MODELS DE CAPTACIÓ, ANÀLISI Y INTERPRETACIÓ DE DADES

MODELS DE CAPTACIÓ, ANÀLISI Y INTERPRETACIÓ DE DADES

MASTER DE LOGÍSTICA, TRANSPORT Y MOBILITAT MASTER D’ESTADÍSTICA i INVESTIGACIÓ OPERATIVA

APUNTS DE CLASSE PROF. LÍDIA MONTERO:

TEMA 2: REPÀS DE CÀLCUL DE PROBABILITATS I VARIABLE ALEATÒRIA

AUTORA:

Lídia Montero Mercadé Departament d’Estadística y Investigació Operativa Versió 1.2 Setembre del 2.011

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-2 Curs 2.011-2.012

TABLA DE CONTENIDOS

2.3-1. COMBINATÒRIA ______________________________________________________________________________________________________________ 3 2.3-2. NOCIONS BÀSIQUES DE PROBABILITAT _______________________________________________________________________________________ 8 2.3-2.1 DEFINICIÓ DE CONJUNT DE LES PARTS D’UN CONJUNT FONAMENTAL ___________________________________________________________________ 8 2.3-2.2 DEFINICIÓ ACTUAL DE PROBABILITAT ____________________________________________________________________________________________ 10 2.3-2.3 PROPIETATS DE LA PROBABILITAT _______________________________________________________________________________________________ 12 2.3-2.4 PROBABILITAT CONDICIONADA __________________________________________________________________________________________________ 13 2.3-2.5 TEOREMA DE LES PROBABILITATS TOTALS ________________________________________________________________________________________ 15 2.3-2.6 FÓRMULA DE BAYES ___________________________________________________________________________________________________________ 16 2.3-3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA ___________________________________________________________________________________________ 18 2.3-3.1 INTRODUCCIÓ A LA VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA _______________________________________________________________________________ 18 2.3-3.2 DEFINICIÓ DE VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA ____________________________________________________________________________________ 18 2.3-3.3 FUNCIÓ DE PROBABILITAT D’UNA VAD ___________________________________________________________________________________________ 18 2.3-3.4 PROPIETATS DE p_X

 

x ______________________________________________________________________________________________________ 19 2.3-3.5 FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ DE PROBABILITAT DE XVAD ______________________________________________________________________________ 19 2.3-3.6 PROPIETATS D’UNA FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ,FX (X) DE XVAD ________________________________________________________________________ 20 2.3-3.7 MOMENTS DE XVAD __________________________________________________________________________________________________________ 21 2.3-3.8 VECTORS ALEATORIS DISCRETS _________________________________________________________________________________________________ 29 2.3-3.9 DEFINICIÓ INDEPENDÈNCIA DE 2VADS ___________________________________________________________________________________________ 31 2.3-3.10 ESPERANÇA DE FUNCIONS SOBRE VECTORS ALEATORIS DISCRETS ____________________________________________________________________ 32 2.3-3.11 EXEMPLES DE VARIABLES ALEATÒRIES DISCRETES ________________________________________________________________________________ 35 2.3-4. VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA ___________________________________________________________________________________________ 46 2.3-4.1 ALGUNES VARIABLES ALEATÒRIES CONTÍNUES _____________________________________________________________________________________ 48 2.3-4.2 APROXIMACIONS: _____________________________________________________________________________________________________________ 58 2.3-4.3 DESIGUALTAT DE TXEBITXEV ___________________________________________________________________________________________________ 59 2.3-4.4 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT _________________________________________________________________________________________________ 59

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-3 Curs 2.011-2.012

2.3-1. COMBINATÒRIA El principi de Multiplicació

El número total de maneres diferents de realitzar varies eleccions successives és el producte del número de formes diferents en què poden realitzar-se cadascuna de les eleccions individuals.

