donde q es la carga de la partícula que crea el campo y r es la distancia al punto en el que definimos el potencial gravitatorio.

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(1)

a)

Definimos potencial del campo eléctrico en un punto (V) como la energía potencial por unidad de carga testigo positiva en dicho punto. Expresado matemáticamente:

𝑉(𝑟) =𝐸𝑝(𝑟)

𝑞′ = 𝑘 ·𝑞 𝑟

donde q es la carga de la partícula que crea el campo y r es la distancia al punto en el que definimos el potencial gravitatorio.

Al igual que la energía potencial, el potencial es un escalar. Sus unidades son:

[𝑉(𝑟)] = [𝑘 ·𝑞 𝑟] = 𝑁 ·

𝑚2 𝐶2 ·

𝐶 𝑚= 𝑁 ·

𝑚 𝐶 =

𝐽 𝐶= 𝑉

La unidad del potencial eléctrico en el S.I. es el Voltio (V).

b)

De la expresión anterior obtenemos que:

𝑉(𝑟) =𝐸𝑝(𝑟)

𝑞′ 𝐸𝑝(𝑟) = 𝑞′ ·𝑉(𝑟) Vamos a ver cómo será la variación de energía potencial:

𝐸𝑝=𝐸𝑝(𝐵)−𝐸𝑝(𝐴)=𝑞· 𝑉𝐵−𝑞· 𝑉𝐴=𝑞·(𝑉𝐵−𝑉𝐴)=𝑞· ∆𝑉

Nos dicen que 𝑉𝐵<𝑉𝐴 , por lo que ∆𝑉 = (𝑉𝐵−𝑉𝐴)< 0 Como la partícula es un electrón, 𝑞< 0

Esto nos lleva a que

𝐸𝑝 =𝑞· ∆𝑉 > 0

1. a) Potencial electrostático de una carga puntual.

b) Una partícula cargada negativamente pasa de un punto

A, cuyo potencial es 𝑉

𝐴,

a otro B, cuyo potencial es 𝑉

𝐵 <𝑉𝐴

.

Razone si la partícula gana o pierde energía potencial.

(2)

a)

El campo en el punto C será la suma de los campos que generen en dicho punto las cargas q1 y q2.

Calculemos el campo creado por q1:

𝐸⃗ 1 = 𝐾 ·𝑞1

𝑟12· 𝑢̂𝑟1 =

= 9 · 109𝑁𝑚2 𝐶2 ·

10−5𝐶

(4𝑚)2𝑖̂ = 5625 𝑖̂𝑁 𝐶

Mientras que el campo creado por q2 será 𝐸⃗ 2= 𝐾 ·𝑞2

𝑟22· 𝑢̂𝑟2 = 9 · 109𝑁𝑚2 𝐶2 ·

10−5𝐶

(5𝑚)2(𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑖̂ + 𝑠𝑒𝑛 𝛼(−𝑗̂) ) = 3600 (4 5𝑖̂ − 3

5𝑗̂)𝑁 𝐶

= (2880 𝑖̂ − 2160 𝑗̂)𝑁 𝐶 El campo total será, pues:

𝐸⃗ = 𝐸⃗ 1+ 𝐸⃗ 2 = 5625 𝑖̂𝑁

𝐶+ (2880 𝑖̂ − 2160 𝑗̂)𝑁

𝐶 = (8505 𝑖̂ − 2160 𝑗̂)𝑁 𝐶

Ahora calculamos el potencial, que será la suma de los potenciales que crean ambas partículas:

𝑉 = 𝑉1+ 𝑉2= 𝐾 ·𝑞1

𝑟1 + 𝐾 ·𝑞2

𝑟2 = 9 · 109𝑁𝑚2 𝐶2(

10−5𝐶

4𝑚 +10−5𝐶

5𝑚 ) = (22500 + 18000)𝑁𝑚 𝐶

= 40500𝑉

b)

Sabemos que una partícula cargada en el seno de un campo eléctrico sentirá una fuerza que valdrá la carga por el campo existente en dicho punto. 𝐹 = 𝑞 · 𝐸⃗

2. Dos cargas puntuales iguales, de +𝟏𝟎

−𝟓𝑪, se encuentran en

el vacío, fijas en los puntos A (0, 0) m y B (0, 3) m.

a) Calcule el campo y el potencial electrostáticos en el punto C (4, 0) m.

b) Si abandonáramos otra carga puntual de +𝟏𝟎

−𝟕𝑪 en el

punto C (4, 0) m, ¿Cómo se movería? Justifique la

respuesta.

(3)

Como, por la segunda ley de Newton la suma de todas las fuerzas es directamente proporcional a la aceleración que adquiere la partícula, esta partícula adquirirá una aceleración que será:

𝐹⃗⃗ = 𝑚 · 𝑎 → 𝑎 = 𝐹⃗⃗

𝑚=𝑞 ·𝐸⃗⃗

𝑚

que, como era de esperar, tiene la misma dirección que el campo en dicho punto.

