Laboratorio de Física 1 (ByG) Guía 5: Ley de Ohm y Circuito RC

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Laboratorio de F´ısica 1 (ByG)

Gu´ıa 5: Ley de Ohm y Circuito RC

Verano de 2010

Objetivos

Actividad 1: Ley de Ohm

Determinar la relaci´on entre la diferencia de potencial y la corriente para distintos componentes de un circuito.

Actividad 2: Circuito RC

Estudiar el comportamiento no estacionario de un circuito compuesto por un capacitor y una resistencia.

Actividad 1: Ley de Ohm 1. Introducci´ on

Se dice que un material es conductor cuando posee una gran cantidad de cargas libres (negativas, electrones). Entonces, as´ı como una ca˜ner´ıa puede llevar cierto caudal de agua, a trav´es de un material conductor se puede mover un “caudal” de electrones, que llamaremos corriente. Para que el agua circule por las ca˜ner´ıas de una casa es necesario aplicar cierta diferencia de potencial gravitatorio, poniendo el tanque arriba de la casa. De la misma forma para que los electrones circulen es necesario aplicar cierta diferencia de potencial el´ectrico. En general, la analog´ıa con las ca˜ner´ıas es buena para pensar a los circuitos el´ectricos mientras no se tengan otras herramientas. En la pr´actica sucede al rev´es, y los circuitos el´ectricos son utilizados para modelar una gran cantidad de flujos (como el sistema circulatorio o el sistema de irrigaci´on en plantas).

La corriente, como el caudal, puede ser positiva o negativa seg´un el sistema de referencia que se tome y el sentido de circulaci´on de las cargas. La diferencia de potencial tambi´en puede cambiar de signo seg´un el sistema de referencia1.

Cada material o combinaci´on de materiales reacciona distinto ante el paso de una corriente o la aplicaci´on de una diferencia de potencial, y generan una relaci´on caracter´ıstica para la diferencia de potencial entre sus extremos y la corriente que pasa a trav´es de ´el.

La Ley de Ohm es una de las leyes experimentales m´as utilizadas, y plantea justamente una relaci´on entre la diferencia de potencial y la corriente. La validez de esta ley depende fuertemente del material, es as´ı que hay materiales que se llaman ´ohmicos o no ´ohmicos.

Unidades:

[Diferencia de Potencial, Voltaje ´o Tensi´on] = Volts (V ) [Carga] = Coulomb (C)

[Intensidad de Corriente] = Ampere (A) = C/seg [Resistencia] = Ohm (Ω)

1Para pensar al final: ¿Cu´ando y c´omo definen el sistema de referencia?.

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Figura 1: Fuente de Voltaje.

Figura 2: Mult´ımetro con la ubicaci´on de los modos que utilizaremos marcada con recuadros. Dentro de cada modo, est´an detalladas en el mult´ımetro las escalas que deber´an utilizarse .

2. Materiales y M´ etodos:

Para esta pr´actica se utilizar´an resistencias (entre 5K y 51K) y diodos, una fuente de Voltaje Continua y mult´ımetros. Las fuentes de voltaje existentes en el laboratorio pueden funcionar tanto en un r´egimen continuo como en alterna. Un esquema del panel frontal de la fuente se presenta en la Figura 1. Para esta pr´actica solo se utilizar´a el modo continuo. Con la perilla que aparece en la figura 1 es posible regular la tensi´on que entrega la fuente. No debe cortocircuitarse la fuente, por lo que si creemos que esto puede ocurrir o no sabemos que es lo que va a ocurrir, debemos colocar una resistencia de protecci´on en serie con la fuente (¿por qu´e?). Es conveniente chequear cu´al es la corriente m´axima que puede entregar la fuente para determinar cu´al es el valor de la resistencia de protecci´on que debe utilizarse.

