QÚE ES UNA RAZÓN? Para preparar una torta, se necesitan 3 huevos por cada 2 tazas de harina. y se lee, 3 es a 2 QÚE ES UNA PROPORCIÓN?

Texto completo

(1)

Tema: Razones y proporciones.

Propósito: Identificar una razón a partir de diferentes situaciones.

Explicación del tema

Ejemplo:

Para preparar una torta, se necesitan 3 huevos por cada 2 tazas de harina.

Cantidad de huevos 3 Cantidad de harina 2

La razón que se forma es: 𝟑

𝟐

y se lee, “3 es a 2”

Una magnitud, es una cualidad de un objeto o situación que puede ser medida. Por ejemplo: la distancia, el

tiempo, el precio, la cantidad, la velocidad, entre otras.

Una razón matemática es y está formada por dos magnitudes que se relacionan entre sí, la razones se pueden expresar en forma de número fraccionario 2

5, y la razón de lee,

"2 𝑒𝑠 𝑎 5".

¿QÚE ES UNA RAZÓN?

3 2

Antecedente Consecuente

¿QÚE ES UNA PROPORCIÓN?

Una proporción es una igualdad entre dos razones, es decir, que una proporción se forma con dos razones relacionadas entre sí.

Una proporción se puede escribir, así

:

2

4

=

3

6, se lee;

"2 𝑒𝑠 𝑎 4 𝑐𝑜𝑚𝑜 3 𝑒𝑠 𝑎 6".

En una proporción 2 4

=

3

6

, 2 𝑦 6

son los extremos y

4 𝑦 3

son los medios.

Propiedad de las proporciones:

En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

En general, si 𝑎 𝑏

=

𝑐

𝑑

, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑎 × 𝑑 = 𝑐 × 𝑐

(2)

Ejemplo: Si 4 dulces valen 800 pesos, entonces, 10 dulces cuestan 2.000 pesos.

Cantidad de

dulces 4 10

Precio 800 2.000

La proporción que se forma es:

𝟒 𝒆𝒔 𝒂 𝟖𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟏𝟎 𝒆𝒔 𝒂 𝟐. 𝟎𝟎𝟎

Actividad:

1. Lee cada situación, identifica las magnitudes y escribe la razón que se forma.

a) Una moto viaja a una velocidad de 90 km/h y gasta 3 horas en hacer un recorrido.

b) 6 personas gastan 12 horas en realizar un trabajo.

c) Luisa utiliza 2 libras de mantequilla para preparar 40 galletas.

d) Un automóvil, recorre 60 km en 30 minutos.

2. Calcula el término desconocido en las siguientes proporciones, empleando la propiedad fundamental.

a) 3

6

=

𝑎

12 b) 2

5

=

𝑎

20 c) 9

2

=

54

𝑎

d) 8

12

=

10

𝑎 e) 12

32

=

6

𝑎 f) 0,5

4

=

𝑎

24

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=UcmkIF6ej2s

4 × 2.000 = 800 × 10

8.000 = 8.000

(3)

Tema: Magnitudes directas

Propósito: Identificar las magnitudes directamente proporcionales.

Explicación del tema:

Ejemplo: Un carro recorre 120 km en 1 hora, ¿Cuántos kilómetros recorre en 2,3,4,5 y 6 horas?

Distancia (km) 120 240 360 480 600 720

Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6

𝟏𝟐𝟎

𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟒𝟎

𝟐 = 𝟏𝟐𝟎 𝟑𝟔𝟎

𝟑 = 𝟏𝟐𝟎 𝟒𝟖𝟎

𝟒 = 𝟏𝟐𝟎 𝟔𝟎𝟎

𝟓 = 𝟏𝟐𝟎

Se puede afirmar que cuando la distancia aumenta, el tiempo también aumenta, entonces, la distancia y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales. Y el cociente de cada una de las razones, es siempre igual, es decir la razón es constante. El número 120 se denomina constante de proporcionalidad, que se obtiene al dividir cada razón entre sí.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales si cumple las siguientes condiciones:

1. Al aumentar una magnitud, la otra también aumenta.

2. Al disminuir una magnitud, la otra disminuye.

3. El cociente en cada una de las razones que se forman, siempre es igual, es decir, es constante.

4. Al representar las magnitudes en el plano cartesiano, se forma una línea recta que pasa por el origen (0,0).

Gráficamente, también se puede determinar que las magnitudes son directamente proporcionales, ya que, se

forma una línea recta

(4)

Actividad:

1. Lee las siguientes situaciones, completa la tabla y halla la constante de proporcionalidad (es lo que se obtiene al dividir cada razón).

a) 3 chocolatinas valen 2.400 pesos. ¿Cuánto cuestan 1,2,4,5 y 6 chocolatinas?

