K  x0  existe w  1 K  x0  tal Sea   0 cualquiera. Como v  CL  h h   h0  h0  que. . . vw . Como w . .  2. ……..(*).  h K  x0  existen   0 y y  K tales que w  h  y  x0  lo cual 1. 1. h0. junto con (*) implica que. v. Definamos r .  2. 1  y  x0  h. .  2. ........ (**). . Sean x  BK x0 ; r  y h  0 ;   cualesquiera. Sea u . Veamos que u  v  B  .. uv . . yx. . x0  x. . y  x0  x  x0. v . . . y  x0. . v. . r. v. . .  2. . .  2. x0  x. . .  2. . y  x0. . v.  . Veamos que x  h u   K . Como x  K , y  K , K es convexo y. h. .  0 ;1 a partir de. hy hx  h  y x h x  hu  x  h   1   x    y   x         . se sigue que. x  h u   K .. De la Proposición 3.3.1 se tiene que v  C K x0  .. 36. yx. . ..

(41) Ejemplo 3.4.1 Los conos contingente y tangente pueden ser diferentes. En efecto, sea f la función definida por y.  0 , x0 f x     x , x0. x. 0. Sea K la gráfica de f ; es decir, K    x ; f ( x)  / x IR. . Si x  0 : C K x ; 0  T x ; 0   IR  0   t ; 0 / t  IR   Eje X Si x  0 : C K 0 ; 0    0 ; 0 . TK  0 ; 0   IR 0  t ; t  / t  0 ;   Si x  0 : C K x ; x   TK x ; x    t , t  / t  IR. . . Véase que el cono tangente C K 0 ; 0 es convexo, pero trivial; mientras el cono contingente TK 0 ; 0 no es convexo y tiene infinitos elementos.. Proposición 3.4.3 Si X es un espacio de Banach finito dimensional, entonces.  x0  K : C K x0   lim inf TK x  K x  x 0. Demostración. Por definición sabemos que C K  x0  .  . .   0 r  0   0 x B K  x 0 ; r  h 0 ;  . K  x   h   B . Afirmación 1..  . .   0 xB K  x 0 ; r  h 0 ;  . K  x   h   B  .   . xB K  x 0 ; r    0 h 0 ;  . 37. K  x   h   B .

(42) En efecto, si z .  . .   0 xB K  x 0 ; r  h 0 ;  . K  x   h   B  , entonces existe   0 tal. que. . z. . xB K  x 0 ; r  h 0 ;  . K  x   h   B . Esto implica que  x  B K  x0 ; r  : z . . h 0 ;  . K  x   h   B  .   0 h 0 ;  .   . z. De aquí se tiene que.  . xB K  x 0 ; r    0h 0 ;  . K  x   h   B . K  x   h   B  . Esto prueba la. Afirmación1. Sea v C K x0  cualquiera. Luego,   0 :. v.  . . r  0   0 xB  x 0 ; r  h 0 ;  .  . r 0: v. .   0 x B x 0 ; r  h 0 ;  .  x  B K  x0 ; r  : v . Afirmación 2..  .   0 h 0 ; .  .   0 h 0 ;  . K  x   h   B . K  x   h   B  (usando la Afirmación1). K  x   h   B  ………(*). K  x   h   B   TK x    B. En efecto, sea z .  .   0 h 0 ;  . z. . h 0 ;  . K  x   h   B  . Luego, existe   0 tal que. K  x   h   B  .. Sea N un número natural tal que cumple que. 1   : Luego, para cada n  N se N. 1  0 ;   . Así, podemos construir una sucesión xn   K tal n. que 38.