Exemple: Una persona ha de viatjar de Madrid a València i de València a Eivissa. El viatge de Madrid a València es pot fer en automòbil, ferrocarril o avió, i de València a Eivissa es pot anar en vaixell o en avió. El número total de maneres diferents de viatjar de Madrid a Eivissa es pot veure a la figura.

MADRID  VALÈNCIA  EIVISSA Automòbil _____ Avió

Automòbil _____ Vaixell

Ferrocarril _____ Avió

Ferrocarril _____ Vaixell

Avió _____ Avió Avió _____ Vaixell

En total, aquesta persona pot viatjar de 32 6 maneres diferents.

El mètode aplicat a l’exemple és l’eina bàsica per trobar la solució de problemes on cal desenvolupar successivament tasques que es puguin dur a terme de vàries maneres diferents: si cal realitzar successivament vàries tasques i la primera es pot desenvolupar d’m formes diferents, la segona d’ⁿ maneres diferents, etc.

Llavors el nombre total N de formes diferents de dur a terme les tasques és el producte

n m N  

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-4 Curs 2.011-2.012

Variacions

Sigui un conjunt A amb # An (el nombre d’element de A). Es defineix el conjunt de les “variacions d’elements”

presos de k en k com totes les eleccions ordenades de k elements diferents entre els n existents, és a dir:

 ^{a a a a A i k a a i j} 

k A

V ( , )  (

₁

,

₂

,...,

_k

) :

_i

 ,   1 ,..., ; 

_i



_j

,    

A la seva cardinalitat se l’anomena V_n,k i val:

)!

(

!

) (

...

) (

)) (

( ...

) (

)) , ( (

# _,

k n

n

k n n

n

k n n

n V

k A

V _nk

 































1 1

1 1

Exemple: Un nen que està aprenent a parlar té un vocabulari limitat a deu paraules. Es capaç de dir tres d’elles seguides sense repetir cap. Quantes frases es capaç d’articular?

El nen ha d’escollir 3 paraules diferents entre les 10 que coneix, llavors podrà dir:

720 8

9 7 10

10

3

10     

!

!

V , frases.

Permutacions

Sigui A amb #An un conjunt. El conjunt de les “permutacions dels elements d’A”, és donat per les maneres diferents d’ordenar els elements diferents d’A, és a dir:

 

).

, (

,

; ,..., 1 ,

: ) ,..., (

)

(

₁

n A Var

j i a

a n i

A a

a a

A

Perm

_{n i i j}













    

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-5 Curs 2.011-2.012

La seva cardinalitat és: P_n V_n,n n!

Exemple: Cal ordenar 12 llibres en un prestatge. Quantes maneres hi ha de fer-ho?

De P₁₂  !12 479001600 maneres.

Variacions amb repetició

Sigui A amb #A n, un conjunt. Es defineix el conjunt de “variacions amb repetició” d’n elements presos de k

en k a totes les eleccions ordenades de k elements entre els n, això és:

} ,..., , :

) ,..., {

) ,

( A k a

₁

a a A i k

VR 

_{k i}



k k

n

VR A k n

VR

_,

 # ( ( , )) 

Exemple: Travesses possibles:

969 . 782 . 4 3¹⁴

14 , 3



 VR

Permutacions amb repeticions

Sigui A amb #An un conjunt en el qual no tots els seus n elements són indistingibles: hi ha n₁ de la classe 1, n₂

de la classe 2, … i n_r de la classe r, amb

n n

r j

n n

r

j j

j

  

 

1

1

1 ,  ,..., , 

_.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-6 Curs 2.011-2.012

El conjunt de “permutacions dels n elements d’A on l’element j es repeteix n_j cops, j 1,...,r” s’anomena

conjunt d’ordenacions possibles dels elements d’A, tenint en compte que dues ordenacions són la mateixa si una pot ser transformada en l’altre només canviant l’ordre dels elements de la mateixa classe.

La seva cardinalitat és:

PR

n^n1,...,nr

I es calcula un,









!

!...

!

!

!...