Con el mult´ımetro, esquematizado en la figura 2 se puede medir tanto corriente como voltaje. En cada caso es necesario seleccionar el modo correcto (preguntar al docente), seleccionar la escala (pensar en cada caso qu´e escala utilizar y consultar el manual del mult´ımetro para obtener la incertidumbre de cada medici´on). Tambi´en deben conectarse correctamente los cables seg´un vayan a medir corriente o tensi´on.

Modo de conexiones para realizar las mediciones:

Voltaje: en este caso se mide la diferencia de potencial entre dos puntos (A y B) del circuito que no necesariamente deben ser adyacentes ni cercanos. Para ello se debe conectar el mult´ımetro “en paralelo” como indica la figura 3a).

La resistencia interna de un volt´ımetro es muy grande y por tanto no consume intensidad aunque se conecte en paralelo con cualquier elemento del circuito. Toda diferencia de potencial implica una medida entre dos puntos del circuito. Un caso particular es cuando uno de los puntos es el nivel de tensi´on de referencia con valor 0 voltios o GND ( GROUND o Tierra ).

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Figura 3: Modo de conexi´on del mult´ımetro al circuito, seg´un se mida voltaje o corriente: a) Medici´on de voltaje ”en paralelo”. b) Medici´on de Corriente ”en serie”.

Corriente: en este caso se mide la corriente que pasa por una rama del circuito. Para ello se debe conectar el mult´ımetro “en serie” como indica la figura 3b). El amper´ımetro posee una resistencia de medida es muy peque˜na, de tal manera que no hay una ca´ıda de tensi´on apreciable entre sus terminales.

NOTA: Una conexi´on incorrecta de un equipo puede causar cortocircuitos involuntarios.

Los cortocircuitos pueden da˜nar el instrumental o dar lugar a medidas incorrectas porque el circuito ha sido modificado por la conexi´on del instrumental de medida. Verifique la conexi´on del circuito con el docente antes de encender la fuente de tensi´on.

3. Actividades

Realizar para cada uno de los elementos que conectaremos en el circuito2, una serie de mediciones que abarquen un rango desde valores muy negativos de voltaje hasta valores muy positivos. Una vez terminada esta medici´on, seleccionar la/las regiones que les resulten m´as interesantes y agregar m´as puntos a fin de poder describir mejor el comportamiento del sistema en esas regiones.

¿C´omo lograr valores negativos de voltaje? ¿Qu´e ocurre si se conectan los cables a las distintas salidas de la fuente (-9V, TIERRA, +9V, VARIABLE)? Ver figura 1. ¿Qu´e sucede si se invierten los cables de la fuente una vez que ya est´an midiendo o ya midieron?

1. Respuesta de una resistencia: Medir la corriente que pasa por una resistencia y la diferencia de potencial en sus extremos.

¿Pueden generar un modelo (una ecuaci´on que represente la relaci´on entre las variables)?

¿Este modelo vale en todo el rango de voltajes y corrientes que midieron?

2. Respuesta de un diodo: Medir la corriente que pasa por un diodo y la diferencia de potencial en sus extremos.

¿Pueden generar un modelo (una ecuaci´on que represente la relaci´on entre las variables)?

¿Este modelo vale en todo el rango de voltajes y corrientes que midieron?

3. ¿Importa en qu´e orden conectan las puntas del mult´ımetro (por ejemplo: rojo en A y negro en B, ver Figura 3.a)? ¿Qu´e cambia si los invierten?

4. ¿Cu´al es la Ley de Ohm? ¿Se cumple la Ley de Ohm para alg´un elemento de los que se ven en esta gu´ıa? ¿Existen rangos en los que se cumple y rangos en los que no?

2Resistencias, diodos, l´amparas, etc.

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Figura 4: Esquema de un capacitor de placas paralelas.

Actividad complementaria:

Utilizando las placas con resistencias arme un circuito con resistencias en serie conectado a una fuente de tensi´on fija. Mida tensi´on y corriente sobre cada resistencia y total. Obtenga el valor de la resistencia equivalente. Realice el procedimiento anterior para una conexi´on de resistencias en paralelo.