(43) x  x  z n   B  1   n . . x x Si u n  n , entonces u n  es una sucesión acotada y como X es de 1. n . dimensión finita, entonces u n  tiene una subsucesión (que la seguiremos denotando por u n  ) que converge, digamos a w . Así, tenemos que lim u n  w. n . y. 1 lim    0 n   n . 1 Además, para cada n  IN , x    u n  xn  K .Usando la Proposición n 3.1.2 se sigue que w TK x  . Por lo tanto, z  TK x    B . Esto prueba la Afirmación 2.. Siguiendo de (*) y usando la Afirmación 2 se tiene que vTK x    B . Así, hasta aquí hemos probado que.    0 ,  r  0, x  BK x0 ; r  : v TK x    B es decir, v .  .   0r  0 xB x 0 ; r .  TK x    B : . lim inf Tk x  .. K x  x0. Así, ya probamos que C K x0   lim inf TK x  . K x  x0. Sean X un espacio de Hilbert y K un subconjunto no vacío de X débilmente cerrado. Lema 3.4.4 Para cada y  X , defina el conjunto. .  K  y  :  x K / d K  y   x  y. Luego,.  y  K ,  x K  y  ,  v co TK x  :. . y  x;v  0. Lema 3.4.5 Para cada y X :.  d ( y  hv 2  d ( y ) 2  K lim inf  K   d K ( y ) d v ; co TK  K ( y )   2 h   h 0 . . 39. .

(44) Lema 3.4.6 Sea f : 0 ;   IR la función definida por f t  . 1 d K x  tv  2 2. . . Luego, para casi todo t  0 : f t   d K x  t v  d v ; co TK  K ( x  t v . Teorema 3.4.7 Sea K un subconjunto no vacío débilmente cerrado de un espacio de Hilbert X . Luego,. lim inf TK x   lim inf co TK x   C K x0  K. K x  x0. x  x 0. Demostración. Probaremos que lim inf co TK x   C K x0  K x  x 0. Sea v  lim inf co TK x  cualquiera. Luego, K x  x 0. v.     co TK x   B .   0 r  0 x  Bx 0 ; r . es decir,.    0 ,    0 /  x  Bx0 ;   : v  co TK x    B  Afirmación 1. Si r .  2. y  .  4 v. , entonces.  x BK x0 ; r  ,  t  0 ;  :  K x  t v   BK x0 ;   …….(*) En efecto, sean x BK x0 ; r  y t  0 ;  cualesquiera. Sea z  K x  t v  cualquiera. Luego, d K x  t v   x  t v  z  t v. ,( pues x  K ). A partir de z  x0  z  x  t v  x  t v  x0.  z  x  t v  x  x0  t v.    t v  r  t v  2 v  r  2  4 v  se sigue que z  BK x0 ;   ..   v     2 . (Fin de la prueba de la Afirmación 1). 40.

(45) Definamos la función f t  . 1 d K x  tv  2 2. Del Lema 3.4.6 se sigue que. . . f t   d K x  t v  d v ; co TK  K ( x  t v    d K x  tv    t v. Ahora, para cada x BK x0 ; r  y cada t  0 ;  :. d K x  hv 2 h.  f h   f 0 . h.  f t  dt  . h. v. 0.  t dt. .  v h2. 0. 2. de lo cual se sigue que. d K x  h v   h La última desigualdad implica que.  v h 2. .. d K x  h v  0 h x  x0 lim. h 0 . Por la Proposición 3.3.3 se tiene que vC K x0  .Luego, obtenemos que. lim inf TK x   lim inf co TK x   C K x0  K. K x  x0. x  x 0. Observación. Si X es de dimensión finita, de la Proposición 3.4.3 se sigue que. lim inf TK x   lim inf co TK x   CK x0 . K x  x0. K x  x0. 41.