) (

) (

#

,..., ,...,

r n

n n

r n

n n

n n PR n

n n PR

B Perm

r r

1 1

1 1









Exemple: En una llibreria hi ha deu exemplars de Tirant lo Blanc (de la mateixa edició) i quatre de Terra Baixa (també de la mateixa edició). Volem col·locar-los en un prestatge de l’aparador. De quantes maneres pot fer-se? I si no es vol separar els llibres que són iguals?

Responent a la primera pregunta, entre els 14 llibres n’hi ha 10 que són idèntics (hi ha una mena de llibre que es repeteix 10 cops) i d’altres 4 que també són indistingibles (es repeteixen 4 cops), en total podem comptar, doncs:

1001 11

13 2 7

3 4

11 12 13 14 4

10

4 14

10

14    









 

 

!

!

, ! PR

maneres de col·locar els llibres al prestatge.

Si no es vol separar els llibres que són iguals, llavors hi ha tantes formes de col·locar-los com permutacions de 2, doncs hi ha 2 menes de llibres. Així doncs, podem col·locar-los de dues maneres: els exemplars de Terra Baixa a l’esquerra i els de Tirant lo Blanc a la dreta, o a l’inrevés.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-7 Curs 2.011-2.012

Combinacions:

Sigui A amb #An un conjunt. El “conjunt dels elements de k en k” és el conjunt dels subconjunts d’A amb k

elements:

 ^{{ ,..., :# } : } , }} 

{ ) , (

1

a a A a a i j

a

k B A

B k

A C

j i

i

k

   













on {a₁,...,a_k} és una col·lecció no ordenada de k elements diferents.

Proposició:

)!

(

! ) !

, (

# _,

k n k

n k

C n k A

C _nk

 



 







Exemple: De quantes maneres diferents pot emplenar-se un bitllet de loteria (es marquen sis números entre l’1 i el 49)? I si només s’utilitzen números senars?

S’han de seleccionar 6 números diferents entre els 49 (no importa l’ordre i no hi ha repeticions), així doncs n’hi ha

13983816 43

6 49 6

49

6

49 

 



 





!

!

! C ,

maneres d’omplir el bitllet.

Si només s’utilitzen els números senars, llavors hi ha 25 números possibles per marcar i per tant hi haurà

177000 19

6 25 6

25

6

25 

 



 



 

!

!

! C ,

maneres d’emplenar el bitllet.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-8 Curs 2.011-2.012

2.3-2. NOCIONS BÀSIQUES DE PROBABILITAT

2.3-2.1 Definició de Conjunt de les Parts d’un Conjunt Fonamental

Definició d’Experiència Aleatòria

Els fenòmens aleatoris o experiències aleatòries són aquelles en què el resultat, sota les mateixes condicions de repetició de l’experiència, no sempre és el mateix.

Però presenta una regularitat estocàstica al llarg d’un nombre elevat de repeticions de l’experiència.

conjunt fonamental o conjunt de resultats d’una experiència aleatòria és el conjunt de tots els possibles resultats de l’experiència aleatòria. Es sol notar per .

succés és un conjunt de resultats elementals.

succés elemental. El resultat es sol notar per

 i el succés elemental implicat {}.

Hi ha dos successos especials:

succés cert (donada una experiència aleatòria sempre es realitza: ) .

succés fals (mai es realitza, no conté cap succés elemental, simbolitzat per ).

Dins el conjunt dels successos, hi ha un seguit d’operacions derivades de la Teoria de Conjunts:

1. Succés contrari o complementari: Sigui un succés A tal que A .

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-9 Curs 2.011-2.012

Definim el succés contrari A com el succés que es realitza quan no es realitza A.

És a dir,

A

= / A.

2. Succés intersecció: Siguin dos successos del conjunt fonamental, A1 i A2 , A1   i A2  .

Parteix de dos successos del conjunt fonamental, i es realitza quan ho fan A1 i A2 alhora.

