CERTAMEN N o 1 MAT

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CERTAMEN N

^o

1 MAT-021 2011 - 1

P R E G U N T A S

1. Considere el siguiente razonamiento: Si estudio entonces apruebo los cursos. Adem´as, si no termino mi carrera entonces no apruebo los cursos. A partir, unicamente de lo anterior,

¿cu´al de las siguientes afirmaciones es verdadera?

(A) Si termino mi carrera entonces estudio.

(B) Si apruebo los cursos entonces estudio.

(C) Si estudio entonces termino mi carrera.

(D) Si no estudio entonces no apruebo los cursos.

(E) Todas las anteriores son falsas.

Soluci´on:

Si definimos p: estudio, q: apruebo los cursos y r: termino mi carrera, entonces el enunciado corresponde a (p =⇒ q) ∧ (r =⇒ q). Equivalentemente (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r). Es claro que a es r =⇒ q, b es q =⇒ p, c es p =⇒ r (la cual es cierta por transitividad) y d equivale a b. La respuesta es C.

2. El conjunto soluci´on S de la inecuaci´on

x²− 4x − 4 < 8, es:

(A) S = (−2, 6) (B) S = R − {2}

(C) S = (−∞, −2) ∪ (6, ∞) (D) S = (−2, 2) ∪ (2, 6) (E) Ninguna de las anteriores

Soluci´on:

La inecuaci´on es equivalente a resolver:

−8 < x²− 4x − 4 ∧ x²− 4x − 4 < 8 x²− 4x + 4 > 0 ∧ x²− 4x − 12 < 0

(x − 2)² > 0 ∧ (x − 2)²< 16

|x − 2| > 0 ∧ |x − 2| < 4 x 6= 2 ∧ −4 < x − 2 < 4 x ∈ R − {2} ∧ −2 < x < 6

luego el conjunto soluci´on S = (−2, 2) ∪ (2, 6), con ello, la alternativa correcta es la D.

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3. El conjunto solución de la ecuación trigonométrica sen(x)(sen(x) + 1) = 2, es:

(A) S = {π + 2πk /k ∈ Z}

(B) S = {π/2 + πk /k ∈ Z}

(C) S = {2π + πk /k ∈ Z}

(D) S = {π/2 + 2πk /k ∈ Z}

(E) Ninguna de las anteriores.

Soluci´on:

La ecuación equivale a sin²(x) + sin(x) − 2 = (sin(x) + 2)(sin(x) − 1) = 0. Luego sin(x) = 1, es decir la solución son todos los números reales de la forma π/2 + 2πk con k entero. La respuesta es D.

4. Con respecto a la funci´on f (x) = sen²(3x) − cos²(3x).

(I) La funci´on es par.

(II) La sinusoide y = f (x) tiene amplitud 1.

(III) La imagen de π/6 es 1.

¿Cu´al(es) es(son) verdadera(s)?

(A) Sólo I (B) So`lo I y II (C) Sólo I y III (D) Sólo II y III (E) Todas I, II y III.

Soluci´on:

Tenemos que f (x) = sin²(3x) − cos²(3x) = − cos(6x) y luego I, II y III son verdaderas. La respuesta es E.

5. El conjunto soluci´on de la siguiente inecuaci´on

|x − 7| < 5 < |5x − 25| , es:

(A) (2, 4)

(B) (2, 4) ∪ (6, 12) (C) (4, 6)

(D) (2, 4] ∪ [6, 12) (E) (6, 12)

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Soluci´on:

La inecuaci´on es equivalente a resolver:

|x − 7| < 5 ∧ 1 < |x − 5|

−5 < x − 7 < 5 ∧ (x − 5 > 1 ∨ x − 5 < −1) 2 < x < 12 ∧ (x > 6 ∨ x < 4)

El conjunto soluci´on es (2, 4) ∪ (6, 12), luego, la respuesta es B.

6. Resuelva el sistema:

log(x) + log(y³) = 5 log

x² y

= 3 e indique su soluci´on

(A) x = 2, y = 1.

(B) x = 10, y = 100.

(C) x = 1, y = 10.

(D) x = 10, y = 1.

(E) x = 100, y = 10.

Soluci´on:

El sistema entregado puede escribirse como:

log(x) + 3 log(y) = 5 2 log(x) − log(y) = 3 definiendo: a = log(x) y b = log(y) se debe resolver el sistema:

a + 3b = 5

2a − b = 3 ⇒ a + 3b = 5 6a − 3b = 9

⇒ a = 2

b = 1 En consecuencia:

a = 2 ⇒ log(x) = 2 ⇒ x = 10² ⇒ x = 100 b = 1 ⇒ log(y) = 1 ⇒ y = 10¹ ⇒ y = 10 La respuesta es por tanto E.

7. Considernando la funci´on

f (x) = 8 sen

3x + π 12

cos

3x + π 12

determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera.