(46) Capítulo 4. Teorema de la Función Inversa para correspondencias El Teorema 1.3.1 establece el Teorema de la Función Inversa para una función f : U  X  Y donde X e Y espacios de Banach. En este capítulo definimos la derivada contingente de una aplicación multivaluada F : X Y y establecemos el teorema central de este trabajo: El teorema de la Función Inversa para aplicaciones multivaluadas.. 4.1 Derivada contingente Adaptaremos la definición intuitiva de derivada de una función en términos de la tangente a su gráfica al caso de una correspondencia. Definición 4.1.1. Sean. X e Y espacios de Banach F:X Y una correspondencia propia. x0 ; y0   Graf F . La derivada contingente de F en x0 ; y0  se denota por DF x0 ; y0  y se define como la correspondencia DF x0 ; y0  : X Y cuyo gráfico el cono contingente. Tgraf ( F ) x0 ; y0  del gráfico de F en x0 ; y0  .. Observaciones. . Sea u0  X cualquiera. Es claro que DF x0 ; y0 u0   Y y. v0  DF x0 ; y0 u0   u0 ; v0   Tgraf ( F ) x0 ; y0  . v0  DF x0 ; y0 (u0 ) sí, y solo si existen sucesiones hn  0  , un  u0 , vn  v0 tales que.  F x0  hnun   y0    n IN : vn   hn   42.

(47) En efecto, v0 DF x0 ; y0 u0   u0 ; v0   Tgraf ( F ) x0 ; y0 .  Existen sucesiones hn   0 ;  , un ; vn   X  Y tales que . un ; vn  u0 ; v0 . . lim hn  0. .  nIN : x0 ; y0   hn un ; vn   graf ( F ) . n. x0  hnun ; y0  hn vn  graf ( F ). .  F x0  hn vn   y0  y0  hn vn  F x0  hnun   vn    hn   F x0  hu   y 0   Proposición 4.1.1 v0  DF x0 ; y 0 u 0   lim inf d  v0 ; 0  h h 0   u u0. Demostración. Supongamos que v0  DF x0 ; y0 u0  . Luego, u0 ; v0  Tgraf ( F ) x0 ; y0  lo cual significa (según la Definición 1 de la sección 4.1) que. u0 ; v0     . 1  0 r 0 h 0 ; r   2 0.  graf ( F )  x0 ; y 0    1B   2 B   h  . es decir,  1  0 ,   2  0,  r  0,  h 0 ; r  tal que. u0 ; v0  graf ( F )  .  x0 ; y 0 . h.    1 B   2 B  ……..(1) .  graf ( F )  x0 ; y 0  De (1) se sigue que existe u ; v     tal que h  . u0 ; v0   u ; v   1 B   2 B ……….(2) De (2) es claro que u  u0   1 B  y v  v0   2 B  ..  graf ( F )  x0 ; y 0  Como u ; v     se tiene que x0 ; y0   hu; v   graf ( F ) o lo que es h   lo mismo x0  hu ; y0  hv   graf ( F ) lo cual significa que  F x0  hu   y 0  v   ………(3) h   43.

(48) Como d v0 ; v    2 , de (3) se sigue que. F x0  hu )  y 0    d  v0 ;   2 h   Esto implica que. F x0  hu   y 0   lim inf d  v0 ;   0. h h 0    u u0. Observación. Si F : X  Y es una función simple, entonces DF x0   DF x0 ; F ( x0 ). Esta fórmula implica que. v0  DF x0 u 0   lim inf h 0  u u0.  lim inf. F x0  hu   F x0   v0 h F x0  hu   F x0   h v0 h. h 0  u u0. 0. 0. 4.2 El Teorema de la Función Inversa para correspondencias Teorema 4.2.1 Sean X e Y espacios de Banach. F:X Y una correspondencia propia. x0 ; y0   graf ( F ) Supongamos que existen constantes   0 ;1 ,   0, c  0 tales que.  x; y  graf ( F ) con x  x0  y  y0   ,  v Y ,  u  X ,  w  Y tales que. v  DF x; y u   w …………….….(4) u c v. y. w   v ……(5). Luego, F 1 es seudo Lipschitziana alrededor en  y 0 ; x0  . Demostración. Definamos. r :.  1    31    c    c  2   F11  y : F 1  y    x0  3  r B  1   .   c  2   F01  y : F 1  y    x0    r B  1    44.