TRABAJO PRÁCTICO 1. 1) Escribir una expresión que represente a cada una de las siguientes situaciones:

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Matemática Preuniversitaria 2013 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TRABAJO PRÁCTICO 1

Módulo 1: Conjuntos numéricos

Operaciones, propiedades de las operaciones en los distintos conjuntos numéricos. Representación gráfica de números. Resolución de ecuaciones en los distintos conjuntos numéricos. Valor absoluto.

Inecuaciones. Intervalos de números reales.

1) Escribir una expresión que represente a cada una de las siguientes situaciones:

a) La edad de Dany …x…

• La edad de Dany hace tres años

• El triple de la edad de Dany

• El doble de la edad de Dany aumentado en 100

• La mitad de la edad que tenía Dany hace 10 años.

b) El número de horas que funciona un motor en 1 día …x...

• El número de horas que funciona ese motor en 15 días

• El número de horas que no funciona ese motor en 1 día

• El número de horas que no funciona ese motor en 1 mes c) Un número...x...

• El siguiente de un número entero

• Un número par cualquiera.

• Un número impar cualquiera.

• El triple del siguiente de un número entero.

• El siguiente del triple de un número entero.

• El siguiente número par de un número impar

• El siguiente número impar de un número impar.

• El anterior del cuadrado de un número es 4, ¿Cuál es ese número?

• ¿Qué números enteros son iguales a su cuadrado?

2) Plantear, resolver, indicar a qué conjunto numérico pertenece la solución y representar en la recta real:

a) El triple del opuesto de un número entero es -168. ¿De qué número se trata?

b) El doble del consecutivo de un número entero es igual a la suma de ese número y el opuesto de -14. ¿De qué número se trata?

c) Si a un número se le suma su cuadrado es igual al anterior de dicho número por su siguiente, ¿de qué número se trata?

d) El doble del cuadrado de un número es igual a 0,5 ¿cuál es ese número?

e) La diferencia entre 18 y el antecesor de un número entero es 32. ¿Qué número es?

f) La diferencia entre 15 y el consecutivo de un número entero es 34. ¿De qué número se trata?

g) La mitad del doble de la suma de un número entero y cuatro es igual a ese número aumentado en dos unidades. Calcula qué número es.

3) Dados los siguientes conjuntos A = {1,2,3,4} B = {2,4,6,8} C = {3,4,5,6}

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Hallar A ∪ B , A ∪ C , B ∪ B, A ∩ B, A ∩ C, A ∩ B ∩ C, A – B, C – A, B – B, Ac, (A ∩ C) c, (A ∪ B) c, (B-C) c

4) Escribir las siguientes relaciones entre números reales con la notación de desigualdades.

a) y está a la derecha del 8 b) z está a la izquierda del 0 c) x está entre -3 y 7 d) w está a la izquierda de y

5) Considerar los siguientes conjuntos de números reales:

A = {x ∈ R/ x > − 3}, B={x ∈ R/ x ≤ 4,5},





 ∈ ≤−

= 3

/ x 7 R x

C y D = {x ∈ R/ x > 3}.

a) Representar cada uno en la recta real.

b) Escribir los conjuntos que representan A ∪ B, A ∩ B, A ∪ D, C ∩ D, B ∩ C, A ∩ B ∩ C.

c) Representar en la recta real los conjuntos de b).

6) Sean A = [-3; 1/2) B = (-1; 6,5) C = (-∞; 1] Hallar y escribir en notación de intervalos A ∪ B, B∩C, B − C, C − B, A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C.

7) Considerar para cada inciso un sistema de ejes cartesianos en el plano.

a) Ubicar en él los siguientes puntos: (-1,1); (0,2); (3,0); (-2,0); (0,-½);

(-2,-3)

b) Marcar en el eje de las abscisas (eje x) el conjunto donde x ≥ 1 c) Marcar en el eje de las ordenadas (eje y) el conjunto donde y ≥ 1

8) Considerar los siguientes conjuntos de puntos del plano R2. Graficar los conjuntos siguientes:

F = {(x,y) ∈R2/ x > 1} G = {(x,y) ∈ R2/ y ≤ 2}

H = {(x,y) ∈R2/ x < 2} y J = {(x,y) ∈ R2/ y > -2}

a) Establecer gráficamente F ∩ G, F ∪ J, H ∩ J, G ∪ H, F ∩ H, G ∪ J b) Marcar la región del plano donde x > 2 e y ≤ 3.

c) Marcar en el plano el conjunto de puntos (x,y) para los que x > 2 d) Marcar en el plano el conjunto de puntos (x,y) para los que y ≥ 2

9) Indicar en el plano R2 los puntos para los cuáles es válida la expresión:

a) x=3 b) x > 1 c) x > 1 ∧ y ≥ 2

d) -3 < y < 1 e) -1≤ x ≤ 2 ∧ 2 < y< 3 f) y= -2

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10) Dados x, y, z números reales tales que z ≠ 0 y x > y, indicar cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas y cuáles no. Justificar. Mostrar ejemplos y contraejemplos.

a) x + z > y + z b) x. z > y. z c) x⋅z2 > y⋅z2

11) Analizar si las siguientes proposiciones son verdaderas o no. Justificar a) a≥b⇔a2 ≥b2

b) Para a≥0 yb≥0, si a≤b entonces a2 ≤b2. c) a>b⇒−b<−a.