Matemàticament, A1 A2 = /  A1   A2.

3. Succés unió: Siguin dos successos A1 i A2, A1   i A2  ,

El succés unió d’aquests dos es realitza quan es realitzen A1 ó A2 . És a dir, A1 A2 = /  A1   A2.

Implicació: Si el succés A1 implica la realització del succés A2, notat A1  A2 , l’única cosa que vol dir és : A1

 A2  .

 Dos successos són incompatibles si A1   i A2   i A1  A2 = . La intersecció dels successos és el succés fals (no conté cap succés elemental).

 Un succés A es realitza en una instància de l’experiència aleatòria si el resultat, w, és tal que



A_.

propietats:

 Commutabilitat: AB = BA i igualment AB = BA.

 Associabilitat: A(BC) = (AB)C. Igualment amb la intersecció.

 Distributivitat: A(BC)=(AB)(AC) i A(BC)=(AB)(AC).

 Identitat: A=A i A=A.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-10 Curs 2.011-2.012

 Complementarietat: A A_{= i A}A=.

 Lleis de De Morgan: A B AB i A B A B_.

 Complementarietat del complementari: A  A_.

conjunt de les parts o conjunt de successos d’una experiència aleatòria (notat ) és el conjunt format per tots els possibles subconjunts de .

Cada subconjunt de  és un succés. Aquest conjunt compleix certes propietats:

 E E . El conjunt de les parts és tancat per complementarietat .

 n > 0 En  ^En

 

n 0



 

 



^ . És tancat per la unió.

 .

 

^{ }  

.

2.3-2.2 Definició Actual de Probabilitat

Basada en l’axiomàtica de Kolmogorov, pren forma de definició estrictament matemàtica, Sigui (,) un espai probabilitzable.

La probabilitat és tota aplicació P :   0,1 tal que compleix els tres axiomes següents:

1. Axioma de probabilitats totals:

 

A B P



A B

    

P A P B B

A,  t.q.     

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-11 Curs 2.011-2.012

2. Axioma complert de les probabilitats totals:

    









 



 





















0 0

.

. 0

n

n n

n j

i

n t q A A i j P A P A

A

n



3. Axioma de normalització:

 

 1 P

Definició d’Espai Probabilitzat:

conjunt de les seves parts  sobre els qui s’ha definit una aplicació de probabilitat s’anomena espai probabilitzat.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-12 Curs 2.011-2.012

2.3-2.3 Propietats de la Probabilitat

1. ^P

 

^{A  1 P}

^{ }

^A

2.

     0

3. Siguin A i B 

 

 no incompatibles, és a dir, A B  , llavors es compleix:

 ^{A B}  ^P      ^{A P B P A B} 

P     

 

 

¹

 

¹

^{ }

^{1 1 0}

1

          









P P

P propietat

Per

   

    ^{ }  

 

 

^P

 

^{A P}

   

^{A P A P}

^{ }

^A

P doncs Així

P ax

Per

A P A P A A P P

ax Per

A A i A

A A

A

















































1 1

1 3

1













, . .











Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-13 Curs 2.011-2.012

2.3-2.4 Probabilitat condicionada

experiència aleatòria.

succés B   tal que P(B) > 0 i volem veure com influeix P(B) en P(A).

Una cosa és la probabilitat d’un succés A (P(A)) i una altra és la probabilitat de A condicionada a B (P(A/B)).

La probabilitat condicionada és el càlcul de la probabilitat d’A suposada la realització de B.

Si P(B)>0 llavors:

Si P(B)=0 la probabilitat condicionada no està definida.

Conseqüències:

   

 

^B

P B A B P

A

P /  

       

     



^/

 

^/



⁰

0

/

0

/























 





A B P B A P aleshores B

A Si

A P si A P A B P

B P si B P B A B P

A

P

   

   

   

   

   

 

¹

/

/



 









 







B P

B P B

P B A B P

A P aleshores B

A Si

A B P

P A P B

P B A B P

A P aleshores B

A Si

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-14 Curs 2.011-2.012

Independència

La independència és un concepte matemàtic, no intuïtiu.