La constante de proporcionalidad es: _________________________

b) En un parque de diversiones cada 25 minutos ingresan 60 personas. ¿Cuántas personas han ingresado al parque al cabo de 50, 75 y 100 minutos?

La constante de proporcionalidad es: ____________________________

c) La señora María para preparar 20 galletas gastó 500 gramos de mantequilla. ¿Cuántos gramos de mantequilla necesita para preparar 10, 30 y 40 galletas?

La constante de proporcionalidad es: ____________________________

d) 12 sastres confeccionan 60 pantalones. ¿Cuántos pantalones logran confeccionar 6, 18, 24 y 30 sastres?

La constante de proporcionalidad es: ____________________________

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=nP9SwAqhVTI

(5)

Tema: Magnitudes inversas

Propósito: Identificar las magnitudes inversamente proporcionales.

Explicación del tema:

Ejemplo: En un pueblo se necesita construir un puente para poder cruzar el rio. 2 obreros gastan 15 días en construirlo. ¿Cuántos días gastaran 3, 5, 6 y 10 obreros?

Número de obreros

2 3 5 6 10

Tiempo (días)

15 10 6 5 3

2 × 15 = 30 3 × 10 = 30

5 × 6 = 30 6 × 5 = 30

10 × 3 = 30

Se puede afirmar que cuando la cantidad de obreros aumenta, el tiempo que gastan en hacer el trabajo disminuye, entonces, la cantidad de obreros y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Y el producto que se obtiene en cada una de las razones, es siempre igual, es decir, la razón es constante. El número 20 se denomina constante de proporcionalidad.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si cumple las siguientes condiciones:

1. Al aumentar una magnitud, la otra disminuye.

2. Al disminuir una magnitud, la otra aumenta.

3. El producto en cada una de las razones que se forman, siempre es igual, es decir, es constante.

4. Al representar las magnitudes en el plano cartesiano, se forma una línea curva.

Gráficamente, también se puede determinar que las magnitudes son inversamente proporcionales, ya que, se

forma una línea curva

(6)

Actividad:

1. Lee cada una de las situaciones, completa la tabla y halla la constante de proporcionalidad (es lo que se obtiene al multiplicar cada razón que se forma).

a) 3 pintores gasta 16 días en pintar una casa. ¿Cuántos días gastarán 1, 2, 4, 6 y 8 obreros en hacer el mismo trabajo?

La constante de proporcionalidad es: _____________________

b) 2 obreros gastan 120 días en construir una casa. ¿Cuántos días gastarán 3, 4, 5, 6 y 10 obreros en hacer el mismo trabajo?

La constante de proporcionalidad es: _____________________

c) La profesora tiene 50 chocolates para repartir a los estudiantes que ganen en un concurso de ortografía. ¿De a cuántos chocolates le corresponden a cada niño si el concurso lo ganan 1, 2, 5 o 10 estudiantes?

La constante de proporcionalidad es: _____________________

d) En una granja hay 15 gallinas y el alimento que se tiene les alcanza para 10 días.

¿Para cuántos días les alcanza el alimento, si son 2, 3, 5, 10 y 20 gallinas?

La constante de proporcionalidad es: __________

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=iDisByLSTS0

(7)

Tema: Regla de tres simple.

Propósito: Solucionar situaciones aplicando regla de tres simple directa e inversa.

Explicación del tema:

Ejemplo: Si 6 revistas científicas valen 31.200 pesos, ¿Cuánto es el costo de 9 revistas?

Solución: Las magnitudes número de revistas y precio son directamente proporcionales, pues, al aumentar el número de revistas se espera que el precio también aumente proporcionalmente.