Dado que la partícula tiene una carga de +10−7C (es positiva), el sentido será también igual al del campo. Por lo tanto la partícula se moverá en la misma dirección y sentido del campo.

a)

Neutrón.

Dado que el neutrón no tiene carga, no sentirá fuerza alguna debida al campo eléctrico.

Por lo tanto continuará con su movimiento rectilíneo uniforme de velocidad 𝑣⃗⃗ = 𝑣0 𝑖̂

Protón.

El protón tiene carga positiva. Por lo tanto, sentirá una fuerza en que tendrá la misma dirección y mismo sentido que el campo (dado que 𝐹 = 𝑞 · 𝐸⃗ y q es positiva).

Como la velocidad del protón tiene la misma dirección y sentido que el campo (y, por tanto, que la fuerza), nuestra partícula sentirá una aceleración con la misma

dirección y sentido, que hará que el protón se acelere.

Por lo tanto, el protón continuará con un MRUA (con aceleración positiva) en la dirección positiva del eje X.

Electrón.

3. a) En la figura se muestra en color gris una región del espacio en la que hay un campo electrostático uniforme 𝐸

⃗⃗

. Un electrón, un protón y un neutrón penetran en la región del campo con velocidad constante 𝑣

⃗⃗ = 𝑣0𝑖

desde la

izquierda. Explique razonadamente cómo es el movimiento de cada partícula si se desprecian los efectos de la

gravedad.

b) En el átomo de hidrógeno, el electrón se encuentra

sometido al campo eléctrico creado por el protón. Calcule

el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar el

electrón desde un punto P

1

, situado a 𝟓, 𝟑 · 𝟏𝟎

−𝟏𝟏 𝒎 del

núcleo, hasta otro punto P

2

, situado a 𝟒, 𝟕𝟔 · 𝟏𝟎

−𝟏𝟎 𝒎 del

núcleo. Comente el signo del trabajo.

(4)

El electrón tiene carga negativa. Por lo tanto, sentirá una fuerza en que tendrá la misma dirección y sentido opuesto al campo (dado que 𝐹 = 𝑞 · 𝐸⃗ y q es negativa).

Al igual que el protón, la velocidad original del electrón tiene la misma dirección y sentido que el campo. En este caso, como campo y fuerza tiene sentidos opuestos, el electrón sentirá una fuerza (y una aceleración) opuesta a su velocidad. Esta

aceleración hará que el electrón se frene.

Por lo tanto, el electrón continuará con un MRUA (con aceleración negativa, de frenado) en la dirección positiva del eje X.

Si la región donde existe el campo eléctrico es lo suficientemente grande, el electrón acabará parándose y comenzará un MRUA en la dirección negativa del eje X.

b)

Sabemos que, como el campo eléctrico es conservativo:

𝑊 = −∆𝐸𝑝= 𝐸𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝐸𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐸𝑝= 𝑘 ·𝑞 · 𝑞′

𝑟

En nuestro caso el electrón pasaría de un punto inicial con 𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 5,3 · 10−11 𝑚 del protón a un punto final con 𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 4,76 · 10−10 𝑚

𝑊 = 𝑘 ·𝑞𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛·𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 𝑟𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑘 ·

𝑞𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑛·𝑞𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 𝑟𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑊 =9 · 109𝑁𝐶2 𝑚2·

1,6 · 10−19𝐶· (−1,6 · 10−19𝐶)

5,3 · 10−11 𝑚 − 9 · 109𝑁𝐶2 𝑚2·

1,6 · 10−19𝐶· (−1,6 · 10−19𝐶) 4,76 · 10−10 𝑚

𝑊 = −4,35 ·10−18 𝐽 + 4,84 · 10−19𝐽 = −3,87 · 10−18𝐽 < 0

El trabajo es negativo. Necesitamos hacer un trabajo en contra del campo para alejar dos cargas de diferentes signos.

El resultado es coherente con lo que sabemos. Cargas de diferente signo se atraen.

Por lo tanto, el campo realiza un trabajo cuando las cargas se acercan; si se alejan, tendremos que hacer el trabajo nosotros.

(5)

a) b)

La figura 1 representa una situación imposible ya que las líneas de campo no pueden cortarse, ya que eso supone la existencia de dos valores de campo distintos en un mismo punto.

La 2 podría corresponder a una placa positiva situada a la derecha del dibujo, ya que los valores de potencial son positivos y disminuyen de derecha a izda.

El campo 3 puede ser generado por una esfera, una carga puntual o un cable normal a la superficie del papel cargado negativamente y situado en la zona

inferior, ya que los potenciales son negativos y disminuyen radialmente hacia abajo.

El campo 4 no puede ser generado por una esfera o carga + ya que las líneas de campo radiales brotarían de izquierda a derecha, pero el potencial aumenta en ese sentido en lugar de disminuir.

Sí que podría ser posible con una distribución de carga positiva en una superficie cóncava situada a la derecha.

4. Dibuja las líneas de campo creadas por:

a) Un dipolo eléctrico y

b) Un hilo recto, de longitud indefinida, cargado negativamente.