 

   

   

   























cia independèn tenim

: A de ó realitzaci la

afecta no

B /

A de ó realitzaci la

perjudica B

/

A de ó realitzaci la

afavoreix B

/

/ P A B P A

A P B A P

A P B A P B

A P

Dos successos A i B són independents si i només si P(A/B)= P(A); o sigui, quan la realització de B no afecta la realització de A.

només si P(AB)=P(A)·P(B), ja que:

independència de successos té les següents propietats:

 Dos successos incompatibles de probabilitat no nul.la i diferent de la unitat mai són independents:

Siguin A , B   tals que (AB) =   P(AB)= 0 P(A)>0 i ·P(B)>0 per tant P(A)·P(B)>0 i mai són independents

 El succés fals és independent de tots els successos:

P()·P(A) = 0 A 



^{A B}

 

^{P A B}

      

^{P B P A P B}

P   /   

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-15 Curs 2.011-2.012

 És commutativa:

A independent de B  B independent de A

 És NO transitiva: A independent de B

B independent de C A independent de C

  Contraexemple:

       

 

             

10 4

i 10 com 1

definida at

probabilit

una amb ,

, , ,

, successos

els i , , , Sigui

4 3

2 1

4 3 3

2 2

1 4

3 2 1















































P P

P P

C B

A

Independència mútua

Un conjunt de successos A1 ,...,An són mútuament independents si per tots els subconjunts de cardinal 2  k  n de  es compleix que la probabilitat de la intersecció és igual al producte de probabilitats:

1 , A2 , A3 caldrà verificar la independència entre

(A1 ,A2), (A1 ,A3), (A2 ,A3), (A1 ,A2 ,A3).

2.3-2.5 Teorema de les probabilitats totals

En Teoria de Conjunts es defineix una partició com un conjunt de conjunts de la següent manera:

 

^{A m r tq m r k}

P A

P

r

m j

j r

m j

j    















1 ,



Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-16 Curs 2.011-2.012

 



^{A B}

 

^{A B}



^{si i j}

B A A

j i

n

i

i



















que ja



1

qualsevol A   , A es pot

expressar com a unió dels successos disjunts relacionats amb la partició B₁,...,B_n:

Aleshores la probabilitat del succés A pot

expressar-se com:

2.3-2.6 Fórmula de Bayes

A  .

Sigui

B

1

,  , B

n una partició del conjunt fonamental

.

a priori es defineixen com:



_iⁿ₁

n 1

i ,

1 ,

; ,

conjunt del

partició una

formen ,...,

successos Els

























i j

i B i j i j i j n B

B

B B

      

 



 



 



 

 ⁿ

i

i n

i

i P A B

B A P

A P

1 1



       

 





 



 



 ⁿ

i

n

i

i i

i P B

AB P B

A P A

P

1 1

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-17 Curs 2.011-2.012

n B i

A

i

, , 1

 





 _.

a posteriori es defineixen com

n A i

B_i

, , 1

 







i s’interpreten com “Donada la realització del succés A, la probabilitat que el succés Bi s’hagi realitzat s’anomena probabilitat a posteriori de Bi _”.

probabilitat condicional i el Teorema de les Probabilitats Totals i duu el nom de Fórmula de Bayes:

   

     

     

   





 

 

 





de partició la

de B element

qualsevol

Per _i

1

i n

i

i

i i

i i

i i

B P B A P

B P B A P A

P

B P B A P A

P A B

A P B P

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-18 Curs 2.011-2.012

2.3-3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA

2.3-3.1 Introducció a la Variable Aleatòria Discreta

La formulació dels resultats d’una experiència aleatòria com a variable aleatòria té com a avantatges que permet reflectir els resultats en valors numèrics, proporcionant un major grau d’abstracció, a canvi, es perd informació sobre el conjunt fonamental de l’experiència aleatòria tractada, de manera que la construcció de la variable aleatòria ha d’anar més lligada a l’objectiu de l’estudi.