(A) f no es una funci´on sinusoidal

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Soluci´on:

Aplicando algunas identidades trigonom´etricas obtenemos f (x) = 8 sin

3x + π 12

cos

3x + π 12

= 4 sin

2

3x + π 12

= 4 sin

6x +π

6

luego f es una funci´on sinusoidal de amplitud A = 4, periodo p = ^2π₆ = ^π₃, ´angulo de fase θ = −₃₆^π. Por lo tanto la alternativa correcta es C.

8. Sea a < 0 . El conjunto soluci´on de la inecuaci´on ax³− a²x² < 0 es:

(A) (a, 0) ∪ (0, +∞) (B) (0, +∞)

(C) (a, +∞) (D) (−∞, a) (E) (−∞, −a)

Soluci´on:

Factorizando, tenemos: a(x − a)x² < 0 ⇔ (x − a)x² > 0, como x = 0 no es soluci´on, tenemos x − a > 0, es decir, x > a , de donde, el conjunto soluci´on es (a, 0) ∪ (0, +∞), luego, la respuesta es A.

9. Considere la funci´on biyectiva f : R → (−∞, 2), dada por f (x) = 2 − e^1−x, entonces la funci´on inversa de f viene dada por:

(A) f⁻¹(x) = 1 − ln(x − 2) (B) f⁻¹(x) = 1 + ln(2 − x) (C) f⁻¹(x) = 1 − ln(2 − x) (D) f⁻¹(x) = 1 + ln(x − 2) (E) Ninguna de las anteriores

Soluci´on:

(f ◦ f⁻¹)(x) = x, ∀x ∈ (−∞, 2), luego tenemos:

f (f⁻¹(x)) = x 2 − e^1−f⁻¹^(x) = x

2 − x = e^1−f⁻¹^(x) ln(2 − x) = 1 − f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = 1 − ln(2 − x) por tanto, la respuesta es C.

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10. Dadas las funciones:

f (x) =

x²+ 1 , x ≥ 1 x , x < 1 y

g(x) = ln [(2x − 1)(9 − x)]

Si A = f ([0, 5]) y B = dom(g), entonces, el conjunto A ∩ B corresponde a:

(A) [0, 1] ∪ (2, 10]

(B) (¹₂, 1) ∪ [2, 9) (C) (1, 2] ∪ [5, 9]

(D) [¹₂, 5] ∪ [2, 26]

Soluci´on:

f ([0, 5]) = f ([0, 1) ∩ [1, 5])

= f ([0, 1)) ∩ f ([1, 5])

= [0, 1) ∩ [2, 26]

dom(g) = {x ∈ R / (2x − 1)(9 − x) > 0}

= (¹₂, 9)

luego, A ∪ B = (¹₂, 1) ∪ [2, 9), siendo por ello la respuesta B.

11. Teniendo en cuenta que el ´angulo \ABC es obtuso, en el tri´angulo de la figura adjunta,la longitud del segmento de AB es

(A) √ 2 (B) √

3 + 1 (C) √

3 (D) √

3 ± 1 (E) √

3 − 1.

Soluci´on:

Sea AB = x, usando el teorema del coseno: 2² = x² + 6 − 2 ·√

6x cos(45^◦), se obtiene x² − 2√

3x + 2 = 0 cuyas ra´ıces son: x = √

3 + 1 y √

3 − 1, al ser \ABC obtuso, el lado mayor del tri´angulo es√

6, s´olo queda la opci´on de x =√

3 − 1, ya que √ 6 <√

3 + 1, de donde la alternativa correcta es E.

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12. ¿Cu´al(es) de las funciones siguientes es(son) igual(es) a su propia inversa?

(I) f (x) = 1 x (II) f (x) = x

x − 1 (III) f (x) = 2x

x + 2 (A) S´olo I

(B) Sólo II (C) Sólo III (D) Sólo I y II (E) Todas I , II y III

Soluci´on:

(I) f (f⁻¹(x)) = x ⇒ 1

f⁻¹(x) = x ⇒ f⁻¹(x) = 1 x (II) f (f⁻¹(x)) = x ⇒ f⁻¹(x)

f⁻¹(x) − 1 = x ⇒ f⁻¹(x) = x x − 1 (III) f (f⁻¹(x)) = x ⇒ 2f⁻¹(x)

f⁻¹(x) + 2 = x ⇒ f⁻¹(x) = 2x 2 − x Luego, la respuesta es D.

13. Considere la funci´on f definida en todo R mediante: f (x) = 3^1+x− 3^1−x, determine la(s) preimagen(es) de 8

(A) -1 (B) 1 (C) -1 y 1 (D) 2

(E) Ninguna de las anteriores

Soluci´on:

Para hallar las preim´agenes basta resolver la ecuaci´on exponencial 3^1+x− 3^1−x = 8 ⇔ 3 · 3^x− 3

3^x = 8

Si u = 3^x, se tiene: 3u − ³_u = 8, cuyas soluciones son: u = 3 y u = −¹₃, de donde x = 1, la alternativa correcta es B.