Actividad 2: Circuito RC 1. Introducci´ on

Un capacitor est´a constituido por dos placas conductoras separadas por una distancia peque˜na (respecto de las longitudes caracter´ısticas de las placas). Generalmente, entre ellas hay un medio diel´ectrico. Si se conecta el capacitor a una fuente, las cargas se distribuyen en las superficies, llegando a un equilibrio como se muestra en la figura 4. En cada placa, hay igual cantidad de carga pero de signo contrario. La diferencia de potencial V que existe entre las dos placas conductoras es proporcional a la carga Q que hay en cada placa. Esto se expresa de la forma:

Q = C · V (1)

donde C es la constante de proporcionalidad llamada capacitancia. Esta constante depende de las caracter´ısticas del capacitor (superficie de placas y distancia de separaci´on, material entre placas).

Unidades

[Capacitancia] = faradio (F )= C/V .

Para estudiar las propiedades de un capacitor, podemos armar el circuito que se muestra en la figura 5. Cuando la llave conecta a la bater´ıa, la diferencia de potencial del circuito es:

V0 = VC+ VR, (2)

donde VC es la diferencia de potencial sobre el capacitor y VR es la diferencia de potencial sobre la resistencia. Utilizando la ecuaci´on 1 para VC (VC = QC) y la Ley de Ohm para VR:

VR= I · R = dQ dtR ,

podemos escribir V0 como una ecuaci´on de la carga Q y su derivada:

V0 = Q C +dQ

dt R , (3)

resolviendo esta ecuaci´on, donde la variable es Q y la condici´on inicial es que el capacitor se encuentra descargado3, resulta:

Q(t) = V0· C³1 − eRCt ´ (4)

3Matem´aticamente, la condici´on de ”capacitor descargado” a tiempo t = 0, se expresa: Q(0) = 0.

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Figura 5: Circuito RC. Dos posibles configuraciones: (1) conectado a la bater´ıa; (2) al desconectar la bater´ıa. VRy VC indican las mediciones de diferencia de potencial sobre cada uno de los elementos.

Utilizando la ecuaci´on 1 para VC tenemos una expresi´on para el voltaje sobre el capacitor en funci´on del tiempo:

VC(t) = Q(t)

C = V0³1 − eRCt ´ . (5)

Por otra parte tenemos una expresi´on para el voltaje sobre la resistencia combinando la eq. 2 para V0 con la ec. 5 para VC(t):

VR= V0− VC = V0eRCt . (6) Estas expresiones indican cual es la evoluci´on temporal de la diferencia de voltaje sobre la resis- tencia y sobre el capacitor cuando se conecta una bater´ıa al circuito RC.

Resolver la evoluci´on temporal del circuito cuando se desconecta la bater´ıa estando el capacitor cargado con una carga Q(0) = V0· C

Este circuito tiene particular importancia en biolog´ıa porque los mismos elementos de un circuito RC se usan para modelar una membrana celular. Ver m´as detalles en el ap´endice.

2. Actividades

En la pr´actica de Ley de Ohm (actividad 1) se midi´o la corriente y la diferencia de potencial en un circuito en estado estacionario. Es decir, que no deb´ıamos preocuparnos por lo que ocurre cuando se cierra una llave, sino que se asume que por el circuito circula una corriente instant´aneamente, igual a la medida; ´o simplemente que se mide lejos del momento en que se enciende la llave, a tiempos en los cuales el sistema se encuentra en un estado estacionario.

Ahora se quiere estudiar los circuitos a tiempos cortos o cercanos al momento en que se enciende o se apaga una llave. Al comportamiento del circuito a estos tiempos se lo llama transitorio.

¿Por qu´e recibe este nombre? ¿Qu´e son tiempos cortos y tiempos largos?

Para estudiar la din´amica del circuito necesitamos medir V o I en funci´on del tiempo. Para ello utilizaremos el MPLI y conectaremos a uno de los canales un cable para medir tensi´on sobre la resistencia ´o sobre el capacitor.