2.3-3.2 Definició de variable aleatòria discreta

Una variable aleatòria discreta (VAD) és una aplicació tal que a cada    li associa un valor real X():

X:   

ω X()

2.3-3.3 Funció de probabilitat d’una VAD



 

^x_{i i}^I_1el conjunt de tots els diferents valors que pot prendre aquesta VAD.

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-19 Curs 2.011-2.012

^A

_i

     ^{tq X}     ^x

_i

   ^X  ^x

_i



Definim la funció de probabilitat de la VAD X, pX(x), com una aplicació dels reals i concretament del conjunt de valors de la vad, en l’interval [0,1],

  ^0,1

: ) (

p

_X

x   

           

 













xi

X i i

i

X x P X x P A P

p que tal



 _si

x

_i és imatge de l’aplicació

X

i p_X

 

x  0 altrament

És a dir, és una funció definida des del conjunt de valors d’una VAD cap a [0,1, i val la suma de les probabilitats dels diferents successos elementals que tenen com a imatge el valor.

Per ser precisos, cal extendre el domini a tots els reals, simplement indicant una probabilitat nul.la per tots els reals que no formen part del conjunt de valors de la VAD.

2.3-3.4 Propietats de ^p_X

 

^x

0 p_x

 

x 1 per qualsevol valor real x.

 

1

1





 I

i

i

X x

p

2.3-3.5 Funció de Distribució de Probabilitat de X VAD

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-20 Curs 2.011-2.012



^X denota el conjunt dels successos elementals del conjunt fonamental de ^x



l’experiència aleatòria tals que tenen per imatge en l’aplicació X VAD un valor real inferior o igual a x. Matemàticament,

 ^{X  x}  ^  ^{   | X}   ^{  x} 

 

     

 

















x X

P x

X P







|

x(x) i està

definida com:

             















x x

i X x

x

i X

i i

x p x

X P x

X P x

F

2.3-3.6 Propietats d’una funció de distribució, F_x (x) de X VAD

⁰  ^F

_x

  ^x  ¹

per tot valor real x.

^F

_X

  ^x

és una funció monòtona no decreixent, és a dir,

 

₁

 

₂

2

1

x F x F x

x  

_X



_X

   ¹







F x

lim

_X

x .

  ^{ 0}







F x

lim

_X

x .

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-21 Curs 2.011-2.012

Fx(x) de X VAD està definida a tot l’eix real.

Fx(x) s’incrementa a salts, ubicats als punts de l’eix d’abcisses valors de la VAD X, x₁,, xI , i suposen un increment en el valor de la funció (eix d’ordenades) de magnitud p_X

 

x_{i al} x  x_i,

     

  ^x

^1

^{  F}   ^{x per  x}

^

^

¹

^{x  per x}

_1

¹

^{,..., i  1 ...}

^1

^{I  1}

F

x x

x p

x F x

F

i i

i x x

I i

x i

x i

x

2.3-3.7 Moments de X VAD

definits al Tema d’Estadística Descriptiva.

2.3-3.7.1Esperança matemàtica de X VAD

    









^I

i

i X

i

p x

x X

1



on x₁,...,x_I són els valors de X VAD

central dels valors de X VAD.

2.3-3.7.2Esperança de funcions reals de X VAD

Si definim una nova variable Y VAD, a partir d’una funció real g(X) sobre la variable X VAD ,

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-22 Curs 2.011-2.012

   

j i

i

y x

x g Y X



 









  

          







^I

i

i X

i

p x

x g X

g E Y

E

1

No confondre: en general,

 ^g   ^X  ^{ g}  ^   ^X 



   

   

 g X h X  E  g   X  E  h   X 

E

b X aE b

aX E













Hi ha dues funcions que es defineixen a partir de l’esperança matemàtica i que són força importants:

k de la variable X VAD és,

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-23 Curs 2.011-2.012

  _







^I

1 i

i X k

k

x p (x )

X

E

i

És un cas particular de ^

 

^Y on Y= g(X)= X^k.