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14. Sea y = f (x) la función con dominio [0, 2] y recorrido [0, 1] cuya gráfica se muestra en la figura adjunta, determine el dominio y recorrido de la función g(x) = 2 − f (3 − x).

(A) dom(g) = [1, 3] y rec(f ) = [1, 2]

(B) dom(g) = [1, 3] y rec(f ) = [−1, 0]

(C) dom(g) = [3, 5] y rec(f ) = [1, 2]

(D) dom(g) = [0, 2] y rec(f ) = [0, 1]

Soluci´on:

Desde f (x) → g₁(x) = f (x + 3) se produce un traslado a la izquierda en 3 unidades, el dom(g1) = [−3, −1] y el rec(g1) = [0, 1]

Desde g₁(x) → g₂(x) = g₁(−x) = f (3 − x) se produce una reflexi´on con respecto al eje y, entonces dom(g₂) = [1, 3] y rec(g₂) = [0, 1]

Desde g2(x) → g3(x) = −g2(x) = −f (3 − x) se produce una reflexi´on con respecto al eje x, entonces dom(g₃) = [1, 3] y rec(g₃) = [−1, 0]

Desde g₃(x) → g(x) = 2 + g₃(x) = 2 − f (3 − x) se produce un desplazamiento vertical dos unidades para arriba, entonces dom(g) = [1, 3] y rec(g) = [1, 2]

luego, la alternativa correcta es A.

15. Definamos f (x) = x²+ 6x + 10. Entonces f : A → B es una funci´on biyectiva si A y B son:

(A) A = [−4, −2], B = [1, 2].

(B) A = (−∞, −3], B = [1, ∞).

(C) A = [−3, ∞), B = R.

(D) A = [−3, 0], B = [1, ∞).

Soluci´on:

Representaremos en el plano la par´abola

y = x²+ 6x + 10 y = (x + 3)²− 9 + 10 y − 1 = (x + 3)²

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16. Sea g una funci´on real con dominio dado por dom(g) = [1, ∞), y sea f (x) = 1

x². Entonces el dominio de la funci´on g ◦ f es:

(A) [−1, 1]

(B) (0, 1]

(C) [−1, 0) ∪ (0, 1]

(D) (1, ∞)

Soluci´on:

dom(g ◦ f ) = {x ∈ dom(f )/f (x) ∈ dom(g)}

= {x 6= 0/_x¹2 ∈ [1, +∞)}

= {x 6= 0/_x¹₂ ≥ 1}

= {x 6= 0/x²− 1 ≤ 0}

= {x 6= 0/ − 1 ≤ x ≤ 1}

= [−1, 0) ∪ (0, 1]

siendo luego, la alternativa correcta C.

17. Sean a, b, c ∈ R y f (x) = ax²+ 3bx − c (x ∈ R) una funci´on. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?.

(I) Si b = 0, entonces f (x) es una funci´on par, para todos a, c ∈ R.

(II) Si a = 3, b = ¹₃ y c = 4, entonces f (x) es decreciente en el intervalo [−1, 0].

(III) Si a = 1, b = 0, entonces f (x) es una funci´on creciente en [5, 10].

(A) Sólo I (B) Sólo II (C) Sólo III (D) Sólo I y III (E) Todas I , II y III

Soluci´on:

La afirmaci´on I. es verdadera. De hecho, si b = 0, entonces f (x) = ax² − c. As´ı, dado x ∈ R, tenemos que

f (−x) = a(−x)²− c

= ax²− c

= f (x), de donde f es par.

La afirmaci´on II. es falsa. En efecto, para dichos valores de a, b y c, se tiene

f (x) = 3x²+ x − 4. Ahora bien, el vértice de esta parábola es V = −¹₆, −⁴⁹₁₂, y como el coeficiente de x² es positivo, es claro que para puntos cercanos a −¹₆ esta función pasa de ser decreciente a creciente. En particular, f no es ni creciente ni decreciente en [−1, 0].

Finalmente, la afirmaci´on III. es verdadera, ya que si a = b = 0, entonces f (x) = −c es una recta horizontal, y por lo tanto es creciente y decreciente en R. En particular, ella es creciente en [5, 10]. As´ı, la alternativa correcta es D.

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18. El conjunto soluci´on de la ecuaci´on

arc cos(2x²− 1) = 2 arc cos(¹₂) es:

(A) {−¹₂;¹₂} (B) {−¹₂} (C) {¹₂} (D) {−¹₄;¹₄}

Soluci´on:

Sea α = arc cos(¹₂) con 0 ≤ α ≤ π de aqu´ı cos(α) = ¹₂ ⇒ α = ^π₃ ∈ [0, π], por tanto, arc cos(¹₂) = ^π₃, tenemos luego:

arc cos(2x²− 1) = ^2π₃ 2x²− 1 = −¹₂

x² = ¹₄ x = ±¹₂

Restricci´on:

−1 ≤ 2x²− 1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2x²≤ 2 ⇒ 0 ≤ x²≤ 1 ⇒ |x| ≤ 1 por tanto, la alternativa correcta es A.