Cantidad de

revistas Precio

6 31.200

9 y

La proporción correspondiente es:

6

9 = 31.200 𝑦

6 × 𝑦 = 9 × 31.200 𝑦 = 9 × 31.200

6 𝑦 = 280.800

6 𝑦 = 46.800

Respuesta: El precio de las 9 revistas es de 46.800 pesos.

La regla de tres simple es el procedimiento que permite encontrar términos desconocidos en una proporción en la que

intervienen dos magnitudes

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Un problema se denomina regla de tres simple directa cuando las magnitudes que intervienen en el problemas son magnitudes directamente proporcionales.

Para resolver un problema es necesario realizar los siguientes pasos:

1. Nombrar la cantidad desconocida con una letra y elaborar una tabla con las cantidades que intervienen.

2. Plantear una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales.

3. Encontrar el término desconocido.

Se aplica la propiedad de las proporciones, es decir, se multiplica en x

Se despeja la letra y se divide Se multiplica

(8)

Ejemplo: Un vehículo gasta 6 horas para viajar de un lugar a otro a una velocidad de 40 km/h. ¿Cuánto tiempo gasta en hacer el mismo recorrido, si viaja a una velocidad de 60 km/h?

Solución: El tiempo empleado y la velocidad son magnitudes inversamente proporcionales, pues, al viajar a una mayor velocidad se espera que el tiempo empleado sea menor.

Tiempo (h) Velocidad (km/h)

6 40

y 60

La proporción correspondiente es:

6

𝑦 = 40 60

𝑦 × 60 = 6 × 40 𝑦 = 6 × 40

60 𝑦 = 240

60 𝑦 = 4

Respuesta: El tiempo que gasta en hacer el recorrido es de 4 horas.

Actividad:

1. Lee los siguientes problemas y resuelve, aplicando regla de tres simple directa o inversa, según corresponda.

a) Para preparar 3 tortas se necesitan 450 gramos de azúcar, ¿Qué cantidad de azúcar se necesitan para preparar 10 tortas? ___________________________

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Un problema se denomina regla de tres simple inversa cuando las magnitudes que intervienen en el problemas son magnitudes inversamente proporcionales.

Para resolver un problema es necesario realizar los siguientes pasos:

1. Nombrar la cantidad desconocida con una letra y elaborar una tabla con las cantidades que intervienen.

2. Plantear una proporción de acuerdo con la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales.

3. Encontrar el término desconocido.

Se multiplican de forma directa, los números de arriba y los de abajo Se despeja la letra y se multiplica

Se divide

(9)

c) Una fotocopiadora tarda 8 segundos en sacar 20 copias. ¿Cuántos segundos tardará en sacar 95 fotocopias? _____________________

d) Carlos compró cierta cantidad de comida para alimentar a 24 gallinas durante 30 días. Si adquiere 6 gallinas más, ¿Para cuántos días alcanza la comida?

________________________________

e) Para realizar un trabajo 15 personas gastan 24 horas. ¿Cuánto tiempo gastarán 40 personas en realizar el mismo trabajo? ______________________

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=WzcLzSY9JLA https://www.youtube.com/watch?v=Cv3vxZYCeeI

(10)

CENTRO DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL NORTE CAMINO A SER UN CAMBRIDGE ENGLISH SCHOOL GUÍA DE ESTUDIO – SEGUNDO MES CUARTO PERIODO

ÁREA MATEMÁTICAS – GRADO QUINTO Guía N° 5

Asignatura: Matemáticas

Docente: Yeny Paola Moreno Ramos Tema: Porcentaje.

Propósito: Solucionar situaciones aplicando regla de tres simple directa e inversa.

Explicación del tema:

Ejemplos:

 Calcular el 30% de 12.000

30

100 × 12.000 = 30 𝑥 12.000

100 = 360.000

100 = 3.600

El 30% de 12.000 es 3.600

 Salome compró unos zapatos que costaban 110.000 pesos, al pagar el tendero le dijo que tenía el 15% de descuento. ¿Cuál fue el descuento que se le hizo a los zapatos?