^k _{, és,}

 

  _ ^{   }















1...I i

i X k i

k

k

E X E(X) x E X p (x )

És un cas particular de ^

 

^Y on Y= g(X)= (X-E[X])^k. Variança de X VAD: és el moment centrat d’ordre 2 ₂  VAR(X)_,

      _ ^{   }









 ^I

i

i X

i p x

x

1

2 2 2

E(X) E(X)

X E

= X

VAR  _.



²

 0

, aleshores X és constant. La desviació típica o estàndard es defineix com la magnitud  (arrel quadrada de la variança).

    ^{       }

²

1 2 2 2

X E X

E X

VAR  



 



 







 I

i

i X

i p x

x permet calcular més fàcilment la variança. Demostració:

         ^{     }    ^{   }

 

 



²

  

²

       

²

 

²

   

²

2 2 2 2

X X

X X

X 2 X X

X X 2 X X

X X 2 X X

X X

VAR





























































Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-24 Curs 2.011-2.012

característica quantitativa respecte la tendència central dels valors :

 

1 n

x 2 x

X

2

s  

_i^ _.

 Moda: és el valor que més es repeteix.

 Mediana: és el valor que deixa el 50% d’observacions per sota i el 50% per sobre. S’expressa Me i es defineix com,

Me t.q. P(X Me) = 0.5 i P(X Me) = 0.5.

Per exemple, aquest histograma representa els valors que pren una variable aleatòria que dóna la profunditat d’un llac dins d’una mostra prefixada. Si considerem que tots els valors són equiprobables, llavors la mediana representa dins el gràfics a la profunditat que deixa el mateix nombre de llacs a dreta i esquerra. En aquest cas la situaríem sobre 8-9.

30 20

10 0

30

20

10

0

Profund.

Frequency

2 1 0 0 4 5 3 4 12 19 19 31

20 23

6

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-25 Curs 2.011-2.012

Exemple:

= 6·6=36 , X: “VAD Suma dels valors del llençament de 2 daus”.

Cada succés de  té probabilitat 1/36.

Xi  PX (xi ) Xi  PX (xi )

2 {1,1} 1/36 10 {4,6}{5,5}{6,4} 3/36

3 {1,2}{2,1} 2/36 11 {5,6}{6,5} 2/36

4 {1,3}{2,2}{3,1} 3/36 12 {6,6} 1/36

5 {1,4}{2,3}{3,2}{4,1} 4/36 6 {1,5}{2,4}{3,3}{4,2}{5,1} 5/36 7 {1,6}{2,5}{3,4}{4,3}{5,2}{6,1} 6/36 8 {2,6}{3,5}{4,4}{5,3}{6,2} 5/36 9 {3,6}{4,5}{5,4}{6,3} 4/36

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,02 0,07 0,12 0,17

X

Sum of N

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-26 Curs 2.011-2.012

 Calculem els moments principals, esperança i variança,

 

⁷

36 12 1 36 11 2 36 10 3 36 9 4 36 8 5 36 7 6 36 6 5 36 5 4 36 4 3 36 3 2 36 2 1 ) (x P x X

E

11

1 i

i X

i                        







           

²

1 2 2 2

X E X

E X

VAR 





 



 







 I

i

i X

i p x

x

Sabem que EX=7 i, en conseqüència, EX² = 49, però no sabem quant val EX².