12) Resolver las siguientes inecuaciones y, además, indicar, en los casos en que sea posible, dos números naturales, dos números enteros (que no sean naturales), dos números racionales (que no sean enteros) y dos números irracionales que pertenezcan al conjunto solución. Representar gráficamente la solución.

a) 3x + 2,1 < 0,5 b) 0,3 x – 0,5 < 3x + 1 c) (x + 2 )(3x-1)≥ 0 d) (x + 2 ) ( 3x-1) < 0

e) 2

1≤ + x

x

f) |x | < 5 g) | x | ≥ 3 h) | x | < -1 i) | 2 – 3 x | ≥ 1 j) |3x - 2| < 1

13) Para resolver la ecuación 3/x < 2 un alumno procede así:

a) Multiplicó por x la ecuación: 3 < 2x.

b) Luego divido por 2: x > 3/2 Este razonamiento es falso. ¿Por qué?

14) La inecuación 7x2 > 3x, ¿es equivalente a 7x > 3? Razonar la respuesta y resolver las 2 inecuaciones para comprobar tu afirmación.

15) La inecuación x4- 1 > 0 ¿es equivalente a x2 – 1 > 0? ¿Por qué?

16) Resolver y expresar el resultado mediante la fracción irreducible correspondiente:

a) + ⋅ − − =

5 3 1 , 0 1 , 0 5 , 9 0

2 b) =

















3

16 1 7 16 .15 5 , 0

2 1

3 1 6 , 0

c)  − =



 −

4 4 3 2

1 , 0 . 1 2 , 0 7

, 0

9 . 5 , 0

512 d) =

− +

− +

+ − + −

15 , 4 0 1

1 1 , 5 0 1

1 4 , 2 0 1

1

5 , 2 3

1 25 , 1 2

1 75 , 0 1

1

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e)

(

1,2+2,3)0,83)

)

.2= f)

(

0,5+0,05+0,005

)

.0,900=

g) =



 

 

 

 +

− + ⋅

30 1 19 3 6 , 2 2

18 , 0

1 3 , 0

2

10 : 9 3 , 0

1 9 ,

14 h) 0,46

3 35 , 0 9 74 , 2 2 8 ,

0 ⋅ 3+ − −

17) Calcular qué tanto por ciento es:

a) 150 de 240 b) 18 de 45 c) 540 de 108000 d) 24 de 8 e) 132 de 55 18) Calcular el perímetro del siguiente paralelogramo y expresar el resultado en metros.

19) Calcular el perímetro y el área del siguiente trapecio isósceles y expresar el resultado en dam y en dam2 respectivamente:

20) El perímetro de una losa cuadrada es de 3,24 m. Calcular su área.

21) La diagonal de un cuadrado es 1,42 dm. Calcular:

a) su área.

b) su perímetro.

22) Hallar el área de un paralelogramo de 23,4 cm de base y cuya altura es un tercio de la base.

Expresar el área en dm2.

23) El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. La base es 3 cm mayor que la altura. Calcular el área en m2.

24) El área de un rombo es de 15,96 cm2. La longitud de una diagonal es 7,6 cm. Calcular la longitud de la otra diagonal.

25) Calcular la altura de un rectángulo de 3,2 dm de base y 864 cm2 de área.

26) El perímetro de un rectángulo es de 72 cm y la base es el doble de la altura. Calcular el área y expresar el resultado en dm2.

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27) Disponemos de dos tanques que contienen agua, llamémoslos tanque A y tanque B. El tanque A contiene el doble de agua que el tanque B. Si trasvasáramos 7,5 litros de agua del tanque A al B, la cantidad de agua del tanque B superaría a la del tanque A. ¿Cuántos litros de agua tiene cada tanque?

28) La diferencia entre un número y los tres cuartos de su doble es siempre mayor o a lo sumo igual a 5. ¿Cuáles son los números reales que reúnen las condiciones dadas? Representa la solución en la recta numérica.

29) Verónica y Natalia quieren comprar el mismo libro, pero a ninguna le alcanza el dinero para comprarlo. A Verónica le falta $1 y a Natalia $7. Deciden comprarlo juntas, pero igual no les alcanza. ¿Cuánto cuesta el libro?

30) Tres personas desean repartir entre ellas 21 botellas iguales, de las cuales se hallan: 7 llenas, 7 vacías y 7 a medio llenar (de vino). El reparto debe hacerse con la condición de que cada uno de ellos reciba la misma cantidad de botellas y la misma cantidad de vino (no vale abrir las botellas). ¿Cómo puede hacerse?

31) En una camioneta se cargan 3 cajas de igual peso y otro bulto de 4 Kg. Indicar entre qué valores puede oscilar el peso de cada caja sabiendo que la carga máxima de la camioneta no supera los 19 Kg

32) El perímetro de un cuadrado de lado x no supera el perímetro de un rectángulo de lados 6cm y 2cm. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado? Expresarlo mediante una inecuación.

33) En una mesa del bar La Gaita, diez personas consumieron café con leche con medialunas.

Una de ellas pagó con $ 50 y le dieron vuelto. En otra mesa del bar 4 chicos consumieron lo mismo, quisieron pagar con un billete de $10 y no les alcanzó. ¿Entre qué valores se encuentra el precio de ese desayuno en La Gaita?

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