Se debe calcular el 15% de 110.000

15

100 × 110.000 = 15 × 110.000

100 = 1.650.000

100 = 16.500

Respuesta: El descuento que se le hizo a los zapatos, fue de 16.500 pesos.

Actividad:

Los porcentajes tienen diversos usos. Por ejemplo, en economía se relaciona con impuestos (IVA), préstamos bancarios, descuentos en productos y alimentos, estudios estadísticos, entre

otros.

PORCENTAJE

Se denomina porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones en las que el consecuente es el número 100. Se representa con el signo % que significa “por cada cien”. Para calcular el porcentaje de una cantidad dada se realizan los siguientes pasos:

1. Convertir el porcentaje a fracción decimal, teniendo en cuenta que el denominador es 100.

2. Multiplicar la fracción decimal por la cantidad dada y dividir.

(11)

2. El 40% de los estudiantes de grado quinto son niñas. Si en total son 65 estudiantes,

¿Cuántas niñas hay en grado quinto? _____________________________

¿Cuántos niños hay en grado quinto? _____________________________

3. Cristian compró un celular que costaba 890.000 pesos, al momento de pagar el vendedor le dijo que estaba con el 20% de descuento.

¿De cuánto fue el descuento que se le hizo al celular? ___________________

¿Cuánto dinero pagó por el celular, aplicando el descuento? _________________

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=ETvdnLWIFhU https://www.youtube.com/watch?v=_Wnv1t9ca3I

(12)

CENTRO DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL NORTE CAMINO A SER UN CAMBRIDGE ENGLISH SCHOOL GUÍA DE ESTUDIO – SEGUNDO MES CUARTO PERIODO

ÁREA MATEMÁTICAS – GRADO QUINTO Guía N° 6

Asignatura: Geometría

Docente: Yeny Paola Moreno Ramos Tema: Volumen

Propósito: Calcular el volumen de diferentes sólidos geométricos.

Explicación del tema:

Las unidades de volumen son:

¿CÓMO CALCULAR EL VOLUMEN DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS?

Cuerpo

geométrico Representación Volumen Ejemplo

Cubo 𝑉 = 𝑙3

𝑉 = 𝑙 × 𝑙 × 𝑙

𝑉 = (6𝑐𝑚)

3

𝑉 = 6𝑐𝑚 × 6𝑐𝑚 × 6𝑐𝑚 𝑉 = 216 𝑐𝑚

3

El volumen es la medida del espacio que ocupa un cuerpo, el cual se simboliza con la letra 𝑉. La unidad básica para medir el volumen es el metro cúbico.

VOLUMEN

El volumen se calcula para figuras en tres dimensiones, es decir, que

tienen largo, ancho y alto

Para calcular el volumen de algunos sólidos, debemos tener en cuenta los siguientes elementos:

𝑙 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 ℎ = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑏 = 𝐵𝑎𝑠𝑒

𝐴𝑏 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

(13)

Pirámide

cuadrangular 𝑽 =𝑨𝒃 × 𝒉

𝟑

𝑉 = 9 × 5 3 𝑉 = 45

3 𝑉 = 15 𝑐𝑚

3

Cilindro 𝑽 = 𝑨𝒃 × 𝒉

𝑉 = (3,14 × 2

2

) × 10 𝑉 = (3,14 × 4) × 10

𝑉 = (12,56) × 10 𝑉 = 125,6 𝑐𝑚

3

Ejemplo 2: Sofía está jugando a construir figuras con cubos pequeños, debe calcular el volumen de las tres figuras que construyó.

Cada equivale a un centímetro cúbico, es decir,

𝟏 𝒄𝒎

𝟑

Actividad:

Para calcular el volumen de estas figuras, contamos la cantidad de cubos que la conforman, ya que, cada uno

equivale a 𝟏 𝒄𝒎𝟑

(14)

1. Halla el volumen de los siguientes sólidos geométricos.

2. Calcula el volumen de cada una de las siguientes figuras. Ten en cuenta que cada equivale a un centímetro cúbico, es decir,

𝟏 𝒄𝒎

𝟑

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=KZee86Ayl_k

𝑉 = ____________ 𝑉 = ____________ 𝑉 = ____________

𝑉 = ____________ 𝑉 = ____________ 𝑉 = ____________

Figure

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