5. Las ilustraciones siguientes corresponden a campos eléctricos en ciertas regiones. Razona si pueden corresponder a situaciones posibles o no. En caso

afirmativo indica qué puede producirlos y si es imposible

cuál es el error.

(6)

a)

Δx= 0,020 m ΔV = 200 V

Dado que entre las placas existe un campo eléctrico uniforme, podemos utilizar la siguiente relación entre campo y potencial:

𝐸 =∆𝑉

∆𝑥 = 200 𝑉

0,020 𝑚= 10000𝑁 𝐶

Según el dibujo, como el campo va de izda a dcha, será: 𝐸⃗ = 104 𝑖̂ (𝑁𝐶) b)

Si abandonamos una partícula α en reposo, es decir sin energía cinética inicial, la fuerza eléctrica a la que se verá sometida la impulsará hacia la derecha. Dicha fuerza será constante, ya que el campo es uniforme, por lo que podemos calcular el trabajo a través de su expresión más sencilla, como producto de fuerza por

desplazamiento:

𝑊 = ∆𝐸𝑐= 𝐹 · ∆𝑥

Así pues: 12· 𝑚𝑎· 𝑣𝐹2= 𝑞⏞2𝑒· 𝐸⃗ · ∆𝑥 → 𝑣𝑓2=4𝑒·𝐸⃗ ·∆𝑥

𝑚𝑎

𝑣𝐹= √4 · 1,6 · 10−19𝐶 · 10000 𝑖̂𝑁

𝐶 · 0,02 𝑖 𝑚

6,7 · 10−27 𝑘𝑔 = 1,38 · 105 𝑚/𝑠 = 138 𝑘𝑚/𝑠

6. Tenemos un condensador de placas planas paralelas,

separadas 20 mm, y sometidas a una diferencia de potencial de 200 V.

a) Dibuja las líneas de campo entre las placas, calcula su valor y exprésalo vectorialmente.

b) Si se deja una partícula 𝑎(𝑞 = +2𝑒) en libertad sobre la superficie de la placa positiva del condensador, con qué velocidad impactará sobre la placa negativa.

Datos: 𝒎

𝒂= 𝟔, 𝟕 · 𝟏𝟎−𝟐𝟕 𝒌𝒈 ; 𝒆 = 𝟏, 𝟔 · 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪

(7)

La partícula se desplaza movida por la fuerza eléctrica hacia la placa negativa, aunque también podemos interpretarlo en términos energéticos: se mueve hacia la placa de menor potencial, disminuyendo su energía potencial y aumentando la cinética en la misma medida.

a)

La situación de equilibrio final alcanzado supone que:

𝑇⃗ + 𝑃⃗ + 𝐹 𝑒= 0

Por componentes: 𝑇𝑥 = 𝐹𝑒→ 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛 15º = 𝑞 · 𝐸 𝑇𝑦= 𝑚𝑔 → 𝑇 · 𝑐𝑜𝑠 15º = 𝑚𝑔}

Dividiendo ambas ecuaciones, miembro a miembro, tenemos:

𝑇𝑥 = 𝐹𝑒→ 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛 15º

𝑇𝑦= 𝑚𝑔 → 𝑇 · 𝑐𝑜𝑠 15º=𝑞 · 𝐸

𝑚𝑔 → 𝑡𝑔 15º = 𝑞𝐸 𝑚𝑔

Y despejando q: 𝑞 =𝑚𝑔𝐸 · 𝑡𝑔 15º =0,002 𝑘𝑔 ·10𝑠2𝑚

1000𝑁𝐶 · 𝑡𝑔 15º = 5,4 · 10−6 𝐶 = 5,4 𝜇𝐶 El signo de la carga es desconocido dado que no se dispone de información suficiente, no obstante, en el dibujo se ha supuesto que la carga de la bolita era positiva.

b)

7. Una esfera de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo

eléctrico uniforme y horizontal de 𝟏𝟎

𝟑 𝑵/𝑪 , el hilo forma un

ángulo de 15º con la vertical.

a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera, y determine su carga eléctrica.

b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico.

Datos: K = 9 · 𝟏𝟎

𝟗

N m

2

C

-2

; g = 10 m·s

-2

(8)

Tomando el nivel inicial de la bola como origen de energías potenciales gravitatorias, podemos decir que, al principio, cuando la bolita estaba colgada verticalmente, no tenía energía ni potencial ni cinética.

Al aplicar el campo eléctrico, la fuerza impulsa a la bolita que se desplaza, espontáneamente, hacia puntos de menor energía potencial eléctrica. Ese desplazamiento espontáneo dentro del campo eléctrico supone una disminución en la energía potencial eléctrica y debería repercutir aumentando la cinética, dado que se trata de un campo conservativo.

Pero como la bolita está anclada por el cable, la tensión retiene a la bolita

impidiéndole el movimiento libre y haciéndola ascender un Δy. El resultado final es que la bolita aumenta su energía potencial gravitatoria en lugar de la cinética a expensas del trabajo realizado por el campo eléctrico.

Por tanto, se cumple que: ΔEp,g = -ΔEp,e , o también: qΔV = - mgΔy

Figure

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