 

36 1974 36

12 1 36 11 2

36 10 3

36 9 4

36 8 5

36 7 6

36 6 5

36 5 4

36 4 3

36 3 2

36 2 1

) (x p x X

E

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

11

1 i

i X 2 i 2

























































       

6 49 35 36

X 1974 E

X E X

VAR  ²  ²   

 Per al càlcul de la mediana sols cal observar en la taula de successos i probabilitat la simetria existent i podem afirmar d’immediat que la mediana és 7. Veiem també que coincideix amb l’esperança, fenomen degut altre cop a la simetria de la distribució.

 Exemple pel lector:

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-27 Curs 2.011-2.012

Y: “VAD Diferència absoluta dels valors del llençament de 2 daus”.

Cada succés de  té probabilitat 1/36.

Y  pY (yi )

0 {1,1} {2,2} {3,3} {4,4} {5,5} {6,6} 6/36 1 {1,2}{2,1}{2,3}{3,2}{3,4}{4,3}{4,5}{5,4}{5,6

}{6,5}

10/36

2 {1,3} {3,1}{2,4} {4,2}{3,5} {5,3}{4,6} {6,4} 8/36 3 {1,4} {4,1}{2,5} {5,2}{3,6} {6,3} 6/36 4 {1,5} {5,1}{2,6} {6,2} 4/36

5 {1,6} {6,1} 2/36

 Calculeu els moments principals, esperança i variança,

 

^{Y y p (y ) 1.94}

E

6

1 i

i Y

i   





 

36 6

6 





Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-28 Curs 2.011-2.012

 

^{Y E}

 

^Y

^

^E

^{ }

^Y

^{   }

^1.94

^

^2.07

VAR ²

1 2

2 2  



 



 







 i

i Y

i p y

y

5 4

3 2

1 0

0,25

0,15

0,05

Y

Sum of N_Y

Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-29 Curs 2.011-2.012

2.3-3.8 Vectors Aleatoris Discrets Un vector aleatori discret



X

de dimensió K, X (X₁,X₂,...,X_K)

, està composat per K X_i ‘s VAD definides TOTES sobre el mateix conjunt fonamental



(finit) d’una experiència aleatòria,



X

és una funció vectorial de

  

^K que assigna a cada resultat

  

un vector de K valors reals:

     _ ^X

_K

    ^x _ ^x

_K





1

X

1

X     

X  (X₁,X₂,...,X_K)

és un subconjunt discret de (finit o infinit numerable). Treballarem el cas particular del parell aleatori discret. X  (X,Y) Definim la funció de probabilitat del vector aleatori discret X  (X₁,X₂,...,X_K)

,

^p

_X^

  ^{x }

_com

una aplicació del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial X  (X₁,X₂,...,X_K)

en l’interval

  ^{0 , 1}

_,

  ^{x :   0 , 1}

p

^{K K}

x

    

tal que

      ^{   }

 











xn

X n

x

x

n

P X x P

p







Prof. Lídia Montero © Pàg. 2.3-30 Curs 2.011-2.012

És a dir, és una funció definida des del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial

) X ,..., X , (X

X  _{1 2 K}

VECTOR A.D. cap a [0,1, i val la suma de les probabilitats dels diferents resultats que tenen una imatge comuna ^xn.

En el cas particular d’un parell aleatori discret X (X,Y)

,

^p

_XY

  ^{x , y : }

²

^{ }

²

^{ }   ^{0 , 1}

Exemple: Quina és la funció de probabilitat conjunta pel parell definit a partir de l’experiència del llançament simultani de 2 daus: X-“Suma dels valors” i Y-“Diferència absoluta dels valors”.

X/Y 0 1 2 3 4 5 ^p_X

 

^x

2 1/36 0 0 0 0 0 1/36 3 0 2/36 0 0 0 0 2/36 4 1/36 2/36 0 0 0 3/36 5 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36 6 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36 7 0 2/36 0 2/36 0 2/36 6/36 8 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36 9 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36 10 1/36 0 2/36 0 0 0 3/36 11 0 2/36 0 0 0 0 2/36 12 1/36 0 0 0 0 0 1/36

 

^y

p_Y 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 /36