1. Construir un circuito RC como el de la figura 5. La fuente de tensi´on continua y la llave ser´an reemplazadas por un generador de ondas, que nos permitir´a alimentar el circuito con una onda cuadrada. Cuando se emplea una onda cuadrada la fuente nos entrega durante un intervalo de tiempo T una tensi´on fija V0 (equivale a la conexi´on (1) de la figura 5) y en el intervalo de tiempo T siguiente, entrega una tensi´on igual a 0 (equivale a la conexi´on (2) de la figura 5). Esto podemos hacerlo repetidas veces. El tiempo T puede variarse.

¿Qu´e par´ametros pueden ser relevantes para la din´amica? ¿Qu´e par´ametros pueden ser controlados experimentalmente?

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2. Medir con el MPLI diferencia de potencial en funci´on del tiempo (V (t)).

¿Es igual V (t) para la resistencia (VR) que para el capacitor (VC)?

NOTA: Tener cuidado al conectar el cable para medir la diferencia de potencial sobre alguno de los elementos del circuito. Uno de los terminales del MPLI est´a conectado a tierra. Si el generador de onda tambi´en est´a conectado a tierra, se puede generar un cortocircuito. CONSULTAR CON EL DOCENTE

3. Repetir la medici´on para diferentes combinaciones de los par´ametros. Dado que la duraci´on de la pr´actica est´a limitada a 3hs, no es factible medir todas las combinaciones posibles de valores.

Se recomienda elegir un juego de par´ametros y variarlos de a uno, manteniendo el resto de los valores fijos.

¿Qu´e funci´on utilizar´ıas para ajustar la respuesta del circuito? ¿Se pueden linealizar los resultados?

¿Cu´al es el tiempo caracter´ıstico del transitorio?

¿C´omo dependen los resultados con los par´ametros del circuito (discutidos en el punto 2)?

A. Ap´ endice

Analog´ıa del cicuito RC con membranas biol´ ogicas

En base a circuitos el´ectricos, se pueden modelar membranas biol´ogicas, que reproducen algunas de sus propiedades a partir de dos elementos fundamentales: las resistencias el´ectricas y los condensadores.

La resistencia el´ectrica de un conductor de longitud l y de secci´on transversal A se puede escribir como:

R = ρ l A,

donde ρ es la resistividad, que depende del material considerado y el factor l/A tiene en cuenta las dimensiones f´ısicas del sistema concreto que se estudia.

En membranas homog´eneas ρ representa una resistividad compuesta. Por ejemplo, si consideramos una membrana adiposa compuesta de materia grasa (bicapa lip´ıdica) atravesada por peque˜nos poros conductores (canales i´onicos), para la bicapa es ρ À 109Ωcm y para los poros ρ ¿ 109Ωcm, resultando en una resistividad de 109Ωcm que, naturalmente, depende del n´umero de poros y de su tama˜no.

Generalmente, la resistividad ρ y el n´umero l/A son constantes, y por lo tanto, la resistencia tambi´en lo es. Sin embargo, en algunos sistemas pueden depender de la corriente a trav´es de la membrana o del voltaje a ambos lados de la misma.

En este caso, si el cambio de R no es instant´aneo, significa que la membrana se comporta como un capacitor. En una membrana heterog´enea, compuesta de materia adiposa y poros, la capacidad se debe al ´area de la materia adiposa excluyendo los poros. As´ı, una membrana heterog´enea se puede representar como un circuito compuesto como el de la figura 6, donde R es la resistencia4 de los poros y la capacidad de la bicapa lip´ıdica es C. Er = Vint− Vext representa la diferencia de potencial entre el exterior y el interior de la membrana.

.

4En este modelo se desprecia la conductancia a trav´es de la membrana, porque tiene una resistencia mucho mayor que los canales i´onicos (poros).

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Figura 6: Modelo el´ectrico sencillo de una membrana celular. Er = Vint− Vext es la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la membrana (potencial de la membrana). R representa la resistencia a la corriente de iones en los canales i´onicos. C es la capacidad de la membrana por unidad de ´area .

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